CUET गणित के लिए अवकलज और द्वितीय कोटि के अवकलज

Q: अस्पष्ट फलन का अवकलन कैसे करते हैं?

समीकरण के हर पद का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए, y को x का फलन मानते हुए, ताकि शृंखला नियम से y वाले हर पद के साथ गुणक dy/dx आए। फिर dy/dx वाले पद इकट्ठे करके उसे हल कीजिए।

Q: प्राचलिक फलन का dy/dx कैसे निकालते हैं?

x और y का प्राचल के सापेक्ष अलग-अलग अवकलन कीजिए, फिर भाग दीजिए: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt), जहाँ dx/dt ≠ 0 । उत्तर t के पदों में आता है।

Q: द्वितीय कोटि का अवकलज क्या होता है?

यह अवकलज का अवकलज है: y का अवकलन करके dy/dx पाइए, फिर उसका दोबारा अवकलन कीजिए। इसे d^2y/dx^2, y'' या f''(x) लिखते हैं, और यह बताता है कि परिवर्तन की दर स्वयं कितनी तेज़ी से बदल रही है।

Q: प्राचलिक फलन का द्वितीय अवकलज कैसे निकालते हैं?

dy/dx, जो t के पदों में है, का t के सापेक्ष अवकलन कीजिए, और एक बार फिर dx/dt से भाग दीजिए: d^2y/dx^2 = d/dt(dy/dx) ÷ dx/dt । यह d^2y/dt^2 को d^2x/dt^2 से भाग देना नहीं है।

Q: कैसे दिखाएँ कि y अपने द्वितीय अवकलज वाला कोई समीकरण संतुष्ट करता है?

dy/dx और d^2y/dx^2 निकालिए, तीनों को व्यंजक में रखिए, और सरल कीजिए; उत्तर प्रायः 0 या y का कोई सरल गुणज होता है। दो पैटर्न ज़्यादातर प्रश्न सँभाल लेते हैं:

सीखने में लगभग 5 मिनट · 96 प्रश्न

अवकलज CUET गणित के Section A में आते हैं, वह सेक्शन जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, चाहे आप Mathematics लें या Applied Mathematics, और यही अगले तीन अध्यायों का औज़ार हैं: वर्धमान फलन, उच्चतम और निम्नतम, और समाकलन। शृंखला नियम से लेकर अस्पष्ट और प्राचलिक फलनों और द्वितीय कोटि के अवकलजों तक हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र: Section A1

इस पृष्ठ पर · 10 भाग

01अवकलन के नियम
02अस्पष्ट फलन
03प्राचलिक फलन
04द्वितीय कोटि के अवकलज
05द्वितीय अवकलजों वाले समीकरण
06CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
07परीक्षा के लिए शॉर्टकट
08आम भूलें
09त्वरित पुनरावृत्ति
10अपनी समझ जाँचें

अवकलन के नियम

सीधी ऊपर फेंकी गई गेंद $t$ सेकंड बाद $h = 20t - 5t^2$ मीटर की ऊँचाई पर है। इसका अवकलज, $\frac{dh}{dt} = 20 - 10t$ , गेंद का वेग है: 1 सेकंड बाद 10 m/s ऊपर की ओर, और 2 सेकंड बाद, सबसे ऊपर, 0। यह अध्याय ऐसे अवकलज जल्दी निकालने के बारे में है, और फिर अवकलज के अवकलज के बारे में, जो गेंद के लिए गुरुत्व निकलता है।

हर प्रश्न मानक अवकलजों की एक छोटी सूची से शुरू होता है।

फलन	अवकलज	फलन	अवकलज
$x^n$	$nx^{n-1}$	$e^x$	$e^x$
$\sin x$	$\cos x$	$a^x$	$a^x\log a$
$\cos x$	$-\sin x$	$\log x$	$\frac{1}{x}$
$\tan x$	$\sec^2 x$	$\cot x$	$-\operatorname{cosec}^2 x$
$\sec x$	$\sec x\tan x$	$\operatorname{cosec} x$	$-\operatorname{cosec} x\cot x$

"सह" फलनों, $\cos$ , $\cot$ और $\operatorname{cosec}$ , के अवकलजों में ऋण चिह्न होता है। यहाँ $\log x$ प्राकृतिक लघुगणक है, आधार $e$ ।

गुणन और भागफल नियम

(uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

शृंखला नियम क्या है?

शृंखला नियम फलन के फलन का अवकलन करता है: बाहरी फलन का अवकलज लीजिए, अंदर वाले को वैसा ही छोड़कर, फिर अंदर वाले के अवकलज से गुणा कीजिए। संकेतों में, यदि $y = f(u)$ और $u = g(x)$ , तो $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ ।

उदाहरण 1 · शृंखला नियम

$y = (2x^2 + 1)^4$ का अवकलन कीजिए।

बाहरी फलन चौथी घात है: इसका अवकलज $4(2x^2 + 1)^3$ है।
अंदर वाले, $2x^2 + 1$ , का अवकलज $4x$ है।

उत्तर

\frac{dy}{dx} = 4(2x^2 + 1)^3 \cdot 4x = 16x(2x^2 + 1)^3

सावधान

ज़्यादातर गलत विकल्प केवल बाहरी अवकलज होते हैं, अंदर वाले का अवकलज छोड़कर। कई परतों में, जैसे $\sin^2 3x$ , हर परत से एक गुणक आता है: वर्ग, ज्या और $3x$ ।

अस्पष्ट फलन

कुछ वक्र $y = f(x)$ के रूप में नहीं लिखे होते। वृत्त $x^2 + y^2 = 36$ पर भी $y$ , $x$ पर निर्भर है, पर वह अस्पष्ट रूप से दिया है।

अस्पष्ट फलन का अवकलन कैसे करते हैं?

समीकरण के हर पद का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए, $y$ को $x$ का फलन मानते हुए, ताकि शृंखला नियम से $y$ वाले हर पद के साथ गुणक $\frac{dy}{dx}$ आए। फिर $\frac{dy}{dx}$ वाले पद इकट्ठे करके उसे हल कीजिए।

इसलिए $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}$ , $\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y\frac{dy}{dx}$ , और $xy$ जैसे पद के लिए गुणन नियम चाहिए: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$ ।

उदाहरण 2 · एक अस्पष्ट अवकलज

$x^2y + y^3 = 10$ के लिए $\frac{dy}{dx}$ और $(3, 1)$ पर उसका मान ज्ञात कीजिए।

अवकलन कीजिए: $2xy + x^2\frac{dy}{dx} + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$ , $x^2y$ पर गुणन नियम लगाकर।
इकट्ठा कीजिए: $(x^2 + 3y^2)\frac{dy}{dx} = -2xy$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy}{x^2 + 3y^2}$ ।
$(3, 1)$ पर: $-\frac{2(3)(1)}{9 + 3}$ ।

उत्तर

$(3, 1)$ पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$

सावधान

देखिए क्या पूछा गया है। व्युत्क्रम हल करने पर $\frac{dx}{dy}$ मिलता है, और वह अक्सर विकल्पों में होता है।

प्राचलिक फलन

कोई वक्र एक तीसरे चर, प्राचल $t$ , से भी बताया जा सकता है: $x = f(t)$ और $y = g(t)$ । $t$ बदलने पर बिंदु $(x, y)$ वक्र पर चलता है।

प्राचलिक फलन का dy/dx कैसे निकालते हैं?

$x$ और $y$ का प्राचल के सापेक्ष अलग-अलग अवकलन कीजिए, फिर भाग दीजिए: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ , जहाँ $\frac{dx}{dt} \ne 0$ । उत्तर $t$ के पदों में आता है।

उदाहरण 3 · एक दीर्घवृत्त

$x = 5\cos t$ , $y = 3\sin t$ के लिए $t = \frac{\pi}{4}$ पर $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

$\frac{dx}{dt} = -5\sin t$ और $\frac{dy}{dt} = 3\cos t$ ।
$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos t}{-5\sin t} = -\frac{3}{5}\cot t$ ।

उत्तर

$t = \frac{\pi}{4}$ पर $\cot t = 1$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{5}$ ।

द्वितीय कोटि के अवकलज

द्वितीय कोटि का अवकलज क्या होता है?

यह अवकलज का अवकलज है: $y$ का अवकलन करके $\frac{dy}{dx}$ पाइए, फिर उसका दोबारा अवकलन कीजिए। इसे $\frac{d^2y}{dx^2}$ , $y''$ या $f''(x)$ लिखते हैं, और यह बताता है कि परिवर्तन की दर स्वयं कितनी तेज़ी से बदल रही है।

गेंद के लिए $\frac{dh}{dt} = 20 - 10t$ , इसलिए $\frac{d^2h}{dt^2} = -10$ : वेग हर सेकंड 10 m/s घटता है, ऊपर जाते हुए भी और नीचे आते हुए भी। यही गुरुत्व का खिंचाव है।

उदाहरण 4 · एक द्वितीय अवकलज

$y = xe^{2x}$ के लिए $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात कीजिए।

गुणन नियम: $\frac{dy}{dx} = e^{2x} + 2xe^{2x} = (1 + 2x)e^{2x}$ ।
फिर से: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2e^{2x} + (1 + 2x) \cdot 2e^{2x}$ ।

उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} = 4(1 + x)e^{2x}

सावधान

$\frac{d^2y}{dx^2}$ , $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ नहीं है। $y = x^3$ के लिए द्वितीय अवकलज $6x$ है, जबकि पहले का वर्ग $9x^4$ है।

प्राचलिक फलन का द्वितीय अवकलज कैसे निकालते हैं?

$\frac{dy}{dx}$ , जो $t$ के पदों में है, का $t$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए, और एक बार फिर $\frac{dx}{dt}$ से भाग दीजिए: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \div \frac{dx}{dt}$ । यह $\frac{d^2y}{dt^2}$ को $\frac{d^2x}{dt^2}$ से भाग देना नहीं है।

उदाहरण 5 · प्राचलिक द्वितीय अवकलज

$x = 2t$ , $y = t^3$ के लिए $t = 2$ पर $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात कीजिए।

$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2}$ ।
$\frac{d}{dt}\left(\frac{3t^2}{2}\right) = 3t$ , और $\frac{dx}{dt} = 2$ से भाग देने पर $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3t}{2}$ ।

उत्तर

$t = 2$ पर $\frac{d^2y}{dx^2} = 3$ । गलत नियम $6t$ को $\frac{d^2x}{dt^2} = 0$ से भाग देता।

अस्पष्ट वक्र के लिए $\frac{dy}{dx}$ वाले व्यंजक का फिर से अवकलन कीजिए, फिर $\frac{dy}{dx}$ की जगह उसका मान रखिए। वृत्त $x^2 + y^2 = 36$ पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{x^2 + y^2}{y^3} = -\frac{36}{y^3}$ ।

द्वितीय अवकलजों वाले समीकरण

एक पसंदीदा प्रश्न कुछ अचरों के साथ $y$ देता है और पूछता है कि $y$ , $\frac{dy}{dx}$ और $\frac{d^2y}{dx^2}$ मिलकर कौन-सा समीकरण संतुष्ट करते हैं।

कैसे दिखाएँ कि y अपने द्वितीय अवकलज वाला कोई समीकरण संतुष्ट करता है?

$\frac{dy}{dx}$ और $\frac{d^2y}{dx^2}$ निकालिए, तीनों को व्यंजक में रखिए, और सरल कीजिए; उत्तर प्रायः 0 या $y$ का कोई सरल गुणज होता है। दो पैटर्न ज़्यादातर प्रश्न सँभाल लेते हैं:

$y = A\sin kx + B\cos kx$ से $\frac{d^2y}{dx^2} = -k^2y$ , इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} + k^2y = 0$ ;
$y = Ae^{kx} + Be^{-kx}$ से $\frac{d^2y}{dx^2} = k^2y$ ।

उदाहरण 6 · दो घातांकीय

दिखाइए कि $y = 3e^{2x} + 2e^{-x}$ , $\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} - 2y = 0$ को संतुष्ट करता है।

$\frac{dy}{dx} = 6e^{2x} - 2e^{-x}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = 12e^{2x} + 2e^{-x}$ ।
$\left(12e^{2x} + 2e^{-x}\right) - \left(6e^{2x} - 2e^{-x}\right) - 2\left(3e^{2x} + 2e^{-x}\right)$ इकट्ठा करने पर $(12 - 6 - 6)e^{2x} + (2 + 2 - 4)e^{-x}$ बनता है।

उत्तर

दोनों कोष्ठक 0 हैं, इसलिए व्यंजक 0 है।

मुख्य बात

$y = Ae^{mx} + Be^{nx}$ के लिए समीकरण सदा $\frac{d^2y}{dx^2} - (m + n)\frac{dy}{dx} + mny = 0$ होता है, क्योंकि $m$ और $n$ , $r^2 - (m + n)r + mn = 0$ के मूल हैं। उदाहरण में $m = 2$ और $n = -1$ , जिनसे $-1$ और $-2$ मिलते हैं।

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

नियम: किसी गुणनफल, भागफल या संयुक्त फलन का अवकलज, कभी-कभी $g(2)$ और $g'(2)$ जैसे दिए गए मानों से।
अस्पष्ट और प्राचलिक: $\frac{dy}{dx}$ व्यंजक के रूप में या किसी बिंदु पर, विकल्पों में $\frac{dx}{dy}$ के साथ।
द्वितीय अवकलज: दिए गए फलन के लिए $\frac{d^2y}{dx^2}$ या $f''(a)$ , प्राचलिक फलन के लिए भी।
संबंध: $\frac{d^2y}{dx^2} + ky = 0$ में $k$ का मान, या दिया गया $y$ कौन-सा समीकरण संतुष्ट करता है, अक्सर कथन या सूची-मिलान प्रश्न के रूप में।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

$\frac{d}{dx}f(ax + b) = af'(ax + b)$ : अंदर का गुणक बस $a$ है।
$\frac{d^2}{dx^2}e^{kx} = k^2e^{kx}$ ; $\frac{d^2}{dx^2}\sin kx = -k^2\sin kx$ , और $\cos kx$ के लिए भी यही।
प्राचलिक: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ ; द्वितीय अवकलज: एक बार और $\frac{dx}{dt}$ से भाग।
वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ : $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{r^2}{y^3}$ ।
$y = Ae^{mx} + Be^{nx}$ : $y'' - (m + n)y' + mny = 0$ ।

आम भूलें

शृंखला नियम में अंदर वाले का अवकलज छोड़ देना।
$(uv)' = u'v'$ लिखना, या भागफल नियम का अंश उलटा लिखना।
अस्पष्ट अवकलन में $y$ वाले पद पर $\frac{dy}{dx}$ भूल जाना।
उलटा भाग देकर $\frac{dx}{dy}$ दे देना।
पहले अवकलज का दोबारा अवकलन करने की जगह उसका वर्ग कर देना।
प्राचलिक द्वितीय अवकलज में $\frac{dx}{dt}$ से दूसरी बार भाग देने से पहले रुक जाना।

त्वरित पुनरावृत्ति

नियम

$(uv)' = u'v + uv'$ ; $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
शृंखला नियम: बाहरी अवकलज गुणा अंदर वाला अवकलज
$\cos$ , $\cot$ , $\operatorname{cosec}$ : ऋण चिह्न

अस्पष्ट और प्राचलिक

अस्पष्ट: हर $y$ पद के साथ $\frac{dy}{dx}$
प्राचलिक: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$

द्वितीय कोटि

$\frac{d^2y}{dx^2}$ , $\frac{dy}{dx}$ का अवकलज है, उसका वर्ग नहीं
प्राचलिक: $\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \div \frac{dx}{dt}$
$\sin kx$ , $\cos kx$ : $y'' = -k^2y$ ; $e^{\pm kx}$ : $y'' = k^2y$

पहले अवकलज का चिह्न बताता है कि फलन कहाँ बढ़ता है और कहाँ घटता है: वर्धमान और ह्रासमान फलन।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

96 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

अवकलन के नियमप्र1 / 96प्र1

अवकलन के नियम

28 प्रश्न

प्रश्न 1

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\left(3 x + 2\right)^{5}\right)$ क्या है?

5 \left(3 x + 2\right)^{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

15 \left(3 x + 2\right)^{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

- 15 \left(3 x + 2\right)^{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

30 \left(3 x + 2\right)^{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $15 \left(3 x + 2\right)^{4}$

शृंखला नियम लगाइए: बाहरी फलन का अवकलज लीजिए, फिर अंदर वाले व्यंजक के अवकलज से गुणा कीजिए।
$\frac{d}{dx}\left(\left(3 x + 2\right)^{5}\right) = 15 \left(3 x + 2\right)^{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$5 \left(3 x + 2\right)^{4}$ में केवल बाहरी फलन का अवकलन है; अंदर वाले का अवकलज छूट गया।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x^{2} \sin x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

2 x \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2} \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2} \cos x + 2 x \sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

- x^{2} \cos x + 2 x \sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $x^{2} \cos x + 2 x \sin x$

गुणन नियम: $(uv)' = u'v + uv'$ , जहाँ $u = x^{2}$ और $v = \sin x$ ।
$(2 x)(\sin x) + (x^{2})(\cos x) = x^{2} \cos x + 2 x \sin x$ ।

ध्यान देने योग्य

$2 x \cos x$ में दोनों अवकलजों का गुणा है, जो गुणन नियम नहीं है।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\sec x$ का अवकलन कीजिए।

\tan x \sec x

सही उत्तरआपका उत्तर

- \tan x \sec x

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan x

सही उत्तरआपका उत्तर

\left(2 \tan^{2} x + 1\right) \sec x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\tan x \sec x$

$\frac{d}{dx}\left(\sec x\right) = \tan x \sec x$ , एक मानक अवकलज।
चिह्न पर ध्यान दीजिए: सह-फलनों (cos, cot, cosec) के अवकलज ऋणात्मक होते हैं।

ध्यान देने योग्य

$- \tan x \sec x$ का चिह्न गलत है।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\log\left(x^{2} + 4\right)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

\frac{1}{x^{2} + 4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 x}{x^{2} + 4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2 x}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 x \log{\left(x^{2} + 4 \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{2 x}{x^{2} + 4}$

$\frac{d}{dx}\log u = \frac{1}{u}\frac{du}{dx}$ , जहाँ $u = x^{2} + 4$ ।
$\frac{1}{x^{2} + 4} \cdot 2x = \frac{2x}{x^{2} + 4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{x^{2} + 4}$ लघुगणक पर रुक गया और $x^{2} + 4$ का अवकलज छोड़ दिया।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(e^{\sin x}\right)$ क्या है?

e^{\sin x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{\cos x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{\sin x - 1} \sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{\sin x} \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $e^{\sin x} \cos x$

$\frac{d}{dx}e^{u} = e^{u}\frac{du}{dx}$ , जहाँ $u = \sin x$ ।
$e^{\sin x} \cdot \cos x$ ।

ध्यान देने योग्य

केवल $e^{\sin x}$ में घात को $x$ मान लिया गया; $\sin x$ के अवकलज से गुणा करना होगा।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\log(\sin x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

\cot x

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\sin x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan x

सही उत्तरआपका उत्तर

- \cot x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\cot x$

शृंखला नियम से $\frac{d}{dx}\log u = \frac{1}{u}\frac{du}{dx}$ , जहाँ $u = \sin x$ ।
$\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{\sin x}$ लघुगणक पर रुक गया और $\sin x$ के अवकलज से गुणा करना भूल गया।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$g(2) = 3$ , $g'(2) = -1$ , $h(2) = 4$ और $h'(2) = 5$ । यदि $f(x) = g(x)h(x)$ , तो $f'(2)$ क्या है?

-5

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $11$

$f'(2) = g'(2)h(2) + g(2)h'(2)$ ।
$= (-1)(4) + (3)(5) = -4 + 15 = 11$ ।

ध्यान देने योग्य

$-5$ तो $g'(2)h'(2)$ है, दोनों अवकलजों का गुणनफल।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{x + 1}{x - 1}$ का अवकलज क्या है?

- \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 x}{\left(x - 1\right)^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $- \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}$

भागफल नियम: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ , जहाँ $u = x + 1$ और $v = x - 1$ ।
सरल करने पर $- \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}$ में अंश उलटा है: यह $u'v - uv'$ है, $uv' - u'v$ नहीं।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(5^x\right)$ क्या है?

x \cdot 5^{x - 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

5^{x} \log 5

सही उत्तरआपका उत्तर

5^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5^{x}}{\log 5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $5^{x} \log 5$

$5^x = e^{x \log 5}$ लिखिए।
शृंखला नियम से इसका अवकलज $e^{x \log 5} \cdot \log 5 = 5^x \log 5$ है।

ध्यान देने योग्य

$x \cdot 5^{x - 1}$ में $5^x$ को $x$ की घात मान लिया गया; यहाँ चर घातांक में है।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \left(x^{2} + 1\right)^{3}$ , तो $f'(1)$ क्या है?

8

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

24

सही उत्तरआपका उत्तर

48

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $24$

शृंखला नियम से $f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6 x \left(x^{2} + 1\right)^{2}$ ।
$x = 1$ पर: $6(1)(2)^2 = 24$ ।

ध्यान देने योग्य

8 तो $f(1)$ है, स्वयं फलन का मान; 12 में अंदर का गुणक $2x$ छूट गया।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$g(1) = 3$ , $g'(1) = 2$ और $f'(3) = 4$ । $x = 1$ पर $f(g(x))$ का अवकलज क्या है?

4

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $8$

शृंखला नियम से $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ ।
$x = 1$ पर: $f'(g(1)) \cdot g'(1) = f'(3) \cdot 2 = 4 \times 2 = 8$ ।

ध्यान देने योग्य

4 तो केवल $f'(3)$ है; अंदर वाले फलन का अवकलज $g'(1) = 2$ अभी गुणा होना बाकी है।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $\frac{d}{dx}(uv) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{dv}{dx}$ ।

II. $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}\right) = 2e^{2x}$ ।

III. $x > 0$ के लिए $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$ ।

IV. $\frac{d}{dx}(\cos x) = \sin x$ ।

केवल II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल II और III

II, $e^{2x}$ पर शृंखला नियम है, और III एक मानक अवकलज है, इसलिए दोनों सही हैं।
I गलत है: $(uv)' = u'v + uv'$ । IV गलत है: $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ ।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\cos{\left(3 x^{2} \right)}\right)$ क्या है?

- \sin{\left(3 x^{2} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

6 x \sin{\left(3 x^{2} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

- 12 x \sin{\left(3 x^{2} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

- 6 x \sin{\left(3 x^{2} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $- 6 x \sin{\left(3 x^{2} \right)}$

शृंखला नियम लगाइए: बाहरी फलन का अवकलज लीजिए, फिर अंदर वाले व्यंजक के अवकलज से गुणा कीजिए।
$\frac{d}{dx}\left(\cos{\left(3 x^{2} \right)}\right) = - 6 x \sin{\left(3 x^{2} \right)}$ ।

ध्यान देने योग्य

$- \sin{\left(3 x^{2} \right)}$ में केवल बाहरी फलन का अवकलन है; अंदर वाले का अवकलज छूट गया।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$e^{x} \cos x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

- e^{x} \sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

- e^{x} \sin x + e^{x} \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x} \sin x + e^{x} \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x} \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $- e^{x} \sin x + e^{x} \cos x$

गुणन नियम: $(uv)' = u'v + uv'$ , जहाँ $u = e^{x}$ और $v = \cos x$ ।
$(e^{x})(\cos x) + (e^{x})(- \sin x) = - e^{x} \sin x + e^{x} \cos x$ ।

ध्यान देने योग्य

$- e^{x} \sin x$ में दोनों अवकलजों का गुणा है, जो गुणन नियम नहीं है।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\cot x$ का अवकलन कीजिए।

\operatorname{cosec}^{2} x

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{2}{\sin 2x}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \operatorname{cosec}^{2} x

सही उत्तरआपका उत्तर

2 \cot x \operatorname{cosec}^{2} x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $- \operatorname{cosec}^{2} x$

$\frac{d}{dx}\left(\cot x\right) = - \operatorname{cosec}^{2} x$ , एक मानक अवकलज।
चिह्न पर ध्यान दीजिए: सह-फलनों (cos, cot, cosec) के अवकलज ऋणात्मक होते हैं।

ध्यान देने योग्य

$\operatorname{cosec}^{2} x$ का चिह्न गलत है।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{\sin x}{x}$ का अवकलज क्या है?

\frac{- x \cos x + \sin x}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{x \cos x - \sin x}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{x \cos x + \sin x}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{x \cos x - \sin x}{x^{2}}$

भागफल नियम: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ , जहाँ $u = \sin x$ और $v = x$ ।
सरल करने पर $\frac{x \cos x - \sin x}{x^{2}}$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{- x \cos x + \sin x}{x^{2}}$ में अंश उलटा है: यह $u'v - uv'$ है, $uv' - u'v$ नहीं।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)$ क्या है?

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

शृंखला नियम लगाइए: बाहरी फलन का अवकलज लीजिए, फिर अंदर वाले व्यंजक के अवकलज से गुणा कीजिए।
$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}$ में केवल बाहरी फलन का अवकलन है; अंदर वाले का अवकलज छूट गया।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x^{3} \log x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

3 x

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

3 x^{2} \log x - x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

3 x^{2} \log x + x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $3 x^{2} \log x + x^{2}$

गुणन नियम: $(uv)' = u'v + uv'$ , जहाँ $u = x^{3}$ और $v = \log x$ ।
$(3 x^{2})(\log x) + (x^{3})(\frac{1}{x}) = 3 x^{2} \log x + x^{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$3 x$ में दोनों अवकलजों का गुणा है, जो गुणन नियम नहीं है।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(e^{x^{2}}\right)$ क्या है?

e^{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- 2 x e^{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 x e^{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

4 x e^{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2 x e^{x^{2}}$

शृंखला नियम लगाइए: बाहरी फलन का अवकलज लीजिए, फिर अंदर वाले व्यंजक के अवकलज से गुणा कीजिए।
$\frac{d}{dx}\left(e^{x^{2}}\right) = 2 x e^{x^{2}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$e^{x^{2}}$ में केवल बाहरी फलन का अवकलन है; अंदर वाले का अवकलज छूट गया।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\tan 2x\right)$ क्या है?

\sec^{2} 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

2 \sec^{2} 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

- 2 \sec^{2} 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

4 \sec^{2} 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2 \sec^{2} 2x$

शृंखला नियम लगाइए: बाहरी फलन का अवकलज लीजिए, फिर अंदर वाले व्यंजक के अवकलज से गुणा कीजिए।
$\frac{d}{dx}\left(\tan 2x\right) = 2 \sec^{2} 2x$ ।

ध्यान देने योग्य

$\sec^{2} 2x$ में केवल बाहरी फलन का अवकलन है; अंदर वाले का अवकलज छूट गया।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$g(1) = 4$ , $g'(1) = 3$ , $h(1) = 2$ और $h'(1) = -1$ । यदि $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ , तो $f'(1)$ क्या है?

- \frac{5}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{5}{2}$

$f'(1) = \frac{g'(1)h(1) - g(1)h'(1)}{[h(1)]^{2}}$ ।
$= \frac{(3)(2) - (4)(-1)}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\frac{5}{2}$ में अंश उलटा है, $gh' - g'h$ ।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sin x\cos x\right)$ क्या है?

\cos 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

- \sin x \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

\sin 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\cos 2x$

गुणन नियम: $\cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ ।
$\cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos 2x$ । (या पहले $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ लिखिए।)

ध्यान देने योग्य

$-\sin x\cos x$ में दोनों अवकलजों, $\cos x$ और $-\sin x$ , का गुणा है, जो गुणन नियम नहीं।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $\frac{d}{dx}\left(5^{x}\right) = x \cdot 5^{x - 1}$ ।

II. $\frac{d}{dx}\left(\log_{10} x\right) = \frac{1}{x\log 10}$ ।

III. $\frac{d}{dx}\left(e^{-3x}\right) = -3e^{-3x}$ ।

IV. $\frac{d}{dx}\left(\log 7x\right) = \frac{7}{x}$ ।

केवल II, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II और IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल II और III

II: $\log_{10} x = \frac{\log x}{\log 10}$ , जिसका अवकलज $\frac{1}{x\log 10}$ है। III: शृंखला नियम से गुणक $-3$ आता है।
I गलत है: घात नियम चर आधार के लिए है; $\frac{d}{dx}5^{x} = 5^{x}\log 5$ । IV गलत है: $\log 7x = \log 7 + \log x$ , इसलिए इसका अवकलज $\frac{1}{x}$ है।

ध्यान देने योग्य

IV आम भूल है: लघुगणक के अंदर का 7 कट जाता है, $\frac{7}{7x} = \frac{1}{x}$ ।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(2^{3x}\right)$ क्या है?

3 \cdot 2^{3 x} \log 2

सही उत्तरआपका उत्तर

2^{3 x} \log 2

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \cdot 2^{3 x - 1} x

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \cdot 2^{3 x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $3 \cdot 2^{3 x} \log 2$

$\frac{d}{dx}a^{u} = a^{u}\log a \cdot \frac{du}{dx}$ , जहाँ $u = 3x$ ।
$2^{3x}\log 2 \cdot 3 = 3 \cdot 2^{3x}\log 2$ ।

ध्यान देने योग्य

$2^{3x}\log 2$ में अंदर के $3x$ से आने वाला गुणक 3 छूट गया।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = x\sqrt{x + 3}$ , तो $f'(1)$ क्या है?

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{9}{4}$

गुणन नियम: $f'(x) = \sqrt{x + 3} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 3}}$ ।
$x = 1$ पर: $\sqrt{4} + \frac{1}{2 \times 2} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{4}$ में केवल $x$ गुणा मूल का अवकलज रखा गया; पद $\sqrt{x + 3}$ छूट गया।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर फलन को सूची II में उसके अवकलज से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $\tan x$	I. $\sec x\tan x$
B. $\sec x$	II. $-\operatorname{cosec} x\cot x$
C. $\cot x$	III. $\sec^{2} x$
D. $\operatorname{cosec} x$	IV. $-\operatorname{cosec}^{2} x$

A-I, B-III, C-II, D-IVसही उत्तरआपका उत्तरA-III, B-I, C-IV, D-IIसही उत्तरआपका उत्तरA-III, B-I, C-II, D-IVसही उत्तरआपका उत्तरA-I, B-III, C-IV, D-IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · A-III, B-I, C-IV, D-II

$\frac{d}{dx}\tan x = \sec^{2} x$ और $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$ ।
सह-फलनों में ऋण चिह्न आता है: $\frac{d}{dx}\cot x = -\operatorname{cosec}^{2} x$ और $\frac{d}{dx}\operatorname{cosec} x = -\operatorname{cosec} x\cot x$ ।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sin^2 3x\right)$ क्या है?

2 \sin 3x

सही उत्तरआपका उत्तर

\sin 6x

सही उत्तरआपका उत्तर

6 \cos^{2} 3x

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \sin 6x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $3 \sin 6x$

तीन परतें हैं: वर्ग, फिर ज्या, फिर $3x$ । हर एक का अवकलज लेकर गुणा कीजिए।
$2\sin 3x \cdot \cos 3x \cdot 3 = 6\sin 3x\cos 3x = 3\sin 6x$ ।

ध्यान देने योग्य

$\sin 6x$ तो $2\sin 3x\cos 3x$ है: अंदर के $3x$ से आने वाला गुणक 3 छूट गया।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{x}{x^{2} + 1}$ का अवकलज क्या है?

\frac{x^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2 x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3 x^{2} + 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1 - x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1 - x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

भागफल नियम: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ , जहाँ $u = x$ और $v = x^{2} + 1$ ।
सरल करने पर $\frac{1 - x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{x^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$ में अंश उलटा है: यह $u'v - uv'$ है, $uv' - u'v$ नहीं।

अस्पष्ट फलन

18 प्रश्न

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र $x^2 + y^2 = 25$ के लिए $(3, 4)$ पर $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

- \frac{4}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $- \frac{3}{4}$

हर पद का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए, $y$ को $x$ का फलन मानते हुए, इसलिए $y$ वाले पदों के साथ $\frac{dy}{dx}$ आता है।
इसे हल करने पर: $\frac{dy}{dx} = - \frac{x}{y}$ ।
$(3, 4)$ पर यह $- \frac{3}{4}$ है।

ध्यान देने योग्य

$- \frac{4}{3}$ तो $\frac{dx}{dy}$ है, व्युत्क्रम।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र $xy = 12$ के लिए $(3, 4)$ पर $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

- \frac{4}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $- \frac{4}{3}$

हर पद का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए, $y$ को $x$ का फलन मानते हुए, इसलिए $y$ वाले पदों के साथ $\frac{dy}{dx}$ आता है।
इसे हल करने पर: $\frac{dy}{dx} = - \frac{y}{x}$ ।
$(3, 4)$ पर यह $- \frac{4}{3}$ है।

ध्यान देने योग्य

$- \frac{3}{4}$ तो $\frac{dx}{dy}$ है, व्युत्क्रम।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र $x^2 + 4y^2 = 20$ के लिए $(2, 2)$ पर $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $- \frac{1}{4}$

हर पद का अवकलन: $2x + 8y\frac{dy}{dx} = 0$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y}$ ।
$(2, 2)$ पर: $-\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-1$ तो $-\frac{x}{y}$ है, वृत्त की ढाल: $y^2$ के आगे का 4 छूट गया।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $x^2 + 2xy + 3y^2 = 1$ , तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\frac{- x - 3 y}{x + y}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{x}{3 y}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{x + y}{x + 3 y}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{- x - y}{x + 3 y}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{- x - y}{x + 3 y}$

$2x + 2\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) + 6y\frac{dy}{dx} = 0$ : पद $2xy$ के लिए गुणन नियम चाहिए।
$(2x + 6y)\frac{dy}{dx} = -(2x + 2y)$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{x + y}{x + 3y}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\frac{x}{3y}$ में $2xy$ का अवकलन ऐसे किया गया मानो $y$ अचर हो, गुणन नियम छूट गया।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y + \cos y = x^2$ , तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\frac{2 x}{1 - \sin y}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 x}{\sin y + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 x

सही उत्तरआपका उत्तर

2 x \left(1 - \sin y\right)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{2 x}{1 - \sin y}$

दोनों ओर अवकलन: $\frac{dy}{dx} - \sin y\frac{dy}{dx} = 2x$ ।
$(1 - \sin y)\frac{dy}{dx} = 2x$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{1 - \sin y}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2x}{1 + \sin y}$ में $\cos y$ का अवकलज $+\sin y$ लिया गया; यह $-\sin y \cdot \frac{dy}{dx}$ है।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $e^y = x$ , तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

e^{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

x

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{x}$

दोनों ओर अवकलन: $e^y\frac{dy}{dx} = 1$ ।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$ ।

ध्यान देने योग्य

$e^y$ तो $\frac{dx}{dy}$ है; प्रश्न उसका व्युत्क्रम पूछता है।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $x = \sin y$ , तो $x$ के पदों में $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\sqrt{1 - x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\cos x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

$x$ के सापेक्ष अवकलन: $1 = \cos y\frac{dy}{dx}$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$ ।
$\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ ( $\cos y > 0$ लेकर), इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{\cos x}$ में $y$ की जगह $x$ रख दिया: अवकलज $\frac{1}{\cos y}$ है, जिसे $\sin y = x$ से बदलकर लिखा जाता है।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $\frac{d}{dx}\left(y^2\right) = 2y\frac{dy}{dx}$ ।

II. $\frac{d}{dx}(xy) = x\frac{dy}{dx} + y$ ।

III. $\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y$ ।

IV. $x^2 + y^2 = 16$ के लिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ ।

केवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरI, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I, II और IV

$y$ का हर फलन $x$ के सापेक्ष अवकलन पर गुणक $\frac{dy}{dx}$ लेता है: इससे I सही और III गलत है, क्योंकि $\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y\frac{dy}{dx}$ ।
II गुणन नियम है। IV: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$ से $-\frac{x}{y}$ मिलता है, इसलिए यह सही है।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र $x^2 + xy + y^2 = 7$ के लिए $(1, 2)$ पर $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

- \frac{8}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{5}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{4}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $- \frac{4}{5}$

हर पद का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए, $y$ को $x$ का फलन मानते हुए, इसलिए $y$ वाले पदों के साथ $\frac{dy}{dx}$ आता है।
इसे हल करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$ ।
$(1, 2)$ पर यह $- \frac{4}{5}$ है।

ध्यान देने योग्य

$- \frac{5}{4}$ तो $\frac{dx}{dy}$ है, व्युत्क्रम।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र $x^2 - y^2 = 16$ के लिए $(5, 3)$ पर $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

- \frac{5}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{5}{3}$

हर पद का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए, $y$ को $x$ का फलन मानते हुए, इसलिए $y$ वाले पदों के साथ $\frac{dy}{dx}$ आता है।
इसे हल करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ ।
$(5, 3)$ पर यह $\frac{5}{3}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{5}$ तो $\frac{dx}{dy}$ है, व्युत्क्रम।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $x^2 + y^2 = 4$ के लिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ ।

कारण (R): $y^2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन $2y\frac{dy}{dx}$ देता है।

A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।सही उत्तरआपका उत्तरA और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।सही उत्तरआपका उत्तरA सही है, लेकिन R गलत है।सही उत्तरआपका उत्तरA गलत है, लेकिन R सही है।सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

R शृंखला नियम है, जहाँ $y$ , $x$ का फलन है, इसलिए यह सही है।
इसका उपयोग करने पर $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$ और $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ : A सही है, और R ही वह चरण है जिससे यह मिलता है।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र $x^2y + xy^2 = 6$ के लिए $(1, 2)$ पर $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

- \frac{8}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{5}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{8}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $- \frac{8}{5}$

हर पद पर गुणन नियम: $2xy + x^2\frac{dy}{dx} + y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ ।
$(1, 2)$ पर: $4 + \frac{dy}{dx} + 4 + 4\frac{dy}{dx} = 0$ , इसलिए $5\frac{dy}{dx} = -8$ और $\frac{dy}{dx} = -\frac{8}{5}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\frac{5}{8}$ में भाग उलटा है: $\frac{dy}{dx}$ वाले पद $5\frac{dy}{dx}$ बनाते हैं और बाकी 8।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = x + \log y$ , तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\frac{y - 1}{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{y}{1 - y}

सही उत्तरआपका उत्तर

1 + \frac{1}{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{y}{y - 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{y}{y - 1}$

दोनों पक्षों का अवकलन: $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$ ।
$\frac{dy}{dx}\left(1 - \frac{1}{y}\right) = 1$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y - 1}$ ।

ध्यान देने योग्य

$1 + \frac{1}{y}$ में $\log y$ का अवकलज $\frac{1}{y}$ लिया गया और गुणक $\frac{dy}{dx}$ भुला दिया गया।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $y^2 = 4x$ के लिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ ।

II. $x^2 - y^2 = 1$ के लिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ ।

केवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIसही उत्तरआपका उत्तरI और II दोनोंसही उत्तरआपका उत्तरन I, न IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: $2y\frac{dy}{dx} = 4$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ । सही।
II: $2x - 2y\frac{dy}{dx} = 0$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ , बिना ऋण चिह्न के। गलत।

ध्यान देने योग्य

II में वृत्त की ढाल उतार दी गई; $y^2$ के आगे का ऋण चिह्न बदल देता है।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $e^{x} + e^{y} = 1$ , तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

- e^{x - y}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x - y}

सही उत्तरआपका उत्तर

- e^{- x + y}

सही उत्तरआपका उत्तर

- e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $- e^{x - y}$

$e^{x} + e^{y}\frac{dy}{dx} = 0$ ।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{x}}{e^{y}} = -e^{x - y}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-e^{y - x}$ में भाग उलटा है: यह $e^{x}$ बटा $e^{y}$ है।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$ के लिए $(4, 1)$ पर $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $- \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx} = 0$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$ ।
$(4, 1)$ पर: $-\frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-2$ तो $-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ है, अनुपात उलटा कर दिया गया।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $xy = e^{x - y}$ , तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\frac{x \left(y + 1\right)}{y \left(x - 1\right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{y \left(x - 1\right)}{x \left(y + 1\right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{y \left(x + 1\right)}{x \left(y - 1\right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{x - 1}{y + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{y \left(x - 1\right)}{x \left(y + 1\right)}$

लघुगणक लीजिए: $\log x + \log y = x - y$ ।
अवकलन: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$ , इसलिए $\frac{dy}{dx}\left(\frac{1}{y} + 1\right) = 1 - \frac{1}{x}$ ।
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(x - 1)}{x(y + 1)}$ ।

ध्यान देने योग्य

उलटी भिन्न तो $\frac{dx}{dy}$ है।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र $x^3 + y^3 = 9xy$ के लिए $(2, 4)$ पर $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

- \frac{4}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{4}{5}$

हर पद का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए, $y$ को $x$ का फलन मानते हुए, इसलिए $y$ वाले पदों के साथ $\frac{dy}{dx}$ आता है।
इसे हल करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} - 3 y}{3 x - y^{2}}$ ।
$(2, 4)$ पर यह $\frac{4}{5}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{4}$ तो $\frac{dx}{dy}$ है, व्युत्क्रम।

प्राचलिक फलन

15 प्रश्न

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $x = 2 t^{2}$ और $y = 4 t$ , तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

t

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{t}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{t}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{t}$

$\frac{dx}{dt} = 4 t$ और $\frac{dy}{dt} = 4$ ।
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1}{t}$ ।

ध्यान देने योग्य

उलटा भाग देने पर $\frac{dx}{dy}$ आता है।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक वक्र $x = t^{2} + 1$ , $y = t^{3}$ से दिया है। $t = 2$ पर इसकी ढाल $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $3$

$\frac{dx}{dt} = 2 t$ और $\frac{dy}{dt} = 3 t^{2}$ ।
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3 t}{2}$ ।
$t = 2$ पर ढाल $3$ है।

ध्यान देने योग्य

उलटा भाग देने पर $\frac{dx}{dy}$ आता है।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक वक्र $x = 3t^{2} + 1$ , $y = t^{3} - 2t$ से दिया है। $t = 1$ पर इसकी ढाल $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

- \frac{5}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{6}$

$t = 1$ पर $\frac{dx}{dt} = 6t = 6$ और $\frac{dy}{dt} = 3t^{2} - 2 = 1$ ।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6}$ ।

ध्यान देने योग्य

6 तो $\frac{dx}{dt} \div \frac{dy}{dt}$ है, उलटी ढाल।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $x = \cos^3 t$ और $y = \sin^3 t$ , तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\tan t

सही उत्तरआपका उत्तर

- \cot t

सही उत्तरआपका उत्तर

- \tan^{2} t

सही उत्तरआपका उत्तर

- \tan t

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $- \tan t$

$\frac{dx}{dt} = -3\cos^2 t\sin t$ और $\frac{dy}{dt} = 3\sin^2 t\cos t$ ।
$\frac{dy}{dx} = \frac{3\sin^2 t\cos t}{-3\cos^2 t\sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$ ।

ध्यान देने योग्य

$\tan t$ में $\cos t$ के अवकलन से आने वाला ऋण चिह्न छूट गया।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यदि $x = f(t)$ और $y = g(t)$ , तो जहाँ $\frac{dx}{dt} \ne 0$ , वहाँ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ ।

II. यदि $x = f(t)$ और $y = g(t)$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I शृंखला नियम $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ को भाग देकर लिखना है। यह सही है।
II गलत है। $x = t^2$ , $y = t^3$ के लिए: $\frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2}$ , इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3/2}{2t} = \frac{3}{4t}$ , जबकि II का अनुपात $\frac{6t}{2} = 3t$ है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक वक्र $x = 3 \cos t$ , $y = 2 \sin t$ से दिया है। $t = \frac{\pi}{3}$ पर इसकी ढाल $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

- \frac{3 \sqrt{3}}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{4 \sqrt{3}}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{2 \sqrt{3}}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $- \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

$\frac{dx}{dt} = - 3 \sin t$ और $\frac{dy}{dt} = 2 \cos t$ ।
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = - \frac{2}{3 \tan t}$ ।
$t = \frac{\pi}{3}$ पर ढाल $- \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ है।

ध्यान देने योग्य

उलटा भाग देने पर $\frac{dx}{dy}$ आता है।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक वक्र $x = e^{t}$ , $y = e^{- t}$ से दिया है। $t = \log 2$ पर इसकी ढाल $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{5}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $- \frac{1}{4}$

$\frac{dx}{dt} = e^{t}$ और $\frac{dy}{dt} = - e^{- t}$ ।
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = - e^{- 2 t}$ ।
$t = \log 2$ पर ढाल $- \frac{1}{4}$ है।

ध्यान देने योग्य

उलटा भाग देने पर $\frac{dx}{dy}$ आता है।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक वक्र $x = \log t$ , $y = t^{2}$ से दिया है। $t = 1$ पर इसकी ढाल $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2$

$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t}$ और $\frac{dy}{dt} = 2 t$ ।
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = 2 t^{2}$ ।
$t = 1$ पर ढाल $2$ है।

ध्यान देने योग्य

उलटा भाग देने पर $\frac{dx}{dy}$ आता है।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $x = \sec t$ और $y = \tan t$ , तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\sin t

सही उत्तरआपका उत्तर

- \operatorname{cosec} t

सही उत्तरआपका उत्तर

\operatorname{cosec} t

सही उत्तरआपका उत्तर

\cot t

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\operatorname{cosec} t$

$\frac{dx}{dt} = \sec t\tan t$ और $\frac{dy}{dt} = \sec^{2} t$ ।
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^{2} t}{\sec t\tan t} = \frac{\sec t}{\tan t} = \frac{1}{\sin t} = \operatorname{cosec} t$ ।

ध्यान देने योग्य

$\sin t$ तो $\frac{dx}{dt} \div \frac{dy}{dt}$ है, उलटा अनुपात।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र $x = t^{2} + 1$ , $y = t^{3} - 3t$ के लिए $t$ के किन मानों पर स्पर्श रेखा क्षैतिज है?

केवल

t = 0

सही उत्तरआपका उत्तरकेवल

t = 1

सही उत्तरआपका उत्तर

t = \sqrt{3}

और

t = -\sqrt{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

t = 1

और

t = -1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $t = 1$ और $t = -1$

स्पर्श रेखा वहाँ क्षैतिज है जहाँ $\frac{dy}{dx} = 0$ : $\frac{dy}{dt} = 0$ और $\frac{dx}{dt} \ne 0$ ।
$3t^{2} - 3 = 0$ से $t = \pm 1$ , और वहाँ $\frac{dx}{dt} = 2t \ne 0$ ।

ध्यान देने योग्य

$t = 0$ पर $\frac{dx}{dt}$ शून्य है: वहाँ स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर है, क्षैतिज नहीं। $t = \pm\sqrt{3}$ पर $y = 0$ है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x^{3}$ का $x^{2}$ के सापेक्ष अवकलज क्या है?

\frac{2}{3 x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3 x}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

x

सही उत्तरआपका उत्तर

3 x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{3 x}{2}$

मान लीजिए $u = x^{3}$ और $v = x^{2}$ ; तब $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ , जहाँ $x$ प्राचल है।
$\frac{3x^{2}}{2x} = \frac{3x}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$3x^{2}$ तो $x$ के सापेक्ष अवकलज है; इसे अभी $\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x$ से भाग देना है।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\sin x$ का $\cos x$ के सापेक्ष अवकलज क्या है?

\cot x

सही उत्तरआपका उत्तर

- \tan x

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan x

सही उत्तरआपका उत्तर

- \cot x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $- \cot x$

$\frac{d(\sin x)}{d(\cos x)} = \frac{\cos x}{-\sin x}$ ।
$= -\cot x$ ।

ध्यान देने योग्य

$\cot x$ में भूल गए कि $\cos x$ का अवकलज $-\sin x$ है।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $x = 2(t - \sin t)$ और $y = 2(1 - \cos t)$ , तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\cot\frac{t}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan\frac{t}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sin t

सही उत्तरआपका उत्तर

2\cot\frac{t}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\cot\frac{t}{2}$

$\frac{dx}{dt} = 2(1 - \cos t)$ और $\frac{dy}{dt} = 2\sin t$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$ ।
$\sin t = 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}$ और $1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$ से यह $\cot\frac{t}{2}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\tan\frac{t}{2}$ तो $\frac{dx}{dy}$ है, उलटा भाग।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक वक्र $x = t - \frac{1}{t}$ , $y = t + \frac{1}{t}$ से दिया है। $t = 2$ पर इसकी ढाल $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

- \frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{8}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{3}{5}$

$\frac{dx}{dt} = 1 + \frac{1}{t^{2}}$ और $\frac{dy}{dt} = 1 - \frac{1}{t^{2}}$ ।
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1}$ ।
$t = 2$ पर ढाल $\frac{3}{5}$ है।

ध्यान देने योग्य

उलटा भाग देने पर $\frac{dx}{dy}$ आता है।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $x = a(\cos t + t\sin t)$ और $y = a(\sin t - t\cos t)$ , तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\cot t

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan t

सही उत्तरआपका उत्तर

t \tan t

सही उत्तरआपका उत्तर

- \tan t

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\tan t$

$\frac{dx}{dt} = a(-\sin t + \sin t + t\cos t) = at\cos t$ ।
$\frac{dy}{dt} = a(\cos t - \cos t + t\sin t) = at\sin t$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{at\sin t}{at\cos t} = \tan t$ ।

ध्यान देने योग्य

$\cot t$ में $\frac{dx}{dt}$ को $\frac{dy}{dt}$ से भाग दिया गया।

द्वितीय कोटि के अवकलज

21 प्रश्न

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = x^{4} - 3 x^{2} + 7 x$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

4 x^{3} - 6 x + 7

सही उत्तरआपका उत्तर

12 x^{2} - 6

सही उत्तरआपका उत्तर

6 - 12 x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\left(4 x^{3} - 6 x + 7\right)^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $12 x^{2} - 6$

पहला अवकलज: $\frac{dy}{dx} = 4 x^{3} - 6 x + 7$ ।
फिर से अवकलन: $\frac{d^2y}{dx^2} = 12 x^{2} - 6$ ।

ध्यान देने योग्य

$4 x^{3} - 6 x + 7$ पहले अवकलज पर रुक गया; $\frac{d^2y}{dx^2}$ में उसका एक बार और अवकलन होता है।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = \sin 2x$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

2 \cos 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

4 \sin 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

4 \cos^{2} 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

- 4 \sin 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $- 4 \sin 2x$

पहला अवकलज: $\frac{dy}{dx} = 2 \cos 2x$ ।
फिर से अवकलन: $\frac{d^2y}{dx^2} = - 4 \sin 2x$ ।

ध्यान देने योग्य

$2 \cos 2x$ पहले अवकलज पर रुक गया; $\frac{d^2y}{dx^2}$ में उसका एक बार और अवकलन होता है।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = x^{3} + 2 x^{2} - x$ के लिए $f''(1)$ क्या है?

6

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

20

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $10$

$f'(x) = 3 x^{2} + 4 x - 1$ और $f''(x) = 6 x + 4$ ।
इसलिए $f''(1) = 10$ ।

ध्यान देने योग्य

$6$ तो $f'(1)$ है, एक अवकलन कम।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = e^{3 x}$ के लिए $f''(0)$ क्या है?

-9

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $9$

$f'(x) = 3 e^{3 x}$ और $f''(x) = 9 e^{3 x}$ ।
इसलिए $f''(0) = 9$ ।

ध्यान देने योग्य

$3$ तो $f'(0)$ है, एक अवकलन कम।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = \frac{1}{x}$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

\frac{2}{x^{3}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{2}{x^{3}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{x^{3}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{2}{x^{3}}$

$y = x^{-1}$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = -x^{-2}$ ।
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^{3}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\frac{2}{x^{3}}$ में चिह्न छूटा: घात $-2$ गुणा पहले से मौजूद $-1$ बराबर $+2$ ।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = \left(x^{2} - 1\right)^{2}$ के लिए $f''(2)$ क्या है?

24

सही उत्तरआपका उत्तर

40

सही उत्तरआपका उत्तर

44

सही उत्तरआपका उत्तर

48

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $44$

विस्तार: $f(x) = x^{4} - 2x^{2} + 1$ , इसलिए $f'(x) = 4x^{3} - 4x$ और $f''(x) = 12x^{2} - 4$ ।
$f''(2) = 48 - 4 = 44$ ।

ध्यान देने योग्य

24 तो $f'(2)$ है, पहला अवकलज।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = \log x$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

\frac{1}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{x - 1}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $- \frac{1}{x^{2}}$

पहला अवकलज: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ ।
फिर से अवकलन: $\frac{d^2y}{dx^2} = - \frac{1}{x^{2}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{x}$ पहले अवकलज पर रुक गया; $\frac{d^2y}{dx^2}$ में उसका एक बार और अवकलन होता है।

प्रश्न 69

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = x e^{x}$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

\left(x + 1\right) e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\left(x + 2\right) e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \left(x + 2\right) e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\left(x + 1\right)^{2} e^{2 x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\left(x + 2\right) e^{x}$

पहला अवकलज: $\frac{dy}{dx} = \left(x + 1\right) e^{x}$ ।
फिर से अवकलन: $\frac{d^2y}{dx^2} = \left(x + 2\right) e^{x}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\left(x + 1\right) e^{x}$ पहले अवकलज पर रुक गया; $\frac{d^2y}{dx^2}$ में उसका एक बार और अवकलन होता है।

प्रश्न 70

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ के लिए $x$ के किस मान पर $f''(x) = 0$ है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2$

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ और $f''(x) = 6x - 12$ ।
$6x - 12 = 0$ से $x = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

1 और 3 वे बिंदु हैं जहाँ $f'(x) = 0$ , यानी पहला अवकलज।

प्रश्न 71

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): यदि $y = x^3$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ ।

कारण (R): $\frac{d^2y}{dx^2}$ , $\frac{dy}{dx}$ का अवकलज है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · A गलत है, लेकिन R सही है।

$\frac{dy}{dx} = 3x^2$ , इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} = 6x$ , जबकि $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 9x^4$ : A गलत है।
R द्वितीय अवकलज की परिभाषा है, इसलिए सही है।

प्रश्न 72

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x) = \log{\left(x + 1 \right)}$ के लिए $f''(1)$ क्या है?

- \frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $- \frac{1}{4}$

$f'(x) = \frac{1}{x + 1}$ और $f''(x) = - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$ ।
इसलिए $f''(1) = - \frac{1}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2}$ तो $f'(1)$ है, एक अवकलन कम।

प्रश्न 73

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = e^{x} \sin x$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

2 e^{x} \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

- 2 e^{x} \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

2 e^{2 x} \sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $2 e^{x} \cos x$

पहला अवकलज: $\frac{dy}{dx} = \sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$ ।
फिर से अवकलन: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 e^{x} \cos x$ ।

ध्यान देने योग्य

$\sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$ पहले अवकलज पर रुक गया; $\frac{d^2y}{dx^2}$ में उसका एक बार और अवकलन होता है।

प्रश्न 74

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = \tan x$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

\sec^{2} x

सही उत्तरआपका उत्तर

2 \tan x \sec x

सही उत्तरआपका उत्तर

2 \tan x \sec^{2} x

सही उत्तरआपका उत्तर

2 \sec^{2} x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2 \tan x \sec^{2} x$

$\frac{dy}{dx} = \sec^{2} x = (\sec x)^{2}$ ।
शृंखला नियम: $2\sec x \cdot \sec x\tan x = 2\sec^{2} x\tan x$ ।

ध्यान देने योग्य

$2\sec x\tan x$ में वर्ग का अवकलन तो हुआ, पर $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$ से आने वाला एक और $\sec x$ छूट गया।

प्रश्न 75

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = 2^{x}$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

2^{x} \log 2

सही उत्तरआपका उत्तर

2^{x} \left(\log 2\right)^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

2^{x - 2} x \left(x - 1\right)

सही उत्तरआपका उत्तर

2 \cdot 2^{x} \log 2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2^{x} \left(\log 2\right)^{2}$

$\frac{dy}{dx} = 2^{x}\log 2$ , और $\log 2$ एक अचर है।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \log 2 \cdot 2^{x}\log 2 = 2^{x}(\log 2)^{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$2^{x}\log 2$ पहला अवकलज है; फिर से अवकलन पर एक और $\log 2$ आता है।

प्रश्न 76

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = \sqrt{x}$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = x^{1/2}$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$ ।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} = -\frac{1}{4x^{3/2}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{4x^{3/2}}$ में घात $-\frac{1}{2}$ से आने वाला ऋण चिह्न छूट गया।

प्रश्न 77

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = \cos{\left(x^{2} \right)}$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

- 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

4 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} + 2 \sin{\left(x^{2} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

- 4 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} - 2 \sin{\left(x^{2} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

4 x^{2} \sin^{2}{\left(x^{2} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $- 4 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} - 2 \sin{\left(x^{2} \right)}$

पहला अवकलज: $\frac{dy}{dx} = - 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}$ ।
फिर से अवकलन: $\frac{d^2y}{dx^2} = - 4 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} - 2 \sin{\left(x^{2} \right)}$ ।

ध्यान देने योग्य

$- 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}$ पहले अवकलज पर रुक गया; $\frac{d^2y}{dx^2}$ में उसका एक बार और अवकलन होता है।

प्रश्न 78

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $x = t^2$ और $y = t^3$ , तो $t = 1$ पर $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

\frac{3}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{3}{4}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$ ।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{3t}{2}\right) \div \frac{dx}{dt} = \frac{3}{2} \div 2t = \frac{3}{4t}$ , जो $t = 1$ पर $\frac{3}{4}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{2}$ में $\frac{dy}{dx}$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके रुक गए: अभी $\frac{dx}{dt}$ से भाग देना बाकी है।

प्रश्न 79

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ के लिए $y$ के पदों में $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

- \frac{9}{y^{3}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9}{y^{3}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{9}{y^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $- \frac{9}{y^{3}}$

$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ ।
भागफल नियम से $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - x\frac{dy}{dx}}{y^2} = -\frac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2} = -\frac{x^2 + y^2}{y^3}$ ।
$x^2 + y^2 = 9$ रखने पर $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{9}{y^3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{9}{y^3}$ में $-\frac{x}{y}$ का ऋण चिह्न छूट गया।

प्रश्न 80

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = x^{2} \log x$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

x \left(2 \log x + 1\right)

सही उत्तरआपका उत्तर

- 2 \log x - 3

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2} \left(2 \log x + 1\right)^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 \log x + 3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $2 \log x + 3$

पहला अवकलज: $\frac{dy}{dx} = x \left(2 \log x + 1\right)$ ।
फिर से अवकलन: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 \log x + 3$ ।

ध्यान देने योग्य

$x \left(2 \log x + 1\right)$ पहले अवकलज पर रुक गया; $\frac{d^2y}{dx^2}$ में उसका एक बार और अवकलन होता है।

प्रश्न 81

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $x = \cos t$ और $y = \sin t$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

\operatorname{cosec}^{2} t

सही उत्तरआपका उत्तर

- \cot t

सही उत्तरआपका उत्तर

\operatorname{cosec}^{3} t

सही उत्तरआपका उत्तर

- \operatorname{cosec}^{3} t

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $- \operatorname{cosec}^{3} t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t$ ।
$\frac{d}{dt}(-\cot t) = \operatorname{cosec}^2 t$ , और $\frac{dx}{dt} = -\sin t$ से भाग देने पर $\frac{d^2y}{dx^2} = -\operatorname{cosec}^3 t$ ।

ध्यान देने योग्य

$\operatorname{cosec}^2 t$ तो $t$ के सापेक्ष अवकलज है, जिसे अभी $\frac{dx}{dt}$ से भाग नहीं दिया गया।

प्रश्न 82

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = e^{-x}\cos x$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ क्या है?

- 2 e^{- x} \sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

2 e^{- x} \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{- x} \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

2 e^{- x} \sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $2 e^{- x} \sin x$

$\frac{dy}{dx} = -e^{-x}\cos x - e^{-x}\sin x = -e^{-x}(\cos x + \sin x)$ ।
$\frac{d^2y}{dx^2} = e^{-x}(\cos x + \sin x) - e^{-x}(\cos x - \sin x) = 2e^{-x}\sin x$ ।

ध्यान देने योग्य

$-2e^{-x}\sin x$ में चिह्न फिसला: $e^{-x}$ का $-$ पहले अवकलज के आगे के $-$ से मिलता है।

द्वितीय अवकलजों वाले समीकरण

14 प्रश्न

प्रश्न 83

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = 3 \sin x + 4 \cos x$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2} + ky = 0$ । $k$ क्या है?

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $1$

दो बार अवकलन करने पर हर पद में गुणक $-1$ आता है: $\frac{d^2y}{dx^2} = - 3 \sin x - 4 \cos x$ ।
यह $-1y$ है, इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} + 1y = 0$ और $k = 1$ ।

ध्यान देने योग्य

$-1$ तो $y$ का वह गुणज है जो $\frac{d^2y}{dx^2}$ के बराबर है; बराबर चिह्न के पार जाने पर चिह्न बदलता है।

प्रश्न 84

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = x^{3}$ और $x^{2}\frac{d^2y}{dx^2} = ky$ , तो $k$ क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $6$

$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = 6x$ ।
$x^{2} \cdot 6x = 6x^{3} = 6y$ , इसलिए $k = 6$ ।

ध्यान देने योग्य

3 पहले अवकलज से आता है: $x\frac{dy}{dx} = 3y$ ।

प्रश्न 85

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = ky$ , तो $k$ क्या है?

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $4$

$\frac{dy}{dx} = 2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$ ।
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4 \left(e^{4 x} + 1\right) e^{- 2 x}$ , जो $4y$ है।

ध्यान देने योग्य

2 एक बार अवकलन से आता है; गुणक 2 दूसरी बार भी निकलता है।

प्रश्न 86

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y = xe^x$ कौन-सा संबंध संतुष्ट करता है?

\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = 0$

$\frac{dy}{dx} = (x + 1)e^x$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = (x + 2)e^x$ ।
$(x + 2) - 2(x + 1) + x = 0$ , इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = 0$ । बाकी संबंध $e^x$ के $4x + 4$ , $2$ और $-x$ गुने छोड़ते हैं।

प्रश्न 87

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $y = e^{3x}$ , $\frac{d^2y}{dx^2} = 9y$ को संतुष्ट करता है।

II. $y = \sin 3x$ , $\frac{d^2y}{dx^2} = 9y$ को संतुष्ट करता है।

III. $y = \cos 3x$ , $\frac{d^2y}{dx^2} + 9y = 0$ को संतुष्ट करता है।

IV. $y = e^{-3x}$ , $\frac{d^2y}{dx^2} = -9y$ को संतुष्ट करता है।

केवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I और III

घातांकीय अपना चिह्न रखते हैं: $e^{3x}$ और $e^{-3x}$ दोनों से $\frac{d^2y}{dx^2} = 9y$ मिलता है, इसलिए I सही और IV गलत है।
ज्या और कोज्या का चिह्न बदलता है: दोनों से $\frac{d^2y}{dx^2} = -9y$ मिलता है, इसलिए II गलत और III सही है।

प्रश्न 88

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर फलन को सूची II में उसके द्वितीय अवकलज से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $y = e^{2x}$	I. $2$
B. $y = \sin 2x$	II. $4y$
C. $y = x^2$	III. $-\frac{1}{x^2}$
D. $y = \log x$	IV. $-4y$

A-IV, B-II, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-II, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · A-II, B-IV, C-I, D-III

$e^{2x}$ से $4e^{2x} = 4y$ , और $\sin 2x$ से $-4\sin 2x = -4y$ ।
$x^2$ से 2, और $\log x$ से $\frac{1}{x}$ , फिर $-\frac{1}{x^2}$ ।

प्रश्न 89

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = 2 \sin 2x - 5 \cos 2x$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2} + ky = 0$ । $k$ क्या है?

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $4$

दो बार अवकलन करने पर हर पद में गुणक $-4$ आता है: $\frac{d^2y}{dx^2} = - 8 \sin 2x + 20 \cos 2x$ ।
यह $-4y$ है, इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$ और $k = 4$ ।

ध्यान देने योग्य

$-4$ तो $y$ का वह गुणज है जो $\frac{d^2y}{dx^2}$ के बराबर है; बराबर चिह्न के पार जाने पर चिह्न बदलता है।

प्रश्न 90

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = e^{ax}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = 16y$ , तो $a$ के संभावित मान क्या हैं?

केवल

4

सही उत्तरआपका उत्तरकेवल

16

सही उत्तरआपका उत्तर

4

या

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

2

या

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $4$ या $-4$

$\frac{d^2y}{dx^2} = a^2e^{ax} = a^2y$ ।
इसलिए $a^2 = 16$ , और $a = 4$ या $a = -4$ ।

ध्यान देने योग्य

$e^{-4x}$ भी चलता है: $(-4)^2 = 16$ ।

प्रश्न 91

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = \log x$ , तो $x\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx}$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{2}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{x^{2}}$ ।
$x \cdot \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{1}{x} = 0$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{x}$ में $\frac{d^2y}{dx^2} = +\frac{1}{x^{2}}$ लिया गया, $\frac{d}{dx}x^{-1}$ का ऋण चिह्न छूट गया।

प्रश्न 92

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = Ae^{2x} + Be^{3x}$ , तो $\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 6y$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

y

सही उत्तरआपका उत्तर

6y

सही उत्तरआपका उत्तर

5\frac{dy}{dx}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0$

हर पद $e^{mx}$ से $(m^2 - 5m + 6)e^{mx}$ मिलता है।
$m^2 - 5m + 6 = (m - 2)(m - 3)$ , $m = 2$ और $m = 3$ के लिए 0 है, इसलिए व्यंजक हर $A$ और $B$ के लिए 0 है।

प्रश्न 93

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $e^y(x + 1) = 1$ , तो इनमें से कौन-सा सही है?

\frac{d^2y}{dx^2} = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^2

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} = e^y

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$

$e^y = \frac{1}{x + 1}$ , इसलिए $y = -\log(x + 1)$ और $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x + 1}$ ।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$ , जो $\left(-\frac{1}{x + 1}\right)^2 = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ है।

ध्यान देने योग्य

ऋण चिह्न पहले अवकलज $-\frac{1}{x + 1}$ का है, और वर्ग करने पर वह हट जाता है।

प्रश्न 94

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $y = 2\cos(\log x) - 5\sin(\log x)$ , तो $x^2\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx}$ क्या है?

-y

सही उत्तरआपका उत्तर

y

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

2y

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-y$

$x\frac{dy}{dx} = -2\sin(\log x) - 5\cos(\log x)$ ।
इसका अवकलन: $x\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = \frac{-2\cos(\log x) + 5\sin(\log x)}{x} = -\frac{y}{x}$ ।
$x$ से गुणा करने पर: $x^2\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} = -y$ ।

ध्यान देने योग्य

0 तो $y$ जोड़ने के बाद आता है: $x^2y'' + xy' + y = 0$ ।

प्रश्न 95

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y = e^{x} + e^{4x}$ , $\frac{d^2y}{dx^2} + p\frac{dy}{dx} + qy = 0$ को संतुष्ट करता है। $p$ और $q$ क्या हैं?

p = 5,\ q = 4

सही उत्तरआपका उत्तर

p = -5,\ q = 4

सही उत्तरआपका उत्तर

p = -5,\ q = -4

सही उत्तरआपका उत्तर

p = -4,\ q = 5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $p = -5,\ q = 4$

$\frac{dy}{dx} = e^{x} + 4e^{4x}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = e^{x} + 16e^{4x}$ ।
हर चरघातांकी अलग से शून्य हो: $1 + p + q = 0$ और $16 + 4p + q = 0$ । घटाने पर $15 + 3p = 0$ , इसलिए $p = -5$ और $q = 4$ ।

ध्यान देने योग्य

$p = 5$ में चिह्न उलटा: घातें 1 और 4, $m^{2} + pm + q = 0$ के मूल हैं, इसलिए $p = -(1 + 4)$ और $q = 1 \times 4$ ।

प्रश्न 96

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y = e^{x}(A\cos x + B\sin x)$ , जहाँ $A$ और $B$ अचर हैं। $y$ कौन-सा संबंध संतुष्ट करता है?

\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} - 2y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0$

$\frac{dy}{dx} = y + e^{x}(-A\sin x + B\cos x)$ , इसलिए $e^{x}(-A\sin x + B\cos x) = \frac{dy}{dx} - y$ ।
फिर से अवकलन: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + \left(\frac{dy}{dx} - y\right) - y$ , यानी $\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$ केवल $A\cos x + B\sin x$ का संबंध है; गुणक $e^{x}$ बीच वाला पद जोड़ता है।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।