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CUET गणित के लिए प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

सीखने में लगभग 5 मिनट · 120 प्रश्न

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन CUET गणित Section B1 का छोटा और अंक दिलाने वाला अध्याय है। लगभग हर प्रश्न एक ही विचार पर टिका है: हर प्रतिलोम फलन एक निश्चित अंतराल, अपनी मुख्य शाखा, से कोण लौटाता है। छहों प्रतिलोम फलनों के प्रांत और परिसर से लेकर मुख्य मान, उनके आलेख और उनसे बने व्यंजकों के मान तक, हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र
Section B1: Mathematics
इस पृष्ठ पर · 10 भाग
  1. 01प्रतिलोम को शाखा क्यों चाहिए
  2. 02प्रांत और परिसर
  3. 03मुख्य मान
  4. 04प्रतिलोम फलनों के आलेख
  5. 05व्यंजकों के मान
  6. 06CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
  7. 07परीक्षा के लिए शॉर्टकट
  8. 08आम भूलें
  9. 09त्वरित पुनरावृत्ति
  10. 10अपनी समझ जाँचें

प्रतिलोम को शाखा क्यों चाहिए

एक ढलान हर 3\sqrt{3} m आगे बढ़ने पर 1 m ऊपर उठता है। उसके कोण θ\theta के लिए tan⁡θ=13\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}, और हमें स्वयं θ\theta चाहिए। पर tan⁡\tan हर π\pi पर दोहराता है: π6\frac{\pi}{6}, 7π6\frac{7\pi}{6}, −5π6-\frac{5\pi}{6} सबकी यही स्पर्शज्या है। tan⁡\tan को उलटने के लिए हमें एक ऐसे अंतराल पर सहमत होना होगा जहाँ यह हर मान एक बार ले। वह अंतराल मुख्य शाखा है, और उससे मिलने वाला कोण, tan⁡−113=π6\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}, मुख्य मान है।

sin⁻¹ x का अर्थ क्या है?

sin⁡−1x\sin^{-1} x, [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] का वह कोण है जिसकी ज्या xx हो। यह 1sin⁡x\frac{1}{\sin x} नहीं है; वह cosec⁡x\operatorname{cosec} x है।

प्रांत और परिसर

हर प्रतिलोम फलन का प्रांत और परिसर क्या है?

फलनप्रांतपरिसर (मुख्य शाखा)
sin⁡−1x\sin^{-1} x[−1,1][-1, 1][−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
cos⁡−1x\cos^{-1} x[−1,1][-1, 1][0,π][0, \pi]
tan⁡−1x\tan^{-1} xR\mathbb{R}(−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
cot⁡−1x\cot^{-1} xR\mathbb{R}(0,π)(0, \pi)
sec⁡−1x\sec^{-1} xR−(−1,1)\mathbb{R} - (-1, 1)[0,π]−{π2}[0, \pi] - \left\{\frac{\pi}{2}\right\}
cosec⁡−1x\operatorname{cosec}^{-1} xR−(−1,1)\mathbb{R} - (-1, 1)[−π2,π2]−{0}\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\}

प्रतिलोम का प्रांत उस फलन का परिसर है जिसे वह उलटता है, और उलटे क्रम में भी।

उदाहरण 1 · संयुक्त फलन का प्रांत

sin⁡−1(3x−2)\sin^{-1}(3x - 2) का प्रांत क्या है?

  1. निवेश [−1,1][-1, 1] में हो: −1≤3x−2≤1-1 \le 3x - 2 \le 1।

  2. 2 जोड़िए: 1≤3x≤31 \le 3x \le 3; 3 से भाग दीजिए: 13≤x≤1\frac{1}{3} \le x \le 1।

उत्तर
[13,1]\left[\frac{1}{3}, 1\right]

मुख्य मान

मुख्य मान कैसे निकालते हैं?

सही त्रिकोणमितीय मान वाला कोण खोजिए, फिर पक्का कीजिए कि वह शाखा पर है। ऋणात्मक निवेश के लिए sin⁡−1\sin^{-1}, tan⁡−1\tan^{-1} और cosec⁡−1\operatorname{cosec}^{-1} ऋणात्मक कोण देते हैं; cos⁡−1\cos^{-1}, cot⁡−1\cot^{-1} और sec⁡−1\sec^{-1} π2\frac{\pi}{2} और π\pi के बीच का कोण देते हैं, क्योंकि उनकी शाखा 0 से नीचे नहीं जाती।

उदाहरण 2 · दो शाखाओं पर ऋणात्मक निवेश

cosec⁡−1(−2)\operatorname{cosec}^{-1}(-2) और cot⁡−1(−13)\cot^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) ज्ञात कीजिए।

  1. cosec⁡(−π6)=−2\operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -2, और −π6-\frac{\pi}{6}, [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] में है।

  2. cot⁡π3=13\cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}, इसलिए (0,π)(0, \pi) में कोटिस्पर्शज्या −13-\frac{1}{\sqrt{3}} वाला कोण π−π3=2π3\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} है।

उत्तर

−π6-\frac{\pi}{6} और 2π3\frac{2\pi}{3}

सावधान

cos⁡−1\cos^{-1}, cot⁡−1\cot^{-1} और sec⁡−1\sec^{-1} कभी ऋणात्मक कोण नहीं लौटाते। cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x, जबकि sin⁡−1(−x)=−sin⁡−1x\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x।

प्रतिलोम फलनों के आलेख

प्रतिलोम फलन का आलेख कैसे बनता है?

मूल फलन की मुख्य शाखा का रेखा y=xy = x में प्रतिबिंब लीजिए। इस प्रकार y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x, (−1,−π2)\left(-1, -\frac{\pi}{2}\right) से (1,π2)\left(1, \frac{\pi}{2}\right) तक बढ़ता है; y=cos⁡−1xy = \cos^{-1} x, (−1,π)(-1, \pi) से (1,0)(1, 0) तक घटता है; y=tan⁡−1xy = \tan^{-1} x मूलबिंदु से होकर, रेखाओं y=±π2y = \pm\frac{\pi}{2} के बीच बढ़ता है, जिन्हें वह कभी नहीं छूता।

व्यंजकों के मान

मुख्य मानों से बना व्यंजक कैसे निकालते हैं?

हर प्रतिलोम फलन के स्थान पर उसका मुख्य मान रखिए, फिर गणना कीजिए। sin⁡−1(sin⁡θ)\sin^{-1}(\sin \theta) का उत्तर θ\theta तभी है जब θ\theta शाखा पर हो; अन्यथा शाखा पर उसी ज्या वाला कोण खोजिए।

उदाहरण 3 · मुख्य मानों का योग

tan⁡−1(−3)+cos⁡−1(−1)\tan^{-1}\left(-\sqrt{3}\right) + \cos^{-1}(-1) ज्ञात कीजिए।

  1. tan⁡−1(−3)=−π3\tan^{-1}\left(-\sqrt{3}\right) = -\frac{\pi}{3} और cos⁡−1(−1)=π\cos^{-1}(-1) = \pi।

  2. −π3+π=2π3-\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}।

उत्तर
2π3\frac{2\pi}{3}

उदाहरण 4 · मुख्य मान का त्रिकोणमितीय मान

sin⁡(cos⁡−1817)\sin\left(\cos^{-1} \frac{8}{17}\right) ज्ञात कीजिए।

  1. माना θ=cos⁡−1817\theta = \cos^{-1} \frac{8}{17}: आसन्न 8 और कर्ण 17 वाला न्यून कोण।

  2. सम्मुख भुजा 289−64=15\sqrt{289 - 64} = 15, इसलिए sin⁡θ=1517\sin \theta = \frac{15}{17}, [0,π][0, \pi] पर धनात्मक।

उत्तर
1517\frac{15}{17}

उदाहरण 5 · शाखा से बाहर का कोण

cos⁡−1(cos⁡5π4)\cos^{-1}\left(\cos \frac{5\pi}{4}\right) ज्ञात कीजिए।

  1. 5π4\frac{5\pi}{4}, [0,π][0, \pi] में नहीं है। cos⁡5π4=−12\cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}।

  2. [0,π][0, \pi] में कोज्या −12-\frac{1}{\sqrt{2}} वाला कोण 3π4\frac{3\pi}{4} है।

उत्तर
3π4\frac{3\pi}{4}

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

  • प्रांत और परिसर: छहों फलनों के, sin⁡−1(ax+b)\sin^{-1}(ax + b) जैसे संयुक्त फलन के, या किसी के गुणज या खिसके रूप के।
  • मुख्य मान: किसी एक प्रतिलोम फलन का, अक्सर ऋणात्मक निवेश पर, या वह निवेश जो दिया गया मान दे।
  • व्यंजक: मुख्य मानों का योग, शाखा से बाहर के θ\theta के लिए sin⁡−1(sin⁡θ)\sin^{-1}(\sin \theta), या समकोण त्रिभुज से cos⁡(sin⁡−1x)\cos\left(\sin^{-1} x\right)।
  • आलेख: वक्र कौन-सा फलन दिखाता है, किन बिंदुओं से होकर जाता है, और क्या वह वर्धमान है।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

  • शाखाएँ: sin⁡−1,cosec⁡−1\sin^{-1}, \operatorname{cosec}^{-1} 0 के आसपास और बंद; tan⁡−1\tan^{-1} 0 के आसपास और खुला; cos⁡−1,sec⁡−1\cos^{-1}, \sec^{-1}, [0,π][0, \pi] पर; cot⁡−1\cot^{-1}, (0,π)(0, \pi) पर।
  • ∣x∣≤1\lvert x \rvert \le 1 के लिए sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}, जैसा मुख्य मान दिखाते हैं।
  • sin⁡−1\sin^{-1} का अधिकतम मान π2\frac{\pi}{2} और cos⁡−1\cos^{-1} का π\pi है: अपने अधिकतम तक पहुँचने वाला योग हर पद को उसके अधिकतम पर बाध्य करता है।

आम भूलें

  • sin⁡−1x\sin^{-1} x को 1sin⁡x\frac{1}{\sin x} पढ़ना।
  • cos⁡−1\cos^{-1}, cot⁡−1\cot^{-1} या sec⁡−1\sec^{-1} के लिए ऋणात्मक कोण देना।
  • शाखा से बाहर के कोण के लिए sin⁡−1(sin⁡θ)=θ\sin^{-1}(\sin \theta) = \theta लिखना।
  • tan⁡−1\tan^{-1} के परिसर को ±π2\pm\frac{\pi}{2} पर बंद करना।

त्वरित पुनरावृत्ति

शाखाएँ

  • sin⁡−1\sin^{-1}: [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]; cos⁡−1\cos^{-1}: [0,π][0, \pi]
  • tan⁡−1\tan^{-1}: (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right); cot⁡−1\cot^{-1}: (0,π)(0, \pi)

ऋणात्मक निवेश

  • sin⁡−1(−x)=−sin⁡−1x\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x
  • cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x

आलेख

  • शाखा का y=xy = x में प्रतिबिंब
  • tan⁡−1\tan^{-1}, y=±π2y = \pm\frac{\pi}{2} के बीच

Section B1 में आगे, जब किसी फलन में न विच्छेद हो न कोना: सांतत्य तथा अवकलनीयता।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

120 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

प्रांत और परिसरप्र1 / 120प्र1

प्रांत और परिसर

31 प्रश्न

प्रश्न 1

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sin⁡−1x\sin^{-1} x का प्रांत क्या है?

प्रश्न 1 के विकल्प

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उत्तरB · [−1,1][-1, 1]

  1. sin⁡−1x\sin^{-1} x, sin⁡\sin को उलटता है, इसलिए उसके निवेश वे मान हैं जो sin⁡\sin लेता है।

  2. वे [−1,1][-1, 1] हैं।

ध्यान देने योग्य

[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] परिसर है, वे कोण जो यह लौटाता है।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡−1x\cos^{-1} x का परिसर क्या है?

प्रश्न 2 के विकल्प

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उत्तरD · [0,π][0, \pi]

  1. cos⁡\cos की मुख्य शाखा [0,π][0, \pi] है, जहाँ यह 1 से −1-1 तक घटता है और हर मान एक बार लेता है।

  2. इसलिए cos⁡−1x\cos^{-1} x के मान [0,π][0, \pi] में हैं।

ध्यान देने योग्य

[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], sin⁡−1\sin^{-1} की शाखा है; वहाँ cos⁡\cos एकैकी नहीं।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

tan⁡−1x\tan^{-1} x का परिसर क्या है?

प्रश्न 3 के विकल्प

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उत्तरA · (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

  1. tan⁡\tan, (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) पर एकैकी है और वहाँ हर वास्तविक मान लेता है।

  2. छोर छोड़े जाते हैं: tan⁡π2\tan \frac{\pi}{2} परिभाषित नहीं।

ध्यान देने योग्य

बंद अंतराल गलती से ±π2\pm\frac{\pi}{2} लेता है, जहाँ tan⁡\tan का कोई मान नहीं।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sin⁡−1(x2)\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) का प्रांत क्या है?

प्रश्न 4 के विकल्प

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उत्तरD · [−2,2][-2, 2]

  1. हर प्रतिलोम फलन को उसके प्रांत से निवेश मिले: −1≤x2≤1-1 \le \frac{x}{2} \le 1।

  2. इसलिए −2≤x≤2-2 \le x \le 2।

ध्यान देने योग्य

[−12,12]\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] में गुणा करने के स्थान पर 2 से भाग दिया।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=sin⁡−1(2x−1)f(x) = \sin^{-1}(2x - 1)।

इस f(x)=sin⁡−1(2x−1)f(x) = \sin^{-1}(2x - 1) के लिए f(1)f(1) क्या है?

प्रश्न 5 के विकल्प

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उत्तरC · π2\frac{\pi}{2}

  1. f(1)=sin⁡−1(2−1)=sin⁡−11f(1) = \sin^{-1}(2 - 1) = \sin^{-1} 1।

  2. π2\frac{\pi}{2}।

ध्यान देने योग्य

1, sin⁡−1\sin^{-1} का निवेश है, उसका मान नहीं।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=sin⁡−1(2x−1)f(x) = \sin^{-1}(2x - 1)।

इस f(x)=sin⁡−1(2x−1)f(x) = \sin^{-1}(2x - 1) का प्रांत क्या है?

प्रश्न 6 के विकल्प

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उत्तरD · [0,1][0, 1]

  1. −1≤2x−1≤1-1 \le 2x - 1 \le 1।

  2. 0≤x≤10 \le x \le 1।

ध्यान देने योग्य

[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] परिसर है।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=sin⁡−1(2x−1)f(x) = \sin^{-1}(2x - 1)।

इस f(x)=sin⁡−1(2x−1)f(x) = \sin^{-1}(2x - 1) का परिसर क्या है?

प्रश्न 7 के विकल्प

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उत्तरC · [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

  1. जब xx, [0,1][0, 1] पर चलता है, 2x−12x - 1 पूरे [−1,1][-1, 1] पर चलता है।

  2. इसलिए ff, sin⁡−1\sin^{-1} का हर मान लेता है: [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]।

ध्यान देने योग्य

भीतरी 2x−12x - 1 प्रांत बदलता है, परिसर नहीं, क्योंकि वह ठीक [−1,1][-1, 1] को ढकता है।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=sin⁡−1x+cos⁡−1xf(x) = \sin^{-1} x + \cos^{-1} x का परिसर क्या है?

प्रश्न 8 के विकल्प

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उत्तरD · {π2}\left\{\frac{\pi}{2}\right\}

  1. प्रांत के हर xx पर, −1≤x≤1-1 \le x \le 1, sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}।

  2. इसलिए ff केवल एक मान π2\frac{\pi}{2} लेता है: उसका परिसर {π2}\left\{\frac{\pi}{2}\right\} है।

ध्यान देने योग्य

[−π2,3π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] में दोनों परिसर ऐसे जोड़े मानो पद अलग-अलग चुने जा सकें; वे साथ चलते हैं, एक बढ़ता है तो दूसरा घटता है।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

tan⁡−1(1x)\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) का प्रांत क्या है?

प्रश्न 9 के विकल्प

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उत्तरD · R−{0}\mathbb{R} - \{0\}

  1. tan⁡−1\tan^{-1} हर वास्तविक संख्या स्वीकार करता है, इसलिए केवल यह शर्त है कि 1x\frac{1}{x} का अस्तित्व हो।

  2. इसके लिए x≠0x \ne 0 चाहिए: प्रांत R−{0}\mathbb{R} - \{0\} है।

ध्यान देने योग्य

R\mathbb{R} स्वयं tan⁡−1\tan^{-1} का प्रांत है; भीतरी 1x\frac{1}{x} पहले परिभाषित होना चाहिए।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. cot⁡−10\cot^{-1} 0 परिभाषित है, और π2\frac{\pi}{2} के बराबर है।

II. cosec⁡−112\operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{2} परिभाषित है, और π6\frac{\pi}{6} के बराबर है।

प्रश्न 10 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I: cot⁡−1\cot^{-1} पूरे R\mathbb{R} पर परिभाषित है, और cot⁡π2=0\cot \frac{\pi}{2} = 0 तथा π2\frac{\pi}{2}, (0,π)(0, \pi) में है। सही।

  2. II: cosec⁡−1\operatorname{cosec}^{-1} को ∣x∣≥1\lvert x \rvert \ge 1 चाहिए, और 12\frac{1}{2}, (−1,1)(-1, 1) में है; π6\frac{\pi}{6}, cosec⁡−12\operatorname{cosec}^{-1} 2 है। गलत।

ध्यान देने योग्य

II में cosec⁡−112\operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{2} को sin⁡−112\sin^{-1} \frac{1}{2} पढ़ा; वास्तव में cosec⁡−1x=sin⁡−11x\operatorname{cosec}^{-1} x = \sin^{-1} \frac{1}{x}, जो यहाँ sin⁡−12\sin^{-1} 2 होता।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sin⁡−1(2x−1)\sin^{-1}(2x - 1) का प्रांत क्या है?

प्रश्न 11 के विकल्प

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उत्तरC · [0,1][0, 1]

  1. प्रतिलोम फलन का निवेश उसके प्रांत में हो: −1≤2x−1≤1-1 \le 2x - 1 \le 1।

  2. 0≤2x≤20 \le 2x \le 2, इसलिए 0≤x≤10 \le x \le 1।

ध्यान देने योग्य

[−1,1][-1, 1], 2x−12x - 1 के लिए अनुमत सीमा है, xx के लिए नहीं।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

3cos⁡−1x3\cos^{-1} x का परिसर क्या है?

प्रश्न 12 के विकल्प

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उत्तरB · [0,3π][0, 3\pi]

  1. cos⁡−1x\cos^{-1} x, [0,π][0, \pi] पर चलता है।

  2. 3 से गुणा करने पर यह [0,3π][0, 3\pi] तक फैलता है।

ध्यान देने योग्य

[−3,3][-3, 3] में प्रांत को गुणा किया; 3 कोण को गुणा करता है, इसलिए परिसर बदलता है।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. sin⁡−1x\sin^{-1} x हर वास्तविक xx के लिए परिभाषित है।

II. tan⁡−1x\tan^{-1} x हर वास्तविक xx के लिए परिभाषित है।

प्रश्न 13 के विकल्प

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उत्तरB · केवल II

  1. I गलत है: sin⁡−12\sin^{-1} 2 परिभाषित नहीं, क्योंकि sin⁡\sin कभी 2 तक नहीं पहुँचता।

  2. II सही है: tan⁡\tan, (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) पर हर वास्तविक मान लेता है।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cot⁡−1x\cot^{-1} x का परिसर क्या है?

प्रश्न 14 के विकल्प

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उत्तरC · (0,π)(0, \pi)

  1. cot⁡\cot, (0,π)(0, \pi) पर एकैकी है, हर वास्तविक मान से होकर घटता है।

  2. cot⁡0\cot 0 और cot⁡π\cot \pi परिभाषित नहीं, इसलिए छोर छोड़े जाते हैं।

ध्यान देने योग्य

(−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), tan⁡−1\tan^{-1} की शाखा है; cot⁡\cot उसके बीच, 0 पर, परिभाषित नहीं।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡−1(x3)\cos^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) का प्रांत क्या है?

प्रश्न 15 के विकल्प

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उत्तरB · [−3,3][-3, 3]

  1. प्रतिलोम फलन का निवेश उसके प्रांत में हो: −1≤x3≤1-1 \le \frac{x}{3} \le 1।

  2. −3≤x≤3-3 \le x \le 3।

ध्यान देने योग्य

[−13,13]\left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right] में गुणा करने के स्थान पर 3 से भाग दिया।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sec⁡−1x\sec^{-1} x का प्रांत क्या है?

प्रश्न 16 के विकल्प

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उत्तरB · R−(−1,1)\mathbb{R} - (-1, 1)

  1. sec⁡θ=1cos⁡θ\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, और ∣cos⁡θ∣≤1\lvert\cos \theta\rvert \le 1, इसलिए ∣sec⁡θ∣≥1\lvert\sec \theta\rvert \ge 1।

  2. इसलिए sec⁡−1x\sec^{-1} x, ∣x∣≥1\lvert x \rvert \ge 1 के लिए परिभाषित है, यानी R−(−1,1)\mathbb{R} - (-1, 1)।

ध्यान देने योग्य

[−1,1][-1, 1], cos⁡−1\cos^{-1} का प्रांत है; उसका व्युत्क्रम उसके बाहर रहता है।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡−1(1−x)\cos^{-1}(1 - x) का प्रांत क्या है?

प्रश्न 17 के विकल्प

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उत्तरC · [0,2][0, 2]

  1. प्रतिलोम फलन का निवेश उसके प्रांत में हो: −1≤1−x≤1-1 \le 1 - x \le 1।

  2. −2≤−x≤0-2 \le -x \le 0, इसलिए 0≤x≤20 \le x \le 2।

ध्यान देने योग्य

[−2,0][-2, 0] में −1-1 से गुणा करते समय असमिकाएँ उलटना भूल गए।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cosec⁡−1x\operatorname{cosec}^{-1} x का परिसर क्या है?

प्रश्न 18 के विकल्प

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उत्तरD · [−π2,π2]−{0}\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\}

  1. cosec⁡\operatorname{cosec}, sin⁡\sin की शाखा [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] लेता है।

  2. cosec⁡0\operatorname{cosec} 0 परिभाषित नहीं, इसलिए 0 हटाया जाता है।

ध्यान देने योग्य

[0,π]−{π2}[0, \pi] - \left\{\frac{\pi}{2}\right\}, sec⁡−1\sec^{-1} का परिसर है।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sec⁡−1x\sec^{-1} x का परिसर क्या है?

प्रश्न 19 के विकल्प

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उत्तरA · [0,π]−{π2}[0, \pi] - \left\{\frac{\pi}{2}\right\}

  1. sec⁡\sec, cos⁡\cos की शाखा [0,π][0, \pi] लेता है।

  2. sec⁡π2\sec \frac{\pi}{2} परिभाषित नहीं, इसलिए π2\frac{\pi}{2} हटाया जाता है।

ध्यान देने योग्य

[0,π][0, \pi] में π2\frac{\pi}{2} रहता है, जहाँ cos⁡\cos 0 है और sec⁡\sec का कोई मान नहीं।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=sin⁡−1(2x−1)f(x) = \sin^{-1}(2x - 1)।

इस f(x)=sin⁡−1(2x−1)f(x) = \sin^{-1}(2x - 1) के लिए f(14)f\left(\frac{1}{4}\right) क्या है?

प्रश्न 20 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · −π6- \frac{\pi}{6}

  1. 2×14−1=−122 \times \frac{1}{4} - 1 = -\frac{1}{2}।

  2. sin⁡−1(−12)=−π6\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}।

ध्यान देने योग्य

π6\frac{\pi}{6} में −12-\frac{1}{2} का चिह्न खो गया।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

2tan⁡−1x2\tan^{-1} x का परिसर क्या है?

प्रश्न 21 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · (−π,π)(-\pi, \pi)

  1. tan⁡−1x\tan^{-1} x खुले अंतराल (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) पर चलता है।

  2. दोगुना करने पर (−π,π)(-\pi, \pi), फिर भी खुला।

ध्यान देने योग्य

[−π,π][-\pi, \pi] में छोर बंद किए, पर tan⁡−1\tan^{-1} कभी ±π2\pm\frac{\pi}{2} तक नहीं पहुँचता।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡−1(2x+1)\cos^{-1}(2x + 1) का प्रांत क्या है?

प्रश्न 22 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · [−1,0][-1, 0]

  1. हर प्रतिलोम फलन को उसके प्रांत से निवेश मिले: −1≤2x+1≤1-1 \le 2x + 1 \le 1।

  2. इसलिए −2≤2x≤0-2 \le 2x \le 0, इसलिए −1≤x≤0-1 \le x \le 0।

ध्यान देने योग्य

[−1,1][-1, 1], 2x+12x + 1 की अनुमत सीमा है, xx की नहीं।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sin⁡−1x+tan⁡−1x\sin^{-1} x + \tan^{-1} x का प्रांत क्या है?

प्रश्न 23 के विकल्प

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उत्तरD · [−1,1][-1, 1]

  1. हर प्रतिलोम फलन को उसके प्रांत से निवेश मिले: sin⁡−1x\sin^{-1} x के लिए −1≤x≤1-1 \le x \le 1 चाहिए; tan⁡−1x\tan^{-1} x के लिए कोई शर्त नहीं।

  2. इसलिए योग वहीं परिभाषित है जहाँ दोनों हैं: −1≤x≤1-1 \le x \le 1।

ध्यान देने योग्य

R\mathbb{R} केवल tan⁡−1\tan^{-1} का प्रांत है; योग के लिए दोनों भाग परिभाषित हों।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=sin⁡−1x+π2f(x) = \sin^{-1} x + \frac{\pi}{2} का परिसर क्या है?

प्रश्न 24 के विकल्प

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उत्तरD · [0,π][0, \pi]

  1. sin⁡−1x\sin^{-1} x, [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] पर चलता है।

  2. π2\frac{\pi}{2} जोड़ने पर यह [0,π][0, \pi] पर खिसकता है।

ध्यान देने योग्य

[π2,π]\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] में केवल ऊपरी छोर खिसकाया।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर फलन को सूची II में उसके परिसर से मिलाइए।

सूची Iसूची II
A. sin⁡−1x\sin^{-1} xI. (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
B. cos⁡−1x\cos^{-1} xII. [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
C. tan⁡−1x\tan^{-1} xIII. (0,π)(0, \pi)
D. cot⁡−1x\cot^{-1} xIV. [0,π][0, \pi]
प्रश्न 25 के विकल्प

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उत्तरA · A-II, B-IV, C-I, D-III

  1. sin⁡−1\sin^{-1} और tan⁡−1\tan^{-1}, 0 के आसपास हैं, बंद और खुले; cos⁡−1\cos^{-1} और cot⁡−1\cot^{-1}, [0,π][0, \pi] में, बंद और खुले।

  2. tan⁡\tan और cot⁡\cot छोरों पर अपरिमित होते हैं, इसलिए उनके परिसर खुले हैं।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sin⁡−1(x2)\sin^{-1}(x^{2}) का प्रांत क्या है?

प्रश्न 26 के विकल्प

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उत्तरD · [−1,1][-1, 1]

  1. प्रतिलोम फलन का निवेश उसके प्रांत में हो: −1≤x2≤1-1 \le x^{2} \le 1।

  2. x2≥0x^{2} \ge 0 सदा, इसलिए इसका अर्थ x2≤1x^{2} \le 1 है: −1≤x≤1-1 \le x \le 1।

ध्यान देने योग्य

[0,1][0, 1] भूल जाता है कि ऋणात्मक xx का वर्ग धनात्मक होता है।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sec⁡−1(2x)\sec^{-1}(2x) का प्रांत क्या है?

प्रश्न 27 के विकल्प

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उत्तरA · (−∞,−12]∪[12,∞)\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)

  1. प्रतिलोम फलन का निवेश उसके प्रांत में हो: ∣2x∣≥1\lvert 2x \rvert \ge 1।

  2. ∣x∣≥12\lvert x \rvert \ge \frac{1}{2}।

ध्यान देने योग्य

[−12,12]\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right], cos⁡−1(2x)\cos^{-1}(2x) का प्रांत है; sec⁡−1\sec^{-1} को बाहर का भाग चाहिए।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जब xx, [0,1][0, 1] पर चलता है, तो cos⁡−1x\cos^{-1} x कौन-से मान लेता है?

प्रश्न 28 के विकल्प

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उत्तरD · [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right]

  1. cos⁡−1\cos^{-1} ह्रासमान है: cos⁡−10=π2\cos^{-1} 0 = \frac{\pi}{2} और cos⁡−11=0\cos^{-1} 1 = 0।

  2. इसलिए यह 0 से π2\frac{\pi}{2} तक हर मान लेता है।

ध्यान देने योग्य

[π2,π]\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] ऋणात्मक निवेश [−1,0][-1, 0] देते हैं।

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡−1(x2−1)\cos^{-1}(x^{2} - 1) का प्रांत क्या है?

प्रश्न 29 के विकल्प

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उत्तरB · [−2,2]\left[-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right]

  1. हर प्रतिलोम फलन को उसके प्रांत से निवेश मिले: −1≤x2−1≤1-1 \le x^{2} - 1 \le 1।

  2. इसलिए 0≤x2≤20 \le x^{2} \le 2, इसलिए −2≤x≤2-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}।

ध्यान देने योग्य

[0,2]\left[0, \sqrt{2}\right] भूल जाता है कि ऋणात्मक xx का वर्ग भी वही होता है।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=tan⁡−1(x2)f(x) = \tan^{-1}\left(x^{2}\right) का परिसर क्या है?

प्रश्न 30 के विकल्प

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उत्तरA · [0,π2)\left[0, \frac{\pi}{2}\right)

  1. x2x^{2}, [0,∞)[0, \infty) का हर मान लेता है, x=0x = 0 पर 0 भी।

  2. tan⁡−1\tan^{-1} वर्धमान है, इसलिए ff, tan⁡−10=0\tan^{-1} 0 = 0 से π2\frac{\pi}{2} की ओर जाता है, उस तक पहुँचे बिना: [0,π2)\left[0, \frac{\pi}{2}\right)।

ध्यान देने योग्य

[0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] में ऊपरी छोर बंद किया, पर x2x^{2} कितना भी बड़ा हो, tan⁡−1\tan^{-1} कभी π2\frac{\pi}{2} तक नहीं पहुँचता।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡−1x+sec⁡−1x\cos^{-1} x + \sec^{-1} x का प्रांत क्या है?

प्रश्न 31 के विकल्प

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उत्तरD · {−1,1}\{-1, 1\}

  1. cos⁡−1x\cos^{-1} x को −1≤x≤1-1 \le x \le 1 चाहिए; sec⁡−1x\sec^{-1} x को x≤−1x \le -1 या x≥1x \ge 1 चाहिए।

  2. योग को दोनों चाहिए, और केवल छोर x=−1x = -1 और x=1x = 1 दोनों को संतुष्ट करते हैं: प्रांत {−1,1}\{-1, 1\} है।

ध्यान देने योग्य

∅\varnothing भूल जाता है कि ±1\pm 1 दोनों प्रांतों में हैं: sec⁡−1\sec^{-1} केवल खुला अंतराल (−1,1)(-1, 1) छोड़ता है।

मुख्य मान

33 प्रश्न

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sin⁡−1(−12)\sin^{-1}\left(- \frac{1}{2}\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 32 के विकल्प

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उत्तरB · −π6- \frac{\pi}{6}

  1. शाखा [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए sin⁡θ=−12\sin \theta = - \frac{1}{2}।

  2. वह कोण −π6- \frac{\pi}{6} है।

ध्यान देने योग्य

7π6\frac{7\pi}{6} की ज्या भी −12-\frac{1}{2} है, पर वह [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] से बाहर है।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि cos⁡−1x=2π3\cos^{-1} x = \frac{2\pi}{3}, तो xx क्या है?

प्रश्न 33 के विकल्प

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उत्तरB · −12- \frac{1}{2}

  1. cos⁡−1x=2π3\cos^{-1} x = \frac{2\pi}{3} का अर्थ x=cos⁡2π3x = \cos \frac{2\pi}{3} है, और 2π3\frac{2\pi}{3} शाखा पर है।

  2. cos⁡2π3=−12\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}।

ध्यान देने योग्य

12\frac{1}{2}, cos⁡π3\cos \frac{\pi}{3} है; π2\frac{\pi}{2} से आगे के कोण की कोज्या ऋणात्मक होती है।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

tan⁡−1(−1)\tan^{-1}\left(-1\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 34 के विकल्प

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उत्तरB · −π4- \frac{\pi}{4}

  1. शाखा (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए tan⁡θ=−1\tan \theta = -1।

  2. वह कोण −π4- \frac{\pi}{4} है।

ध्यान देने योग्य

tan⁡3π4=−1\tan \frac{3\pi}{4} = -1, पर 3π4\frac{3\pi}{4}, (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) से बाहर है।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sec⁡−1(2)\sec^{-1}\left(2\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 35 के विकल्प

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उत्तरC · π3\frac{\pi}{3}

  1. शाखा [0,π]−{π2}[0, \pi] - \left\{\frac{\pi}{2}\right\} में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए sec⁡θ=2\sec \theta = 2।

  2. वह कोण π3\frac{\pi}{3} है।

ध्यान देने योग्य

π6\frac{\pi}{6} की व्युत्क्रम ज्या 2 है; व्युत्क्रम कोज्या 2 का अर्थ कोज्या 12\frac{1}{2} है।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

tan⁡−1(3)\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 36 के विकल्प

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उत्तरC · π3\frac{\pi}{3}

  1. शाखा (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए tan⁡θ=3\tan \theta = \sqrt{3}।

  2. वह कोण π3\frac{\pi}{3} है।

ध्यान देने योग्य

tan⁡π6=13\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}; 3\sqrt{3}, tan⁡π3\tan \frac{\pi}{3} है।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cosec⁡−1(2)\operatorname{cosec}^{-1}\left(2\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 37 के विकल्प

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उत्तरB · π6\frac{\pi}{6}

  1. शाखा [−π2,π2]−{0}\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\} में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए cosec⁡θ=2\operatorname{cosec} \theta = 2।

  2. वह कोण π6\frac{\pi}{6} है।

ध्यान देने योग्य

5π6\frac{5\pi}{6} की ज्या भी 12\frac{1}{2} है, पर वह [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] से बाहर है।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि sin⁡−1x=−π3\sin^{-1} x = -\frac{\pi}{3}, तो xx क्या है?

प्रश्न 38 के विकल्प

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उत्तरA · −32- \frac{\sqrt{3}}{2}

  1. x=sin⁡(−π3)x = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right), और −π3-\frac{\pi}{3} शाखा पर है।

  2. x=−32x = -\frac{\sqrt{3}}{2}।

ध्यान देने योग्य

−12-\frac{1}{2}, sin⁡(−π6)\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) है।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sin⁡−1(−1)\sin^{-1}\left(-1\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 39 के विकल्प

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उत्तरB · −π2- \frac{\pi}{2}

  1. शाखा [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए sin⁡θ=−1\sin \theta = -1।

  2. वह कोण −π2- \frac{\pi}{2} है।

ध्यान देने योग्य

3π2\frac{3\pi}{2} की ज्या भी −1-1 है, पर वह [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] से बाहर है।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cot⁡−1(3)\cot^{-1}\left(\sqrt{3}\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 40 के विकल्प

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उत्तरB · π6\frac{\pi}{6}

  1. शाखा (0,π)(0, \pi) में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए cot⁡θ=3\cot \theta = \sqrt{3}।

  2. वह कोण π6\frac{\pi}{6} है।

ध्यान देने योग्य

π3\frac{\pi}{3} की कोटिस्पर्शज्या 13\frac{1}{\sqrt{3}} है; 3\sqrt{3}, π6\frac{\pi}{6} की है।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sin⁡−1(−22)\sin^{-1}\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 41 के विकल्प

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उत्तरB · −π4- \frac{\pi}{4}

  1. शाखा [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए sin⁡θ=−22\sin \theta = - \frac{\sqrt{2}}{2}।

  2. वह कोण −π4- \frac{\pi}{4} है।

ध्यान देने योग्य

5π4\frac{5\pi}{4} की ज्या भी −12-\frac{1}{\sqrt{2}} है, पर वह शाखा से बाहर है।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡−1(32)\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 42 के विकल्प

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उत्तरB · π6\frac{\pi}{6}

  1. शाखा [0,π][0, \pi] में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए cos⁡θ=32\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}।

  2. वह कोण π6\frac{\pi}{6} है।

ध्यान देने योग्य

π3\frac{\pi}{3} की कोज्या 12\frac{1}{2} है; 32\frac{\sqrt{3}}{2}, π6\frac{\pi}{6} की है।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना α=sin⁡−1(13)\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)।

इस α=sin⁡−1(13)\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) के पदों में sin⁡−1(−13)\sin^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) क्या है?

प्रश्न 43 के विकल्प

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उत्तरA · −α-\alpha

  1. sin⁡(−α)=−sin⁡α=−13\sin(-\alpha) = -\sin \alpha = -\frac{1}{3}, और −α-\alpha, [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] में है।

  2. इसलिए sin⁡−1(−13)=−α\sin^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) = -\alpha।

ध्यान देने योग्य

π−α\pi - \alpha, cos⁡−1\cos^{-1} का नियम है; sin⁡−1\sin^{-1} में ऋणात्मक निवेश केवल चिह्न बदलता है।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा कोण किसी वास्तविक xx के लिए tan⁡−1x\tan^{-1} x का मान है?

प्रश्न 44 के विकल्प

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उत्तरB · 2π5\frac{2 \pi}{5}

  1. tan⁡−1x\tan^{-1} x ठीक खुले अंतराल (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) के मान लेता है।

  2. केवल 2π5\frac{2\pi}{5} भीतर है, क्योंकि 2π5<π2\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}: यह tan⁡−1(tan⁡2π5)\tan^{-1}\left(\tan \frac{2\pi}{5}\right) है।

ध्यान देने योग्य

π2\frac{\pi}{2} शाखा का एक छोर है, जिसे खुला अंतराल छोड़ देता है: tan⁡π2\tan \frac{\pi}{2} परिभाषित नहीं।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡−1(−32)\cos^{-1}\left(- \frac{\sqrt{3}}{2}\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 45 के विकल्प

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उत्तरC · 5π6\frac{5 \pi}{6}

  1. शाखा [0,π][0, \pi] में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए cos⁡θ=−32\cos \theta = - \frac{\sqrt{3}}{2}।

  2. वह कोण 5π6\frac{5 \pi}{6} है।

ध्यान देने योग्य

cos⁡−1\cos^{-1} कभी ऋणात्मक कोण नहीं देता: उसकी शाखा [0,π][0, \pi] है, इसलिए यह π−π6\pi - \frac{\pi}{6} है।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि tan⁡−1x=−π3\tan^{-1} x = -\frac{\pi}{3}, तो xx क्या है?

प्रश्न 46 के विकल्प

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उत्तरA · −3- \sqrt{3}

  1. x=tan⁡(−π3)x = \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right), और −π3-\frac{\pi}{3} शाखा पर है।

  2. tan⁡(−π3)=−3\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}।

ध्यान देने योग्य

−13-\frac{1}{\sqrt{3}}, tan⁡(−π6)\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) है।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cot⁡−1(−3)\cot^{-1}\left(- \sqrt{3}\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 47 के विकल्प

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उत्तरD · 5π6\frac{5 \pi}{6}

  1. शाखा (0,π)(0, \pi) में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए cot⁡θ=−3\cot \theta = - \sqrt{3}।

  2. वह कोण 5π6\frac{5 \pi}{6} है।

ध्यान देने योग्य

cot⁡−1\cot^{-1}, (0,π)(0, \pi) में रहता है, इसलिए ऋणात्मक निवेश अधिक कोण देता है, π−π6\pi - \frac{\pi}{6}, न कि −π6-\frac{\pi}{6}।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cosec⁡−1(−2)\operatorname{cosec}^{-1}\left(- \sqrt{2}\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 48 के विकल्प

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उत्तरB · −π4- \frac{\pi}{4}

  1. शाखा [−π2,π2]−{0}\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\} में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए cosec⁡θ=−2\operatorname{cosec} \theta = - \sqrt{2}।

  2. वह कोण −π4- \frac{\pi}{4} है।

ध्यान देने योग्य

cosec⁡5π4=−2\operatorname{cosec} \frac{5\pi}{4} = -\sqrt{2} भी है, पर शाखा [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] है।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sec⁡−1(−2)\sec^{-1}\left(-2\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 49 के विकल्प

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उत्तरC · 2π3\frac{2 \pi}{3}

  1. शाखा [0,π]−{π2}[0, \pi] - \left\{\frac{\pi}{2}\right\} में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए sec⁡θ=−2\sec \theta = -2।

  2. वह कोण 2π3\frac{2 \pi}{3} है।

ध्यान देने योग्य

sec⁡−1\sec^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1} की शाखा [0,π][0, \pi] लेता है, इसलिए कोण π−π3\pi - \frac{\pi}{3} है।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡−1(−22)\cos^{-1}\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 50 के विकल्प

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उत्तरC · 3π4\frac{3 \pi}{4}

  1. शाखा [0,π][0, \pi] में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए cos⁡θ=−22\cos \theta = - \frac{\sqrt{2}}{2}।

  2. वह कोण 3π4\frac{3 \pi}{4} है।

ध्यान देने योग्य

cos⁡−1\cos^{-1} में ऋणात्मक निवेश π2\frac{\pi}{2} और π\pi के बीच कोण देता है: π−π4\pi - \frac{\pi}{4}।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cot⁡−1(33)\cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 51 के विकल्प

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उत्तरC · π3\frac{\pi}{3}

  1. शाखा (0,π)(0, \pi) में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए cot⁡θ=33\cot \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}।

  2. वह कोण π3\frac{\pi}{3} है।

ध्यान देने योग्य

cot⁡π6=3\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}; 13\frac{1}{\sqrt{3}}, cot⁡π3\cot \frac{\pi}{3} है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि cot⁡−1x=3π4\cot^{-1} x = \frac{3\pi}{4}, तो xx क्या है?

प्रश्न 52 के विकल्प

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उत्तरB · −1-1

  1. x=cot⁡3π4x = \cot \frac{3\pi}{4}, और 3π4\frac{3\pi}{4}, (0,π)(0, \pi) में है।

  2. cot⁡3π4=−1\cot \frac{3\pi}{4} = -1।

ध्यान देने योग्य

1, cot⁡π4\cot \frac{\pi}{4} है; π2\frac{\pi}{2} से आगे कोटिस्पर्शज्या ऋणात्मक होती है।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sec⁡−1(233)\sec^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 53 के विकल्प

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उत्तरB · π6\frac{\pi}{6}

  1. शाखा [0,π]−{π2}[0, \pi] - \left\{\frac{\pi}{2}\right\} में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए sec⁡θ=233\sec \theta = \frac{2 \sqrt{3}}{3}।

  2. वह कोण π6\frac{\pi}{6} है।

ध्यान देने योग्य

π3\frac{\pi}{3} की व्युत्क्रम कोज्या 2 है; 23\frac{2}{\sqrt{3}} का अर्थ कोज्या 32\frac{\sqrt{3}}{2} है।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cosec⁡−1(−233)\operatorname{cosec}^{-1}\left(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 54 के विकल्प

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उत्तरA · −π3- \frac{\pi}{3}

  1. शाखा [−π2,π2]−{0}\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\} में वह कोण θ\theta खोजिए जिसके लिए cosec⁡θ=−233\operatorname{cosec} \theta = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}।

  2. वह कोण −π3- \frac{\pi}{3} है।

ध्यान देने योग्य

cosec⁡4π3=−23\operatorname{cosec}\frac{4\pi}{3} = -\frac{2}{\sqrt{3}} भी है, पर शाखा [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] है।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से किसका मुख्य मान सबसे अधिक है?

प्रश्न 55 के विकल्प

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उत्तरD · cot⁡−1(−3)\cot^{-1}\left(-\sqrt{3}\right)

  1. cot⁡−1(−3)=5π6\cot^{-1}\left(-\sqrt{3}\right) = \frac{5\pi}{6}, cos⁡−1(−12)=2π3\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} और sin⁡−1(1)=π2\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}।

  2. tan⁡−1(1000)\tan^{-1}(1000), निवेश कितना भी बड़ा हो, π2\frac{\pi}{2} से कम रहता है; इसलिए 5π6\frac{5\pi}{6} सबसे अधिक है।

ध्यान देने योग्य

बड़ा निवेश बड़ा कोण नहीं देता: tan⁡−1\tan^{-1} का हर मान π2\frac{\pi}{2} से कम है।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना α=sin⁡−1(13)\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)।

इस α=sin⁡−1(13)\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) के पदों में cosec⁡−13\operatorname{cosec}^{-1} 3 क्या है?

प्रश्न 56 के विकल्प

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उत्तरC · α\alpha

  1. cosec⁡α=1sin⁡α=3\operatorname{cosec} \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = 3, और α\alpha, [−π2,π2]−{0}\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\} में है।

  2. इसलिए cosec⁡−13=α\operatorname{cosec}^{-1} 3 = \alpha।

ध्यान देने योग्य

1α\frac{1}{\alpha} में cosec⁡−1\operatorname{cosec}^{-1} को एक बटा कोण पढ़ा; यह वह कोण है जिसकी व्युत्क्रम ज्या 3 है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना α=sin⁡−1(13)\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)।

यह α=sin⁡−1(13)\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) किस अंतराल में है?

प्रश्न 57 के विकल्प

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उत्तरA · (0,π6)\left(0, \frac{\pi}{6}\right)

  1. sin⁡−1\sin^{-1} वर्धमान है, और 0<13<120 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}।

  2. इसलिए sin⁡−10<α<sin⁡−112\sin^{-1} 0 < \alpha < \sin^{-1} \frac{1}{2}, यानी 0<α<π60 < \alpha < \frac{\pi}{6}।

ध्यान देने योग्य

(π3,π2)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right) में cos⁡−1(13)\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) है; cos⁡−1\cos^{-1} ह्रासमान है, sin⁡−1\sin^{-1} वर्धमान।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): cot⁡−1(−1)=3π4\cot^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{4}।

कारण (R): हर x≠0x \ne 0 के लिए cot⁡−1x=tan⁡−11x\cot^{-1} x = \tan^{-1} \frac{1}{x}।

प्रश्न 58 के विकल्प

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उत्तरC · A सही है, लेकिन R गलत है।

  1. A सही है: cot⁡3π4=−1\cot \frac{3\pi}{4} = -1, और 3π4\frac{3\pi}{4}, (0,π)(0, \pi) में है।

  2. R गलत है: x=−1x = -1 पर यह tan⁡−1(−1)=−π4\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4} देता है, जो (0,π)(0, \pi) से बाहर है; यह नियम केवल x>0x > 0 के लिए है।

ध्यान देने योग्य

R में cot⁡−1\cot^{-1} के स्थान पर व्युत्क्रम का tan⁡−1\tan^{-1} लिया, जो ऋणात्मक निवेश को गलत शाखा पर ले जाता है।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि x≤−1x \le -1, तो sec⁡−1x\sec^{-1} x जो सभी मान लेता है, उनका समुच्चय क्या है?

प्रश्न 59 के विकल्प

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उत्तरA · (π2,π]\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]

  1. sec⁡−1x=cos⁡−11x\sec^{-1} x = \cos^{-1} \frac{1}{x}, और x≤−1x \le -1 के लिए 1x\frac{1}{x}, [−1,0)[-1, 0) में है।

  2. [−1,0)[-1, 0) की किसी संख्या का cos⁡−1\cos^{-1}, (π2,π]\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] में है; sec⁡−1(−1)=π\sec^{-1}(-1) = \pi शामिल है, π2\frac{\pi}{2} नहीं।

ध्यान देने योग्य

[−π2,0)\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) में sec⁡−1\sec^{-1} को ऋणात्मक कोण दिया; उसकी शाखा cos⁡−1\cos^{-1} की तरह [0,π][0, \pi] है।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा किसी भी निवेश पर किसी भी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान नहीं है?

प्रश्न 60 के विकल्प

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उत्तरD · 5π4\frac{5\pi}{4}

  1. हर मुख्य शाखा [−π2,π]\left[-\frac{\pi}{2}, \pi\right] के भीतर है।

  2. 3π4=cos⁡−1(−12)\frac{3\pi}{4} = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right), −π4=sin⁡−1(−12)-\frac{\pi}{4} = \sin^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right), π2=cos⁡−10\frac{\pi}{2} = \cos^{-1} 0; पर 5π4>π\frac{5\pi}{4} > \pi।

ध्यान देने योग्य

3π4\frac{3\pi}{4}, π2\frac{\pi}{2} से ऊपर है पर फिर भी cos⁡−1\cos^{-1} की शाखा [0,π][0, \pi] में है।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर व्यंजक को सूची II में उसके मुख्य मान से मिलाइए।

सूची Iसूची II
A. sin⁡−1(32)\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)I. 2π3\frac{2 \pi}{3}
B. cos⁡−1(−12)\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)II. 3π4\frac{3 \pi}{4}
C. tan⁡−1(−13)\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)III. π3\frac{\pi}{3}
D. cot⁡−1(−1)\cot^{-1}(-1)IV. −π6- \frac{\pi}{6}
प्रश्न 61 के विकल्प

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उत्तरA · A-III, B-I, C-IV, D-II

  1. sin⁡−132=π3\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} और tan⁡−1(−13)=−π6\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}, 0 के आसपास की शाखाओं पर।

  2. cos⁡−1(−12)=2π3\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} और cot⁡−1(−1)=3π4\cot^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{4}, (0,π)(0, \pi) में।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना α=sin⁡−1(13)\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)।

इस α=sin⁡−1(13)\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) के पदों में cos⁡−1(−13)\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) क्या है?

प्रश्न 62 के विकल्प

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उत्तरD · π2+α\frac{\pi}{2} + \alpha

  1. cos⁡−1(13)=π2−sin⁡−1(13)=π2−α\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{2} - \alpha।

  2. cos⁡−1(−13)=π−(π2−α)=π2+α\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{\pi}{2} + \alpha।

ध्यान देने योग्य

π−α\pi - \alpha में cos⁡−1\cos^{-1} का नियम α\alpha पर लगाया, जो sin⁡−1\sin^{-1} का मान है; पहले cos⁡−1(13)\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) को π2−α\frac{\pi}{2} - \alpha लिखिए।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cot⁡−1(3−2)\cot^{-1}\left(\sqrt{3} - 2\right) का मुख्य मान क्या है?

प्रश्न 63 के विकल्प

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उत्तरC · 7π12\frac{7 \pi}{12}

  1. 3−2=−(2−3)\sqrt{3} - 2 = -\left(2 - \sqrt{3}\right), और 2−3=tan⁡π12=cot⁡5π122 - \sqrt{3} = \tan \frac{\pi}{12} = \cot \frac{5\pi}{12}।

  2. (0,π)(0, \pi) पर ऋणात्मक कोटिस्पर्शज्या के लिए कोण π−5π12=7π12\pi - \frac{5\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} चाहिए।

ध्यान देने योग्य

−5π12-\frac{5\pi}{12} की कोटिस्पर्शज्या सही है पर वह ऋणात्मक है; cot⁡−1\cot^{-1} कभी ऋणात्मक कोण नहीं लौटाता।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. हर वास्तविक xx के लिए tan⁡−1(−x)=−tan⁡−1x\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x।

II. हर वास्तविक xx के लिए cot⁡−1(−x)=−cot⁡−1x\cot^{-1}(-x) = -\cot^{-1} x।

III. ∣x∣≥1\lvert x \rvert \ge 1 के लिए sec⁡−1(−x)=π−sec⁡−1x\sec^{-1}(-x) = \pi - \sec^{-1} x।

IV. ∣x∣≥1\lvert x \rvert \ge 1 के लिए cosec⁡−1(−x)=π−cosec⁡−1x\operatorname{cosec}^{-1}(-x) = \pi - \operatorname{cosec}^{-1} x।

प्रश्न 64 के विकल्प

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उत्तरC · केवल I और III

  1. tan⁡−1\tan^{-1} और cosec⁡−1\operatorname{cosec}^{-1} की शाखाएँ 0 के सापेक्ष सममित हैं, इसलिए ऋणात्मक निवेश केवल चिह्न बदलता है: I सही है, IV गलत है (cosec⁡−1(−1)=−π2\operatorname{cosec}^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2}, न कि π2\frac{\pi}{2})।

  2. cot⁡−1\cot^{-1} और sec⁡−1\sec^{-1} की शाखाएँ [0,π][0, \pi] के भीतर हैं, इसलिए ऋणात्मक निवेश π\pi में से कोण घटाकर देता है: III सही है, II गलत है (cot⁡−1(−1)=3π4\cot^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{4}, न कि −π4-\frac{\pi}{4})।

ध्यान देने योग्य

IV में cosec⁡−1\operatorname{cosec}^{-1} को sec⁡−1\sec^{-1} का नियम दिया; उसकी शाखा sin⁡−1\sin^{-1} वाली है, 0 के आसपास।

प्रतिलोम फलनों के आलेख

19 प्रश्न

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र केवल [−1,1][-1, 1] पर परिभाषित एक फलन का आलेख दिखाता है, जो (−1,−π2)\left(-1, -\frac{\pi}{2}\right) से (1,π2)\left(1, \frac{\pi}{2}\right) तक बढ़ता है। यह कौन-सा फलन है?

एक वक्र जो (−1, −π/2) से (1, π/2) तक बढ़ता है
प्रश्न 65 के विकल्प

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उत्तरD · y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x

  1. प्रांत [−1,1][-1, 1] और मान −π2-\frac{\pi}{2} से π2\frac{\pi}{2} तक, बढ़ते हुए।

  2. यह sin⁡−1x\sin^{-1} x है, [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] पर sin⁡x\sin x का रेखा y=xy = x में दर्पण प्रतिबिंब।

ध्यान देने योग्य

sin⁡x\sin x स्वयं हर xx के लिए परिभाषित है और केवल [−1,1][-1, 1] में मान लेता है: अक्षों की भूमिकाएँ अदल-बदल गई हैं।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x पर yy का अधिकतम मान क्या है?

प्रश्न 66 के विकल्प

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उत्तरC · π2\frac{\pi}{2}

  1. sin⁡−1\sin^{-1}, [−1,1][-1, 1] पर वर्धमान है, इसलिए उसका अधिकतम मान x=1x = 1 पर है।

  2. sin⁡−11=π2\sin^{-1} 1 = \frac{\pi}{2}।

ध्यान देने योग्य

1 अधिकतम xx है, अधिकतम yy नहीं।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

हर वास्तविक xx के लिए परिभाषित वक्र y=cot⁡−1xy = \cot^{-1} x पर विचार कीजिए, जिसके मान मुख्य शाखा (0,π)(0, \pi) पर हैं।

xx बढ़ने पर यह वक्र y=cot⁡−1xy = \cot^{-1} x कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 67 के विकल्प

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उत्तरC · xx बढ़ने पर यह पूरे समय घटता है।

  1. (0,π)(0, \pi) पर, θ\theta बढ़ने पर cot⁡θ\cot \theta घटता है, और हर वास्तविक मान एक बार लेता है।

  2. इसलिए बड़े xx के लिए छोटा कोण चाहिए: xx बढ़ने पर cot⁡−1x\cot^{-1} x हर जगह घटता है।

ध्यान देने योग्य

बढ़ने वाला वक्र y=tan⁡−1xy = \tan^{-1} x है; cot⁡−1\cot^{-1} एक घटते फलन को उलटता है, इसलिए वह भी घटता है।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बिंदु (p,π3)\left(p, \frac{\pi}{3}\right) वक्र y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x पर है। रेखा y=xy = x में उसका दर्पण प्रतिबिंब, वक्र y=sin⁡xy = \sin x, −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}, पर कौन-सा बिंदु है?

प्रश्न 68 के विकल्प

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उत्तरC · (π3,32)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

  1. sin⁡−1p=π3\sin^{-1} p = \frac{\pi}{3} से p=sin⁡π3=32p = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}।

  2. y=xy = x में परावर्तन निर्देशांकों को अदल-बदल देता है: (π3,32)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), और वास्तव में sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}।

ध्यान देने योग्य

(32,π3)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{3}\right) y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x का ही बिंदु है; उसका दर्पण प्रतिबिंब निर्देशांकों को अदल-बदल देता है।

प्रश्न 69

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. sin⁡−1x\sin^{-1} x, [−1,1][-1, 1] पर वर्धमान है।

II. cos⁡−1x\cos^{-1} x, [−1,1][-1, 1] पर ह्रासमान है।

III. वक्र y=cot⁡−1xy = \cot^{-1} x मूलबिंदु से होकर जाता है।

IV. वक्र y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x, रेखा y=xy = x में, y=sin⁡xy = \sin x, −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}, का दर्पण प्रतिबिंब है।

प्रश्न 69 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I, II और IV

  1. I, II और IV सही हैं: प्रतिलोम जिस शाखा को उलटता है उसकी दिशा बनाए रखता है, और उसका आलेख उस शाखा का y=xy = x में प्रतिबिंब है।

  2. III गलत है: cot⁡−10=π2\cot^{-1} 0 = \frac{\pi}{2}, इसलिए आलेख yy-अक्ष से (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) पर मिलता है।

ध्यान देने योग्य

III में cot⁡−1\cot^{-1} को tan⁡−1\tan^{-1} से मिला दिया, जो मूलबिंदु से होकर जाता है।

प्रश्न 70

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. वक्र y=cos⁡−1xy = \cos^{-1} x, (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) से होकर जाता है।

II. वक्र y=sec⁡−1xy = \sec^{-1} x, (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) से होकर जाता है।

प्रश्न 70 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I सही है: cos⁡−10=π2\cos^{-1} 0 = \frac{\pi}{2}।

  2. II गलत है: 0, sec⁡−1\sec^{-1} के प्रांत में नहीं, जिसे ∣x∣≥1\lvert x \rvert \ge 1 चाहिए।

ध्यान देने योग्य

sec⁡−1\sec^{-1} के आलेख में (−1,1)(-1, 1) के ऊपर रिक्त स्थान है।

प्रश्न 71

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): वक्र y=tan⁡−1xy = \tan^{-1} x रेखा y=π2y = \frac{\pi}{2} से कभी नहीं मिलता।

कारण (R): tan⁡−1x\tan^{-1} x का परिसर खुला अंतराल (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) है।

प्रश्न 71 के विकल्प

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उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

  1. A सही है: xx बढ़ने पर आलेख y=π2y = \frac{\pi}{2} के और निकट आता जाता है।

  2. R सही है और A की व्याख्या करता है: π2\frac{\pi}{2}, tan⁡−1\tan^{-1} का कोई मान नहीं।

प्रश्न 72

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र एक फलन का आलेख दिखाता है जो (−1,π)(-1, \pi), (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) और (1,0)(1, 0) से होकर जाता है, और केवल [−1,1][-1, 1] पर परिभाषित है। यह कौन-सा फलन है?

एक वक्र जो (−1, π) से (0, π/2) होकर (1, 0) तक घटता है
प्रश्न 72 के विकल्प

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उत्तरD · y=cos⁡−1xy = \cos^{-1} x

  1. केवल [−1,1][-1, 1] पर परिभाषित: sin⁡−1\sin^{-1} या cos⁡−1\cos^{-1}।

  2. यह π\pi से 0 तक घटता है, और cos⁡−11=0\cos^{-1} 1 = 0, cos⁡−1(−1)=π\cos^{-1}(-1) = \pi: यह cos⁡−1x\cos^{-1} x है।

ध्यान देने योग्य

sin⁡−1x\sin^{-1} x बढ़ता है, −π2-\frac{\pi}{2} से π2\frac{\pi}{2} तक।

प्रश्न 73

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र हर वास्तविक xx के लिए परिभाषित एक फलन का आलेख दिखाता है, जो मूलबिंदु से होकर जाता है और रेखाओं y=−π2y = -\frac{\pi}{2} और y=π2y = \frac{\pi}{2} के बीच बढ़ता है, उन तक पहुँचे बिना। यह कौन-सा फलन है?

एक वक्र जो मूलबिंदु से होकर, धराशायी रेखाओं y = −π/2 और y = π/2 के बीच बढ़ता है
प्रश्न 73 के विकल्प

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उत्तरA · y=tan⁡−1xy = \tan^{-1} x

  1. हर वास्तविक xx के लिए परिभाषित, मान (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) में: यह tan⁡−1\tan^{-1} है।

  2. यह मूलबिंदु से होकर जाता है, क्योंकि tan⁡−10=0\tan^{-1} 0 = 0।

ध्यान देने योग्य

cot⁡−1x\cot^{-1} x भी हर जगह परिभाषित है, पर यह घटता है, 0 और π\pi के बीच, और cot⁡−10=π2\cot^{-1} 0 = \frac{\pi}{2}।

प्रश्न 74

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र हर वास्तविक xx के लिए परिभाषित एक फलन का आलेख दिखाता है, जो (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) से होकर, रेखाओं y=0y = 0 और y=πy = \pi के बीच घटता है, उन तक पहुँचे बिना। यह कौन-सा फलन है?

एक वक्र जो (0, π/2) से होकर, x-अक्ष और धराशायी रेखा y = π के बीच घटता है
प्रश्न 74 के विकल्प

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उत्तरD · y=cot⁡−1xy = \cot^{-1} x

  1. हर जगह परिभाषित, मान (0,π)(0, \pi) में, और घटता हुआ: यह cot⁡−1\cot^{-1} है।

  2. यह yy-अक्ष को cot⁡−10=π2\cot^{-1} 0 = \frac{\pi}{2} पर काटता है।

ध्यान देने योग्य

π2+tan⁡−1x\frac{\pi}{2} + \tan^{-1} x का परिसर वही है, पर वह बढ़ता है।

प्रश्न 75

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

हर वास्तविक xx के लिए परिभाषित वक्र y=cot⁡−1xy = \cot^{-1} x पर विचार कीजिए, जिसके मान मुख्य शाखा (0,π)(0, \pi) पर हैं।

यह वक्र y=cot⁡−1xy = \cot^{-1} x, वक्र y=tan⁡−1xy = \tan^{-1} x से किस बिंदु पर मिलता है?

प्रश्न 75 के विकल्प

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उत्तरD · (1,π4)\left(1, \frac{\pi}{4}\right)

  1. उभयनिष्ठ बिंदु पर tan⁡−1x=cot⁡−1x=θ\tan^{-1} x = \cot^{-1} x = \theta, इसलिए tan⁡θ=x=cot⁡θ\tan \theta = x = \cot \theta और tan⁡2θ=1\tan^{2} \theta = 1।

  2. θ\theta दोनों शाखाओं में है, इसलिए (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) में: θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} और x=1x = 1।

ध्यान देने योग्य

x=−1x = -1 पर tan⁡−1(−1)=−π4\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}, जबकि cot⁡−1(−1)=3π4\cot^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{4}: वक्र वहाँ नहीं मिलते।

प्रश्न 76

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

हर वास्तविक xx के लिए परिभाषित वक्र y=cot⁡−1xy = \cot^{-1} x पर विचार कीजिए, जिसके मान मुख्य शाखा (0,π)(0, \pi) पर हैं।

यह वक्र y=cot⁡−1xy = \cot^{-1} x किस बिंदु के सापेक्ष सममित है?

प्रश्न 76 के विकल्प

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उत्तरC · (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right)

  1. cot⁡−1(−x)=π−cot⁡−1x\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1} x, इसलिए (x,y)(x, y) के साथ वक्र (−x,π−y)(-x, \pi - y) से भी होकर जाता है।

  2. उन दो बिंदुओं का मध्यबिंदु हर xx के लिए (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) है: वही सममिति का केंद्र है।

ध्यान देने योग्य

(0,0)(0, 0), y=tan⁡−1xy = \tan^{-1} x का केंद्र है, जहाँ tan⁡−1(−x)=−tan⁡−1x\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x।

प्रश्न 77

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र y=cosec⁡−1xy = \operatorname{cosec}^{-1} x के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. यह बिंदु (−1,−π2)\left(-1, -\frac{\pi}{2}\right) से होकर जाता है।

II. यह बिंदु (2,π3)\left(2, \frac{\pi}{3}\right) से होकर जाता है।

III. [1,∞)[1, \infty) पर xx बढ़ने पर यह घटता है।

IV. (−∞,−1](-\infty, -1] पर xx बढ़ने पर यह घटता है।

प्रश्न 77 के विकल्प

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उत्तरD · केवल I, III और IV

  1. cosec⁡(−π2)=−1\operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1, इसलिए I सही है; cosec⁡π3=23\operatorname{cosec} \frac{\pi}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}, न कि 2, इसलिए II गलत है।

  2. cosec⁡−1x=sin⁡−11x\operatorname{cosec}^{-1} x = \sin^{-1} \frac{1}{x}: हर भाग पर xx बढ़ने पर 1x\frac{1}{x} घटता है और sin⁡−1\sin^{-1} वही क्रम रखता है, इसलिए वक्र घटता है, π2\frac{\pi}{2} से 0 की ओर और 0 के पास से −π2-\frac{\pi}{2} तक। III और IV सही हैं।

ध्यान देने योग्य

II में cosec⁡−1\operatorname{cosec}^{-1} को sec⁡−1\sec^{-1} से मिला दिया: sec⁡−12=π3\sec^{-1} 2 = \frac{\pi}{3}, पर cosec⁡−12=π6\operatorname{cosec}^{-1} 2 = \frac{\pi}{6}।

प्रश्न 78

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): वक्र y=cos⁡−1xy = \cos^{-1} x, xx-अक्ष पर या उसके ऊपर है।

कारण (R): cos⁡−1x\cos^{-1} x केवल −1≤x≤1-1 \le x \le 1 के लिए परिभाषित है।

प्रश्न 78 के विकल्प

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उत्तरB · A और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।

  1. A सही है: cos⁡−1\cos^{-1} का हर मान [0,π][0, \pi] में है, इसलिए वक्र के हर बिंदु पर y≥0y \ge 0।

  2. R भी सही है, पर यह xx को सीमित करता है, यानी वक्र बाएँ-दाएँ कितना फैला है; A, yy के बारे में है और परिसर से आता है।

ध्यान देने योग्य

R प्रांत है: यह बताता है कि वक्र x=±1x = \pm 1 पर क्यों रुकता है, यह नहीं कि वह xx-अक्ष से ऊपर क्यों रहता है।

प्रश्न 79

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. वक्र y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x और y=cos⁡−1xy = \cos^{-1} x, रेखा y=xy = x में एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हैं।

II. वक्र y=tan⁡−1xy = \tan^{-1} x और y=cot⁡−1xy = \cot^{-1} x, रेखा y=π4y = \frac{\pi}{4} में एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हैं।

प्रश्न 79 के विकल्प

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उत्तरB · केवल II

  1. I: y=xy = x में y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x का दर्पण प्रतिबिंब y=sin⁡xy = \sin x, −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}, है, जो [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] पर फैला है, [−1,1][-1, 1] पर नहीं। गलत।

  2. II: cot⁡−1x=π2−tan⁡−1x\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x, इसलिए हर xx पर दोनों ऊँचाइयाँ π4\frac{\pi}{4} से बराबर ऊपर और नीचे हैं। सही।

ध्यान देने योग्य

y=xy = x में परावर्तन किसी वक्र को उसके प्रतिलोम के वक्र में बदलता है, और cos⁡−1\cos^{-1}, sin⁡−1\sin^{-1} का प्रतिलोम नहीं है।

प्रश्न 80

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. वक्र y=sec⁡−1xy = \sec^{-1} x पर −1<x<1-1 < x < 1 वाला कोई बिंदु नहीं।

II. वक्र y=cos⁡−1xy = \cos^{-1} x, yy-अक्ष के सापेक्ष सममित है।

प्रश्न 80 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I: sec⁡−1\sec^{-1} को ∣x∣≥1\lvert x \rvert \ge 1 चाहिए। सही।

  2. II: cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x, न कि cos⁡−1x\cos^{-1} x; वक्र बिंदु (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) के सापेक्ष सममित है, अक्ष के नहीं। गलत।

ध्यान देने योग्य

cos⁡x\cos x, yy-अक्ष के सापेक्ष सममित है, पर उसका प्रतिलोम नहीं।

प्रश्न 81

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

हर वास्तविक xx के लिए परिभाषित वक्र y=cot⁡−1xy = \cot^{-1} x पर विचार कीजिए, जिसके मान मुख्य शाखा (0,π)(0, \pi) पर हैं।

xx के किन मानों के लिए यह वक्र y=cot⁡−1xy = \cot^{-1} x रेखा y=π3y = \frac{\pi}{3} से नीचे है?

प्रश्न 81 के विकल्प

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उत्तरA · x>13x > \frac{1}{\sqrt{3}}

  1. वक्र रेखा से वहाँ मिलता है जहाँ x=cot⁡π3=13x = \cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}।

  2. xx बढ़ने पर वक्र घटता है, इसलिए वह उस बिंदु के दाईं ओर रेखा से नीचे है: x>13x > \frac{1}{\sqrt{3}}।

ध्यान देने योग्य

x<13x < \frac{1}{\sqrt{3}} में वक्र को बढ़ता हुआ माना; मिलन बिंदु के बाईं ओर वह रेखा से ऊपर है।

प्रश्न 82

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर वक्र को सूची II की उस क्षैतिज रेखा या उन रेखाओं से मिलाइए जिनके वह और निकट आता जाता है पर जिनसे कभी नहीं मिलता।

सूची Iसूची II
A. y=tan⁡−1xy = \tan^{-1} xI. केवल y=0y = 0
B. y=cot⁡−1xy = \cot^{-1} xII. केवल y=π2y = \frac{\pi}{2}
C. y=sec⁡−1xy = \sec^{-1} xIII. y=0y = 0 और y=πy = \pi
D. y=cosec⁡−1xy = \operatorname{cosec}^{-1} xIV. y=−π2y = -\frac{\pi}{2} और y=π2y = \frac{\pi}{2}
प्रश्न 82 के विकल्प

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उत्तरA · A-IV, B-III, C-II, D-I

  1. tan⁡−1\tan^{-1} और cot⁡−1\cot^{-1} हर xx के लिए परिभाषित हैं; x→±∞x \to \pm\infty होने पर वे अपने परिसरों के खुले छोरों, ±π2\pm\frac{\pi}{2} और 0,π0, \pi, के निकट जाते हैं।

  2. ∣x∣\lvert x \rvert बढ़ने पर 1x→0\frac{1}{x} \to 0: sec⁡−1x=cos⁡−11x→π2\sec^{-1} x = \cos^{-1} \frac{1}{x} \to \frac{\pi}{2} और cosec⁡−1x=sin⁡−11x→0\operatorname{cosec}^{-1} x = \sin^{-1} \frac{1}{x} \to 0, वह एक मान जो हर परिसर छोड़ता है।

ध्यान देने योग्य

sec⁡−1\sec^{-1} और cosec⁡−1\operatorname{cosec}^{-1} को अदल-बदल करना भूल जाता है कि कौन-सा परिसर कौन-सा मान छोड़ता है: sec⁡−1\sec^{-1} के लिए π2\frac{\pi}{2}, cosec⁡−1\operatorname{cosec}^{-1} के लिए 0।

प्रश्न 83

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): 0<x≤10 < x \le 1 के लिए, वक्र y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x रेखा y=xy = x से नीचे है।

कारण (R): वक्र y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x, रेखा y=xy = x में, y=sin⁡xy = \sin x, −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}, का दर्पण प्रतिबिंब है।

प्रश्न 83 के विकल्प

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उत्तरD · A गलत है, लेकिन R सही है।

  1. R सही है: sin⁡−1\sin^{-1} अपनी शाखा पर sin⁡\sin को उलटता है, जो xx और yy को अदल-बदल देता है।

  2. 0<x≤π20 < x \le \frac{\pi}{2} के लिए sin⁡x<x\sin x < x, इसलिए y=sin⁡xy = \sin x रेखा y=xy = x से नीचे है और उसका दर्पण प्रतिबिंब ऊपर; उदाहरण के लिए sin⁡−11=π2>1\sin^{-1} 1 = \frac{\pi}{2} > 1। A गलत है।

ध्यान देने योग्य

A को सही मानना भूल जाता है कि y=xy = x में परावर्तन नीचे को ऊपर में बदल देता है।

व्यंजकों के मान

37 प्रश्न

प्रश्न 84

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡−1(12)+2sin⁡−1(12)\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + 2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) का मान क्या है?

प्रश्न 84 के विकल्प

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उत्तरC · 2π3\frac{2 \pi}{3}

  1. हर मुख्य मान उसकी अपनी शाखा पर लीजिए।

  2. π3+2×π6=2π3\frac{\pi}{3} + 2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}।

ध्यान देने योग्य

π2\frac{\pi}{2} में π3+π6\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} जोड़ा, गुणक 2 भूलकर।

प्रश्न 85

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना θ=cos⁡−1(−35)\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right)।

यह θ=cos⁡−1(−35)\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right) किस अंतराल में है?

प्रश्न 85 के विकल्प

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उत्तरD · (π2,π)\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

  1. cos⁡−1\cos^{-1} के मान [0,π][0, \pi] में हैं।

  2. [0,π][0, \pi] पर ऋणात्मक कोज्या का अर्थ अधिक कोण: (π2,π)\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)।

ध्यान देने योग्य

(−π2,0)\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) में ऋणात्मक संख्या का sin⁡−1\sin^{-1} होता है, cos⁡−1\cos^{-1} नहीं।

प्रश्न 86

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

2sin⁡−1(12)+cos⁡−1(−12)2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) का मान क्या है?

प्रश्न 86 के विकल्प

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उत्तरD · π\pi

  1. 2×π6=π32 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} और cos⁡−1(−12)=2π3\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}।

  2. π3+2π3=π\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi।

ध्यान देने योग्य

0 में cos⁡−1(−12)\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) को −π3-\frac{\pi}{3} लिया।

प्रश्न 87

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sin⁡(sin⁡−127+cos⁡−127)\sin\left(\sin^{-1} \frac{2}{7} + \cos^{-1} \frac{2}{7}\right) का मान क्या है?

प्रश्न 87 के विकल्प

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उत्तरC · 11

  1. sin⁡−127+cos⁡−127=π2\sin^{-1} \frac{2}{7} + \cos^{-1} \frac{2}{7} = \frac{\pi}{2}, क्योंकि 27\frac{2}{7}, [−1,1][-1, 1] में है।

  2. sin⁡π2=1\sin \frac{\pi}{2} = 1।

ध्यान देने योग्य

2+357\frac{2 + 3\sqrt{5}}{7} में हर पद की ज्या लेकर जोड़ा; योग की ज्या, ज्याओं का योग नहीं होती।

प्रश्न 88

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sin⁡−1(sin⁡2π3)\sin^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right) क्या है?

प्रश्न 88 के विकल्प

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उत्तरB · π3\frac{\pi}{3}

  1. sin⁡2π3=32\sin \frac{2 \pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}।

  2. उस sin वाला मुख्य मान π3\frac{\pi}{3} है।

ध्यान देने योग्य

2π3\frac{2\pi}{3}, [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] से बाहर है, इसलिए sin⁡−1\sin^{-1} उसे नहीं लौटा सकता।

प्रश्न 89

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡(sin⁡−135)\cos\left(\sin^{-1} \frac{3}{5}\right) का मान क्या है?

प्रश्न 89 के विकल्प

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उत्तरD · 45\frac{4}{5}

  1. माना θ=sin⁡−135\theta = \sin^{-1} \frac{3}{5}, तो sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5} और θ\theta, [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] में है, जहाँ cos⁡θ≥0\cos \theta \ge 0।

  2. cos⁡θ=1−925=45\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}।

ध्यान देने योग्य

−45-\frac{4}{5} में गलत चिह्न लिया; sin⁡−1\sin^{-1} की शाखा पर कोज्या कभी ऋणात्मक नहीं।

प्रश्न 90

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

tan⁡−1(1)+cos⁡−1(−12)+sin⁡−1(−12)\tan^{-1}(1) + \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) का मान क्या है?

प्रश्न 90 के विकल्प

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उत्तरC · 3π4\frac{3 \pi}{4}

  1. हर मुख्य मान उसकी अपनी शाखा पर लीजिए।

  2. π4+2π3−π6=3π+8π−2π12=3π4\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 8\pi - 2\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}।

ध्यान देने योग्य

π4\frac{\pi}{4} में cos⁡−1(−12)\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) को −π3-\frac{\pi}{3} लिया; [0,π][0, \pi] पर यह 2π3\frac{2\pi}{3} है।

प्रश्न 91

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

tan⁡−1(tan⁡3π4)\tan^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right) क्या है?

प्रश्न 91 के विकल्प

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उत्तरA · −π4- \frac{\pi}{4}

  1. tan⁡3π4=−1\tan \frac{3 \pi}{4} = -1।

  2. उस tan वाला मुख्य मान −π4- \frac{\pi}{4} है।

ध्यान देने योग्य

3π4\frac{3\pi}{4}, (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) से बाहर है; tan⁡\tan हर π\pi पर दोहराता है, इसलिए π\pi घटाइए।

प्रश्न 92

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

tan⁡(cos⁡−1513)\tan\left(\cos^{-1} \frac{5}{13}\right) का मान क्या है?

प्रश्न 92 के विकल्प

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उत्तरD · 125\frac{12}{5}

  1. माना θ=cos⁡−1513\theta = \cos^{-1} \frac{5}{13}: आसन्न 5, कर्ण 13, इसलिए सम्मुख 169−25=12\sqrt{169 - 25} = 12।

  2. tan⁡θ=125\tan \theta = \frac{12}{5}, धनात्मक क्योंकि θ\theta न्यून है।

ध्यान देने योग्य

512\frac{5}{12} आसन्न बटा सम्मुख है, कोटिस्पर्शज्या।

प्रश्न 93

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sin⁡−1(−12)+cos⁡−1(−12)\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) + \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) का मान क्या है?

प्रश्न 93 के विकल्प

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उत्तरC · π2\frac{\pi}{2}

  1. हर मुख्य मान उसकी अपनी शाखा पर लीजिए।

  2. −π6+2π3=π2-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2}।

ध्यान देने योग्य

−π2-\frac{\pi}{2} में दोनों मान ऋणात्मक लिए; cos⁡−1(−12)=2π3\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}।

प्रश्न 94

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि [−1,1][-1, 1] के किसी xx के लिए sin⁡−1x=π5\sin^{-1} x = \frac{\pi}{5}, तो cos⁡−1x\cos^{-1} x क्या है?

प्रश्न 94 के विकल्प

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उत्तरC · 3π10\frac{3 \pi}{10}

  1. [−1,1][-1, 1] के हर xx के लिए sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}।

  2. cos⁡−1x=π2−π5=3π10\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{10}।

ध्यान देने योग्य

4π5\frac{4\pi}{5} में कुल के रूप में π2\frac{\pi}{2} के स्थान पर π\pi लिया।

प्रश्न 95

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sin⁡−1(sin⁡4π5)\sin^{-1}\left(\sin \frac{4 \pi}{5}\right) क्या है?

प्रश्न 95 के विकल्प

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उत्तरB · π5\frac{\pi}{5}

  1. sin⁡4π5=58−58\sin \frac{4 \pi}{5} = \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}।

  2. उस sin वाला मुख्य मान π5\frac{\pi}{5} है।

ध्यान देने योग्य

4π5\frac{4\pi}{5} शाखा से बाहर है; उस पर उसी ज्या वाला कोण π−4π5\pi - \frac{4\pi}{5} है।

प्रश्न 96

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

tan⁡(sin⁡−1513)\tan\left(\sin^{-1} \frac{5}{13}\right) का मान क्या है?

प्रश्न 96 के विकल्प

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उत्तरB · 512\frac{5}{12}

  1. माना θ=sin⁡−1513\theta = \sin^{-1} \frac{5}{13}: सम्मुख 5, कर्ण 13, इसलिए आसन्न 169−25=12\sqrt{169 - 25} = 12।

  2. tan⁡θ=512\tan \theta = \frac{5}{12}।

ध्यान देने योग्य

125\frac{12}{5} आसन्न बटा सम्मुख है।

प्रश्न 97

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

tan⁡−1(tan⁡7π6)\tan^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right) क्या है?

प्रश्न 97 के विकल्प

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उत्तरB · π6\frac{\pi}{6}

  1. tan⁡7π6=33\tan \frac{7 \pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}।

  2. उस tan वाला मुख्य मान π6\frac{\pi}{6} है।

ध्यान देने योग्य

tan⁡\tan हर π\pi पर दोहराता है: 7π6−π=π6\frac{7\pi}{6} - \pi = \frac{\pi}{6} शाखा पर है।

प्रश्न 98

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡(2sin⁡−112)\cos\left(2\sin^{-1} \frac{1}{2}\right) का मान क्या है?

प्रश्न 98 के विकल्प

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उत्तरB · 12\frac{1}{2}

  1. sin⁡−112=π6\sin^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}, इसलिए कोण π3\frac{\pi}{3} है।

  2. cos⁡π3=12\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}।

ध्यान देने योग्य

32\frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡π6\cos \frac{\pi}{6} है, गुणक 2 भूलकर।

प्रश्न 99

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना θ=cos⁡−1(−35)\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right)।

इस θ=cos⁡−1(−35)\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right) के लिए sin⁡θ\sin \theta क्या है?

प्रश्न 99 के विकल्प

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उत्तरD · 45\frac{4}{5}

  1. sin⁡2θ=1−925=1625\sin^{2} \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}।

  2. θ\theta, (0,π)(0, \pi) में है, जहाँ ज्या धनात्मक है: 45\frac{4}{5}।

ध्यान देने योग्य

−45-\frac{4}{5} में कोज्या से ऋण चिह्न लिया; [0,π][0, \pi] पर ज्या कभी ऋणात्मक नहीं।

प्रश्न 100

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना θ=cos⁡−1(−35)\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right)।

इस θ=cos⁡−1(−35)\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right) के लिए tan⁡θ\tan \theta क्या है?

प्रश्न 100 के विकल्प

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उत्तरA · −43- \frac{4}{3}

  1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=4/5−3/5\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{4/5}{-3/5}।

  2. −43-\frac{4}{3}।

ध्यान देने योग्य

43\frac{4}{3} में चिह्न खो गया: अधिक कोण की स्पर्शज्या ऋणात्मक होती है।

प्रश्न 101

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. हर वास्तविक xx के लिए sin⁡−1(sin⁡x)=x\sin^{-1}(\sin x) = x।

II. −1≤x≤1-1 \le x \le 1 वाले हर xx के लिए sin⁡(sin⁡−1x)=x\sin\left(\sin^{-1} x\right) = x।

III. −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} वाले हर xx के लिए cos⁡−1(cos⁡x)=x\cos^{-1}(\cos x) = x।

IV. हर वास्तविक xx के लिए tan⁡(tan⁡−1x)=x\tan\left(\tan^{-1} x\right) = x।

प्रश्न 101 के विकल्प

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उत्तरA · केवल II और IV

  1. कोई फलन अपने ही प्रतिलोम पर लगाने से, जहाँ प्रतिलोम परिभाषित है वहाँ, xx लौटाता है: II और IV सही हैं।

  2. दूसरा क्रम xx केवल शाखा पर लौटाता है: sin⁡−1(sin⁡π)=0\sin^{-1}(\sin \pi) = 0, इसलिए I गलत है; cos⁡−1(cos⁡(−π4))=π4\cos^{-1}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{\pi}{4}, इसलिए III गलत है।

ध्यान देने योग्य

III में sin⁡−1\sin^{-1} की शाखा ली; cos⁡−1\cos^{-1} केवल [0,π][0, \pi] के कोण लौटाता है, कभी ऋणात्मक नहीं।

प्रश्न 102

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

tan⁡−1(−5)+cot⁡−1(−5)\tan^{-1}(-5) + \cot^{-1}(-5) का मान क्या है?

प्रश्न 102 के विकल्प

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उत्तरC · π2\frac{\pi}{2}

  1. माना θ=tan⁡−1(−5)\theta = \tan^{-1}(-5), जो (−π2,0)\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) में है। तब π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta, (0,π)(0, \pi) में है और cot⁡(π2−θ)=tan⁡θ=−5\cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan \theta = -5।

  2. इसलिए cot⁡−1(−5)=π2−θ\cot^{-1}(-5) = \frac{\pi}{2} - \theta, और योग π2\frac{\pi}{2} है, जैसा हर वास्तविक निवेश के लिए होता है।

ध्यान देने योग्य

−π2-\frac{\pi}{2} में cot⁡−1(−5)\cot^{-1}(-5) को tan⁡−1(−15)\tan^{-1}\left(-\frac{1}{5}\right) लिखा, जो शाखा (0,π)(0, \pi) से बाहर का ऋणात्मक कोण है।

प्रश्न 103

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. ∣x∣≤1\lvert x \rvert \le 1 वाले हर xx के लिए sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}।

II. ∣x∣≥1\lvert x \rvert \ge 1 वाले हर xx के लिए sec⁡−1x+cosec⁡−1x=π2\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}।

प्रश्न 103 के विकल्प

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उत्तरC · I और II दोनों

  1. I: यदि sin⁡−1x=θ\sin^{-1} x = \theta, तो cos⁡(π2−θ)=x\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = x और π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta, [0,π][0, \pi] में है, इसलिए cos⁡−1x=π2−θ\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \theta। सही।

  2. II: sec⁡−1x=cos⁡−11x\sec^{-1} x = \cos^{-1} \frac{1}{x} और cosec⁡−1x=sin⁡−11x\operatorname{cosec}^{-1} x = \sin^{-1} \frac{1}{x}, और 1x\frac{1}{x}, [−1,1][-1, 1] में है; इसलिए II, 1x\frac{1}{x} पर लागू I ही है। सही।

ध्यान देने योग्य

II पर संदेह यह नहीं देखता कि sec⁡−1\sec^{-1} और cosec⁡−1\operatorname{cosec}^{-1}, व्युत्क्रम के cos⁡−1\cos^{-1} और sin⁡−1\sin^{-1} हैं।

प्रश्न 104

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि cos⁡−1x=2sin⁡−1x\cos^{-1} x = 2\sin^{-1} x, तो xx क्या है?

प्रश्न 104 के विकल्प

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उत्तरB · 12\frac{1}{2}

  1. cos⁡−1x=π2−sin⁡−1x\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x, इसलिए π2−sin⁡−1x=2sin⁡−1x\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x = 2\sin^{-1} x और sin⁡−1x=π6\sin^{-1} x = \frac{\pi}{6}।

  2. इसलिए x=sin⁡π6=12x = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}; जाँच: cos⁡−112=π3=2×π6\cos^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{\pi}{6}।

ध्यान देने योग्य

12\frac{1}{\sqrt{2}}, cos⁡−1x=sin⁡−1x\cos^{-1} x = \sin^{-1} x को हल करता है, गुणक 2 छोड़कर।

प्रश्न 105

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

−1≤x≤1-1 \le x \le 1 के लिए sin⁡(cos⁡−1x)\sin\left(\cos^{-1} x\right) क्या है?

प्रश्न 105 के विकल्प

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उत्तरD · 1−x2\sqrt{1 - x^{2}}

  1. माना θ=cos⁡−1x\theta = \cos^{-1} x, तो cos⁡θ=x\cos \theta = x और θ\theta, [0,π][0, \pi] में है, जहाँ sin⁡θ≥0\sin \theta \ge 0।

  2. sin⁡θ=1−cos⁡2θ=1−x2\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^{2} \theta} = \sqrt{1 - x^{2}}, धनात्मक मूल।

ध्यान देने योग्य

xx में sin⁡\sin को cos⁡−1\cos^{-1} का उलटा माना; केवल cos⁡\cos उसे उलटता है।

प्रश्न 106

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sec⁡2(tan⁡−12)+cosec⁡2(cot⁡−13)\sec^{2}\left(\tan^{-1} 2\right) + \operatorname{cosec}^{2}\left(\cot^{-1} 3\right) का मान क्या है?

प्रश्न 106 के विकल्प

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उत्तरD · 1515

  1. sec⁡2θ=1+tan⁡2θ\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta, इसलिए sec⁡2(tan⁡−12)=1+4=5\sec^{2}\left(\tan^{-1} 2\right) = 1 + 4 = 5।

  2. cosec⁡2ϕ=1+cot⁡2ϕ\operatorname{cosec}^{2} \phi = 1 + \cot^{2} \phi, इसलिए cosec⁡2(cot⁡−13)=1+9=10\operatorname{cosec}^{2}\left(\cot^{-1} 3\right) = 1 + 9 = 10; योग 15 है।

ध्यान देने योग्य

13 में केवल tan⁡2\tan^{2} और cot⁡2\cot^{2} जोड़े, 4+94 + 9, हर सर्वसमिका का 1 छोड़कर।

प्रश्न 107

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि sin⁡−1x+sin⁡−1y=π\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi, तो x+yx + y क्या है?

प्रश्न 107 के विकल्प

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उत्तरD · 22

  1. हर मुख्य मान अधिकतम π2\frac{\pi}{2} है, इसलिए π\pi का योग तभी जब दोनों π2\frac{\pi}{2} हों।

  2. इसलिए x=y=1x = y = 1 और x+y=2x + y = 2।

ध्यान देने योग्य

0 में समीकरण को ऐसे कोणों का माना जो कुछ भी हो सकते हैं; शाखा हर एक को π2\frac{\pi}{2} पर सीमित करती है।

प्रश्न 108

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): sin⁡−1(sin⁡5π6)=π6\sin^{-1}\left(\sin \frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}।

कारण (R): sin⁡−1(sin⁡θ)=θ\sin^{-1}(\sin \theta) = \theta केवल [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] में θ\theta के लिए।

प्रश्न 108 के विकल्प

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उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

  1. A सही है: sin⁡5π6=12\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}, और शाखा पर ज्या 12\frac{1}{2} वाला कोण π6\frac{\pi}{6} है।

  2. R सही है और बताता है कि उत्तर स्वयं 5π6\frac{5\pi}{6} क्यों नहीं।

प्रश्न 109

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. cos⁡−1(−12)=π−cos⁡−112\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \cos^{-1} \frac{1}{2}।

II. sin⁡−1(−12)=π−sin⁡−112\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \sin^{-1} \frac{1}{2}।

प्रश्न 109 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I: 2π3=π−π3\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}। सही।

  2. II: बायाँ पक्ष −π6-\frac{\pi}{6} है, दायाँ 5π6\frac{5\pi}{6}। गलत; sin⁡−1\sin^{-1} में ऋणात्मक निवेश केवल चिह्न बदलता है।

ध्यान देने योग्य

नियम π−…\pi - \ldots, शाखा [0,π][0, \pi] का है, [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] का नहीं।

प्रश्न 110

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

tan⁡−1(3)−sec⁡−1(−2)\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\right) - \sec^{-1}(-2) का मान क्या है?

प्रश्न 110 के विकल्प

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उत्तरA · −π3- \frac{\pi}{3}

  1. हर मुख्य मान उसकी अपनी शाखा पर लीजिए।

  2. π3−2π3=−π3\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}।

ध्यान देने योग्य

2π3\frac{2\pi}{3} में sec⁡−1(−2)\sec^{-1}(-2) को −π3-\frac{\pi}{3} लिया; [0,π][0, \pi] पर यह 2π3\frac{2\pi}{3} है।

प्रश्न 111

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡−1(cos⁡7π6)\cos^{-1}\left(\cos \frac{7 \pi}{6}\right) क्या है?

प्रश्न 111 के विकल्प

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उत्तरC · 5π6\frac{5 \pi}{6}

  1. cos⁡7π6=−32\cos \frac{7 \pi}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2}।

  2. उस cos वाला मुख्य मान 5π6\frac{5 \pi}{6} है।

ध्यान देने योग्य

7π6\frac{7\pi}{6}, π\pi से अधिक है, cos⁡−1\cos^{-1} की शाखा से बाहर।

प्रश्न 112

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

sin⁡(π3−sin⁡−1(−12))\sin\left(\frac{\pi}{3} - \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right) का मान क्या है?

प्रश्न 112 के विकल्प

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उत्तरD · 11

  1. sin⁡−1(−12)=−π6\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}, इसलिए कोण π3+π6=π2\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} है।

  2. sin⁡π2=1\sin \frac{\pi}{2} = 1।

ध्यान देने योग्य

12\frac{1}{2}, sin⁡π6\sin\frac{\pi}{6} है, π6\frac{\pi}{6} घटाने से, जबकि ऋण चिह्न इसे योग बना देता है।

प्रश्न 113

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि cos⁡−1x+cos⁡−1y+cos⁡−1z=3π\cos^{-1} x + \cos^{-1} y + \cos^{-1} z = 3\pi, तो x+y+zx + y + z क्या है?

प्रश्न 113 के विकल्प

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उत्तरA · −3-3

  1. हर cos⁡−1\cos^{-1} अधिकतम π\pi है, इसलिए तीनों π\pi के बराबर हों।

  2. cos⁡−1x=π\cos^{-1} x = \pi से x=−1x = -1; इसलिए x+y+z=−3x + y + z = -3।

ध्यान देने योग्य

3 में cos⁡−11=π\cos^{-1} 1 = \pi लिया; वास्तव में cos⁡−11=0\cos^{-1} 1 = 0 और cos⁡−1(−1)=π\cos^{-1}(-1) = \pi।

प्रश्न 114

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cot⁡−1(−1)+tan⁡−1(−1)\cot^{-1}(-1) + \tan^{-1}(-1) का मान क्या है?

प्रश्न 114 के विकल्प

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उत्तरC · π2\frac{\pi}{2}

  1. हर मुख्य मान उसकी अपनी शाखा पर लीजिए।

  2. 3π4−π4=π2\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}।

ध्यान देने योग्य

0 में cot⁡−1(−1)\cot^{-1}(-1) को −π4-\frac{\pi}{4} लिया, जो उसकी शाखा (0,π)(0, \pi) से बाहर है।

प्रश्न 115

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡(tan⁡−134)\cos\left(\tan^{-1} \frac{3}{4}\right) का मान क्या है?

प्रश्न 115 के विकल्प

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उत्तरC · 45\frac{4}{5}

  1. माना θ=tan⁡−134\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4}: सम्मुख 3, आसन्न 4, कर्ण 5।

  2. cos⁡θ=45\cos \theta = \frac{4}{5}।

ध्यान देने योग्य

35\frac{3}{5} उसी कोण की ज्या है।

प्रश्न 116

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना θ=cos⁡−1(−35)\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right)।

cos⁡−1(35)\cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) इस θ=cos⁡−1(−35)\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right) से कैसे संबंधित है?

प्रश्न 116 के विकल्प

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उत्तरA · cos⁡−1(35)=π−θ\cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \pi - \theta

  1. cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x, इसलिए θ=π−cos⁡−1(35)\theta = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)।

  2. अतः cos⁡−1(35)=π−θ\cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \pi - \theta।

ध्यान देने योग्य

−θ-\theta, sin⁡−1\sin^{-1} का नियम है, cos⁡−1\cos^{-1} का नहीं।

प्रश्न 117

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡−1(cos⁡(−π3))\cos^{-1}\left(\cos \left(- \frac{\pi}{3}\right)\right) क्या है?

प्रश्न 117 के विकल्प

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उत्तरB · π3\frac{\pi}{3}

  1. cos⁡(−π3)=12\cos \left(- \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}।

  2. उस cos वाला मुख्य मान π3\frac{\pi}{3} है।

ध्यान देने योग्य

−π3-\frac{\pi}{3} ऋणात्मक है, और cos⁡−1\cos^{-1} कभी ऋणात्मक कोण नहीं लौटाता; cos⁡(−π3)=cos⁡π3\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3}।

प्रश्न 118

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

−1≤x≤1-1 \le x \le 1 के लिए (sin⁡−1x)2+(cos⁡−1x)2\left(\sin^{-1} x\right)^{2} + \left(\cos^{-1} x\right)^{2} का न्यूनतम मान क्या है?

प्रश्न 118 के विकल्प

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उत्तरB · π28\frac{\pi^{2}}{8}

  1. माना s=sin⁡−1xs = \sin^{-1} x, जो [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] में है; तब cos⁡−1x=π2−s\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - s।

  2. s2+(π2−s)2=2(s−π4)2+π28s^{2} + \left(\frac{\pi}{2} - s\right)^{2} = 2\left(s - \frac{\pi}{4}\right)^{2} + \frac{\pi^{2}}{8}।

  3. यह s=π4s = \frac{\pi}{4} पर न्यूनतम है, यानी x=12x = \frac{1}{\sqrt{2}} पर: न्यूनतम मान π28\frac{\pi^{2}}{8} है।

ध्यान देने योग्य

π24\frac{\pi^{2}}{4} में एक पद 0 किया, x=0x = 0 या x=1x = 1 पर, पर तब दूसरा (π2)2\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} है; दो बराबर भाग कम देते हैं।

प्रश्न 119

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर व्यंजक को सूची II में उसके मान से मिलाइए।

सूची Iसूची II
A. sin⁡−1(sin⁡3)\sin^{-1}(\sin 3)I. 2π−42\pi - 4
B. cos⁡−1(cos⁡4)\cos^{-1}(\cos 4)II. π−3\pi - 3
C. tan⁡−1(tan⁡2)\tan^{-1}(\tan 2)III. π−1\pi - 1
D. cot⁡−1(cot⁡(−1))\cot^{-1}\left(\cot(-1)\right)IV. 2−π2 - \pi
प्रश्न 119 के विकल्प

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उत्तरA · A-II, B-I, C-IV, D-III

  1. sin⁡(π−3)=sin⁡3\sin(\pi - 3) = \sin 3 और π−3\pi - 3, [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] में है; cos⁡(2π−4)=cos⁡4\cos(2\pi - 4) = \cos 4 और 2π−42\pi - 4, [0,π][0, \pi] में है।

  2. tan⁡(2−π)=tan⁡2\tan(2 - \pi) = \tan 2 और 2−π2 - \pi, (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) में है; cot⁡(π−1)=cot⁡(−1)\cot(\pi - 1) = \cot(-1) और π−1\pi - 1, (0,π)(0, \pi) में है।

ध्यान देने योग्य

sin⁡−1(sin⁡3)\sin^{-1}(\sin 3) और cos⁡−1(cos⁡4)\cos^{-1}(\cos 4) के मान अदल-बदल करना भूल जाता है कि 4 कहाँ है: यह π\pi और 2π2\pi के बीच है, इसलिए [0,π][0, \pi] पर उसी कोज्या वाला कोण 2π−42\pi - 4 है।

प्रश्न 120

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

cos⁡(2tan⁡−112)\cos\left(2\tan^{-1} \frac{1}{2}\right) का मान क्या है?

प्रश्न 120 के विकल्प

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उत्तरB · 35\frac{3}{5}

  1. माना θ=tan⁡−112\theta = \tan^{-1} \frac{1}{2}: सम्मुख 1, आसन्न 2, कर्ण 5\sqrt{5}, इसलिए cos⁡θ=25\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}।

  2. cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1=85−1=35\cos 2\theta = 2\cos^{2} \theta - 1 = \frac{8}{5} - 1 = \frac{3}{5}।

ध्यान देने योग्य

45\frac{4}{5}, sin⁡2θ=2tan⁡θ1+tan⁡2θ\sin 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 + \tan^{2} \theta} है, दोगुने कोण की ज्या, उसकी कोज्या नहीं।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।