CUET गणित के लिए प्रायिकता

Q: प्रतिदर्श समष्टि क्या होती है?

प्रतिदर्श समष्टि S किसी प्रयोग के सभी संभव परिणामों का समुच्चय है, और घटना उसका कोई भी भाग है। दो पासे फेंकने पर 6 × 6 = 36 क्रमित युग्म (a, b) मिलते हैं, और घटना "कम से कम एक 6" वे 11 युग्म हैं जिनमें 6 है।

Q: परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाएँ क्या होती हैं?

घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं यदि कोई परिणाम उनमें से दो में न हो, इसलिए वे साथ नहीं हो सकतीं: A B = । वे निःशेष हैं यदि मिलकर पूरी प्रतिदर्श समष्टि ढक लें, इसलिए उनमें से कम से कम एक सदा होती है। कोई घटना और उसका पूरक दोनों हैं।

Q: प्रायिकता का योग नियम क्या है?

किन्हीं दो घटनाओं के लिए P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) । साझा भाग इसलिए घटाया जाता है कि P(A) और P(B) जोड़ने पर वह दो बार गिना जाता है। परस्पर अपवर्जी घटनाओं में साझा भाग खाली है, और नियम P(A B) = P(A) + P(B) रह जाता है।

सीखने में लगभग 5 मिनट · 70 प्रश्न

प्रायिकता CUET गणित के Section A में आती है, वह सेक्शन जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, चाहे आप Mathematics लें या Applied Mathematics। इसके प्रश्न पासों, सिक्कों, पत्तों और चयनों पर होते हैं जिन्हें आप पहले से जानते हैं, इसलिए अंक उसे मिलते हैं जो सावधानी से गिनता है। प्रतिदर्श समष्टि और घटनाओं के बीजगणित से लेकर समसंभाव्य परिणामों, संचयों से गिनती, और योग तथा पूरक नियमों तक हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र: Section A1

इस पृष्ठ पर · 10 भाग

01घटनाएँ और प्रतिदर्श समष्टि
02घटनाओं का बीजगणित
03स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण
04समसंभाव्य परिणाम
05'A या B' और 'A नहीं'
06CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
07परीक्षा के लिए शॉर्टकट
08आम भूलें
09त्वरित पुनरावृत्ति
10अपनी समझ जाँचें

घटनाएँ और प्रतिदर्श समष्टि

एक बोर्ड खेल में गोटी बाहर निकालने के लिए 6 चाहिए, और आप दो पासे फेंकते हैं। कम से कम एक 6 आने की कितनी संभावना है? किसी भी नियम से पहले हमें दो सूचियाँ चाहिए: जो कुछ भी हो सकता है, और उसमें से वह भाग जिसमें हमारी रुचि है।

प्रतिदर्श समष्टि क्या होती है?

प्रतिदर्श समष्टि $S$ किसी प्रयोग के सभी संभव परिणामों का समुच्चय है, और घटना उसका कोई भी भाग है। दो पासे फेंकने पर $6 \times 6 = 36$ क्रमित युग्म $(a, b)$ मिलते हैं, और घटना "कम से कम एक 6" वे 11 युग्म हैं जिनमें 6 है।

घटना का प्रकार	क्या है	दो पासे
असंभव	कोई परिणाम नहीं, $\varnothing$	योग 13 है
निश्चित	पूरी प्रतिदर्श समष्टि $S$	योग अधिक से अधिक 12 है
सरल	ठीक एक परिणाम	दोनों पासों पर 6
मिश्र	एक से अधिक परिणाम	योग 10 है

उदाहरण 1 · प्रतिदर्श समष्टि की गिनती

एक सिक्का तीन बार उछालने पर कितने परिणाम होते हैं, और कितनों में ठीक एक पट है?

हर उछाल के 2 परिणाम हैं, इसलिए $2 \times 2 \times 2 = 8$ ।
ठीक एक पट: $HHT$ , $HTH$ , $THH$ ।

उत्तर

8 परिणाम, जिनमें से 3 में ठीक एक पट है।

सावधान

अलग-अलग भागों के विकल्प गुणा होते हैं; कभी जुड़ते नहीं। और जब वस्तुएँ एक साथ, बिना क्रम के, चुनी जाएँ, तो संचय से गिनिए: 52 में से दो पत्ते एक साथ ${}^{52}C_2$ तरीकों से निकलते हैं, $52 \times 51$ से नहीं।

घटनाओं का बीजगणित

घटनाएँ समुच्चय हैं, इसलिए वे समुच्चयों की तरह जुड़ती हैं।

घटना	शब्दों में	समुच्चयों में
$A'$	$A$ नहीं	$S$ में से $A$ हटाकर
$A \cup B$	$A$ या $B$ , या दोनों	सम्मिलन
$A \cap B$	$A$ और $B$	सर्वनिष्ठ
$A \cap B'$	$A$ पर $B$ नहीं	$A$ में से $B$ हटाकर

उदाहरण 2 · घटनाओं को जोड़ना

एक पासा फेंका जाता है। $A$ है "एक अभाज्य संख्या" और $B$ है "एक विषम संख्या"। $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A \cap B'$ और $A'$ ज्ञात कीजिए।

$A = \{2, 3, 5\}$ और $B = \{1, 3, 5\}$ ।
जोड़िए, साझा भाग लीजिए, हटाइए और पूरक लीजिए।

उत्तर

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5\}$ , $A \cap B = \{3, 5\}$ , $A \cap B' = \{2\}$ और $A' = \{1, 4, 6\}$ ।

परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाएँ क्या होती हैं?

घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं यदि कोई परिणाम उनमें से दो में न हो, इसलिए वे साथ नहीं हो सकतीं: $A \cap B = \varnothing$ । वे निःशेष हैं यदि मिलकर पूरी प्रतिदर्श समष्टि ढक लें, इसलिए उनमें से कम से कम एक सदा होती है। कोई घटना और उसका पूरक दोनों हैं।

स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण

हर प्रायिकता किन नियमों का पालन करती है?

हर प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है। निश्चित घटना की प्रायिकता 1 और असंभव घटना की 0 है। प्रतिदर्श समष्टि के सभी अलग-अलग परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1 होता है, और किसी घटना की प्रायिकता उसके परिणामों की प्रायिकताओं का योग है।

ये नियम तब भी चलते हैं जब परिणाम समसंभाव्य न हों।

उदाहरण 3 · भारित पासा

एक पासा ऐसे भारित है कि 6 आने की संभावना हर दूसरे फलक से दोगुनी है, और बाकी पाँच फलक समसंभाव्य हैं। $P(6)$ ज्ञात कीजिए।

1 से 5 तक हर फलक की प्रायिकता $p$ लीजिए; तब 6 की $2p$ ।
प्रायिकताओं का योग 1 है: $5p + 2p = 1$ , इसलिए $p = \frac{1}{7}$ ।

उत्तर

P(6) = \frac{2}{7}

संयोगानुपात यही बात कहने का दूसरा तरीका है: पक्ष में $a : b$ का अर्थ है हर $b$ प्रतिकूल पर $a$ अनुकूल स्थितियाँ, इसलिए प्रायिकता $\frac{a}{a + b}$ है।

समसंभाव्य परिणाम

परिणाम समसंभाव्य हों तो प्रायिकता कैसे निकालते हैं?

घटना के परिणाम गिनिए और प्रतिदर्श समष्टि के परिणामों की संख्या से भाग दीजिए: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ । यह तभी चलता है जब हर परिणाम समसंभाव्य हो, इसीलिए दो पासों के 11 योगों में से हर एक को $\frac{1}{11}$ नहीं दिया जा सकता।

उदाहरण 4 · दो पासे

दो पासे फेंके जाते हैं। योग 9 आने की प्रायिकता क्या है?

योग 9 आता है $(3, 6)$ , $(4, 5)$ , $(5, 4)$ और $(6, 3)$ में।
यह 36 समसंभाव्य परिणामों में से 4 है।

उत्तर

\frac{4}{36} = \frac{1}{9}

जब वस्तुएँ एक साथ चुनी जाएँ, तो घटना और प्रतिदर्श समष्टि दोनों को संचय से गिनिए।

उदाहरण 5 · संचयों से गिनती

एक डिब्बे में 4 लाल और 6 हरी गेंदें हैं। 3 गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। तीनों के हरी होने की प्रायिकता क्या है?

सभी चयन: ${}^{10}C_3 = 120$ । सभी हरी वाले चयन: ${}^{6}C_3 = 20$ ।
$\frac{20}{120}$ ।

उत्तर

\frac{1}{6}

सावधान

एक साथ निकाली गई गेंदें वापस नहीं रखी जातीं, इसलिए यहाँ $\left(\frac{6}{10}\right)^3$ गलत है। एक ही भिन्न को गुणा करना तभी सही है जब हर वस्तु अगली निकासी से पहले वापस जाए।

'A या B' और 'A नहीं'

प्रायिकता का योग नियम क्या है?

किन्हीं दो घटनाओं के लिए $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ । साझा भाग इसलिए घटाया जाता है कि $P(A)$ और $P(B)$ जोड़ने पर वह दो बार गिना जाता है। परस्पर अपवर्जी घटनाओं में साझा भाग खाली है, और नियम $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ रह जाता है।

पूरक नियम

P(A') = 1 - P(A)

उदाहरण 6 · योग नियम

$P(A) = 0.5$ , $P(B) = 0.4$ और $P(A \cap B) = 0.2$ । $P(A \cup B)$ और किसी के भी न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

$P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$ ।
कोई नहीं, यानी $A \cup B$ का पूरक: $1 - 0.7$ ।

उत्तर

$P(A \cup B) = 0.7$ ; कोई नहीं: 0.3।

"कम से कम एक" का तेज़ रास्ता पूरक है। बोर्ड खेल पर लौटें: किसी भी पासे पर 6 न आना 36 में से $5 \times 5 = 25$ परिणामों में होता है, इसलिए

P(\text{कम से कम एक 6}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}

जो तीन में एक से थोड़ा कम है।

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

प्रतिदर्श समष्टि और घटनाएँ: परिणामों की संख्या, असंभव या निश्चित घटना, या लिखी हुई घटना।
घटनाओं का बीजगणित: $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A \cap B'$ या पूरक, अक्सर सूची-मिलान के रूप में, और परस्पर अपवर्जी तथा निःशेष घटनाओं पर कथन।
नियम: कौन-सी संख्याएँ प्रायिकता हो सकती हैं, कोई छूटी प्रायिकता, या संयोगानुपात।
गिनती: पासे, सिक्के, पत्ते, संख्याएँ, अक्षर और एक साथ निकाली गई गेंदें।
योग और पूरक: $P(A \cup B)$ , "कोई नहीं", "A पर B नहीं", या "कम से कम एक"।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ केवल समसंभाव्य परिणामों के लिए।
दो पासे: 2 से 7 तक योग $s$ के $s - 1$ तरीके; 7 से 12 तक, $13 - s$ ।
"कम से कम एक" है $1 - P(\text{कोई नहीं})$ ।
$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B)$ ।
न $A$ न $B$ : $1 - P(A \cup B)$ ।
पक्ष में संयोगानुपात $a : b$ : $\frac{a}{a + b}$ ।

आम भूलें

असमान परिणामों को समसंभाव्य मानना, जैसे दो पासों के योग या चितों की संख्या।
साझा भाग घटाए बिना $P(A)$ और $P(B)$ जोड़ना।
एक साथ निकाली गई वस्तुओं में वापस रखने वाला गुणा करना।
दोहराए अक्षर को एक बार गिनना, या 1 को अभाज्य गिनना।
"परस्पर अपवर्जी" और "निःशेष" को एक समझ लेना।

त्वरित पुनरावृत्ति

घटनाएँ

$S$ : सभी परिणाम; घटना $S$ का एक भाग है
परस्पर अपवर्जी: कोई साझा नहीं; निःशेष: $S$ को ढकें

नियम

$0 \le P(E) \le 1$ ; परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1
समसंभाव्य: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$

या और नहीं

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A') = 1 - P(A)$ ; कम से कम एक = 1 − कोई नहीं

Section A का अंतिम अध्याय सीमाओं के भीतर सबसे अच्छी योजना चुनने के बारे में है: रैखिक प्रोग्रामन।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

70 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

घटनाएँ और प्रतिदर्श समष्टिप्र1 / 70प्र1

घटनाएँ और प्रतिदर्श समष्टि

11 प्रश्न

प्रश्न 1

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जब तीन पासे फेंके जाते हैं, तो प्रतिदर्श समष्टि में कितने परिणाम होते हैं?

18

सही उत्तरआपका उत्तर

108

सही उत्तरआपका उत्तर

216

सही उत्तरआपका उत्तर

222

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $216$

अलग-अलग भागों के परिणामों की संख्याओं को गुणा कीजिए; बिना क्रम वाले चयन के लिए संचय लीजिए।
$6 \times 6 \times 6 = 216$ ।

ध्यान देने योग्य

$6 + 6 + 6 = 18$ में फलक जोड़े गए; विकल्प गुणा होते हैं।

प्रश्न 2

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जब एक सिक्का उछाला जाता है और एक पासा फेंका जाता है, तो प्रतिदर्श समष्टि में कितने परिणाम होते हैं?

8

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

18

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $12$

अलग-अलग भागों के परिणामों की संख्याओं को गुणा कीजिए; बिना क्रम वाले चयन के लिए संचय लीजिए।
$2 \times 6 = 12$ ।

ध्यान देने योग्य

8 में परिणाम जोड़े गए, $2 + 6$ ; वे गुणा होते हैं।

प्रश्न 3

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा फेंका जाता है। इनमें से कौन-सी घटना असंभव है?

7 से छोटी संख्यासही उत्तरआपका उत्तरएक सम अभाज्य संख्यासही उत्तरआपका उत्तर3 का एक गुणजसही उत्तरआपका उत्तर6 से बड़ी संख्यासही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 6 से बड़ी संख्या

असंभव घटना में प्रतिदर्श समष्टि $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ का कोई परिणाम नहीं होता।
कोई भी फलक 6 से बड़ा नहीं, इसलिए वह घटना $\varnothing$ है। '7 से छोटी' हर परिणाम है, एक निश्चित घटना; 2 सम अभाज्य है; 3 और 6, 3 के गुणज हैं।

ध्यान देने योग्य

'7 से छोटी संख्या' उलटी स्थिति है: वह सदा होती है, एक निश्चित घटना।

प्रश्न 4

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो सिक्के उछाले जाते हैं। घटना 'कम से कम एक चित' में कितने परिणाम हैं?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3$

प्रतिदर्श समष्टि $\{HH, HT, TH, TT\}$ है।
कम से कम एक चित: $HH$ , $HT$ और $TH$ , 3 परिणाम। इसमें एक से अधिक परिणाम हैं, इसलिए यह मिश्र घटना है।

ध्यान देने योग्य

2 में 'एक चित' और 'दो चित' को दो परिणाम गिना गया, पर एक चित दो तरह से आता है, $HT$ और $TH$ ।

प्रश्न 5

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जब एक सिक्का 5 बार उछाला जाता है, तो प्रतिदर्श समष्टि में कितने परिणाम होते हैं?

10

सही उत्तरआपका उत्तर

16

सही उत्तरआपका उत्तर

25

सही उत्तरआपका उत्तर

32

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $32$

हर उछाल के 2 परिणाम हैं, और उछालें गुणा होती हैं।
$2^5 = 32$ ।

ध्यान देने योग्य

10 में परिणाम जोड़े गए, 2 को पाँच बार जोड़कर; वे गुणा होते हैं।

प्रश्न 6

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक समिति के लिए 5 में से 2 लोग एक साथ चुने जाते हैं। प्रतिदर्श समष्टि में कितने परिणाम हैं?

7

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

20

सही उत्तरआपका उत्तर

25

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $10$

समिति में क्रम नहीं होता, इसलिए संचय गिनिए: ${}^{5}C_2$ ।
${}^{5}C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ ।

ध्यान देने योग्य

20 तो $5 \times 4$ है, जो हर युग्म को दो बार गिनता है, हर क्रम में एक बार।

प्रश्न 7

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा फेंका जाता है। इनमें से कौन-सी प्रारंभिक (सरल) घटना है?

सम संख्या आनासही उत्तरआपका उत्तर3 से छोटी संख्या आनासही उत्तरआपका उत्तरअभाज्य संख्या आनासही उत्तरआपका उत्तर4 आनासही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 4 आना

प्रारंभिक घटना में ठीक एक परिणाम होता है।
'4 आना' $\{4\}$ है। बाकी $\{2, 4, 6\}$ , $\{1, 2\}$ और $\{2, 3, 5\}$ हैं, मिश्र घटनाएँ।

ध्यान देने योग्य

'3 से छोटी' संकरी लगती है पर इसमें दो परिणाम हैं, 1 और 2।

प्रश्न 8

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो पासे फेंके जाते हैं। इनमें से कौन-सी निश्चित घटना है?

योग अधिक से अधिक 11 हैसही उत्तरआपका उत्तरयोग कम से कम 2 हैसही उत्तरआपका उत्तरसंख्याएँ भिन्न हैंसही उत्तरआपका उत्तरयोग सम हैसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · योग कम से कम 2 है

निश्चित घटना में प्रतिदर्श समष्टि का हर परिणाम होता है।
सबसे छोटा योग $1 + 1 = 2$ है, इसलिए योग सदा कम से कम 2 है।

ध्यान देने योग्य

'अधिक से अधिक 11' केवल $(6, 6)$ पर विफल है, इसलिए लगभग निश्चित है, पर निश्चित नहीं।

प्रश्न 9

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो पासे फेंके जाते हैं। घटना 'योग 8 है' में कितने परिणाम हैं?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $5$

योग 8 वाले क्रमित युग्म सूचीबद्ध कीजिए।
$(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ : 5 परिणाम।

ध्यान देने योग्य

4 में $(4, 4)$ गलत गिना गया; $(3, 5)$ और $(5, 3)$ अलग परिणाम हैं, $(4, 4)$ एक ही।

प्रश्न 10

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जब 52 पत्तों की गड्डी से दो पत्ते एक साथ निकाले जाते हैं, तो प्रतिदर्श समष्टि में कितने परिणाम होते हैं?

1{,}326

सही उत्तरआपका उत्तर

1{,}327

सही उत्तरआपका उत्तर

1{,}332

सही उत्तरआपका उत्तर

2{,}652

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $1{,}326$

अलग-अलग भागों के परिणामों की संख्याओं को गुणा कीजिए; बिना क्रम वाले चयन के लिए संचय लीजिए।
${}^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1{,}326$ ।

ध्यान देने योग्य

$52 \times 51 = 2{,}652$ में दोनों पत्तों को क्रम दिया गया; एक साथ निकाले गए पत्तों का कोई क्रम नहीं, इसलिए हर युग्म दो बार गिना गया।

प्रश्न 11

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा दो बार फेंका जाता है और फिर एक सिक्का उछाला जाता है। प्रतिदर्श समष्टि में कितने परिणाम हैं?

14

सही उत्तरआपका उत्तर

36

सही उत्तरआपका उत्तर

72

सही उत्तरआपका उत्तर

73

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $72$

तीनों भागों के परिणाम गुणा कीजिए: $6 \times 6 \times 2$ ।
$= 72$ ।

ध्यान देने योग्य

14 में $6 + 6 + 2$ जोड़ा गया; 36 में सिक्का छूट गया।

घटनाओं का बीजगणित

12 प्रश्न

प्रश्न 12

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा फेंका जाता है। $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $B = \{3, 4, 5\}$ । 'A पर B नहीं' में कितने परिणाम हैं?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2$

'A पर B नहीं' है $A \cap B'$ : $A$ के वे परिणाम जो $B$ में नहीं।
$A$ से 3 और 4 हटाने पर $\{1, 2\}$ बचता है: 2 परिणाम।

ध्यान देने योग्य

5 तो $A \cup B$ है, किसी भी घटना का हर परिणाम।

प्रश्न 13

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा फेंका जाता है। $A$ है '2 का गुणज' और $B$ है '3 का गुणज'। $A \cup B$ में कितने परिणाम हैं?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $4$

$A = \{2, 4, 6\}$ और $B = \{3, 6\}$ ।
$A \cup B = \{2, 3, 4, 6\}$ : 4 परिणाम, 6 एक बार गिना गया।

ध्यान देने योग्य

5 में $3 + 2$ जोड़ा और 6 को दो बार गिना।

प्रश्न 14

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा फेंका जाता है। $A$ है 'एक सम संख्या' और $B$ है '3 से बड़ी संख्या'। सूची I की हर घटना को सूची II में उसके परिणामों से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $A \cup B$	I. $\{2\}$
B. $A \cap B$	II. $\{2, 4, 5, 6\}$
C. $A \cap B'$	III. $\{1, 3, 5\}$
D. $A'$	IV. $\{4, 6\}$

A-IV, B-II, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-II, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · A-II, B-IV, C-I, D-III

$A = \{2, 4, 6\}$ और $B = \{4, 5, 6\}$ । 'A या B' दोनों को जोड़ता है: $\{2, 4, 5, 6\}$ ; 'A और B' साझा भाग रखता है: $\{4, 6\}$ ।
'A पर B नहीं' में $A$ से $B$ के परिणाम हटते हैं: $\{2\}$ ; 'A नहीं' विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5\}$ हैं।

प्रश्न 15

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है और $E$ घटना 'कम से कम दो चित' है। $E'$ क्या है?

अधिक से अधिक दो चितसही उत्तरआपका उत्तरठीक एक चितसही उत्तरआपका उत्तरकम से कम दो पटसही उत्तरआपका उत्तरअधिक से अधिक एक चितसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · अधिक से अधिक एक चित

$E'$ वह हर परिणाम है जो $E$ में नहीं: दो से कम चित, यानी 0 या 1 चित।
इसलिए $E'$ है 'अधिक से अधिक एक चित': $\{TTT, HTT, THT, TTH\}$ ।

ध्यान देने योग्य

तीन उछालों में 'कम से कम दो पट' वही घटना है जो 'अधिक से अधिक एक चित', पर 'ठीक एक चित' में $TTT$ छूट जाता है।

प्रश्न 16

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा फेंका जाता है। घटनाओं का कौन-सा युग्म परस्पर अपवर्जी है?

'3 से छोटी संख्या' और '4 से बड़ी संख्या'सही उत्तरआपका उत्तर'सम संख्या' और 'अभाज्य संख्या'सही उत्तरआपका उत्तर'3 का गुणज' और 'विषम संख्या'सही उत्तरआपका उत्तर'4 से छोटी संख्या' और '2 से बड़ी संख्या'सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · '3 से छोटी संख्या' और '4 से बड़ी संख्या'

परस्पर अपवर्जी घटनाओं में कोई परिणाम साझा नहीं होता: वे साथ नहीं हो सकतीं।
$\{1, 2\}$ और $\{5, 6\}$ में कुछ साझा नहीं। बाकी में क्रमशः 2, 3 और फिर 3 साझा हैं।

ध्यान देने योग्य

चुना गया युग्म परस्पर अपवर्जी है पर निःशेष नहीं: 3 और 4 किसी में नहीं।

प्रश्न 17

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. दो पासे फेंकने पर 'योग 7 है' और 'दोनों पर एक ही संख्या है' परस्पर अपवर्जी हैं।

II. दो पासे फेंकने पर 'योग सम है' और 'योग विषम है' निःशेष हैं।

केवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIसही उत्तरआपका उत्तरI और II दोनोंसही उत्तरआपका उत्तरन I, न IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · I और II दोनों

बराबर संख्याओं का योग सम होता है, कभी 7 नहीं, इसलिए दोनों घटनाएँ साथ नहीं हो सकतीं: I सही है।
हर योग सम या विषम होता है, इसलिए दोनों घटनाएँ पूरी प्रतिदर्श समष्टि को ढकती हैं: II सही है।

प्रश्न 18

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. कोई घटना और उसका पूरक परस्पर अपवर्जी होते हैं।

II. कोई घटना और उसका पूरक निःशेष होते हैं।

III. कोई भी दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ निःशेष होती हैं।

IV. यदि $A \subset B$ , तो $A \cap B = A$ ।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I, II और IV

$E$ और $E'$ में कोई परिणाम साझा नहीं (I) और मिलकर पूरी प्रतिदर्श समष्टि बनाते हैं (II)। यदि $A$ , $B$ के अंदर है, तो उनका साझा भाग स्वयं $A$ है (IV)।
III गलत है: पासे पर $\{1\}$ और $\{2\}$ परस्पर अपवर्जी हैं पर 3, 4, 5 और 6 छोड़ देते हैं।

प्रश्न 19

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है। $A$ है 'पहली उछाल पर चित' और $B$ है 'ठीक दो चित'। $A \cap B$ में कितने परिणाम हैं?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $2$

$B = \{HHT, HTH, THH\}$ ।
इनमें से $H$ से शुरू होने वाले $HHT$ और $HTH$ हैं: 2 परिणाम।

ध्यान देने योग्य

3 में पूरा $B$ गिना गया; 'और' केवल वही रखता है जो $A$ में भी है।

प्रश्न 20

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा फेंका जाता है। घटनाओं का कौन-सा समुच्चय निःशेष है?

\{1, 2\}, \{3, 4\}, \{5\}

सही उत्तरआपका उत्तर

\{2, 4, 6\}, \{1, 3\}

सही उत्तरआपका उत्तर

\{1, 2\}, \{2, 3, 4\}, \{4, 5, 6\}

सही उत्तरआपका उत्तर

\{1, 3, 5\}, \{2, 3, 5\}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\{1, 2\}, \{2, 3, 4\}, \{4, 5, 6\}$

घटनाएँ निःशेष तब हैं जब मिलकर पूरी प्रतिदर्श समष्टि $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ को ढकें।
$\{1, 2\} \cup \{2, 3, 4\} \cup \{4, 5, 6\}$ सब कुछ है; बाकी में क्रमशः 6, 5, और 4 तथा 6 छूटते हैं।

ध्यान देने योग्य

निःशेष घटनाएँ एक-दूसरे पर चढ़ सकती हैं; इनमें 2 और 4 साझा हैं, फिर भी ये निःशेष हैं।

प्रश्न 21

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $(A \cup B)' = A' \cap B'$ ।

II. $(A \cap B)' = A' \cap B'$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: 'A या B' नहीं का अर्थ है न $A$ , न $B$ , यानी $A' \cap B'$ । सही।
II: 'A और B' नहीं का अर्थ है कम से कम एक विफल, जो $A' \cup B'$ है, $A' \cap B'$ नहीं। गलत।

ध्यान देने योग्य

पूरक लेने पर $\cup$ , $\cap$ बन जाता है और $\cap$ , $\cup$ ।

प्रश्न 22

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

घटना ' $A$ और $B$ में से ठीक एक घटित होती है' का सही रूप कौन-सा है?

A \cup B

सही उत्तरआपका उत्तर

(A \cap B') \cup (A' \cap B)

सही उत्तरआपका उत्तर

A' \cap B'

सही उत्तरआपका उत्तर

(A \cup B) \cap B'

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $(A \cap B') \cup (A' \cap B)$

ठीक एक: या तो $B$ के बिना $A$ , $A \cap B'$ , या $A$ के बिना $B$ , $A' \cap B$ ।
दोनों को जोड़िए: $(A \cap B') \cup (A' \cap B)$ ।

ध्यान देने योग्य

$A \cup B$ में दोनों का साथ होना भी शामिल है।

प्रश्न 23

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। घटनाओं का कौन-सा युग्म परस्पर अपवर्जी है?

'एक बादशाह' और 'एक पान'सही उत्तरआपका उत्तर'एक लाल पत्ता' और 'एक पान'सही उत्तरआपका उत्तर'एक तस्वीर वाला पत्ता' और 'एक हुकुम'सही उत्तरआपका उत्तर'एक बादशाह' और 'एक बेगम'सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 'एक बादशाह' और 'एक बेगम'

परस्पर अपवर्जी घटनाएँ साथ नहीं हो सकतीं: कोई पत्ता दोनों में नहीं होता।
कोई पत्ता बादशाह और बेगम दोनों नहीं। पान का बादशाह, हर पान, और हुकुम के तस्वीर वाले पत्ते बाकी युग्म तोड़ते हैं।

ध्यान देने योग्य

'एक बादशाह' और 'एक पान' में पान का बादशाह साझा है।

हर प्रायिकता के नियम

10 प्रश्न

प्रश्न 24

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकता?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

0.99

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{7}{6}$

प्रायिकता सदा 0 और 1 के बीच होती है, दोनों सहित।
$\frac{7}{6}$ , 1 से अधिक है, इसलिए यह प्रायिकता नहीं हो सकता। 0 असंभव घटना की प्रायिकता है।

प्रश्न 25

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक प्रतिदर्श समष्टि के चार परिणामों की प्रायिकताएँ 0.1, 0.3, $p$ और 0.2 हैं। $p$ क्या है?

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.5

सही उत्तरआपका उत्तर

0.6

सही उत्तरआपका उत्तर

0.8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0.4$

प्रतिदर्श समष्टि के सभी परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
$0.1 + 0.3 + p + 0.2 = 1$ , इसलिए $p = 0.4$ ।

ध्यान देने योग्य

0.6 तो तीनों दिए गए मानों का योग है, 1 में से बचा भाग नहीं।

प्रश्न 26

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी घटना के पक्ष में संयोगानुपात 3 : 5 है। उसकी प्रायिकता क्या है?

\frac{3}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{3}{8}$

संयोगानुपात 3 : 5 का अर्थ है हर 5 प्रतिकूल पर 3 अनुकूल, कुल 8।
इसलिए प्रायिकता $\frac{3}{8}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{5}$ में कुल के बजाय प्रतिकूल स्थितियों से भाग दिया गया।

प्रश्न 27

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): किसी घटना की प्रायिकता 1.2 नहीं हो सकती।

कारण (R): हर घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है।

A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।सही उत्तरआपका उत्तरA और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।सही उत्तरआपका उत्तरA सही है, लेकिन R गलत है।सही उत्तरआपका उत्तरA गलत है, लेकिन R सही है।सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

R वह नियम है जिसका हर प्रायिकता पालन करती है: $0 \le P(E) \le 1$ ।
1.2, 1 से अधिक है, इसलिए A सही है, और R के कारण सही है।

प्रश्न 28

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी घटना के विपक्ष में संयोगानुपात 7 : 2 है। उसकी प्रायिकता क्या है?

\frac{2}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{2}{9}$

विपक्ष में 7 : 2 का अर्थ है हर 2 अनुकूल पर 7 प्रतिकूल, कुल 9।
इसलिए घटना के घटित होने की प्रायिकता $\frac{2}{9}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{7}{9}$ घटना के न होने की प्रायिकता है।

प्रश्न 29

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक प्रतिदर्श समष्टि के तीन परिणाम $\omega_1$ , $\omega_2$ , $\omega_3$ हैं। उन्हें इसी क्रम में प्रायिकताओं का कौन-सा निर्धारण मान्य है?

0.4, 0.4, 0.4सही उत्तरआपका उत्तर0.6, −0.1, 0.5सही उत्तरआपका उत्तर0.3, 0.3, 0.3सही उत्तरआपका उत्तर0.2, 0.5, 0.3सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 0.2, 0.5, 0.3

मान्य निर्धारण में हर परिणाम की प्रायिकता 0 से 1 तक होती है, और प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
0.2 + 0.5 + 0.3 = 1। बाकी का योग 1.2 है, या उनमें ऋणात्मक मान है, या योग 0.9 है।

ध्यान देने योग्य

0.6, −0.1, 0.5 का योग 1 है, पर कोई प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती।

प्रश्न 30

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $P(\varnothing) = 0$ ।

II. $P(S) = 1$ , जहाँ $S$ प्रतिदर्श समष्टि है।

III. यदि $A \subset B$ , तो $P(A) \le P(B)$ ।

IV. किन्हीं भी दो घटनाओं के लिए $P(A) + P(B) \le 1$ ।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · केवल I, II और III

I और II अभिगृहीत हैं। III: $B$ में $A$ का हर परिणाम है और शायद और भी।
IV गलत है: पासे पर 'सम' की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ और '5 से छोटी' की $\frac{2}{3}$ है, जिनका योग 1 से अधिक है, क्योंकि घटनाएँ साझा हैं।

ध्यान देने योग्य

IV केवल परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए सही है।

प्रश्न 31

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं, और $P(A) = 2P(B)$ । $P(A)$ क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{2}{3}$

परस्पर अपवर्जी और निःशेष: $P(A) + P(B) = 1$ ।
$2P(B) + P(B) = 1$ , इसलिए $P(B) = \frac{1}{3}$ और $P(A) = \frac{2}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3}$ तो $P(B)$ है, दोनों में छोटी।

प्रश्न 32

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक प्रतिदर्श समष्टि के तीन परिणामों के लिए $P(\omega_1) = 2P(\omega_2) = 3P(\omega_3)$ । $P(\omega_1)$ क्या है?

\frac{3}{11}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{6}{11}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{6}{11}$

$P(\omega_1) = p$ लिखिए; तब $P(\omega_2) = \frac{p}{2}$ और $P(\omega_3) = \frac{p}{3}$ ।
$p + \frac{p}{2} + \frac{p}{3} = \frac{11p}{6} = 1$ , इसलिए $p = \frac{6}{11}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{11}$ तो $P(\omega_2)$ है।

प्रश्न 33

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = 0.6$ और $P(B) = 0.7$ । $P(A \cap B)$ का न्यूनतम संभव मान क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

0.3

सही उत्तरआपका उत्तर

0.42

सही उत्तरआपका उत्तर

0.6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.3$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1.3 - P(A \cap B)$ ।
$P(A \cup B) \le 1$ , इसलिए $P(A \cap B) \ge 0.3$ : घटनाओं का कम से कम 0.3 साझा होना ज़रूरी है।

ध्यान देने योग्य

0 के लिए $P(A \cup B) = 1.3$ चाहिए, जो 1 से अधिक है; 0.42 घटनाओं को स्वतंत्र मानता है, जो दिया नहीं गया।

समसंभाव्य परिणाम

21 प्रश्न

प्रश्न 34

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य पासे फेंके जाते हैं। योग 7 आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{11}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{6}$

कुल $6 \times 6 = 36$ समसंभाव्य परिणाम हैं।
इनमें से 6 में योग 7 है: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)। इसलिए प्रायिकता $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।

ध्यान देने योग्य

2 से 12 तक के 11 संभावित योग समसंभाव्य नहीं हैं, इसलिए $\frac{1}{11}$ गलत है।

प्रश्न 35

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

3 न्याय्य सिक्के उछाले जाते हैं। ठीक दो चित आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{3}{16}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{3}{8}$

कुल $2^{3} = 8$ समसंभाव्य परिणाम हैं।
इनमें से 3 में ठीक दो चित है, इसलिए प्रायिकता $\frac{3}{8} = \frac{3}{8}$ है।

ध्यान देने योग्य

चितों की संख्या से $4$ परिणाम गिनना उन्हें समसंभाव्य मानना है, जो वे नहीं हैं।

प्रश्न 36

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1 से 20 तक की संख्याओं में से एक यादृच्छया चुनी जाती है। इसके अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{8}{19}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9}{20}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{2}{5}$

20 तक की अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19 हैं: 8 संख्याएँ।
प्रायिकता $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{9}{20}$ में 1 को अभाज्य गिना गया; वह अभाज्य नहीं है।

प्रश्न 37

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक थैले में 5 लाल और 3 नीली गेंदें हैं। एक साथ यादृच्छया 2 गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{5}{28}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{14}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{25}{64}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{5}{14}$

8 गेंदों में से 2 चुनने के तरीके: ${}^{8}C_2 = 28$ । 5 लाल में से 2 चुनने के तरीके: ${}^{5}C_2 = 10$ ।
इसलिए प्रायिकता $\frac{10}{28} = \frac{5}{14}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{25}{64} = \left(\frac{5}{8}\right)^2$ ऐसे गुणा करता है मानो पहली गेंद दूसरी से पहले वापस गई हो; एक साथ निकालने पर ऐसा नहीं होता।

प्रश्न 38

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य पासे फेंके जाते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि दोनों पासों पर एक ही संख्या आए?

\frac{5}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{6}{35}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{6}$

36 समसंभाव्य क्रमित युग्म हैं।
युग्मक $(1, 1)$ से $(6, 6)$ तक हैं: 36 में 6, इसलिए $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{36}$ तो एक विशेष युग्मक है, जैसे $(6, 6)$ ।

प्रश्न 39

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। उसके तस्वीर वाला पत्ता (बादशाह, बेगम या गुलाम) होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{3}{52}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{3}{13}$

हर 4 रंगों में 3 तस्वीर वाले पत्ते हैं: 12 पत्ते।
$\frac{12}{52} = \frac{3}{13}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{4}{13}$ में इक्कों को भी तस्वीर वाला मान लिया।

प्रश्न 40

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1 से 50 तक से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। उसके पूर्ण वर्ग होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{25}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{50}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{7}{50}$

50 तक के वर्ग 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 हैं: 7 संख्याएँ।
$\frac{7}{50}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{25}$ में 1 छूट गया, जो $1^{2}$ है।

प्रश्न 41

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शब्द PROBABILITY से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। उसके B होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{4}{121}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{11}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{11}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{2}{11}$

शब्द में 11 अक्षर हैं, और B दो बार आता है।
$\frac{2}{11}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{9}$ में सभी 11 स्थानों के बजाय 9 भिन्न अक्षर गिने गए।

प्रश्न 42

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अक्षर C, A और T एक पंक्ति में यादृच्छया रखे जाते हैं। उनके CAT बनाने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{6}$

$3! = 6$ समसंभाव्य विन्यास हैं।
उनमें से केवल एक CAT है: $\frac{1}{6}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{27}$ में एक अक्षर कई बार आ सकता है; हर अक्षर ठीक एक बार आता है।

प्रश्न 43

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य पासे फेंके जाते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि संख्याओं का गुणनफल सम हो?

\frac{13}{18}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{27}{35}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{3}{4}$

36 समसंभाव्य क्रमित युग्म $(a, b)$ सूचीबद्ध कीजिए।
गुणनफल केवल तब विषम है जब दोनों विषम हों, $3 \times 3 = 9$ युग्म, इसलिए $36 - 9 = 27$ में सम है: $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{4}$ इसके न होने की प्रायिकता है।

प्रश्न 44

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शब्द EXAMINATION में से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। उसके स्वर होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{5}{26}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{11}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{6}{11}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{6}{11}$

शब्द में 11 अक्षर हैं: E, A, I, A, I, O स्वर हैं, दोहराव सहित 6।
हर स्थान समसंभाव्य है, इसलिए प्रायिकता $\frac{6}{11}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ में केवल अलग-अलग अक्षर गिने गए; दोहराया अक्षर अधिक बार चुना जाता है।

प्रश्न 45

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

4 न्याय्य सिक्के उछाले जाते हैं। अधिक से अधिक एक चित आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{5}{32}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{16}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{5}{16}$

कुल $2^{4} = 16$ समसंभाव्य परिणाम हैं।
इनमें से 5 में अधिक से अधिक एक चित है, इसलिए प्रायिकता $\frac{5}{16} = \frac{5}{16}$ है।

ध्यान देने योग्य

चितों की संख्या से $5$ परिणाम गिनना उन्हें समसंभाव्य मानना है, जो वे नहीं हैं।

प्रश्न 46

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक थैले में 6 सफ़ेद और 4 काली गेंदें हैं। 3 गेंदें यादृच्छया एक साथ निकाली जाती हैं। ठीक 2 के सफ़ेद होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{2}$

कुल तरीके: ${}^{10}C_3 = 120$ । अनुकूल: ${}^{6}C_2 \times {}^{4}C_1 = 15 \times 4 = 60$ ।
$\frac{60}{120} = \frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{8}$ में 2 सफ़ेद गेंदें तो चुनीं, पर तीसरी, काली, भूल गए।

प्रश्न 47

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य पासे फेंके जाते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि योग एक अभाज्य संख्या हो?

\frac{5}{24}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{18}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{5}{12}$

36 समसंभाव्य क्रमित युग्म हैं।
अभाज्य योग 2, 3, 5, 7, 11 क्रमशः $1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ तरह से आते हैं: $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ ।

ध्यान देने योग्य

2, एकमात्र सम अभाज्य, भूल जाने से युग्म $(1, 1)$ छूट जाता है।

प्रश्न 48

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। उसके काला पत्ता होने पर बादशाह न होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{6}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{12}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{6}{13}$

26 काले पत्ते हैं, जिनमें 2 बादशाह हैं।
$\frac{26 - 2}{52} = \frac{24}{52} = \frac{6}{13}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{11}{26}$ में काले पत्तों से सभी 4 बादशाह हटा दिए; केवल 2 बादशाह काले हैं।

प्रश्न 49

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

5 लड़कों और 4 लड़कियों में से 3 विद्यार्थी यादृच्छया चुने जाते हैं। सभी 3 के लड़कियाँ होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{84}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{42}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{21}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{21}$

कुल तरीके: ${}^{9}C_3 = 84$ । सभी लड़कियाँ: ${}^{4}C_3 = 4$ ।
$\frac{4}{84} = \frac{1}{21}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{4}{9}$ तो एक चुने गए विद्यार्थी के लड़की होने की संभावना है।

प्रश्न 50

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य पासे फेंके जाते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि संख्याओं का अंतर 2 हो?

\frac{2}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{8}{35}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{2}{9}$

36 समसंभाव्य क्रमित युग्म $(a, b)$ सूचीबद्ध कीजिए।
अंतर 2 है (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6) और यही चार उलटे क्रम में: 8 युग्म, इसलिए $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{7}{9}$ इसके न होने की प्रायिकता है।

प्रश्न 51

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक लीप वर्ष यादृच्छया चुना जाता है। उसमें 53 रविवार होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{53}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{7}$

366 दिन, 52 पूरे सप्ताह और 2 अतिरिक्त लगातार दिन हैं।
7 समसंभाव्य युग्म हैं (रवि, सोम), (सोम, मंगल), …, (शनि, रवि); इनमें से 2 में रविवार है, इसलिए प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{7}$ साधारण वर्ष का उत्तर है, जिसमें केवल 1 अतिरिक्त दिन होता है।

प्रश्न 52

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1 से 9 तक की संख्याओं में से दो अलग-अलग संख्याएँ यादृच्छया चुनी जाती हैं। उनका योग सम होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{5}{18}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{4}{9}$

सम योग के लिए दोनों विषम या दोनों सम चाहिए: ${}^{5}C_2 + {}^{4}C_2 = 10 + 6 = 16$ तरीके।
${}^{9}C_2 = 36$ में से, इसलिए प्रायिकता $\frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ है।

ध्यान देने योग्य

दो अलग-अलग संख्याएँ एक ही संख्या दो बार नहीं हो सकतीं, इसलिए प्रायिकता ठीक आधी नहीं है।

प्रश्न 53

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की गड्डी से दो पत्ते एक साथ निकाले जाते हैं। दोनों के इक्के होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{221}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{169}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{221}$

4 इक्कों में से 2 चुनने के तरीके: ${}^{4}C_2 = 6$ ; कोई भी 2 पत्ते चुनने के तरीके: ${}^{52}C_2 = 1{,}326$ ।
प्रायिकता $\frac{6}{1{,}326} = \frac{1}{221}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{169} = \left(\frac{4}{52}\right)^2$ मान लेता है कि पहला पत्ता दूसरा निकालने से पहले वापस जाता है।

प्रश्न 54

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1 से 10 तक से दो भिन्न संख्याएँ यादृच्छया चुनी जाती हैं। उनके गुणनफल के सम होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{2}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{7}{9}$

गुणनफल तभी विषम है जब दोनों संख्याएँ विषम हों: ${}^{10}C_2 = 45$ युग्मों में से ${}^{5}C_2 = 10$ ।
इसलिए सम होने की प्रायिकता $1 - \frac{10}{45} = \frac{7}{9}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{4}$ तब का उत्तर है जब एक ही संख्या दो बार चुनी जा सके, जैसे दो पासों में।

योग और पूरक नियम

16 प्रश्न

प्रश्न 55

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = \frac{1}{2}$ , $P(B) = \frac{1}{3}$ और $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ । $P(A \cup B)$ क्या है?

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{3}$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ।
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 - 1}{6} = \frac{2}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{6}$ में साझा भाग घटाए बिना जोड़ा गया, जिससे वह दो बार गिना गया।

प्रश्न 56

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कल वर्षा होने की प्रायिकता $\frac{3}{8}$ है। वर्षा न होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{3}{16}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{16}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{5}{8}$

कोई घटना और उसका पूरक मिलकर निश्चित हैं: $P(E) + P(E') = 1$ ।
इसलिए $P(E') = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ ।

प्रश्न 57

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं, $P(A) = 0.35$ और $P(A \cup B) = 0.8$ । $P(B)$ क्या है?

0.35

सही उत्तरआपका उत्तर

0.45

सही उत्तरआपका उत्तर

0.55

सही उत्तरआपका उत्तर

0.8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.45$

परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ।
$0.8 = 0.35 + P(B)$ , इसलिए $P(B) = 0.45$ ।

ध्यान देने योग्य

0.35 में $P(B) = P(A)$ मान लिया; दोनों के समसंभाव्य होने की बात नहीं कही गई।

प्रश्न 58

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

4 न्याय्य सिक्के उछाले जाते हैं। कम से कम एक चित आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{16}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{15}{16}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{15}{16}$

'कम से कम एक चित', 'कोई चित नहीं' का पूरक है, जो केवल $TTTT$ है: $\frac{1}{16}$ ।
$1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{16}$ कोई चित न आने की प्रायिकता है, पूरक।

प्रश्न 59

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. किन्हीं भी दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ।

II. किसी भी घटना $A$ के लिए $P(A') = 1 - P(A)$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल II

I गलत है: सामान्यतः $P(A \cap B)$ घटाना पड़ता है; सीधा योग केवल परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए है।
II सही है: $A$ और $A'$ परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं, इसलिए $P(A) + P(A') = 1$ ।

प्रश्न 60

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = 0.42$ , $P(B) = 0.48$ और $P(A \cap B) = 0.16$ । $P(A \cup B)$ क्या है?

0.26

सही उत्तरआपका उत्तर

0.58

सही उत्तरआपका उत्तर

0.74

सही उत्तरआपका उत्तर

0.9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $0.74$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ।
$0.42 + 0.48 - 0.16 = 0.74$ ।

ध्यान देने योग्य

0.9 में दोनों जोड़े गए, साझा भाग घटाए बिना।

प्रश्न 61

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = 0.6$ , $P(B) = 0.5$ और $P(A \cap B) = 0.3$ । न $A$ न $B$ होने की प्रायिकता क्या है?

0.1

सही उत्तरआपका उत्तर

0.2

सही उत्तरआपका उत्तर

0.7

सही उत्तरआपका उत्तर

0.8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.2$

$P(A \cup B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8$ ।
'न A न B' का अर्थ $A \cup B$ का पूरक है: $1 - 0.8 = 0.2$ ।

ध्यान देने योग्य

0.8 तो कम से कम एक के होने की प्रायिकता है; 'कोई नहीं' बचा हुआ भाग है।

प्रश्न 62

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = 0.7$ , $P(B) = 0.4$ और $P(A \cup B) = 0.85$ । $P(A \cap B)$ क्या है?

0.25

सही उत्तरआपका उत्तर

0.28

सही उत्तरआपका उत्तर

0.45

सही उत्तरआपका उत्तर

0.75

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0.25$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ , इसलिए $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ ।
$= 0.7 + 0.4 - 0.85 = 0.25$ ।

ध्यान देने योग्य

0.28 में $0.7 \times 0.4$ गुणा किया, जो केवल स्वतंत्र घटनाओं के लिए सही है; यहाँ ऐसा कुछ नहीं कहा गया।

प्रश्न 63

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1 से 30 तक की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके 3 या 5 से विभाज्य होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{8}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{7}{15}$

3 से विभाज्य: 10; 5 से: 6; दोनों से, यानी 15 से: 2।
योग नियम से $10 + 6 - 2 = 14$ , इसलिए प्रायिकता $\frac{14}{30} = \frac{7}{15}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{16}{30}$ में 15 और 30 दो बार गिने गए।

प्रश्न 64

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। इसके बादशाह या पान होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{4}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{17}{52}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{8}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{4}{13}$

बादशाह: 4; पान: 13; पान का बादशाह दोनों में है।
$4 + 13 - 1 = 16$ , इसलिए प्रायिकता $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{17}{52}$ में पान का बादशाह दो बार गिना गया।

प्रश्न 65

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

4 पुरुषों और 3 महिलाओं में से यादृच्छया 3 की एक समिति चुनी जाती है। समिति में कम से कम एक महिला होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{4}{35}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{27}{35}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{31}{35}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{31}{35}$

पूरक का प्रयोग कीजिए: कोई महिला नहीं का अर्थ है सभी 3 पुरुष, जो ${}^{7}C_3 = 35$ में से ${}^{4}C_3 = 4$ तरीकों में होता है।
इसलिए प्रायिकता $1 - \frac{4}{35} = \frac{31}{35}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{4}{35}$ किसी भी महिला के न होने की प्रायिकता है।

प्रश्न 66

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): यदि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं, तो $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ।

कारण (R): परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए $P(A \cap B) = 0$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ में परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए अंतिम पद 0 है।
इसलिए R सही है और A की व्याख्या करता है।

प्रश्न 67

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1 से 100 तक से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। उसके 4 या 6 से विभाज्य होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{33}{100}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9}{25}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{41}{100}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{33}{100}$

4 से विभाज्य: 25। 6 से: 16। दोनों से, यानी 12 से: 8।
$\frac{25 + 16 - 8}{100} = \frac{33}{100}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{41}{100}$ में 12 के गुणज नहीं घटाए गए, जो दोनों में गिने गए।

प्रश्न 68

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो पासे फेंके जाते हैं। युग्मक या योग 8 आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{5}{18}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{11}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{13}{18}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{5}{18}$

युग्मक: 6 परिणाम। योग 8: 5 परिणाम। दोनों: केवल $(4, 4)$ ।
$\frac{6 + 5 - 1}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{11}{36}$ में $(4, 4)$ दो बार गिना गया, हर घटना में एक बार।

प्रश्न 69

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = 0.6$ , $P(B) = 0.3$ और $P(A \cap B) = 0.1$ । $A$ और $B$ में से ठीक एक के घटित होने की प्रायिकता क्या है?

0.7

सही उत्तरआपका उत्तर

0.8

सही उत्तरआपका उत्तर

0.9

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0.7$

ठीक एक है $P(A \cup B) - P(A \cap B)$ , यानी $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$ ।
$0.6 + 0.3 - 0.2 = 0.7$ ।

ध्यान देने योग्य

0.8 तो $P(A \cup B)$ है, जिसमें दोनों का होना भी गिना जाता है।

प्रश्न 70

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = \frac{1}{3}$ , $P(B) = \frac{1}{4}$ और $P(A \cap B) = \frac{1}{12}$ । $P(A \cap B')$ , यानी $A$ पर $B$ नहीं, की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{4}$

$A$ दो भागों में बँटता है, $B$ के अंदर और बाहर: $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B')$ ।
इसलिए $P(A \cap B') = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2}$ तो $P(A \cup B)$ है, किसी भी घटना का हर परिणाम।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।