उच्चतम और निम्नतम CUET गणित के Section A में आते हैं, वह सेक्शन जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, चाहे आप Mathematics लें या Applied Mathematics। ये अवकलजों को उत्तरों में बदलते हैं: सबसे ऊँचा बिंदु, सबसे कम लागत, सबसे बड़ा लाभ या क्षेत्रफल। क्रांतिक बिंदुओं और प्रथम तथा द्वितीय अवकलज परीक्षण से लेकर अंतराल पर अधिकतम और न्यूनतम मान और शाब्दिक प्रश्नों तक हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।
जिस गेंद को हम देखते आ रहे हैं, जो मीटर की ऊँचाई पर है, वह ऊपर जाती है और फिर गिरती है। किसी एक क्षण वह किसी भी और क्षण से ऊँची होती है: वह ऊँचाई का उच्चतम मान है। यह अध्याय ऐसे मान निकालता है, पहले देखकर, फिर अवकलजों से।
का उच्चतम मान वह मान है जिससे का कोई और मान बड़ा न हो: प्रांत के हर के लिए । निम्नतम मान वह मान है जिसमें हर के लिए । किसी फलन के दोनों, एक, या कोई भी नहीं हो सकते।
बहुत-से प्रश्न अवकलज के बिना हल हो जाते हैं, क्योंकि वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता और तथा , और 1 के बीच रहते हैं। इसलिए का निम्नतम मान है, पर, और उच्चतम कोई नहीं; और का कोई भी नहीं।
उदाहरण 1 · निरीक्षण से
के उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
, और 1 के बीच चलता है, इसलिए , और 3 के बीच।
4 जोड़ने पर , 1 और 7 के बीच चलता है।
उच्चतम मान 7, जब ; निम्नतम मान 1, जब ।
सावधान
देखिए क्या पूछा गया है: मान है, बिंदु है। विकल्पों में अक्सर दोनों होते हैं।
फलन का पर स्थानीय उच्चतम तब है जब , के पास के बिंदुओं में, उसके आसपास के किसी खुले अंतराल पर, सबसे बड़ा मान हो; स्थानीय निम्नतम में "सबसे छोटा"। "स्थानीय" शब्द महत्त्वपूर्ण है: स्थानीय उच्चतम एक चोटी है, ज़रूरी नहीं कि पूरे ग्राफ़ का सबसे ऊँचा बिंदु हो, और कोई स्थानीय निम्नतम मान किसी स्थानीय उच्चतम मान से बड़ा भी हो सकता है।
क्रांतिक बिंदु प्रांत का वह बिंदु है जहाँ हो या अवकलनीय न हो। अवकलनीय फलन का हर स्थानीय उच्चतम या निम्नतम किसी क्रांतिक बिंदु पर होता है, क्योंकि चोटी या गर्त पर स्पर्श रेखा समतल होती है। पर हर क्रांतिक बिंदु चोटी या गर्त नहीं होता।
प्रथम अवकलज परीक्षण
क्रांतिक बिंदु पर: यदि , से हो, तो स्थानीय उच्चतम है; यदि से हो, तो स्थानीय निम्नतम; यदि चिह्न न बदले, तो कोई नहीं।
उदाहरण 2 · दो क्रांतिक बिंदु
के स्थानीय उच्चतम और निम्नतम ज्ञात कीजिए।
, इसलिए क्रांतिक बिंदु और हैं।
, 0 से पहले धनात्मक, 0 और 2 के बीच ऋणात्मक, और 2 के बाद धनात्मक है।
पर स्थानीय उच्चतम, मान ; पर स्थानीय निम्नतम, मान ।
सावधान
में , फिर भी , 2 के दोनों ओर धनात्मक है। इसलिए ऐसा क्रांतिक बिंदु है जो न उच्चतम है न निम्नतम, एक नति परिवर्तन बिंदु। का वर्ग गुणनखंड कभी चिह्न नहीं बदलता।
वाले क्रांतिक बिंदु पर देखिए। यदि यह ऋणात्मक है, तो ग्राफ़ पहाड़ी की चोटी की तरह नीचे की ओर मुड़ता है, और स्थानीय उच्चतम है; यदि धनात्मक है, तो ग्राफ़ कटोरे की तरह ऊपर की ओर मुड़ता है, और स्थानीय निम्नतम है; यदि 0 है, तो परीक्षण कुछ तय नहीं करता, और प्रथम अवकलज परीक्षण लगाना पड़ता है।
गेंद के लिए , पर, और : उच्चतम। उसकी अधिकतम ऊँचाई मीटर है।
उदाहरण 3 · द्वितीय अवकलज परीक्षण से मान
के स्थानीय उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
, जो और पर 0 है।
: , उच्चतम; , निम्नतम।
और ।
स्थानीय उच्चतम मान 12, पर; स्थानीय निम्नतम मान , पर।
सावधान
का अर्थ "कोई चरम नहीं" नहीं है। में , पर , इसलिए 0 निम्नतम है। जब द्वितीय अवकलज परीक्षण विफल हो, तो के चिह्न पर लौटिए।
बंद अंतराल पर संतत फलन का वहाँ सदा एक अधिकतम और एक न्यूनतम मान होता है, उसका निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम। ये केवल अंतराल के भीतर किसी क्रांतिक बिंदु पर या दोनों में से किसी सिरे पर हो सकते हैं।
अंतराल के भीतर पड़ने वाले क्रांतिक बिंदु निकालिए, फिर उन सब पर और दोनों सिरों पर का मान निकालिए। इन संख्याओं में सबसे बड़ी निरपेक्ष उच्चतम है और सबसे छोटी निरपेक्ष निम्नतम; द्वितीय अवकलज की ज़रूरत नहीं।
उदाहरण 4 · सिरा जीत जाता है
पर के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
, इसलिए क्रांतिक बिंदु और हैं, दोनों भीतर।
, , और ।
अधिकतम मान 154 है, सिरे पर; न्यूनतम मान है, पर।
का स्थानीय उच्चतम, मान 54, यहाँ अधिकतम मान नहीं है: सिरा उससे आगे निकल जाता है। इसीलिए सिरे सदा जाँचे जाते हैं।
जिस राशि को सबसे बड़ा या सबसे छोटा बनाना है, उसका नाम रखिए और उसे मापों के पदों में लिखिए। प्रश्न में दी गई शर्त से उसे एक चर में बदलिए, फिर क्रांतिक बिंदु निकालिए और प्रथम या द्वितीय अवकलज परीक्षण से पुष्टि कीजिए। ठीक वही उत्तर दीजिए जो पूछा गया है: लंबाई, क्षेत्रफल या इकाइयों की संख्या।
उदाहरण 5 · सबसे सस्ता डिब्बा
वर्गाकार आधार वाले खुले डिब्बे में 500 cm³ आना चाहिए। किस माप पर सबसे कम सामग्री लगेगी?
आधार की भुजा और ऊँचाई हो: , इसलिए ।
सामग्री आधार और चार पार्श्वों की है: ।
से , ; , निम्नतम।
आधार 10 cm × 10 cm और ऊँचाई cm, जिसमें cm² लगता है।
मुख्य बात
तीन परिणाम इतनी बार आते हैं कि याद रखने लायक हैं। यदि दो संख्याओं का योग निश्चित हो, तो उनका गुणनफल तब अधिकतम होता है जब वे बराबर हों। दिए गए परिमाप वाले सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है। दिए गए आयतन वाला बंद बेलन तब सबसे कम धातु लेता है जब उसकी ऊँचाई उसके व्यास के बराबर हो।
मान
स्थानीय चरम
निरपेक्ष और अनुप्रयोग
अवकलन का एक प्रतिलोम है, और वह वक्र के नीचे का क्षेत्रफल देता है: अनिश्चित समाकलन।
80 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का निम्नतम मान क्या है?
उत्तरC ·
वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए और ।
पर वर्ग 0 है, जहाँ : निम्नतम मान 5 है। (उच्चतम कोई नहीं: बिना सीमा के बढ़ता है।)
ध्यान देने योग्य
वह बिंदु है जहाँ निम्नतम मिलता है; प्रश्न मान पूछता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का उच्चतम मान क्या है?
उत्तरB ·
, अंदर के 3 से फ़र्क नहीं पड़ता, और 1 के बीच रहता है, इसलिए , और 2 के बीच।
इसलिए , 3 और 7 के बीच है, और उसका उच्चतम मान 7 है।
ध्यान देने योग्य
8 में ज्या के अंदर के 3 से गुणा कर दिया; वह दोलन की गति बदलता है, ऊँचाई नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का उच्चतम मान क्या है?
उत्तरB ·
, इसलिए ।
पर वर्ग 0 है और , इसलिए उच्चतम मान 7 है।
ध्यान देने योग्य
उच्चतम का बिंदु है, उसका मान नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का निम्नतम मान क्या है?
उत्तरC ·
वर्ग पूरा कीजिए: ।
, और पर यह 0 है, इसलिए निम्नतम मान 3 है।
ध्यान देने योग्य
2 वह बिंदु है जहाँ निम्नतम मिलता है; प्रश्न मान पूछता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का उच्चतम मान क्या है?
उत्तरD ·
, इसलिए का मान से 4 तक है।
उच्चतम, पर, है।
ध्यान देने योग्य
1 निम्नतम है, पर: ऋण चिह्न कोज्या के शिखर को का सबसे निचला बिंदु बना देता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का उच्चतम मान क्या है?
उत्तरB ·
, इसलिए ।
पर : उच्चतम मान 3 है। निम्नतम कोई नहीं।
ध्यान देने योग्य
उच्चतम का बिंदु है, उसका मान नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का निम्नतम मान क्या है?
उत्तरD ·
पूर्ण वर्ग बनाइए: ।
वर्ग का न्यूनतम मान 0, पर है, इसलिए निम्नतम मान 3 है।
ध्यान देने योग्य
4 तो है, पर परवलय 0 के ठीक बाईं ओर 3 तक नीचे जाता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरC ·
, 2 और 4 के बीच है, इसलिए सदा धनात्मक है और निरपेक्ष मान कुछ नहीं बदलता।
न्यूनतम मान 2 है, जब ।
ध्यान देने योग्य
0 मान लेता है कि निरपेक्ष मान सदा 0 तक पहुँच सकता है; यहाँ अंदर वाला कभी 0 नहीं होता।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर के बारे में कौन-सा सही है?
उत्तरA · उसका न उच्चतम मान है न निम्नतम मान
बढ़ने पर बिना सीमा के बढ़ता है, और घटने पर बिना सीमा के घटता है।
इसलिए किसी भी संख्या से ऊपर और नीचे के मान लेता है: न उच्चतम है न निम्नतम।
ध्यान देने योग्य
2 तो है; उससे छोटा और बड़ा है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।
I. का निम्नतम मान 2 है।
II. का उच्चतम मान 3 है।
उत्तरA · केवल I
, पर 0, इसलिए निम्नतम मान 2 है: I सही है।
बिना सीमा के बढ़ता है, इसलिए उच्चतम नहीं है: II गलत है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का उच्चतम मान क्या है?
उत्तरC ·
को लिखा जा सकता है, इसलिए इसका मान से तक है।
।
ध्यान देने योग्य
7 में दोनों शिखर जोड़ दिए, पर और एक ही पर 1 नहीं होते।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।
I. का उच्चतम मान 3 और निम्नतम मान 1 है।
II. का उच्चतम मान 1 है और निम्नतम कोई नहीं।
उत्तरC · I और II दोनों
I: का मान से 1 तक है, इसलिए का 1 से 3 तक। सही।
II: , इसलिए , जो पर मिलता है; , 0 के पास आता है पर उस तक नहीं पहुँचता। सही।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर के बारे में कौन-सा सही है?
उत्तरD · इसका न उच्चतम मान है, न निम्नतम
बिना सीमा के बढ़ता है, इसलिए उच्चतम नहीं है।
यह 0 के जितना चाहें उतना पास आता है पर उस तक पहुँचता नहीं, क्योंकि ; इसलिए कोई मान न्यूनतम नहीं।
ध्यान देने योग्य
0 ऐसी सीमा है जो कभी नहीं मिलती, इसलिए यह निम्नतम मान नहीं; 1 केवल है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के क्रांतिक बिंदु क्या हैं?
उत्तरD ·
क्रांतिक बिंदु वहाँ हैं जहाँ : ।
इसलिए ।
ध्यान देने योग्य
गुणनखंडों से मूल पढ़ते समय चिह्न उलट देना आम भूल है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का स्थानीय निम्नतम किस बिंदु पर है?
उत्तरC ·
।
पर ऋणात्मक से धनात्मक होता है, इसलिए वहाँ पहले घटता फिर बढ़ता है: स्थानीय निम्नतम।
ध्यान देने योग्य
पर चिह्न उलटी तरह बदलता है: वह स्थानीय उच्चतम है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के क्रांतिक बिंदु क्या हैं?
उत्तरD ·
क्रांतिक बिंदु वहाँ हैं जहाँ : ।
इसलिए ।
ध्यान देने योग्य
प्रांत में नहीं है, इसलिए यहाँ यह क्रांतिक बिंदु नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के 2 से गुज़रने पर का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है। पर का क्या है?
उत्तरB · स्थानीय निम्नतम
2 से पहले ऋणात्मक का अर्थ है घटता है; बाद में धनात्मक का अर्थ है बढ़ता है।
पहले घटता फिर बढ़ता: पर स्थानीय निम्नतम।
ध्यान देने योग्य
स्थानीय उच्चतम उलटा परिवर्तन है, धनात्मक से ऋणात्मक।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
किसी फलन के लिए । उसके स्थानीय चरम कहाँ हैं?
उत्तरD · केवल पर स्थानीय निम्नतम
, इसलिए का चिह्न का चिह्न है: 1 से पहले ऋणात्मक, बाद में धनात्मक।
इसलिए स्थानीय निम्नतम है। पर दोनों ओर धनात्मक है: वहाँ कोई चरम नहीं।
ध्यान देने योग्य
वर्ग गुणनखंड चिह्न बदले बिना बनाता है, इसलिए क्रांतिक बिंदु है पर चरम नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
क्या का पर स्थानीय चरम है?
उत्तरA · नहीं: 0 पर का चिह्न नहीं बदलता, इसलिए यह नति परिवर्तन बिंदु है
, 0 के दोनों ओर धनात्मक है।
से 0 क्रांतिक बिंदु है, पर चिह्न न बदलने से न उच्चतम है न निम्नतम।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।
I. अवकलनीय फलन का हर स्थानीय उच्चतम क्रांतिक बिंदु है।
II. अवकलनीय फलन का हर क्रांतिक बिंदु स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम है।
उत्तरA · केवल I
अवकलनीय फलन के स्थानीय उच्चतम पर , इसलिए I सही है।
का क्रांतिक बिंदु 0 न उच्चतम है न निम्नतम, इसलिए II गलत है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के क्रांतिक बिंदु क्या हैं?
उत्तरB ·
क्रांतिक बिंदु वहाँ हैं जहाँ : ।
इसलिए ।
ध्यान देने योग्य
गुणनखंडों से मूल पढ़ते समय चिह्न उलट देना आम भूल है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का स्थानीय उच्चतम किस बिंदु पर है?
उत्तरD ·
।
पर धनात्मक से ऋणात्मक होता है, इसलिए वहाँ पहले बढ़ता फिर घटता है: स्थानीय उच्चतम।
ध्यान देने योग्य
पर चिह्न उलटी तरह बदलता है: वह स्थानीय निम्नतम है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का स्थानीय उच्चतम किस बिंदु पर है?
उत्तरA ·
।
पर धनात्मक से ऋणात्मक होता है, इसलिए वहाँ पहले बढ़ता फिर घटता है: स्थानीय उच्चतम।
ध्यान देने योग्य
पर चिह्न उलटी तरह बदलता है: वह स्थानीय निम्नतम है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के क्रांतिक बिंदु क्या हैं?
उत्तरB ·
क्रांतिक बिंदु वहाँ हैं जहाँ : ।
इसलिए ।
ध्यान देने योग्य
जैसा दोहराया गुणनखंड भी क्रांतिक बिंदु देता है, भले ही वहाँ का चिह्न न बदले।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का स्थानीय निम्नतम किस बिंदु पर है?
उत्तरC ·
।
पर ऋणात्मक से धनात्मक होता है, इसलिए वहाँ पहले घटता फिर बढ़ता है: स्थानीय निम्नतम।
ध्यान देने योग्य
पर चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक होता है: वह स्थानीय उच्चतम है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के स्थानीय निम्नतम किन बिंदुओं पर हैं?
उत्तरB · और
, जो , 0 और 2 पर 0 है।
इन बिंदुओं के पार का चिह्न चलता है: और 2 पर ऋणात्मक से धनात्मक (निम्नतम) और 0 पर धनात्मक से ऋणात्मक (उच्चतम)।
ध्यान देने योग्य
भी क्रांतिक बिंदु है, पर वहाँ पहले बढ़ता फिर घटता है: स्थानीय उच्चतम।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
I. स्थानीय उच्चतम पर का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक होता है।
II. किसी फलन का कोई स्थानीय निम्नतम मान उसके किसी स्थानीय उच्चतम मान से बड़ा हो सकता है।
III. स्थानीय उच्चतम मान सदा फलन का अधिकतम मान होता है।
IV. यदि का पर स्थानीय निम्नतम है और का अस्तित्व है, तो ।
उत्तरC · केवल I, II और IV
I प्रथम अवकलज परीक्षण है, और IV इसलिए सही है कि अवकलनीय फलन की चोटी या गर्त पर स्पर्श रेखा समतल होती है। II के लिए: का पर स्थानीय उच्चतम मान और पर स्थानीय निम्नतम मान 2 है।
III गलत है: 'स्थानीय' का अर्थ केवल आसपास के बिंदुओं में है। का पर स्थानीय उच्चतम मान 2 है, फिर भी ।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
किसी फलन के लिए । उसका स्थानीय निम्नतम कहाँ है?
उत्तरA · केवल पर
के चिह्न: पर धनात्मक, और पर ऋणात्मक, पर धनात्मक।
ऋणात्मक से धनात्मक केवल पर: स्थानीय निम्नतम। पर धनात्मक से ऋणात्मक (स्थानीय उच्चतम); पर चिह्न नहीं बदलता।
ध्यान देने योग्य
वर्ग गुणनखंड से होता है पर चिह्न नहीं बदलता, इसलिए चरम बिंदु नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
I. यदि क्रांतिक बिंदु पर का चिह्न नहीं बदलता, तो स्थानीय चरम बिंदु नहीं है।
II. हर क्रांतिक बिंदु स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम होता है।
III. का 0 पर स्थानीय निम्नतम है, यद्यपि का अस्तित्व नहीं है।
IV. किसी फलन का स्थानीय उच्चतम मान उसी फलन के स्थानीय निम्नतम मान से छोटा हो सकता है।
उत्तरD · केवल I, III और IV
I प्रथम अवकलज परीक्षण की तीसरी स्थिति है, और III सही है क्योंकि 0 के पास ।
IV: का स्थानीय उच्चतम मान और स्थानीय निम्नतम मान 2 है। II गलत है: का 0 पर क्रांतिक बिंदु दोनों में से कुछ नहीं।
ध्यान देने योग्य
'स्थानीय' का अर्थ है केवल पास के बिंदुओं से तुलना, इसीलिए IV संभव है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का स्थानीय उच्चतम मान क्या है?
उत्तरC ·
, और पर।
: , इसलिए स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
वहाँ मान है।
ध्यान देने योग्य
वह बिंदु है जहाँ यह होता है, मान नहीं; और स्थानीय निम्नतम मान है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दो बार अवकलनीय के लिए और । द्वितीय अवकलज परीक्षण के बारे में क्या कहता है?
उत्तरB · स्थानीय उच्चतम
क्रांतिक बिंदु पर का अर्थ स्थानीय उच्चतम, का स्थानीय निम्नतम।
यहाँ , इसलिए यह स्थानीय उच्चतम है।
ध्यान देने योग्य
ऋणात्मक द्वितीय अवकलज का अर्थ है कि ग्राफ़ नीचे की ओर मुड़ता है, पहाड़ी की चोटी की तरह।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का स्थानीय निम्नतम मान क्या है?
उत्तरB ·
, और पर।
: , इसलिए स्थानीय निम्नतम बिंदु है।
वहाँ मान है।
ध्यान देने योग्य
वह बिंदु है जहाँ यह होता है, मान नहीं; और स्थानीय उच्चतम मान है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के लिए का स्थानीय निम्नतम मान क्या है?
उत्तरB ·
, पर, और वहाँ : स्थानीय निम्नतम।
मान है।
ध्यान देने योग्य
3 वह बिंदु है जहाँ निम्नतम मिलता है; मान है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
। सूची I की हर प्रविष्टि को सूची II में उसके मान से मिलाइए।
| सूची I | सूची II |
|---|---|
| A. स्थानीय उच्चतम का बिंदु | I. |
| B. स्थानीय निम्नतम का बिंदु | II. |
| C. स्थानीय उच्चतम मान | III. |
| D. स्थानीय निम्नतम मान | IV. |
उत्तरA · A-II, B-IV, C-I, D-III
और : (उच्चतम) और (निम्नतम)।
और ।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दो बार अवकलनीय के लिए और । द्वितीय अवकलज परीक्षण के बारे में क्या कहता है?
उत्तरD · कुछ नहीं: परीक्षण विफल
क्रांतिक बिंदु पर का अर्थ स्थानीय उच्चतम, का स्थानीय निम्नतम।
जब हो, परीक्षण कुछ तय नहीं करता: तब प्रथम अवकलज परीक्षण लगाइए।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का स्थानीय उच्चतम मान क्या है?
उत्तरA ·
, पर, और ।
: स्थानीय उच्चतम, मान । ( पर स्थानीय निम्नतम मान 2 है।)
ध्यान देने योग्य
2 स्थानीय निम्नतम मान है: यहाँ स्थानीय उच्चतम दोनों में छोटा है, क्योंकि ग्राफ़ की दो अलग शाखाएँ हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
, , का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरC ·
से , इसलिए ; , निम्नतम।
।
ध्यान देने योग्य
2 वह बिंदु है जहाँ निम्नतम मिलता है, मान नहीं; 17 तो है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का स्थानीय उच्चतम मान क्या है?
उत्तरD ·
, और पर।
: , इसलिए स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
वहाँ मान है।
ध्यान देने योग्य
वह बिंदु है जहाँ यह होता है, मान नहीं; और स्थानीय निम्नतम मान है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का स्थानीय निम्नतम मान क्या है?
उत्तरA ·
, और पर।
: , इसलिए स्थानीय निम्नतम बिंदु है।
वहाँ मान है।
ध्यान देने योग्य
वह बिंदु है जहाँ यह होता है, मान नहीं; और स्थानीय उच्चतम मान है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
अभिकथन (A): का पर स्थानीय निम्नतम है।
कारण (R): के लिए ।
उत्तरC · A सही है, लेकिन R गलत है।
हर के लिए , इसलिए 0 निम्नतम है: A सही है।
, इसलिए और R गलत है। यहाँ द्वितीय अवकलज परीक्षण विफल है, पर प्रथम अवकलज परीक्षण ( ऋणात्मक से धनात्मक) फिर भी निम्नतम पहचान लेता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का उच्चतम मान क्या है?
उत्तरA ·
, जो पर 0 है।
, और : उच्चतम, जिसका मान है।
ध्यान देने योग्य
1 वह बिंदु है जहाँ उच्चतम मिलता है, उसका मान नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का पर स्थानीय उच्चतम मान 8 है। क्या है?
उत्तरD ·
और ।
पहले से ; तब से और ।
ध्यान देने योग्य
तो है, जो उच्चतम के लिए ऋणात्मक होना चाहिए।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का स्थानीय उच्चतम मान क्या है?
उत्तरD ·
, और पर।
: , इसलिए स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
वहाँ मान है।
ध्यान देने योग्य
वह बिंदु है जहाँ यह होता है, मान नहीं; और स्थानीय निम्नतम मान है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के किस बिंदु पर का स्थानीय उच्चतम है?
उत्तरA ·
जब : या , इसलिए या ।
: पर यह , स्थानीय उच्चतम; पर , स्थानीय निम्नतम।
ध्यान देने योग्य
दूसरा क्रांतिक बिंदु है, जहाँ : स्थानीय निम्नतम। पर केवल का शिखर है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के स्थानीय चरम बिंदु और पर हैं। और क्या हैं?
उत्तरB ·
दोनों बिंदुओं पर 0 हो: और ।
घटाने पर: , इसलिए और । जाँच: ।
ध्यान देने योग्य
में को पढ़ा गया, के अवकलन से आने वाला गुणक 3 भुला दिया।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
के लिए का उच्चतम मान क्या है?
उत्तरC ·
, पर, यानी ।
से पहले धनात्मक और बाद में ऋणात्मक है, इसलिए उच्चतम मान है।
ध्यान देने योग्य
वह बिंदु है जहाँ उच्चतम मिलता है; मान है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
का स्थानीय उच्चतम मान क्या है?
उत्तरB ·
, जो और पर शून्य है।
2 पर धनात्मक से ऋणात्मक होता है, इसलिए स्थानीय उच्चतम मान है।
ध्यान देने योग्य
0 स्थानीय निम्नतम मान है, पर; 2 उच्चतम का बिंदु है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर का अधिकतम मान क्या है?
उत्तरC ·
अंतराल के भीतर क्रांतिक बिंदु: , पर।
वहाँ और दोनों सिरों पर की तुलना कीजिए: , , ।
अधिकतम मान है।
ध्यान देने योग्य
स्थानीय चरम सदा अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं होता: अंतराल के सिरे भी जाँचने होते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरA ·
अंतराल के भीतर , पर।
मान: , , , ; न्यूनतम मान है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर अपना अधिकतम मान कहाँ लेता है?
उत्तरB · पर, एक सिरा
, पर, जो निम्नतम है: ।
सिरे और देते हैं, इसलिए अधिकतम मान 5, पर है।
ध्यान देने योग्य
यहाँ एकमात्र क्रांतिक बिंदु न्यूनतम मान है; बंद अंतराल पर संतत फलन का अधिकतम मान किसी सिरे पर हो सकता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
अभिकथन (A): पर का अधिकतम मान 2 है।
कारण (R): बंद अंतराल पर स्थानीय उच्चतम मान सदा अधिकतम मान होता है।
उत्तरC · A सही है, लेकिन R गलत है।
; , , और की तुलना से अधिकतम मान 2 है: A सही है।
R गलत है: पर वही स्थानीय उच्चतम मान 2, सिरे के मान से पीछे रह जाता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर का अधिकतम मान क्या है?
उत्तरD ·
अंतराल के भीतर क्रांतिक बिंदु: , पर।
वहाँ और दोनों सिरों पर की तुलना कीजिए: , , , ।
अधिकतम मान है।
ध्यान देने योग्य
स्थानीय चरम सदा अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं होता: अंतराल के सिरे भी जाँचने होते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर का अधिकतम मान क्या है?
उत्तरD ·
अंतराल के भीतर , पर।
मान: , , ; अधिकतम मान है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरB ·
अंतराल के भीतर क्रांतिक बिंदु: , पर।
वहाँ और दोनों सिरों पर की तुलना कीजिए: , , , ।
न्यूनतम मान है।
ध्यान देने योग्य
स्थानीय चरम सदा अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं होता: अंतराल के सिरे भी जाँचने होते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरC ·
अंतराल के भीतर क्रांतिक बिंदु: , पर।
वहाँ और दोनों सिरों पर की तुलना कीजिए: , , ।
न्यूनतम मान है।
ध्यान देने योग्य
स्थानीय चरम सदा अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं होता: अंतराल के सिरे भी जाँचने होते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।
I. पर का अधिकतम मान 1 है।
II. पर का एक अधिकतम मान है।
उत्तरA · केवल I
I: पर बढ़ता है, इसलिए अधिकतम मान है। सही।
II: पर , 1 के जितना चाहें उतना पास आता है पर उस तक नहीं पहुँचता, इसलिए कोई मान अधिकतम नहीं। गलत।
ध्यान देने योग्य
संतत फलन अधिकतम और न्यूनतम मान निश्चित रूप से केवल बंद अंतराल पर पाता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर का अधिकतम मान क्या है?
उत्तरD ·
अंतराल के भीतर क्रांतिक बिंदु: , पर।
वहाँ और दोनों सिरों पर की तुलना कीजिए: , , , ।
अधिकतम मान है, अंतराल के एक सिरे पर।
ध्यान देने योग्य
स्थानीय उच्चतम मान है; अंतराल का सिरा उससे ऊँचा जाता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर का अधिकतम मान क्या है?
उत्तरD ·
अंतराल के भीतर क्रांतिक बिंदु: , पर।
वहाँ और दोनों सिरों पर की तुलना कीजिए: , , , ।
अधिकतम मान है, अंतराल के एक सिरे पर।
ध्यान देने योग्य
स्थानीय उच्चतम मान है; अंतराल का सिरा उससे ऊँचा जाता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरA ·
अंतराल के भीतर क्रांतिक बिंदु: , पर।
वहाँ और दोनों सिरों पर की तुलना कीजिए: , , , ।
न्यूनतम मान है।
ध्यान देने योग्य
स्थानीय चरम सदा अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं होता: अंतराल के सिरे भी जाँचने होते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर का न्यूनतम मान क्या है?
उत्तरA ·
, पर, जो में है।
, , । न्यूनतम है।
ध्यान देने योग्य
दाएँ सिरे का मान है, जो सबसे निचला बिंदु नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर अपना न्यूनतम मान किन बिंदुओं पर लेता है?
उत्तरB · और पर
, पर।
, , , : न्यूनतम मान , और दोनों पर आता है।
ध्यान देने योग्य
स्थानीय निम्नतम पर रुकने से सिरा छूट जाता है, जहाँ उतना ही नीचे है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
पर का अधिकतम मान क्या है?
उत्तरC ·
से : या , इसलिए ।
, , , और दोनों सिरों पर 0।
ध्यान देने योग्य
3 में दोनों शिखर, 2 और 1, जोड़ दिए, पर और का शिखर एक ही पर नहीं आता।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दो धनात्मक संख्याओं का योग 36 है। उनके गुणनफल का अधिकतम संभव मान क्या है?
उत्तरC ·
संख्याएँ और लीजिए; गुणनफल ।
, पर, और : उच्चतम, ।
ध्यान देने योग्य
18 उच्चतम पर हर संख्या है, गुणनफल नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक आयत का परिमाप 40 cm है। उसका अधिकतम संभव क्षेत्रफल cm² में क्या है?
उत्तरA ·
भुजाएँ और ; क्षेत्रफल ।
, पर: आयत वर्ग है, क्षेत्रफल ।
ध्यान देने योग्य
400 में पूरे परिमाप 40 को दो भुजाओं का योग मान लिया; दो भुजाओं का योग उसका आधा है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
जब मूल्य ₹ प्रति इकाई हो, तो दुकान इकाइयाँ बेचती है। कितनी इकाइयों पर आय अधिकतम होगी?
उत्तरB ·
आय ।
, पर, और : उच्चतम।
ध्यान देने योग्य
2,500 तो रुपये में अधिकतम आय है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल 64 है। उनके योग का न्यूनतम संभव मान क्या है?
उत्तरB ·
संख्याएँ और हों, तो योग , और , पर।
: निम्नतम, दोनों संख्याएँ 8 और योग 16।
ध्यान देने योग्य
8 हर संख्या है, उनका योग नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल 49 m² होना है। उसका न्यूनतम परिमाप m में कितना हो सकता है?
उत्तरC ·
भुजाएँ और हों, तो और , पर।
बगीचा 7 m का वर्ग है, परिमाप 28 m।
ध्यान देने योग्य
14 परिमाप का आधा है, दो आसन्न भुजाओं का योग।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दो धनात्मक संख्याओं का योग 16 है। उनके वर्गों के योग का न्यूनतम संभव मान क्या है?
उत्तरB ·
, इसलिए , पर।
, निम्नतम: ।
ध्यान देने योग्य
64 अधिकतम गुणनफल है, दूसरा प्रश्न।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के भीतर बनने वाले आयत का अधिकतम क्षेत्रफल cm² में क्या है?
उत्तरB ·
आयत का विकर्ण व्यास 10 है। भुजाएँ और हों, तो और क्षेत्रफल ।
तब अधिकतम है जब , यानी : तब भी, एक वर्ग, और ।
ध्यान देने योग्य
100 तो व्यास पर बना वर्ग है; सबसे अच्छा आयत, विकर्ण 10 वाला वर्ग, उसका आधा क्षेत्रफल रखता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक किसान के पास एक सीधी दीवार के साथ आयताकार भूखंड के लिए 100 m बाड़ है, इसलिए केवल तीन भुजाओं पर बाड़ लगानी है। वह अधिकतम कितना क्षेत्रफल (m² में) घेर सकता है?
उत्तरC ·
दीवार के समांतर भुजा और बाकी दो : , क्षेत्रफल ।
, पर, इसलिए और ।
ध्यान देने योग्य
625 में चारों भुजाओं पर बाड़ मानी गई, जैसे दीवार हो ही नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इकाइयाँ बेचने पर एक फर्म का लाभ, हज़ार रुपये में, है। अधिकतम लाभ क्या है?
उत्तरD ·
, पर; , उच्चतम।
हज़ार रुपये।
ध्यान देने योग्य
30 वह इकाई संख्या है जिससे यह लाभ मिलता है, स्वयं लाभ नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।
I. दिए गए परिमाप वाले सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है।
II. दिए गए आयतन वाले सभी बंद बेलनों में न्यूनतम पृष्ठ वाले बेलन की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर होती है।
उत्तरA · केवल I
परिमाप हो, तो क्षेत्रफल , पर अधिकतम है: बराबर भुजाएँ, एक वर्ग। I सही है।
बेलन के लिए सबसे अच्छी ऊँचाई व्यास है, , त्रिज्या नहीं, इसलिए II गलत है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
10 cm कर्ण वाले समकोण त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल cm² में क्या है?
उत्तरC ·
पाद और हों, तो और क्षेत्रफल ।
इसका वर्ग, , तब अधिकतम है जब : तब भी, और क्षेत्रफल ।
ध्यान देने योग्य
24 तो 6-8-10 त्रिभुज है; समद्विबाहु समकोण त्रिभुज उससे बड़ा है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
120 m बाड़ से एक आयताकार खेत घेरना है और उसे एक भुजा के समांतर एक बाड़ से दो भागों में बाँटना भी है। अधिकतम कितना क्षेत्रफल (m² में) घेरा जा सकता है?
उत्तरB ·
वह भुजा जिस पर तीन बार बाड़ लगती है (दो भुजाएँ और विभाजक), दूसरी: , इसलिए ।
, पर, इसलिए और ।
ध्यान देने योग्य
900 विभाजक बाड़ भूल जाता है: 30 m का वर्ग अकेले बाहरी भाग पर ही पूरी 120 m लगा देता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक फ़र्म इकाइयाँ ₹ प्रति इकाई बेचती है, और उन्हें बनाने की लागत ₹ है। कितनी इकाइयों पर लाभ अधिकतम होगा?
उत्तरA ·
लाभ ।
, पर, और : उच्चतम।
ध्यान देने योग्य
15 केवल आय को अधिकतम करता है; प्रति इकाई लागत सर्वोत्तम उत्पादन को नीचे खींचती है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
धनात्मक संख्याएँ और , को संतुष्ट करती हैं। के किस मान पर अधिकतम है?
उत्तरD ·
रखने पर , इसलिए ।
धनात्मक के लिए , पर; वहाँ धनात्मक से ऋणात्मक होता है, इसलिए यह उच्चतम है, के साथ।
ध्यान देने योग्य
10 तो का मान है; पर घात 3 बड़ा हिस्सा की ओर खींचती है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
24 cm भुजा वाली वर्गाकार चादर के कोनों से बराबर वर्ग काटकर किनारे मोड़कर एक खुला डिब्बा बनाया जाता है। किस भुजा (cm में) का वर्ग काटने पर आयतन अधिकतम होगा?
उत्तरA ·
आयतन , के लिए।
से (दूसरा मूल 12 कोई चादर नहीं छोड़ता)।
cm पर आयतन cm³ है, जो अधिकतम है।
ध्यान देने योग्य
12 cm, का दूसरा मूल है; उससे पूरी चादर ही कट जाती है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक बंद बेलनाकार डिब्बे में cm³ आना चाहिए। किस त्रिज्या (cm में) पर सबसे कम धातु लगेगी?
उत्तरA ·
, इसलिए , और पृष्ठ ।
से , ।
तब : सबसे अच्छे डिब्बे की ऊँचाई उसके व्यास के बराबर होती है।
ध्यान देने योग्य
10 cm सबसे अच्छे आकार पर ऊँचाई है, त्रिज्या नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक बंद बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल cm² है। उसका अधिकतम संभव आयतन cm³ में क्या है?
उत्तरD ·
से , इसलिए ।
, पर, और : तब और ।
ध्यान देने योग्य
में , त्रिज्या, ली गई, नहीं: सर्वोत्तम आकार में ऊँचाई व्यास के बराबर है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
बिंदु से परवलय की न्यूनतम दूरी क्या है?
उत्तरB ·
परवलय पर बिंदु है; से इसकी दूरी का वर्ग है।
से , जहाँ ; दूरी है।
ध्यान देने योग्य
2 शीर्ष तक की दूरी है, जो निकटतम बिंदु नहीं; दूरी का वर्ग है।
NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।