फलन f किसी अंतराल I पर निरंतर वर्धमान कहलाता है जब I के x₁ और x₂ के लिए

x₁ < x₂ से सदा f(x₁) < f(x₂) मिलता है

x₁ < x₂ से सदा f(x₁) ≤ f(x₂) मिलता है

कम से कम एक जोड़े के लिए x₁ < x₂ से f(x₁) < f(x₂) मिलता है

CUET गणित के लिए वर्धमान और ह्रासमान फलन

Q: वर्धमान फलन क्या होता है?

फलन f किसी अंतराल I पर निरंतर वर्धमान है जब बड़ा निवेश सदा बड़ा निर्गत दे: I में x₁ f(x₂) ।

Q: फलन किन अंतरालों पर वर्धमान है, यह कैसे निकालते हैं?

f'(x) = 0 हल करके वे बिंदु निकालिए जहाँ चिह्न बदल सकता है, और उन्हें, और जहाँ f परिभाषित न हो ऐसे बिंदुओं को, संख्या रेखा पर अंकित कीजिए। ये रेखा को अंतरालों में काटते हैं। हर अंतराल में किसी एक परीक्षण बिंदु पर f' का चिह्न पूरे अंतराल का चिह्न है: धनात्मक यानी वर्धमान, ऋणात्मक यानी ह्रासमान।

Q: ज्या और कोज्या कहाँ वर्धमान हैं?

sin x, (-π/2, π/2) पर निरंतर वर्धमान है, जहाँ उसका अवकलज cos x धनात्मक है, और (π/2, 3π/2) पर निरंतर ह्रासमान। cos x, (0, π) पर निरंतर ह्रासमान है, जहाँ उसका अवकलज -sin x ऋणात्मक है, और (π, 2π) पर निरंतर वर्धमान। यह क्रम हर 2π पर दोहराता है।

Q: k कैसे निकालें कि फलन R पर वर्धमान रहे?

हर वास्तविक x के लिए f'(x) ≥ 0 की माँग कीजिए और उसे k पर शर्त में बदलिए। जब f'(x) एक द्विघात ax^2 + bx + c हो, तो वह ठीक तब ≥ 0 रहता है जब a > 0 और विविक्तकर b^2 - 4ac ≤ 0 ।

सीखने में लगभग 5 मिनट · 74 प्रश्न

वर्धमान और ह्रासमान फलन CUET गणित के Section A में आते हैं, वह सेक्शन जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, चाहे आप Mathematics लें या Applied Mathematics। सारा काम एक विचार करता है: अवकलज का चिह्न बताता है कि फलन कहाँ बढ़ता है और कहाँ घटता है, और यही विचार अगले अध्याय में उच्चतम और निम्नतम भी निकालता है। परिभाषा से लेकर अंतराल निकालने और अचर पर शर्तों तक हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र: Section A1

इस पृष्ठ पर · 10 भाग

01वर्धमान और ह्रासमान का अर्थ
02अवकलज परीक्षण
03अंतराल निकालना
04त्रिकोणमितीय फलन
05अचर पर शर्तें
06CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
07परीक्षा के लिए शॉर्टकट
08आम भूलें
09त्वरित पुनरावृत्ति
10अपनी समझ जाँचें

वर्धमान और ह्रासमान का अर्थ

पिछले अध्याय की गेंद, जो $t$ सेकंड बाद $h = 20t - 5t^2$ मीटर की ऊँचाई पर है, 2 सेकंड तक चढ़ती है और फिर वापस गिरकर $t = 4$ पर ज़मीन पर आती है। अंतराल $(0, 2)$ पर बाद का समय सदा अधिक ऊँचाई का अर्थ है; $(2, 4)$ पर सदा कम ऊँचाई का। यही दो वाक्य ठीक-ठीक परिभाषाएँ हैं।

वर्धमान फलन क्या होता है?

फलन $f$ किसी अंतराल $I$ पर निरंतर वर्धमान है जब बड़ा निवेश सदा बड़ा निर्गत दे: $I$ में $x_1 < x_2$ के लिए $f(x_1) < f(x_2)$ । यह निरंतर ह्रासमान है जब बड़ा निवेश सदा छोटा निर्गत दे: $x_1 < x_2$ से $f(x_1) > f(x_2)$ ।

$<$ की जगह $\le$ हो, तो फलन केवल वर्धमान है, और वह कुछ देर समतल भी रह सकता है; $\ge$ हो, तो केवल ह्रासमान। इसलिए हर निरंतर वर्धमान फलन वर्धमान है, पर अचर फलन वर्धमान होते हुए भी निरंतर वर्धमान नहीं है।

उदाहरण 1 · परिभाषा से

दिखाइए कि $f(x) = 2x + 9$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

कोई भी $x_1 < x_2$ लीजिए। तब $2x_1 < 2x_2$ , और 9 जोड़ने पर क्रम बना रहता है: $2x_1 + 9 < 2x_2 + 9$ ।
यानी हर ऐसे जोड़े के लिए $f(x_1) < f(x_2)$ ।

उत्तर

$f$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है। ढाल 2 तय करती है; अचर 9 रेखा को केवल ऊपर खिसकाता है।

यही जाँच दिखाती है कि $f(x) = \frac{1}{x}$ , $(0, \infty)$ पर निरंतर ह्रासमान है: $0 < x_1 < x_2$ के लिए $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$ । फलन किसी बिंदु $x_0$ पर भी वर्धमान या ह्रासमान हो सकता है, जिसका अर्थ है कि वह $x_0$ के आसपास किसी छोटे खुले अंतराल पर वैसा है।

अवकलज परीक्षण

हर जोड़े के बिंदुओं की जाँच धीमी है। अवकलज ग्राफ़ की ढाल है, और जो ग्राफ़ किसी अंतराल पर हर जगह ऊपर की ओर ढलान वाला हो, वह वहाँ बढ़ रहा है।

कैसे जाँचें कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान?

उसका अवकलज निकालिए और अंतराल पर उसका चिह्न देखिए। यदि अंतराल के हर बिंदु पर $f'(x) > 0$ , तो $f$ वहाँ निरंतर वर्धमान है; यदि हर बिंदु पर $f'(x) < 0$ , तो निरंतर ह्रासमान; और यदि हर बिंदु पर $f'(x) = 0$ , तो अचर।

उदाहरण 2 · हर जगह वर्धमान

दिखाइए कि $f(x) = x^3 + 5x - 1$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

$f'(x) = 3x^2 + 5$ ।
हर $x$ के लिए $3x^2 \ge 0$ , इसलिए $f'(x) \ge 5 > 0$ ।

उत्तर

हर जगह $f'(x) > 0$ , इसलिए $f$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

सावधान

परीक्षण उलटा नहीं चलता। $f(x) = x^5$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है, फिर भी $f'(0) = 0$ । जो अवकलज केवल अलग-अलग बिंदुओं पर 0 को छूता है और दोनों ओर एक ही चिह्न का रहता है, वह फलन को निरंतर वर्धमान होने से नहीं रोकता। इसलिए "निरंतर वर्धमान" का अर्थ "हर जगह $f'(x) > 0$ " नहीं है।

अंतराल निकालना

फलन किन अंतरालों पर वर्धमान है, यह कैसे निकालते हैं?

$f'(x) = 0$ हल करके वे बिंदु निकालिए जहाँ चिह्न बदल सकता है, और उन्हें, और जहाँ $f$ परिभाषित न हो ऐसे बिंदुओं को, संख्या रेखा पर अंकित कीजिए। ये रेखा को अंतरालों में काटते हैं। हर अंतराल में किसी एक परीक्षण बिंदु पर $f'$ का चिह्न पूरे अंतराल का चिह्न है: धनात्मक यानी वर्धमान, ऋणात्मक यानी ह्रासमान।

उदाहरण 3 · एक त्रिघात

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1$ निरंतर वर्धमान और निरंतर ह्रासमान है।

$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2)$ , जो $x = 1$ और $x = 2$ पर 0 है।
हर टुकड़े में चिह्न जाँचिए:

अंतराल	परीक्षण बिंदु	$f'(x)$ का चिह्न	$f$ है
$(-\infty, 1)$	$x = 0$	$6(-1)(-2) > 0$	वर्धमान
$(1, 2)$	$x = 1.5$	$6(0.5)(-0.5) < 0$	ह्रासमान
$(2, \infty)$	$x = 3$	$6(2)(1) > 0$	वर्धमान

उत्तर

$(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान और $(1, 2)$ पर निरंतर ह्रासमान।

सावधान

जिस बिंदु पर फलन परिभाषित न हो, वह भी रेखा को बाँटता है। $f(x) = x + \frac{9}{x}$ में $f'(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2}$ , जो $0 < \lvert x \rvert < 3$ के लिए ऋणात्मक है, इसलिए $f$ , $(-3, 0) \cup (0, 3)$ पर घटता है, कभी $x = 0$ के पार नहीं।

$f'(x)$ में $(x - 2)^2$ जैसा वर्ग गुणनखंड अपने मूल पर 0 होता है पर वहाँ चिह्न नहीं बदलता, इसलिए वह वर्धन या ह्रास के अंतराल को नहीं बाँटता।

त्रिकोणमितीय फलन

ज्या और कोज्या कहाँ वर्धमान हैं?

$\sin x$ , $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ पर निरंतर वर्धमान है, जहाँ उसका अवकलज $\cos x$ धनात्मक है, और $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$ पर निरंतर ह्रासमान। $\cos x$ , $(0, \pi)$ पर निरंतर ह्रासमान है, जहाँ उसका अवकलज $-\sin x$ ऋणात्मक है, और $(\pi, 2\pi)$ पर निरंतर वर्धमान। यह क्रम हर $2\pi$ पर दोहराता है।

गुणित कोण में अंतराल छोटे हो जाते हैं: $\cos kx$ तब तक घटता है जब तक $kx$ , 0 से $\pi$ तक चलता है, यानी $\left(0, \frac{\pi}{k}\right)$ पर।

उदाहरण 4 · दोगुना कोण

$(0, \pi)$ पर $f(x) = \cos 2x$ कहाँ वर्धमान और कहाँ ह्रासमान है?

$f'(x) = -2\sin 2x$ ।
$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के $x$ के लिए $2x$ , $(0, \pi)$ में है और $\sin 2x > 0$ , इसलिए $f'(x) < 0$ । $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ के $x$ के लिए $2x$ , $(\pi, 2\pi)$ में है और $\sin 2x < 0$ , इसलिए $f'(x) > 0$ ।

उत्तर

$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर ह्रासमान और $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ पर वर्धमान।

$\sin x + \cos x$ जैसे योग के लिए पहले अवकलज को एक ही ज्या या कोज्या के रूप में लिखिए: $\cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ , और उसी से चिह्न पढ़िए।

अचर पर शर्तें

k कैसे निकालें कि फलन R पर वर्धमान रहे?

हर वास्तविक $x$ के लिए $f'(x) \ge 0$ की माँग कीजिए और उसे $k$ पर शर्त में बदलिए। जब $f'(x)$ एक द्विघात $ax^2 + bx + c$ हो, तो वह ठीक तब $\ge 0$ रहता है जब $a > 0$ और विविक्तकर $b^2 - 4ac \le 0$ ।

उदाहरण 5 · एक त्रिघात जो कभी नहीं घटता

$k$ के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए $f(x) = x^3 - 6x^2 + kx + 1$ , $\mathbb{R}$ पर वर्धमान है।

$f'(x) = 3x^2 - 12x + k$ , ऊपर खुलने वाला परवलय।
यह तब $\ge 0$ रहता है जब इसका विविक्तकर $\le 0$ हो: $144 - 12k \le 0$ ।

उत्तर

k \ge 12

छोटे अंतराल पर शर्त अंतराल के उस बिंदु पर लागू होनी चाहिए जहाँ $f'$ सबसे छोटा हो। $f(x) = x^2 + ax$ के $(1, 4)$ पर बढ़ने के लिए $f'(x) = 2x + a$ , $x = 1$ से आगे $\ge 0$ होना चाहिए, जिससे $a \ge -2$ मिलता है। त्रिकोणमितीय पद हो, तो उसका चरम मान लीजिए: $kx + \cos x$ , $\mathbb{R}$ पर तब बढ़ता है जब हर $x$ के लिए $k - \sin x \ge 0$ , यानी $k \ge 1$ ।

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

परिभाषाएँ: निरंतर वर्धमान का अर्थ, या ह्रासमान $f$ के लिए $f(a) > f(b)$ से $a$ और $b$ के बारे में क्या पता चलता है, अक्सर कथन प्रश्न के रूप में।
पूरी रेखा: $x^3 + 2x$ या $2x + \cos x$ जैसा फलन $\mathbb{R}$ पर वर्धमान है या ह्रासमान।
अंतराल: कोई द्विघात, त्रिघात, चतुर्घात, घातांकीय या लघुगणकीय फलन कहाँ बढ़ता या घटता है।
त्रिकोणमितीय: वह अंतराल जिस पर $\sin x$ , $\cos x$ या कोई गुणित कोण बढ़ता या घटता है, या कई फलनों में से कौन किसी दिए अंतराल पर घटता है।
अचर: $k$ के वे मान या न्यूनतम मान जो फलन को वर्धमान रखें।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

किसी अंतराल पर $f'(x) > 0$ : वहाँ निरंतर वर्धमान; $f'(x) < 0$ : निरंतर ह्रासमान।
रैखिक फलन में केवल ढाल तय करती है; अचर पद कभी नहीं।
गुणनखंडित $f'$ का चिह्न: वर्ग गुणनखंड कभी चिह्न नहीं बदलता।
$\cos kx$ , $\left(0, \frac{\pi}{k}\right)$ पर घटता है।
$f'$ द्विघात हो: सभी $x$ के लिए $\ge 0$ जब $a > 0$ और $b^2 - 4ac \le 0$ ।
$e^x$ , $\log x$ और $x^3$ बढ़ते हैं; $e^{-x}$ घटता है।

आम भूलें

$f'$ का चिह्न उलटा पढ़कर ह्रास का अंतराल दे देना।
वर्ग गुणनखंड के शून्य पर अंतराल को बाँट देना।
जहाँ फलन परिभाषित न हो, उस बिंदु के पार अंतराल जोड़ देना।
यह मानना कि निरंतर वर्धमान फलन में हर बिंदु पर $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
अचर की शर्त में अंतराल का गलत सिरा लेना।

त्वरित पुनरावृत्ति

परिभाषाएँ

निरंतर वर्धमान: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
वर्धमान में $\le$ चलता है: अचर फलन वर्धमान है

अवकलज परीक्षण

$f' > 0$ : वर्धमान; $f' < 0$ : ह्रासमान; अंतराल पर $f' = 0$ : अचर
$f'$ के अलग-अलग शून्य निरंतर वर्धन नहीं बिगाड़ते

विधि

$f'(x) = 0$ हल कीजिए, रेखा बाँटिए, हर टुकड़े में एक बिंदु जाँचिए
$\sin x$ , $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ पर बढ़ता है; $\cos x$ , $(0, \pi)$ पर घटता है
सभी $x$ के लिए: $f'$ में $a > 0$ और $b^2 - 4ac \le 0$

जहाँ फलन बढ़ना बंद करके घटना शुरू करता है, वहाँ वह शिखर पर पहुँचता है: उच्चतम और निम्नतम।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

74 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

अंतराल पर वर्धमान और ह्रासमानप्र1 / 74प्र1

अंतराल पर वर्धमान और ह्रासमान

11 प्रश्न

प्रश्न 1

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

फलन $f$ किसी अंतराल $I$ पर निरंतर वर्धमान कहलाता है जब $I$ के $x_1$ और $x_2$ के लिए

x_1 < x_2

से सदा

f(x_1) \le f(x_2)

मिलता हैसही उत्तरआपका उत्तर

x_1 < x_2

से सदा

f(x_1) < f(x_2)

मिलता हैसही उत्तरआपका उत्तर

I

के हर बिंदु पर

f(x) > 0

सही उत्तरआपका उत्तरकम से कम एक जोड़े के लिए

x_1 < x_2

से

f(x_1) < f(x_2)

मिलता हैसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $x_1 < x_2$ से सदा $f(x_1) < f(x_2)$ मिलता है

निरंतर वर्धमान का अर्थ है कि $I$ के हर जोड़े के लिए बड़ा निवेश सदा निश्चित रूप से बड़ा निर्गत देता है।
$<$ की जगह $\le$ हो, तो फलन केवल वर्धमान है: वह समतल भी रह सकता है। धनात्मक $f(x)$ बढ़ने के बारे में कुछ नहीं बताता।

ध्यान देने योग्य

$\le$ वाला रूप वर्धमान की परिभाषा है, जिसे अचर फलन भी पूरा करता है।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = 5 - 3x$ का सही वर्णन कौन-सा है?

\mathbb{R}

पर निरंतर वर्धमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

के एक भाग में वर्धमान और दूसरे में ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर अचरसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर निरंतर ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\mathbb{R}$ पर निरंतर ह्रासमान

$x_1 < x_2$ के लिए $-3x_1 > -3x_2$ , इसलिए $5 - 3x_1 > 5 - 3x_2$ : बड़ा $x$ सदा छोटा मान देता है।
इसलिए $f$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर ह्रासमान है; इसका अवकलज $-3$ भी यही बताता है।

ध्यान देने योग्य

अचर पद 5 धनात्मक है, पर वह रेखा को केवल ऊपर खिसकाता है; ढाल $-3$ तय करता है।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $a > 0$ होने पर $f(x) = ax + b$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

II. $b < 0$ होने पर $f(x) = ax + b$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर ह्रासमान है।

केवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIसही उत्तरआपका उत्तरI और II दोनोंसही उत्तरआपका उत्तरन I, न IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

$f(x_2) - f(x_1) = a(x_2 - x_1)$ , इसलिए केवल $a$ का चिह्न तय करता है: I सही है।
$b$ रेखा को केवल ऊपर-नीचे खिसकाता है; बढ़ने या घटने पर उसका कोई असर नहीं, इसलिए II गलत है।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = x^2$ किस अंतराल पर निरंतर ह्रासमान है?

(0, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

सही उत्तरआपका उत्तर

(-1, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 0)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $(-\infty, 0)$

$x_1 < x_2 < 0$ के लिए वर्ग करने से क्रम उलट जाता है: उदाहरण के लिए $(-3)^2 > (-2)^2$ । इसलिए $x$ के 0 की ओर बढ़ने पर $x^2$ घटता है।
धनात्मक $x$ के लिए यह बढ़ता है, इसलिए यह केवल $(-\infty, 0)$ पर निरंतर ह्रासमान है।

ध्यान देने योग्य

$(0, \infty)$ पर वर्ग बढ़ता है: $2^2 < 3^2$ ।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$[1, 3]$ पर $f(x) = 5$ का सही वर्णन कौन-सा है?

निरंतर वर्धमानसही उत्तरआपका उत्तरवर्धमान भी और ह्रासमान भी, पर कोई भी निरंतर नहींसही उत्तरआपका उत्तरनिरंतर ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तरन वर्धमान, न ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · वर्धमान भी और ह्रासमान भी, पर कोई भी निरंतर नहीं

$x_1 < x_2$ के लिए $f(x_1) = f(x_2) = 5$ , इसलिए $f(x_1) \le f(x_2)$ और $f(x_1) \ge f(x_2)$ दोनों सही हैं।
यह कभी निरंतर नहीं: निरंतरता के लिए $f(x_1) < f(x_2)$ या $f(x_1) > f(x_2)$ चाहिए।

ध्यान देने योग्य

'न वर्धमान, न ह्रासमान' भूल जाता है कि वर्धमान और ह्रासमान की परिभाषाएँ बराबर मानों की छूट देती हैं।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर ह्रासमान है और $f(a) > f(b)$ । $a$ और $b$ के बारे में क्या कहा जा सकता है?

a > b

सही उत्तरआपका उत्तर

a = b

सही उत्तरआपका उत्तर

a < b

सही उत्तरआपका उत्तरकुछ नहीं: कोई भी क्रम संभव हैसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $a < b$

निरंतर ह्रासमान फलन क्रम उलट देता है: छोटा निवेश बड़ा निर्गत देता है।
यदि $a \ge b$ , तो $f(a) \le f(b)$ , जो दिया नहीं गया है। इसलिए $a < b$ ।

ध्यान देने योग्य

$a > b$ तो वर्धमान फलन का निष्कर्ष है।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है। $g(x) = f(-x)$ का सही वर्णन कौन-सा है?

\mathbb{R}

पर निरंतर वर्धमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर निरंतर ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

के एक भाग में वर्धमान और दूसरे में ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तरयह

f

पर निर्भर करता हैसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\mathbb{R}$ पर निरंतर ह्रासमान

$x_1 < x_2$ के लिए $-x_1 > -x_2$ , और $f$ क्रम बनाए रखता है, इसलिए $f(-x_1) > f(-x_2)$ ।
यानी $g(x_1) > g(x_2)$ : $g$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर ह्रासमान है, $f$ कुछ भी हो।

ध्यान देने योग्य

$x$ की जगह $-x$ रखने से ग्राफ़ $y$ -अक्ष में परावर्तित होता है, जिससे बढ़ना घटना बन जाता है।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $I$ पर हर निरंतर वर्धमान फलन, $I$ पर वर्धमान है।

II. $I$ पर हर वर्धमान फलन, $I$ पर निरंतर वर्धमान है।

III. यदि $f$ , $I$ पर निरंतर वर्धमान है, तो $-f$ , $I$ पर निरंतर ह्रासमान है।

IV. यदि $f$ , $I$ पर निरंतर वर्धमान है, तो $I$ पर $f(x) > 0$ ।

केवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I और III

$f(x_1) < f(x_2)$ से $f(x_1) \le f(x_2)$ मिलता है, इसलिए I सही है; और $-1$ से गुणा करने पर असमिका उलटती है, इसलिए III सही है।
अचर फलन वर्धमान है पर निरंतर वर्धमान नहीं, इसलिए II गलत है; $f(x) = x$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है फिर भी $x < 0$ पर ऋणात्मक है, इसलिए IV गलत है।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है और $g$ निरंतर ह्रासमान। $h(x) = f(g(x))$ का सही वर्णन कौन-सा है?

निरंतर वर्धमानसही उत्तरआपका उत्तरनिरंतर ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तरअचरसही उत्तरआपका उत्तरयह

f

और

g

पर निर्भर हैसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · निरंतर ह्रासमान

$x_1 < x_2$ लीजिए। $g$ निरंतर ह्रासमान है, इसलिए $g(x_1) > g(x_2)$ ।
$f$ निरंतर वर्धमान है, इसलिए वह यह क्रम बनाए रखता है: $f(g(x_1)) > f(g(x_2))$ । इसलिए $h$ निरंतर ह्रासमान है।

ध्यान देने योग्य

एक ह्रासमान चरण क्रम को एक बार उलटता है और वर्धमान चरण उसे बनाए रखता है, इसलिए अंत में क्रम उलटा रहता है: $f(x) = x$ , $g(x) = -x$ लेकर देखिए।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = \lvert x - 2 \rvert$ किस अंतराल पर निरंतर ह्रासमान है?

(2, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-2, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $(-\infty, 2)$

$x < 2$ के लिए $f(x) = 2 - x$ : $x$ बढ़ने पर $f$ घटता है।
$x > 2$ के लिए $f(x) = x - 2$ , जो बढ़ता है। इसलिए $f$ , $(-\infty, 2)$ पर निरंतर ह्रासमान है।

ध्यान देने योग्य

$(2, \infty)$ वहाँ है जहाँ ग्राफ़ की दाईं भुजा ऊपर उठती है।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $f(x) = \frac{1}{x}$ , $(0, \infty)$ पर निरंतर ह्रासमान है।

II. $f(x) = \frac{1}{x}$ अपने पूरे प्रांत, सभी $x \ne 0$ , पर निरंतर ह्रासमान है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: $0 < x_1 < x_2$ के लिए $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$ । सही।
II: $-1 < 1$ पर $f(-1) = -1 < f(1) = 1$ , इसलिए 0 के अंतराल के पार फलन घटता नहीं। गलत।

ध्यान देने योग्य

0 के दोनों ओर $f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ , पर अवकलज परीक्षण एक समय में एक ही अंतराल पर लागू होता है।

अवकलज परीक्षण

19 प्रश्न

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x = 2$ के पास $f(x) = x^{3} - 3 x$ कैसा व्यवहार करता है?

निरंतर ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तरदोनों नहीं: वहाँ अवकलज 0 हैसही उत्तरआपका उत्तरनिरंतर वर्धमानसही उत्तरआपका उत्तरअचरसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · निरंतर वर्धमान

$f'(x) = 3 x^{2} - 3$ , इसलिए $f'(2) = 9$ ।
धनात्मक अवकलज का अर्थ है कि फलन वहाँ बढ़ रहा है, ऋणात्मक का घट रहा है, और 0 का अर्थ मोड़ या समतल बिंदु।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = x^{3} + 2 x$ का सही वर्णन कौन-सा है?

\mathbb{R}

पर निरंतर वर्धमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर निरंतर ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

के एक भाग में वर्धमान और दूसरे में ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर अचरसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान

$f'(x) = 3 x^{2} + 2$ ।
यहाँ हर $x$ के लिए $3x^2 + 2 > 0$ , इसलिए $f$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $f(x) = \log x$ , $(0, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।

कारण (R): $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$ , जो $x > 0$ के लिए धनात्मक है।

A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।सही उत्तरआपका उत्तरA और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।सही उत्तरआपका उत्तरA सही है, लेकिन R गलत है।सही उत्तरआपका उत्तरA गलत है, लेकिन R सही है।सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

R सही है, और किसी अंतराल पर धनात्मक अवकलज फलन को वहाँ निरंतर वर्धमान बनाता है।
इसलिए A सही है और R उसकी व्याख्या करता है।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x = 2$ के पास $f(x) = x^{2} - 4 x + 1$ कैसा व्यवहार करता है?

निरंतर वर्धमानसही उत्तरआपका उत्तरदोनों नहीं: वहाँ अवकलज 0 हैसही उत्तरआपका उत्तरनिरंतर ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तरअचरसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · दोनों नहीं: वहाँ अवकलज 0 है

$f'(x) = 2 x - 4$ , इसलिए $f'(2) = 0$ ।
धनात्मक अवकलज का अर्थ है कि फलन वहाँ बढ़ रहा है, ऋणात्मक का घट रहा है, और 0 का अर्थ मोड़ या समतल बिंदु।

ध्यान देने योग्य

फलन अचर तभी है जब पूरे अंतराल पर अवकलज 0 हो, केवल एक बिंदु पर नहीं।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = - x^{3} - x + 4$ का सही वर्णन कौन-सा है?

\mathbb{R}

पर निरंतर वर्धमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

के एक भाग में वर्धमान और दूसरे में ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर निरंतर ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर अचरसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\mathbb{R}$ पर निरंतर ह्रासमान

$f'(x) = - 3 x^{2} - 1$ ।
यहाँ हर $x$ के लिए $-3x^2 - 1 < 0$ , इसलिए $f$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर ह्रासमान है।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x = 2$ के पास $f(x) = \log x - x$ कैसा व्यवहार करता है?

निरंतर वर्धमानसही उत्तरआपका उत्तरदोनों नहीं: वहाँ अवकलज 0 हैसही उत्तरआपका उत्तरअचरसही उत्तरआपका उत्तरनिरंतर ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · निरंतर ह्रासमान

$f'(x) = \frac{1}{x} - 1$ , इसलिए $f'(2) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$ ।
ऋणात्मक अवकलज का अर्थ है कि $f$ वहाँ घट रहा है।

ध्यान देने योग्य

$\log x$ स्वयं बढ़ता है, पर यहाँ $x$ से धीमे, इसलिए अंतर घटता है।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी फलन के लिए $f'(x) = \left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)$ । वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f$ निरंतर वर्धमान है।

(1, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 3)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-1, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $(1, \infty)$

$\left(x - 3\right)^{2} \ge 0$ सदा, इसलिए $f'$ का चिह्न $x - 1$ का चिह्न है।
$x > 1$ के लिए $f' > 0$ , केवल $x = 3$ पर क्षण भर 0; ऐसा एक बिंदु $f$ को निरंतर वर्धमान होने से नहीं रोकता।
इसलिए $f$ , $(1, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।

ध्यान देने योग्य

$x = 3$ पर रुक जाना वर्ग गुणनखंड के शून्य को चिह्न परिवर्तन मानना है; वह नहीं है।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $f(x) = x^3$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

कारण (R): $f(x) = x^3$ के लिए हर वास्तविक $x$ पर $f'(x) > 0$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · A सही है, लेकिन R गलत है।

$x_1 < x_2$ के लिए $x_1^3 < x_2^3$ , इसलिए A सही है।
पर $f'(0) = 0$ , इसलिए R गलत है: अवकलज के किसी एक बिंदु पर 0 होने पर भी फलन निरंतर वर्धमान हो सकता है।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $e^x$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

II. $e^{-x}$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

$\frac{d}{dx}e^x = e^x > 0$ , इसलिए I सही है।
$\frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x} < 0$ , इसलिए $e^{-x}$ निरंतर ह्रासमान है और II गलत है।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. यदि $(a, b)$ के हर बिंदु पर $f'(x) > 0$ , तो $f$ , $(a, b)$ पर निरंतर वर्धमान है।

II. यदि $f$ , $(a, b)$ पर निरंतर वर्धमान है, तो $(a, b)$ के हर बिंदु पर $f'(x) > 0$ ।

III. यदि $(a, b)$ के हर बिंदु पर $f'(x) = 0$ , तो $f$ , $(a, b)$ पर अचर है।

IV. यदि किसी एक बिंदु $c$ पर $f'(c) < 0$ , तो $f$ , $\mathbb{R}$ पर ह्रासमान है।

केवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I और III

I और III अवकलज परीक्षण हैं: पूरे अंतराल पर $f'$ का चिह्न वहाँ का व्यवहार तय करता है।
II, $(-1, 1)$ पर $x^3$ के लिए नहीं चलता, जहाँ $f'(0) = 0$ ; IV इसलिए गलत है कि एक बिंदु पूरी रेखा के बारे में कुछ नहीं बताता।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x = 0$ के पास $f(x) = - 3 x + e^{x}$ कैसा व्यवहार करता है?

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · निरंतर ह्रासमान

$f'(x) = e^{x} - 3$ , इसलिए $f'(0) = -2$ ।
धनात्मक अवकलज का अर्थ है कि फलन वहाँ बढ़ रहा है, ऋणात्मक का घट रहा है, और 0 का अर्थ मोड़ या समतल बिंदु।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = 2 x + \cos x$ का सही वर्णन कौन-सा है?

\mathbb{R}

पर निरंतर ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर निरंतर वर्धमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

के एक भाग में वर्धमान और दूसरे में ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर अचरसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान

$f'(x) = 2 - \sin x$ ।
यहाँ $2 - \sin x \ge 1 > 0$ , क्योंकि $\sin x \le 1$ , इसलिए $f$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-से फलन $(0, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान हैं?

I. $\log x$

II. $x + \frac{1}{x}$

III. $e^{-x}$

IV. $x^2$

केवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I और IV

$x > 0$ के लिए $\frac{d}{dx}\log x = \frac{1}{x} > 0$ और $\frac{d}{dx}x^2 = 2x > 0$ : I और IV बढ़ते हैं।
$\frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2}$ , $(0, 1)$ पर ऋणात्मक है, और $\frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x} < 0$ ।

ध्यान देने योग्य

$x + \frac{1}{x}$ केवल $x = 1$ के बाद बढ़ता है; $(0, 1)$ पर घटता है।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $f(x) = e^{-x^2}$ , $(-\infty, 0)$ पर निरंतर वर्धमान है।

कारण (R): $f'(x) = -2xe^{-x^2}$ , जो हर $x < 0$ के लिए धनात्मक है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

R: $x < 0$ के लिए $-2x > 0$ और $e^{-x^2} > 0$ , इसलिए $f'(x) > 0$ । R सही है।
अंतराल पर धनात्मक अवकलज ही $f$ को वहाँ निरंतर वर्धमान बनाता है, इसलिए R, A की व्याख्या करता है।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = x^{3} + e^{x}$ का सही वर्णन कौन-सा है?

\mathbb{R}

पर निरंतर ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

के एक भाग में वर्धमान और दूसरे में ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर निरंतर वर्धमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर अचरसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान

$f'(x) = 3 x^{2} + e^{x}$ ।
यहाँ $e^{x} > 0$ और $3x^2 \ge 0$ , इसलिए $f'(x) > 0$ , इसलिए $f$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

ध्यान देने योग्य

दो वर्धमान फलनों का योग वर्धमान होता है।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = - 2 x + \sin x$ का सही वर्णन कौन-सा है?

\mathbb{R}

पर निरंतर वर्धमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर निरंतर ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

के एक भाग में वर्धमान और दूसरे में ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर अचरसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\mathbb{R}$ पर निरंतर ह्रासमान

$f'(x) = \cos x - 2$ ।
यहाँ $\cos x \le 1$ , इसलिए $f'(x) \le -1 < 0$ , इसलिए $f$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर ह्रासमान है।

ध्यान देने योग्य

ज्या या कोज्या वाला पद ऊपर-नीचे होता है, पर बड़ा स्थिर पद $f'$ का चिह्न तय करता है।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यदि $f$ और $g$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान हैं, तो $f + g$ भी $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

II. यदि $f$ और $g$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान हैं, तो $fg$ भी $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

$x_1 < x_2$ के लिए $f(x_1) < f(x_2)$ और $g(x_1) < g(x_2)$ ; जोड़ने पर I मिलता है।
$f(x) = g(x) = x$ वर्धमान हैं, पर $fg = x^2$ , $(-\infty, 0)$ पर घटता है, इसलिए II गलत है।

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 5$ का सही वर्णन कौन-सा है?

\mathbb{R}

पर निरंतर ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

के एक भाग में वर्धमान और दूसरे में ह्रासमानसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर अचरसही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

पर निरंतर वर्धमानसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान

$f'(x) = 3 \left(x - 2\right)^{2}$ ।
यहाँ $3(x - 2)^2 \ge 0$ , और यह केवल एक बिंदु $x = 2$ पर 0 है, इसलिए $f$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

ध्यान देने योग्य

जो अवकलज केवल एक बिंदु पर 0 हो और दोनों ओर एक ही चिह्न का हो, वह फलन को निरंतर वर्धमान होने से नहीं रोकता।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी फलन के लिए $f'(x) = x^{2} \left(x + 2\right)$ । वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f$ निरंतर वर्धमान है।

(-\infty, -2)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 0)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-2, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-4, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $(-2, \infty)$

$x^{2} \ge 0$ सदा, इसलिए $f'$ का चिह्न $x + 2$ का चिह्न है।
$x > -2$ के लिए $f' > 0$ , केवल $x = 0$ पर क्षण भर 0; ऐसा एक बिंदु $f$ को निरंतर वर्धमान होने से नहीं रोकता।
इसलिए $f$ , $(-2, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।

ध्यान देने योग्य

$x = 0$ पर रुक जाना वर्ग गुणनखंड के शून्य को चिह्न परिवर्तन मानना है; वह नहीं है।

अंतराल निकालना

20 प्रश्न

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = x^{2} - 6 x + 4$ निरंतर वर्धमान है।

(-\infty, 3)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-3, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, -3)

सही उत्तरआपका उत्तर

(3, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $(3, \infty)$

$f'(x) = 2 x - 6$ , जो $x = 3$ पर 0 है।
$(3, \infty)$ पर $f'(x) > 0$ ।

ध्यान देने योग्य

$a > 0$ होने से परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए वह $x = 3$ से पहले घटता और बाद में बढ़ता है।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ निरंतर ह्रासमान है।

(-\infty, -1) \cup (3, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-2, 4)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, -1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-1, 3)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $(-1, 3)$

$f'(x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 \left(x - 3\right) \left(x + 1\right)$ , जो $x = -1$ और $x = 3$ पर 0 है।
$(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$ पर $f'(x) > 0$ और $(-1, 3)$ पर $f'(x) < 0$ ।
इसलिए $f$ , $(-1, 3)$ पर निरंतर ह्रासमान है।

ध्यान देने योग्य

$(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$ पर फलन निरंतर वर्धमान है: $f'$ का चिह्न उलटा पढ़ा गया।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = x^{3} - 27 x + 2$ निरंतर ह्रासमान है।

(-\infty, -3) \cup (3, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-4, 4)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-3, 3)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, -3)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $(-3, 3)$

$f'(x) = 3 x^{2} - 27 = 3 \left(x - 3\right) \left(x + 3\right)$ , जो $x = -3$ और $x = 3$ पर 0 है।
$(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$ पर $f'(x) > 0$ और $(-3, 3)$ पर $f'(x) < 0$ ।
इसलिए $f$ , $(-3, 3)$ पर निरंतर ह्रासमान है।

ध्यान देने योग्य

$(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$ पर फलन निरंतर वर्धमान है: $f'$ का चिह्न उलटा पढ़ा गया।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = 2 x^{3} - 24 x + 5$ निरंतर ह्रासमान है।

(-\infty, -2) \cup (2, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-2, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-4, 4)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $(-2, 2)$

$f'(x) = 6 \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)$ , जो $x = -2, 2$ पर 0 है।
$(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ पर $f'(x) > 0$ और $(-2, 2)$ पर $f'(x) < 0$ ।
इसलिए $f$ , $(-2, 2)$ पर निरंतर ह्रासमान है।

ध्यान देने योग्य

$(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ पर फलन निरंतर वर्धमान है: $f'$ का चिह्न उलटा पढ़ा गया।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = x e^{- x}$ निरंतर वर्धमान है।

(1, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, e)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $(-\infty, 1)$

$f'(x) = - \left(x - 1\right) e^{- x}$ ।
यह ठीक $(-\infty, 1)$ पर धनात्मक है।

ध्यान देने योग्य

$(1, \infty)$ पर अवकलज का चिह्न उलटा है।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = - 2 x^{2} - 10 x + 5$ निरंतर ह्रासमान है।

(-\infty, - \frac{5}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

(- \frac{5}{2}, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, \frac{5}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $(- \frac{5}{2}, \infty)$

$f'(x) = - 4 x - 10$ , जो $x = - \frac{5}{2}$ पर 0 है।
$(- \frac{5}{2}, \infty)$ पर $f'(x) < 0$ ।

ध्यान देने योग्य

$a < 0$ होने से परवलय नीचे की ओर खुलता है, इसलिए वह $x = - \frac{5}{2}$ से पहले बढ़ता और बाद में घटता है।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 10$ निरंतर वर्धमान है।

(-3, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, -3) \cup (2, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, -2) \cup (3, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-4, 3)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $(-\infty, -3) \cup (2, \infty)$

$f'(x) = 6 x^{2} + 6 x - 36 = 6 \left(x - 2\right) \left(x + 3\right)$ , जो $x = -3$ और $x = 2$ पर 0 है।
$(-\infty, -3) \cup (2, \infty)$ पर $f'(x) > 0$ और $(-3, 2)$ पर $f'(x) < 0$ ।
इसलिए $f$ , $(-\infty, -3) \cup (2, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।

ध्यान देने योग्य

$(-3, 2)$ पर फलन निरंतर ह्रासमान है: $f'$ का चिह्न उलटा पढ़ा गया।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = x - \log x$ ( $x > 0$ के लिए) निरंतर ह्रासमान है।

(1, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 0)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $(0, 1)$

$f'(x) = \frac{x - 1}{x}$ ।
यह ठीक $(0, 1)$ पर ऋणात्मक है।

ध्यान देने योग्य

$(1, \infty)$ पर अवकलज का चिह्न उलटा है।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 2$ निरंतर वर्धमान है।

(-\infty, -1) \cup (3, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-2, 4)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, -1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-1, 3)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $(-1, 3)$

$f'(x) = - 3 x^{2} + 6 x + 9 = - 3 \left(x - 3\right) \left(x + 1\right)$ , जो $x = -1$ और $x = 3$ पर 0 है।
$(-1, 3)$ पर $f'(x) > 0$ और $(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$ पर $f'(x) < 0$ ।
इसलिए $f$ , $(-1, 3)$ पर निरंतर वर्धमान है।

ध्यान देने योग्य

$(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$ पर फलन निरंतर ह्रासमान है: $f'$ का चिह्न उलटा पढ़ा गया।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ निरंतर वर्धमान है।

(-\infty, -1) \cup (1, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-1, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $(-1, 1)$

$f'(x) = - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$ , जो $x = -1, 1$ पर 0 है।
$(-1, 1)$ पर $f'(x) > 0$ और $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ पर $f'(x) < 0$ ।
इसलिए $f$ , $(-1, 1)$ पर निरंतर वर्धमान है।

ध्यान देने योग्य

$(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ पर फलन निरंतर ह्रासमान है: $f'$ का चिह्न उलटा पढ़ा गया।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = x \log x$ निरंतर ह्रासमान है, $x > 0$ के लिए।

(e^{-1}, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, e^{-1})

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(e^{-1}, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $(0, e^{-1})$

$f'(x) = \log x + 1$ , जो $x = e^{-1}$ पर 0 है।
$(e^{-1}, \infty)$ पर $f'(x) > 0$ और $(0, e^{-1})$ पर $f'(x) < 0$ ।
इसलिए $f$ , $(0, e^{-1})$ पर निरंतर ह्रासमान है।

ध्यान देने योग्य

$(e^{-1}, \infty)$ पर फलन निरंतर वर्धमान है: $f'$ का चिह्न उलटा पढ़ा गया।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1$ निरंतर वर्धमान है।

(-4, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-2, 4)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, -4) \cup (2, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, -2) \cup (4, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $(-\infty, -4) \cup (2, \infty)$

$f'(x) = 3 \left(x - 2\right) \left(x + 4\right)$ , जो $x = -4, 2$ पर 0 है।
$(-\infty, -4) \cup (2, \infty)$ पर $f'(x) > 0$ और $(-4, 2)$ पर $f'(x) < 0$ ।
इसलिए $f$ , $(-\infty, -4) \cup (2, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।

ध्यान देने योग्य

$(-4, 2)$ पर फलन निरंतर ह्रासमान है: $f'$ का चिह्न उलटा पढ़ा गया।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 4$ निरंतर वर्धमान है।

(-\infty, 1) \cup (3, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-3, -1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(1, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(1, 3)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $(1, 3)$

$f'(x) = - 3 \left(x - 3\right) \left(x - 1\right)$ , जो $x = 1, 3$ पर 0 है।
$(1, 3)$ पर $f'(x) > 0$ और $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$ पर $f'(x) < 0$ ।
इसलिए $f$ , $(1, 3)$ पर निरंतर वर्धमान है।

ध्यान देने योग्य

$(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$ पर फलन निरंतर ह्रासमान है: $f'$ का चिह्न उलटा पढ़ा गया।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ निरंतर ह्रासमान है।

(-1, 0) \cup (2, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, -1) \cup (0, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-1, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $(-\infty, -1) \cup (0, 2)$

$f'(x) = 12 x \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)$ , जो $x = -1, 0, 2$ पर 0 है।
इन बिंदुओं के बीच चिह्न जाँचने पर $(-\infty, -1) \cup (0, 2)$ पर $f'(x) < 0$ ।

ध्यान देने योग्य

$(-1, 0) \cup (2, \infty)$ पर चिह्न उलटा है।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = x + \frac{4}{x}$ निरंतर ह्रासमान है।

(-2, 0) \cup (0, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-2, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, -2) \cup (2, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

\mathbb{R}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $(-2, 0) \cup (0, 2)$

$f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$ , जो $x \ne 0$ के लिए परिभाषित है।
यह $0 < \lvert x \rvert < 2$ के लिए ऋणात्मक है: $(-2, 0) \cup (0, 2)$ ।

ध्यान देने योग्य

$(-2, 2)$ में $x = 0$ भी है, जहाँ $f$ परिभाषित ही नहीं है।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = - 2 x^{3} + 15 x^{2} - 36 x + 1$ निरंतर ह्रासमान है।

(2, 3)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, -3) \cup (-2, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 2) \cup (3, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(1, 4)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$

$f'(x) = - 6 x^{2} + 30 x - 36 = - 6 \left(x - 3\right) \left(x - 2\right)$ , जो $x = 2$ और $x = 3$ पर 0 है।
$(2, 3)$ पर $f'(x) > 0$ और $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ पर $f'(x) < 0$ ।
इसलिए $f$ , $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ पर निरंतर ह्रासमान है।

ध्यान देने योग्य

$(2, 3)$ पर फलन निरंतर वर्धमान है: $f'$ का चिह्न उलटा पढ़ा गया।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = \frac{\log x}{x}$ ( $x > 0$ के लिए) निरंतर वर्धमान है।

(e, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(1, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 0)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, e)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $(0, e)$

$f'(x) = - \frac{\log x - 1}{x^{2}}$ ।
यह ठीक $(0, e)$ पर धनात्मक है।

ध्यान देने योग्य

$(e, \infty)$ पर अवकलज का चिह्न उलटा है।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = [x(x - 4)]^2$ निरंतर वर्धमान है।

(-\infty, 0) \cup (2, 4)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 4)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, 2) \cup (4, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $(0, 2) \cup (4, \infty)$

$f'(x) = 4 x \left(x - 4\right) \left(x - 2\right)$ , जो $x = 0, 2, 4$ पर 0 है।
इन बिंदुओं के बीच चिह्न जाँचने पर $(0, 2) \cup (4, \infty)$ पर $f'(x) > 0$ ।

ध्यान देने योग्य

$(-\infty, 0) \cup (2, 4)$ पर चिह्न उलटा है।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = x^{2} e^{- x}$ निरंतर वर्धमान है।

(0, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, 0) \cup (2, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-2, 0)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $(0, 2)$

$f'(x) = - x \left(x - 2\right) e^{- x}$ , जो $x = 0, 2$ पर 0 है।
$(0, 2)$ पर $f'(x) > 0$ और $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ पर $f'(x) < 0$ ।
इसलिए $f$ , $(0, 2)$ पर निरंतर वर्धमान है।

ध्यान देने योग्य

$(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ पर फलन निरंतर ह्रासमान है: $f'$ का चिह्न उलटा पढ़ा गया।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x) = x^{4} - 2 x^{2}$ निरंतर वर्धमान है।

(-\infty, -1) \cup (0, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-1, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-\infty, -1) \cup (1, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-1, 0) \cup (1, \infty)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $(-1, 0) \cup (1, \infty)$

$f'(x) = 4 x \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)$ , जो $x = -1, 0, 1$ पर 0 है।
$(-1, 0) \cup (1, \infty)$ पर $f'(x) > 0$ और $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$ पर $f'(x) < 0$ ।
इसलिए $f$ , $(-1, 0) \cup (1, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।

ध्यान देने योग्य

$(-\infty, -1) \cup (0, 1)$ पर फलन निरंतर ह्रासमान है: $f'$ का चिह्न उलटा पढ़ा गया।

त्रिकोणमितीय फलन

12 प्रश्न

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से किस अंतराल पर $\sin x$ निरंतर वर्धमान है?

(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

(\pi, 2 \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

अवकलज $\cos x$ है।
यह पूरे $(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ पर धनात्मक है, और बाकी हर अंतराल के भीतर चिह्न बदलता है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा फलन $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर निरंतर ह्रासमान है?

\sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan x

सही उत्तरआपका उत्तर

\sin 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

\cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\cos x$

$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ , जो पूरे $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर ऋणात्मक है।
वहाँ $\sin x$ और $\tan x$ बढ़ते हैं, और $\sin 2x$ , $\frac{\pi}{4}$ तक बढ़ता और उसके बाद घटता है।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से किस अंतराल पर $\cos x$ निरंतर ह्रासमान है?

(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

(\pi, 2 \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $(0, \pi)$

अवकलज $- \sin x$ है।
यह पूरे $(0, \pi)$ पर ऋणात्मक है, और बाकी हर अंतराल के भीतर चिह्न बदलता है।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(0, \pi)$ के भीतर $f(x) = \sin 2x$ किस अंतराल पर निरंतर ह्रासमान है?

(0, \frac{\pi}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{\pi}{2}, \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{3 \pi}{4}, \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4})

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4})$

$f'(x) = 2\cos 2x$ , जो तब ऋणात्मक है जब $2x$ , $\frac{\pi}{2}$ और $\frac{3\pi}{2}$ के बीच हो।
इसलिए $x$ , $\frac{\pi}{4}$ और $\frac{3\pi}{4}$ के बीच है।

ध्यान देने योग्य

$\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ पर $\sin x$ घटता है; कोण दोगुना करने से अंतराल के सिरे आधे हो जाते हैं।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = \log(\sin x)$ किस अंतराल पर निरंतर ह्रासमान है?

(0, \frac{\pi}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{\pi}{2}, \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

(\pi, 2 \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $(\frac{\pi}{2}, \pi)$

$\log(\sin x)$ वहाँ परिभाषित है जहाँ $\sin x > 0$ , और $f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ ।
$\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ पर $\cot x < 0$ , इसलिए वहाँ $f$ घटता है (और $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर बढ़ता है)।

ध्यान देने योग्य

$(\pi, 2\pi)$ पर $\sin x < 0$ , इसलिए वहाँ $\log(\sin x)$ परिभाषित ही नहीं है।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से किस अंतराल पर $\cos x$ निरंतर वर्धमान है?

(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

(\pi, 2 \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $(\pi, 2 \pi)$

अवकलज $- \sin x$ है।
यह पूरे $(\pi, 2 \pi)$ पर धनात्मक है, और बाकी हर अंतराल के भीतर चिह्न बदलता है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $\tan x$ , $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ पर निरंतर वर्धमान है।

II. $\cot x$ , $(0, \pi)$ पर निरंतर वर्धमान है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ पर $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^{2} x > 0$ । सही।
II: $\frac{d}{dx}\cot x = -\operatorname{cosec}^{2} x < 0$ , इसलिए $\cot x$ , $(0, \pi)$ पर निरंतर ह्रासमान है। गलत।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-से फलन $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर निरंतर वर्धमान हैं?

I. $\sin x$

II. $\cos x$

III. $\tan x$

IV. $\sin x - x$

केवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I और III

वहाँ $\cos x > 0$ और $\sec^{2} x > 0$ , इसलिए $\sin x$ और $\tan x$ बढ़ते हैं; $\cos x$ घटता है, क्योंकि $-\sin x < 0$ ।
$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर $\frac{d}{dx}(\sin x - x) = \cos x - 1 < 0$ , इसलिए IV घटता है।

ध्यान देने योग्य

$\sin x - x$ में बढ़ता हुआ $\sin x$ है, पर वह $x$ से धीमे बढ़ता है।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के भीतर $f(x) = \sin 3x$ किस अंतराल पर निरंतर ह्रासमान है?

(0, \frac{\pi}{6})

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, \frac{\pi}{3})

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{3})

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$

$f'(x) = 3\cos 3x$ , जो तब ऋणात्मक है जब $\frac{\pi}{2} < 3x < \frac{3\pi}{2}$ ।
यानी $\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}$ , जो पूरा $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के भीतर है।

ध्यान देने योग्य

$\left(0, \frac{\pi}{6}\right)$ में $\sin 3x$ , $3x = \frac{\pi}{2}$ के शिखर तक बढ़ता है।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(0, 2\pi)$ के भीतर $f(x) = \sin x - \cos x$ किस अंतराल पर निरंतर ह्रासमान है?

(\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4})

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4})

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, \frac{3 \pi}{4}) \cup (\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $(\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4})$

$f'(x) = \cos x + \sin x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ ।
यह तब ऋणात्मक है जब $x + \frac{\pi}{4}$ , $\pi$ और $2\pi$ के बीच हो, यानी $x$ , $\frac{3\pi}{4}$ और $\frac{7\pi}{4}$ के बीच।

ध्यान देने योग्य

दोनों बाहरी टुकड़ों का संघ वह है जहाँ $f$ बढ़ता है, घटता नहीं।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-से फलन $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ पर निरंतर ह्रासमान हैं?

I. $\cos x$

II. $\cos 2x$

III. $\cos 3x$

IV. $\tan x$

केवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल Iसही उत्तरआपका उत्तरI, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I, II और III

$\cos kx$ तब तक घटता है जब तक $kx$ , 0 से $\pi$ तक चलता है। $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ पर $3x$ केवल $\pi$ तक पहुँचता है, इसलिए $\cos x$ , $\cos 2x$ और $\cos 3x$ तीनों घटते हैं।
$\tan x$ का अवकलज $\sec^2 x > 0$ है, इसलिए वह बढ़ता है।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(0, \pi)$ के भीतर $f(x) = \sin x + \cos x$ किस अंतराल पर निरंतर वर्धमान है?

(\frac{\pi}{4}, \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, \frac{\pi}{4})

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, \frac{\pi}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{\pi}{2}, \pi)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $(0, \frac{\pi}{4})$

$f'(x) = \cos x - \sin x$ , जो वहाँ 0 है जहाँ $\tan x = 1$ : $x = \frac{\pi}{4}$ ।
$0 < x < \frac{\pi}{4}$ के लिए $\cos x > \sin x$ , इसलिए $f' > 0$ ; $\frac{\pi}{4}$ के बाद $f' < 0$ ।

ध्यान देने योग्य

$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ , $\frac{\pi}{4}$ के शिखर से आगे चला जाता है, जिसके बाद $f$ घटता है।

अचर पर शर्तें

12 प्रश्न

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$a$ के किन मानों के लिए $f(x) = (3 - a)x + 5$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है?

a < 3

सही उत्तरआपका उत्तर

a > 3

सही उत्तरआपका उत्तर

a < -5

सही उत्तरआपका उत्तर

a > -3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $a < 3$

$f'(x) = 3 - a$ , एक अचर।
$f$ ठीक तब निरंतर वर्धमान है जब $3 - a > 0$ , यानी $a < 3$ ।

ध्यान देने योग्य

$a > 3$ से ढाल ऋणात्मक हो जाती है, इसलिए रेखा घटती है।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$a$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ ) के किन मानों के लिए $f(x) = a^{x}$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर ह्रासमान है?

0 < a < 1

सही उत्तरआपका उत्तर

a > 1

सही उत्तरआपका उत्तर

a > e

सही उत्तरआपका उत्तर

1 < a < e

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0 < a < 1$

$f'(x) = a^{x}\log a$ , और $a^{x} > 0$ सदा।
इसलिए $f' < 0$ ठीक तब जब $\log a < 0$ , यानी $0 < a < 1$ ।

ध्यान देने योग्य

$a > 1$ के लिए $\log a > 0$ और $a^{x}$ बढ़ता है, जैसे $2^{x}$ ।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$a$ का वह न्यूनतम मान क्या है जिसके लिए $f(x) = x^2 + ax + 5$ , $(2, 3)$ पर वर्धमान है?

-6

सही उत्तरआपका उत्तर

-5

सही उत्तरआपका उत्तर

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $-4$

$(2, 3)$ के हर $x$ के लिए $f'(x) = 2x + a$ का मान $\ge 0$ होना चाहिए।
वहाँ $2x + a$ का सबसे छोटा मान $4 + a$ से ठीक ऊपर है, इसलिए $4 + a \ge 0$ चाहिए: $a \ge -4$ , और न्यूनतम मान $-4$ है।

ध्यान देने योग्य

$-6$ दायाँ सिरा $x = 3$ लेता है; शर्त बाएँ सिरे पर भी लागू होनी चाहिए, जहाँ $2x + a$ सबसे छोटा है।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = x^3 + 3x^2 + kx$ , $\mathbb{R}$ पर वर्धमान है। $k$ को कौन-सी शर्त पूरी करनी होगी?

k \le 3

सही उत्तरआपका उत्तर

k \ge 3

सही उत्तरआपका उत्तर

k \ge -3

सही उत्तरआपका उत्तर

k \ge 9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $k \ge 3$

$f'(x) = 3x^2 + 6x + k$ हर $x$ के लिए $\ge 0$ होना चाहिए।
ऊपर खुलने वाला परवलय तब $\ge 0$ रहता है जब उसका विविक्तकर $\le 0$ हो: $36 - 12k \le 0$ ।
इसलिए $k \ge 3$ ।

ध्यान देने योग्य

$k$ के लिए हल करते समय असमिका उलटने से उलटी शर्त मिलती है।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$k$ के किन मानों के लिए $f(x) = x^2 - kx + 4$ , $(3, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है?

k \ge 6

सही उत्तरआपका उत्तर

k \le 3

सही उत्तरआपका उत्तर

k \le 6

सही उत्तरआपका उत्तर

k \le -6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $k \le 6$

$f'(x) = 2x - k$ , जो $x > \frac{k}{2}$ के लिए धनात्मक है।
पूरा अंतराल $(3, \infty)$ , $x > \frac{k}{2}$ में होना चाहिए, इसलिए $\frac{k}{2} \le 3$ , यानी $k \le 6$ ।

ध्यान देने योग्य

$k \le 3$ में भूल है कि मोड़ बिंदु $\frac{k}{2}$ पर है, $k$ पर नहीं।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ , $\mathbb{R}$ पर वर्धमान है।

कारण (R): हर $x$ के लिए $f'(x) = 3(x + 1)^2 \ge 0$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

$f'(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2$ , कभी ऋणात्मक नहीं: R सही है।
जो अवकलज कभी ऋणात्मक न हो, और केवल $x = -1$ पर 0 हो, वह $f$ को $\mathbb{R}$ पर वर्धमान बनाता है (वास्तव में $f = (x + 1)^3$ ): A सही है, और R उसकी व्याख्या करता है।

प्रश्न 69

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = x^3 - kx$ , $\mathbb{R}$ पर वर्धमान है। $k$ कौन-से मान ले सकता है?

k \le 0

सही उत्तरआपका उत्तर

k \ge 0

सही उत्तरआपका उत्तरकेवल

k = 0

सही उत्तरआपका उत्तरकोई भी वास्तविक

k

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $k \le 0$

$f'(x) = 3x^2 - k$ सभी $x$ के लिए $\ge 0$ होना चाहिए; इसका न्यूनतम मान $x = 0$ पर $-k$ है।
इसलिए $-k \ge 0$ , यानी $k \le 0$ ।

ध्यान देने योग्य

$k = 0$ से $x^3$ मिलता है, जो वर्धमान है, पर हर ऋणात्मक $k$ भी चलता है।

प्रश्न 70

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$a$ का वह न्यूनतम मान क्या है जिसके लिए $f(x) = x^2 - 2ax + 3$ , $(1, 2)$ पर ह्रासमान है?

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2$

$(1, 2)$ के हर $x$ के लिए $f'(x) = 2x - 2a \le 0$ चाहिए, यानी वहाँ $a \ge x$ ।
$x$ , 2 के जितना चाहें उतना पास आता है, इसलिए $a \ge 2$ ; न्यूनतम मान 2 है।

ध्यान देने योग्य

1 केवल बायाँ सिरा लेता है; $x$ के 2 के पास होने पर $2x - 2$ धनात्मक है और फलन बढ़ता है।

प्रश्न 71

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = x^3 + ax^2 + 3x + 1$ , $\mathbb{R}$ पर वर्धमान है। $a$ को कौन-सी शर्त पूरी करनी होगी?

a \le -3

या

a \ge 3

सही उत्तरआपका उत्तर

-3 \le a \le 3

सही उत्तरआपका उत्तर

a \ge 3

सही उत्तरआपका उत्तर

-9 \le a \le 9

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरB · $-3 \le a \le 3$

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3$ हर $x$ के लिए $\ge 0$ हो: उसका विविक्तकर $\le 0$ होना चाहिए।
$4a^2 - 36 \le 0$ , इसलिए $a^2 \le 9$ : $-3 \le a \le 3$ ।

ध्यान देने योग्य

' $a \le -3$ या $a \ge 3$ ' वह है जहाँ विविक्तकर $\ge 0$ है, जब $f'$ ऋणात्मक हो सकता है।

प्रश्न 72

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): हर $k > 0$ के लिए $f(x) = x^3 + kx$ , $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

कारण (R): जब $k > 0$ , तो हर वास्तविक $x$ के लिए $f'(x) = 3x^2 + k > 0$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

R: $3x^2 \ge 0$ और $k > 0$ , इसलिए योग धनात्मक है। सही।
हर जगह धनात्मक अवकलज $f$ को $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान बनाता है, इसलिए A सही है और R उसकी व्याख्या है।

प्रश्न 73

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$k$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $f(x) = kx - 2\sin x$ , $\mathbb{R}$ पर वर्धमान है।

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरD · $2$

हर $x$ के लिए $f'(x) = k - 2\cos x \ge 0$ ।
$2\cos x$ का अधिकतम मान 2 है, इसलिए $k \ge 2$ ; न्यूनतम $k$ है 2।

ध्यान देने योग्य

$-2$ में $2\cos x$ का न्यूनतम मान लिया गया; शर्त को उसके अधिकतम मान से पार पाना है।

प्रश्न 74

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = kx^3 - 9x^2 + 9x + 3$ , $\mathbb{R}$ पर वर्धमान है। $k$ को कौन-सी शर्त पूरी करनी होगी?

k > 0

सही उत्तरआपका उत्तर

k \le 3

सही उत्तरआपका उत्तर

k \ge 9

सही उत्तरआपका उत्तर

k \ge 3

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरD · $k \ge 3$

$f'(x) = 3kx^2 - 18x + 9$ हर $x$ के लिए $\ge 0$ होना चाहिए: परवलय ऊपर खुले ( $k > 0$ ) और विविक्तकर $\le 0$ हो।
$324 - 108k \le 0$ से $k \ge 3$ , जिससे $k > 0$ अपने आप हो जाता है।

ध्यान देने योग्य

$k > 0$ केवल परवलय को ऊपर खोलता है; वह फिर भी 0 से नीचे जा सकता है, जैसे $k = 1$ पर, जहाँ $x = 3$ पर $3x^2 - 18x + 9$ ऋणात्मक है।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।