$-1 \le x \le 1$ के लिए $\left(\sin^{-1} x\right)^{2} + \left(\cos^{-1} x\right)^{2}$ का न्यूनतम मान क्या है?

हल

1. 01

   माना $s = \sin^{-1} x$, जो $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में है; तब $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - s$।

2. 02

   $s^{2} + \left(\frac{\pi}{2} - s\right)^{2} = 2\left(s - \frac{\pi}{4}\right)^{2} + \frac{\pi^{2}}{8}$।

3. 03

   यह $s = \frac{\pi}{4}$ पर न्यूनतम है, यानी $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ पर: न्यूनतम मान $\frac{\pi^{2}}{8}$ है।