EduFarming
आपकी सूची · 0EN

कम से कम दो अक्षर लिखें। बंद करने के लिए Esc दबाएँ।

↑↓ चलें↵ खोलेंTAB फ़िल्टर बदलें

CUET गणित के लिए निश्चित समाकलन और क्षेत्रफल

सीखने में लगभग 5 मिनट · 71 प्रश्न

निश्चित समाकलन और वक्र के नीचे का क्षेत्रफल CUET गणित के Section A में आते हैं, वह सेक्शन जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, चाहे आप Mathematics लें या Applied Mathematics। ये समाकल को एक संख्या में बदलते हैं, और कुछ गुणधर्म लंबी गणनाओं को एक पंक्ति के उत्तर में बदल देते हैं। मूलभूत प्रमेय और सीमाएँ बदलने से लेकर विषम, सम और a − x वाले गुणधर्मों और सरल वक्र के नीचे के क्षेत्रफल तक हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र
Section A1
इस पृष्ठ पर · 10 भाग
  1. 01निश्चित समाकल
  2. 02कलन की मूलभूत प्रमेय
  3. 03सीमाओं के साथ प्रतिस्थापन और खंडशः
  4. 04निश्चित समाकलों के गुणधर्म
  5. 05सरल वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
  6. 06CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
  7. 07परीक्षा के लिए शॉर्टकट
  8. 08आम भूलें
  9. 09त्वरित पुनरावृत्ति
  10. 10अपनी समझ जाँचें

निश्चित समाकल

गेंद का वेग 20−10t20 - 10t m/s है। पहले 2 सेकंड में वह कितनी ऊपर जाती है? उसकी ऊँचाई 20t−5t220t - 5t^2 और एक अचर है, इसलिए चढ़ाई t=2t = 2 पर ऊँचाई में से t=0t = 0 पर ऊँचाई घटाकर मिलती है: (40−20)−0=20(40 - 20) - 0 = 20 मीटर। अचर कट जाता है। यही घटाना एक निश्चित समाकल है।

निश्चित समाकल क्या होता है?

निश्चित समाकल एक संख्या है, फलन नहीं: a से b तक f का समाकल। जो फलन x-अक्ष से ऊपर रहे, उसके लिए यह a से b तक ग्राफ़ और अक्ष के बीच का क्षेत्रफल है। इसे किसी भी प्रतिअवकलज F से F(b) में से F(a) घटाकर निकालते हैं, और समाकलन अचर सदा कट जाता है। इसे ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx लिखते हैं।

कलन की मूलभूत प्रमेय

कलन की मूलभूत प्रमेय क्या कहती है?

इसके दो भाग हैं। पहला: क्षेत्रफल फलन A(x)=∫axf(t) dtA(x) = \int_a^x f(t)\,dt का अवकलज A′(x)=f(x)A'(x) = f(x) है, इसलिए समाकलन के बाद अवकलन करने पर फलन वापस मिलता है। दूसरा: ff के किसी भी प्रतिअवकलज FF के लिए ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), और इसी से हर निश्चित समाकल का मान निकलता है।

उदाहरण 1 · द्वितीय मूलभूत प्रमेय

∫13(2x+3x2) dx\int_1^3 (2x + 3x^2)\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=x2+x3F(x) = x^2 + x^3 है।

  2. F(3)−F(1)=(9+27)−(1+1)F(3) - F(1) = (9 + 27) - (1 + 1)।

उत्तर

34

उदाहरण 2 · प्रथम मूलभूत प्रमेय

ddx∫0x3et dt\frac{d}{dx}\int_0^{x^3} e^t\,dt ज्ञात कीजिए।

  1. समाकल ex3−1e^{x^3} - 1 है, यानी x3x^3 पर क्षेत्रफल फलन।

  2. शृंखला नियम से अवकलन: ex3⋅3x2e^{x^3} \cdot 3x^2।

उत्तर

3x2ex33x^2e^{x^3}: ऊपरी सीमा पर समाकल्य, गुणा सीमा का अवकलज।

सावधान

सही क्रम में घटाइए, ऊपर वाले में से नीचे वाला। F(a)−F(b)F(a) - F(b) लिखने पर संख्या सही पर चिह्न गलत आता है, और F(a)F(a) को पूरी तरह भूल जाना भी उतना ही आम है।

सीमाओं के साथ प्रतिस्थापन और खंडशः

प्रतिस्थापन में सीमाएँ कैसे बदलते हैं?

जब आप t=g(x)t = g(x) रखें, तो सीमाएँ भी बदलिए: नई निचली सीमा g(a)g(a) है और नई ऊपरी सीमा g(b)g(b)। फिर tt में ही हल पूरा कीजिए, xx पर लौटने की ज़रूरत नहीं।

उदाहरण 3 · नया चर, नई सीमाएँ

∫01x21+x3 dx\int_0^1 \frac{x^2}{1 + x^3}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

  1. t=1+x3t = 1 + x^3 रखिए, तब dt=3x2 dxdt = 3x^2\,dx। x=0x = 0 पर t=1t = 1; x=1x = 1 पर t=2t = 2।

  2. समाकल 13∫12dtt=13(log⁡2−log⁡1)\frac{1}{3}\int_1^2 \frac{dt}{t} = \frac{1}{3}\left(\log 2 - \log 1\right) है।

उत्तर
13log⁡2\frac{1}{3}\log 2

सीमाओं के साथ खंडशः भी ऐसे ही चलता है: ∫abu dv=[uv]ab−∫abv du\int_a^b u\,dv = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b v\,du।

उदाहरण 4 · सीमाओं के साथ खंडशः

∫0πxcos⁡x dx\int_0^{\pi} x\cos x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

  1. u=xu = x, dv=cos⁡x dxdv = \cos x\,dx: एक प्रतिअवकलज xsin⁡x+cos⁡xx\sin x + \cos x है।

  2. π\pi पर: 0+(−1)=−10 + (-1) = -1। 0 पर: 0+1=10 + 1 = 1।

उत्तर
−1−1=−2-1 - 1 = -2

निश्चित समाकलों के गुणधर्म

ये गुणधर्म अक्सर लंबी गणना को एक पंक्ति में बदल देते हैं।

वे गुणधर्म जो CUET में काम आते हैं

∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx,∫abf=∫acf+∫cbf\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx, \qquad \int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f
∫abf(x) dx=∫abf(a+b−x) dx,∫0af(x) dx=∫0af(a−x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a + b - x)\,dx, \qquad \int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a - x)\,dx
∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx (सम f),∫−aaf(x) dx=0 (विषम f)\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx \text{ (सम } f\text{)}, \qquad \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0 \text{ (विषम } f\text{)}

−a से a तक विषम फलन का समाकल क्या होता है?

यह 0 होता है। विषम फलन में f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x), इसलिए उसका ग्राफ़ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है, और एक ओर अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल दूसरी ओर ऊपर के क्षेत्रफल को ठीक काट देता है। इसलिए ∫−22(x3−5x) dx=0\int_{-2}^{2} (x^3 - 5x)\,dx = 0, बिना किसी गणना के।

गुणनफल तब विषम होता है जब एक गुणनखंड विषम और दूसरा सम हो: x3cos⁡xx^3\cos x विषम है, जबकि xsin⁡xx\sin x सम है।

उदाहरण 5 · a − x का उपयोग

∫02x(2−x)3 dx\int_0^2 x(2 - x)^3\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

  1. xx की जगह 2−x2 - x रखिए: ∫02(2−x)x3 dx=∫02(2x3−x4) dx\int_0^2 (2 - x)x^3\,dx = \int_0^2 (2x^3 - x^4)\,dx।

  2. [x42−x55]02=8−325\left[\frac{x^4}{2} - \frac{x^5}{5}\right]_0^2 = 8 - \frac{32}{5}।

उत्तर
85\frac{8}{5}

मुख्य बात

यही विचार एक पूरे परिवार को एक साथ हल कर देता है। I=∫0π2g(sin⁡x)g(sin⁡x)+g(cos⁡x) dxI = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{g(\sin x)}{g(\sin x) + g(\cos x)}\,dx में xx की जगह π2−x\frac{\pi}{2} - x रखने से sin⁡\sin और cos⁡\cos आपस में बदल जाते हैं; दोनों रूप जोड़ने पर 2I=∫0π21 dx2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1\,dx, इसलिए I=π4I = \frac{\pi}{4}, gg कुछ भी हो।

उदाहरण 6 · एक मापांक

∫−12∣x∣ dx\int_{-1}^{2} \lvert x \rvert\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

  1. x<0x < 0 के लिए ∣x∣=−x\lvert x \rvert = -x और x≥0x \ge 0 के लिए xx, इसलिए 0 पर तोड़िए।

  2. ∫−10(−x) dx+∫02x dx=12+2\int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_0^2 x\,dx = \frac{1}{2} + 2।

उत्तर
52\frac{5}{2}

सरल वक्र के नीचे का क्षेत्रफल

वक्र के नीचे का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?

जो वक्र y=f(x)y = f(x), x=ax = a और x=bx = b के बीच xx-अक्ष से ऊपर रहे, उसके लिए वक्र, अक्ष और इन दो रेखाओं के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx है। यदि वक्र अक्ष के नीचे हो, तो समाकल ऋणात्मक आता है और क्षेत्रफल उसका निरपेक्ष मान है; यदि वक्र अक्ष को काटे, तो कटान पर तोड़कर भागों के मान जोड़िए।

y = x² + 1 का ग्राफ़, जिसमें x = 0 से x = 2 तक वक्र के नीचे x-अक्ष तक का क्षेत्र छायांकित है।
छायांकित क्षेत्रफल 0 से 2 तक x² + 1 का समाकल है।

उदाहरण 7 · छायांकित क्षेत्रफल

y=x2+1y = x^2 + 1, xx-अक्ष, x=0x = 0 और x=2x = 2 के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

  1. वक्र पूरे अंतराल में अक्ष से ऊपर है, इसलिए क्षेत्रफल ∫02(x2+1) dx\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx है।

  2. [x33+x]02=83+2\left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^2 = \frac{8}{3} + 2।

उत्तर

143\frac{14}{3} वर्ग इकाई

सावधान

समाकल 0 हो सकता है जबकि क्षेत्रफल नहीं। ∫0πcos⁡x dx=0\int_0^{\pi} \cos x\,dx = 0, पर [0,π][0, \pi] पर y=cos⁡xy = \cos x और अक्ष के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल 2 है: क्षेत्रफल में अक्ष के नीचे का भाग धन चिह्न के साथ गिना जाता है।

yy-अक्ष के साथ वाले क्षेत्र, x=g(y)x = g(y) और रेखाओं y=cy = c तथा y=dy = d के बीच, का क्षेत्रफल ∫cdg(y) dy\int_c^d g(y)\,dy है। और एक चौथाई पर समाकलन करके 4 से गुणा करने पर दो याद रखने लायक क्षेत्रफल मिलते हैं: rr त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल πr2\pi r^2, और दीर्घवृत्त x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 का क्षेत्रफल πab\pi ab।

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

  • मान निकालना: किसी मानक फलन का निश्चित समाकल, या प्रतिस्थापन या खंडशः से।
  • प्रथम प्रमेय: चर सीमा वाले समाकल का अवकलज, या दिए गए मान से अज्ञात सीमा।
  • गुणधर्म: [−a,a][-a, a] पर विषम और सम फलन, a−xa - x और a+b−xa + b - x वाली युक्तियाँ, कोई मापांक, या दिए गए समाकलों से कोई मान, अक्सर कथन प्रश्न के रूप में।
  • क्षेत्रफल: सरल वक्र के नीचे, अक्सर चित्र के साथ; अक्ष के नीचे या उसे काटता क्षेत्र; yy-अक्ष के साथ क्षेत्र; वृत्त या दीर्घवृत्त।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

  • [−a,a][-a, a] पर विषम फलन: तुरंत 0।
  • ∫0π2g(sin⁡x)g(sin⁡x)+g(cos⁡x) dx=π4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{g(\sin x)}{g(\sin x) + g(\cos x)}\,dx = \frac{\pi}{4}।
  • ∫abh(x)h(x)+h(a+b−x) dx=b−a2\int_a^b \frac{h(x)}{h(x) + h(a + b - x)}\,dx = \frac{b - a}{2}।
  • ddx∫ag(x)f(t) dt=f(g(x)) g′(x)\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)।
  • दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल πab\pi ab; वृत्त का क्षेत्रफल πr2\pi r^2।

आम भूलें

  • F(a)F(a) में से F(b)F(b) घटाना, या F(a)F(a) भूल जाना।
  • प्रतिस्थापन के बाद पुरानी सीमाएँ रखे रहना।
  • वक्र के अक्ष से नीचे जाने पर भी समाकल को ही क्षेत्रफल मान लेना।
  • f(−x)f(-x) जाँचे बिना फलन को विषम या सम कह देना।
  • ऊपरी सीमा फलन हो, तो शृंखला नियम का गुणक g′(x)g'(x) भूल जाना।

त्वरित पुनरावृत्ति

मान निकालना

  • ∫abf=F(b)−F(a)\int_a^b f = F(b) - F(a); CC कट जाता है
  • प्रतिस्थापन: चर के साथ सीमाएँ भी बदलिए

गुणधर्म

  • सीमाएँ बदलें: चिह्न बदलता है; किसी भी cc पर बाँटिए
  • f(a+b−x)f(a + b - x) और f(a−x)f(a - x) से मान नहीं बदलता
  • विषम: 0; सम: आधे का दोगुना

क्षेत्रफल

  • अक्ष से ऊपर: ∫abf\int_a^b f; नीचे: उसका निरपेक्ष मान
  • अक्ष को काटे: बाँटकर मान जोड़िए

जिस समीकरण में अवकलज हो, वह समाकलन से हल होता है: अवकल समीकरण।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

71 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

कलन की मूलभूत प्रमेयप्र1 / 71प्र1

कलन की मूलभूत प्रमेय

17 प्रश्न

प्रश्न 1

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫02(3x2+2x) dx\int_{0}^{2} \left(3 x^{2} + 2 x\right)\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 1212

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=x2(x+1)F(x) = x^{2} \left(x + 1\right) है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(2)−F(0)=12F(2) - F(0) = 12 है।

ध्यान देने योग्य

−12-12 में घटाव उलटा है, F(0)−F(2)F(0) - F(2)।

प्रश्न 2

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫1e1x dx\int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 2 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 11

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=log⁡xF(x) = \log x है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(e)−F(1)=1F(e) - F(1) = 1 है।

ध्यान देने योग्य

−1-1 में घटाव उलटा है, F(1)−F(e)F(1) - F(e)।

प्रश्न 3

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫0π4sec⁡2x dx\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2} x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 3 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 11

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=tan⁡xF(x) = \tan x है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(π4)−F(0)=1F(\frac{\pi}{4}) - F(0) = 1 है।

ध्यान देने योग्य

−1-1 में घटाव उलटा है, F(0)−F(π4)F(0) - F(\frac{\pi}{4})।

प्रश्न 4

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫12(4x3−2x) dx\int_{1}^{2} \left(4 x^{3} - 2 x\right)\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 4 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 1212

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=x4−x2F(x) = x^{4} - x^{2} है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(2)−F(1)=12F(2) - F(1) = 12 है।

ध्यान देने योग्य

−12-12 में घटाव उलटा है, F(1)−F(2)F(1) - F(2)।

प्रश्न 5

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫0π2sin⁡x dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 5 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 11

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=−cos⁡xF(x) = - \cos x है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(π2)−F(0)=1F(\frac{\pi}{2}) - F(0) = 1 है।

ध्यान देने योग्य

00 केवल F(π2)F(\frac{\pi}{2}) है: F(0)F(0) घटाया नहीं गया।

प्रश्न 6

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫0log⁡3ex dx\int_{0}^{\log 3} e^{x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 22

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=exF(x) = e^{x} है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(log⁡3)−F(0)=2F(\log 3) - F(0) = 2 है।

ध्यान देने योग्य

33 केवल F(log⁡3)F(\log 3) है: F(0)F(0) घटाया नहीं गया।

प्रश्न 7

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫011x2+1 dx\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 7 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · π4\frac{\pi}{4}

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=tan⁡−1(x)F(x) = \tan^{-1}{\left(x \right)} है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(1)−F(0)=π4F(1) - F(0) = \frac{\pi}{4} है।

ध्यान देने योग्य

−π4- \frac{\pi}{4} में घटाव उलटा है, F(0)−F(1)F(0) - F(1)।

प्रश्न 8

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि ∫1c3x2 dx=26\int_1^c 3x^2\,dx = 26 और c>1c > 1, तो cc क्या है?

प्रश्न 8 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 33

  1. ∫1c3x2 dx=c3−1\int_1^c 3x^2\,dx = c^3 - 1।

  2. c3−1=26c^3 - 1 = 26 से c3=27c^3 = 27, इसलिए c=3c = 3।

ध्यान देने योग्य

263\sqrt[3]{26} में निचली सीमा का मान 13=11^3 = 1 घटाना भूल गए।

प्रश्न 9

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि A(x)=∫1x(t2+1) dtA(x) = \int_1^x (t^2 + 1)\,dt, तो A′(2)A'(2) क्या है?

प्रश्न 9 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 55

  1. प्रथम मूलभूत प्रमेय से A′(x)=x2+1A'(x) = x^2 + 1: क्षेत्रफल फलन का अवकलज ऊपरी सीमा पर समाकल्य है।

  2. A′(2)=4+1=5A'(2) = 4 + 1 = 5।

ध्यान देने योग्य

103\frac{10}{3} तो A(2)A(2) है, स्वयं समाकल, उसका अवकलज नहीं।

प्रश्न 10

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. निश्चित समाकल ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx एक संख्या है, xx का फलन नहीं।

II. aa पर परिभाषित किसी भी ff के लिए ∫aaf(x) dx=0\int_a^a f(x)\,dx = 0।

III. प्रतिअवकलज का अचर CC, F(b)−F(a)F(b) - F(a) का मान बदल देता है।

IV. ∫abf(x) dx=∫abf(t) dt\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt।

प्रश्न 10 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I, II और IV

  1. सीमाएँ संख्याएँ हैं, इसलिए परिणाम एक संख्या है (I); बराबर सीमाओं पर F(a)−F(a)=0F(a) - F(a) = 0 (II); और चर के लिए कौन-सा अक्षर लिया, इससे फ़र्क नहीं पड़ता (IV)।

  2. III गलत है: (F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a)(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a), इसलिए CC कट जाता है।

प्रश्न 11

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫191x dx\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 44

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=2xF(x) = 2 \sqrt{x} है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(9)−F(1)=4F(9) - F(1) = 4 है।

ध्यान देने योग्य

66 केवल F(9)F(9) है: F(1)F(1) घटाया नहीं गया।

प्रश्न 12

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

ddx∫x5(t3+1) dt\frac{d}{dx}\int_x^5 (t^3 + 1)\,dt क्या है?

प्रश्न 12 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · −x3−1- x^{3} - 1

  1. ∫x5f(t) dt=−∫5xf(t) dt\int_x^5 f(t)\,dt = -\int_5^x f(t)\,dt, और ddx∫5xf(t) dt=f(x)\frac{d}{dx}\int_5^x f(t)\,dt = f(x)।

  2. इसलिए अवकलज −(x3+1)-(x^3 + 1) है।

ध्यान देने योग्य

x3+1x^3 + 1 भूल जाता है कि xx निचली सीमा है, जो चिह्न उलट देती है।

प्रश्न 13

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫031x+1 dx\int_{0}^{3} \frac{1}{x + 1}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 13 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · log⁡4\log 4

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=log⁡(x+1)F(x) = \log{\left(x + 1 \right)} है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(3)−F(0)=log⁡4F(3) - F(0) = \log 4 है।

ध्यान देने योग्य

−log⁡4- \log 4 में घटाव उलटा है, F(0)−F(3)F(0) - F(3)।

प्रश्न 14

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫0log⁡2e2x dx\int_{0}^{\log 2} e^{2 x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 14 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 32\frac{3}{2}

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=e2x2F(x) = \frac{e^{2 x}}{2} है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(log⁡2)−F(0)=32F(\log 2) - F(0) = \frac{3}{2} है।

ध्यान देने योग्य

22 केवल F(log⁡2)F(\log 2) है: F(0)F(0) घटाया नहीं गया।

प्रश्न 15

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि ∫0k(2x+1) dx=12\int_0^k (2x + 1)\,dx = 12 और k>0k > 0, तो kk क्या है?

प्रश्न 15 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 33

  1. ∫0k(2x+1) dx=k2+k\int_0^k (2x + 1)\,dx = k^2 + k।

  2. k2+k−12=0k^2 + k - 12 = 0, इसलिए (k+4)(k−3)=0(k + 4)(k - 3) = 0; k>0k > 0 से k=3k = 3।

ध्यान देने योग्य

232\sqrt{3} में +1+1 छूट गया और k2=12k^2 = 12 हल किया गया।

प्रश्न 16

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

ddx∫0x2cos⁡t dt\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \cos t\,dt क्या है?

प्रश्न 16 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 2xcos⁡(x2)2 x \cos{\left(x^{2} \right)}

  1. समाकल sin⁡(x2)\sin(x^2) है, क्योंकि ∫0ucos⁡t dt=sin⁡u\int_0^u \cos t\,dt = \sin u।

  2. शृंखला नियम से इसका अवकलज cos⁡(x2)⋅2x\cos(x^2) \cdot 2x है।

ध्यान देने योग्य

cos⁡(x2)\cos(x^2) में ऊपरी सीमा समाकल्य में रखी, पर सीमा का अवकलज 2x2x भूल गए।

प्रश्न 17

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

ddx∫xx2t dt\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} t\,dt क्या है?

प्रश्न 17 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 2x3−x2 x^{3} - x

  1. ddx∫u(x)v(x)f(t) dt=f(v)v′−f(u)u′\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f(v)v' - f(u)u'।

  2. =x2⋅2x−x⋅1=2x3−x= x^2 \cdot 2x - x \cdot 1 = 2x^3 - x।

ध्यान देने योग्य

x2−xx^2 - x में सीमाएँ f(t)=tf(t) = t में रखीं पर उनके अवकलजों से गुणा भूल गए।

सीमाओं के साथ प्रतिस्थापन और खंडशः

16 प्रश्न

प्रश्न 18

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫0π4tan⁡xsec⁡2x dx\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x\sec^2 x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 18 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 12\frac{1}{2}

  1. t=tan⁡xt = \tan x, dt=sec⁡2x dxdt = \sec^2 x\,dx रखिए; सीमाएँ 0 और 1 हो जाती हैं।

  2. ∫01t dt=12\int_0^1 t\,dt = \frac{1}{2}।

ध्यान देने योग्य

1 में tt के समाकलन पर t2t^2 को आधा करना भूल गए।

प्रश्न 19

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫01xex2 dx\int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 19 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · −12+e2- \frac{1}{2} + \frac{e}{2}

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=ex22F(x) = \frac{e^{x^{2}}}{2} है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(1)−F(0)=−12+e2F(1) - F(0) = - \frac{1}{2} + \frac{e}{2} है।

ध्यान देने योग्य

e2\frac{e}{2} केवल F(1)F(1) है: F(0)F(0) घटाया नहीं गया।

प्रश्न 20

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫0π2sin⁡2xcos⁡x dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \cos x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 20 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 13\frac{1}{3}

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=sin⁡3x3F(x) = \frac{\sin^{3} x}{3} है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(π2)−F(0)=13F(\frac{\pi}{2}) - F(0) = \frac{1}{3} है।

ध्यान देने योग्य

−13- \frac{1}{3} में घटाव उलटा है, F(0)−F(π2)F(0) - F(\frac{\pi}{2})।

प्रश्न 21

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫012xx2+1 dx\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 21 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · log⁡2\log 2

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=log⁡(x2+1)F(x) = \log{\left(x^{2} + 1 \right)} है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(1)−F(0)=log⁡2F(1) - F(0) = \log 2 है।

ध्यान देने योग्य

−log⁡2- \log 2 में घटाव उलटा है, F(0)−F(1)F(0) - F(1)।

प्रश्न 22

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫042x+1 dx\int_{0}^{4} \sqrt{2 x + 1}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 22 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 263\frac{26}{3}

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=(2x+1)323F(x) = \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(4)−F(0)=263F(4) - F(0) = \frac{26}{3} है।

ध्यान देने योग्य

99 केवल F(4)F(4) है: F(0)F(0) घटाया नहीं गया।

प्रश्न 23

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

प्रतिस्थापन t=x2t = x^2 से ∫02xex2 dx\int_0^2 xe^{x^2}\,dx क्या बन जाता है?

प्रश्न 23 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 12∫04et dt\frac{1}{2}\int_0^4 e^t\,dt

  1. dt=2x dxdt = 2x\,dx, इसलिए x dx=dt2x\,dx = \frac{dt}{2}।

  2. सीमाएँ भी बदलती हैं: x=0x = 0 से t=0t = 0 और x=2x = 2 से t=4t = 4। इसलिए समाकल 12∫04et dt\frac{1}{2}\int_0^4 e^t\,dt है।

ध्यान देने योग्य

tt के लिए पुरानी सीमाएँ 0 और 2 रखना आम भूल है: वे xx की हैं।

प्रश्न 24

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫1elog⁡x dx\int_1^e \log x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 24 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 11

  1. खंडशः, ∫log⁡x dx=xlog⁡x−x\int \log x\,dx = x\log x - x।

  2. [xlog⁡x−x]1e=(e−e)−(0−1)=1[x\log x - x]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1।

ध्यान देने योग्य

e−1e - 1 में log⁡x\log x का समाकलन exe^{x} जैसा किया गया या −x-x छूट गया।

प्रश्न 25

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫0π2cos⁡x1+sin⁡x dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1 + \sin x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 25 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · log⁡2\log 2

  1. अंश, हर का अवकलज है, इसलिए एक प्रतिअवकलज log⁡(1+sin⁡x)\log(1 + \sin x) है।

  2. log⁡2−log⁡1=log⁡2\log 2 - \log 1 = \log 2।

ध्यान देने योग्य

1 में समाकल को ∫0π/2cos⁡x dx\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx मान लिया, हर को अनदेखा करके।

प्रश्न 26

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫01x(x2+1)3dx\int_0^1 x\left(x^2 + 1\right)^3 dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 26 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 158\frac{15}{8}

  1. t=x2+1t = x^2 + 1, dt=2x dxdt = 2x\,dx रखिए; x=0→t=1x = 0 \to t = 1, x=1→t=2x = 1 \to t = 2।

  2. 12∫12t3 dt=12⋅16−14=158\frac{1}{2}\int_1^2 t^3\,dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{8}।

ध्यान देने योग्य

154\frac{15}{4} में x dx=dt2x\,dx = \frac{dt}{2} वाला 12\frac{1}{2} भूल गए।

प्रश्न 27

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫0πsin⁡x2−cos⁡x dx\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{2 - \cos x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 27 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · log⁡3\log 3

  1. t=2−cos⁡xt = 2 - \cos x, dt=sin⁡x dxdt = \sin x\,dx रखिए; x=0→t=1x = 0 \to t = 1, x=π→t=3x = \pi \to t = 3।

  2. ∫13dtt=log⁡3\int_1^3 \frac{dt}{t} = \log 3।

ध्यान देने योग्य

−log⁡3-\log 3 में dt=−sin⁡x dxdt = -\sin x\,dx लिया; −cos⁡x-\cos x का अवकलज +sin⁡x+\sin x है।

प्रश्न 28

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫03x1+x2 dx\int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 28 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 11

  1. ddx1+x2=x1+x2\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}, इसलिए एक प्रतिअवकलज 1+x2\sqrt{1 + x^2} है।

  2. 4−1=1\sqrt{4} - \sqrt{1} = 1।

ध्यान देने योग्य

2 केवल ऊपरी सीमा पर प्रतिअवकलज है; 1=1\sqrt{1} = 1 घटाना है।

प्रश्न 29

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫12log⁡xx dx\int_1^2 \frac{\log x}{x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 29 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · (log⁡2)22\frac{\left(\log 2\right)^{2}}{2}

  1. t=log⁡xt = \log x, dt=dxxdt = \frac{dx}{x} रखिए; सीमाएँ 0 और log⁡2\log 2 हो जाती हैं।

  2. ∫0log⁡2t dt=(log⁡2)22\int_0^{\log 2} t\,dt = \frac{(\log 2)^2}{2}।

ध्यान देने योग्य

log⁡2\log 2 नई ऊपरी सीमा है, समाकल का मान नहीं।

प्रश्न 30

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫01xex dx\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 30 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 11

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=(x−1)exF(x) = \left(x - 1\right) e^{x} है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(1)−F(0)=1F(1) - F(0) = 1 है।

ध्यान देने योग्य

00 केवल F(1)F(1) है: F(0)F(0) घटाया नहीं गया।

प्रश्न 31

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫0π2xcos⁡x dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 31 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · −1+π2-1 + \frac{\pi}{2}

  1. एक प्रतिअवकलज F(x)=xsin⁡x+cos⁡xF(x) = x \sin x + \cos x है।

  2. मूलभूत प्रमेय से समाकल F(π2)−F(0)=−1+π2F(\frac{\pi}{2}) - F(0) = -1 + \frac{\pi}{2} है।

ध्यान देने योग्य

π2\frac{\pi}{2} केवल F(π2)F(\frac{\pi}{2}) है: F(0)F(0) घटाया नहीं गया।

प्रश्न 32

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫01xe−x dx\int_0^1 xe^{-x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 32 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 1−2e1 - \frac{2}{e}

  1. u=xu = x, dv=e−x dxdv = e^{-x}\,dx लेकर खंडशः: ∫xe−x dx=−xe−x−e−x\int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x} - e^{-x}।

  2. [−xe−x−e−x]01=(−2e)−(−1)=1−2e[-xe^{-x} - e^{-x}]_0^1 = \left(-\frac{2}{e}\right) - (-1) = 1 - \frac{2}{e}।

ध्यान देने योग्य

1−1e1 - \frac{1}{e} तो ∫01e−x dx\int_0^1 e^{-x}\,dx है: पद −xe−x-xe^{-x} छूट गया।

प्रश्न 33

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫01tan⁡−1x dx\int_0^1 \tan^{-1} x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 33 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · −log⁡22+π4- \frac{\log 2}{2} + \frac{\pi}{4}

  1. u=tan⁡−1xu = \tan^{-1} x, dv=dxdv = dx लेकर खंडशः: ∫tan⁡−1x dx=xtan⁡−1x−12log⁡(1+x2)\int \tan^{-1} x\,dx = x\tan^{-1} x - \frac{1}{2}\log(1 + x^2)।

  2. 0 से 1 तक: π4−12log⁡2\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\log 2।

ध्यान देने योग्य

π4\frac{\pi}{4} uvuv पर रुक गया और −∫v du-\int v\,du छोड़ दिया।

निश्चित समाकलों के गुणधर्म

20 प्रश्न

प्रश्न 34

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि ∫14f(x) dx=5\int_1^4 f(x)\,dx = 5, तो ∫41f(x) dx\int_4^1 f(x)\,dx क्या है?

प्रश्न 34 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · −5-5

  1. सीमाएँ बदलने से चिह्न बदलता है: ∫baf=−∫abf\int_b^a f = -\int_a^b f।

  2. इसलिए उत्तर −5-5 है।

प्रश्न 35

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫05f(x) dx=4\int_0^5 f(x)\,dx = 4 और ∫02f(x) dx=−2\int_0^2 f(x)\,dx = -2। ∫25f(x) dx\int_2^5 f(x)\,dx क्या है?

प्रश्न 35 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 66

  1. ∫05f=∫02f+∫25f\int_0^5 f = \int_0^2 f + \int_2^5 f।

  2. इसलिए ∫25f=4−(−2)=6\int_2^5 f = 4 - (-2) = 6।

ध्यान देने योग्य

2 में दोनों दिए गए मान जोड़ दिए गए, घटाए नहीं।

प्रश्न 36

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫−11(x5+3x) dx\int_{-1}^{1} \left(x^{5} + 3 x\right)\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 36 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 00

  1. f(x)=x5+3xf(x) = x^{5} + 3 x के लिए f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x): फलन विषम है।

  2. [−a,a][-a, a] पर विषम फलन का समाकल 0 होता है: अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ऊपर वाले को काट देता है।

ध्यान देने योग्य

∫0a\int_0^a को दोगुना करना सम फलन का नियम है।

प्रश्न 37

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि ∫03f(x) dx=5\int_0^3 f(x)\,dx = 5 और ∫03g(x) dx=2\int_0^3 g(x)\,dx = 2, तो ∫03(3f(x)−2g(x))dx\int_0^3 \left(3f(x) - 2g(x)\right)dx क्या है?

प्रश्न 37 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 1111

  1. समाकल रैखिक है: 3∫03f dx−2∫03g dx3\int_0^3 f\,dx - 2\int_0^3 g\,dx।

  2. 3×5−2×2=113 \times 5 - 2 \times 2 = 11।

ध्यान देने योग्य

3 तो 5−25 - 2 है, गुणक 3 और 2 छोड़ दिए।

प्रश्न 38

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫−π2π2sin⁡7x dx\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{7} x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 38 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 00

  1. sin⁡7(−x)=−sin⁡7x\sin^7(-x) = -\sin^7 x: समाकल्य विषम है।

  2. [−a,a][-a, a] पर विषम फलन का समाकल 0 होता है।

ध्यान देने योग्य

2 में 0 से समाकल को दुगुना किया, जो सम फलन का नियम है।

प्रश्न 39

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि ∫02f(x) dx=3\int_0^2 f(x)\,dx = 3, तो ∫02(2f(x)+1)dx\int_0^2 \left(2f(x) + 1\right)dx क्या है?

प्रश्न 39 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 88

  1. तोड़िए: 2∫02f(x) dx+∫021 dx=2×3+22\int_0^2 f(x)\,dx + \int_0^2 1\,dx = 2 \times 3 + 2।

  2. यह 8 है।

ध्यान देने योग्य

7 में ∫021 dx\int_0^2 1\,dx को 1 लिया; यह अंतराल की लंबाई 2 है।

प्रश्न 40

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫−11(x4+x2) dx\int_{-1}^{1} \left(x^{4} + x^{2}\right)\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 40 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 1615\frac{16}{15}

  1. x4+x2x^4 + x^2 सम है: f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), इसलिए ∫−11f=2∫01f\int_{-1}^{1} f = 2\int_0^1 f।

  2. ∫01(x4+x2) dx=15+13=815\int_0^1 (x^4 + x^2)\,dx = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{8}{15}, इसलिए समाकल 1615\frac{16}{15} है।

ध्यान देने योग्य

0 विषम फलनों का नियम है; सम फलन के दोनों आधे जुड़ते हैं।

प्रश्न 41

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫04∣x−2∣ dx\int_0^4 \lvert x - 2 \rvert\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 41 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 44

  1. x<2x < 2 के लिए ∣x−2∣=2−x\lvert x - 2 \rvert = 2 - x और x≥2x \ge 2 के लिए x−2x - 2, इसलिए x=2x = 2 पर तोड़िए।

  2. ∫02(2−x) dx+∫24(x−2) dx=2+2=4\int_0^2 (2 - x)\,dx + \int_2^4 (x - 2)\,dx = 2 + 2 = 4।

ध्यान देने योग्य

0 में मापांक के बिना x−2x - 2 का समाकलन हुआ, इसलिए अक्ष के नीचे वाला भाग ऊपर वाले को काट देता है।

प्रश्न 42

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. जब भी ff विषम हो, ∫−aaf(x) dx=0\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0।

II. जब भी ff सम हो, ∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx।

III. ∫abf(x) dx=∫abf(a+b−x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a + b - x)\,dx।

IV. ∫abf(x)g(x) dx=∫abf(x) dx⋅∫abg(x) dx\int_a^b f(x)g(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \cdot \int_a^b g(x)\,dx।

प्रश्न 42 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I, II और III

  1. I, II और III निश्चित समाकलों के गुणधर्म हैं: विषम और सम के नियम, और परावर्तन x→a+b−xx \to a + b - x, जो [a,b][a, b] पर चलने की दिशा भर उलटता है।

  2. IV गलत है: [0,1][0, 1] पर f=g=xf = g = x लेने पर ∫01x2 dx=13\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}, पर 12⋅12=14\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}।

प्रश्न 43

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫−22(x3+x2) dx\int_{-2}^{2} \left(x^{3} + x^{2}\right)\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 43 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 163\frac{16}{3}

  1. x3x^3 विषम है, इसलिए [−2,2][-2, 2] पर उसका भाग 0 है; x2x^2 सम है।

  2. 2∫02x2 dx=2⋅83=1632\int_0^2 x^2\,dx = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}।

ध्यान देने योग्य

83\frac{8}{3} तो ∫02x2 dx\int_0^2 x^2\,dx है; [−2,2][-2, 2] पर सम भाग दुगुना होता है।

प्रश्न 44

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): ∫−11x∣x∣ dx=0\int_{-1}^{1} x\lvert x \rvert\,dx = 0।

कारण (R): x∣x∣x\lvert x \rvert एक विषम फलन है।

प्रश्न 44 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

  1. R: (−x)∣−x∣=−x∣x∣(-x)\lvert -x \rvert = -x\lvert x \rvert, इसलिए फलन विषम है। सही।

  2. [−1,1][-1, 1] पर विषम फलन का समाकल 0 होता है, इसलिए A, R के कारण सही है।

प्रश्न 45

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫−11e∣x∣ dx\int_{-1}^{1} e^{\lvert x \rvert}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 45 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · −2+2e-2 + 2 e

  1. e∣x∣e^{\lvert x \rvert} सम है, इसलिए समाकल 2∫01ex dx2\int_0^1 e^{x}\,dx है।

  2. 2(e−1)2(e - 1)।

ध्यान देने योग्य

e−1ee - \frac{1}{e} तो ∫−11ex dx\int_{-1}^{1} e^{x}\,dx है, जिसमें मापांक अनदेखा हुआ।

प्रश्न 46

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫03∣x−1∣ dx\int_0^3 \lvert x - 1 \rvert\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 46 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 52\frac{5}{2}

  1. x=1x = 1 पर बाँटिए: ∫01(1−x) dx+∫13(x−1) dx\int_0^1 (1 - x)\,dx + \int_1^3 (x - 1)\,dx।

  2. 12+2=52\frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}।

ध्यान देने योग्य

32\frac{3}{2} तो ∫03(x−1) dx\int_0^3 (x - 1)\,dx है, जिसमें अक्ष के नीचे का भाग कट जाता है।

प्रश्न 47

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. ∫abf(x) dx=∫abf(t) dt\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt।

II. ∫aaf(x) dx=0\int_a^a f(x)\,dx = 0।

III. हर ff के लिए ∫02af(x) dx=2∫0af(x) dx\int_0^{2a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx।

IV. ∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx।

प्रश्न 47 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I, II और IV

  1. I: चर का नाम मायने नहीं रखता। II: शून्य लंबाई के अंतराल का कोई क्षेत्रफल नहीं। IV: सीमाएँ उलटने से चिह्न बदलता है।

  2. III केवल तब सही है जब f(2a−x)=f(x)f(2a - x) = f(x); [0,2][0, 2] पर f(x)=xf(x) = x के लिए ∫02x dx=2\int_0^2 x\,dx = 2, पर 2∫01x dx=12\int_0^1 x\,dx = 1।

प्रश्न 48

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫−11x3cos⁡2x dx\int_{-1}^{1} x^{3} \cos^{2} x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 48 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 00

  1. f(x)=x3cos⁡2xf(x) = x^{3} \cos^{2} x के लिए f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x): फलन विषम है, क्योंकि cos⁡2(−x)=cos⁡2x\cos^2(-x) = \cos^2 x और (−x)3=−x3(-x)^3 = -x^3।

  2. [−a,a][-a, a] पर विषम फलन का समाकल 0 होता है: अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ऊपर वाले को काट देता है।

ध्यान देने योग्य

∫0a\int_0^a को दोगुना करना सम फलन का नियम है।

प्रश्न 49

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 49 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · π4\frac{\pi}{4}

  1. समाकल को II कहिए। ∫0af(x) dx=∫0af(a−x) dx\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a - x)\,dx से, xx की जगह π2−x\frac{\pi}{2} - x रखने पर sin⁡\sin और cos⁡\cos आपस में बदल जाते हैं: I=∫0π2cos⁡xcos⁡x+sin⁡x dxI = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x}\,dx।

  2. दोनों रूप जोड़ने पर समाकल्य 1 हो जाता है, इसलिए 2I=π22I = \frac{\pi}{2} और I=π4I = \frac{\pi}{4}।

ध्यान देने योग्य

π2\frac{\pi}{2} तो 2I2I है; अंतिम चरण में इसका आधा होता है।

प्रश्न 50

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫0af(x) dx=∫0af(a−x) dx\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a - x)\,dx का उपयोग करके ∫01x(1−x)5 dx\int_0^1 x(1 - x)^5\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 50 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 142\frac{1}{42}

  1. xx की जगह 1−x1 - x रखने पर: ∫01(1−x)x5 dx=∫01(x5−x6) dx\int_0^1 (1 - x)x^5\,dx = \int_0^1 (x^5 - x^6)\,dx।

  2. =16−17=142= \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{42}।

ध्यान देने योग्य

16\frac{1}{6} में केवल x5x^5 पद का समाकलन हुआ, −x6-x^6 छूट गया।

प्रश्न 51

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫25xx+7−x dx\int_2^5 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{7 - x}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 51 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 32\frac{3}{2}

  1. ∫abf(x) dx=∫abf(a+b−x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a + b - x)\,dx से, जहाँ a+b=7a + b = 7, I=∫257−x7−x+x dxI = \int_2^5 \frac{\sqrt{7 - x}}{\sqrt{7 - x} + \sqrt{x}}\,dx।

  2. जोड़ने पर 2I=∫251 dx=32I = \int_2^5 1\,dx = 3, इसलिए I=32I = \frac{3}{2}।

ध्यान देने योग्य

3 तो 2I2I है, अंतराल की लंबाई; समाकल उसका आधा है।

प्रश्न 52

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫0π2log⁡(tan⁡x) dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\tan x)\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 52 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 00

  1. x→π2−xx \to \frac{\pi}{2} - x से I=∫0π2log⁡(cot⁡x) dxI = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\cot x)\,dx।

  2. जोड़ने पर: 2I=∫0π2log⁡(tan⁡xcot⁡x) dx=∫0π2log⁡1 dx=02I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\tan x\cot x)\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log 1\,dx = 0, इसलिए I=0I = 0।

ध्यान देने योग्य

π4\frac{\pi}{4} तो ∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dx\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,dx का उत्तर है, इसी गुणधर्म का दूसरा प्रयोग।

प्रश्न 53

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫π6π3dx1+tan⁡x\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1 + \sqrt{\tan x}} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 53 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · π12\frac{\pi}{12}

  1. x→π6+π3−xx \to \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} - x से tan⁡x\tan x, cot⁡x\cot x बन जाता है, और 11+cot⁡x=tan⁡xtan⁡x+1\frac{1}{1 + \sqrt{\cot x}} = \frac{\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\tan x} + 1}।

  2. दोनों रूप जोड़ने पर: 2I=∫π/6π/31 dx=π62I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} 1\,dx = \frac{\pi}{6}, इसलिए I=π12I = \frac{\pi}{12}।

ध्यान देने योग्य

π6\frac{\pi}{6} तो 2I2I है, अंतराल की लंबाई; समाकल उसका आधा है।

सरल वक्र के नीचे का क्षेत्रफल

18 प्रश्न

प्रश्न 54

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र में y=x2y = x^{2}, xx-अक्ष और रेखाओं x=0x = 0 तथा x=3x = 3 से घिरा क्षेत्र दिखाया गया है। उसका क्षेत्रफल क्या है?

y = x^{2} का ग्राफ़, जिसमें x = 0 और x = 3 के बीच वक्र के नीचे x-अक्ष तक का क्षेत्र छायांकित है।
प्रश्न 54 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 99

  1. [0,3][0, 3] पर वक्र xx-अक्ष से ऊपर रहता है, इसलिए क्षेत्रफल ∫03x2 dx\int_{0}^{3} x^{2}\,dx है।

  2. यह 99 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 55

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र में y=xy = \sqrt{x}, xx-अक्ष और रेखाओं x=0x = 0 तथा x=4x = 4 से घिरा क्षेत्र दिखाया गया है। उसका क्षेत्रफल क्या है?

y = \sqrt{x} का ग्राफ़, जिसमें x = 0 और x = 4 के बीच वक्र के नीचे x-अक्ष तक का क्षेत्र छायांकित है।
प्रश्न 55 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 163\frac{16}{3}

  1. [0,4][0, 4] पर वक्र xx-अक्ष से ऊपर रहता है, इसलिए क्षेत्रफल ∫04x dx\int_{0}^{4} \sqrt{x}\,dx है।

  2. यह 163\frac{16}{3} वर्ग इकाई है।

प्रश्न 56

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र में y=sin⁡xy = \sin x, xx-अक्ष और रेखाओं x=0x = 0 तथा x=πx = \pi से घिरा क्षेत्र दिखाया गया है। उसका क्षेत्रफल क्या है?

y = \sin x का ग्राफ़, जिसमें x = 0 और x = \pi के बीच वक्र के नीचे x-अक्ष तक का क्षेत्र छायांकित है।
प्रश्न 56 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 22

  1. [0,π][0, \pi] पर वक्र xx-अक्ष से ऊपर रहता है, इसलिए क्षेत्रफल ∫0πsin⁡x dx\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx है।

  2. यह 22 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 57

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र में y=x3y = x^{3}, xx-अक्ष और रेखाओं x=0x = 0 तथा x=2x = 2 से घिरा क्षेत्र दिखाया गया है। उसका क्षेत्रफल क्या है?

y = x^{3} का ग्राफ़, जिसमें x = 0 और x = 2 के बीच वक्र के नीचे x-अक्ष तक का क्षेत्र छायांकित है।
प्रश्न 57 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 44

  1. [0,2][0, 2] पर वक्र xx-अक्ष से ऊपर रहता है, इसलिए क्षेत्रफल ∫02x3 dx\int_{0}^{2} x^{3}\,dx है।

  2. यह 44 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 58

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र में y=cos⁡xy = \cos x, xx-अक्ष और रेखाओं x=0x = 0 तथा x=π2x = \frac{\pi}{2} से घिरा क्षेत्र दिखाया गया है। उसका क्षेत्रफल क्या है?

y = \cos x का ग्राफ़, जिसमें x = 0 और x = \frac{\pi}{2} के बीच वक्र के नीचे x-अक्ष तक का क्षेत्र छायांकित है।
प्रश्न 58 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 11

  1. [0,π2][0, \frac{\pi}{2}] पर वक्र xx-अक्ष से ऊपर रहता है, इसलिए क्षेत्रफल ∫0π2cos⁡x dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx है।

  2. यह 11 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 59

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र में y=exy = e^{x}, xx-अक्ष और रेखाओं x=0x = 0 तथा x=1x = 1 से घिरा क्षेत्र दिखाया गया है। उसका क्षेत्रफल क्या है?

y = e^{x} का ग्राफ़, जिसमें x = 0 और x = 1 के बीच वक्र के नीचे x-अक्ष तक का क्षेत्र छायांकित है।
प्रश्न 59 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · −1+e-1 + e

  1. [0,1][0, 1] पर वक्र xx-अक्ष से ऊपर रहता है, इसलिए क्षेत्रफल ∫01ex dx\int_{0}^{1} e^{x}\,dx है।

  2. यह −1+e-1 + e वर्ग इकाई है।

प्रश्न 60

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र में y=4−x2y = 4 - x^{2}, xx-अक्ष और रेखाओं x=−2x = -2 तथा x=2x = 2 से घिरा क्षेत्र दिखाया गया है। उसका क्षेत्रफल क्या है?

y = 4 - x^{2} का ग्राफ़, जिसमें x = -2 और x = 2 के बीच वक्र के नीचे x-अक्ष तक का क्षेत्र छायांकित है।
प्रश्न 60 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 323\frac{32}{3}

  1. [−2,2][-2, 2] पर वक्र xx-अक्ष से ऊपर रहता है, इसलिए क्षेत्रफल ∫−224−x2 dx\int_{-2}^{2} 4 - x^{2}\,dx है।

  2. यह 323\frac{32}{3} वर्ग इकाई है।

प्रश्न 61

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

y=x2−4y = x^{2} - 4, xx-अक्ष और रेखाओं x=0x = 0 तथा x=2x = 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 61 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 163\frac{16}{3}

  1. [0,2][0, 2] पर वक्र xx-अक्ष के नीचे है, इसलिए समाकल ऋणात्मक आता है: −163- \frac{16}{3}।

  2. क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं होता: यह ∣−163∣=163\left|- \frac{16}{3}\right| = \frac{16}{3} वर्ग इकाई है।

ध्यान देने योग्य

−163- \frac{16}{3} समाकल का मान है, क्षेत्रफल नहीं।

प्रश्न 62

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त x29+y24=1\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 से घिरा क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 62 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 6π6 \pi

  1. सममिति से क्षेत्रफल पहले चतुर्थांश वाले भाग का 4 गुना है: 4∫03239−x2 dx4\int_0^3 \frac{2}{3}\sqrt{9 - x^2}\,dx।

  2. ∫039−x2 dx\int_0^3 \sqrt{9 - x^2}\,dx, 3 त्रिज्या वाला चौथाई वृत्त 9π4\frac{9\pi}{4} है, इसलिए क्षेत्रफल 4⋅23⋅9π4=6π4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{9\pi}{4} = 6\pi है, यानी πab\pi ab, जहाँ a=3a = 3, b=2b = 2।

ध्यान देने योग्य

36π36\pi में हरों a2a^2 और b2b^2 का उपयोग हुआ, a=3a = 3 और b=2b = 2 का नहीं।

प्रश्न 63

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): ∫−11x dx=0\int_{-1}^{1} x\,dx = 0, इसलिए x=−1x = -1 और x=1x = 1 के बीच रेखा y=xy = x और xx-अक्ष कोई क्षेत्रफल नहीं घेरते।

कारण (R): निश्चित समाकल xx-अक्ष के नीचे के क्षेत्रफल को ऋणात्मक गिनता है।

प्रश्न 63 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · A गलत है, लेकिन R सही है।

  1. दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल 12\frac{1}{2} है, इसलिए क्षेत्र का क्षेत्रफल 1 है, 0 नहीं: A गलत है।

  2. R सही है, और ठीक इसी कारण समाकल 0 है जबकि क्षेत्रफल नहीं।

प्रश्न 64

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

y=cos⁡xy = \cos x, xx-अक्ष और रेखाओं x=π2x = \frac{\pi}{2} तथा x=πx = \pi से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 64 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 11

  1. [π2,π][\frac{\pi}{2}, \pi] पर वक्र xx-अक्ष के नीचे है, इसलिए समाकल ऋणात्मक आता है: −1-1।

  2. क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं होता: यह ∣−1∣=1\left|-1\right| = 1 वर्ग इकाई है।

ध्यान देने योग्य

−1-1 समाकल का मान है, क्षेत्रफल नहीं।

प्रश्न 65

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र में y=1xy = \frac{1}{x}, xx-अक्ष और रेखाओं x=1x = 1 तथा x=e2x = e^{2} से घिरा क्षेत्र दिखाया गया है। उसका क्षेत्रफल क्या है?

y = \frac{1}{x} का ग्राफ़, जिसमें x = 1 और x = e^{2} के बीच वक्र के नीचे x-अक्ष तक का क्षेत्र छायांकित है।
प्रश्न 65 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 22

  1. [1,e2][1, e^{2}] पर वक्र xx-अक्ष से ऊपर रहता है, इसलिए क्षेत्रफल ∫1e21x dx\int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x}\,dx है।

  2. यह 22 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 66

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x=−1x = -1 से x=2x = 2 तक रेखा y=xy = x और xx-अक्ष के बीच का कुल क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 66 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 52\frac{5}{2}

  1. रेखा [−1,0][-1, 0] पर अक्ष के नीचे और [0,2][0, 2] पर ऊपर है: हर क्षेत्रफल अलग निकालिए।

  2. ∣∫−10x dx∣+∫02x dx=12+2=52\left|\int_{-1}^{0} x\,dx\right| + \int_0^2 x\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}।

ध्यान देने योग्य

32\frac{3}{2} तो ∫−12x dx\int_{-1}^{2} x\,dx है, जिसमें अक्ष के नीचे का भाग बाकी में से कुछ काट देता है।

प्रश्न 67

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समाकलन से, वृत्त x2+y2=16x^2 + y^2 = 16 से घिरा क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 67 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 16π16 \pi

  1. सममिति से क्षेत्रफल 4∫0416−x2 dx4\int_0^4 \sqrt{16 - x^2}\,dx है, चार चौथाई वृत्त।

  2. ∫0416−x2 dx=[x216−x2+8sin⁡−1x4]04=4π\int_0^4 \sqrt{16 - x^2}\,dx = \left[\frac{x}{2}\sqrt{16 - x^2} + 8\sin^{-1}\frac{x}{4}\right]_0^4 = 4\pi, इसलिए क्षेत्रफल 16π16\pi है।

ध्यान देने योग्य

4π4\pi एक चौथाई है: 0 से 4 तक का समाकल केवल पहला चतुर्थांश ढकता है।

प्रश्न 68

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

परवलय y2=4xy^2 = 4x और रेखा x=1x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 68 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 83\frac{8}{3}

  1. क्षेत्र xx-अक्ष के परितः सममित है; ऊपरी आधा y=2xy = 2\sqrt{x} के नीचे 0 से 1 तक है।

  2. 2∫012x dx=2⋅43=832\int_0^1 2\sqrt{x}\,dx = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}।

ध्यान देने योग्य

43\frac{4}{3} केवल xx-अक्ष के ऊपर का आधा भाग है।

प्रश्न 69

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

y=x2−1y = x^2 - 1 और xx-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 69 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 43\frac{4}{3}

  1. वक्र xx-अक्ष से x=±1x = \pm 1 पर मिलता है और बीच में उसके नीचे है।

  2. ∫−11(x2−1) dx=−43\int_{-1}^{1} (x^2 - 1)\,dx = - \frac{4}{3}, इसलिए क्षेत्रफल 43\frac{4}{3} वर्ग इकाई है।

ध्यान देने योग्य

−43- \frac{4}{3} समाकल है; क्षेत्रफल उसका निरपेक्ष मान है।

प्रश्न 70

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x=0x = 0 से x=2πx = 2\pi तक y=sin⁡xy = \sin x और xx-अक्ष के बीच का कुल क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 70 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 44

  1. वक्र x=πx = \pi पर अक्ष को काटता है: (0,π)(0, \pi) पर ऊपर, (π,2π)(\pi, 2\pi) पर नीचे। दोनों भाग अलग-अलग लीजिए।

  2. ∫0πsin⁡x dx=2\int_0^{\pi} \sin x\,dx = 2 और ∣∫π2πsin⁡x dx∣=2\left|\int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx\right| = 2, इसलिए कुल क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है।

ध्यान देने योग्य

0 तो 0 से 2π2\pi तक का एक ही समाकल है, जिसमें दोनों भाग कट जाते हैं।

प्रश्न 71

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र x=y2x = y^2, yy-अक्ष और रेखाओं y=1y = 1 तथा y=2y = 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 71 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 73\frac{7}{3}

  1. क्षेत्र वक्र और yy-अक्ष के बीच है, इसलिए yy के अनुदिश समाकलन कीजिए: क्षेत्रफल =∫12x dy=∫12y2 dy= \int_1^2 x\,dy = \int_1^2 y^2\,dy।

  2. =83−13=73= \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

3 में चौड़ाई 1 को ऊँचाई 22−122^2 - 1^2 से गुणा किया; वक्र सरल रेखा नहीं है, इसलिए समाकल चाहिए।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।