संबंध और फलन CUET गणित के Section B1 की शुरुआत करते हैं, वह सेक्शन जो आप Mathematics लेने पर हल करते हैं। CUET यहाँ हर वर्ष वही कुछ बातें पूछता है: किसी संबंध में कौन-से गुण हैं, तुल्यता वर्ग क्या है, और कोई फलन एकैकी या आच्छादक है या नहीं। स्वतुल्य, सममित और संक्रामक संबंधों और तुल्यता वर्गों से लेकर एकैकी, आच्छादक और एकैकी आच्छादक फलनों और उनकी गिनती तक, हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।
एक अध्ययन समूह के छह विद्यार्थी लीजिए और जिन दो का जन्म एक ही महीने में हुआ हो, उनका युग्म बनाइए। यह युग्म बनाना एक संबंध है: से लिए गए क्रमित युग्मों का समुच्चय। इसके तीन गुण जाँचने लायक हैं। हर कोई स्वयं के साथ एक ही महीने में जन्मा है। यदि आशा और रवि का महीना एक है, तो रवि और आशा का भी। और यदि आशा का महीना रवि से और रवि का मीरा से मिलता है, तो आशा का मीरा से भी। तीनों गुणों वाला संबंध तुल्यता संबंध है, और यह समूह को वर्गों में बाँटता है, हर जन्म-महीने का एक वर्ग।
समुच्चय पर संबंध , का कोई भी उपसमुच्चय है। जब हो, तो हम लिखते हैं। रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता; सार्वत्रिक संबंध पूरा है। अवयवों वाले समुच्चय में क्रमित युग्म हैं, इसलिए उस पर संबंध होते हैं।
सममिति और संक्रामकता केवल में पहले से मौजूद युग्मों से कुछ माँगती हैं। इसीलिए रिक्त संबंध सममित और संक्रामक है, यद्यपि स्वतुल्य नहीं।
उदाहरण 1 · तीन अवयवों वाले समुच्चय पर संबंध
पर । में कौन-से गुण हैं?
स्वतुल्य? और नहीं हैं, इसलिए नहीं।
सममित? साथी वाला एकमात्र युग्म है, और मौजूद है। हाँ।
संक्रामक? और , में हैं, इसलिए भी होना चाहिए। वह नहीं है, इसलिए नहीं।
केवल सममित है।
सावधान
संक्रामकता हर कड़ी पर जाँचिए, उन पर भी जो स्वयं पर लौटती हैं, जैसे के बाद । ये कड़ियाँ जैसा युग्म माँगती हैं, और सबसे अधिक चूक यहीं होती है।
अनंत समुच्चय पर नियम से दिए संबंध के लिए नियम से तर्क कीजिए। पर "" स्वतुल्य और संक्रामक है पर सममित नहीं, क्योंकि है जबकि गलत है। "" स्वतुल्य और सममित है पर संक्रामक नहीं: 0 और 2 संबंधित हैं, 2 और 4 संबंधित हैं, पर 0 और 4 नहीं।
यदि , पर तुल्यता संबंध है, तो का तुल्यता वर्ग से संबंधित हर अवयव का समुच्चय है। भिन्न वर्ग कभी एक-दूसरे पर नहीं चढ़ते, और मिलकर को ढक लेते हैं: वर्ग को अलग-अलग टुकड़ों में बाँटते हैं।
उदाहरण 2 · शेषफलों के वर्ग
पर जब , 7 से विभाज्य हो। 3 का वर्ग और वर्गों की संख्या ज्ञात कीजिए।
तुल्यता संबंध है: , 7 से विभाज्य है; यदि 7, को विभाजित करे तो को भी; और यदि और को विभाजित करे, तो उनके योग को भी।
3 का वर्ग हर वह पूर्णांक है जो 7 से भाग देने पर शेषफल 3 छोड़े: ।
वर्ग सात शेषफल वर्ग हैं।
मुख्य बात
परिमित समुच्चय पर तुल्यता संबंध, समुच्चय को समूहों में बाँटने का एक तरीका ही है। इससे तुरंत गिनती मिलती है: को 5 तरीकों से बाँटा जा सकता है, इसलिए उस पर 5 तुल्यता संबंध हैं।
एकैकी है जब भिन्न निवेश सदा भिन्न निर्गत दें: से निकले। सिद्ध करने के लिए से शुरू करके हल कीजिए; खंडन के लिए एक ही निर्गत वाले दो निवेश खोजिए।
उदाहरण 3 · एकैकी या नहीं
क्या , , एकैकी है? क्या , , एकैकी है?
से , इसलिए एकैकी है।
, इसलिए एकैकी नहीं है।
एकैकी है; नहीं।
आच्छादक है जब का हर अवयव किसी का प्रतिबिंब हो: परिसर पूरा सहप्रांत है। जो फलन एकैकी और आच्छादक दोनों हो, वह एकैकी आच्छादक है। सहप्रांत मायने रखता है: , पर आच्छादक है पर पर नहीं।
उदाहरण 4 · अलग-अलग समुच्चयों पर एक ही नियम
का वर्गीकरण प्रतिचित्रण के रूप में, और प्रतिचित्रण के रूप में कीजिए।
पर: एकैकी, और कोई भी पूर्णांक , है, इसलिए आच्छादक: एकैकी आच्छादक।
पर: अब भी एकैकी, पर 1, 2, 3, 4 और 5 से 5 नीचे कोई प्राकृत संख्या नहीं, इसलिए आच्छादक नहीं।
पर एकैकी आच्छादक; पर एकैकी पर आच्छादक नहीं।
उदाहरण 5 · फलनों की गिनती
में 2 अवयव हैं और में 3। से तक कितने फलन हैं, और कितने एकैकी हैं?
2 अवयवों में से हर एक के 3 विकल्प: फलन।
एकैकी के लिए दूसरा अवयव पहले के प्रतिबिंब से बचे: ।
9 फलन, उनमें 6 एकैकी, और कोई आच्छादक नहीं, क्योंकि 2 प्रतिबिंब 3 अवयवों को नहीं ढक सकते।
संबंध
फलन
गिनती
Section B1 में आगे, वे फलन जो त्रिकोणमितीय फलनों को उलटते हैं: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन।
125 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर एक संबंध है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरB · स्वतुल्य, सममित और संक्रामक
यह स्वतुल्य है, क्योंकि हर , में है।
यह सममित है, क्योंकि हर युग्म का उलटा में है, और संक्रामक है, क्योंकि में ऐसे कोई युग्म नहीं जिनके साथ न हो।
ध्यान देने योग्य
संक्रामकता की जाँच ध्यान से कीजिए: यह संक्रामक है, क्योंकि में ऐसे कोई युग्म नहीं जिनके साथ न हो।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर संबंध है जिसमें यदि , 4 से विभाज्य है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरD · स्वतुल्य, सममित और संक्रामक
, 4 से विभाज्य है; यदि 4, को विभाजित करे तो को भी।
यदि 4, और को विभाजित करे तो उनके योग को भी।
ध्यान देने योग्य
संक्रामकता दोनों अंतर जोड़ने से मिलती है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।
I. पर रिक्त संबंध सममित और संक्रामक है।
II. पर रिक्त संबंध स्वतुल्य है।
उत्तरA · केवल I
सममिति और संक्रामकता केवल में पहले से मौजूद युग्मों से कुछ माँगती हैं; कोई युग्म न हो तो कुछ विफल नहीं हो सकता। I सही है।
स्वतुल्य के लिए और चाहिए, जो नहीं हैं। II गलत है।
ध्यान देने योग्य
स्वतुल्यता ही एकमात्र गुण है जो युग्मों की उपस्थिति माँगता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर सार्वत्रिक संबंध इनमें से कौन-सा है?
उत्तरC ·
सार्वत्रिक संबंध हर अवयव को हर अवयव से जोड़ता है: यह पूरा है।
में युग्म हैं।
ध्यान देने योग्य
तत्समक संबंध है, जो हर अवयव को केवल स्वयं से जोड़ता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
3 अवयवों वाले समुच्चय पर कितने संबंध हैं?
उत्तरD ·
संबंध का कोई भी उपसमुच्चय है, जिसमें युग्म हैं।
उपसमुच्चय।
ध्यान देने योग्य
, के उपसमुच्चय गिनता है, के नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर संबंध है जिसमें यदि । इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरA · स्वतुल्य और संक्रामक, पर सममित नहीं
सदा, और , से ।
पर है जबकि गलत है, इसलिए यह सममित नहीं।
ध्यान देने योग्य
सममिति नकारने के लिए एक प्रति-उदाहरण, जैसे 1 और 2, पर्याप्त है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध ।
इनमें से कौन-सा इस चार युग्मों वाले संबंध का वर्णन करता है?
उत्तरD · स्वतुल्य और संक्रामक, पर सममित नहीं
यह स्वतुल्य है, क्योंकि हर , में है।
यह सममित नहीं है, क्योंकि , में है पर नहीं, और संक्रामक है, क्योंकि में ऐसे कोई युग्म नहीं जिनके साथ न हो।
ध्यान देने योग्य
सममिति उस एक युग्म पर विफल है जो रूप का नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
2 अवयवों वाले समुच्चय पर कितने संबंध परिभाषित किए जा सकते हैं?
उत्तरC ·
में युग्म हैं, और संबंध उनका कोई भी उपसमुच्चय है।
।
ध्यान देने योग्य
4 युग्म गिनता है, युग्मों के समुच्चय नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध इस प्रकार है: यदि । इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरA · स्वतुल्य, सममित और संक्रामक
और की समानता स्वतुल्य और सममित है।
यदि और , तो : संक्रामक।
ध्यान देने योग्य
जो संबंध कहे कि दो चीज़ों का किसी गुण का मान बराबर है, वह सदा तुल्यता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर एक संबंध है। को स्वतुल्य और संक्रामक बनाने के लिए उसमें कम से कम कितने युग्म जोड़ने होंगे?
उत्तरC ·
3 युग्म जोड़िए, फिर जो कड़ियाँ और उलटे युग्म अनिवार्य करें।
जोड़े गए युग्म: , कुल 4।
ध्यान देने योग्य
3 में केवल युग्म जोड़े; कड़ियों को अभी भी उनके छूटे युग्म चाहिए।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
I. हर सममित और संक्रामक संबंध स्वतुल्य होता है।
II. किसी समुच्चय पर तत्समक संबंध एक तुल्यता संबंध है।
III. किसी समुच्चय पर सार्वत्रिक संबंध एक तुल्यता संबंध है।
IV. कोई संबंध सममित होकर भी स्वतुल्य न हो, यह संभव है।
उत्तरA · केवल II, III और IV
I गलत है: पर सममित और संक्रामक है पर नहीं है।
II और III सही हैं (दोनों हर अवयव को स्वयं से जोड़ते हैं, और सममित तथा संक्रामक हैं)। IV सही है: ।
ध्यान देने योग्य
सममित और संक्रामक से स्वतुल्य का 'प्रमाण' मान लेता है कि हर अवयव किसी न किसी से संबंधित है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर एक संबंध है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरD · स्वतुल्य और संक्रामक, पर सममित नहीं
यह स्वतुल्य है, क्योंकि हर , में है।
यह सममित नहीं है, क्योंकि , में है पर नहीं, और संक्रामक है, क्योंकि में ऐसे कोई युग्म नहीं जिनके साथ न हो।
ध्यान देने योग्य
सममिति की जाँच ध्यान से कीजिए: यह सममित नहीं है, क्योंकि , में है पर नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर संबंध है जिसमें यदि । इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरC · केवल संक्रामक
गलत है, इसलिए स्वतुल्य नहीं; पर नहीं, इसलिए सममित नहीं।
और से : यह संक्रामक है।
ध्यान देने योग्य
के विपरीत, सख्त किसी संख्या को स्वयं से नहीं जोड़ता।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
3 अवयवों वाले समुच्चय पर कितने स्वतुल्य संबंध हैं?
उत्तरB ·
स्वतुल्य संबंध में 3 युग्म होने ही चाहिए; बाकी युग्मों में हर एक हो या न हो।
।
ध्यान देने योग्य
में केवल विकर्ण युग्म बदलने दिए, जबकि वही निश्चित हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर एक संबंध है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरA · केवल सममित
यह स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि नहीं है।
यह सममित है, क्योंकि हर युग्म का उलटा में है, और संक्रामक नहीं है, क्योंकि और , में हैं पर नहीं।
ध्यान देने योग्य
संक्रामकता की जाँच ध्यान से कीजिए: यह संक्रामक नहीं है, क्योंकि और , में हैं पर नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर संबंध है जिसमें यदि , को विभाजित करता है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरB · स्वतुल्य और संक्रामक, पर सममित नहीं
हर स्वयं को विभाजित करता है, और यदि और तो ।
2, 4 को विभाजित करता है पर 4, 2 को नहीं, इसलिए यह सममित नहीं।
ध्यान देने योग्य
विभाज्यता एक ही दिशा में चलती है, छोटी संख्या से उसके गुणज की ओर।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर एक संबंध है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरC · स्वतुल्य और सममित, पर संक्रामक नहीं
यह स्वतुल्य है, क्योंकि हर , में है।
यह सममित है, क्योंकि हर युग्म का उलटा में है, और संक्रामक नहीं है, क्योंकि और , में हैं पर नहीं।
ध्यान देने योग्य
संक्रामकता की जाँच ध्यान से कीजिए: यह संक्रामक नहीं है, क्योंकि और , में हैं पर नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर संबंध है जिसमें यदि । इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरA · स्वतुल्य और सममित, पर संक्रामक नहीं
, और : स्वतुल्य और सममित।
0 और 1 संबंधित हैं, 1 और 2 संबंधित हैं, पर : संक्रामक नहीं।
ध्यान देने योग्य
छोटे कदम जुड़कर बड़ा बन सकते हैं, इसलिए 'पास होना' संक्रामक नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर एक संबंध है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरD · न स्वतुल्य, न सममित, न संक्रामक
यह स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि नहीं है।
यह सममित नहीं है, क्योंकि , में है पर नहीं, और संक्रामक नहीं है, क्योंकि और , में हैं पर नहीं।
ध्यान देने योग्य
संक्रामकता की जाँच ध्यान से कीजिए: यह संक्रामक नहीं है, क्योंकि और , में हैं पर नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर संबंध है जिसमें यदि विषम है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरC · केवल सममित
सम है, इसलिए कोई संख्या स्वयं से संबंधित नहीं: स्वतुल्य नहीं। , इसलिए सममित है।
1 और 2 संबंधित हैं, 2 और 3 संबंधित हैं, पर सम है: संक्रामक नहीं।
ध्यान देने योग्य
विषम योग एक विषम और एक सम संख्या का युग्म बनाता है, इसलिए कोई संख्या स्वयं से संबंधित नहीं होती।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर एक संबंध है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरA · सममित और संक्रामक, पर स्वतुल्य नहीं
यह स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि नहीं है।
यह सममित है, क्योंकि हर युग्म का उलटा में है, और संक्रामक है, क्योंकि में ऐसे कोई युग्म नहीं जिनके साथ न हो।
ध्यान देने योग्य
स्वतुल्यता की जाँच ध्यान से कीजिए: यह स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि नहीं है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर संबंध है जिसमें यदि सम है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरB · स्वतुल्य, सममित और संक्रामक
सम है, और : स्वतुल्य और सममित।
सम योग का अर्थ है और की समता एक है; एक जैसी समता आगे बढ़ती है, इसलिए संक्रामक है।
ध्यान देने योग्य
सम योग का अर्थ एक जैसी समता है, और 'एक जैसी समता' तुल्यता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध ।
इस चार युग्मों वाले को तुल्यता संबंध बनाने के लिए कम से कम कितने युग्म जोड़ने होंगे?
उत्तरB ·
यह पहले से स्वतुल्य और संक्रामक है; केवल सममिति नहीं।
जोड़ना पर्याप्त है, और संक्रामकता बनी रहती है: 1 युग्म।
ध्यान देने योग्य
2 में 1 को जोड़ने वाला युग्म भी जोड़ा, जिसकी में कोई ज़रूरत नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध ।
वह युग्म जोड़ने के बाद संबंध को कितने वर्गों में बाँटता है?
उत्तरB ·
2 और 3 अब दोनों ओर से संबंधित हैं; 1 केवल स्वयं से।
वर्ग और : 2।
ध्यान देने योग्य
3 में हर अवयव को अलग वर्ग माना, यह भूलकर कि 2 और 3 अब एक साझा करते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
4 अवयवों वाले समुच्चय पर कितने स्वतुल्य संबंध परिभाषित किए जा सकते हैं?
उत्तरC ·
4 युग्म निश्चित हैं; बाकी युग्मों में हर एक हो या न हो।
।
ध्यान देने योग्य
हर संबंध गिनता है, स्वतुल्य हो या न हो।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
2 अवयवों वाले समुच्चय पर कितने सममित संबंध परिभाषित किए जा सकते हैं?
उत्तरC ·
पर सममित संबंध , और जोड़े से तय होता है।
।
ध्यान देने योग्य
16 में और को अलग-अलग चुना।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर कितने संबंधों में युग्म है?
उत्तरB ·
निश्चित है; बाकी युग्मों में हर एक हो या न हो।
।
ध्यान देने योग्य
केवल रिक्त संबंध हटाता है; सभी संबंधों में से आधे में नहीं है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध । इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरB · सममित और संक्रामक, पर स्वतुल्य नहीं
यह स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि नहीं है।
यह सममित है, क्योंकि हर युग्म का उलटा में है, और संक्रामक है, क्योंकि में ऐसे कोई युग्म नहीं जिनके साथ न हो।
ध्यान देने योग्य
स्वतुल्यता की जाँच ध्यान से कीजिए: यह स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि नहीं है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध इस प्रकार है: यदि । इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरB · स्वतुल्य, सममित और संक्रामक
के लिए , और : स्वतुल्य और सममित।
का अर्थ है और का चिह्न एक है, और 'एक चिह्न' कड़ी में आगे बढ़ता है: संक्रामक।
ध्यान देने योग्य
0 हटा देने पर कोई चीज़ ऋणात्मक संख्या को धनात्मक से नहीं जोड़ सकती।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध । इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरD · केवल स्वतुल्य
यह स्वतुल्य है, क्योंकि हर , में है।
यह सममित नहीं है, क्योंकि , में है पर नहीं, और संक्रामक नहीं है, क्योंकि और , में हैं पर नहीं।
ध्यान देने योग्य
संक्रामकता की जाँच ध्यान से कीजिए: यह संक्रामक नहीं है, क्योंकि और , में हैं पर नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध इस प्रकार है: यदि । इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरD · केवल सममित
, इसलिए 1 स्वयं से संबंधित नहीं: स्वतुल्य नहीं। : सममित।
1 और 9 संबंधित हैं, 9 और 1 संबंधित हैं, पर : संक्रामक नहीं।
ध्यान देने योग्य
केवल 5 स्वयं से संबंधित है, इसलिए संबंध पूरे पर स्वतुल्य नहीं हो सकता।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
किसी तल की रेखाओं के समुच्चय पर यदि , पर लंब है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरB · केवल सममित
कोई रेखा स्वयं पर लंब नहीं: स्वतुल्य नहीं। यदि , तो : सममित।
यदि और , तो , के समांतर है, लंब नहीं: संक्रामक नहीं।
ध्यान देने योग्य
दो समकोण मोड़ रेखा को आरंभ के समांतर ले आते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर एक संबंध है। को तुल्यता संबंध बनाने के लिए उसमें कम से कम कितने युग्म जोड़ने होंगे?
उत्तरD ·
3 युग्म जोड़िए, फिर जो कड़ियाँ और उलटे युग्म अनिवार्य करें।
जोड़े गए युग्म: , कुल 7।
ध्यान देने योग्य
3 में केवल युग्म जोड़े; कड़ियों को अभी भी उनके छूटे युग्म चाहिए।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
अभिकथन (A): पर संबंध संक्रामक है।
कारण (R): जिस संबंध में हर युग्म के रूप का हो, उसमें कोई युग्म केवल स्वयं से ही कड़ी बना सकता है।
उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।
A सही है: केवल कड़ियाँ हैं, जिन्हें चाहिए, जो पहले से है।
R सही है और ठीक यही A के सही होने का कारण है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
सूची I में पर हर संबंध को सूची II में उसके वर्णन से मिलाइए।
| सूची I | सूची II |
|---|---|
| A. | I. केवल संक्रामक |
| B. | II. तुल्यता संबंध |
| C. | III. स्वतुल्य और संक्रामक, पर सममित नहीं |
| D. | IV. केवल सममित |
उत्तरB · A-II, B-IV, C-I, D-III
तत्समक संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है; सममित है पर उसकी कड़ी को चाहिए।
केवल संक्रामक है; तत्समक में जोड़ने पर वह स्वतुल्य और संक्रामक रहता है पर सममित नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर एक संबंध है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरB · केवल संक्रामक
यह स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि नहीं है।
यह सममित नहीं है, क्योंकि , में है पर नहीं, और संक्रामक है, क्योंकि में ऐसे कोई युग्म नहीं जिनके साथ न हो।
ध्यान देने योग्य
संक्रामकता की जाँच ध्यान से कीजिए: यह संक्रामक है, क्योंकि में ऐसे कोई युग्म नहीं जिनके साथ न हो।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर संबंध है जिसमें यदि । इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरD · स्वतुल्य और सममित, पर संक्रामक नहीं
, और , इसलिए यह स्वतुल्य और सममित है।
और , पर : संक्रामक नहीं।
ध्यान देने योग्य
0 एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या को जोड़ता है जो आपस में नहीं जुड़तीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
3 अवयवों वाले समुच्चय पर कितने सममित संबंध हैं?
उत्तरC ·
सममित संबंध 3 विकर्ण युग्मों और 3 युग्म-जोड़ों से तय होता है, हर एक पूरा लिया जाए या छोड़ा जाए।
।
ध्यान देने योग्य
512 सभी संबंध गिनता है; सममित संबंध में और साथ आते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर एक संबंध है। को तुल्यता संबंध बनाने के लिए उसमें कम से कम कितने युग्म जोड़ने होंगे?
उत्तरC ·
4 युग्म जोड़िए, फिर जो कड़ियाँ और उलटे युग्म अनिवार्य करें।
जोड़े गए युग्म: , कुल 6।
ध्यान देने योग्य
4 में केवल युग्म जोड़े; कड़ियों को अभी भी उनके छूटे युग्म चाहिए।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर एक संबंध है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरC · केवल स्वतुल्य
यह स्वतुल्य है, क्योंकि हर , में है।
यह सममित नहीं है, क्योंकि , में है पर नहीं, और संक्रामक नहीं है, क्योंकि और , में हैं पर नहीं।
ध्यान देने योग्य
संक्रामकता की जाँच ध्यान से कीजिए: यह संक्रामक नहीं है, क्योंकि और , में हैं पर नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर संबंध है जिसमें यदि । इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरD · न स्वतुल्य, न सममित, न संक्रामक
कभी नहीं होता, और , में है पर नहीं।
और , में हैं पर नहीं, क्योंकि ।
ध्यान देने योग्य
1 के कदम के बाद 1 का और कदम 2 का कदम है, जिसकी नियम अनुमति नहीं देता।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
4 अवयवों वाले समुच्चय पर कितने ऐसे संबंध जो स्वतुल्य और सममित दोनों हैं हैं?
उत्तरB ·
4 विकर्ण युग्म निश्चित हैं; विकर्ण से बाहर के युग्म जोड़ों में आते हैं।
।
ध्यान देने योग्य
स्वतुल्य संबंध गिनता है; सममिति फिर विकर्ण से बाहर के युग्मों को जोड़ों में बाँधती है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर एक संबंध है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरB · केवल संक्रामक
यह स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि नहीं है।
यह सममित नहीं है, क्योंकि , में है पर नहीं, और संक्रामक है, क्योंकि में ऐसे कोई युग्म नहीं जिनके साथ न हो।
ध्यान देने योग्य
संक्रामकता की जाँच ध्यान से कीजिए: यह संक्रामक है, क्योंकि में ऐसे कोई युग्म नहीं जिनके साथ न हो।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध ।
पर कितने स्वतुल्य संबंधों में यह चार युग्मों वाला है?
उत्तरB ·
के सभी 4 युग्म निश्चित हैं; के बाकी युग्म स्वतंत्र हैं।
।
ध्यान देने योग्य
विकर्ण के सिवा बिना किसी अनिवार्य युग्म वाले स्वतुल्य संबंध गिनता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध । इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरA · स्वतुल्य, सममित और संक्रामक
यह स्वतुल्य है, क्योंकि हर , में है।
यह सममित है, क्योंकि हर युग्म का उलटा में है, और संक्रामक है, क्योंकि में ऐसे कोई युग्म नहीं जिनके साथ न हो।
ध्यान देने योग्य
संक्रामकता की जाँच ध्यान से कीजिए: यह संक्रामक है, क्योंकि में ऐसे कोई युग्म नहीं जिनके साथ न हो।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर संबंध है जिसमें यदि , 3 से विभाज्य है। 2 का तुल्यता वर्ग क्या है?
उत्तरD ·
2 का वर्ग हर वह पूर्णांक है जिसमें , 3 से विभाज्य हो: 2 में 3 का कोई गुणज जोड़ा या घटाया।
इसलिए यह और दोनों दिशाओं में आगे चलता है।
ध्यान देने योग्य
3 के गुणज 0 का वर्ग बनाते हैं, 2 का नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
संबंध ', 6 से विभाज्य है' को कितने तुल्यता वर्गों में बाँटता है?
उत्तरC ·
दो पूर्णांक ठीक तब संबंधित हैं जब वे एक ही शेषफल छोड़ें।
6 संभव शेषफल हैं, इसलिए 6 वर्ग।
ध्यान देने योग्य
6 से भाग देने पर शेषफल 0 से 5 हैं: छह।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर इस प्रकार है: यदि सम है। 4 का तुल्यता वर्ग क्या है?
उत्तरD ·
4 का वर्ग का हर वह अवयव है जो 4 से संबंधित हो।
यहाँ वह है।
ध्यान देने योग्य
सम अंतर का अर्थ एक जैसी समता है, इसलिए 4 का वर्ग सभी सम संख्याएँ हैं, 2 सहित।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध इस प्रकार है: यदि , 3 से विभाज्य है।
इनमें से कौन-सा पर इस शेषफल संबंध का वर्णन करता है?
उत्तरA · स्वतुल्य, सममित और संक्रामक
, 3 से विभाज्य है, और यदि 3, को विभाजित करे तो को भी।
यदि 3, और को विभाजित करे, तो को भी: तुल्यता संबंध।
ध्यान देने योग्य
दोनों अंतर जोड़ने से संक्रामकता सिद्ध होती है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध इस प्रकार है: यदि , 3 से विभाज्य है।
यह शेषफल संबंध को कितने तुल्यता वर्गों में बाँटता है?
उत्तरB ·
वर्ग , और हैं।
3 वर्ग, हर शेषफल का एक।
ध्यान देने योग्य
6 अवयव गिनता है, वर्ग नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक क्लब के 16 सदस्य चार हाउसों में हैं, जिनमें 3, 5, 2 और 6 सदस्य हैं। दो सदस्य संबंधित हैं यदि वे एक ही हाउस में हों।
इनमें से कौन-सा 'एक ही हाउस' संबंध का वर्णन करता है?
उत्तरD · स्वतुल्य, सममित और संक्रामक
हर कोई अपने हाउस में है; हाउस साझा करना दोनों ओर से होता है।
यदि A, B के साथ और B, C के साथ हाउस साझा करे, तो तीनों एक हाउस में हैं: तुल्यता।
ध्यान देने योग्य
'एक ही हाउस' का अर्थ 'किसी चीज़ का बराबर मान' है, जो सदा तुल्यता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर यदि । 3 का तुल्यता वर्ग क्या है?
उत्तरD ·
3 का वर्ग हर वह पूर्णांक है जिसके लिए ।
वह है।
ध्यान देने योग्य
में भूल गए, जिसका मापांक वही है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक क्लब के 16 सदस्य चार हाउसों में हैं, जिनमें 3, 5, 2 और 6 सदस्य हैं। दो सदस्य संबंधित हैं यदि वे एक ही हाउस में हों।
'एक ही हाउस' संबंध के कितने तुल्यता वर्ग हैं?
उत्तरB ·
हर वर्ग एक हाउस है।
4 वर्ग।
ध्यान देने योग्य
16 सदस्यों की गिनती है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध इस प्रकार है: यदि , 3 से विभाज्य है।
इस शेषफल संबंध में 2 का तुल्यता वर्ग क्या है?
उत्तरD ·
के वे अवयव जो 2 से 3 के गुणज से भिन्न हों।
2 और 5।
ध्यान देने योग्य
सम संख्याएँ हैं, '2 से विभाज्य' का वर्ग।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।
I. किसी समुच्चय पर तुल्यता संबंध के तुल्यता वर्ग कभी एक-दूसरे पर नहीं चढ़ते।
II. समुच्चय का हर अवयव ठीक एक तुल्यता वर्ग में होता है।
उत्तरC · I और II दोनों
यदि दो वर्गों में एक अवयव साझा हो, तो संक्रामकता और सममिति से वे बराबर होंगे; इसलिए भिन्न वर्ग असंयुक्त हैं।
हर अपने वर्ग में है (स्वतुल्य), और किसी अन्य में नहीं। दोनों सही हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर संबंध है जिसमें यदि , 5 से विभाज्य है। 3 का तुल्यता वर्ग क्या है?
उत्तरA ·
3 का वर्ग हर वह पूर्णांक है जिसमें , 5 से विभाज्य हो: 3 में 5 का कोई गुणज जोड़ा या घटाया।
इसलिए यह और दोनों दिशाओं में आगे चलता है।
ध्यान देने योग्य
वर्ग दोनों ओर चलता है: और भी उसमें हैं, क्योंकि ।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
संबंध ', 9 से विभाज्य है' को कितने तुल्यता वर्गों में बाँटता है?
उत्तरB ·
दो पूर्णांक ठीक तब संबंधित हैं जब वे एक ही शेषफल छोड़ें।
9 संभव शेषफल हैं, इसलिए 9 वर्ग।
ध्यान देने योग्य
हर शेषफल 0 से 8 एक वर्ग है, इसलिए 9 हैं, 8 नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, पर संबंध है जिसमें यदि , 4 से विभाज्य है। 0 का तुल्यता वर्ग क्या है?
उत्तरB ·
0 का वर्ग हर वह पूर्णांक है जिसमें , 4 से विभाज्य हो: 0 में 4 का कोई गुणज जोड़ा या घटाया।
इसलिए यह और दोनों दिशाओं में आगे चलता है।
ध्यान देने योग्य
0 का वर्ग 4 के गुणज हैं; 2 के गुणजों में 2, 6 और 10 भी हैं, जो 2 दूर हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर इस प्रकार है: यदि , 4 से विभाज्य है। 7 का तुल्यता वर्ग क्या है?
उत्तरA ·
7 का वर्ग का हर वह अवयव है जो 7 से संबंधित हो।
यहाँ वह है।
ध्यान देने योग्य
1 से 12 के भीतर 7 से 4 के कदम 11 के साथ 3 भी देते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर इस प्रकार है: यदि और , 3 से भाग देने पर एक ही शेषफल छोड़ते हैं। 5 का तुल्यता वर्ग क्या है?
उत्तरC ·
5 का वर्ग का हर वह अवयव है जो 5 से संबंधित हो।
यहाँ वह है।
ध्यान देने योग्य
5 के वर्ग में शेषफल 2 वाली हर संख्या है: 8 के साथ 2 भी।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।
I. पर सबसे छोटे तुल्यता संबंध में 3 युग्म हैं।
II. पर सबसे बड़े तुल्यता संबंध में 6 युग्म हैं।
उत्तरA · केवल I
I: तत्समक संबंध सबसे छोटा है। सही।
II: सबसे बड़ा सार्वत्रिक संबंध है, युग्मों के साथ। गलत।
ध्यान देने योग्य
6 में केवल वाले युग्म गिने, 3 युग्म छोड़कर।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर संबंध इस प्रकार है: यदि , 3 से विभाज्य है।
इस शेषफल संबंध में कितने क्रमित युग्म हैं?
उत्तरC ·
हर वर्ग में 2 अवयव हैं और वह युग्म देता है।
3 वर्ग: युग्म।
ध्यान देने योग्य
6 में केवल युग्म गिने।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक क्लब के 16 सदस्य चार हाउसों में हैं, जिनमें 3, 5, 2 और 6 सदस्य हैं। दो सदस्य संबंधित हैं यदि वे एक ही हाउस में हों।
'एक ही हाउस' संबंध से सदस्यों के कितने क्रमित युग्म संबंधित हैं?
उत्तरC ·
सदस्यों वाला हाउस क्रमित युग्म देता है।
।
ध्यान देने योग्य
58 में सदस्य और स्वयं वाले 16 युग्म छूट गए।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर यदि । का तुल्यता वर्ग क्या है?
उत्तरA ·
ठीक तब जब ।
इसलिए वर्ग सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।
ध्यान देने योग्य
में इस संबंध को 'समान मापांक' से उलझाया; यहाँ 2 और के चिह्न विपरीत हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक क्लब के 16 सदस्य चार हाउसों में हैं, जिनमें 3, 5, 2 और 6 सदस्य हैं। दो सदस्य संबंधित हैं यदि वे एक ही हाउस में हों।
5 सदस्यों वाले हाउस के किसी सदस्य के तुल्यता वर्ग में कितने सदस्य हैं?
उत्तरC ·
किसी सदस्य का वर्ग हर वह व्यक्ति है जो उससे संबंधित हो, स्वयं सहित।
वह पूरा हाउस है: 5।
ध्यान देने योग्य
4 में सदस्य को उसके अपने वर्ग से छोड़ दिया; संबंध स्वतुल्य है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
अभिकथन (A): किसी तल के सभी त्रिभुजों के समुच्चय पर 'सर्वांगसम है' एक तुल्यता संबंध है।
कारण (R): सर्वांगसम त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
उत्तरB · A और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।
A सही है: सर्वांगसमता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।
R सही है, पर वह क्षेत्रफल के बारे में एक तथ्य है; वह यह नहीं दिखाता कि सर्वांगसमता स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।
ध्यान देने योग्य
सर्वांगसम त्रिभुजों के बारे में कोई सही तथ्य अपने-आप में यह कारण नहीं है कि सर्वांगसमता एक तुल्यता संबंध है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर कितने तुल्यता संबंध हैं?
उत्तरB ·
तुल्यता संबंध समुच्चय को वर्गों में बाँटने के समान है।
; ; ; ; : कुल 5।
ध्यान देने योग्य
3 में केवल एक युग्म और एक अकेले अवयव वाले विभाजन गिने; पूरा समुच्चय और तीन अकेले अवयव भी विभाजन हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-से संबंध तुल्यता संबंध हैं?
I. किसी विद्यालय के विद्यार्थियों पर, 'उसी कक्षा में है'।
II. पर, ' एक पूर्णांक है'।
III. पर, ''।
IV. किसी तल के त्रिभुजों पर, 'समरूप है'।
उत्तरA · केवल I, II और IV
I, II और IV स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं; II के लिए, पूर्णांकों के अंतर पूर्णांक होते हैं।
III सममित नहीं: पर गलत है।
ध्यान देने योग्य
II असामान्य दिखता है, पर पूर्णांक अंतरों को जोड़ने पर पूर्णांक अंतर मिलता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर कितने तुल्यता संबंधों में युग्म है?
उत्तरC ·
1 और 2 एक ही वर्ग में हों; 3 या तो उनसे जुड़े या अकेला रहे।
या : 2 संबंध।
ध्यान देने योग्य
1 में भूल गए कि 3, 1 और 2 के वर्ग में जुड़ सकता है, जिससे सार्वत्रिक संबंध बनता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर कितने तुल्यता संबंध हैं?
उत्तरD ·
4 अवयवों के विभाजन गिनिए: एक वर्ग (1), 3 + 1 (4), 2 + 2 (3), 2 + 1 + 1 (6), चार अकेले (1)।
।
ध्यान देने योग्य
16 तो है, उपसमुच्चयों की संख्या, विभाजनों की नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर कितने तुल्यता संबंधों में और दोनों हैं?
उत्तरB ·
1 को 2 के वर्ग में होना है, और 2 को 3 के, इसलिए तीनों एक वर्ग में हैं।
केवल सार्वत्रिक संबंध ऐसा करता है: 1।
ध्यान देने योग्य
2 में केवल वाले संबंध गिने; जोड़ने से एक ही वर्ग अनिवार्य होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरD · एकैकी और आच्छादक
से : एकैकी।
किसी भी के लिए से : आच्छादक।
ध्यान देने योग्य
पर अचर-रहित रैखिक फलन एकैकी आच्छादक है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरB · एकैकी और आच्छादक
किन्हीं दो अवयवों का प्रतिबिंब एक नहीं: एकैकी।
सहप्रांत का हर अवयव किसी का प्रतिबिंब है: आच्छादक।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
में 3 अवयव हैं और में 4। से तक कितने फलन हैं?
उत्तरC ·
के 3 अवयवों में से हर एक के प्रतिबिंब के 4 विकल्प हैं।
।
ध्यान देने योग्य
, से तक के प्रतिचित्रण गिनता है, उलटी दिशा में।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरA · न एकैकी, न आच्छादक
: एकैकी नहीं।
किसी वास्तविक के लिए नहीं: आच्छादक नहीं।
ध्यान देने योग्य
वर्ग करने से चिह्न खो जाता है और ऋणात्मक संख्या कभी नहीं मिलती।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, , और , है।
के कितने अवयव इस के परिसर में नहीं हैं?
उत्तरB ·
परिसर है।
केवल छूटता है: 1 अवयव।
ध्यान देने योग्य
4 परिसर का आकार है, छूटे भाग का नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, , और , है।
इनमें से कौन-सा से तक के इस का वर्णन करता है?
उत्तरA · एकैकी पर आच्छादक नहीं
चारों प्रतिबिंब भिन्न हैं: एकैकी।
किसी अवयव का प्रतिबिंब नहीं: आच्छादक नहीं।
ध्यान देने योग्य
4 अवयवों के 5 में जाने पर का कम से कम एक अवयव छूटना ही है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
2 अवयवों वाले समुच्चय से 4 अवयवों वाले समुच्चय तक कितने एकैकी फलन हैं?
उत्तरC ·
पहले अवयव के प्रतिबिंब के 4 विकल्प, फिर दूसरे के लिए 3 बचते हैं।
।
ध्यान देने योग्य
16 में दोनों अवयवों को एक ही प्रतिबिंब की अनुमति दी।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
से तक इनमें से कौन-सा फलन एकैकी है?
उत्तरA ·
से , इसलिए : एकैकी।
बाकी फलन कोई मान दोहराते हैं: , और ।
ध्यान देने योग्य
में केवल सम घातें हैं, इसलिए और का मान एक ही आता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
में और है। के कितने विकल्प को एकैकी बनाते हैं?
उत्तरB ·
एकैकी के लिए , और से भिन्न होना चाहिए।
5 और 7 बचते हैं: 2 विकल्प।
ध्यान देने योग्य
4 में को वह प्रतिबिंब लेने दिया जो 1 या 2 पहले ले चुके हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
में 5 अवयव हैं और में 3। से तक कितने एकैकी फलन हैं?
उत्तरA ·
एकैकी फलन को 5 भिन्न प्रतिबिंब चाहिए, पर में केवल 3 अवयव हैं।
इसलिए कोई नहीं।
ध्यान देने योग्य
60 तो है, जो 3 अवयवों वाले समुच्चय से 5 वाले में एकैकी प्रतिचित्रण गिनता है, उलटी दिशा में।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।
I. यदि एकैकी है और , परिमित हैं, तो में से अधिक अवयव नहीं।
II. जो निरंतर वर्धमान हो, एकैकी है।
उत्तरC · I और II दोनों
I: भिन्न अवयवों को भिन्न प्रतिबिंब चाहिए, इसलिए । सही।
II: यदि तो , इसलिए । सही।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरD · एकैकी और आच्छादक
से : एकैकी।
हर वास्तविक का वास्तविक घनमूल है: आच्छादक।
ध्यान देने योग्य
के विपरीत, घन चिह्न बनाए रखता है, इसलिए एकैकी है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरD · एकैकी पर आच्छादक नहीं
किन्हीं दो अवयवों का प्रतिबिंब एक नहीं: एकैकी।
b किसी अवयव का प्रतिबिंब नहीं: आच्छादक नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
में 3 अवयव हैं और में 5। से तक कितने एकैकी फलन हैं?
उत्तरB ·
प्रतिबिंब सभी भिन्न हों: पहले अवयव के 5 विकल्प, दूसरे के 4, तीसरे के 3।
।
ध्यान देने योग्य
125 हर फलन गिनता है, दोहराव सहित।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरA · एकैकी पर आच्छादक नहीं
से : एकैकी।
कोई प्राकृत संख्या 3, एक विषम संख्या, पर नहीं जाती: आच्छादक नहीं।
ध्यान देने योग्य
पर दोगुना करना केवल सम संख्याओं तक पहुँचता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरB · न एकैकी, न आच्छादक
: एकैकी नहीं।
कभी ऋणात्मक नहीं, इसलिए तक नहीं पहुँचता: आच्छादक नहीं।
ध्यान देने योग्य
मापांक, वर्ग की तरह, चिह्न खो देता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, , और , है।
इस से इस तक कितने आच्छादक फलन हैं?
उत्तरA ·
आच्छादक फलन को के सभी 5 अवयव प्रतिबिंब के रूप में चाहिए।
4 अवयव अधिकतम 4 प्रतिबिंब देते हैं, इसलिए कोई नहीं।
ध्यान देने योग्य
120 एकैकी फलन गिनता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, , और , है।
इस से इस तक कुल कितने एकैकी फलन हैं?
उत्तरC ·
1, 2, 3 और 4 के प्रतिबिंबों के 5, 4, 3 और 2 विकल्प।
।
ध्यान देने योग्य
625 तो है, हर फलन, दोहराव सहित।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरD · एकैकी और आच्छादक
, इसलिए निरंतर वर्धमान है: एकैकी।
यह बिना विच्छेद से तक चलता है: आच्छादक।
ध्यान देने योग्य
विषम घात का बहुपद जो केवल बढ़ता है, हर वास्तविक मान ठीक एक बार लेता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरD · न एकैकी, न आच्छादक
: एकैकी नहीं।
, इसलिए तक कभी नहीं पहुँचता: आच्छादक नहीं।
ध्यान देने योग्य
पर द्विघात कभी एकैकी नहीं, और कभी पर आच्छादक नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरA · एकैकी पर आच्छादक नहीं
से : एकैकी।
हर मान विषम है, इसलिए 4 तक कभी नहीं पहुँचता: आच्छादक नहीं।
ध्यान देने योग्य
पर केवल विषम पूर्णांकों तक पहुँचता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से किस प्रांत पर एकैकी है?
उत्तरD ·
से , इसलिए दोहराव के लिए के साथ चाहिए: 2 के दोनों ओर के दो बिंदु।
पर से ही मिलता है: एकैकी। बाकी हर प्रांत में ऐसा युग्म है: , ।
ध्यान देने योग्य
का आलेख पर मुड़ता है, 0 पर नहीं, इसलिए में अभी भी 1 और 3 हैं, जिनका मान एक ही है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
I. , , एकैकी है।
II. , , एकैकी है।
III. , , एकैकी है।
IV. , , एकैकी है।
उत्तरA · केवल II और IV
I गलत है: । III गलत है: ।
II सही है: पर बढ़ने के साथ बढ़ता है। IV सही है: से ।
ध्यान देने योग्य
पर एकैकी है, पर में ऋणात्मक संख्याएँ भी आती हैं, और तथा 2 का वर्ग एक ही है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
अभिकथन (A): , , एकैकी नहीं है।
कारण (R): ।
उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।
A सही है: अपने मान दोहराता है।
R सही है और यह भिन्न निवेशों का एक युग्म है जिनका निर्गत एक है, जो ठीक A को सही बनाता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरD · एकैकी पर आच्छादक नहीं
पर ऋणात्मक नहीं, इसलिए से : एकैकी।
2 वर्ग संख्या नहीं: आच्छादक नहीं।
ध्यान देने योग्य
पर वर्ग करना एकैकी है, यद्यपि पर नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरB · न एकैकी, न आच्छादक
: एकैकी नहीं।
के लिए और अन्यथा 0, इसलिए यह कभी ऋणात्मक नहीं: आच्छादक नहीं।
ध्यान देने योग्य
हर ऋणात्मक को 0 पर भेजा जाता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
कितने एकैकी फलन , को संतुष्ट करते हैं?
उत्तरA ·
एकैकी के 3 भिन्न मान होते हैं, और किन्हीं 3 भिन्न मानों को बढ़ते क्रम में ठीक एक तरीके से रखा जा सकता है।
इसलिए 6 में से 3 प्रतिबिंबों का हर चयन एक ऐसा देता है: ।
ध्यान देने योग्य
120 तो है, हर एकैकी फलन; प्रतिबिंबों के हर समुच्चय के क्रमों में से केवल 1 बढ़ता हुआ है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरB · एकैकी और आच्छादक
से : एकैकी।
कोई भी पूर्णांक , है, और पूर्णांक है: आच्छादक।
ध्यान देने योग्य
पर सदा 3 नीचे एक संख्या होती है; पर नहीं होती।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरC · न एकैकी, न आच्छादक
दो अवयव दोनों x पर जाते हैं: एकैकी नहीं।
z किसी अवयव का प्रतिबिंब नहीं: आच्छादक नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, है। को आच्छादक दिखाने के लिए, किसी भी वास्तविक के लिए कौन-सा , देता है?
उत्तरD ·
हल कीजिए: , इसलिए ।
हर वास्तविक के लिए यह वास्तविक है, और , इसलिए आच्छादक है।
ध्यान देने योग्य
3 को बराबर चिह्न के पार ले जाने पर उसका चिह्न बदलता है: , न कि ।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
में 4 अवयव हैं और में 4। से तक कितने एकैकी आच्छादक फलन हैं?
उत्तरC ·
4 अवयवों वाले समुच्चय से स्वयं तक का एकैकी आच्छादक फलन 4 प्रतिबिंबों की एक व्यवस्था है।
।
ध्यान देने योग्य
256 समुच्चय से स्वयं तक का हर फलन गिनता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर परिभाषित किस सहप्रांत के लिए एकैकी आच्छादक है?
उत्तरD ·
पर निरंतर वर्धमान है, इसलिए एकैकी है।
यह से 1 तक चलता है, इसलिए यह ठीक तब आच्छादक है जब सहप्रांत हो।
ध्यान देने योग्य
प्रांत है; सहप्रांत मानों का समुच्चय, , होना चाहिए।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरA · आच्छादक पर एकैकी नहीं
हर , है: आच्छादक।
पर : एकैकी नहीं।
ध्यान देने योग्य
सहप्रांत को तक छोटा करने से आच्छादक बनता है, एकैकी नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, है। इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरA · आच्छादक पर एकैकी नहीं
दो अवयव दोनों q पर जाते हैं: एकैकी नहीं।
सहप्रांत का हर अवयव किसी का प्रतिबिंब है: आच्छादक।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरC · एकैकी पर आच्छादक नहीं
पर से : एकैकी।
ऋणात्मक संख्याओं तक नहीं पहुँचता: आच्छादक नहीं।
ध्यान देने योग्य
प्रांत छोटा करने से दोहराव हटते हैं; सहप्रांत में अभी भी ऐसी संख्याएँ हैं जिन तक नहीं पहुँचते।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरD · एकैकी पर आच्छादक नहीं
से : एकैकी।
1, 2 और 3 से 3 नीचे कोई प्राकृत संख्या नहीं: आच्छादक नहीं।
ध्यान देने योग्य
वाला नियम पर 1, 2 और 3 खो देता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
आच्छादक है और में 5 अवयव हैं। में अधिकतम कितने अवयव हो सकते हैं?
उत्तरB ·
का हर अवयव के कम से कम एक अवयव का प्रतिबिंब हो।
5 अवयव अधिकतम 5 भिन्न प्रतिबिंब देते हैं।
ध्यान देने योग्य
32 तो है, के उपसमुच्चयों की संख्या; इसका प्रतिबिंबों से कोई संबंध नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
3 अवयवों वाले समुच्चय से 3 अवयवों वाले समुच्चय तक कितने आच्छादक फलन हैं?
उत्तरB ·
3 अवयवों वाले समुच्चय से 3 अवयवों वाले पर, आच्छादक का अर्थ एकैकी भी है।
इसलिए यह व्यवस्थाओं की संख्या है: ।
ध्यान देने योग्य
27 हर फलन गिनता है, उन्हें भी जो कोई अवयव छोड़ते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरD · एकैकी और आच्छादक
से : एकैकी।
कोई भी अशून्य , है: आच्छादक।
ध्यान देने योग्य
दोनों ओर से 0 हटाने पर स्वयं को उलटता है, इसलिए एकैकी आच्छादक है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरA · एकैकी और आच्छादक
निरंतर वर्धमान है: एकैकी।
हर , है: पर आच्छादक।
ध्यान देने योग्य
वही , पर आच्छादक नहीं; यहाँ सहप्रांत ठीक उसका परिसर है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
से तक इनमें से कौन-सा फलन आच्छादक है?
उत्तरC ·
किसी भी वास्तविक के लिए एक त्रिघात समीकरण है, और त्रिघात समीकरण का सदा एक वास्तविक मूल होता है: आच्छादक। (यह एकैकी नहीं, क्योंकि , पर आच्छादक के लिए इसकी ज़रूरत नहीं।)
बाकी फलन कुछ मान छोड़ते हैं: , और ।
ध्यान देने योग्य
द्विघात का एक न्यूनतम मान होता है: , से नीचे कभी नहीं जाता।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
कितने एकैकी आच्छादक फलन में है?
उत्तरB ·
कुल एकैकी आच्छादक फलन हैं; वाले बाकी 4 अवयवों को व्यवस्थित करते हैं: ।
; या के 4 विकल्प, फिर बाकी के लिए : ।
ध्यान देने योग्य
119 में केवल तत्समक फलन हटाया; वाला हर एकैकी आच्छादक फलन, कुल 24, हटाना है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
कितने आच्छादक फलन में है?
उत्तरB ·
होने पर 2, 3 और 4 में से हर एक या पर जाता है: तरीके।
आच्छादक के लिए तक पहुँचना ज़रूरी है, इसलिए वह एक तरीका हटाइए जो तीनों को पर भेजता है: ।
ध्यान देने योग्य
8 में वह फलन भी रखा जो हर अवयव को पर भेजता है, जो को छोड़ देता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
I. किसी परिमित समुच्चय से स्वयं तक फलन ठीक तब एकैकी है जब वह आच्छादक हो।
II. , , एकैकी और आच्छादक है।
III. जब और परिमित हों, तो से तक एकैकी आच्छादक फलन तभी होता है जब दोनों में अवयवों की संख्या बराबर हो।
IV. 3 अवयवों वाले समुच्चय से 2 अवयवों वाले समुच्चय तक हर आच्छादक फलन एकैकी है।
उत्तरD · केवल I और III
I और III सही हैं। II गलत है: 1 तक कुछ नहीं जाता, इसलिए आच्छादक नहीं।
IV गलत है: 2 प्रतिबिंब साझा करते 3 अवयवों में एक दोहराना ही पड़ेगा।
ध्यान देने योग्य
II, 1 पर विफल है: हर प्राकृत के लिए ।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
सूची I के हर फलन को सूची II में उसके वर्णन से मिलाइए।
| सूची I | सूची II |
|---|---|
| A. , | I. एकैकी पर आच्छादक नहीं |
| B. , | II. न एकैकी, न आच्छादक |
| C. , | III. एकैकी और आच्छादक |
| D. , | IV. आच्छादक पर एकैकी नहीं |
उत्तरB · A-III, B-I, C-IV, D-II
, का एकैकी आच्छादक फलन है; एकैकी है पर 1 और 2 छोड़ देता है।
, पर आच्छादक है पर दोहराता है; दोहराता है और 0 तक कभी नहीं पहुँचता।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , विषम के लिए और सम के लिए का वर्णन करता है?
उत्तरA · आच्छादक पर एकैकी नहीं
और : एकैकी नहीं।
कोई भी , है: आच्छादक।
ध्यान देने योग्य
हर तक दो बार पहुँचते हैं, और से।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
में 4 अवयव हैं और में 2। से तक कितने आच्छादक फलन हैं?
उत्तरC ·
फलनों में से केवल 2 अचर फलन का कोई अवयव छोड़ते हैं।
।
ध्यान देने योग्य
16 में वे दो फलन भी हैं जो सब कुछ एक ही अवयव पर भेजते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरC · एकैकी पर आच्छादक नहीं
निरंतर वर्धमान है, इसलिए एकैकी है।
सदा, इसलिए 0 और ऋणात्मक संख्याओं तक नहीं पहुँचता: आच्छादक नहीं।
ध्यान देने योग्य
का परिसर है, सहप्रांत से छोटा।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
में 4 अवयव हैं और में 3। से तक कितने आच्छादक फलन हैं?
उत्तरC ·
के दो अवयव एक प्रतिबिंब साझा करते हैं: उन्हें चुनें, तरीके।
फिर 3 समूहों को 3 प्रतिबिंबों से मिलाएँ: ।
ध्यान देने योग्य
81 सभी फलन गिनता है, उन्हें भी जो कोई प्रतिबिंब छोड़ते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , , महत्तम पूर्णांक फलन का वर्णन करता है?
उत्तरB · न एकैकी, न आच्छादक
: एकैकी नहीं।
केवल पूर्णांकों तक पहुँचता है, इसलिए 0.5 तक नहीं: आच्छादक नहीं।
ध्यान देने योग्य
इसके मान केवल पूर्णांक हैं, इसलिए यह का अधिकांश भाग छोड़ देता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
5 अवयवों वाले समुच्चय से 2 अवयवों वाले समुच्चय तक कितने आच्छादक फलन हैं?
उत्तरB ·
फलनों में से 2 अचर हैं और एक अवयव छोड़ते हैं।
।
ध्यान देने योग्य
31 में केवल एक अचर फलन हटाया; ऐसे दो हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा , का वर्णन करता है?
उत्तरD · एकैकी और आच्छादक
के लिए और के लिए : निरंतर वर्धमान, इसलिए एकैकी।
यह से तक चलता है: पर आच्छादक।
ध्यान देने योग्य
के विपरीत, , का चिह्न बनाए रखता है, इसलिए कभी दोहराता नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
अभिकथन (A): , , आच्छादक नहीं है।
कारण (R): हर वास्तविक के लिए ।
उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।
, क्योंकि हर अंश से बड़ा है। R सही है।
इसलिए उदाहरण के लिए 1 तक कभी नहीं पहुँचते, और , पर आच्छादक नहीं: A सही है, और R ठीक इसका कारण है।
ध्यान देने योग्य
एकैकी है, पर इससे वह आच्छादक नहीं हो जाता: इसके मान के भीतर रहते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इस प्रकार है: सम होने पर और विषम होने पर । इनमें से कौन-सा का वर्णन करता है?
उत्तरD · एकैकी और आच्छादक
सम धनात्मक पूर्णांक देते हैं; विषम देते हैं । दोनों सूचियाँ कभी नहीं मिलतीं, और हर सूची में भिन्न भिन्न मान देते हैं: एकैकी।
कोई भी , है, और कोई भी , है: आच्छादक। इसलिए एकैकी आच्छादक है।
ध्यान देने योग्य
में से दोगुनी संख्याएँ लगती हैं, पर उन्हें क्रम में सूचीबद्ध करता है और हर पूर्णांक तक पहुँचता है।
NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।