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CUET गणित के लिए अनिश्चित समाकलन

सीखने में लगभग 5 मिनट · 90 प्रश्न

अनिश्चित समाकलन CUET गणित के Section A में आते हैं, वह सेक्शन जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, चाहे आप Mathematics लें या Applied Mathematics, और अगले अध्याय के क्षेत्रफल और उसके बाद के अवकल समीकरण इन्हीं पर टिके हैं। ज़्यादातर प्रश्न किसी जाने-पहचाने रूप का छिपा हुआ रूप होते हैं, इसलिए अंक उसे मिलते हैं जो विधि सबसे जल्दी पहचान ले। मानक रूपों से लेकर प्रतिस्थापन, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं, आंशिक भिन्नों और खंडशः समाकलन तक हर विधि यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र
Section A1
इस पृष्ठ पर · 11 भाग
  1. 01अवकलन की उलटी प्रक्रिया के रूप में समाकलन
  2. 02प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन
  3. 03त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं से समाकलन
  4. 04विशिष्ट फलनों के समाकल
  5. 05आंशिक भिन्नों से समाकलन
  6. 06खंडशः समाकलन
  7. 07CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
  8. 08परीक्षा के लिए शॉर्टकट
  9. 09आम भूलें
  10. 10त्वरित पुनरावृत्ति
  11. 11अपनी समझ जाँचें

अवकलन की उलटी प्रक्रिया के रूप में समाकलन

गेंद को उलटा चलाइए। मान लीजिए हमें केवल उसका वेग पता है, 20−10t20 - 10t m/s, और हमें उसकी ऊँचाई चाहिए। हमें ऐसा फलन चाहिए जिसका अवकलज 20−10t20 - 10t हो: 20t−5t220t - 5t^2 चलता है, और 20t−5t2+1.520t - 5t^2 + 1.5 भी, या कोई भी और अचर जोड़कर। ऐसा फलन ढूँढना समाकलन है।

अनिश्चित समाकल क्या होता है?

ff का अनिश्चित समाकल कोई भी फलन FF है जिसका अवकलज ff हो, जिसे प्रतिअवकलज कहते हैं, और इसे ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C लिखते हैं। अचर CC इसलिए है कि अचर जोड़ने से अवकलज नहीं बदलता, इसलिए एक ही फलन के दो प्रतिअवकलज सदा एक अचर से भिन्न होते हैं।

आपका जाना हर अवकलज उलटा पढ़ने पर एक समाकल देता है।

समाकलपरिणामसमाकलपरिणाम
∫xn dx\int x^n\,dx, n≠−1n \ne -1xn+1n+1\frac{x^{n+1}}{n+1}∫1x dx\int \frac{1}{x}\,dxlog⁡∣x∣\log\lvert x \rvert
∫ex dx\int e^x\,dxexe^x∫ax dx\int a^x\,dxaxlog⁡a\frac{a^x}{\log a}
∫sin⁡x dx\int \sin x\,dx−cos⁡x-\cos x∫cos⁡x dx\int \cos x\,dxsin⁡x\sin x
∫sec⁡2x dx\int \sec^2 x\,dxtan⁡x\tan x∫cosec⁡2x dx\int \operatorname{cosec}^2 x\,dx−cot⁡x-\cot x
∫sec⁡xtan⁡x dx\int \sec x\tan x\,dxsec⁡x\sec x∫cosec⁡xcot⁡x dx\int \operatorname{cosec} x\cot x\,dx−cosec⁡x-\operatorname{cosec} x

हर एक में CC जोड़िए। योग का समाकल समाकलों का योग है, और अचर गुणक बाहर आ जाता है: ∫kf dx=k∫f dx\int kf\,dx = k\int f\,dx। गुणनफल के लिए ऐसा कोई नियम नहीं: ∫fg dx\int fg\,dx, ∫f dx⋅∫g dx\int f\,dx \cdot \int g\,dx नहीं है।

उदाहरण 1 · पद-दर-पद

∫(x3−2x+ex)dx\int \left(x^3 - \frac{2}{x} + e^x\right)dx का मान ज्ञात कीजिए।

  1. ∫x3 dx=x44\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}, ∫2x dx=2log⁡∣x∣\int \frac{2}{x}\,dx = 2\log|x| और ∫ex dx=ex\int e^x\,dx = e^x।

  2. इन्हें एक ही अचर के साथ जोड़िए।

उत्तर
x44−2log⁡∣x∣+ex+C\frac{x^4}{4} - 2\log|x| + e^x + C

उदाहरण 2 · अचर तय करना

गेंद का वेग dhdt=20−10t\frac{dh}{dt} = 20 - 10t है, और वह 1.5 m की ऊँचाई से फेंकी गई थी। hh ज्ञात कीजिए।

  1. h=∫(20−10t) dt=20t−5t2+Ch = \int (20 - 10t)\,dt = 20t - 5t^2 + C।

  2. t=0t = 0 पर h=1.5h = 1.5, इसलिए C=1.5C = 1.5।

उत्तर
h=20t−5t2+1.5h = 20t - 5t^2 + 1.5

सावधान

हर उत्तर को अवकलन करके जाँचिए। अगर अवकलज समाकल्य नहीं है, तो उत्तर गलत है, और कई गलत विकल्प एक ही पंक्ति में इस जाँच में फ़ेल हो जाते हैं।

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कैसे काम करता है?

किसी अंदर वाले व्यंजक के लिए नया चर tt चुनिए जिसका अवकलज भी, एक अचर गुणक तक, समाकल्य में मौजूद हो। उस अवकलज गुणा dxdx को dtdt लिखने से समाकल tt में एक मानक रूप बन जाता है; उसका समाकलन कीजिए, फिर tt की जगह अंदर वाला व्यंजक वापस रखिए।

उदाहरण 3 · अंदर वाले का प्रतिस्थापन

∫x2(x3+2)5 dx\int x^2(x^3 + 2)^5\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

  1. t=x3+2t = x^3 + 2 रखिए। तब dt=3x2 dxdt = 3x^2\,dx, इसलिए x2 dx=dt3x^2\,dx = \frac{dt}{3}।

  2. समाकल 13∫t5 dt=t618\frac{1}{3}\int t^5\,dt = \frac{t^6}{18} बन जाता है।

उत्तर
(x3+2)618+C\frac{(x^3 + 2)^6}{18} + C

दो पैटर्न देखते ही पहचानने लायक हैं। जब अंश, हर का अवकलज हो, तो उत्तर लघुगणक है: ∫f′(x)f(x) dx=log⁡∣f(x)∣+C\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log|f(x)| + C, जिससे ∫tan⁡x dx=log⁡∣sec⁡x∣+C\int \tan x\,dx = \log|\sec x| + C और ∫cot⁡x dx=log⁡∣sin⁡x∣+C\int \cot x\,dx = \log|\sin x| + C मिलते हैं। और अंदर का रैखिक व्यंजक केवल अपने गुणांक से भाग देता है: ∫e5x−1 dx=e5x−15+C\int e^{5x - 1}\,dx = \frac{e^{5x - 1}}{5} + C।

सावधान

dtdt से आने वाला अचर आम भूल है: ऊपर के 13\frac{1}{3} को भूलने पर उत्तर तीन गुना बड़ा हो जाता है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं से समाकलन

त्रिकोणमितीय फलनों की घात या गुणनफल का अपना कोई मानक रूप नहीं होता, पर कोई सर्वसमिका उसे मानक रूप में बदल देती है। सबसे अधिक काम आने वाली ये हैं:

वे सर्वसमिकाएँ जो समाकलों को मानक बनाती हैं

sin⁡2x=1−cos⁡2x2,cos⁡2x=1+cos⁡2x2,tan⁡2x=sec⁡2x−1\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \qquad \tan^2 x = \sec^2 x - 1
2sin⁡Acos⁡B=sin⁡(A+B)+sin⁡(A−B),2cos⁡Acos⁡B=cos⁡(A+B)+cos⁡(A−B)2\sin A\cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B), \qquad 2\cos A\cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)
sin⁡3x=3sin⁡x−sin⁡3x4\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}

उदाहरण 4 · कोज्याओं का गुणनफल

∫cos⁡4xcos⁡2x dx\int \cos 4x\cos 2x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

  1. cos⁡4xcos⁡2x=12(cos⁡6x+cos⁡2x)\cos 4x\cos 2x = \frac{1}{2}(\cos 6x + \cos 2x)।

  2. 12(sin⁡6x6+sin⁡2x2)\frac{1}{2}\left(\frac{\sin 6x}{6} + \frac{\sin 2x}{2}\right)।

उत्तर
sin⁡6x12+sin⁡2x4+C\frac{\sin 6x}{12} + \frac{\sin 2x}{4} + C

विशिष्ट फलनों के समाकल

1/(x² + a²) और ऐसे रूपों के मानक समाकल क्या हैं?

छह रूप बार-बार आते हैं, और हर एक की जाँच अवकलन से हो सकती है। धन चिह्न और बिना मूल के उत्तर प्रतिलोम स्पर्शज्या है; ऋण चिह्न के साथ अनुपात का लघुगणक; मूल के नीचे प्रतिलोम ज्या या xx और मूल के योग का लघुगणक।

छह विशिष्ट समाकल (C जोड़िए)

∫dxx2+a2=1atan⁡−1xa,∫dxx2−a2=12alog⁡∣x−ax+a∣,∫dxa2−x2=12alog⁡∣a+xa−x∣\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}, \qquad \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\log\left|\frac{x - a}{x + a}\right|, \qquad \int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a}\log\left|\frac{a + x}{a - x}\right|
∫dxa2−x2=sin⁡−1xa,∫dxx2+a2=log⁡∣x+x2+a2∣,∫dxx2−a2=log⁡∣x+x2−a2∣\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\frac{x}{a}, \qquad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \log\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right|, \qquad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \log\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right|

हर में द्विघात ax2+bx+cax^2 + bx + c हो, तो पूर्ण वर्ग बनाकर उसे इनमें से किसी एक में बदला जाता है।

उदाहरण 5 · पूर्ण वर्ग बनाना

∫dxx2−6x+13\int \frac{dx}{x^2 - 6x + 13} का मान ज्ञात कीजिए।

  1. x2−6x+13=(x−3)2+4x^2 - 6x + 13 = (x - 3)^2 + 4।

  2. t=x−3t = x - 3 और a=2a = 2 से: ∫dtt2+4=12tan⁡−1t2\int \frac{dt}{t^2 + 4} = \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{t}{2}।

उत्तर
12tan⁡−1x−32+C\frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x - 3}{2} + C

सावधान

केवल tan⁡−1\tan^{-1} और अनुपात के लघुगणक वाले दोनों रूपों में आगे गुणक होता है। sin⁡−1\sin^{-1} वाले रूप में कोई गुणक नहीं होता।

आंशिक भिन्नों से समाकलन

आंशिक भिन्नों से समाकलन कैसे करते हैं?

जिस परिमेय फलन का हर गुणनखंडों में टूटता हो, उसे हर गुणनखंड के लिए एक सरल भिन्न में तोड़िए, मूल रखकर उनके अचर निकालिए, और हर भिन्न का लघुगणक में समाकलन कीजिए। अगर अंश की घात हर की घात से कम न हो, तो पहले भाग दीजिए।

उदाहरण 6 · दो रैखिक गुणनखंड

∫x+5(x+1)(x+3) dx\int \frac{x + 5}{(x + 1)(x + 3)}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

  1. x+5(x+1)(x+3)=Ax+1+Bx+3\frac{x + 5}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3} लिखिए, इसलिए x+5=A(x+3)+B(x+1)x + 5 = A(x + 3) + B(x + 1)।

  2. x=−1x = -1 से 4=2A4 = 2A, इसलिए A=2A = 2; x=−3x = -3 से 2=−2B2 = -2B, इसलिए B=−1B = -1।

उत्तर
2log⁡∣x+1∣−log⁡∣x+3∣+C2\log|x + 1| - \log|x + 3| + C

दोहराए गुणनखंड के लिए हर घात की एक भिन्न चाहिए: 1x(x−2)2=Ax+Bx−2+C(x−2)2\frac{1}{x(x - 2)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{(x - 2)^2}, और अंतिम भिन्न का समाकल लघुगणक नहीं, एक भिन्न होता है।

खंडशः समाकलन

खंडशः समाकलन कब लगाते हैं?

इसे दो अलग प्रकार के फलनों के गुणनफल के लिए लगाइए, जैसे xx गुणा exe^x, sin⁡x\sin x या log⁡x\log x। एक गुणनखंड को uu लीजिए, जिसका अवकलन होगा, और बाकी को dvdv, जिसका समाकलन होगा; तब ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du, जहाँ नया समाकल पुराने से आसान होना चाहिए।

uu चुनने के लिए वह गुणनखंड लीजिए जो क्रम ILATE में पहले आए: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय, लघुगणकीय, बीजीय, त्रिकोणमितीय, घातांकीय। इसलिए ∫x2log⁡x dx\int x^2\log x\,dx में u=log⁡xu = \log x, और ∫xex dx\int xe^x\,dx में u=xu = x।

उदाहरण 7 · खंडशः

∫xsin⁡x dx\int x\sin x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

  1. u=xu = x और dv=sin⁡x dxdv = \sin x\,dx, इसलिए du=dxdu = dx और v=−cos⁡xv = -\cos x।

  2. uv−∫v du=−xcos⁡x+∫cos⁡x dxuv - \int v\,du = -x\cos x + \int \cos x\,dx।

उत्तर
−xcos⁡x+sin⁡x+C-x\cos x + \sin x + C

सावधान

दूसरा समाकल घटाया जाता है। कई गलत विकल्प उसे जोड़ देते हैं, और अवकलन करते ही भूल दिख जाती है।

जिस अकेले फलन में कोई दूसरा गुणनखंड न दिखे, जैसे log⁡x\log x या tan⁡−1x\tan^{-1} x, उसका खंडशः समाकलन dv=1⋅dxdv = 1 \cdot dx लेकर होता है: ∫log⁡x dx=xlog⁡x−x+C\int \log x\,dx = x\log x - x + C।

उदाहरण 8 · घातांकीय के साथ फलन और उसका अवकलज

∫ex(sin⁡x+cos⁡x) dx\int e^x(\sin x + \cos x)\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

  1. cos⁡x\cos x, sin⁡x\sin x का अवकलज है, इसलिए समाकल्य ex(f(x)+f′(x))e^x\left(f(x) + f'(x)\right) है, जहाँ f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x।

  2. ddx(exsin⁡x)=exsin⁡x+excos⁡x\frac{d}{dx}\left(e^x\sin x\right) = e^x\sin x + e^x\cos x, ठीक समाकल्य।

उत्तर
exsin⁡x+Ce^x\sin x + C

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

  • मानक रूप: पद-दर-पद समाकल, अक्सर त्रिकोणमितीय या लघुगणकीय पदों के साथ, या दिए गए मान से तय प्रतिअवकलज।
  • प्रतिस्थापन: अंदर वाले व्यंजक और उसके अवकलज वाला समाकल्य, f′f\frac{f'}{f} रूप सहित।
  • सर्वसमिकाएँ: sin⁡2x\sin^2 x, tan⁡2x\tan^2 x, sin⁡3x\sin^3 x या sin⁡3xcos⁡x\sin 3x\cos x जैसा गुणनफल।
  • विशिष्ट रूप: 1x2±a2\frac{1}{x^2 \pm a^2} और मूल वाले रूप, कभी पूर्ण वर्ग बनाने के बाद, और अक्सर सूची-मिलान के रूप में।
  • आंशिक भिन्न और खंडशः: भिन्नों में तोड़ना, किसी विभाजन का एक अचर, या xexxe^x जैसा गुणनफल, जिसमें ex(f+f′)e^x(f + f') पसंदीदा है।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

  • विकल्पों का अवकलन कीजिए: सही विकल्प समाकल्य वापस देता है।
  • ∫f(ax+b) dx=1aF(ax+b)+C\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C।
  • ∫f′(x)f(x) dx=log⁡∣f(x)∣+C\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log|f(x)| + C।
  • ∫ex(f(x)+f′(x))dx=exf(x)+C\int e^x\left(f(x) + f'(x)\right)dx = e^x f(x) + C।
  • ∫log⁡x dx=xlog⁡x−x+C\int \log x\,dx = x\log x - x + C; ∫tan⁡x dx=log⁡∣sec⁡x∣+C\int \tan x\,dx = \log|\sec x| + C।
  • खंडशः समाकलन में ILATE से uu चुनिए।

आम भूलें

  • समाकलन की जगह अवकलन कर देना।
  • dtdt से आने वाला अचर, या रैखिक अंदर वाले का 1a\frac{1}{a} भूल जाना।
  • ∫dxx\int \frac{dx}{x} के लिए log⁡∣x∣\log|x| की जगह log⁡x\log x लिखना।
  • विशिष्ट रूपों को मिला देना: tan⁡−1\tan^{-1}, x2+a2x^2 + a^2 का है, sin⁡−1\sin^{-1}, a2−x2\sqrt{a^2 - x^2} का।
  • खंडशः समाकलन में दूसरा समाकल घटाने की जगह जोड़ देना।
  • विषम भिन्न का पहले भाग दिए बिना समाकलन करना।

त्वरित पुनरावृत्ति

मूल बातें

  • ∫f dx=F+C\int f\,dx = F + C जब F′=fF' = f
  • योग और अचर गुणक अलग होते हैं; गुणनफल नहीं

विधियाँ

  • प्रतिस्थापन: tt = ऐसा अंदर वाला जिसका अवकलज मौजूद हो
  • ज्या और कोज्या की घातों और गुणनफलों के लिए सर्वसमिकाएँ
  • गुणनखंडित हर के लिए आंशिक भिन्न

खंडशः

  • ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du; ILATE से uu चुनिए
  • ∫ex(f+f′) dx=exf+C\int e^x(f + f')\,dx = e^x f + C

समाकल पर सीमाएँ लगाइए तो वह एक संख्या बन जाता है, और एक क्षेत्रफल: निश्चित समाकलन और क्षेत्रफल।

आगे · 10त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

90 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

अवकलन की उलटी प्रक्रिया के रूप में समाकलनप्र1 / 90प्र1

अवकलन की उलटी प्रक्रिया के रूप में समाकलन

15 प्रश्न

प्रश्न 1

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫(3x2+4x−5) dx\int \left(3 x^{2} + 4 x - 5\right)\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · x3+2x2−5x+Cx^{3} + 2 x^{2} - 5 x + C

  1. मानक रूपों से पद-दर-पद समाकलन कीजिए: ∫xn dx=xn+1n+1\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, ∫1x dx=log⁡∣x∣\int \frac{1}{x}\,dx = \log|x|, ∫ex dx=ex\int e^x\,dx = e^x।

  2. ∫(3x2+4x−5) dx=x3+2x2−5x+C\int \left(3 x^{2} + 4 x - 5\right)\,dx = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + C।

  3. जाँच: उत्तर का अवकलन करने पर समाकल्य वापस मिलता है।

ध्यान देने योग्य

6x+46 x + 4 में समाकलन की जगह अवकलन कर दिया गया।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि F′(x)=3x2F'(x) = 3x^2 और F(1)=4F(1) = 4, तो F(x)F(x) क्या है?

प्रश्न 2 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · x3+3x^{3} + 3

  1. F(x)=∫3x2 dx=x3+CF(x) = \int 3x^2\,dx = x^3 + C।

  2. F(1)=1+C=4F(1) = 1 + C = 4 से C=3C = 3, इसलिए F(x)=x3+3F(x) = x^3 + 3।

ध्यान देने योग्य

x3+4x^3 + 4 से F(1)=5F(1) = 5 आता है: 4 तो 1 पर मान है, अचर नहीं।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫(3ex+4x) dx\int \left(3 e^{x} + \frac{4}{x}\right)\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 3 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 3ex+4log⁡∣x∣+C3 e^{x} + 4 \log\left|x\right| + C

  1. मानक रूपों से पद-दर-पद समाकलन कीजिए: ∫xn dx=xn+1n+1\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, ∫1x dx=log⁡∣x∣\int \frac{1}{x}\,dx = \log|x|, ∫ex dx=ex\int e^x\,dx = e^x।

  2. ∫(3ex+4x) dx=3ex+4log⁡∣x∣+C\int \left(3 e^{x} + \frac{4}{x}\right)\,dx = 3 e^{x} + 4 \log\left|x\right| + C।

  3. जाँच: उत्तर का अवकलन करने पर समाकल्य वापस मिलता है।

ध्यान देने योग्य

3ex−4x23 e^{x} - \frac{4}{x^{2}} में समाकलन की जगह अवकलन कर दिया गया।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫2x dx\int 2^{x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 4 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 2xlog⁡2+C\frac{2^{x}}{\log 2} + C

  1. ddxax=axlog⁡a\frac{d}{dx}a^{x} = a^{x}\log a, इसलिए ∫ax dx=axlog⁡a+C\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\log a} + C।

  2. a=2a = 2 लेकर: 2xlog⁡2+C\frac{2^{x}}{\log 2} + C।

ध्यान देने योग्य

2xlog⁡22^{x}\log 2 तो 2x2^{x} का अवकलज है, समाकल नहीं।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि F′(x)=4x3−6xF'(x) = 4x^3 - 6x और F(2)=3F(2) = 3, तो F(x)F(x) क्या है?

प्रश्न 5 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · x4−3x2−1x^{4} - 3 x^{2} - 1

  1. F(x)=∫(4x3−6x) dx=x4−3x2+CF(x) = \int (4x^3 - 6x)\,dx = x^4 - 3x^2 + C।

  2. F(2)=16−12+C=3F(2) = 16 - 12 + C = 3, इसलिए C=−1C = -1।

ध्यान देने योग्य

+3+3 में F(2)F(2) सीधे अचर में रख दिया, x=2x = 2 पर x4−3x2x^4 - 3x^2 निकाले बिना।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫(cosec⁡2x+sec⁡2x) dx\int \left(\operatorname{cosec}^{2} x + \sec^{2} x\right)\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · tan⁡x−cot⁡x+C\tan x - \cot x + C

  1. ddxtan⁡x=sec⁡2x\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x और ddxcot⁡x=−cosec⁡2x\frac{d}{dx}\cot x = -\operatorname{cosec}^2 x।

  2. इसलिए ∫sec⁡2x dx=tan⁡x\int \sec^2 x\,dx = \tan x और ∫cosec⁡2x dx=−cot⁡x\int \operatorname{cosec}^2 x\,dx = -\cot x: योग tan⁡x−cot⁡x+C\tan x - \cot x + C है।

ध्यान देने योग्य

tan⁡x+cot⁡x\tan x + \cot x में ऋण चिह्न छूट गया: cot⁡x\cot x का अवकलज ऋणात्मक है।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन 2xcos⁡(x2)2x\cos(x^2) का एक प्रतिअवकलज है?

प्रश्न 7 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · sin⁡(x2)\sin{\left(x^{2} \right)}

  1. प्रतिअवकलज FF ऐसा कोई भी फलन है जिसका F′(x)F'(x) दिए गए फलन के बराबर हो।

  2. ddxsin⁡(x2)=cos⁡(x2)⋅2x\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x, जो दिया गया फलन है।

ध्यान देने योग्य

−sin⁡(x2)-\sin(x^2) का अवकलज −2xcos⁡(x2)-2x\cos(x^2) है: चिह्न गलत है।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): ∫dxx=log⁡∣x∣+C\int \frac{dx}{x} = \log|x| + C, हर उस अंतराल पर जिसमें 0 न हो, ऋणात्मक xx सहित।

कारण (R): हर x≠0x \ne 0 के लिए ddxlog⁡∣x∣=1x\frac{d}{dx}\log|x| = \frac{1}{x}, ऋणात्मक xx सहित।

प्रश्न 8 के विकल्प

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उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

  1. x<0x < 0 के लिए log⁡∣x∣=log⁡(−x)\log|x| = \log(-x), जिसका अवकलज −1−x=1x\frac{-1}{-x} = \frac{1}{x} है।

  2. इसलिए R सही है, और ठीक इसी कारण A ऋणात्मक xx के लिए भी सही है: A सही है और R उसकी व्याख्या करता है।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. ∫(f+g) dx=∫f dx+∫g dx\int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx।

II. अचर kk के लिए ∫kf dx=k∫f dx\int kf\,dx = k\int f\,dx।

III. ∫fg dx=∫f dx⋅∫g dx\int fg\,dx = \int f\,dx \cdot \int g\,dx।

IV. एक ही फलन के दो प्रतिअवकलज एक अचर से भिन्न होते हैं।

प्रश्न 9 के विकल्प

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उत्तरC · केवल I, II और IV

  1. I और II, 7.2.1 के दो गुणधर्म हैं, और IV इसलिए सही है कि समान अवकलज वाले दो फलन एक अचर से भिन्न होते हैं।

  2. III गलत है: f=g=xf = g = x लेने पर ∫x2 dx=x33\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}, पर x22⋅x22=x44\frac{x^2}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{4}।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫(x+1x) dx\int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 10 के विकल्प

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उत्तरD · 2x323+2x+C\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x} + C

  1. मानक रूपों से पद-दर-पद समाकलन कीजिए: ∫xn dx=xn+1n+1\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, ∫1x dx=log⁡∣x∣\int \frac{1}{x}\,dx = \log|x|, ∫ex dx=ex\int e^x\,dx = e^x।

  2. ∫(x+1x) dx=2x323+2x+C\int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x} + C।

  3. जाँच: उत्तर का अवकलन करने पर समाकल्य वापस मिलता है।

ध्यान देने योग्य

12x−12x32\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} में समाकलन की जगह अवकलन कर दिया गया।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫(x+1x)2 dx\int \left(x + \frac{1}{x}\right)^{2}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11 के विकल्प

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उत्तरD · x33+2x−1x+C\frac{x^{3}}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C

  1. पहले विस्तार कीजिए: (x+1x)2=x2+2+1x2\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}।

  2. ∫(x2+2+x−2)dx=x33+2x−1x+C\int \left(x^{2} + 2 + x^{-2}\right)dx = \frac{x^{3}}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C।

ध्यान देने योग्य

13(x+1x)3\frac{1}{3}\left(x + \frac{1}{x}\right)^{3} में कोष्ठक को xx जैसा मान लिया; इसके अवकलज में अतिरिक्त गुणक 1−1x21 - \frac{1}{x^{2}} आता है।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫x3−1x−1 dx\int \frac{x^{3} - 1}{x - 1}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 12 के विकल्प

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उत्तरA · x33+x22+x+C\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x + C

  1. पहले भाग दीजिए: x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^{3} - 1 = (x - 1)(x^{2} + x + 1), इसलिए समाकल्य x2+x+1x^{2} + x + 1 है।

  2. ∫(x2+x+1) dx=x33+x22+x+C\int (x^{2} + x + 1)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x + C।

ध्यान देने योग्य

x3+x2+xx^{3} + x^{2} + x में हर घात बढ़ाई गई पर नई घात से भाग देना भूल गए।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक वक्र (1,6)(1, 6) से होकर जाता है, और हर बिंदु (x,y)(x, y) पर उसकी ढाल 2x+32x + 3 है। उसका समीकरण क्या है?

प्रश्न 13 के विकल्प

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उत्तरC · y=x2+3x+2y = x^{2} + 3x + 2

  1. y=∫(2x+3) dx=x2+3x+Cy = \int (2x + 3)\,dx = x^{2} + 3x + C।

  2. (1,6)(1, 6) से होकर: 6=1+3+C6 = 1 + 3 + C, इसलिए C=2C = 2।

ध्यान देने योग्य

+6+6 में बिंदु का yy अचर मान लिया; अचर वह है जो x=1x = 1 पर x2+3xx^{2} + 3x के बाद बचे।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫sin⁡xcos⁡2x dx\int \frac{\sin x}{\cos^{2} x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 14 के विकल्प

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उत्तरB · sec⁡x+C\sec x + C

  1. sin⁡xcos⁡2x=1cos⁡x⋅sin⁡xcos⁡x=sec⁡xtan⁡x\frac{\sin x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x।

  2. ∫sec⁡xtan⁡x dx=sec⁡x+C\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C।

ध्यान देने योग्य

−sec⁡x-\sec x में चिह्न गलत: ddxsec⁡x=+sec⁡xtan⁡x\frac{d}{dx}\sec x = +\sec x\tan x।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. ∫e2x dx=e2x2+C\int e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2} + C।

II. ∫1x2 dx=log⁡x2+C\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = \log x^{2} + C।

III. किसी अचर kk के लिए ∫kf(x) dx=k∫f(x) dx\int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx।

IV. ∫f(x)g(x) dx=∫f(x) dx⋅∫g(x) dx\int f(x)g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \cdot \int g(x)\,dx।

प्रश्न 15 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I और III

  1. I: ddxe2x2=e2x\frac{d}{dx}\frac{e^{2x}}{2} = e^{2x}। III: अचर गुणक समाकल के बाहर आ जाता है।

  2. II गलत है: ∫x−2 dx=−1x+C\int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + C। IV गलत है: समाकल का कोई गुणन नियम नहीं (f=g=xf = g = x लेकर देखिए)।

ध्यान देने योग्य

log⁡\log केवल घात −1-1 पर आता है; बाकी हर घात, −2-2 भी, xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} का पालन करती है।

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन

18 प्रश्न

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫2x(x2+1)4 dx\int 2 x \left(x^{2} + 1\right)^{4}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 16 के विकल्प

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उत्तरB · (x2+1)55+C\frac{(x^2 + 1)^5}{5} + C

  1. t=x2+1t = x^2 + 1 रखिए; तब dtdt, एक अचर गुणक तक, समाकल्य का बाकी भाग है।

  2. समाकल tt में एक मानक रूप बन जाता है; फिर t=x2+1t = x^2 + 1 रखने पर (x2+1)55+C\frac{(x^2 + 1)^5}{5} + C मिलता है।

  3. जाँच: उत्तर का अवकलन करने पर समाकल्य वापस मिलता है।

ध्यान देने योग्य

dtdt से आने वाला अचर गलत होने पर उत्तर गुणा या भाग हो जाता है: अवकलन करके जाँचिए।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫cos⁡(3x+2) dx\int \cos{\left(3 x + 2 \right)}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 17 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · sin⁡(3x+2)3+C\frac{\sin{\left(3 x + 2 \right)}}{3} + C

  1. t=3x+2t = 3x + 2 रखिए; तब dtdt, एक अचर गुणक तक, समाकल्य का बाकी भाग है।

  2. समाकल tt में एक मानक रूप बन जाता है; फिर t=3x+2t = 3x + 2 रखने पर sin⁡(3x+2)3+C\frac{\sin{\left(3 x + 2 \right)}}{3} + C मिलता है।

  3. जाँच: उत्तर का अवकलन करने पर समाकल्य वापस मिलता है।

ध्यान देने योग्य

dtdt से आने वाला अचर गलत होने पर उत्तर गुणा या भाग हो जाता है: अवकलन करके जाँचिए।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कौन-सा प्रतिस्थापन ∫x2ex3 dx\int x^2e^{x^3}\,dx को मानक रूप में बदल देता है?

प्रश्न 18 के विकल्प

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उत्तरC · t=x3t = x^3

  1. t=x3t = x^3 लेने पर dt=3x2 dxdt = 3x^2\,dx, इसलिए x2 dx=dt3x^2\,dx = \frac{dt}{3}, जो समाकल्य का बाकी भाग है।

  2. समाकल 13∫et dt=13ex3+C\frac{1}{3}\int e^t\,dt = \frac{1}{3}e^{x^3} + C बन जाता है।

ध्यान देने योग्य

tt ऐसा चुनिए कि उसका अवकलज, एक अचर तक, बचा हुआ गुणनखंड हो।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫cot⁡x dx\int \cot x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 19 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · log⁡∣sin⁡x∣+C\log\left|\sin x\right| + C

  1. cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}: अंश, हर का अवकलज है।

  2. इसलिए ∫cot⁡x dx=log⁡∣sin⁡x∣+C\int \cot x\,dx = \log|\sin x| + C।

ध्यान देने योग्य

−log⁡∣sin⁡x∣-\log|\sin x| इसे ∫tan⁡x dx=−log⁡∣cos⁡x∣\int \tan x\,dx = -\log|\cos x| से मिला देता है, जिसमें ऋण चिह्न होता है।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫e3x+1 dx\int e^{3x + 1}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 20 के विकल्प

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उत्तरD · 13e3x+1+C\frac{1}{3}e^{3x + 1} + C

  1. t=3x+1t = 3x + 1, dt=3 dxdt = 3\,dx रखिए: 13∫et dt\frac{1}{3}\int e^{t}\,dt।

  2. =13e3x+1+C= \frac{1}{3}e^{3x + 1} + C।

ध्यान देने योग्य

अकेले e3x+1e^{3x + 1} का अवकलज 3e3x+13e^{3x + 1} है, तीन गुना अधिक।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫xex2 dx\int x e^{x^{2}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 21 के विकल्प

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उत्तरD · ex22+C\frac{e^{x^{2}}}{2} + C

  1. t=x2t = x^2 रखिए; तब dtdt, एक अचर गुणक तक, समाकल्य का बाकी भाग है।

  2. समाकल tt में एक मानक रूप बन जाता है; फिर t=x2t = x^2 रखने पर ex22+C\frac{e^{x^{2}}}{2} + C मिलता है।

  3. जाँच: उत्तर का अवकलन करने पर समाकल्य वापस मिलता है।

ध्यान देने योग्य

dtdt से आने वाला अचर गलत होने पर उत्तर गुणा या भाग हो जाता है: अवकलन करके जाँचिए।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫tan⁡x dx\int \tan x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 22 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · log⁡∣sec⁡x∣+C\log\left|\sec x\right| + C

  1. t=cos⁡xt = \cos x रखिए; तब dtdt, एक अचर गुणक तक, समाकल्य का बाकी भाग है।

  2. समाकल tt में एक मानक रूप बन जाता है; फिर t=cos⁡xt = \cos x रखने पर log⁡∣sec⁡x∣+C\log\left|\sec x\right| + C मिलता है।

  3. जाँच: उत्तर का अवकलन करने पर समाकल्य वापस मिलता है।

ध्यान देने योग्य

dtdt से आने वाला अचर गलत होने पर उत्तर गुणा या भाग हो जाता है: अवकलन करके जाँचिए।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫2x+3x2+3x+5 dx\int \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 5}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 23 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · log⁡∣x2+3x+5∣+C\log\left|x^{2} + 3 x + 5\right| + C

  1. t=x2+3x+5t = x^2 + 3x + 5 रखिए; तब dtdt, एक अचर गुणक तक, समाकल्य का बाकी भाग है।

  2. समाकल tt में एक मानक रूप बन जाता है; फिर t=x2+3x+5t = x^2 + 3x + 5 रखने पर log⁡∣x2+3x+5∣+C\log\left|x^{2} + 3 x + 5\right| + C मिलता है।

  3. जाँच: उत्तर का अवकलन करने पर समाकल्य वापस मिलता है।

ध्यान देने योग्य

dtdt से आने वाला अचर गलत होने पर उत्तर गुणा या भाग हो जाता है: अवकलन करके जाँचिए।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫esin⁡xcos⁡x dx\int e^{\sin x} \cos x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 24 के विकल्प

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उत्तरD · esin⁡x+Ce^{\sin x} + C

  1. t=sin⁡xt = \sin x रखिए; तब dtdt, एक अचर गुणक तक, समाकल्य का बाकी भाग है।

  2. समाकल tt में एक मानक रूप बन जाता है; फिर t=sin⁡xt = \sin x रखने पर esin⁡x+Ce^{\sin x} + C मिलता है।

  3. जाँच: उत्तर का अवकलन करने पर समाकल्य वापस मिलता है।

ध्यान देने योग्य

dtdt से आने वाला अचर गलत होने पर उत्तर गुणा या भाग हो जाता है: अवकलन करके जाँचिए।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫sec⁡2xtan⁡x+1 dx\int \frac{\sec^{2} x}{\tan x + 1}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 25 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · log⁡∣1+tan⁡x∣+C\log\left|1 + \tan x\right| + C

  1. अंश sec⁡2x\sec^2 x, हर 1+tan⁡x1 + \tan x का अवकलज है।

  2. t=1+tan⁡xt = 1 + \tan x से: ∫dtt=log⁡∣t∣=log⁡∣1+tan⁡x∣+C\int \frac{dt}{t} = \log|t| = \log|1 + \tan x| + C।

ध्यान देने योग्य

−11+tan⁡x-\frac{1}{1 + \tan x} तो sec⁡2x(1+tan⁡x)2\frac{\sec^2 x}{(1 + \tan x)^2} का उत्तर होता, जिसमें हर का वर्ग है।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫log⁡xx dx\int \frac{\log x}{x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 26 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · (log⁡x)22+C\frac{(\log x)^{2}}{2} + C

  1. t=log⁡xt = \log x रखिए, तो dt=dxxdt = \frac{dx}{x}।

  2. ∫t dt=t22=(log⁡x)22+C\int t\,dt = \frac{t^{2}}{2} = \frac{(\log x)^{2}}{2} + C।

ध्यान देने योग्य

(log⁡x)2(\log x)^{2} में 2 से भाग देना भूल गए; इसका अवकलज 2log⁡xx\frac{2\log x}{x} है।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫sec⁡x dx\int \sec x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 27 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · log⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\log\left|\sec x + \tan x\right| + C

  1. अंश और हर को sec⁡x+tan⁡x\sec x + \tan x से गुणा कीजिए: ∫sec⁡2x+sec⁡xtan⁡xsec⁡x+tan⁡x dx\int \frac{\sec^{2} x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx।

  2. अब अंश, हर का अवकलज है, इसलिए समाकल log⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\log|\sec x + \tan x| + C है।

ध्यान देने योग्य

sec⁡xtan⁡x\sec x\tan x तो sec⁡x\sec x का अवकलज है, समाकल नहीं।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫xx2+4 dx\int x\sqrt{x^{2} + 4}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 28 के विकल्प

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उत्तरB · 13(x2+4)32+C\frac{1}{3}\left(x^{2} + 4\right)^{\frac{3}{2}} + C

  1. t=x2+4t = x^{2} + 4 रखिए, तो dt=2x dxdt = 2x\,dx और x dx=dt2x\,dx = \frac{dt}{2}।

  2. 12∫t1/2 dt=12⋅23t3/2=13(x2+4)3/2+C\frac{1}{2}\int t^{1/2}\,dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}t^{3/2} = \frac{1}{3}(x^{2} + 4)^{3/2} + C।

ध्यान देने योग्य

23\frac{2}{3} में x dx=dt2x\,dx = \frac{dt}{2} वाला 12\frac{1}{2} भूल गए।

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫sin⁡xcos⁡x dx\int \sin x\cos x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 29 के विकल्प

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उत्तरA · sin⁡2x2+C\frac{\sin^{2} x}{2} + C

  1. t=sin⁡xt = \sin x, dt=cos⁡x dxdt = \cos x\,dx रखिए: ∫t dt=t22\int t\,dt = \frac{t^{2}}{2}।

  2. =sin⁡2x2+C= \frac{\sin^{2} x}{2} + C। (sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x से −cos⁡2x4+C-\frac{\cos 2x}{4} + C मिलता है, जो अचर तक वही है।)

ध्यान देने योग्य

cos⁡2x2\frac{\cos^{2} x}{2} में चिह्न गलत है: इसका अवकलज −sin⁡xcos⁡x-\sin x\cos x है।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫tan⁡3xsec⁡2x dx\int \tan^{3} x\sec^{2} x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 30 के विकल्प

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उत्तरB · tan⁡4x4+C\frac{\tan^{4} x}{4} + C

  1. t=tan⁡xt = \tan x, dt=sec⁡2x dxdt = \sec^{2} x\,dx रखिए।

  2. ∫t3 dt=t44=tan⁡4x4+C\int t^{3}\,dt = \frac{t^{4}}{4} = \frac{\tan^{4} x}{4} + C।

ध्यान देने योग्य

tan⁡4xsec⁡3x12\frac{\tan^{4} x\sec^{3} x}{12} में दोनों गुणनखंडों का अलग-अलग समाकलन करके गुणा किया गया, जो समाकलन का तरीका नहीं।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫cos⁡(x)x dx\int \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 31 के विकल्प

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उत्तरA · 2sin⁡(x)+C2 \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + C

  1. t=xt = \sqrt{x} रखिए; तब dtdt, एक अचर गुणक तक, समाकल्य का बाकी भाग है।

  2. समाकल tt में एक मानक रूप बन जाता है; फिर t=xt = \sqrt{x} रखने पर 2sin⁡(x)+C2 \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + C मिलता है।

  3. जाँच: उत्तर का अवकलन करने पर समाकल्य वापस मिलता है।

ध्यान देने योग्य

dtdt से आने वाला अचर गलत होने पर उत्तर गुणा या भाग हो जाता है: अवकलन करके जाँचिए।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫dxxlog⁡x\int \frac{dx}{x\log x} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 32 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · log⁡∣log⁡x∣+C\log\left|\log x\right| + C

  1. t=log⁡xt = \log x रखिए, तो dt=dxxdt = \frac{dx}{x} और समाकल ∫dtt\int \frac{dt}{t} बनता है।

  2. =log⁡∣t∣+C=log⁡∣log⁡x∣+C= \log|t| + C = \log|\log x| + C।

ध्यान देने योग्य

(log⁡x)22\frac{(\log x)^{2}}{2} तो ∫log⁡xx dx\int \frac{\log x}{x}\,dx है: यहाँ log⁡x\log x हर में है।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫dx1+e−x\int \frac{dx}{1 + e^{-x}} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 33 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · log⁡(1+ex)+C\log\left(1 + e^{x}\right) + C

  1. अंश और हर को exe^{x} से गुणा कीजिए: 11+e−x=exex+1\frac{1}{1 + e^{-x}} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}।

  2. अंश, हर का अवकलज है: log⁡(1+ex)+C\log(1 + e^{x}) + C।

ध्यान देने योग्य

log⁡(1+e−x)\log(1 + e^{-x}) में हर को जैसा है वैसा ले लिया, पर उसका अवकलज −e−x-e^{-x} है, अंश नहीं।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं से समाकलन

12 प्रश्न

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫tan⁡2x dx\int \tan^{2} x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 34 के विकल्प

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उत्तरD · tan⁡x−x+C\tan x - x + C

  1. पहले बदलकर लिखिए: tan⁡2x=sec⁡2x−1\tan^2 x = \sec^2 x - 1।

  2. तब हर पद मानक है: tan⁡x−x+C\tan x - x + C।

  3. जाँच: उत्तर का अवकलन करने पर समाकल्य वापस मिलता है।

ध्यान देने योग्य

त्रिकोणमितीय फलन की घात का कोई सीधा मानक रूप नहीं है: सर्वसमिका से ही समाकलन होता है।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫sin⁡2xsin⁡x dx\int \frac{\sin 2x}{\sin x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 35 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 2sin⁡x+C2\sin x + C

  1. sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x, इसलिए समाकल्य 2cos⁡x2\cos x है।

  2. ∫2cos⁡x dx=2sin⁡x+C\int 2\cos x\,dx = 2\sin x + C।

ध्यान देने योग्य

−2cos⁡x-2\cos x में 2cos⁡x2\cos x की जगह 2sin⁡x2\sin x का समाकलन हुआ।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫sin⁡2x dx\int \sin^{2} x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 36 के विकल्प

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उत्तरA · x2−sin⁡2x4+C\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C

  1. पहले बदलकर लिखिए: sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}।

  2. तब हर पद मानक है: x2−sin⁡2x4+C\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C।

  3. जाँच: उत्तर का अवकलन करने पर समाकल्य वापस मिलता है।

ध्यान देने योग्य

त्रिकोणमितीय फलन की घात का कोई सीधा मानक रूप नहीं है: सर्वसमिका से ही समाकलन होता है।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫1cos⁡2x+1 dx\int \frac{1}{\cos 2x + 1}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 37 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · tan⁡x2+C\frac{\tan x}{2} + C

  1. पहले बदलकर लिखिए: 1+cos⁡2x=2cos⁡2x1 + \cos 2x = 2\cos^2 x।

  2. तब हर पद मानक है: tan⁡x2+C\frac{\tan x}{2} + C।

  3. जाँच: उत्तर का अवकलन करने पर समाकल्य वापस मिलता है।

ध्यान देने योग्य

त्रिकोणमितीय फलन की घात का कोई सीधा मानक रूप नहीं है: सर्वसमिका से ही समाकलन होता है।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫cos⁡22x dx\int \cos^{2} 2x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 38 के विकल्प

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उत्तरD · x2+sin⁡4x8+C\frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{8} + C

  1. cos⁡22x=1+cos⁡4x2\cos^{2} 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}।

  2. ∫1+cos⁡4x2 dx=x2+sin⁡4x8+C\int \frac{1 + \cos 4x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{8} + C।

ध्यान देने योग्य

sin⁡4x4\frac{\sin 4x}{4} में cos⁡4x\cos 4x के आगे का 12\frac{1}{2} छूट गया।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫(sin⁡x+cos⁡x)2 dx\int (\sin x + \cos x)^{2}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 39 के विकल्प

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उत्तरB · x−cos⁡2x2+Cx - \frac{\cos 2x}{2} + C

  1. (sin⁡x+cos⁡x)2=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=1+sin⁡2x(\sin x + \cos x)^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x + 2\sin x\cos x = 1 + \sin 2x।

  2. ∫(1+sin⁡2x) dx=x−cos⁡2x2+C\int (1 + \sin 2x)\,dx = x - \frac{\cos 2x}{2} + C।

ध्यान देने योग्य

कोष्ठक की घात 3 करना उसे xx जैसा मानना है; इसके अवकलज में अतिरिक्त गुणक cos⁡x−sin⁡x\cos x - \sin x आता है।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫sin⁡3xcos⁡x dx\int \sin 3x \cos x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 40 के विकल्प

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उत्तरB · −cos⁡4x8−cos⁡2x4+C-\frac{\cos 4x}{8} - \frac{\cos 2x}{4} + C

  1. गुणनफल से योग: sin⁡3xcos⁡x=12(sin⁡4x+sin⁡2x)\sin 3x\cos x = \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x)।

  2. 12(−cos⁡4x4−cos⁡2x2)=−cos⁡4x8−cos⁡2x4\frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 4x}{4} - \frac{\cos 2x}{2}\right) = -\frac{\cos 4x}{8} - \frac{\cos 2x}{4}, और CC।

ध्यान देने योग्य

गुणनफल-से-योग सूत्र के 12\frac{1}{2} के बिना उत्तर दोगुना बड़ा है।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫sin⁡3x dx\int \sin^{3} x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 41 के विकल्प

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उत्तरD · −3cos⁡x4+cos⁡3x12+C-\frac{3\cos x}{4} + \frac{\cos 3x}{12} + C

  1. sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x, इसलिए sin⁡3x=3sin⁡x−sin⁡3x4\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}।

  2. ∫=14(−3cos⁡x+cos⁡3x3)=−3cos⁡x4+cos⁡3x12+C\int = \frac{1}{4}\left(-3\cos x + \frac{\cos 3x}{3}\right) = -\frac{3\cos x}{4} + \frac{\cos 3x}{12} + C।

ध्यान देने योग्य

sin⁡4x4\frac{\sin^4 x}{4} में sin⁡x\sin x को घात नियम में xx की तरह लिया गया; उसके अवकलज में एक अतिरिक्त cos⁡x\cos x आता है।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫cos⁡2x(cos⁡x+sin⁡x)2 dx\int \frac{\cos 2x}{(\cos x + \sin x)^2}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 42 के विकल्प

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उत्तरA · log⁡∣cos⁡x+sin⁡x∣+C\log\left|\cos x + \sin x\right| + C

  1. cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x), इसलिए समाकल्य cos⁡x−sin⁡xcos⁡x+sin⁡x\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} है।

  2. अंश, हर का अवकलज है, इसलिए समाकल log⁡∣cos⁡x+sin⁡x∣+C\log|\cos x + \sin x| + C है।

ध्यान देने योग्य

log⁡∣cos⁡x−sin⁡x∣\log|\cos x - \sin x| में गलत गुणनखंड लघुगणक में गया: हर बचता है।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫2sin⁡5xsin⁡x dx\int 2\sin 5x\sin x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 43 के विकल्प

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उत्तरA · sin⁡4x4−sin⁡6x6+C\frac{\sin 4x}{4} - \frac{\sin 6x}{6} + C

  1. 2sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)2\sin A\sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B): 2sin⁡5xsin⁡x=cos⁡4x−cos⁡6x2\sin 5x\sin x = \cos 4x - \cos 6x।

  2. ∫(cos⁡4x−cos⁡6x) dx=sin⁡4x4−sin⁡6x6+C\int (\cos 4x - \cos 6x)\,dx = \frac{\sin 4x}{4} - \frac{\sin 6x}{6} + C।

ध्यान देने योग्य

पदों के बीच धन चिह्न कोज्या गुणन सूत्र, 2cos⁡Acos⁡B2\cos A\cos B, से आता है।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫cos⁡3x dx\int \cos^{3} x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 44 के विकल्प

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उत्तरD · sin⁡x−sin⁡3x3+C\sin x - \frac{\sin^{3} x}{3} + C

  1. cos⁡3x=(1−sin⁡2x)cos⁡x\cos^{3} x = (1 - \sin^{2} x)\cos x। t=sin⁡xt = \sin x, dt=cos⁡x dxdt = \cos x\,dx रखिए।

  2. ∫(1−t2) dt=t−t33=sin⁡x−sin⁡3x3+C\int (1 - t^{2})\,dt = t - \frac{t^{3}}{3} = \sin x - \frac{\sin^{3} x}{3} + C।

ध्यान देने योग्य

cos⁡4x4\frac{\cos^{4} x}{4} में cos⁡x\cos x पर घात नियम लगाया, पर dxdx, d(cos⁡x)d(\cos x) नहीं है।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫sin⁡2xcos⁡2x dx\int \sin^{2} x\cos^{2} x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 45 के विकल्प

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उत्तरA · x8−sin⁡4x32+C\frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C

  1. sin⁡2xcos⁡2x=sin⁡22x4=1−cos⁡4x8\sin^{2} x\cos^{2} x = \frac{\sin^{2} 2x}{4} = \frac{1 - \cos 4x}{8}।

  2. ∫1−cos⁡4x8 dx=x8−sin⁡4x32+C\int \frac{1 - \cos 4x}{8}\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C।

ध्यान देने योग्य

धन चिह्न cos⁡2\cos^{2} से आता है, sin⁡2\sin^{2} से नहीं: sin⁡22x=1−cos⁡4x2\sin^{2} 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}।

विशिष्ट फलनों के समाकल

15 प्रश्न

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫1x2+16 dx\int \frac{1}{x^{2} + 16}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 46 के विकल्प

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उत्तरC · tan⁡−1(x4)4+C\frac{\tan^{-1}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} + C

  1. ∫dxx2+a2=1atan⁡−1xa+C\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C।

  2. यहाँ a=4a = 4: 14tan⁡−1x4+C\frac{1}{4}\tan^{-1}\frac{x}{4} + C।

ध्यान देने योग्य

गुणक 14\frac{1}{4} के बिना अवकलज 4 गुना बड़ा आता है।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫125−x2 dx\int \frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 47 के विकल्प

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उत्तरB · sin⁡−1(x5)+C\sin^{-1}{\left(\frac{x}{5} \right)} + C

  1. ∫dxa2−x2=sin⁡−1xa+C\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\frac{x}{a} + C।

  2. a=5a = 5 के साथ: sin⁡−1x5+C\sin^{-1}\frac{x}{5} + C।

ध्यान देने योग्य

tan⁡−1\tan^{-1} वाले रूप के विपरीत, इसमें आगे 1a\frac{1}{a} गुणक नहीं होता।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫1x2−9 dx\int \frac{1}{x^{2} - 9}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 48 के विकल्प

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उत्तरD · 16log⁡∣x−3x+3∣+C\frac{1}{6}\log\left|\frac{x - 3}{x + 3}\right| + C

  1. 1x2−9=16(1x−3−1x+3)\frac{1}{x^2 - 9} = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 3}\right)।

  2. इसलिए समाकल 16log⁡∣x−3x+3∣+C\frac{1}{6}\log\left|\frac{x - 3}{x + 3}\right| + C है: मानक रूप 12alog⁡∣x−ax+a∣\frac{1}{2a}\log\left|\frac{x - a}{x + a}\right|।

ध्यान देने योग्य

tan⁡−1\tan^{-1} वाला रूप x2+a2x^2 + a^2 का है, धन चिह्न के साथ।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫1x2+9 dx\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 49 के विकल्प

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उत्तरA · log⁡∣x+x2+9∣+C\log\left|x + \sqrt{x^2 + 9}\right| + C

  1. ∫dxx2+a2=log⁡∣x+x2+a2∣+C\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \log\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C।

  2. a=3a = 3 के साथ: log⁡∣x+x2+9∣+C\log\left|x + \sqrt{x^2 + 9}\right| + C।

ध्यान देने योग्य

sin⁡−1x3\sin^{-1}\frac{x}{3} तो 9−x2\sqrt{9 - x^2} के लिए है, अंदर ऋण चिह्न के साथ।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर समाकल्य को सूची II में उसके समाकल से मिलाइए (a>0a > 0; हर एक में CC जोड़िए)।

सूची Iसूची II
A. 1x2+a2\frac{1}{x^2 + a^2}I. sin⁡−1xa\sin^{-1}\frac{x}{a}
B. 1x2−a2\frac{1}{x^2 - a^2}II. 1atan⁡−1xa\frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}
C. 1a2−x2\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}III. log⁡∣x+x2+a2∣\log\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right|
D. 1x2+a2\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}IV. 12alog⁡∣x−ax+a∣\frac{1}{2a}\log\left|\frac{x - a}{x + a}\right|
प्रश्न 50 के विकल्प

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उत्तरD · A-II, B-IV, C-I, D-III

  1. हर एक की जाँच अवकलन से हो सकती है: जैसे ddxsin⁡−1xa=1a2−x2\frac{d}{dx}\sin^{-1}\frac{x}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}।

  2. बिना मूल के धन चिह्न से tan⁡−1\tan^{-1}; ऋण चिह्न से अनुपात का लघुगणक; मूल वाले से sin⁡−1\sin^{-1} और x+  x + \sqrt{\;} वाला लघुगणक।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫19−x2 dx\int \frac{1}{9 - x^{2}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 51 के विकल्प

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उत्तरC · 16log⁡∣3+x3−x∣+C\frac{1}{6}\log\left|\frac{3 + x}{3 - x}\right| + C

  1. ∫dxa2−x2=12alog⁡∣a+xa−x∣+C\int \frac{dx}{a^{2} - x^{2}} = \frac{1}{2a}\log\left|\frac{a + x}{a - x}\right| + C।

  2. a=3a = 3 लेकर: 16log⁡∣3+x3−x∣+C\frac{1}{6}\log\left|\frac{3 + x}{3 - x}\right| + C।

ध्यान देने योग्य

13\frac{1}{3} में 1a\frac{1}{a} लिया गया, जबकि सूत्र में 12a\frac{1}{2a} है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫1x2−16 dx\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 16}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 52 के विकल्प

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उत्तरB · log⁡∣x+x2−16∣+C\log\left|x + \sqrt{x^{2} - 16}\right| + C

  1. ∫dxx2−a2=log⁡∣x+x2−a2∣+C\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \log\left|x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}\right| + C।

  2. a=4a = 4 लेकर: log⁡∣x+x2−16∣+C\log\left|x + \sqrt{x^{2} - 16}\right| + C।

ध्यान देने योग्य

इस सूत्र के आगे 1a\frac{1}{a} नहीं होता, ∫dxx2+a2\int \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} के विपरीत।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫dxx2+2x+2\int \frac{dx}{x^{2} + 2x + 2} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 53 के विकल्प

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उत्तरD · tan⁡−1(x+1)+C\tan^{-1}(x + 1) + C

  1. वर्ग पूरा कीजिए: x2+2x+2=(x+1)2+1x^{2} + 2x + 2 = (x + 1)^{2} + 1।

  2. ∫dx(x+1)2+1=tan⁡−1(x+1)+C\int \frac{dx}{(x + 1)^{2} + 1} = \tan^{-1}(x + 1) + C।

ध्यान देने योग्य

tan⁡−1(x−1)\tan^{-1}(x - 1) में खिसकाव का चिह्न गलत: x2+2x=(x+1)2−1x^{2} + 2x = (x + 1)^{2} - 1।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫exe2x+1 dx\int \frac{e^{x}}{e^{2x} + 1}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 54 के विकल्प

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उत्तरD · tan⁡−1(ex)+C\tan^{-1}\left(e^{x}\right) + C

  1. t=ext = e^{x}, dt=ex dxdt = e^{x}\,dx रखिए: ∫dtt2+1\int \frac{dt}{t^{2} + 1}।

  2. =tan⁡−1t=tan⁡−1(ex)+C= \tan^{-1} t = \tan^{-1}(e^{x}) + C।

ध्यान देने योग्य

12log⁡(e2x+1)\frac{1}{2}\log(e^{2x} + 1) के लिए अंश में e2xe^{2x} चाहिए, हर का अवकलज बटा 2।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. ∫dxx2+a2=1atan⁡−1xa+C\int \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C।

II. ∫dxa2−x2=1asin⁡−1xa+C\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \frac{1}{a}\sin^{-1}\frac{x}{a} + C।

प्रश्न 55 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I: ddx(1atan⁡−1xa)=1a⋅1/a1+x2/a2=1x2+a2\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}\right) = \frac{1}{a} \cdot \frac{1/a}{1 + x^{2}/a^{2}} = \frac{1}{x^{2} + a^{2}}। सही।

  2. II: ddxsin⁡−1xa=1a2−x2\frac{d}{dx}\sin^{-1}\frac{x}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} पहले से है, इसलिए अतिरिक्त 1a\frac{1}{a} गलत है। गलत।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫dxx2+4x+13\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 56 के विकल्प

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उत्तरC · 13tan⁡−1x+23+C\frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{x + 2}{3} + C

  1. पूर्ण वर्ग बनाइए: x2+4x+13=(x+2)2+9x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9।

  2. t=x+2t = x + 2 और a=3a = 3 से: ∫dtt2+9=13tan⁡−1x+23+C\int \frac{dt}{t^2 + 9} = \frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{x + 2}{3} + C।

ध्यान देने योग्य

x−23\frac{x - 2}{3} में खिसकाव का चिह्न गलत है: x2+4xx^2 + 4x, (x+2)2−4(x + 2)^2 - 4 है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫14x2+9 dx\int \frac{1}{4 x^{2} + 9}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 57 के विकल्प

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उत्तरB · 16tan⁡−12x3+C\frac{1}{6}\tan^{-1}\frac{2x}{3} + C

  1. 4x2+9=(2x)2+324x^2 + 9 = (2x)^2 + 3^2। t=2xt = 2x रखिए, तब dx=dt2dx = \frac{dt}{2}।

  2. 12∫dtt2+9=12⋅13tan⁡−1t3=16tan⁡−12x3+C\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2 + 9} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{t}{3} = \frac{1}{6}\tan^{-1}\frac{2x}{3} + C।

ध्यान देने योग्य

13\frac{1}{3} में वह 12\frac{1}{2} भूल गए जो dx=dt2dx = \frac{dt}{2} से आता है।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫dx3+2x−x2\int \frac{dx}{\sqrt{3 + 2x - x^{2}}} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 58 के विकल्प

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उत्तरA · sin⁡−1x−12+C\sin^{-1}\frac{x - 1}{2} + C

  1. वर्ग पूरा कीजिए: 3+2x−x2=4−(x−1)23 + 2x - x^{2} = 4 - (x - 1)^{2}।

  2. ∫dx22−(x−1)2=sin⁡−1x−12+C\int \frac{dx}{\sqrt{2^{2} - (x - 1)^{2}}} = \sin^{-1}\frac{x - 1}{2} + C।

ध्यान देने योग्य

आगे का 12\frac{1}{2}, ∫dxx2+a2\int \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} का है; ∫dxa2−u2=sin⁡−1ua\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - u^{2}}} = \sin^{-1}\frac{u}{a} में ऐसा गुणक नहीं।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫xx4+1 dx\int \frac{x}{x^{4} + 1}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 59 के विकल्प

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उत्तरB · 12tan⁡−1x2+C\frac{1}{2}\tan^{-1} x^{2} + C

  1. t=x2t = x^{2}, dt=2x dxdt = 2x\,dx रखिए: 12∫dtt2+1\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^{2} + 1}।

  2. =12tan⁡−1t=12tan⁡−1x2+C= \frac{1}{2}\tan^{-1} t = \frac{1}{2}\tan^{-1} x^{2} + C।

ध्यान देने योग्य

14log⁡(x4+1)\frac{1}{4}\log(x^{4} + 1) के लिए अंश में x3x^{3} चाहिए, x4x^{4} का अवकलज।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫19x2+1 dx\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 1}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 60 के विकल्प

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उत्तरC · 13log⁡∣3x+9x2+1∣+C\frac{1}{3}\log\left|3x + \sqrt{9x^{2} + 1}\right| + C

  1. t=3xt = 3x, dt=3 dxdt = 3\,dx रखिए: 13∫dtt2+1\frac{1}{3}\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2} + 1}}।

  2. =13log⁡∣t+t2+1∣=13log⁡∣3x+9x2+1∣+C= \frac{1}{3}\log\left|t + \sqrt{t^{2} + 1}\right| = \frac{1}{3}\log\left|3x + \sqrt{9x^{2} + 1}\right| + C।

ध्यान देने योग्य

13\frac{1}{3} के बिना उत्तर का अवकलज समाकल्य का तीन गुना है।

आंशिक भिन्न

12 प्रश्न

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि 5x+4(x+2)(x−1)=Ax+2+Bx−1\frac{5x + 4}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 1}, तो AA क्या है?

प्रश्न 61 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. दोनों ओर गुणा कीजिए: 5x+4=A(x−1)+B(x+2)5x + 4 = A(x - 1) + B(x + 2)।

  2. x=−2x = -2 रखिए: −6=−3A-6 = -3A, इसलिए A=2A = 2। (और x=1x = 1 से B=3B = 3।)

ध्यान देने योग्य

3 तो BB है, x−1x - 1 के ऊपर का अचर।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x+2(x−1)2(x+3)\frac{x + 2}{(x - 1)^{2}(x + 3)} के लिए आंशिक भिन्नों का कौन-सा रूप उपयुक्त है?

प्रश्न 62 के विकल्प

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उत्तरD · Ax−1+B(x−1)2+Cx+3\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^{2}} + \frac{C}{x + 3}

  1. दोहराए गुणनखंड (x−1)2(x - 1)^{2} के लिए हर घात का पद चाहिए: Ax−1\frac{A}{x - 1} और B(x−1)2\frac{B}{(x - 1)^{2}}।

  2. गुणनखंड x+3x + 3 को अपना Cx+3\frac{C}{x + 3} मिलता है।

ध्यान देने योग्य

केवल A(x−1)2\frac{A}{(x - 1)^{2}} रखने से हर अंश से मेल के लिए अचर कम पड़ते हैं।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि x+7(x−1)(x+3)=Ax−1+Bx+3\frac{x + 7}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}, तो BB क्या है?

प्रश्न 63 के विकल्प

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उत्तरB · −1-1

  1. x+7=A(x+3)+B(x−1)x + 7 = A(x + 3) + B(x - 1)।

  2. x=−3x = -3 रखिए: 4=−4B4 = -4B, इसलिए B=−1B = -1। (और x=1x = 1 से A=2A = 2।)

ध्यान देने योग्य

2 तो AA है, x−1x - 1 के ऊपर का अचर।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫3x+1x2−1 dx\int \frac{3 x + 1}{x^{2} - 1}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 64 के विकल्प

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उत्तरA · 2log⁡∣x−1∣+log⁡∣x+1∣+C2\log\left|x - 1\right| + \log\left|x + 1\right| + C

  1. 3x+1(x−1)(x+1)=Ax−1+Bx+1\frac{3x + 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}: x=1x = 1 से 4=2A4 = 2A, x=−1x = -1 से −2=−2B-2 = -2B, इसलिए A=2A = 2, B=1B = 1।

  2. ∫(2x−1+1x+1)dx=2log⁡∣x−1∣+log⁡∣x+1∣+C\int \left(\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}\right)dx = 2\log|x - 1| + \log|x + 1| + C।

ध्यान देने योग्य

AA और BB की अदला-बदली से 2 गलत गुणनखंड पर चला जाता है; हर मूल वापस रखकर जाँचिए।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫x(x−2)(x−1) dx\int \frac{x}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 65 के विकल्प

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उत्तरB · 2log⁡∣x−2∣−log⁡∣x−1∣+C2\log\left|x - 2\right| - \log\left|x - 1\right| + C

  1. x=A(x−2)+B(x−1)x = A(x - 2) + B(x - 1): x=1x = 1 से A=−1A = -1, x=2x = 2 से B=2B = 2।

  2. ∫(−1x−1+2x−2)dx=2log⁡∣x−2∣−log⁡∣x−1∣+C\int \left(-\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right)dx = 2\log|x - 2| - \log|x - 1| + C।

ध्यान देने योग्य

log⁡∣(x−1)(x−2)∣\log|(x - 1)(x - 2)| के लिए दोनों अचर 1 होने चाहिए।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫dxx2−5x+6\int \frac{dx}{x^{2} - 5x + 6} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 66 के विकल्प

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उत्तरC · log⁡∣x−3x−2∣+C\log\left|\frac{x - 3}{x - 2}\right| + C

  1. 1(x−2)(x−3)=Ax−2+Bx−3\frac{1}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}: x=2x = 2 से A=−1A = -1, x=3x = 3 से B=1B = 1।

  2. ∫(1x−3−1x−2)dx=log⁡∣x−3x−2∣+C\int \left(\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 2}\right)dx = \log\left|\frac{x - 3}{x - 2}\right| + C।

ध्यान देने योग्य

उलटी भिन्न AA और BB के चिह्न अदल-बदल करने से आती है।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫2x(x+1)(x+3) dx\int \frac{2x}{(x + 1)(x + 3)}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 67 के विकल्प

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उत्तरD · 3log⁡∣x+3∣−log⁡∣x+1∣+C3\log\left|x + 3\right| - \log\left|x + 1\right| + C

  1. 2x=A(x+3)+B(x+1)2x = A(x + 3) + B(x + 1): x=−1x = -1 से −2=2A-2 = 2A, A=−1A = -1; x=−3x = -3 से −6=−2B-6 = -2B, B=3B = 3।

  2. ∫(−1x+1+3x+3)dx=3log⁡∣x+3∣−log⁡∣x+1∣+C\int \left(-\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{x + 3}\right)dx = 3\log|x + 3| - \log|x + 1| + C।

ध्यान देने योग्य

AA और BB की अदला-बदली से 3 गलत गुणनखंड पर चला जाता है; हर मूल वापस रखकर जाँचिए।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫x2+1x2−1 dx\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

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उत्तरD · x+log⁡∣x−1x+1∣+Cx + \log\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C

  1. भिन्न विषम है (बराबर घातें), इसलिए पहले भाग दीजिए: x2+1x2−1=1+2x2−1\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = 1 + \frac{2}{x^2 - 1}।

  2. 2x2−1=1x−1−1x+1\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}, इसलिए समाकल x+log⁡∣x−1x+1∣+Cx + \log\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C है।

ध्यान देने योग्य

xx छोड़ देना उस 1 को भूलना है जो भाग से मिलता है।

प्रश्न 69

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫1x(x+1)2 dx\int \frac{1}{x \left(x + 1\right)^{2}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 69 के विकल्प

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उत्तरA · log⁡∣xx+1∣+1x+1+C\log\left|\frac{x}{x + 1}\right| + \frac{1}{x + 1} + C

  1. दोहराए गुणनखंड के लिए दो भिन्नें चाहिए: 1x(x+1)2=1x−1x+1−1(x+1)2\frac{1}{x(x + 1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1)^2}।

  2. ∫−dx(x+1)2=1x+1\int -\frac{dx}{(x + 1)^2} = \frac{1}{x + 1}, इसलिए समाकल log⁡∣xx+1∣+1x+1+C\log\left|\frac{x}{x + 1}\right| + \frac{1}{x + 1} + C है।

ध्यान देने योग्य

−1x+1-\frac{1}{x + 1} में ∫−dx(x+1)2\int -\frac{dx}{(x + 1)^2} का चिह्न गलत है: (x+1)−2(x + 1)^{-2} का समाकल −(x+1)−1-(x + 1)^{-1} है।

प्रश्न 70

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫dxx(x2+1)\int \frac{dx}{x(x^{2} + 1)} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 70 के विकल्प

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उत्तरC · log⁡∣x∣−12log⁡(x2+1)+C\log\left|x\right| - \frac{1}{2}\log\left(x^{2} + 1\right) + C

  1. 1x(x2+1)=Ax+Bx+Cx2+1\frac{1}{x(x^{2} + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2} + 1} से A=1A = 1, B=−1B = -1, C=0C = 0।

  2. ∫(1x−xx2+1)dx=log⁡∣x∣−12log⁡(x2+1)+C\int \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2} + 1}\right)dx = \log|x| - \frac{1}{2}\log(x^{2} + 1) + C।

ध्यान देने योग्य

∫xx2+1 dx=12log⁡(x2+1)\int \frac{x}{x^{2} + 1}\,dx = \frac{1}{2}\log(x^{2} + 1): 12\frac{1}{2}, d(x2+1)=2x dxd(x^{2} + 1) = 2x\,dx से आता है।

प्रश्न 71

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫x2x2−4 dx\int \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

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उत्तरA · x+log⁡∣x−2x+2∣+Cx + \log\left|\frac{x - 2}{x + 2}\right| + C

  1. भिन्न विषम है: x2x2−4=1+4x2−4\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} = 1 + \frac{4}{x^{2} - 4}।

  2. ∫4 dxx2−4=4⋅14log⁡∣x−2x+2∣\int \frac{4\,dx}{x^{2} - 4} = 4 \cdot \frac{1}{4}\log\left|\frac{x - 2}{x + 2}\right|, इसलिए समाकल x+log⁡∣x−2x+2∣+Cx + \log\left|\frac{x - 2}{x + 2}\right| + C है।

ध्यान देने योग्य

xx छोड़ देना भाग से पहले मिलने वाले 1 को भूलना है।

प्रश्न 72

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫3x−1(x−2)2 dx\int \frac{3x - 1}{(x - 2)^{2}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 72 के विकल्प

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उत्तरB · 3log⁡∣x−2∣−5x−2+C3\log\left|x - 2\right| - \frac{5}{x - 2} + C

  1. 3x−1(x−2)2=Ax−2+B(x−2)2\frac{3x - 1}{(x - 2)^{2}} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{(x - 2)^{2}}: 3x−1=A(x−2)+B3x - 1 = A(x - 2) + B, इसलिए A=3A = 3 और x=2x = 2 पर B=5B = 5।

  2. ∫5(x−2)2 dx=−5x−2\int \frac{5}{(x - 2)^{2}}\,dx = -\frac{5}{x - 2}, इसलिए समाकल 3log⁡∣x−2∣−5x−2+C3\log|x - 2| - \frac{5}{x - 2} + C है।

ध्यान देने योग्य

+5x−2+\frac{5}{x - 2} में चिह्न छूटा: ∫(x−2)−2 dx=−(x−2)−1\int (x - 2)^{-2}\,dx = -(x - 2)^{-1}।

खंडशः समाकलन

18 प्रश्न

प्रश्न 73

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫xex dx\int x e^{x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 73 के विकल्प

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उत्तरC · (x−1)ex+C\left(x - 1\right) e^{x} + C

  1. खंडशः, ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du, जहाँ u=xu = x और dv=ex dxdv = e^{x}\,dx, इसलिए v=exv = e^{x}।

  2. xex−∫ex dx=(x−1)ex+Cx e^{x} - \int e^{x}\,dx = \left(x - 1\right) e^{x} + C।

ध्यान देने योग्य

दूसरा समाकल घटाने की जगह जोड़ देना वह भूल है जिस पर एक विकल्प बना है।

प्रश्न 74

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫x2log⁡x dx\int x^2\log x\,dx को खंडशः हल करने में uu, यानी अवकलित किया जाने वाला फलन, किसे लेना चाहिए?

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उत्तरA · log⁡x\log x

  1. log⁡x\log x का समाकलन आसान नहीं, पर उसका अवकलन 1x\frac{1}{x} है, जो xx की एक घात काट देता है।

  2. इसलिए u=log⁡xu = \log x और dv=x2 dxdv = x^2\,dx। क्रम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय, लघुगणकीय, बीजीय, त्रिकोणमितीय, घातांकीय (ILATE) में लघुगणक बीजीय गुणनखंड से पहले है।

ध्यान देने योग्य

u=x2u = x^2 लेने पर पहले dv=log⁡x dxdv = \log x\,dx का समाकलन करना होगा, जो स्वयं खंडशः का प्रश्न है।

प्रश्न 75

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫xcos⁡x dx\int x \cos x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 75 के विकल्प

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उत्तरB · xsin⁡x+cos⁡x+Cx \sin x + \cos x + C

  1. खंडशः, ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du, जहाँ u=xu = x और dv=cos⁡x dxdv = \cos x\,dx, इसलिए v=sin⁡xv = \sin x।

  2. xsin⁡x−∫sin⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+Cx \sin x - \int \sin x\,dx = x \sin x + \cos x + C।

ध्यान देने योग्य

दूसरा समाकल घटाने की जगह जोड़ देना वह भूल है जिस पर एक विकल्प बना है।

प्रश्न 76

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫xtan⁡−1x dx\int x\tan^{-1} x\,dx को खंडशः हल करने के लिए uu, यानी अवकलित किया जाने वाला फलन, किसे लेना चाहिए?

प्रश्न 76 के विकल्प

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उत्तरD · tan⁡−1x\tan^{-1} x

  1. uu के लिए वरीयता क्रम है: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय, फिर लघुगणकीय, बीजीय, त्रिकोणमितीय, चरघातांकी।

  2. tan⁡−1x\tan^{-1} x पहले आता है: इसका अवकलज 11+x2\frac{1}{1 + x^{2}} सरल है, जबकि ∫tan⁡−1x dx\int \tan^{-1} x\,dx नहीं।

ध्यान देने योग्य

u=xu = x लेने पर dv=tan⁡−1x dxdv = \tan^{-1} x\,dx बचता है, जिसका सीधा समाकलन नहीं कर सकते।

प्रश्न 77

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫ex(tan⁡x+sec⁡2x)dx\int e^x\left(\tan x + \sec^2 x\right)dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 77 के विकल्प

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उत्तरC · extan⁡x+Ce^{x} \tan x + C

  1. ∫ex(f(x)+f′(x))dx=exf(x)+C\int e^x\left(f(x) + f'(x)\right)dx = e^x f(x) + C, क्योंकि ddx(exf(x))=ex(f(x)+f′(x))\frac{d}{dx}\left(e^x f(x)\right) = e^x\left(f(x) + f'(x)\right)।

  2. यहाँ f(x)=tan⁡xf(x) = \tan x और f′(x)=sec⁡2xf'(x) = \sec^2 x, इसलिए समाकल extan⁡x+Ce^{x} \tan x + C है।

ध्यान देने योग्य

exe^x के साथ वह फलन आता है जिसका अवकलज दूसरा पद है।

प्रश्न 78

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫log⁡x dx\int \log x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 78 के विकल्प

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उत्तरD · x(log⁡x−1)+Cx \left(\log x - 1\right) + C

  1. खंडशः, ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du, जहाँ u=log⁡xu = \log x और dv=1 dxdv = 1\,dx, इसलिए v=xv = x।

  2. xlog⁡x−∫1 dx=x(log⁡x−1)+Cx \log x - \int 1\,dx = x \left(\log x - 1\right) + C।

ध्यान देने योग्य

दूसरा समाकल घटाने की जगह जोड़ देना वह भूल है जिस पर एक विकल्प बना है।

प्रश्न 79

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫ex(x2+2x)dx\int e^x\left(x^{2} + 2x\right)dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 79 के विकल्प

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उत्तरB · x2ex+Cx^{2} e^{x} + C

  1. ∫ex(f(x)+f′(x))dx=exf(x)+C\int e^x\left(f(x) + f'(x)\right)dx = e^x f(x) + C, क्योंकि ddx(exf(x))=ex(f(x)+f′(x))\frac{d}{dx}\left(e^x f(x)\right) = e^x\left(f(x) + f'(x)\right)।

  2. यहाँ f(x)=x2f(x) = x^{2} और f′(x)=2xf'(x) = 2x, इसलिए समाकल x2ex+Cx^{2} e^{x} + C है।

ध्यान देने योग्य

exe^x के साथ वह फलन आता है जिसका अवकलज दूसरा पद है।

प्रश्न 80

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫xlog⁡x dx\int x \log x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 80 के विकल्प

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उत्तरA · x2(2log⁡x−1)4+C\frac{x^{2} \left(2 \log x - 1\right)}{4} + C

  1. खंडशः, ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du, जहाँ u=log⁡xu = \log x और dv=x dxdv = x\,dx, इसलिए v=x22v = \frac{x^{2}}{2}।

  2. x2log⁡x2−∫x2 dx=x2(2log⁡x−1)4+C\frac{x^{2} \log x}{2} - \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^{2} \left(2 \log x - 1\right)}{4} + C।

ध्यान देने योग्य

दूसरा समाकल घटाने की जगह जोड़ देना वह भूल है जिस पर एक विकल्प बना है।

प्रश्न 81

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫ex(1x−1x2)dx\int e^{x}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right)dx का मान ज्ञात कीजिए।

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उत्तरD · exx+C\frac{e^{x}}{x} + C

  1. यह ex(f(x)+f′(x))e^{x}\left(f(x) + f'(x)\right) है, जहाँ f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}, क्योंकि f′(x)=−1x2f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}।

  2. ∫ex(f+f′) dx=exf(x)+C=exx+C\int e^{x}(f + f')\,dx = e^{x}f(x) + C = \frac{e^{x}}{x} + C।

ध्यान देने योग्य

−exx2-\frac{e^{x}}{x^{2}} में f′f' को फलन चुना; यह ff होना चाहिए, वह भाग जिसका अवकलज भी मौजूद है।

प्रश्न 82

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫xsin⁡2x dx\int x\sin 2x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 82 के विकल्प

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उत्तरA · −xcos⁡2x2+sin⁡2x4+C-\frac{x\cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

  1. u=xu = x, dv=sin⁡2x dxdv = \sin 2x\,dx लेकर खंडशः: v=−cos⁡2x2v = -\frac{\cos 2x}{2}।

  2. −xcos⁡2x2+∫cos⁡2x2 dx=−xcos⁡2x2+sin⁡2x4+C-\frac{x\cos 2x}{2} + \int \frac{\cos 2x}{2}\,dx = -\frac{x\cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C।

ध्यान देने योग्य

−sin⁡2x4-\frac{\sin 2x}{4} में दोहरे ऋण पर भूल: −∫v du=+∫cos⁡2x2 dx-\int v\,du = +\int \frac{\cos 2x}{2}\,dx।

प्रश्न 83

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫x2log⁡x dx\int x^{2}\log x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

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उत्तरC · x3log⁡x3−x39+C\frac{x^{3}\log x}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C

  1. u=log⁡xu = \log x और dv=x2 dxdv = x^{2}\,dx लीजिए: du=dxxdu = \frac{dx}{x}, v=x33v = \frac{x^{3}}{3}।

  2. x3log⁡x3−∫x23 dx=x3log⁡x3−x39+C\frac{x^{3}\log x}{3} - \int \frac{x^{2}}{3}\,dx = \frac{x^{3}\log x}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C।

ध्यान देने योग्य

−x33-\frac{x^{3}}{3} में x23\frac{x^{2}}{3} का समाकलन भूल गए, जो x39\frac{x^{3}}{9} देता है।

प्रश्न 84

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫xe2x dx\int xe^{2x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 84 के विकल्प

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उत्तरB · xe2x2−e2x4+C\frac{xe^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C

  1. u=xu = x, dv=e2x dxdv = e^{2x}\,dx: v=e2x2v = \frac{e^{2x}}{2}।

  2. xe2x2−∫e2x2 dx=xe2x2−e2x4+C\frac{xe^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}\,dx = \frac{xe^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C।

ध्यान देने योग्य

+e2x4+\frac{e^{2x}}{4} में वह जोड़ा गया जो खंडशः घटाता है: ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du।

प्रश्न 85

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫tan⁡−1(x) dx\int \tan^{-1}{\left(x \right)}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 85 के विकल्प

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उत्तरD · xtan⁡−1x−12log⁡(1+x2)+Cx\tan^{-1} x - \frac{1}{2}\log(1 + x^2) + C

  1. u=tan⁡−1xu = \tan^{-1} x और dv=dxdv = dx लीजिए, छिपा गुणनखंड 1: तब v=xv = x।

  2. xtan⁡−1x−∫x1+x2 dx=xtan⁡−1x−12log⁡(1+x2)+Cx\tan^{-1} x - \int \frac{x}{1 + x^2}\,dx = x\tan^{-1} x - \frac{1}{2}\log(1 + x^2) + C।

ध्यान देने योग्य

∫x1+x2 dx\int \frac{x}{1 + x^2}\,dx का मान 12log⁡(1+x2)\frac{1}{2}\log(1 + x^2) है; 12\frac{1}{2} छोड़ने पर xtan⁡−1x−log⁡(1+x2)x\tan^{-1} x - \log(1 + x^2) आता है।

प्रश्न 86

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫x2ex dx\int x^{2} e^{x}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 86 के विकल्प

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उत्तरC · (x2−2x+2)ex+C\left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C

  1. खंडशः, ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du, जहाँ u=x2u = x^{2} और dv=ex dxdv = e^{x}\,dx, इसलिए v=exv = e^{x}।

  2. x2ex−∫2xex dx=(x2−2x+2)ex+Cx^{2} e^{x} - \int 2 x e^{x}\,dx = \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C।

ध्यान देने योग्य

दूसरा समाकल घटाने की जगह जोड़ देना वह भूल है जिस पर एक विकल्प बना है।

प्रश्न 87

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫xsec⁡2x dx\int x \sec^{2} x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 87 के विकल्प

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उत्तरB · xtan⁡x−log⁡∣sec⁡x∣+Cx\tan x - \log\left|\sec x\right| + C

  1. खंडशः, ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du, जहाँ u=xu = x और dv=sec⁡2x dxdv = \sec^{2} x\,dx, इसलिए v=sin⁡xcos⁡xv = \frac{\sin x}{\cos x}।

  2. xsin⁡xcos⁡x−∫tan⁡x dx=xtan⁡x−log⁡∣sec⁡x∣+C\frac{x \sin x}{\cos x} - \int \tan x\,dx = x\tan x - \log\left|\sec x\right| + C।

ध्यान देने योग्य

दूसरा समाकल घटाने की जगह जोड़ देना वह भूल है जिस पर एक विकल्प बना है।

प्रश्न 88

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫exsin⁡x dx\int e^{x}\sin x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

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उत्तरA · ex(sin⁡x−cos⁡x)2+C\frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2} + C

  1. दो बार खंडशः: I=exsin⁡x−∫excos⁡x dx=exsin⁡x−excos⁡x−II = e^{x}\sin x - \int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\sin x - e^{x}\cos x - I।

  2. इसलिए 2I=ex(sin⁡x−cos⁡x)2I = e^{x}(\sin x - \cos x) और I=ex(sin⁡x−cos⁡x)2+CI = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2} + C।

ध्यान देने योग्य

ex(sin⁡x+cos⁡x)2\frac{e^{x}(\sin x + \cos x)}{2} का अवकलज excos⁡xe^{x}\cos x है, इस युग्म का दूसरा समाकल।

प्रश्न 89

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫sin⁡−1x dx\int \sin^{-1} x\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 89 के विकल्प

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उत्तरC · xsin⁡−1x+1−x2+Cx\sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^{2}} + C

  1. इसे ∫1⋅sin⁡−1x dx\int 1 \cdot \sin^{-1} x\,dx लिखिए, u=sin⁡−1xu = \sin^{-1} x, dv=dxdv = dx: xsin⁡−1x−∫x1−x2 dxx\sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx।

  2. ∫x1−x2 dx=−1−x2\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = -\sqrt{1 - x^{2}}, इसलिए उत्तर xsin⁡−1x+1−x2+Cx\sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^{2}} + C है।

ध्यान देने योग्य

−1−x2-\sqrt{1 - x^{2}} में चिह्न छूटा: −1−x2-\sqrt{1 - x^{2}} घटाने पर वह जुड़ता है।

प्रश्न 90

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

∫log⁡xx2 dx\int \frac{\log x}{x^{2}}\,dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 90 के विकल्प

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उत्तरB · −log⁡xx−1x+C-\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C

  1. u=log⁡xu = \log x, dv=x−2 dxdv = x^{-2}\,dx लीजिए: v=−1xv = -\frac{1}{x}।

  2. −log⁡xx+∫1x2 dx=−log⁡xx−1x+C-\frac{\log x}{x} + \int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C।

ध्यान देने योग्य

+1x+\frac{1}{x} में ∫x−2 dx\int x^{-2}\,dx को +1x+\frac{1}{x} माना; यह −1x-\frac{1}{x} है।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।