CUET गणित के लिए अवकल समीकरण

Q: अवकल समीकरण की कोटि और घात क्या होती हैं?

कोटि समीकरण में आने वाले सबसे ऊँचे अवकलज की कोटि है। घात उस सबसे ऊँचे अवकलज की घात है, जब समीकरण को उसके अवकलजों में बहुपद के रूप में, मूलों और भिन्नात्मक घातों से मुक्त करके, लिख लिया जाए। यदि कोई अवकलज sin, log या e^ जैसे फलन के अंदर हो, तो समीकरण उसमें बहुपद नहीं है और घात परिभाषित नहीं है।

Q: चर पृथक्करण से अवकल समीकरण कैसे हल करते हैं?

यदि समीकरण को dy/dx = f(x)g(y) लिखा जा सके, तो हर y को dy की ओर और हर x को dx की ओर ले जाइए: dy/(g(y)) = f(x) dx । फिर दोनों ओर समाकलन करके एक अचर जोड़िए।

सीखने में लगभग 5 मिनट · 67 प्रश्न

अवकल समीकरण CUET गणित के Section A में आते हैं, वह सेक्शन जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, चाहे आप Mathematics लें या Applied Mathematics। CUET इनसे कुछ तय तरीकों से ही पूछता है, इसलिए थोड़ा अभ्यास बहुत काम आता है। कोटि और घात से लेकर व्यापक और विशिष्ट हल, वक्र-कुल से समीकरण बनाने, और चर पृथक्करण से हल तक, वृद्धि और क्षय के साथ, हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र: Section A1

इस पृष्ठ पर · 10 भाग

01अवकल समीकरण क्या है
02कोटि और घात
03व्यापक और विशिष्ट हल
04अवकल समीकरण बनाना
05चर पृथक्करणीय
06CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
07परीक्षा के लिए शॉर्टकट
08आम भूलें
09त्वरित पुनरावृत्ति
10अपनी समझ जाँचें

अवकल समीकरण क्या है

एक तश्तरी में 500 जीवाणु हैं, और कॉलोनी अपने आकार के समानुपाती दर से बढ़ती है: जितने अधिक जीवाणु, उतनी तेज़ वृद्धि। लिखने पर यह वाक्य $\frac{dP}{dt} = kP$ है। यह नहीं बताता कि $P$ क्या है; यह बताता है कि $P$ कैसे बदलता है। इससे $P$ निकालना अवकल समीकरण हल करना है, और अध्याय के अंत तक हम जान लेंगे कि 9 घंटे बाद कितने जीवाणु होंगे।

अवकल समीकरण क्या होता है?

अवकल समीकरण वह समीकरण है जिसमें किसी अज्ञात फलन का अवकलज हो, जैसे $\frac{dy}{dx} = 2x$ या $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$ । इसका हल कोई संख्या नहीं, बल्कि ऐसा फलन है जो चर के हर मान के लिए समीकरण को सही बनाए।

कोटि और घात

अवकल समीकरण की कोटि और घात क्या होती हैं?

कोटि समीकरण में आने वाले सबसे ऊँचे अवकलज की कोटि है। घात उस सबसे ऊँचे अवकलज की घात है, जब समीकरण को उसके अवकलजों में बहुपद के रूप में, मूलों और भिन्नात्मक घातों से मुक्त करके, लिख लिया जाए। यदि कोई अवकलज $\sin$ , $\log$ या $e^{\;}$ जैसे फलन के अंदर हो, तो समीकरण उसमें बहुपद नहीं है और घात परिभाषित नहीं है।

उदाहरण 1 · कोटि और घात

$\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^4 + y = 0$ की कोटि और घात ज्ञात कीजिए।

सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है, इसलिए कोटि 2 है।
उसकी घात 3 है, इसलिए घात 3 है। घात 4 एक निचले अवकलज की है और नहीं गिनी जाती।

उत्तर

कोटि 2, घात 3।

सावधान

घात पढ़ने से पहले मूल और भिन्नात्मक घातें हटाइए। $\frac{d^2y}{dx^2} = \sqrt{1 + \frac{dy}{dx}}$ का वर्ग करने पर $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 = 1 + \frac{dy}{dx}$ मिलता है, इसलिए उसकी घात 2 है, 1 नहीं। और $\frac{d^2y}{dx^2} + e^{\frac{dy}{dx}} = 0$ की कोटि 2 है पर घात कोई नहीं।

व्यापक और विशिष्ट हल

व्यापक और विशिष्ट हल में क्या अंतर है?

व्यापक हल में उतने स्वेच्छ अचर होते हैं जितनी समीकरण की कोटि, और वह वक्रों का पूरा कुल बताता है; $y = x^2 + C$ , $\frac{dy}{dx} = 2x$ का व्यापक हल है। विशिष्ट हल में हर अचर तय होता है, प्रायः किसी दी गई शर्त से, जैसे $x = 0$ पर $y = 1$ , जो $y = x^2 + 1$ चुनती है।

कोई फलन हल है या नहीं, यह जाँचने के लिए उसके अवकलज निकालिए, रखिए, और देखिए कि समीकरण हर $x$ के लिए सही है या नहीं।

उदाहरण 2 · हल की जाँच

दिखाइए कि $y = e^{-3x}$ , $\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 6y = 0$ का एक हल है।

$\frac{dy}{dx} = -3e^{-3x}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = 9e^{-3x}$ ।
रखने पर: $9e^{-3x} - 3e^{-3x} - 6e^{-3x} = 0$ ।

उत्तर

समीकरण हर $x$ के लिए सही है, इसलिए $y = e^{-3x}$ एक हल है।

अवकल समीकरण बनाना

वक्र-कुल से अवकल समीकरण कैसे बनाते हैं?

कुल के समीकरण का उतनी बार अवकलन कीजिए जितने उसमें स्वेच्छ अचर हैं, फिर मिले समीकरणों से अचर हटाइए। परिणाम की कोटि हटाए गए अचरों की संख्या के बराबर होती है, इसीलिए सभी सरल रेखाओं $y = mx + c$ के समीकरण की कोटि 2 है।

उदाहरण 3 · मूल बिंदु के चारों ओर वृत्त

वृत्तों $x^2 + y^2 = r^2$ , जहाँ $r$ स्वेच्छ है, का अवकल समीकरण बनाइए।

एक अचर है, इसलिए एक बार अवकलन कीजिए: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$ ।
अचर $r$ पहले ही हट चुका है।

उत्तर

$x + y\frac{dy}{dx} = 0$ , कोटि 1।

मुख्य बात

दो कुल इतनी बार आते हैं कि उनके समीकरण याद रखने लायक हैं। $y = A\cos kx + B\sin kx$ से $\frac{d^2y}{dx^2} + k^2y = 0$ मिलता है, और $y = Ae^{kx}$ से $\frac{dy}{dx} = ky$ ।

चर पृथक्करणीय

चर पृथक्करण से अवकल समीकरण कैसे हल करते हैं?

यदि समीकरण को $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ लिखा जा सके, तो हर $y$ को $dy$ की ओर और हर $x$ को $dx$ की ओर ले जाइए: $\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$ । फिर दोनों ओर समाकलन करके एक अचर जोड़िए।

उदाहरण 4 · अलग करना और समाकलन

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + y}{x}$ हल कीजिए।

अलग कीजिए: $\frac{dy}{1 + y} = \frac{dx}{x}$ ।
समाकलन: $\log|1 + y| = \log|x| + \log|C|$ , अचर को लघुगणक के रूप में लिखकर।

उत्तर

1 + y = Cx

उदाहरण 5 · एक विशिष्ट हल

$\frac{dy}{dx} = 3x^2y$ हल कीजिए, जहाँ $x = 0$ पर $y = 2$ ।

$\frac{dy}{y} = 3x^2\,dx$ , इसलिए $\log|y| = x^3 + c$ और $y = Ce^{x^3}$ ।
$x = 0$ पर: $2 = Ce^0$ , इसलिए $C = 2$ ।

उत्तर

y = 2e^{x^3}

जीवाणुओं पर लौटें। $\frac{dP}{P} = k\,dt$ से $P = P_0e^{kt}$ मिलता है, शुरुआत में $P_0 = 500$ । आकार के समानुपाती वृद्धि का अर्थ है कि बराबर समय में कॉलोनी उसी गुणक से गुणा होती है। यदि यह हर 3 घंटे में दोगुनी हो, तो 9 घंटे बाद यह तीन बार दोगुनी हो चुकी है: $500 \times 2^3 = 4000$ जीवाणु। क्षय भी इसी तरह $\frac{dN}{dt} = -kN$ से चलता है: हर अर्ध-आयु बची मात्रा को आधा कर देती है।

सावधान

वृद्धि और क्षय गुणा होते हैं; कभी जुड़ते नहीं। हर 3 घंटे में दोगुनी होने वाली कॉलोनी हर 3 घंटे में 500 नहीं जोड़ती, और हर 5 वर्ष में आधा होने वाला नमूना कभी 0 तक नहीं पहुँचता।

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

कोटि और घात: दिए गए समीकरण की, उनका योग या गुणनफल, या कथनों का समूह, जिनमें मूल, भिन्नात्मक घातें और "परिभाषित नहीं" जाल होते हैं।
हल: कौन-सा फलन समीकरण का हल है, व्यापक हल में कितने अचर हैं, या शर्त से विशिष्ट हल।
बनाना: $y = Ae^{3x}$ या $y = A\sin x + B\cos x$ जैसे कुल का समीकरण, या सभी वृत्तों या सभी रेखाओं के समीकरण की कोटि।
पृथक्करणीय समीकरण: व्यापक हल, शर्त से किसी बिंदु पर $y$ का मान, या वृद्धि और क्षय।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

कोटि = कुल में स्वेच्छ अचरों की संख्या।
सभी रेखाएँ: कोटि 2; मूल बिंदु के चारों ओर वृत्त: कोटि 1; सभी वृत्त: कोटि 3।
$\frac{dy}{dx} = ky$ का हल $y = Ce^{kx}$ है।
दोगुना होने का समय $T$ : $P = P_0 \times 2^{t/T}$ ; अर्ध-आयु $T$ : $N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ ।
उत्तर का अवकलन करके और रखकर जाँचिए।

आम भूलें

निचले अवकलज की घात से घात पढ़ लेना।
मूल या भिन्नात्मक घात हटाने से पहले घात पढ़ लेना।
जब कोई अवकलज $\sin$ , $\log$ या $e^{\;}$ के अंदर हो, तब भी घात बता देना।
अचर भूल जाना, या दोनों ओर अलग-अलग अचर जोड़ देना।
वृद्धि या क्षय को एक निश्चित मात्रा जोड़ना मान लेना।

त्वरित पुनरावृत्ति

कोटि और घात

कोटि: सबसे ऊँचा अवकलज; घात: उसकी घात
पहले मूल हटाइए; $\sin$ या $e^{\;}$ के अंदर: घात परिभाषित नहीं

हल

व्यापक: कोटि जितने अचर; विशिष्ट: कोई नहीं बचा
बनाना: हर अचर के लिए एक बार अवकलन, फिर हटाइए

पृथक्करणीय

$\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$ , समाकलन, एक अचर
$\frac{dP}{dt} = kP$ : $P = P_0e^{kt}$

Section A के अंतिम दो अध्याय कलन से हटकर संयोग और चुनाव की ओर जाते हैं: प्रायिकता।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

67 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

कोटि और घातप्र1 / 67प्र1

कोटि और घात

15 प्रश्न

प्रश्न 1

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} - 4y = 0$ की कोटि क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2$

कोटि समीकरण में आने वाले सबसे ऊँचे अवकलज की कोटि है।
यहाँ सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है, इसलिए कोटि 2 है।

प्रश्न 2

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + 2y = x$ की घात क्या है?

1सही उत्तरआपका उत्तर2सही उत्तरआपका उत्तरपरिभाषित नहींसही उत्तरआपका उत्तर3सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 3

सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है, कोटि 1 का।
उसकी सबसे ऊँची घात 3 है, इसलिए घात 3 है।

ध्यान देने योग्य

1 तो कोटि है; घात उस सबसे ऊँचे अवकलज की घात है।

प्रश्न 3

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d^3y}{dx^3} + 2\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = x$ की कोटि क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3$

कोटि समीकरण में आने वाले सबसे ऊँचे अवकलज की कोटि है।
यहाँ सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है, इसलिए कोटि 3 है।

ध्यान देने योग्य

1 तो घात है, सबसे ऊँचे अवकलज की घात; कोटि गिनती है कि $y$ का कितनी बार अवकलन हुआ।

प्रश्न 4

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d^2y}{dx^2} = \left(1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right)^2$ की घात क्या है?

4सही उत्तरआपका उत्तर2सही उत्तरआपका उत्तर1सही उत्तरआपका उत्तरपरिभाषित नहींसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 1

सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है, और वह घात 1 में आता है।
कोष्ठक खोलने पर $\left(\frac{dy}{dx}\right)^4$ आता है, पर निचले अवकलज की घात नहीं गिनी जाती: घात 1 है।

ध्यान देने योग्य

4 तो $\frac{dy}{dx}$ की घात है, जो निचला अवकलज है।

प्रश्न 5

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d^2y}{dx^2} + \sin\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0$ की घात क्या है?

1सही उत्तरआपका उत्तर2सही उत्तरआपका उत्तर0सही उत्तरआपका उत्तरपरिभाषित नहींसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · परिभाषित नहीं

घात तभी परिभाषित है जब समीकरण अपने अवकलजों में बहुपद हो।
यहाँ एक अवकलज $\sin$ के अंदर है, जो बहुपद नहीं है, इसलिए घात परिभाषित नहीं है।

ध्यान देने योग्य

कोटि फिर भी परिभाषित है: सबसे ऊँचे अवकलज से यह 2 है।

प्रश्न 6

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 + \frac{dy}{dx} = 0$ की कोटि और घात का गुणनफल क्या है?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $6$

सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है: कोटि 3 है।
उसकी घात 2 है, इसलिए घात 2 है ( $\frac{d^2y}{dx^2}$ पर लगा घन नहीं गिना जाता), और गुणनफल 6 है।

ध्यान देने योग्य

9 में घात 3 ली गई, जो $\frac{d^2y}{dx^2}$ की घात है, एक निचला अवकलज।

प्रश्न 7

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. अवकल समीकरण की कोटि सदा एक धनात्मक पूर्णांक होती है।

II. अवकल समीकरण की घात सदा परिभाषित होती है।

III. $\frac{dy}{dx} = \cos x$ की कोटि 1 और घात 1 है।

IV. किसी अवकलज का वर्ग करने से समीकरण की कोटि बदल जाती है।

केवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I और III

कोटि अवकलज गिनती है, इसलिए वह धनात्मक पूर्णांक है (I); और $\frac{dy}{dx} = \cos x$ अपने एकमात्र अवकलज में घात 1 का बहुपद है (III)।
II गलत है: $\sin$ या $e^{\;}$ के अंदर अवकलज हो, तो घात परिभाषित नहीं। IV गलत है: घात से घात बदलती है, कोटि नहीं।

प्रश्न 8

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 - 3x\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ की कोटि क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $2$

कोटि समीकरण में आने वाले सबसे ऊँचे अवकलज की कोटि है।
यहाँ सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है, इसलिए कोटि 2 है।

ध्यान देने योग्य

अवकलज पर लगी घात से घात बदलती है, कोटि नहीं: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^4$ अब भी पहला अवकलज है।

प्रश्न 9

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से किस अवकल समीकरण की कोटि 2 और घात 1 है?

\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + \frac{dy}{dx} = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^3y}{dx^3} + y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$

कोटि 2 के लिए सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ हो; घात 1 के लिए वह घात 1 में हो।
केवल $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$ में दोनों हैं। बाकी में क्रमशः कोटि 1 और घात 2, कोटि 2 और घात 2, और कोटि 3 है।

ध्यान देने योग्य

$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y = 0$ में दोनों उलटे हैं: कोटि 1, घात 2।

प्रश्न 10

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} + e^{\frac{dy}{dx}} = x$ की घात क्या है?

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · परिभाषित नहीं

घात तभी परिभाषित है जब समीकरण अपने अवकलजों में बहुपद हो।
$e^{\frac{dy}{dx}}$ , $\frac{dy}{dx}$ में बहुपद नहीं है, इसलिए घात परिभाषित नहीं (कोटि 1 है)।

ध्यान देने योग्य

1 कोटि है; अवकलज का चरघातांकी घात को अपरिभाषित छोड़ देता है।

प्रश्न 11

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)^2 + \frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^5 = 0$ की कोटि और घात का योग क्या है?

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $5$

सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है: कोटि 3।
वह वर्ग के रूप में आता है, इसलिए घात 2, और $3 + 2 = 5$ ।

ध्यान देने योग्य

8 में घात $\left(\frac{dy}{dx}\right)^5$ से ली गई, जो दिखने वाली सबसे बड़ी घात है, सबसे ऊँचे अवकलज की घात नहीं।

प्रश्न 12

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\left(1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{d^2y}{dx^2}$ की घात क्या है?

1सही उत्तरआपका उत्तर2सही उत्तरआपका उत्तर3सही उत्तरआपका उत्तरपरिभाषित नहींसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 2

पहले वर्ग करके भिन्नात्मक घात हटाइए: $\left(1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right)^3 = \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2$ ।
अब सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ घात 2 में है: घात 2 है।

ध्यान देने योग्य

1 में भिन्नात्मक घात हटाने से पहले ही घात पढ़ ली गई।

प्रश्न 13

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y = x\frac{dy}{dx} + \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$ की घात क्या है?

2सही उत्तरआपका उत्तर1सही उत्तरआपका उत्तर3सही उत्तरआपका उत्तरपरिभाषित नहींसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 2

मूल हटाइए: $\left(y - x\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ ।
खोलने पर $(x^2 - 1)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2xy\frac{dy}{dx} + y^2 - 1 = 0$ : एकमात्र अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है, घात 2 में, इसलिए घात 2 है।

ध्यान देने योग्य

1 में मूल हटाने से पहले ही घात पढ़ ली गई।

प्रश्न 14

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $\frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 = 0$ की कोटि 2 है।

II. $\sqrt{\frac{d^2y}{dx^2}} = \frac{dy}{dx} + 1$ की घात 1 है।

III. $\frac{d^2y}{dx^2} + \cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0$ की घात 1 है।

IV. जब घात परिभाषित हो, तो वह एक धन पूर्णांक होती है।

केवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरI, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I, II और IV

I: सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है। II: वर्ग करने पर $\frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{dy}{dx} + 1\right)^2$ , जिसमें $\frac{d^2y}{dx^2}$ की घात 1 है। IV: घात बहुपद में किसी अवकलज की घात है।
III गलत है: $\cos\left(\frac{dy}{dx}\right)$ , $\frac{dy}{dx}$ में बहुपद नहीं है, इसलिए घात परिभाषित नहीं।

प्रश्न 15

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d^2y}{dx^2} = \sqrt{1 + \frac{dy}{dx}}$ की घात क्या है?

1सही उत्तरआपका उत्तर2सही उत्तरआपका उत्तर4सही उत्तरआपका उत्तरपरिभाषित नहींसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 2

वर्ग करके मूल हटाइए: $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 = 1 + \frac{dy}{dx}$ ।
सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ अब वर्ग में है: घात 2 है।

ध्यान देने योग्य

1 में मूल हटाने से पहले ही घात पढ़ ली गई।

व्यापक और विशिष्ट हल

15 प्रश्न

प्रश्न 16

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन $\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0$ का हल है?

y = \sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $y = e^{x}$

$y = e^{x}$ लेकर देखिए: $y' = e^{x}$ और $y'' = e^{x}$ ।
रखने पर हर $x$ के लिए दोनों पक्ष बराबर होते हैं; बाकी हर विकल्प में कुछ बच जाता है।

प्रश्न 17

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

3 कोटि वाले अवकल समीकरण के व्यापक हल में कितने स्वेच्छ अचर होते हैं?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $3$

$n$ कोटि के समीकरण को हल करने में $n$ समाकलन लगते हैं, और हर एक से एक अचर आता है।
इसलिए 3 कोटि के समीकरण के व्यापक हल में 3 स्वेच्छ अचर होते हैं।

ध्यान देने योग्य

0 तो विशिष्ट हल में होता है, जहाँ हर अचर को मान दे दिया गया है।

प्रश्न 18

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ का व्यापक हल क्या है?

y = ax + b

सही उत्तरआपका उत्तर

y = c

सही उत्तरआपका उत्तर

y = ax

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $y = ax + b$

एक बार समाकलन से $\frac{dy}{dx} = a$ ; फिर से समाकलन से $y = ax + b$ ।
द्वितीय कोटि के समीकरण को दो स्वेच्छ अचर चाहिए, $a$ और $b$ : हर सरल रेखा।

ध्यान देने योग्य

$y = ax$ में एक अचर है, द्वितीय कोटि के समीकरण के लिए कम; यह केवल एक विशेष कुल है।

प्रश्न 19

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = 2x$ का वह विशिष्ट हल कौन-सा है जिसमें $x = 0$ पर $y = 3$ ?

y = x^2 + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 2x + 3

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x^2 + 3

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 3x^2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $y = x^2 + 3$

व्यापक हल $y = x^2 + C$ है।
$y(0) = 3$ से $C = 3$ , इसलिए विशिष्ट हल $y = x^2 + 3$ है।

ध्यान देने योग्य

$y = x^2 + C$ व्यापक हल है; शर्त ही उसमें से एक वक्र चुनती है।

प्रश्न 20

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन $x\frac{dy}{dx} = y$ का हल है?

y = x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 3 x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x + 3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $y = 3 x$

$y = 3 x$ लेकर देखिए: $y' = 3$ ।
रखने पर हर $x$ के लिए दोनों पक्ष बराबर होते हैं; बाकी हर विकल्प में कुछ बच जाता है।

प्रश्न 21

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $y = Ae^{x}$ , $A$ स्वेच्छ, $\frac{dy}{dx} = y$ का व्यापक हल है।

II. $y = 2e^{x}$ , $\frac{dy}{dx} = y$ का एक विशिष्ट हल है।

केवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIसही उत्तरआपका उत्तरI और II दोनोंसही उत्तरआपका उत्तरन I, न IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · I और II दोनों

I: हर $A$ के लिए $\frac{d}{dx}(Ae^{x}) = Ae^{x} = y$ , और 1 कोटि के समीकरण में एक अचर चाहिए। सही।
II: $A = 2$ अचर का एक चुनाव है, इसलिए यह विशिष्ट हल है। सही।

प्रश्न 22

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$ का हल है?

y = \sin 4x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = e^{2 x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \sin 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $y = \sin 2x$

$y = \sin 2x$ लेकर देखिए: $y' = 2 \cos 2x$ और $y'' = - 4 \sin 2x$ ।
रखने पर हर $x$ के लिए दोनों पक्ष बराबर होते हैं; बाकी हर विकल्प में कुछ बच जाता है।

प्रश्न 23

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): हर अचर $C$ के लिए $y = x^2 + C$ , $\frac{dy}{dx} = 2x$ का हल है।

कारण (R): अचर का अवकलज 0 होता है।

A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।सही उत्तरआपका उत्तरA और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।सही उत्तरआपका उत्तरA सही है, लेकिन R गलत है।सही उत्तरआपका उत्तरA गलत है, लेकिन R सही है।सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

$\frac{d}{dx}(x^2 + C) = 2x + 0 = 2x$ , इसलिए A सही है।
यह हर $C$ के लिए ठीक इसीलिए चलता है कि अचर का अवकलज 0 है, इसलिए R, A की व्याख्या करता है।

प्रश्न 24

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = \cos x$ का वह विशिष्ट हल कौन-सा है जिसमें $x = 0$ पर $y = 2$ ?

y = \sin x + 2

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \sin x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = -\sin x + 2

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \cos x + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $y = \sin x + 2$

समाकलन से $y = \sin x + C$ ।
$x = 0$ पर: $2 = 0 + C$ , इसलिए $C = 2$ और $y = \sin x + 2$ ।

ध्यान देने योग्य

$y = \sin x + C$ व्यापक हल है; शर्त से $C$ तय होना चाहिए। $y = \cos x + 1$ , $(0, 2)$ से जाता है पर उसकी ढाल $-\sin x$ है।

प्रश्न 25

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन $\frac{dy}{dx} = 2xy$ का हल है?

y = e^{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = e^{2 x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 2 x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $y = e^{x^{2}}$

$y = e^{x^{2}}$ लेकर देखिए: $y' = 2 x e^{x^{2}}$ ।
रखने पर हर $x$ के लिए दोनों पक्ष बराबर होते हैं; बाकी हर विकल्प में कुछ बच जाता है।

प्रश्न 26

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ के व्यापक हल में दो स्वेच्छ अचर होते हैं।

कारण (R): व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या अवकल समीकरण की घात के बराबर होती है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · A सही है, लेकिन R गलत है।

दो बार समाकलन से $y = ax + b$ मिलता है, दो अचरों के साथ: A सही है।
R गलत है: अचरों की संख्या कोटि के बराबर होती है। $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ की कोटि 2 पर घात 1 है।

प्रश्न 27

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन $x\frac{dy}{dx} + y = 0$ का हल है?

y = x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = e^{- x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \frac{1}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = - x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $y = \frac{1}{x}$

$y = \frac{1}{x}$ लेकर देखिए: $y' = - \frac{1}{x^{2}}$ ।
रखने पर हर $x$ के लिए दोनों पक्ष बराबर होते हैं; बाकी हर विकल्प में कुछ बच जाता है।

प्रश्न 28

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d^2y}{dx^2} = 6x$ , जहाँ $x = 0$ पर $y = 1$ और $\frac{dy}{dx} = 2$ । $y$ क्या है?

y = x^3 + x + 2

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 3x^2 + 2x + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x^3 + 2x + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x^3 + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $y = x^3 + 2x + 1$

एक बार समाकलन: $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + A$ ; $x = 0$ पर $\frac{dy}{dx} = 2$ से $A = 2$ ।
फिर समाकलन: $y = x^3 + 2x + B$ ; $x = 0$ पर $y = 1$ से $B = 1$ ।

ध्यान देने योग्य

$y = x^3 + 1$ केवल $y$ वाली शर्त लेता है; 2 कोटि के समीकरण में दोनों अचर तय होने चाहिए।

प्रश्न 29

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन $\frac{dy}{dx} + y = 0$ का हल है?

y = e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x e^{- x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = - e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 5 e^{- x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $y = 5 e^{- x}$

$y = 5 e^{- x}$ लेकर देखिए: $y' = - 5 e^{- x}$ ।
रखने पर हर $x$ के लिए दोनों पक्ष बराबर होते हैं; बाकी हर विकल्प में कुछ बच जाता है।

प्रश्न 30

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन $\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = 0$ का हल है?

y = e^{2 x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x^{2} e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = e^{- x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $y = x e^{x}$

$y = x e^{x}$ लेकर देखिए: $y' = x e^{x} + e^{x}$ और $y'' = \left(x + 2\right) e^{x}$ ।
रखने पर हर $x$ के लिए दोनों पक्ष बराबर होते हैं; बाकी हर विकल्प में कुछ बच जाता है।

अवकल समीकरण बनाना

17 प्रश्न

प्रश्न 31

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र-कुल $y = Ae^{3x}$ , जहाँ $A$ स्वेच्छ अचर हैं, कौन-सा अवकल समीकरण संतुष्ट करता है?

\frac{dy}{dx} = 3

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = 3y

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = y

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} = 3y

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{dy}{dx} = 3y$

यहाँ एक अचर है, इसलिए एक बार अवकलन करके उसे हटाइए।
हटाने पर $\frac{dy}{dx} = 3y$ मिलता है, जिसकी कोटि 1 है।

ध्यान देने योग्य

समीकरण की कोटि उतनी ही होती है जितने स्वेच्छ अचर वह हटाता है।

प्रश्न 32

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र-कुल $y = mx$ , जहाँ $m$ स्वेच्छ अचर हैं, कौन-सा अवकल समीकरण संतुष्ट करता है?

x\frac{dy}{dx} = y

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = x

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = y

सही उत्तरआपका उत्तर

y\frac{dy}{dx} = x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $x\frac{dy}{dx} = y$

यहाँ एक अचर है, इसलिए एक बार अवकलन करके उसे हटाइए।
हटाने पर $x\frac{dy}{dx} = y$ मिलता है, जिसकी कोटि 1 है।

ध्यान देने योग्य

समीकरण की कोटि उतनी ही होती है जितने स्वेच्छ अचर वह हटाता है।

प्रश्न 33

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मूल बिंदु केंद्र वाले सभी वृत्त के अवकल समीकरण की कोटि क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $1$

कोटि वक्र-कुल के समीकरण के स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
$x^2 + y^2 = r^2$ में एक अचर $r$ है: कोटि 1 है।

प्रश्न 34

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कुल $y = Ax^2$ , जहाँ $A$ स्वेच्छ अचर है, कौन-सा अवकल समीकरण संतुष्ट करता है?

\frac{dy}{dx} = 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

x\frac{dy}{dx} = 2y

सही उत्तरआपका उत्तर

x\frac{dy}{dx} = -2y

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = 2y

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $x\frac{dy}{dx} = 2y$

$\frac{dy}{dx} = 2Ax$ , और कुल से $A = \frac{y}{x^2}$ ।
इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x}$ , यानी $x\frac{dy}{dx} = 2y$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{dy}{dx} = 2x$ में $A$ का विलोपन नहीं, $A = 1$ मान लिया: यह एक परवलय है, कुल नहीं।

प्रश्न 35

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कुल $y = Ae^{x} + Be^{2x} + Ce^{3x}$ , जहाँ $A, B, C$ स्वेच्छ हैं, के अवकल समीकरण की कोटि क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3$

हर स्वेच्छ अचर हटाने के लिए एक अवकलन चाहिए।
तीन अचर, इसलिए कोटि 3।

ध्यान देने योग्य

6 में घातें $1 + 2 + 3$ जोड़ दीं; केवल अचरों की संख्या गिनी जाती है।

प्रश्न 36

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र-कुल $y = A\sin x + B\cos x$ , जहाँ $A, B$ स्वेच्छ अचर हैं, कौन-सा अवकल समीकरण संतुष्ट करता है?

\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} + y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$

यहाँ दो अचर हैं, इसलिए दो बार अवकलन करके उन्हें हटाइए।
हटाने पर $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$ मिलता है, जिसकी कोटि 2 है।

ध्यान देने योग्य

समीकरण की कोटि उतनी ही होती है जितने स्वेच्छ अचर वह हटाता है।

प्रश्न 37

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र-कुल $y^2 = 4ax$ , जहाँ $a$ स्वेच्छ अचर हैं, कौन-सा अवकल समीकरण संतुष्ट करता है?

y = x\frac{dy}{dx}

सही उत्तरआपका उत्तर

2y = x\frac{dy}{dx}

सही उत्तरआपका उत्तर

y\frac{dy}{dx} = 2a

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 2x\frac{dy}{dx}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $y = 2x\frac{dy}{dx}$

यहाँ एक अचर है, इसलिए एक बार अवकलन करके उसे हटाइए।
हटाने पर $y = 2x\frac{dy}{dx}$ मिलता है, जिसकी कोटि 1 है।

ध्यान देने योग्य

समीकरण की कोटि उतनी ही होती है जितने स्वेच्छ अचर वह हटाता है।

प्रश्न 38

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किस वक्र-कुल का अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -2y$ है?

y = Ae^{2x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = -2x + A

सही उत्तरआपका उत्तर

y = Ax^{-2}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = Ae^{-2x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $y = Ae^{-2x}$

$y = Ae^{-2x}$ के लिए $\frac{dy}{dx} = -2Ae^{-2x} = -2y$ , हर $A$ के लिए।
$Ae^{2x}$ से $+2y$ आता है, और $-2x + A$ से $-2$ , $-2y$ नहीं।

ध्यान देने योग्य

$y = Ax^{-2}$ से $\frac{dy}{dx} = -\frac{2y}{x}$ आता है, एक अतिरिक्त $x$ के साथ।

प्रश्न 39

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समतल की सभी सरल रेखाएँ के अवकल समीकरण की कोटि क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2$

कोटि वक्र-कुल के समीकरण के स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
$y = mx + c$ में दो अचर $m$ और $c$ हैं: कोटि 2 है।

प्रश्न 40

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $y = Ae^{x}$ के अवकल समीकरण की कोटि 1 है।

II. 2 स्वेच्छ अचरों के विलोपन से 2 कोटि का समीकरण मिलता है।

III. $y = Ae^{x} + Be^{-x}$ का अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = y$ है।

IV. रेखाओं $y = mx + c$ का अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = m$ है।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I, II और III

I और II: हर अचर के लिए एक अवकलन। III: $\frac{d^2y}{dx^2} = Ae^{x} + Be^{-x} = y$ ।
IV गलत है: $m$ भी एक अचर है और उसे भी हटाना है; समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ है।

प्रश्न 41

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कुल $y = \frac{A}{x} + B$ , जहाँ $A, B$ स्वेच्छ अचर हैं, कौन-सा अवकल समीकरण संतुष्ट करता है?

x\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

x\frac{dy}{dx} + y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

x\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $x\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{A}{x^2}$ , इसलिए $x^2\frac{dy}{dx} = -A$ ।
फिर अवकलन: $2x\frac{dy}{dx} + x^2\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ , यानी $x\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 0$ ।

ध्यान देने योग्य

$x\frac{dy}{dx} + y = 0$ केवल $y = \frac{A}{x}$ का समीकरण है; $+B$ हटाने के लिए दूसरा अवकलज चाहिए।

प्रश्न 42

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किस वक्र-कुल का अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ है?

मूलबिंदु से जाने वाली सरल रेखाएँ,

y = Cx

सही उत्तरआपका उत्तरवृत्त

x^2 + y^2 = C

सही उत्तरआपका उत्तरआयतीय अतिपरवलय

xy = C

सही उत्तरआपका उत्तरपरवलय

y = Cx^2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · मूलबिंदु से जाने वाली सरल रेखाएँ, $y = Cx$

चर अलग कीजिए: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ , इसलिए $\log|y| = \log|x| + \log|C|$ ।
यानी $y = Cx$ : मूलबिंदु से जाने वाली हर रेखा।

ध्यान देने योग्य

$xy = C$ के लिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ , वही समीकरण ऋण चिह्न के साथ।

प्रश्न 43

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

उन सभी परवलयों $y^2 = 4a(x - h)$ , जिनका अक्ष $x$ -अक्ष है, $a$ और $h$ स्वेच्छ, के अवकल समीकरण की कोटि क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2$

कुल में दो स्वेच्छ अचर हैं, $a$ और $h$ ।
दोनों हटाने के लिए दो अवकलन: कोटि 2 है।

ध्यान देने योग्य

1 केवल $a$ गिनता है; शीर्ष $(h, 0)$ भी खिसकता है, इसलिए $h$ दूसरा अचर है।

प्रश्न 44

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र-कुल $y = Ae^{x} + Be^{-2x}$ , जहाँ $A, B$ स्वेच्छ अचर हैं, कौन-सा अवकल समीकरण संतुष्ट करता है?

\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} - 2y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 2y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + 2y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} - 2y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 2y = 0$

यहाँ दो अचर हैं, इसलिए दो बार अवकलन करके उन्हें हटाइए।
हटाने पर $\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 2y = 0$ मिलता है, जिसकी कोटि 2 है।

ध्यान देने योग्य

समीकरण की कोटि उतनी ही होती है जितने स्वेच्छ अचर वह हटाता है।

प्रश्न 45

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समतल के सभी वृत्त के अवकल समीकरण की कोटि क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $3$

कोटि वक्र-कुल के समीकरण के स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ में तीन अचर $h$ , $k$ और $r$ हैं: कोटि 3 है।

प्रश्न 46

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मूलबिंदु से गुजरने वाले और $x$ -अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों $x^2 + y^2 = 2ax$ का अवकल समीकरण कौन-सा है?

2xy\frac{dy}{dx} = x^2 - y^2

सही उत्तरआपका उत्तर

2xy\frac{dy}{dx} = y^2 - x^2

सही उत्तरआपका उत्तर

x + y\frac{dy}{dx} = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

y\frac{dy}{dx} = a - x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2xy\frac{dy}{dx} = y^2 - x^2$

अवकलन: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 2a$ , इसलिए $a = x + y\frac{dy}{dx}$ ।
इसे वापस रखिए: $x^2 + y^2 = 2x\left(x + y\frac{dy}{dx}\right)$ , जिससे $2xy\frac{dy}{dx} = y^2 - x^2$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

$y\frac{dy}{dx} = a - x$ में अचर $a$ अब भी है; कुल के अवकल समीकरण में वह नहीं होना चाहिए।

प्रश्न 47

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कुल $y = e^{x}(A + Bx)$ , जहाँ $A, B$ स्वेच्छ अचर हैं, कौन-सा अवकल समीकरण संतुष्ट करता है?

\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = 0$

$ye^{-x} = A + Bx$ । $A$ और फिर $B$ हटाने के लिए दो बार अवकलन: $\frac{d^2}{dx^2}\left(ye^{-x}\right) = 0$ ।
यानी $e^{-x}\left(\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y\right) = 0$ , इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = 0$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0$ तो $Ae^{x} + Be^{-x}$ का समीकरण है; दोहराया $e^{x}$ , $-2\frac{dy}{dx}$ देता है।

चर पृथक्करणीय

20 प्रश्न

प्रश्न 48

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ का व्यापक हल क्या है?

y^2 - x^2 = C

सही उत्तरआपका उत्तर

y^2 + x^2 = C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y^2 = x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $y^2 - x^2 = C$

चरों को अलग कीजिए: हर $y$ , $dy$ की ओर और हर $x$ , $dx$ की ओर।
दोनों ओर समाकलन करके अचरों को इकट्ठा करने पर $y^2 - x^2 = C$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

उत्तर की जाँच उसका अवकलन करके कीजिए: उससे वापस वही समीकरण मिलना चाहिए।

प्रश्न 49

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किस समीकरण के चर पृथक्करणीय हैं?

\frac{dy}{dx} = x + y

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = x^2y

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = \sin(xy)

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{dy}{dx} = x^2y$

पृथक्करणीय का अर्थ है $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ : केवल $x$ के फलन और केवल $y$ के फलन का गुणनफल।
$x^2y$ ऐसा गुणनफल है, इसलिए $\frac{dy}{y} = x^2\,dx$ । $x + y$ जैसा योग इस तरह नहीं बँटता।

ध्यान देने योग्य

$x + y$ योग है, गुणनफल नहीं; वह समीकरण रैखिक है, Section B1 की विधि।

प्रश्न 50

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ और $x = 1$ पर $y = 2$ , तो $x = 3$ पर $y$ क्या है?

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

18

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $6$

चर अलग करने पर $\log|y| = \log|x| + \log|C|$ , इसलिए $y = Cx$ ।
$y(1) = 2$ से $C = 2$ : $y = 2x$ , और $y(3) = 6$ ।

ध्यान देने योग्य

5 में आरंभिक मान में 3 जोड़ा, ढाल को 1 मानकर।

प्रश्न 51

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y^2}$ का व्यापक हल क्या है?

y^3 + x^3 = C

सही उत्तरआपका उत्तर

y^2 - x^2 = C

सही उत्तरआपका उत्तर

y^3 - x^3 = C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $y^3 - x^3 = C$

चरों को अलग कीजिए: हर $y$ , $dy$ की ओर और हर $x$ , $dx$ की ओर।
दोनों ओर समाकलन करके अचरों को इकट्ठा करने पर $y^3 - x^3 = C$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

उत्तर की जाँच उसका अवकलन करके कीजिए: उससे वापस वही समीकरण मिलना चाहिए।

प्रश्न 52

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा अवकल समीकरण चर पृथक्करणीय प्रकार का नहीं है?

\frac{dy}{dx} = xy

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = x + y

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = e^{x}e^{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{dy}{dx} = x + y$

पृथक्करणीय का अर्थ है $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ , $x$ के फलन और $y$ के फलन का गुणनफल।
$xy$ , $\frac{x}{y}$ और $e^{x}e^{y}$ ऐसे गुणनफल हैं; $x + y$ योग है और इस तरह नहीं टूटता।

ध्यान देने योग्य

$e^{x}e^{y} = e^{x + y}$ घात में योग जैसा दिखता है, पर यह दो फलनों का गुणनफल है।

प्रश्न 53

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = e^{x - y}$ का व्यापक हल क्या है?

e^y = e^{-x} + C

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x + y} = C

सही उत्तरआपका उत्तर

e^y = e^x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = e^x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $e^y = e^x + C$

चरों को अलग कीजिए: हर $y$ , $dy$ की ओर और हर $x$ , $dx$ की ओर।
दोनों ओर समाकलन करके अचरों को इकट्ठा करने पर $e^y = e^x + C$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

उत्तर की जाँच उसका अवकलन करके कीजिए: उससे वापस वही समीकरण मिलना चाहिए।

प्रश्न 54

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = 2xy$ का व्यापक हल क्या है?

y = Ce^{2x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = Ce^{x^2}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x^2 + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = Ce^{-x^2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $y = Ce^{x^2}$

चरों को अलग कीजिए: हर $y$ , $dy$ की ओर और हर $x$ , $dx$ की ओर।
दोनों ओर समाकलन करके अचरों को इकट्ठा करने पर $y = Ce^{x^2}$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

उत्तर की जाँच उसका अवकलन करके कीजिए: उससे वापस वही समीकरण मिलना चाहिए।

प्रश्न 55

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = y^2$ का व्यापक हल क्या है?

-\frac{1}{y} = x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{y} = x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y^3 = 3x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = Ce^x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-\frac{1}{y} = x + C$

चरों को अलग कीजिए: हर $y$ , $dy$ की ओर और हर $x$ , $dx$ की ओर।
दोनों ओर समाकलन करके अचरों को इकट्ठा करने पर $-\frac{1}{y} = x + C$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

उत्तर की जाँच उसका अवकलन करके कीजिए: उससे वापस वही समीकरण मिलना चाहिए।

प्रश्न 56

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\frac{dy}{dx} = 2xy$ और $x = 0$ पर $y = 3$ , तो $x = 1$ पर $y$ क्या है?

-3 + 3 e

सही उत्तरआपका उत्तर

-1 + 3 e

सही उत्तरआपका उत्तर

3 e

सही उत्तरआपका उत्तर

3 + 3 e

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3 e$

चर अलग करके समाकलन से व्यापक हल मिलता है; शर्त $y(0) = 3$ अचर तय करती है।
विशिष्ट हल $y = 3 e^{x^{2}}$ है।
$x = 1$ पर: $y = 3 e$ ।

ध्यान देने योग्य

शर्त से तय होने वाला अचर छोड़ देने से कुल का गलत वक्र मिलता है।

प्रश्न 57

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक जनसंख्या अपने आकार के समानुपाती दर से बढ़ती है, $\frac{dP}{dt} = kP$ । यह अभी 1,000 है और 5 वर्षों में दोगुनी होती है। 15 वर्षों बाद यह कितनी होगी?

3{,}000

सही उत्तरआपका उत्तर

4{,}000

सही उत्तरआपका उत्तर

6{,}000

सही उत्तरआपका उत्तर

8{,}000

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $8{,}000$

$\frac{dP}{P} = k\,dt$ से $P = P_0e^{kt}$ मिलता है।
5 वर्षों में दोगुना होने का अर्थ है $e^{5k} = 2$ , इसलिए $P = 1000 \times 2^{t/5}$ ।
$t = 15$ पर: $1000 \times 2^3 = 8000$ ।

ध्यान देने योग्य

6,000 में हर 5 वर्ष 2,000 जोड़े गए, मानो दोगुना होना जोड़ना हो; वृद्धि गुणा होती है।

प्रश्न 58

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेडियोधर्मी नमूना उपस्थित मात्रा के समानुपाती दर से क्षय होता है। अभी इसमें 800 g है और इसकी अर्ध-आयु 5 वर्ष है। 15 वर्षों बाद कितने ग्राम बचेंगे?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

50

सही उत्तरआपका उत्तर

100

सही उत्तरआपका उत्तर

200

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $100$

$\frac{dN}{dt} = -kN$ से $N = N_0e^{-kt}$ मिलता है, और हर अर्ध-आयु में बची मात्रा आधी होती है।
15 वर्ष, 3 अर्ध-आयु हैं: $800 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 100$ g।

ध्यान देने योग्य

0 में हर अर्ध-आयु 400 g घटाया गया, एक सीधी रेखा; क्षय में बची मात्रा आधी होती है, इसलिए वह कभी 0 नहीं होती।

प्रश्न 59

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = 1 + y^2$ का व्यापक हल क्या है?

\tan^{-1} y = x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \tan x

सही उत्तरआपका उत्तर

y + \frac{y^3}{3} = x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

\log(1 + y^2) = x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\tan^{-1} y = x + C$

चरों को अलग कीजिए: हर $y$ , $dy$ की ओर और हर $x$ , $dx$ की ओर।
दोनों ओर समाकलन करके अचरों को इकट्ठा करने पर $\tan^{-1} y = x + C$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

उत्तर की जाँच उसका अवकलन करके कीजिए: उससे वापस वही समीकरण मिलना चाहिए।

प्रश्न 60

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = y\tan x$ का व्यापक हल क्या है?

y = C\cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = C\tan x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = Ce^{\tan x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = C\sec x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $y = C\sec x$

चरों को अलग कीजिए: हर $y$ , $dy$ की ओर और हर $x$ , $dx$ की ओर।
दोनों ओर समाकलन करके अचरों को इकट्ठा करने पर $y = C\sec x$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

उत्तर की जाँच उसका अवकलन करके कीजिए: उससे वापस वही समीकरण मिलना चाहिए।

प्रश्न 61

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = e^{x + y}$ का व्यापक हल क्या है?

e^x - e^{-y} = C

सही उत्तरआपका उत्तर

e^x + e^{-y} = C

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x + y} = C

सही उत्तरआपका उत्तर

e^y = e^x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $e^x + e^{-y} = C$

चरों को अलग कीजिए: हर $y$ , $dy$ की ओर और हर $x$ , $dx$ की ओर।
दोनों ओर समाकलन करके अचरों को इकट्ठा करने पर $e^x + e^{-y} = C$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

उत्तर की जाँच उसका अवकलन करके कीजिए: उससे वापस वही समीकरण मिलना चाहिए।

प्रश्न 62

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक जीवाणु संवर्धन अपने आकार के समानुपाती दर से बढ़ता है और 2 घंटे में तीन गुना हो जाता है। 6 घंटे बाद वह कितने गुना हो जाता है?

7

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

18

सही उत्तरआपका उत्तर

27

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $27$

$\frac{dN}{dt} = kN$ से $N = N_0e^{kt}$ , और $e^{2k} = 3$ ।
6 घंटे बाद: $e^{6k} = \left(e^{2k}\right)^3 = 27$ ।

ध्यान देने योग्य

9 में 3 को 6 घंटे ÷ 2 घंटे से गुणा किया, 3 को उस घात तक उठाया नहीं।

प्रश्न 63

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\frac{dy}{dx} = e^{-y}$ और $x = 0$ पर $y = 0$ , तो $x = e - 1$ पर $y$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

-1 + e

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $1$

चर अलग कीजिए: $e^{y}\,dy = dx$ , इसलिए $e^{y} = x + C$ ; $y(0) = 0$ से $C = 1$ ।
$y = \log(x + 1)$ , और $x = e - 1$ पर $y = \log e = 1$ ।

ध्यान देने योग्य

$e - 1$ में $x$ का मान उतार लिया; $y$ लघुगणक जैसा, बहुत धीरे बढ़ता है।

प्रश्न 64

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + y^2}{1 + x^2}$ का व्यापक हल क्या है?

\tan^{-1} y \cdot \tan^{-1} x = C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

\log(1 + y^2) = \log(1 + x^2) + C

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + C$

चरों को अलग कीजिए: हर $y$ , $dy$ की ओर और हर $x$ , $dx$ की ओर।
दोनों ओर समाकलन करके अचरों को इकट्ठा करने पर $\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + C$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

उत्तर की जाँच उसका अवकलन करके कीजिए: उससे वापस वही समीकरण मिलना चाहिए।

प्रश्न 65

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ और $x = 0$ पर $y = 3$ , तो $x = 4$ पर $y$ क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $5$

चर अलग करके समाकलन से व्यापक हल मिलता है; शर्त $y(0) = 3$ अचर तय करती है।
विशिष्ट हल $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ है।
$x = 4$ पर: $y = 5$ ।

ध्यान देने योग्य

शर्त से तय होने वाला अचर छोड़ देने से कुल का गलत वक्र मिलता है।

प्रश्न 66

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\frac{dy}{dx} = y\cos x$ और $x = 0$ पर $y = 1$ , तो $x = \frac{\pi}{2}$ पर $y$ क्या है?

e

सही उत्तरआपका उत्तर

1 + e

सही उत्तरआपका उत्तर

2 + e

सही उत्तरआपका उत्तर

2 e

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $e$

चर अलग करके समाकलन से व्यापक हल मिलता है; शर्त $y(0) = 1$ अचर तय करती है।
विशिष्ट हल $y = e^{\sin x}$ है।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर: $y = e$ ।

ध्यान देने योग्य

शर्त से तय होने वाला अचर छोड़ देने से कुल का गलत वक्र मिलता है।

प्रश्न 67

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी वक्र की हर बिंदु $(x, y)$ पर ढाल $\frac{2y}{x}$ है, और वक्र $(1, 3)$ से होकर जाता है। $x = 2$ पर $y$ क्या है?

6

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $12$

$\frac{dy}{y} = \frac{2\,dx}{x}$ , इसलिए $\log|y| = 2\log|x| + \log|C|$ : $y = Cx^2$ ।
$(1, 3)$ से होकर: $C = 3$ । $x = 2$ पर $y = 12$ ।

ध्यान देने योग्य

6 में वक्र को रेखा $y = 3x$ मान लिया; ढाल का गुणक 2 इसे परवलय बनाता है।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।