Q: संबंध एवं फलन

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | स्वतुल्य | हर $a$ के लिए $(a, a) \in R$ | | सममित | $(a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$ | | संक्रामक | $(a, b), (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R$ | | तुल्यता | तीनों; उसके वर्ग समुच्चय को बाँटते हैं | | $n$ अवयवों पर गिनती | $2^{n^{2}}$ संबंध, $2^{n^{2} - n}$ स्वतुल्य | | एकैकी | $f(a1) = f(a2) \Rightarrow a1 = a2$ | | आच्छादक | परिसर = सहप्रांत | | $m$ से $n$ अवयवों तक गिनती | $n^{m}$ फलन, ${}^{n}P{m}$ एकैकी |

Q: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

| फलन | प्रांत | मुख्य शाखा | | --- | --- | --- | | $\sin^{-1} x$ | $[-1, 1]$ | $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ | | $\cos^{-1} x$ | $[-1, 1]$ | $[0, \pi]$ | | $\tan^{-1} x$ | $\mathbb{R}$ | $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ | | $\cot^{-1} x$ | $\mathbb{R}$ | $(0, \pi)$ | | $\sec^{-1} x$ | $\lvert x \rvert \ge 1$ | $[0, \pi] - \left\{\frac{\pi}{2}\right\}$ | | $\operatorname{cosec}^{-1} x$ | $\lvert x \rvert \ge 1$ | $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\}$ | | ऋणात्मक निवेश | $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x$; $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x$ | |

Q: सांतत्य तथा अवकलनीयता

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | $a$ पर सांतत्य | बाईं सीमा = दाईं सीमा = $f(a)$ | | मानक सीमाएँ | $\frac{\sin ax}{x} \to a$, $\frac{e^{ax} - 1}{x} \to a$, $\frac{1 - \cos ax}{x^{2}} \to \frac{a^{2}}{2}$ | | जोड़ पर अवकलनीयता | मान मिलें और ढाल मिलें | | संबंध | अवकलनीय ⇒ संतत, उलटा नहीं |

Q: शृंखला नियम, लघुगणकीय अवकलन और दरें

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | शृंखला नियम | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ | | $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$ | $\pm\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ | | $\tan^{-1} x$, $\cot^{-1} x$ | $\pm\frac{1}{1 + x^{2}}$ | | $e^{u}$, $\log u$ | $e^{u}u'$, $\frac{u'}{u}$ | | $x^{x}$ | $x^{x}(1 + \log x)$ | | संबंधित दरें | $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}$ |

Q: परिबद्ध क्षेत्रों का क्षेत्रफल

| क्षेत्र | क्षेत्रफल | | --- | --- | | वृत्त $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ | $\pi a^{2}$ | | दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ | $\pi ab$ | | $y^{2} = 4ax$, $x = a$ तक | $\frac{8}{3}a^{2}$ | | मुख्य समाकल | $\int0^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}\,dx = \frac{\pi a^{2}}{4}$ |

Q: समघातीय और रैखिक अवकल समीकरण

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | घात $n$ का समघातीय | $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{n} F(x, y)$ | | समघातीय समीकरण | $y = vx$ रखिए, $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ | | रैखिक | $\frac{dy}{dx} + Py = Q$; I.F. $= e^{\int P\,dx}$ | | हल | $y \cdot \text{I.F.} = \int Q \cdot \text{I.F.}\,dx + C$ |

Q: सदिश बीजगणित

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | परिमाण | $\sqrt{a1^{2} + a2^{2} + a3^{2}}$ | | विभाजन सूत्र | अंतः $\frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}$, बाह्य $\frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n}$ | | अदिश गुणनफल | $a1b1 + a2b2 + a3b3 = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \cos \theta$ | | $\vec{b}$ पर प्रक्षेप | $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert \vec{b} \rvert}$ | | सदिश गुणनफल | परिमाण $\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \sin \theta$, दोनों के लंब | | क्षेत्रफल | समांतर चतुर्भुज $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert$; त्रिभुज आधा |

Q: त्रिविमीय ज्यामिति

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | रेखा | $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$; $\frac{x - x1}{a} = \frac{y - y1}{b} = \frac{z - z1}{c}$ | | कोण | $\cos \theta = \frac{\lvert a1a2 + b1b2 + c1c2 \rvert}{\sqrt{a1^{2} + b1^{2} + c1^{2}}\sqrt{a2^{2} + b2^{2} + c2^{2}}}$ | | विषमतलीय रेखाएँ | $d = \frac{\lvert (\vec{a}2 - \vec{a}1) \cdot (\vec{b}1 \times \vec{b}2) \rvert}{\lvert \vec{b}1 \times \vec{b}2 \rvert}$ | | समांतर रेखाएँ | $d = \frac{\lvert \vec{b} \times (\vec{a}2 - \vec{a}1) \rvert}{\lvert \vec{b} \rvert}$ |

Q: सप्रतिबंध प्रायिकता और बेज़ प्रमेय

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | सप्रतिबंध | $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ | | गुणन | $P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)$ | | स्वतंत्र | $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ | | संपूर्ण प्रायिकता | $P(A) = \sum P(Ei)P(A \mid Ei)$ | | बेज़ | $P(Ei \mid A) = \frac{P(Ei)P(A \mid Ei)}{P(A)}$ |

Question 1

संबंध एवं फलन

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | स्वतुल्य | हर $a$ के लिए $(a, a) \in R$ | | सममित | $(a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$ | | संक्रामक | $(a, b), (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R$ | | तुल्यता | तीनों; उसके वर्ग समुच्चय को बाँटते हैं | | $n$ अवयवों पर गिनती | $2^{n^{2}}$ संबंध, $2^{n^{2} - n}$ स्वतुल्य | | एकैकी | $f(a1) = f(a2) \Rightarrow a1 = a2$ | | आच्छादक | परिसर = सहप्रांत | | $m$ से $n$ अवयवों तक गिनती | $n^{m}$ फलन, ${}^{n}P{m}$ एकैकी |

Question 2

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

Accepted Answer

| फलन | प्रांत | मुख्य शाखा | | --- | --- | --- | | $\sin^{-1} x$ | $[-1, 1]$ | $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ | | $\cos^{-1} x$ | $[-1, 1]$ | $[0, \pi]$ | | $\tan^{-1} x$ | $\mathbb{R}$ | $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ | | $\cot^{-1} x$ | $\mathbb{R}$ | $(0, \pi)$ | | $\sec^{-1} x$ | $\lvert x \rvert \ge 1$ | $[0, \pi] - \left\{\frac{\pi}{2}\right\}$ | | $\operatorname{cosec}^{-1} x$ | $\lvert x \rvert \ge 1$ | $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\}$ | | ऋणात्मक निवेश | $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x$; $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x$ | |

Question 3

सांतत्य तथा अवकलनीयता

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | $a$ पर सांतत्य | बाईं सीमा = दाईं सीमा = $f(a)$ | | मानक सीमाएँ | $\frac{\sin ax}{x} \to a$, $\frac{e^{ax} - 1}{x} \to a$, $\frac{1 - \cos ax}{x^{2}} \to \frac{a^{2}}{2}$ | | जोड़ पर अवकलनीयता | मान मिलें और ढाल मिलें | | संबंध | अवकलनीय ⇒ संतत, उलटा नहीं |

Question 4

शृंखला नियम, लघुगणकीय अवकलन और दरें

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | शृंखला नियम | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ | | $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$ | $\pm\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ | | $\tan^{-1} x$, $\cot^{-1} x$ | $\pm\frac{1}{1 + x^{2}}$ | | $e^{u}$, $\log u$ | $e^{u}u'$, $\frac{u'}{u}$ | | $x^{x}$ | $x^{x}(1 + \log x)$ | | संबंधित दरें | $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}$ |

Question 5

परिबद्ध क्षेत्रों का क्षेत्रफल

Accepted Answer

| क्षेत्र | क्षेत्रफल | | --- | --- | | वृत्त $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ | $\pi a^{2}$ | | दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ | $\pi ab$ | | $y^{2} = 4ax$, $x = a$ तक | $\frac{8}{3}a^{2}$ | | मुख्य समाकल | $\int0^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}\,dx = \frac{\pi a^{2}}{4}$ |

Question 6

समघातीय और रैखिक अवकल समीकरण

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | घात $n$ का समघातीय | $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{n} F(x, y)$ | | समघातीय समीकरण | $y = vx$ रखिए, $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ | | रैखिक | $\frac{dy}{dx} + Py = Q$; I.F. $= e^{\int P\,dx}$ | | हल | $y \cdot \text{I.F.} = \int Q \cdot \text{I.F.}\,dx + C$ |

Question 7

सदिश बीजगणित

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | परिमाण | $\sqrt{a1^{2} + a2^{2} + a3^{2}}$ | | विभाजन सूत्र | अंतः $\frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}$, बाह्य $\frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n}$ | | अदिश गुणनफल | $a1b1 + a2b2 + a3b3 = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \cos \theta$ | | $\vec{b}$ पर प्रक्षेप | $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert \vec{b} \rvert}$ | | सदिश गुणनफल | परिमाण $\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \sin \theta$, दोनों के लंब | | क्षेत्रफल | समांतर चतुर्भुज $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert$; त्रिभुज आधा |

Question 8

त्रिविमीय ज्यामिति

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | रेखा | $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$; $\frac{x - x1}{a} = \frac{y - y1}{b} = \frac{z - z1}{c}$ | | कोण | $\cos \theta = \frac{\lvert a1a2 + b1b2 + c1c2 \rvert}{\sqrt{a1^{2} + b1^{2} + c1^{2}}\sqrt{a2^{2} + b2^{2} + c2^{2}}}$ | | विषमतलीय रेखाएँ | $d = \frac{\lvert (\vec{a}2 - \vec{a}1) \cdot (\vec{b}1 \times \vec{b}2) \rvert}{\lvert \vec{b}1 \times \vec{b}2 \rvert}$ | | समांतर रेखाएँ | $d = \frac{\lvert \vec{b} \times (\vec{a}2 - \vec{a}1) \rvert}{\lvert \vec{b} \rvert}$ |

Question 9

सप्रतिबंध प्रायिकता और बेज़ प्रमेय

Accepted Answer