रैखिक प्रोग्रामन CUET गणित के Section A में आता है, वह सेक्शन जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, चाहे आप Mathematics लें या Applied Mathematics। इसके प्रश्न एक ही विधि पर चलते हैं, अक्सर सुसंगत क्षेत्र का चित्र दिया होता है, इसलिए ये पेपर के सबसे भरोसेमंद अंकों में से हैं। व्यवरोध और उद्देश्य लिखने से लेकर सुसंगत क्षेत्र, कोणीय बिंदु विधि और अपरिबद्ध तथा असुसंगत क्षेत्रों के जालों तक हर चरण यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।
एक कुम्हार कटोरे और फूलदान बनाती है। एक कटोरे में चाक पर 1 घंटा और एक फूलदान में 2 घंटे लगते हैं, और चाक दिन में 10 घंटे खाली है। एक कटोरे में 3 kg मिट्टी और एक फूलदान में 1 kg लगती है, और 15 kg मिट्टी है। एक कटोरे पर ₹60 और एक फूलदान पर ₹40 मिलते हैं। उसे हर एक कितने बनाने चाहिए? यह अध्याय ऐसे ही प्रश्नों का उत्तर देता है, जहाँ सीमित संसाधनों को सबसे अच्छे परिणाम के लिए बाँटना हो।
यह एक रैखिक व्यंजक, उद्देश्य फलन, को जितना हो सके बड़ा या छोटा बनाने की समस्या है, जबकि निर्णय चर रैखिक असमिकाओं के एक समूह, व्यवरोधों, का पालन करें। चर वास्तविक चीज़ें गिनते हैं, इसलिए वे अऋणात्मक व्यवरोधों और का भी पालन करते हैं।
उदाहरण 1 · समस्या लिखना
कुम्हार की समस्या का सूत्रीकरण कीजिए।
मान लीजिए कटोरों की संख्या है और फूलदानों की।
चाक का समय: । मिट्टी: । और , ।
लाभ: , जिसका अधिकतमीकरण करना है।
, , , के अंतर्गत का अधिकतमीकरण।
सावधान
दिशा शब्दों से पढ़िए: "अधिक से अधिक" और "उपलब्ध" से ; "कम से कम" और "देना ही है" से । और हर उत्पाद की संख्या उसके अपने चर के साथ रखिए: कटोरे की 3 kg, के साथ जाती है, के साथ नहीं।
सुसंगत क्षेत्र उन बिंदुओं का समुच्चय है जो एक साथ हर व्यवरोध को संतुष्ट करें, अऋणात्मक व्यवरोधों सहित। हर रैखिक असमिका एक अर्धतल है: सीमा रेखा और उसकी एक ओर का सब कुछ। ओर पता करने के लिए रेखा से बाहर का कोई बिंदु जाँचिए, प्रायः मूल बिंदु: सही है, इसलिए मूल बिंदु वाली ओर है।
छायांकित क्षेत्र का हर बिंदु एक सुसंगत हल है; बाहर के बिंदु कम से कम एक व्यवरोध तोड़ते हैं। कोणीय बिंदु, जहाँ सीमा रेखाएँ मिलती हैं, रेखाओं के समीकरणों को जोड़ियों में हल करके मिलते हैं: और , पर मिलती हैं।
यदि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है, तो उस पर उद्देश्य फलन का अधिकतम और न्यूनतम होता है, और दोनों किसी कोणीय बिंदु पर मिलते हैं। इसलिए कोणीय बिंदु सूचीबद्ध कीजिए, हर एक पर निकालिए, और सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान चुनिए।
उदाहरण 2 · कुम्हार की सबसे अच्छी योजना
कुम्हार के क्षेत्र पर का अधिकतमीकरण कीजिए।
कोणीय बिंदु: , , और ।
वहाँ : 0, 300, और 200।
अधिकतम लाभ ₹360 है, 4 कटोरों और 3 फूलदानों से।
मुख्य बात
यदि दो कोण एक ही सबसे अच्छा मान दें, तो उनके बीच के किनारे का हर बिंदु भी वही देता है, इसलिए इष्टतम हल अनंत होते हैं। ऐसा तब होता है जब उद्देश्य की रेखा उस किनारे के समांतर हो।
अपरिबद्ध क्षेत्र पर भी कोणीय मान ही उम्मीदवार हैं, पर उनकी जाँच चाहिए। न्यूनतम के लिए देखिए कि खुले अर्धतल का क्षेत्र से कोई उभयनिष्ठ बिंदु है या नहीं: यदि नहीं, तो न्यूनतम है; यदि है, तो कोई न्यूनतम नहीं। यही परीक्षण के साथ अधिकतम तय करता है, और अनंत तक फैले क्षेत्र का अक्सर कोई अधिकतम होता ही नहीं।
उदाहरण 3 · अपरिबद्ध क्षेत्र पर न्यूनतम
, , , के अंतर्गत का न्यूनतमीकरण कीजिए।
क्षेत्र दोनों रेखाओं के ऊपर है और अपरिबद्ध है। इसके कोणीय बिंदु , और हैं, जहाँ , 13 और 27।
जाँचिए: हर सुसंगत बिंदु पर , इसलिए अर्धतल क्षेत्र से नहीं मिलता।
न्यूनतम 10 है, पर। अधिकतम कोई नहीं।
यदि व्यवरोध आपस में विरोधी हों, जैसे और , तो सुसंगत क्षेत्र रिक्त है और समस्या का कोई सुसंगत हल नहीं।
सावधान
अपरिबद्ध क्षेत्र पर सबसे बड़ा कोणीय मान अधिकतम नहीं है। क्षेत्र में दूर के बिंदु को जितना चाहें उतना बड़ा कर देते हैं।
सूत्रीकरण
आलेखीय विधि
दसों अध्यायों के सूत्र एक पेज पर: Section A सूत्र-पत्र।
59 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक बढ़ई कुर्सियाँ () और मेज़ें () बनाता है। एक कुर्सी में 2 घंटे और एक मेज़ में 3 घंटे लगते हैं, और उसके पास दिन में 12 घंटे हैं। कौन-सा व्यवरोध उसके समय को बताता है?
उत्तरB ·
हर संसाधन को (प्रति इकाई उपयोग) × (इकाइयों की संख्या) लिखकर उत्पादों पर जोड़िए।
'अधिक से अधिक' या 'उपलब्ध' से ≤ आता है, 'कम से कम' या 'देना ही है' से ≥; लाभ का अधिकतमीकरण और लागत का न्यूनतमीकरण होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक आहार से कम से कम 40 इकाई विटामिन A मिलना चाहिए। भोजन P ( kg) से 5 इकाई प्रति kg और भोजन Q ( kg) से 2 इकाई प्रति kg मिलती है। कौन-सा व्यवरोध यह व्यक्त करता है?
उत्तरD ·
हर संसाधन को (प्रति इकाई उपयोग) × (इकाइयों की संख्या) लिखकर उत्पादों पर जोड़िए।
'अधिक से अधिक' या 'उपलब्ध' से ≤ आता है, 'कम से कम' या 'देना ही है' से ≥; लाभ का अधिकतमीकरण और लागत का न्यूनतमीकरण होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक विक्रेता पंखे () ₹50 प्रति नग लाभ पर और लैंप () ₹30 प्रति नग लाभ पर बेचता है। उसका उद्देश्य फलन कौन-सा है?
उत्तरA ·
हर संसाधन को (प्रति इकाई उपयोग) × (इकाइयों की संख्या) लिखकर उत्पादों पर जोड़िए।
'अधिक से अधिक' या 'उपलब्ध' से ≤ आता है, 'कम से कम' या 'देना ही है' से ≥; लाभ का अधिकतमीकरण और लागत का न्यूनतमीकरण होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक बेकरी केक () और पेस्ट्री () बनाती है। उसे पेस्ट्री से कम केक नहीं बनाने हैं। यह कौन-सा व्यवरोध है?
उत्तरA ·
हर संसाधन को (प्रति इकाई उपयोग) × (इकाइयों की संख्या) लिखकर उत्पादों पर जोड़िए।
'अधिक से अधिक' या 'उपलब्ध' से ≤ आता है, 'कम से कम' या 'देना ही है' से ≥; लाभ का अधिकतमीकरण और लागत का न्यूनतमीकरण होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में अज्ञात और , जिनके मान तय करने हैं, क्या कहलाते हैं?
उत्तरB · निर्णय चर
और उन मात्राओं के लिए हैं जिन्हें तय करना है, जैसे कितनी इकाइयाँ बनानी हैं।
ये निर्णय चर हैं; उद्देश्य फलन है और असमिकाएँ व्यवरोध हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
अभिकथन (A): उत्पादन समस्या में व्यवरोध और शामिल होते हैं।
कारण (R): कोई फर्म ऋणात्मक संख्या में इकाइयाँ नहीं बना सकती।
उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।
और इकाइयाँ गिनते हैं, जो ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, इसलिए R सही है।
ठीक इसीलिए अऋणात्मक व्यवरोध लिखे जाते हैं: A सही है और R उसकी व्याख्या करता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक विद्यार्थी दिन में घंटे गणित और घंटे भौतिकी पढ़ना चाहता है, और उसके पास अधिक से अधिक 10 घंटे हैं। कौन-सा व्यवरोध यह बताता है?
उत्तरD ·
हर संसाधन को (प्रति इकाई उपयोग) × (इकाइयों की संख्या) लिखकर उत्पादों पर जोड़िए।
'अधिक से अधिक' या 'उपलब्ध' से ≤ आता है, 'कम से कम' या 'देना ही है' से ≥; लाभ का अधिकतमीकरण और लागत का न्यूनतमीकरण होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक फर्म उत्पाद M की और उत्पाद N की इकाइयाँ बनाती है। मशीन समय M के लिए 3 घंटे और N के लिए 1 घंटा है, 15 घंटे उपलब्ध; श्रम M के लिए 1 घंटा और N के लिए 2 घंटे है, 10 घंटे उपलब्ध। कौन-से व्यवरोध सही हैं?
उत्तरB ·
हर संसाधन को (प्रति इकाई उपयोग) × (इकाइयों की संख्या) लिखकर उत्पादों पर जोड़िए।
'अधिक से अधिक' या 'उपलब्ध' से ≤ आता है, 'कम से कम' या 'देना ही है' से ≥; लाभ का अधिकतमीकरण और लागत का न्यूनतमीकरण होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक परिवाहक छोटे ट्रक ₹400 प्रति फेरा और बड़े ट्रक ₹700 प्रति फेरा लगाता है, और सबसे सस्ती योजना चाहता है। उद्देश्य कौन-सा है?
उत्तरD ·
हर संसाधन को (प्रति इकाई उपयोग) × (इकाइयों की संख्या) लिखकर उत्पादों पर जोड़िए।
'अधिक से अधिक' या 'उपलब्ध' से ≤ आता है, 'कम से कम' या 'देना ही है' से ≥; लाभ का अधिकतमीकरण और लागत का न्यूनतमीकरण होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
I. रैखिक प्रोग्रामन समस्या का उद्देश्य फलन निर्णय चरों में रैखिक होता है।
II. , अऋणात्मक व्यवरोध कहलाते हैं।
III. सुसंगत क्षेत्र सभी व्यवरोधों का, अऋणात्मक व्यवरोधों सहित, उभयनिष्ठ क्षेत्र है।
IV. सुसंगत क्षेत्र का हर बिंदु इष्टतम हल है।
उत्तरC · केवल I, II और III
I, II और III परिभाषाएँ हैं: रैखिक उद्देश्य, अऋणात्मक चर, और ऐसा सुसंगत क्षेत्र जहाँ हर व्यवरोध लागू हो।
IV गलत है: सुसंगत क्षेत्र का बिंदु सुसंगत हल है; इष्टतम हल वह है जो का सबसे अच्छा मान दे।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक दुकान अधिक से अधिक 60 इकाई माल रख सकती है, और उसे प्रकार A () की इकाइयाँ प्रकार B () से कम से कम दोगुनी रखनी हैं। व्यवरोधों का कौन-सा युग्म सही है?
उत्तरC ·
हर संसाधन को (प्रति इकाई उपयोग) × (इकाइयों की संख्या) लिखकर उत्पादों पर जोड़िए।
'अधिक से अधिक' या 'उपलब्ध' से ≤ आता है, 'कम से कम' या 'देना ही है' से ≥; लाभ का अधिकतमीकरण और लागत का न्यूनतमीकरण होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
भोजन A ( kg) से प्रति kg 2 इकाई प्रोटीन और 3 इकाई लौह मिलता है; भोजन B ( kg) से 4 इकाई प्रोटीन और 1 इकाई लौह। एक भोजन में कम से कम 20 इकाई प्रोटीन और 12 इकाई लौह चाहिए। कौन-से व्यवरोध सही हैं?
उत्तरA ·
हर संसाधन को (प्रति इकाई उपयोग) × (इकाइयों की संख्या) लिखकर उत्पादों पर जोड़िए।
'अधिक से अधिक' या 'उपलब्ध' से ≤ आता है, 'कम से कम' या 'देना ही है' से ≥; लाभ का अधिकतमीकरण और लागत का न्यूनतमीकरण होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।
I. किसी रैखिक प्रोग्रामन समस्या का उद्देश्य फलन हो सकता है।
II. किसी रैखिक प्रोग्रामन समस्या का व्यवरोध हो सकता है।
उत्तरB · केवल II
I गलत है: पद , को अरैखिक बना देता है; उद्देश्य रैखिक होना चाहिए।
II सही है: यह और में एक रैखिक असमिका है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक कार्यशाला एक मेज़ () ₹900 में बेचती है जिसे बनाने में ₹600 लगते हैं, और एक कुर्सी () ₹300 में जिसे बनाने में ₹200 लगते हैं। कौन-सा उद्देश्य उसका लाभ अधिकतम करता है?
उत्तरD ·
हर संसाधन को (प्रति इकाई उपयोग) × (इकाइयों की संख्या) लिखकर उत्पादों पर जोड़िए।
'अधिक से अधिक' या 'उपलब्ध' से ≤ आता है, 'कम से कम' या 'देना ही है' से ≥; लाभ का अधिकतमीकरण और लागत का न्यूनतमीकरण होता है।
ध्यान देने योग्य
आय लाभ नहीं है: पहले हर वस्तु के मूल्य में से उसकी लागत घटाइए।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक किसान अपनी 50 एकड़ ज़मीन में से एकड़ पर गेहूँ और एकड़ पर धान बोता है। गेहूँ को प्रति एकड़ 4 kg और धान को 6 kg खाद चाहिए, और उसके पास 240 kg है। कौन-से व्यवरोध सही हैं?
उत्तरB ·
हर संसाधन को (प्रति इकाई उपयोग) × (इकाइयों की संख्या) लिखकर उत्पादों पर जोड़िए।
'अधिक से अधिक' या 'उपलब्ध' से ≤ आता है, 'कम से कम' या 'देना ही है' से ≥; लाभ का अधिकतमीकरण और लागत का न्यूनतमीकरण होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक कारख़ाना प्रकार A की और प्रकार B की इकाइयाँ बनाता है। कुल बनाई गई इकाइयों में से अधिक से अधिक एक-तिहाई प्रकार B की हो सकती हैं। यह कौन-सा व्यवरोध है?
उत्तरC ·
हर संसाधन को (प्रति इकाई उपयोग) × (इकाइयों की संख्या) लिखकर उत्पादों पर जोड़िए।
'अधिक से अधिक' या 'उपलब्ध' से ≤ आता है, 'कम से कम' या 'देना ही है' से ≥; लाभ का अधिकतमीकरण और लागत का न्यूनतमीकरण होता है।
ध्यान देने योग्य
सरल होकर बनता है; '' में कुल के बजाय प्रकार A का एक-तिहाई लिया गया।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
कौन-सा बिंदु के सुसंगत क्षेत्र में है?
उत्तरB ·
कोई बिंदु तब सुसंगत है जब वह हर व्यवरोध को संतुष्ट करे। जाँचिए: ; ।
बाकी हर बिंदु कम से कम एक व्यवरोध तोड़ता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
व्यवरोध कौन-सा क्षेत्र दर्शाता है?
उत्तरC · रेखा और उसका वह भाग जिसमें मूल बिंदु है
रैखिक असमिका एक अर्धतल बताती है: सीमा रेखा और उसकी एक ओर का सब कुछ।
मूल बिंदु जाँचिए: सही है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग छायांकित होता है।
ध्यान देने योग्य
दूर वाला भाग का क्षेत्र है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के सुसंगत क्षेत्र के कितने कोणीय बिंदु हैं?
उत्तरB ·
सीमा रेखाएँ, अक्षों सहित, जहाँ मिलती हैं वे बिंदु निकालिए, और उन्हीं को रखिए जो हर व्यवरोध संतुष्ट करें।
ये , , , हैं: कुल 4।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
कौन-सा बिंदु के सुसंगत क्षेत्र में है?
उत्तरD ·
हर बिंदु को हर व्यवरोध में रखिए।
: और । और , में विफल; , में विफल।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा बिंदु क्षेत्र , , , में नहीं है?
उत्तरA ·
पर: , जो से कम है, इसलिए यह दूसरा व्यवरोध तोड़ता है।
बाकी तीनों चारों व्यवरोध संतुष्ट करते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
कौन-सा बिंदु के सुसंगत क्षेत्र में है?
उत्तरD ·
कोई बिंदु तब सुसंगत है जब वह हर व्यवरोध को संतुष्ट करे। जाँचिए: ; ।
बाकी हर बिंदु कम से कम एक व्यवरोध तोड़ता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के सुसंगत क्षेत्र के कितने कोणीय बिंदु हैं?
उत्तरA ·
सीमा रेखाएँ, अक्षों सहित, जहाँ मिलती हैं वे बिंदु निकालिए, और उन्हीं को रखिए जो हर व्यवरोध संतुष्ट करें।
ये , , , , हैं: कुल 5।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
चित्र में छायांकित क्षेत्र एक सुसंगत क्षेत्र है। व्यवरोधों का कौन-सा निकाय इसे देता है?
उत्तरD ·
क्षेत्र में मूलबिंदु है, इसलिए दोनों सीमा रेखाएँ उसकी ओर '' हैं।
इसके कोणीय बिंदु , , , , , और अक्षों पर हैं।
ध्यान देने योग्य
'' क्षेत्र को रेखा के दूसरी ओर, मूलबिंदु से दूर, कर देता।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
क्या , , , , का सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है?
उत्तरA · हाँ, यह परिबद्ध है
और हर बिंदु को आयत , के भीतर रखते हैं।
केवल मूलबिंदु के पास का कोना काटता है, इसलिए क्षेत्र एक परिबद्ध बहुभुज है।
ध्यान देने योग्य
केवल '' व्यवरोध से क्षेत्र अपरिबद्ध नहीं होता; यहाँ आयत उसे बंद कर देता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
व्यवरोध किस क्षेत्र को बताता है?
उत्तरC · रेखा और उसकी वह ओर जो मूलबिंदु से दूर है
मूलबिंदु जाँचिए: गलत है, इसलिए मूलबिंदु क्षेत्र में नहीं।
क्षेत्र रेखा के दूसरी ओर वाला अर्धतल है, और '' में रेखा भी शामिल है।
ध्यान देने योग्य
कठोर '' रेखा को छोड़ देता; '' उसे रखता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, , , , के सुसंगत क्षेत्र के कितने कोणीय बिंदु हैं?
उत्तरC ·
कोणीय बिंदु , , , , हैं।
रेखा आयत का कोना काट देती है, जिससे 5 कोणीय बिंदु बचते हैं।
ध्यान देने योग्य
4 केवल आयत , गिनता है; सुसंगत नहीं, क्योंकि ।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन , , , के सुसंगत क्षेत्र का कोणीय बिंदु है?
उत्तरB ·
रेखाएँ और , पर मिलती हैं, जो हर व्यवरोध को संतुष्ट करता है।
और , तोड़ते हैं; , तोड़ता है। कोणीय बिंदु , , हैं।
ध्यान देने योग्य
पर , -अक्ष से मिलती है, पर वह भाग काट देता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
चित्र में छायांकित क्षेत्र का सुसंगत क्षेत्र है। का अधिकतम मान क्या है?
उत्तरD ·
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु , , , हैं।
के मान: पर , पर , पर , पर ।
क्षेत्र परिबद्ध है, इसलिए अधिकतम इनमें सबसे बड़ा है: , पर।
ध्यान देने योग्य
न्यूनतम है, दूसरे छोर पर।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
किसी परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु , , और हैं। का अधिकतम मान क्या है?
उत्तरC ·
परिबद्ध क्षेत्र में अधिकतम किसी कोण पर होता है: हर एक पर निकालिए।
, 20, और 18, इसलिए अधिकतम 24 है, पर।
ध्यान देने योग्य
20 तो पर है, सबसे बड़े वाला कोण; सबसे बड़ा कहीं और भी हो सकता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु , , और हैं। का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरA ·
हर कोणीय बिंदु पर : पर , पर , पर , पर ।
सबसे छोटा 4 है, पर।
ध्यान देने योग्य
36 अधिकतम है, पर।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
चित्र में छायांकित क्षेत्र का सुसंगत क्षेत्र है। का अधिकतम मान क्या है?
उत्तरC ·
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु , , , हैं।
के मान: पर , पर , पर , पर ।
क्षेत्र परिबद्ध है, इसलिए अधिकतम इनमें सबसे बड़ा है: , पर।
ध्यान देने योग्य
न्यूनतम है, दूसरे छोर पर।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
व्यवरोधों के अंतर्गत का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरB ·
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु , , , हैं।
के मान: पर , पर , पर , पर ।
क्षेत्र परिबद्ध है, इसलिए न्यूनतम इनमें सबसे छोटा है: , पर।
ध्यान देने योग्य
अधिकतम है, दूसरे छोर पर।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
व्यवरोधों के अंतर्गत किस बिंदु पर अधिकतम होता है?
उत्तरA ·
कोणीय बिंदु: , , , ।
वहाँ : , , , ; सबसे बड़ा पर है।
ध्यान देने योग्य
जहाँ दोनों व्यवरोध रेखाएँ कटती हैं, वह कोण सदा सबसे अच्छा नहीं होता; यहाँ , -अक्ष पर बड़ा है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, , के अंतर्गत का अधिकतमीकरण कीजिए। कितने इष्टतम हल हैं?
उत्तरD · अनंत
कोणों , और पर , 10 और 10: अधिकतम 10 दो कोणों पर मिलता है।
तब उन्हें जोड़ने वाले किनारे का हर बिंदु भी देता है, इसलिए इष्टतम हल अनंत हैं।
ध्यान देने योग्य
दो इष्टतम कोणों का अर्थ 'ठीक दो' नहीं: उनके बीच का पूरा किनारा इष्टतम है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक कंपनी दो उत्पाद, P और Q, बनाती है जिन पर ₹30 और ₹40 प्रति इकाई लाभ है। P की हर इकाई में 1 घंटा और Q की हर इकाई में 2 घंटे मशीन समय लगता है; 40 घंटे उपलब्ध हैं। कुल मिलाकर अधिक से अधिक 30 इकाइयाँ बन सकती हैं। अधिकतम लाभ, रुपये में, क्या है?
उत्तरC ·
P की और Q की इकाइयों के साथ: , , के अंतर्गत का अधिकतमीकरण।
कोणों पर: , , , ।
अधिकतम लाभ ₹1,000 है, P की 20 और Q की 10 इकाइयाँ बनाकर।
ध्यान देने योग्य
₹1,200 में Q की 30 इकाइयाँ बनीं, जिनमें 60 मशीन घंटे लगते; उपलब्ध केवल 40 हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
अभिकथन (A): परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र पर रैखिक उद्देश्य फलन का इष्टतम मान किसी कोणीय बिंदु पर मिलता है।
कारण (R): किसी रेखाखंड पर रैखिक फलन अपने सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खंड के सिरों पर लेता है।
उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।
A कोणीय बिंदु प्रमेय है।
R सही है, और हर किनारे पर लगाने से इष्टतम कोणों पर पहुँचता है: यह A की व्याख्या करता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
व्यवरोधों के अंतर्गत का अधिकतम मान क्या है?
उत्तरD ·
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु , , , हैं।
के मान: पर , पर , पर , पर ।
क्षेत्र परिबद्ध है, इसलिए अधिकतम इनमें सबसे बड़ा है: , पर।
ध्यान देने योग्य
न्यूनतम है, दूसरे छोर पर।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
चित्र में छायांकित क्षेत्र का सुसंगत क्षेत्र है। का अधिकतम मान क्या है?
उत्तरD ·
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु , , , हैं।
के मान: पर , पर , पर , पर ।
क्षेत्र परिबद्ध है, इसलिए अधिकतम इनमें सबसे बड़ा है: , पर।
ध्यान देने योग्य
न्यूनतम है, दूसरे छोर पर।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
व्यवरोधों के अंतर्गत किस बिंदु पर अधिकतम होता है?
उत्तरB ·
कोणीय बिंदु: , , , ; वहाँ के मान , , , हैं।
सबसे बड़ा, 18, पर है।
ध्यान देने योग्य
पर दोनों रेखाएँ कटती हैं, पर में का भार का तीन गुना है, इसलिए ऊपर वाला कोना जीतता है। सुसंगत नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के अंतर्गत का अधिकतमीकरण कीजिए। कितने इष्टतम हल हैं?
उत्तरD · अनंत
कोणीय बिंदु: , , , ; के मान , , , हैं।
अधिकतम, 24, और दोनों पर आता है, क्योंकि , किनारे के समांतर है; उस किनारे का हर बिंदु इष्टतम है।
ध्यान देने योग्य
'ठीक दो' केवल कोणीय बिंदु गिनता है, पर किनारे पर उनके बीच का हर बिंदु भी 24 देता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
व्यवरोधों के अंतर्गत का अधिकतम मान क्या है?
उत्तरC ·
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु , , , हैं।
के मान: पर , पर , पर , पर ।
क्षेत्र परिबद्ध है, इसलिए अधिकतम इनमें सबसे बड़ा है: , पर।
ध्यान देने योग्य
न्यूनतम है, दूसरे छोर पर।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, जहाँ , अपना अधिकतम और दोनों पर लेता है। कौन-सा संबंध सही है?
उत्तरB ·
बराबर अधिकतम मान: ।
इससे मिलता है।
ध्यान देने योग्य
में दोनों अक्षर उलटे हैं; और रखकर जाँचिए।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
व्यवरोधों के अंतर्गत का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरA ·
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु , , , , हैं।
के मान: पर , पर , पर , पर , पर ।
क्षेत्र परिबद्ध है, इसलिए न्यूनतम इनमें सबसे छोटा है: , पर।
ध्यान देने योग्य
अधिकतम है, दूसरे छोर पर।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक दुकानदार पंखे ₹300 और लैंप ₹150 में ख़रीदता है, उसके पास ख़र्च के लिए ₹6,000 और 30 वस्तुओं की जगह है। उसे एक पंखे पर ₹40 और एक लैंप पर ₹25 मिलते हैं। उसका अधिकतम संभव लाभ क्या है?
उत्तरC · ₹900
पंखे और लैंप: , यानी , और ; का अधिकतमीकरण।
कोणीय बिंदु: , , , , जहाँ के मान , , , हैं।
सबसे बड़ा ₹900 है, 10 पंखे और 20 लैंप के साथ।
ध्यान देने योग्य
₹1,200 में सभी 30 जगहें पंखों से भरी गईं, जिसके लिए ₹9,000 चाहिए, बजट से अधिक।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के किस मान के लिए का मान कोणीय बिंदुओं और पर बराबर है?
उत्तरC ·
और ।
से ।
ध्यान देने योग्य
6 तो है, 2 से भाग देने से पहले का अंतर।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
चित्र में छायांकित क्षेत्र, जो अपरिबद्ध है, का सुसंगत क्षेत्र है। का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरA ·
कोणीय बिंदु: , , ; वहाँ के मान , , हैं।
क्षेत्र अपरिबद्ध है, इसलिए जाँचिए कि का उससे कोई उभयनिष्ठ बिंदु न हो: रेखा क्षेत्र को केवल पर छूती है।
इसलिए न्यूनतम है।
ध्यान देने योग्य
अपरिबद्ध क्षेत्र पर सबसे बड़ा कोणीय मान अधिकतम नहीं होता: बिना सीमा के बढ़ सकता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, , के लिए का अधिकतम क्या है?
उत्तरD · कोई अधिकतम नहीं है
क्षेत्र पहले चतुर्थांश में रेखा पर या उसके ऊपर का सब कुछ है, जो अपरिबद्ध है।
जैसे बिंदु सुसंगत हैं और देते हैं; की कोई ऊपरी सीमा नहीं।
ध्यान देने योग्य
12 सबसे बड़ा कोणीय मान है, पर अपरिबद्ध क्षेत्र पर उससे कुछ तय नहीं होता।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
समस्या के बारे में क्या कहा जा सकता है: , , , के अंतर्गत का अधिकतमीकरण कीजिए?
उत्तरC · इसका कोई सुसंगत हल नहीं है
किसी बिंदु पर एक साथ अधिक से अधिक 2 और कम से कम 5 नहीं हो सकता।
इसलिए सुसंगत क्षेत्र रिक्त है और समस्या का कोई हल नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।
I. यदि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है, तो उस पर उद्देश्य फलन का अधिकतम और न्यूनतम दोनों होते हैं।
II. यदि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, तो उस पर उद्देश्य फलन का कोई न्यूनतम नहीं होता।
उत्तरA · केवल I
परिबद्ध क्षेत्र पर दोनों इष्टतम मान होते हैं और कोणीय बिंदुओं पर मिलते हैं, इसलिए I सही है।
अपरिबद्ध क्षेत्र पर भी न्यूनतम (या अधिकतम) हो सकता है; उसे जाँचना पड़ता है, इसलिए II गलत है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, , के लिए का न्यूनतम क्या है?
उत्तरC ·
इस अपरिबद्ध क्षेत्र के कोणीय बिंदु और हैं, जिन पर और ।
अर्धतल का क्षेत्र से कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं, इसलिए न्यूनतम 6 है।
ध्यान देने योग्य
0 मूल बिंदु पर है, जो क्षेत्र में नहीं है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
क्षेत्र , , पर के बारे में क्या सही है?
उत्तरD · इसका न्यूनतम 6 है और अधिकतम नहीं
कोणीय बिंदु और हैं, जहाँ और 10। अर्धतल में कोई सुसंगत बिंदु नहीं, इसलिए 6 न्यूनतम है।
क्षेत्र ऊपर की ओर अपरिबद्ध है: से , इसलिए कोई अधिकतम नहीं।
ध्यान देने योग्य
10 दूसरे कोणीय बिंदु का मान है, न्यूनतम नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।
I. यदि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध हो, तब भी उद्देश्य फलन का न्यूनतम हो सकता है।
II. यदि सुसंगत क्षेत्र रिक्त हो, तो समस्या का कोई इष्टतम हल नहीं।
उत्तरC · I और II दोनों
I: पर जैसी लागत का न्यूनतम 8 है, यद्यपि क्षेत्र अपरिबद्ध है। सही।
II: कोई सुसंगत बिंदु न हो तो अनुकूलित करने को कुछ नहीं। सही।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
चित्र में छायांकित क्षेत्र, जो अपरिबद्ध है, का सुसंगत क्षेत्र है। का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरB ·
कोणीय बिंदु: , , ; वहाँ के मान , , हैं।
क्षेत्र अपरिबद्ध है, इसलिए जाँचिए कि का उससे कोई उभयनिष्ठ बिंदु न हो: रेखा क्षेत्र को केवल पर छूती है।
इसलिए न्यूनतम है।
ध्यान देने योग्य
अपरिबद्ध क्षेत्र पर सबसे बड़ा कोणीय मान अधिकतम नहीं होता: बिना सीमा के बढ़ सकता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
चित्र में छायांकित क्षेत्र, जो अपरिबद्ध है, का सुसंगत क्षेत्र है। का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरB ·
कोणीय बिंदु: , , ; वहाँ के मान , , हैं।
क्षेत्र अपरिबद्ध है, इसलिए जाँचिए कि का उससे कोई उभयनिष्ठ बिंदु न हो: रेखा क्षेत्र को केवल पर छूती है।
इसलिए न्यूनतम है।
ध्यान देने योग्य
अपरिबद्ध क्षेत्र पर सबसे बड़ा कोणीय मान अधिकतम नहीं होता: बिना सीमा के बढ़ सकता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक आहार में भोजन A ( kg) ₹60 प्रति kg और भोजन B ( kg) ₹80 प्रति kg मिलाया जाता है। इसमें कम से कम 8 इकाई प्रोटीन (A से 2 प्रति kg, B से 4) और कम से कम 6 इकाई लौह (A से 3 प्रति kg, B से 1) चाहिए। आहार की न्यूनतम लागत, रुपये में, क्या है?
उत्तरB ·
, , के अंतर्गत का न्यूनतमीकरण: एक अपरिबद्ध क्षेत्र।
कोणीय बिंदु: , , ।
अर्धतल क्षेत्र से नहीं मिलता, इसलिए न्यूनतम लागत ₹192 है।
ध्यान देने योग्य
₹240 में केवल अक्षों वाले कोण जाँचे गए; सबसे सस्ता मिश्रण वहाँ है जहाँ दोनों आवश्यकता रेखाएँ कटती हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इसके बारे में क्या कहा जा सकता है: , , , के अंतर्गत का अधिकतमीकरण?
उत्तरB · इसका कोई सुसंगत हल नहीं है
पहले चतुर्थांश में पर का सबसे बड़ा मान पर 9 है।
9, 12 से कम है, इसलिए कोई बिंदु दोनों व्यवरोध संतुष्ट नहीं करता: सुसंगत क्षेत्र रिक्त है।
ध्यान देने योग्य
, को संतुष्ट करता है पर देता है; , तोड़ता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
व्यवरोधों के अंतर्गत का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरA ·
कोणीय बिंदु: , , ; वहाँ के मान , , हैं।
क्षेत्र अपरिबद्ध है, इसलिए जाँचिए कि का उससे कोई उभयनिष्ठ बिंदु न हो: रेखा क्षेत्र को केवल पर छूती है।
इसलिए न्यूनतम है।
ध्यान देने योग्य
अपरिबद्ध क्षेत्र पर सबसे बड़ा कोणीय मान अधिकतम नहीं होता: बिना सीमा के बढ़ सकता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
भोजन X की कीमत ₹50 प्रति kg है और उससे प्रति kg 1 इकाई विटामिन A और 2 इकाई विटामिन B मिलती है; भोजन Y ₹70 प्रति kg है और उससे 2 इकाई A और 1 इकाई B। मिश्रण में कम से कम 8 इकाई A और 10 इकाई B चाहिए। न्यूनतम लागत क्या है?
उत्तरB · ₹340
kg X और kg Y: , ; का न्यूनतमीकरण।
कोणीय बिंदु: , , , जहाँ के मान , , हैं।
का क्षेत्र में कोई बिंदु नहीं, इसलिए न्यूनतम लागत ₹340 है, 4 kg X और 2 kg Y के साथ।
ध्यान देने योग्य
₹400 में केवल भोजन X, 8 kg, आता है; कुछ Y मिलाना सस्ता है।
NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।