Q: मॉड्यूलो अंकगणित और सर्वांगसमता

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | $a \bmod n$ | शेषफल, $0, 1, \dots, n - 1$ में से एक, ऋणात्मक $a$ के लिए भी | | अंकगणित | घटाइए, फिर जोड़िए, घटाइए या गुणा कीजिए, और फिर घटाइए | | सर्वांगसमता | $a \equiv b \pmod{n}$ जब $n$, $a - b$ को विभाजित करे | | $ax \equiv b$ हल करना | हल तब जब $\gcd(a, n)$, $b$ को विभाजित करे; तब $\gcd(a, n)$ हल | | शेष-वर्ग | मॉड्यूलो $n$ में $n$ वर्ग, असंयुक्त, हर पूर्णांक को ढकते हुए |

Q: दौड़ और खेल

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | $d$ में A, B को $x$ से हराए | चालें $d : (d - x)$ | | बराबरी | बढ़त = पूरी दौड़ में B के हारने की दूरी | | वृत्ताकार पथ | एक ही दिशा: चक्कर ÷ चालों का अंतर; विपरीत: चक्कर ÷ योग |

Q: परिवर्तन की दर, सीमांत लागत और आय

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | संबंधित दरें | $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dt}$ | | आय, लाभ | $R = px$, $P = R - C$, औसत लागत $\frac{C}{x}$ | | सीमांत | $MC = C'(x)$, $MR = R'(x)$ | | सर्वोत्तम उत्पादन | लाभ: $MR = MC$; आय: $MR = 0$; सबसे कम औसत लागत: $AC = MC$ |

Q: उपभोक्ता और उत्पादक अधिशेष

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | MC से लागत | $C = \int MC\,dx$ + स्थिर लागत | | MR से आय | $R = \int MR\,dx$, $R(0) = 0$; माँग $p = \frac{R}{x}$ | | उपभोक्ता अधिशेष | $\int{0}^{x0} D(x)\,dx - p0x0$ | | उत्पादक अधिशेष | $p0x0 - \int{0}^{x0} S(x)\,dx$ |

Q: यादृच्छिक चर, द्विपद और प्वासों

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | बंटन | $0 \le p \le 1$, $\sum p = 1$ | | माध्य, प्रसरण | $E(X) = \sum xp$, $\text{Var}(X) = \sum x^{2}p - [E(X)]^{2}$ | | रैखिक बदलाव | $E(aX + b) = aE(X) + b$, $\text{Var}(aX + b) = a^{2}\,\text{Var}(X)$ | | द्विपद | ${}^{n}C{r}\,p^{r}q^{n - r}$; माध्य $np$, प्रसरण $npq$ | | प्वासों | $\frac{e^{-\lambda}\lambda^{r}}{r!}$; माध्य = प्रसरण = $\lambda$ |

Question 1

मॉड्यूलो अंकगणित और सर्वांगसमता

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | $a \bmod n$ | शेषफल, $0, 1, \dots, n - 1$ में से एक, ऋणात्मक $a$ के लिए भी | | अंकगणित | घटाइए, फिर जोड़िए, घटाइए या गुणा कीजिए, और फिर घटाइए | | सर्वांगसमता | $a \equiv b \pmod{n}$ जब $n$, $a - b$ को विभाजित करे | | $ax \equiv b$ हल करना | हल तब जब $\gcd(a, n)$, $b$ को विभाजित करे; तब $\gcd(a, n)$ हल | | शेष-वर्ग | मॉड्यूलो $n$ में $n$ वर्ग, असंयुक्त, हर पूर्णांक को ढकते हुए |

Question 2

एलीगेशन और मिश्रण

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | औसत मूल्य | कुल लागत ÷ कुल मात्रा | | एलीगेशन | सस्ता : महँगा $= (d - m) : (m - c)$ | | मुफ़्त घटक | पानी की लागत ₹0 | | प्रतिस्थापन | $n$ बार के बाद बचा मूल द्रव: $V\left(1 - \frac{x}{V}\right)^{n}$ |

Question 3

नाव और धारा, पाइप और टंकी

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | अनुप्रवाह, प्रतिप्रवाह | $b + s$, $b - s$ | | दोनों चालों से | नाव की चाल = दोनों का औसत; धारा की चाल = अंतर का आधा | | आने-जाने की यात्रा | हर चरण का समय जोड़िए | | पाइप | दर = 1 ÷ समय; दरें जुड़ती हैं, निकास पाइप घटते हैं | | दो पाइप साथ | $\frac{ab}{a + b}$ |

Question 4

दौड़ और खेल

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | $d$ में A, B को $x$ से हराए | चालें $d : (d - x)$ | | बराबरी | बढ़त = पूरी दौड़ में B के हारने की दूरी | | वृत्ताकार पथ | एक ही दिशा: चक्कर ÷ चालों का अंतर; विपरीत: चक्कर ÷ योग |

Question 5

संख्यात्मक असमिकाएँ

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | ऋणात्मक गुणक | असमिका उलट देता है | | मापांक | $\lvert u \rvert \le k$: $-k \le u \le k$; $\lvert u \rvert \ge k$: $u \le -k$ या $u \ge k$ | | द्विघात | $ 0$ उनके बाहर | | शब्द | अधिक से अधिक $\le$, कम से कम $\ge$ |

Question 6

परिवर्तन की दर, सीमांत लागत और आय

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | संबंधित दरें | $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dt}$ | | आय, लाभ | $R = px$, $P = R - C$, औसत लागत $\frac{C}{x}$ | | सीमांत | $MC = C'(x)$, $MR = R'(x)$ | | सर्वोत्तम उत्पादन | लाभ: $MR = MC$; आय: $MR = 0$; सबसे कम औसत लागत: $AC = MC$ |

Question 7

उपभोक्ता और उत्पादक अधिशेष

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | MC से लागत | $C = \int MC\,dx$ + स्थिर लागत | | MR से आय | $R = \int MR\,dx$, $R(0) = 0$; माँग $p = \frac{R}{x}$ | | उपभोक्ता अधिशेष | $\int{0}^{x0} D(x)\,dx - p0x0$ | | उत्पादक अधिशेष | $p0x0 - \int{0}^{x0} S(x)\,dx$ |

Question 8

यादृच्छिक चर, द्विपद और प्वासों

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | बंटन | $0 \le p \le 1$, $\sum p = 1$ | | माध्य, प्रसरण | $E(X) = \sum xp$, $\text{Var}(X) = \sum x^{2}p - [E(X)]^{2}$ | | रैखिक बदलाव | $E(aX + b) = aE(X) + b$, $\text{Var}(aX + b) = a^{2}\,\text{Var}(X)$ | | द्विपद | ${}^{n}C{r}\,p^{r}q^{n - r}$; माध्य $np$, प्रसरण $npq$ | | प्वासों | $\frac{e^{-\lambda}\lambda^{r}}{r!}$; माध्य = प्रसरण = $\lambda$ |

Question 9

प्रसामान्य बंटन

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | मानक प्रसामान्य चर | $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$, माध्य 0, मानक विचलन 1 | | क्षेत्रफल | $z > 0$ के लिए $P(Z z) = 0.5 - A(z)$ | | मोटा नियम | 1, 2, 3 मानक विचलनों के भीतर 68%, 95%, 99.7% |

Question 10

काल श्रेणी और प्रवृत्ति

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | घटक | दीर्घकालिक प्रवृत्ति, मौसमी, चक्रीय, अनियमित | | गतिमान माध्य | अपनी शृंखला के मध्य के सामने; सम अवधि को केंद्रित कीजिए | | न्यूनतम वर्ग, $\sum x = 0$ | $a = \frac{\sum y}{n}$, $b = \frac{\sum xy}{\sum x^{2}}$ |

Question 11

प्रतिचयन, निष्कर्ष और t-परीक्षण

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | क्रमबद्ध प्रतिचयन | अंतराल $k = \frac{N}{n}$ | | मानक त्रुटि | $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ | | t-प्रतिदर्शज | $t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}$, स्वातंत्र्य कोटि $n - 1$ | | निर्णय | जब $\lvert t \rvert$ क्रांतिक मान से अधिक हो, $H0$ अस्वीकार |

Question 12

वित्तीय गणित

Accepted Answer

| विचार | सूत्र या तथ्य | | --- | --- | | चिरकालिक वार्षिकी | $PV = \frac{R}{i}$ | | निक्षेप निधि | $A = R\frac{(1 + i)^{n} - 1}{i}$, $R = \frac{Ai}{(1 + i)^{n} - 1}$ | | बॉन्ड | कूपनों का PV + अंकित मूल्य का PV | | समतल दर EMI | ऋण $\times (1 + rt)$ ÷ महीने | | घटते शेष की EMI | $\frac{Pi(1 + i)^{n}}{(1 + i)^{n} - 1}$ | | CAGR | $\left(\frac{E}{B}\right)^{1/n} - 1$ | | रैखिक मूल्यह्रास | (लागत − अवशिष्ट मूल्य) ÷ उपयोगी जीवन, प्रति वर्ष |

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