Δ = det[a₁₁, a₁₂, a₁₃; a₂₁, a₂₂, a₂₃; a₃₁, a₃₂, a₃₃] है और Aᵢⱼ, aᵢⱼ का सहखंड है। कौन-सा व्यंजक Δ के बराबर है?

a₁₂A₁₂ + a₂₂A₂₂ + a₃₂A₃₂

a₁₂A₂₁ + a₂₂A₂₂ + a₃₂A₂₃

a₁₂M₁₂ + a₂₂M₂₂ + a₃₂M₃₂

a₁₁A₁₂ + a₂₁A₂₂ + a₃₁A₃₂

CUET गणित के लिए सारणिक, सहखंडज और व्युत्क्रम

Q: kA का सारणिक क्या होता है?

n कोटि के वर्ग आव्यूह के लिए kA = k^n A । आव्यूह को k से गुणा करने पर उसकी हर n पंक्ति k से गुणा होती है, और हर पंक्ति से सारणिक के बाहर एक गुणनखंड k आता है, इसलिए 3 × 3 आव्यूह के लिए 2A = 8 A ।

Q: उपसारणिक और सहखंड में क्या अंतर है?

किसी अवयव का उपसारणिक Mᵢⱼ वह सारणिक है जो उसकी पंक्ति i और स्तंभ j हटाने पर बचता है। सहखंड वही उपसारणिक है जिसके साथ स्थान-चिह्न लगा हो, Aᵢⱼ = (-1)^i+jMᵢⱼ, इसलिए i + j सम होने पर दोनों बराबर होते हैं और विषम होने पर विपरीत।

Q: आव्यूह का सहखंडज क्या होता है?

सहखंडज adj A सहखंडों के आव्यूह का परिवर्त है: aᵢⱼ का सहखंड पंक्ति j, स्तंभ i में जाता है। 2 × 2 आव्यूह के लिए यह एक तेज़ नियम बन जाता है: विकर्ण के दोनों अवयव आपस में बदलिए और बाकी दोनों के चिह्न बदलिए।

Q: आव्यूह विधि से समीकरण कैसे हल करते हैं?

समीकरणों को AX = B के रूप में लिखिए, जाँचिए कि A ≠ 0, और बाईं ओर से व्युत्क्रम से गुणा कीजिए: X = A^-1B । क्रम महत्त्वपूर्ण है, क्योंकि B स्तंभ हो तो BA^-1 परिभाषित ही नहीं है।

सीखने में लगभग 10 मिनट · 87 प्रश्न

सारणिक CUET गणित के Section A में आते हैं, वह सेक्शन जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, चाहे आप Mathematics लें या Applied Mathematics। एक संख्या बता देती है कि किसी आव्यूह का व्युत्क्रम है या नहीं और कोई समीकरण निकाय हल हो सकता है या नहीं, और इसके थोड़े-से नियम साफ़ हों तो इसके प्रश्न जल्दी अंक देते हैं। 3 × 3 सारणिक से लेकर उपसारणिक, सहखंड, सहखंडज, व्युत्क्रम और आव्यूह विधि तक हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र: Section A1

इस पृष्ठ पर · 11 भाग

01सारणिक क्या है
02त्रिभुज का क्षेत्रफल
03उपसारणिक और सहखंड
04सहखंडज और व्युत्क्रम
05समीकरण निकाय की संगतता
06आव्यूह विधि
07CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
08परीक्षा के लिए शॉर्टकट
09आम भूलें
10त्वरित पुनरावृत्ति
11अपनी समझ जाँचें

सारणिक क्या है

एक फल विक्रेता 2 kg सेब और 1 kg केले के ₹260 लेता है, और 1 kg सेब और 3 kg केले के ₹230। क्या दोनों के भाव निकाले जा सकते हैं, और क्या उत्तर एक ही है? कुछ भी हल करने से पहले एक संख्या यह तय कर देती है: गुणांकों का सारणिक। अध्याय के अंत में हम इसी फल विक्रेता पर लौटेंगे।

आव्यूह का सारणिक क्या होता है?

सारणिक हर वर्ग आव्यूह से जुड़ी एक संख्या है, जिसे det A लिखते हैं या आव्यूह के दोनों ओर खड़ी रेखाएँ लगाकर। यही तय करता है कि आव्यूह का व्युत्क्रम है या नहीं, और लंबाई या क्षेत्रफल के विपरीत यह ऋणात्मक भी हो सकता है।

1 × 1 आव्यूह का सारणिक उसका अवयव ही है, इसलिए $|[-3]| = -3$ : यहाँ ये रेखाएँ सारणिक दर्शाती हैं, निरपेक्ष मान नहीं।

कोटि 2 और कोटि 3

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}

$3 \times 3$ सारणिक का प्रसार किसी पंक्ति के अनुदिश होता है: हर अवयव को उस $2 \times 2$ सारणिक से गुणा कीजिए जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, चिह्न $+, -, +$ के साथ।

उदाहरण 1 · एक 3 × 3 सारणिक

$\begin{vmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 5 \\ 4 & -1 & 1 \end{vmatrix}$ का मान ज्ञात कीजिए।

तीनों $2 \times 2$ सारणिक हैं $2(1) - 5(-1) = 7$ , $0(1) - 5(4) = -20$ और $0(-1) - 2(4) = -8$ ।
चिह्न $+, -, +$ के साथ: $3(7) - 1(-20) + (-2)(-8) = 21 + 20 + 16$ ।

उत्तर

सारणिक 57 है।

सावधान

बीच वाला पद घटाया जाता है। तीनों पदों को धन चिह्न के साथ लेना वही भूल है जिस पर ज़्यादातर गलत विकल्प बनते हैं।

कोई भी पंक्ति या स्तंभ वही मान देता है, बशर्ते हर अवयव के साथ उसका स्थान-चिह्न $(-1)^{i+j}$ लगे:

\begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix}

इसलिए सबसे अधिक शून्यों वाली पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश प्रसार कीजिए। अगर मुख्य विकर्ण के नीचे हर अवयव 0 हो, तो सारणिक बस विकर्ण अवयवों का गुणनफल है।

kA का सारणिक क्या होता है?

$n$ कोटि के वर्ग आव्यूह के लिए $|kA| = k^n|A|$ । आव्यूह को $k$ से गुणा करने पर उसकी हर $n$ पंक्ति $k$ से गुणा होती है, और हर पंक्ति से सारणिक के बाहर एक गुणनखंड $k$ आता है, इसलिए $3 \times 3$ आव्यूह के लिए $|2A| = 8|A|$ ।

दो और तथ्य बार-बार काम आते हैं: $|A'| = |A|$ , क्योंकि $A$ की पंक्ति के अनुदिश प्रसार $A'$ के स्तंभ के अनुदिश प्रसार ही है; और जिस सारणिक की एक पंक्ति शून्य हो, या दो पंक्तियाँ बराबर या समानुपाती हों, उसका मान 0 होता है।

उदाहरण 2 · सारणिक में अज्ञात

$x$ ज्ञात कीजिए, यदि $\begin{vmatrix} 2x & 3 \\ 6 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}$ ।

बायाँ पक्ष $2x^2 - 18$ है और दायाँ पक्ष $20 - 6 = 14$ ।
इसलिए $2x^2 = 32$ और $x^2 = 16$ ।

उत्तर

$x = 4$ या $x = -4$

त्रिभुज का क्षेत्रफल

सारणिकों से त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?

तीनों शीर्षों को 1 वाले एक स्तंभ के साथ सारणिक में रखिए, और उसके निरपेक्ष मान का आधा लीजिए। निरपेक्ष मान इसलिए चाहिए कि शीर्षों का क्रम बदलने से सारणिक का चिह्न उलट सकता है, पर क्षेत्रफल कभी नहीं।

शीर्षों से क्षेत्रफल

\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\right|

जब एक शीर्ष मूल बिंदु हो, तो बाकी दो के लिए यह $\frac{1}{2}\lvert x_1y_2 - x_2y_1 \rvert$ रह जाता है।

तीन बिंदु ठीक तब संरेख होते हैं जब सारणिक 0 हो, क्योंकि तब "त्रिभुज" का कोई क्षेत्रफल नहीं होता। इसी से रेखा का समीकरण भी मिलता है: बिंदु $(x, y)$ , $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से होकर जाने वाली रेखा पर तब है जब $\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0$ ।

उदाहरण 3 · क्षेत्रफल से शीर्ष

शीर्षों $(2, 0)$ , $(6, 0)$ और $(0, k)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 वर्ग इकाई है। $k$ ज्ञात कीजिए।

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 1 \\ 0 & k & 1 \end{vmatrix} = 2(0 - k) - 0 + 1(6k - 0) = 4k$ ।
$\frac{1}{2}\lvert 4k \rvert = 8$ , इसलिए $4k = 16$ या $4k = -16$ ।

उत्तर

$k = 4$ या $k = -4$ : एक त्रिभुज $x$ -अक्ष के ऊपर और एक नीचे।

सावधान

जब क्षेत्रफल दिया हो, तो सारणिक क्षेत्रफल का दोगुना धन या ऋण दोनों हो सकता है। $k$ का केवल एक मान देने वाला उत्तर आधे हल खो देता है।

उपसारणिक और सहखंड

उपसारणिक और सहखंड में क्या अंतर है?

किसी अवयव का उपसारणिक $M_{ij}$ वह सारणिक है जो उसकी पंक्ति $i$ और स्तंभ $j$ हटाने पर बचता है। सहखंड वही उपसारणिक है जिसके साथ स्थान-चिह्न लगा हो, $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ , इसलिए $i + j$ सम होने पर दोनों बराबर होते हैं और विषम होने पर विपरीत।

सहखंडों के साथ प्रसार में अलग से चिह्न नहीं लगाने पड़ते: सारणिक किसी भी एक पंक्ति या स्तंभ के अवयवों और उनके अपने सहखंडों के गुणनफलों का योग है।

उदाहरण 4 · सहखंडों से प्रसार

$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 3 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & -3 \end{vmatrix}$ के लिए पंक्ति 2 के सहखंड ज्ञात कीजिए और उनसे $\Delta$ का मान निकालिए।

$A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = -(3 - 8) = 5$ , $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = -26$ और $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = -9$ ।
$\Delta = a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23} = 3(5) + 0(-26) + 1(-9)$ ।

उत्तर

\Delta = 6

मुख्य बात

एक पंक्ति के अवयवों और किसी दूसरी पंक्ति के सहखंडों के गुणनफलों का योग सदा 0 होता है। इसलिए हर सारणिक के लिए $a_{11}A_{21} + a_{12}A_{22} + a_{13}A_{23} = 0$ , और जो प्रश्न यह पूछे, उसमें कोई गणना नहीं करनी।

सहखंडज और व्युत्क्रम

आव्यूह का सहखंडज क्या होता है?

सहखंडज $\operatorname{adj} A$ सहखंडों के आव्यूह का परिवर्त है: $a_{ij}$ का सहखंड पंक्ति $j$ , स्तंभ $i$ में जाता है। $2 \times 2$ आव्यूह के लिए यह एक तेज़ नियम बन जाता है: विकर्ण के दोनों अवयव आपस में बदलिए और बाकी दोनों के चिह्न बदलिए।

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

सहखंडज एक सर्वसमिका के कारण महत्त्वपूर्ण है, जो हर वर्ग आव्यूह के लिए सही है:

सहखंडज की सर्वसमिका

A(\operatorname{adj} A) = (\operatorname{adj} A)A = |A|I

किसी आव्यूह का व्युत्क्रम कब होता है?

किसी वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम ठीक तब होता है जब उसका सारणिक 0 न हो। ऐसा आव्यूह व्युत्क्रमणीय (non-singular) कहलाता है, और $|A| = 0$ वाला आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (singular)। सहखंडज की सर्वसमिका को $|A|$ से भाग देने पर व्युत्क्रम मिलता है:

व्युत्क्रम

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{adj} A, \qquad |A| \ne 0

उदाहरण 5 · एक 2 × 2 व्युत्क्रम

$A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ के लिए $A^{-1}$ ज्ञात कीजिए।

$|A| = 15 - 8 = 7$ , जो 0 नहीं है, इसलिए व्युत्क्रम मौजूद है।
$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 5 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$ ।

उत्तर

A^{-1} = \frac{1}{7}\begin{bmatrix} 5 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}

सावधान

सहखंडज सहखंड आव्यूह का परिवर्त है। अगर प्रश्न $\operatorname{adj} A$ की पंक्ति 1, स्तंभ 2 का अवयव पूछे, तो उत्तर सहखंड $A_{21}$ है, $A_{12}$ नहीं।

सहखंडज की सर्वसमिका और $AA^{-1} = I$ के सारणिक लेने पर वे तथ्य मिलते हैं जो CUET सबसे अधिक पूछता है, $n$ कोटि के आव्यूह के लिए:

संबंधित आव्यूहों के सारणिक

|AB| = |A||B|, \qquad |\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}, \qquad |A^{-1}| = \frac{1}{|A|}

बीच वाले को दो बार लगाने पर $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = |A|^{(n-1)^2}$ , जो $3 \times 3$ आव्यूह के लिए $|A|^4$ है। और परिवर्त की तरह, गुणनफल के व्युत्क्रम में भी क्रम उलट जाता है: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ ।

समीकरण निकाय की संगतता

रैखिक समीकरणों का निकाय संगत है यदि उसका कम से कम एक हल हो, और असंगत यदि कोई हल न हो। $AX = B$ के रूप में लिखने पर, जहाँ $A$ में गुणांक, $X$ में अज्ञात और $B$ में दाएँ पक्ष हैं, सारणिक सभी स्थितियाँ अलग कर देता है।

शर्त	निकाय के हल
$\lvert A \rvert \ne 0$	ठीक एक हल
$\lvert A \rvert = 0$ और $(\operatorname{adj} A)B \ne O$	कोई हल नहीं: असंगत
$\lvert A \rvert = 0$ और $(\operatorname{adj} A)B = O$	अनंत या कोई नहीं; दो समीकरणों में अनंत

समीकरण निकाय का कोई हल कब नहीं होता?

कोई हल तब नहीं होता जब गुणांकों का सारणिक 0 हो और सहखंडज का दाएँ पक्ष वाले स्तंभ से गुणनफल शून्य आव्यूह न हो। शब्दों में, समीकरण आपस में विरोधी होते हैं: $2x - y = 3$ और $4x - 2y = 5$ में दूसरा बायाँ पक्ष पहले का दोगुना है, पर 5, 3 का दोगुना नहीं है।

उदाहरण 6 · संगतता की जाँच

$2x - y = 3$ , $4x - 2y = 5$ के कितने हल हैं?

$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -4 + 4 = 0$ , इसलिए अद्वितीय हल नहीं है।
$(\operatorname{adj} A)B = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix} \ne O$ ।

उत्तर

कोई हल नहीं: निकाय असंगत है।

आव्यूह विधि

आव्यूह विधि से समीकरण कैसे हल करते हैं?

समीकरणों को $AX = B$ के रूप में लिखिए, जाँचिए कि $|A| \ne 0$ , और बाईं ओर से व्युत्क्रम से गुणा कीजिए: $X = A^{-1}B$ । क्रम महत्त्वपूर्ण है, क्योंकि $B$ स्तंभ हो तो $BA^{-1}$ परिभाषित ही नहीं है।

फल विक्रेता पर लौटें। सेब ₹ $a$ प्रति किलोग्राम और केले ₹ $b$ प्रति किलोग्राम हों, तो भाव कहते हैं $2a + b = 260$ और $a + 3b = 230$ । गुणांकों का सारणिक $2(3) - 1(1) = 5$ है, 0 नहीं, इसलिए उत्तर ठीक एक है:

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 260 \\ 230 \end{bmatrix} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 550 \\ 200 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 110 \\ 40 \end{bmatrix}

सेब ₹110 प्रति किलोग्राम हैं और केले ₹40।

उदाहरण 7 · तीन समीकरण

$x + 2y + z = 8$ , $2x + y - z = 1$ , $x - y + 2z = 5$ हल कीजिए।

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ और $|A| = 1(2 - 1) - 2(4 + 1) + 1(-2 - 1) = -12$ , इसलिए $A^{-1}$ मौजूद है।
सहखंडों का परिवर्त लेने पर $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 1 & -5 & -3 \\ -5 & 1 & 3 \\ -3 & 3 & -3 \end{bmatrix}$ ।
$X = \frac{1}{-12}\begin{bmatrix} 1 & -5 & -3 \\ -5 & 1 & 3 \\ -3 & 3 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 8 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} = \frac{1}{-12}\begin{bmatrix} -12 \\ -24 \\ -36 \end{bmatrix}$ ।

उत्तर

$x = 1$ , $y = 2$ और $z = 3$ । अंतिम समीकरण में जाँचिए: $1 - 2 + 6 = 5$ ।

मुख्य बात

अगर प्रश्न कोई गुणनफल दे, जैसे $AB = 6I$ , तो उसने व्युत्क्रम दे दिया है: $A^{-1} = \frac{1}{6}B$ । तब निकाय $AX = C$ के लिए $X = \frac{1}{6}BC$ , कोई सहखंड निकालने की ज़रूरत नहीं।

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

मान: $2 \times 2$ या $3 \times 3$ सारणिक, अक्सर अक्षरों या $\sin\theta$ और $\cos\theta$ के साथ, या $x$ का वह मान जिससे सारणिक 0 हो।
सारणिक के तथ्य: दिए गए $|A|$ से $|kA|$ , $|AB|$ , $|\operatorname{adj} A|$ , $|A^{-1}|$ और $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)|$ , अक्सर सूची-मिलान प्रश्न के रूप में।
क्षेत्रफल और संरेखता: शीर्षों से क्षेत्रफल, या $k$ का वह मान जो दिया गया क्षेत्रफल दे या तीन बिंदुओं को संरेख बनाए।
व्युत्क्रम: $2 \times 2$ व्युत्क्रम, सहखंडज का एक अवयव, या $A^2 - 3A + I = O$ जैसे आव्यूह समीकरण से पढ़ा गया व्युत्क्रम।
निकाय: किसी निकाय के कितने हल हैं, वह $k$ जिससे अद्वितीय हल न रहे, या आव्यूह विधि से एक अज्ञात, कभी-कभी शाब्दिक प्रश्न में।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

$|kA| = k^n|A|$ , $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ , $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ ।
त्रिभुजाकार सारणिक उसके विकर्ण का गुणनफल है।
विषम कोटि के विषम सममित आव्यूह का सारणिक 0 होता है।
एक पंक्ति के अवयव और दूसरी पंक्ति के सहखंड: योग सदा 0।
$2 \times 2$ सहखंडज: विकर्ण बदलिए, बाकी दोनों के चिह्न बदलिए।
यदि $A^2 = kI$ , तो $A^{-1} = \frac{1}{k}A$ ।

आम भूलें

$3 \times 3$ प्रसार के बीच वाले पद को धन चिह्न देना।
$|kA|$ की जगह $k|A|$ लेना।
क्षेत्रफल के सूत्र में $\frac{1}{2}$ भूलना, या $k$ के दो मानों में से एक छोड़ देना।
सहखंड आव्यूह का परिवर्त लिए बिना उसे ही सहखंडज मान लेना।
$|A| \ne 1$ होने पर भी सहखंडज को ही व्युत्क्रम मान लेना।
केवल $|A| = 0$ देखकर "कोई हल नहीं" कह देना, $(\operatorname{adj} A)B$ जाँचे बिना।

त्वरित पुनरावृत्ति

मान

$ad - bc$ ; पंक्ति के अनुदिश $+, -, +$ से प्रसार
$|A'| = |A|$ , $|kA| = k^n|A|$ , $|AB| = |A||B|$

क्षेत्रफल

क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\lvert \Delta \rvert$ ; संरेख जब $\Delta = 0$
दिया गया क्षेत्रफल अज्ञात के दो मान देता है

सहखंड, सहखंडज, व्युत्क्रम

$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$
$\operatorname{adj} A$ = सहखंड आव्यूह का परिवर्त
$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{adj} A$ , केवल यदि $|A| \ne 0$

निकाय

$|A| \ne 0$ : एक हल, $X = A^{-1}B$
$|A| = 0$ : $(\operatorname{adj} A)B$ जाँचिए

कलन की शुरुआत इससे होती है कि फलन कैसे बदलता है, और वह बदलाव कैसे बदलता है: अवकलज और द्वितीय कोटि के अवकलज।

आगे · 10त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

87 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

आव्यूह का सारणिकप्र1 / 87प्र1

आव्यूह का सारणिक

23 प्रश्न

प्रश्न 1

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1 × 1 आव्यूह $A = \begin{bmatrix} -7 \end{bmatrix}$ का सारणिक क्या है?

-7

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

49

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-7$

1 × 1 आव्यूह का सारणिक उसका एकमात्र अवयव ही होता है।
इसलिए $|A| = -7$ । यहाँ $|A|$ का अर्थ सारणिक है, निरपेक्ष मान नहीं।

ध्यान देने योग्य

7 में $|A|$ को निरपेक्ष मान पढ़ा गया; आव्यूह के लिए ये रेखाएँ सारणिक दर्शाती हैं, जो ऋणात्मक भी हो सकता है।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{vmatrix}3 & 5 \\ 2 & 4\end{vmatrix}$ का मान क्या है?

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

22

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2$

2 × 2 सारणिक में मुख्य विकर्ण का गुणनफल लेकर उसमें से दूसरे विकर्ण का गुणनफल घटाइए।
$3(4) - 5(2) = 12 - 10 = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

22 में दोनों गुणनफल जोड़ दिए गए, $12 + 10$ , घटाए नहीं।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{vmatrix} 3\sin\theta & -3\cos\theta \\ \cos\theta & \sin\theta \end{vmatrix}$ का मान क्या है?

-3\cos 2\theta

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $3$

$3\sin\theta \cdot \sin\theta - (-3\cos\theta)(\cos\theta) = 3\sin^2\theta + 3\cos^2\theta$ ।
$= 3(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 3$ , $\theta$ कुछ भी हो।

ध्यान देने योग्य

$-3\cos 2\theta$ तो $3\sin^2\theta - 3\cos^2\theta$ है: $-3\cos\theta$ का ऋण चिह्न छूट गया।

प्रश्न 4

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{vmatrix} x + 2 & x - 1 \\ x + 1 & x \end{vmatrix}$ क्या है?

2 x - 1

सही उत्तरआपका उत्तर

2 x^{2} + 2 x - 1

सही उत्तरआपका उत्तर

2 x + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2 x + 1$

$(x + 2)x - (x - 1)(x + 1) = x^2 + 2x - (x^2 - 1)$ ।
$= 2x + 1$ ।

ध्यान देने योग्य

$2x - 1$ में $x^2 - 1$ को कोष्ठक के बिना घटाया गया, इसलिए उसके $-1$ का चिह्न नहीं बदला।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -2\end{vmatrix}$ क्या है?

-13

सही उत्तरआपका उत्तर

-12

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $-12$

मुख्य विकर्ण के नीचे हर अवयव 0 है। स्तंभ 1 के अनुदिश प्रसार से $2\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}$ बचता है।
$= 2(-6 - 0) = -12$ : विकर्ण अवयवों का गुणनफल $2 \times 3 \times (-2)$ ।

ध्यान देने योग्य

3 में विकर्ण अवयव जोड़े गए; त्रिभुजाकार सारणिक उनका गुणनफल होता है।

प्रश्न 6

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\begin{vmatrix} x & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 6$ , तो $x$ क्या है?

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

18

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $9$

सारणिक $2x - 12$ है।
$2x - 12 = 6$ से $2x = 18$ , इसलिए $x = 9$ ।

ध्यान देने योग्य

$-3$ तब आता है जब $2x + 12 = 6$ लिया जाए: गुणनफल 12 घटाने के बजाय जोड़ा गया।

प्रश्न 7

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ , 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है जिसमें $|A| = 5$ । $|2A|$ क्या है?

-40

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

30

सही उत्तरआपका उत्तर

40

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $40$

$2A$ में $A$ की हर 3 पंक्ति $2$ से गुणा होती है, और हर पंक्ति से एक गुणनखंड $2$ बाहर आता है।
$|2A| = 2^{3}|A| = 8 \times 5 = 40$ ।

ध्यान देने योग्य

$10$ में गुणनखंड एक बार निकाला गया; वह हर पंक्ति से एक बार निकलता है।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ एक 3 × 3 आव्यूह है जिसके लिए $|A| = 7$ । $A$ की दो पंक्तियाँ आपस में बदलकर $B$ बनता है। $|B|$ क्या है?

-7

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

14

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-7$

दो पंक्तियाँ बदलने से सारणिक का केवल चिह्न बदलता है।
इसलिए $|B| = -7$ ।

ध्यान देने योग्य

7 में चिह्न परिवर्तन भूल गए।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ एक वर्ग आव्यूह है जिसके लिए $|A| = -2$ । $|A^3|$ क्या है?

-8

सही उत्तरआपका उत्तर

-6

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-8$

$|A^3| = |A|^3$ , क्योंकि गुणनफल का सारणिक सारणिकों का गुणनफल है।
$(-2)^3 = -8$ ।

ध्यान देने योग्य

$-6$ में 3 से गुणा किया, घात 3 नहीं ली।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ एक 3 × 3 आव्यूह है जिसके लिए $|A| = 5$ । $R_2 \to R_2 + 3R_1$ से $A$ से $B$ बनता है। $|B|$ क्या है?

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

20

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $5$

किसी पंक्ति में दूसरी पंक्ति का गुणज जोड़ने से सारणिक नहीं बदलता।
इसलिए $|B| = 5$ ।

ध्यान देने योग्य

15 में संक्रिया को पंक्ति का 3 से गुणा मान लिया, जो सारणिक को 3 से गुणा कर देता।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{vmatrix}2 & -3 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 5 & 3\end{vmatrix}$ का मान ज्ञात कीजिए।

-82

सही उत्तरआपका उत्तर

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

82

सही उत्तरआपका उत्तर

92

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $82$

पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार कीजिए, चिह्न $+, -, +$ के साथ।
उपसारणिक $\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = 10$ , $\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 14$ और $\begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 20$ हैं।
$2(10) - (-3)(14) + 1(20) = 82$ ।

ध्यान देने योग्य

$-2$ सभी चिह्न धन लेने से आता है: बीच वाला पद घटाना होता है।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{vmatrix}2 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & 4 \\ 5 & 1 & 6\end{vmatrix}$ का मान ज्ञात कीजिए।

-11

सही उत्तरआपका उत्तर

-6

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-11$

स्तंभ 2 में दो शून्य हैं, इसलिए उसी के अनुदिश प्रसार कीजिए: केवल $a_{32} = 1$ का योगदान है।
उसका चिह्न $(-1)^{3 + 2} = -1$ है और उपसारणिक $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 11$ है।
इसलिए सारणिक $-1 \times 1 \times 11 = -11$ है।

ध्यान देने योग्य

$11$ में $a_{32}$ का स्थान-चिह्न $(-1)^{3 + 2}$ भूल गए।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x$ ज्ञात कीजिए, यदि $\begin{vmatrix} x & 3 \\ 12 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}5 & 3 \\ 12 & 5\end{vmatrix}$ ।

केवल

5

सही उत्तरआपका उत्तर

\pm 5

सही उत्तरआपका उत्तरकेवल

-5

सही उत्तरआपका उत्तर

\pm 6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\pm 5$

बायाँ पक्ष $x^2 - 36$ है और दायाँ पक्ष $-11$ ।
इसलिए $x^2 = 25$ , $x^2 = 25$ और $x = \pm 5$ ।

ध्यान देने योग्य

केवल $5$ लेने पर ऋणात्मक मूल छूट गया: $(-5)^2$ भी $25$ है।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{vmatrix}0 & a & - b \\ - a & 0 & c \\ b & - c & 0\end{vmatrix}$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

2 a b c

सही उत्तरआपका उत्तर

- 2 a b c

सही उत्तरआपका उत्तर

a^{2} + b^{2} + c^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0$

पंक्ति 1 के अनुदिश प्रसार: $0 - a(0 - bc) + (-b)(ac - 0) = abc - abc$ ।
इसलिए मान 0 है। यह 3 कोटि का विषम सममित आव्यूह है, और विषम कोटि के हर विषम सममित आव्यूह का सारणिक 0 होता है।

ध्यान देने योग्य

$2abc$ में पद $-b(ac)$ को धन ले लिया गया; दोनों $abc$ पद कट जाते हैं।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. हर वर्ग आव्यूह $A$ के लिए $|A'| = |A|$ ।

II. 3 कोटि के हर वर्ग आव्यूह $A$ के लिए $|3A| = 3|A|$ ।

III. जिस सारणिक की एक पंक्ति के सभी अवयव शून्य हों, उसका मान 0 होता है।

IV. किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ आपस में बदलने से उसका मान नहीं बदलता।

केवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I और III

$A$ की पंक्ति के अनुदिश प्रसार $A'$ के स्तंभ के अनुदिश प्रसार ही है, इसलिए I सही है; शून्य पंक्ति के अनुदिश प्रसार से हर पद 0 होता है, इसलिए III सही है।
$|3A| = 3^3|A| = 27|A|$ , इसलिए II गलत है; दो पंक्तियाँ बदलने से चिह्न बदल जाता है, इसलिए IV गलत है।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 5 & 1 & 7 \end{vmatrix} = 0$ ।

कारण (R): जिस सारणिक की दो पंक्तियाँ समानुपाती हों, उसका मान 0 होता है।

A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।सही उत्तरआपका उत्तरA और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।सही उत्तरआपका उत्तरA सही है, लेकिन R गलत है।सही उत्तरआपका उत्तरA गलत है, लेकिन R सही है।सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

पंक्ति 2, पंक्ति 1 की दोगुनी है, इसलिए दो पंक्तियाँ समानुपाती हैं।
R सही है और ठीक इसी कारण सारणिक 0 है (प्रसार से $1(28 - 6) - 2(14 - 30) + 3(2 - 20) = 22 + 32 - 54 = 0$ )।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x$ के किस मान के लिए $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ x & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1\end{vmatrix} = 0$ है?

-7

सही उत्तरआपका उत्तर

-5

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $5$

पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार कीजिए: $1(1 - 0) - 2(x - 0) + 3(x - 2)$ ।
$= 1 - 2x + 3x - 6 = x - 5$ , जो $x = 5$ पर 0 है।

ध्यान देने योग्य

1 में बीच वाले पद को धन चिह्न दे दिया गया: $1 + 2x + 3x - 6 = 5x - 5$ ।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ , 2 कोटि का वर्ग आव्यूह है जिसमें $|A| = 6$ । $|-3A|$ क्या है?

-54

सही उत्तरआपका उत्तर

-18

सही उत्तरआपका उत्तर

54

सही उत्तरआपका उत्तर

55

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $54$

$-3A$ में $A$ की हर 2 पंक्ति $-3$ से गुणा होती है, और हर पंक्ति से एक गुणनखंड $-3$ बाहर आता है।
$|-3A| = (-3)^{2}|A| = 9 \times 6 = 54$ ।

ध्यान देने योग्य

$-18$ में गुणनखंड एक बार निकाला गया; वह हर पंक्ति से एक बार निकलता है।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}$ का मान क्या है?

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0$

$R_3 \to R_3 - R_2$ और $R_2 \to R_2 - R_1$ लगाइए: दोनों पंक्तियाँ $(3, 3, 3)$ बन जाती हैं।
दो समान पंक्तियाँ सारणिक को 0 बना देती हैं।

ध्यान देने योग्य

हर चिह्न $+$ लेकर प्रसार करने से शून्येतर मान आता है; चिह्न एकांतर होने चाहिए।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ , तो $|AB|$ क्या है?

12

सही उत्तरआपका उत्तर

26

सही उत्तरआपका उत्तर

35

सही उत्तरआपका उत्तर

36

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $35$

$|AB| = |A||B|$ ।
$|A| = 8 - 3 = 5$ और $|B| = 3 + 4 = 7$ , इसलिए $|AB| = 35$ ।

ध्यान देने योग्य

12 में सारणिक जोड़े गए; गुणनफल का सारणिक उन्हें गुणा करता है।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{vmatrix}1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 5\end{vmatrix}$ का मान ज्ञात कीजिए।

-41

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

41

सही उत्तरआपका उत्तर

45

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $41$

शून्य वाले स्तंभ 1 के अनुदिश प्रसार: $1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} - 0 + 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$ ।
$= 1(15 - 2) + 4(4 + 3) = 13 + 28 = 41$ ।

ध्यान देने योग्य

स्तंभ 1 के अनुदिश चिह्न $+, -, +$ हैं; तीसरा पद $+$ ही रहता है।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{vmatrix}1 & a & b \\ - a & 1 & c \\ - b & - c & 1\end{vmatrix}$ क्या है?

- a^{2} - b^{2} - c^{2} + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

a^{2} - 2 a b c + b^{2} + c^{2} + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1$

पंक्ति 1: $1(1 + c^2) - a(-a + bc) + b(ac + b)$ ।
$= 1 + c^2 + a^2 - abc + abc + b^2 = 1 + a^2 + b^2 + c^2$ ।

ध्यान देने योग्य

$1 + a^2 + b^2 + c^2 - 2abc$ में $abc$ पद बचे रह गए, पर एक $-a$ के साथ और एक $+b$ के साथ आता है, इसलिए वे कट जाते हैं।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x$ ज्ञात कीजिए, यदि $\begin{vmatrix} 2x & 5 \\ 8 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}6 & -2 \\ 7 & 3\end{vmatrix}$ ।

केवल

6

सही उत्तरआपका उत्तरकेवल

-6

सही उत्तरआपका उत्तर

\pm 7

सही उत्तरआपका उत्तर

\pm 6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\pm 6$

बायाँ पक्ष $2x^2 - 40$ है और दायाँ पक्ष $32$ ।
इसलिए $2x^2 = 72$ , $x^2 = 36$ और $x = \pm 6$ ।

ध्यान देने योग्य

केवल $6$ लेने पर ऋणात्मक मूल छूट गया: $(-6)^2$ भी $36$ है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

12 प्रश्न

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शीर्षों $(1, 2), (4, 6), (7, 3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

\frac{21}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{21}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{23}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

21

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{21}{2}$

क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 1 \\ 7 & 3 & 1\end{vmatrix}\right|$ ।
सारणिक $-21$ है, इसलिए क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 21 = \frac{21}{2}$ वर्ग इकाई है।

ध्यान देने योग्य

$21$ तो $\frac{1}{2}$ लगाने से पहले सारणिक का मान है।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शीर्षों $(0, 0)$ , $(6, 2)$ और $(2, 5)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

11

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

17

सही उत्तरआपका उत्तर

26

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $13$

एक शीर्ष मूल बिंदु पर हो, तो सारणिक बाकी दो बिंदुओं के लिए $x_1y_2 - x_2y_1$ रह जाता है।
$6(5) - 2(2) = 26$ , इसलिए क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 26 = 13$ वर्ग इकाई है।

ध्यान देने योग्य

26 में $\frac{1}{2}$ भूल गए।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$k$ के किस मान के लिए बिंदु $(1, 3)$ , $(2, 5)$ और $(4, k)$ संरेख हैं?

-9

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $9$

तीन बिंदु तब संरेख होते हैं जब उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 हो, यानी सारणिक 0 हो।
$\begin{vmatrix}1 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 4 & k & 1\end{vmatrix} = k - 9 = 0$ से $k = 9$ ।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शीर्षों $(0, 2), (4, 2), (0, k)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है। $k$ के संभावित मान क्या हैं?

-1

या

5

सही उत्तरआपका उत्तरकेवल

5

सही उत्तरआपका उत्तरकेवल

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

-5

या

1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-1$ या $5$

सारणिक $4 k - 8$ है, और $\frac{1}{2}\left|4 k - 8\right| = 6$ , इसलिए $4 k - 8 = \pm 12$ ।
दोनों चिह्नों से $k = -1$ और $k = 5$ मिलते हैं।

ध्यान देने योग्य

क्षेत्रफल सारणिक का संख्यात्मक मान है, इसलिए सारणिक किसी भी चिह्न का हो सकता है: केवल एक मान दूसरा त्रिभुज छोड़ देता है।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सारणिकों की सहायता से $(2, 3)$ और $(4, 7)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण क्या है?

y = 2x + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 3x - 3

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 2x - 1

सही उत्तरआपका उत्तर

2y = x + 4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $y = 2x - 1$

बिंदु $(x, y)$ रेखा पर ठीक तब है जब वह दोनों बिंदुओं के साथ संरेख हो: $\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 1 \end{vmatrix} = 0$ ।
प्रसार करने पर: $x(3 - 7) - y(2 - 4) + (14 - 12) = -4x + 2y + 2 = 0$ , यानी $y = 2x - 1$ ।

ध्यान देने योग्य

$y = 2x + 1$ का ढाल सही है, पर यह दोनों बिंदुओं से नहीं जाती: $x = 2$ पर यह 5 देती है, 3 नहीं।

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$ होने का क्या अर्थ है?

तीनों बिंदु समकोण त्रिभुज बनाते हैं।सही उत्तरआपका उत्तरत्रिभुज का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई है।सही उत्तरआपका उत्तरएक बिंदु मूल बिंदु है।सही उत्तरआपका उत्तरतीनों बिंदु एक सरल रेखा पर हैं।सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरD · तीनों बिंदु एक सरल रेखा पर हैं।

इस सारणिक के संख्यात्मक मान का आधा इन शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल 0 का अर्थ है कि त्रिभुज बनता ही नहीं: बिंदु संरेख हैं।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. क्षेत्रफल सारणिक के निरपेक्ष मान का आधा होता है, क्योंकि सारणिक स्वयं ऋणात्मक हो सकता है।

II. उन्हीं तीन शीर्षों को दूसरे क्रम में लिखने से क्षेत्रफल बदल जाता है।

केवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIसही उत्तरआपका उत्तरI और II दोनोंसही उत्तरआपका उत्तरन I, न IIसही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरA · केवल I

दो शीर्षों का क्रम बदलने से सारणिक की दो पंक्तियाँ बदलती हैं, जिससे केवल उसका चिह्न बदलता है, इसलिए सारणिक ऋणात्मक आ सकता है: I सही है।
निरपेक्ष मान वह चिह्न हटा देता है, इसलिए किसी भी क्रम में क्षेत्रफल वही रहता है: II गलत है।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शीर्षों $(-2, 1), (3, 4), (5, -1)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

\frac{31}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{29}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{31}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

31

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{31}{2}$

क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}-2 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 5 & -1 & 1\end{vmatrix}\right|$ ।
सारणिक $-31$ है, इसलिए क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 31 = \frac{31}{2}$ वर्ग इकाई है।

ध्यान देने योग्य

$31$ तो $\frac{1}{2}$ लगाने से पहले सारणिक का मान है।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीन बिंदुओं के इन समुच्चयों में से कौन-सा संरेख है?

(1, 1), (2, 3), (4, 6)

सही उत्तरआपका उत्तर

(1, -1), (2, 1), (4, 5)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, 2), (3, 0), (6, -3)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-1, 0), (1, 3), (3, 5)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $(1, -1), (2, 1), (4, 5)$

बिंदु तब संरेख होते हैं जब $\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$ ।
$(1, -1), (2, 1), (4, 5)$ के लिए सारणिक $1(1 - 5) - (-1)(2 - 4) + (10 - 4) = -4 - 2 + 6 = 0$ है; बाकी हर समुच्चय के लिए यह 0 नहीं है।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शीर्षों $(-1, -2), (2, 3), (4, -1)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

\frac{11}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

22

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $11$

क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}-1 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 1\end{vmatrix}\right|$ ।
सारणिक $-22$ है, इसलिए क्षेत्रफल $11$ वर्ग इकाई है।

ध्यान देने योग्य

$22$ तो $\frac{1}{2}$ लगाने से पहले सारणिक का मान है।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$k$ के किस मान के लिए बिंदु $(k, 2)$ , $(3, 4)$ और $(5, 6)$ संरेख हैं?

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $1$

संरेख बिंदुओं के लिए $\begin{vmatrix} k & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 5 & 6 & 1 \end{vmatrix} = 0$ ।
प्रसार: $k(4 - 6) - 2(3 - 5) + (18 - 20) = -2k + 2 = 0$ , इसलिए $k = 1$ ।

ध्यान देने योग्य

जाँच: $(3, 4)$ और $(5, 6)$ , $y = x + 1$ पर हैं, और वहाँ $y = 2$ के लिए $x = 1$ चाहिए।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शीर्षों $(k, 0), (5, 0), (0, 3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है। $k$ के संभावित मान क्या हैं?

केवल

9

सही उत्तरआपका उत्तरकेवल

1

सही उत्तरआपका उत्तर

-9

या

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

1

या

9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $1$ या $9$

सारणिक $15 - 3 k$ है, और $\frac{1}{2}\left|15 - 3 k\right| = 6$ , इसलिए $15 - 3 k = \pm 12$ ।
दोनों चिह्नों से $k = 1$ और $k = 9$ मिलते हैं।

ध्यान देने योग्य

उपसारणिक और सहखंड

11 प्रश्न

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{vmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 7 \end{vmatrix}$ में अवयव $-2$ का सहखंड $A_{12}$ क्या है?

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-3$

पंक्ति 1 और स्तंभ 2 हटाने पर 3 बचता है, इसलिए उपसारणिक $M_{12} = 3$ है।
$A_{12} = (-1)^{1 + 2}M_{12} = -3$ ।

ध्यान देने योग्य

3 उपसारणिक है; सहखंड में चिह्न $(-1)^{1 + 2} = -1$ लगता है।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

3 × 3 सारणिक के अवयव $a_{23}$ का सहखंड $A_{23}$ और उपसारणिक $M_{23}$ किस प्रकार संबंधित हैं?

A_{23} = M_{23}

सही उत्तरआपका उत्तर

A_{23} = -M_{32}

सही उत्तरआपका उत्तर

A_{23} = -M_{23}

सही उत्तरआपका उत्तर

A_{23} = a_{23}M_{23}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $A_{23} = -M_{23}$

$A_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij}$ ।
यहाँ $i + j = 5$ विषम है, इसलिए $A_{23} = -M_{23}$ ।

ध्यान देने योग्य

$A_{23} = M_{23}$ केवल तब होता है जब $i + j$ सम हो।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\Delta = \begin{vmatrix}4 & 1 & -2 \\ 3 & 5 & 0 \\ -1 & 2 & 6\end{vmatrix}$ के लिए उपसारणिक $M_{22}$ क्या है?

19

सही उत्तरआपका उत्तर

21

सही उत्तरआपका उत्तर

22

सही उत्तरआपका उत्तर

26

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $22$

पंक्ति 2 और स्तंभ 2 हटाइए: $M_{22} = \begin{vmatrix}4 & -2 \\ -1 & 6\end{vmatrix} = 22$ ।
सहखंड $A_{22} = (-1)^{4}M_{22} = 22$ है।

ध्यान देने योग्य

$26$ तो $M_{22}$ है: पंक्ति और स्तंभ उलट गए।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\Delta = \begin{vmatrix}2 & -3 & 1 \\ 5 & 4 & -2 \\ 1 & 6 & 3\end{vmatrix}$ के लिए सहखंड $A_{12}$ क्या है?

-20

सही उत्तरआपका उत्तर

-17

सही उत्तरआपका उत्तर

-15

सही उत्तरआपका उत्तर

17

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $-17$

पंक्ति 1 और स्तंभ 2 हटाइए: $M_{12} = \begin{vmatrix}5 & -2 \\ 1 & 3\end{vmatrix} = 17$ ।
सहखंड $A_{12} = (-1)^{3}M_{12} = -17$ है।

ध्यान देने योग्य

$17$ उपसारणिक है; स्थान $(1, 2)$ का चिह्न $-1$ है।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}4 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 5 \\ 1 & 2 & -1\end{bmatrix}$ के लिए $a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23}$ क्या है, जहाँ $A_{ij}$ , $a_{ij}$ का सहखंड है?

-21

सही उत्तरआपका उत्तर

-18

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

21

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-21$

किसी पंक्ति के अवयवों और उन्हीं के सहखंडों के गुणनफलों का योग सारणिक होता है।
पंक्ति 2 के सहखंड $1$ , $-4$ और $-7$ हैं, इसलिए योग $2(1) + (-3)(-4) + 5(-7) = -21$ है।

ध्यान देने योग्य

0 तब आता है जब एक पंक्ति के अवयवों को दूसरी पंक्ति के सहखंडों से गुणा किया जाए।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ है और $A_{ij}$ , $a_{ij}$ का सहखंड है। कौन-सा व्यंजक $\Delta$ के बराबर है?

a_{12}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{32}A_{23}

सही उत्तरआपका उत्तर

a_{12}M_{12} + a_{22}M_{22} + a_{32}M_{32}

सही उत्तरआपका उत्तर

a_{11}A_{12} + a_{21}A_{22} + a_{31}A_{32}

सही उत्तरआपका उत्तर

a_{12}A_{12} + a_{22}A_{22} + a_{32}A_{32}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $a_{12}A_{12} + a_{22}A_{22} + a_{32}A_{32}$

सारणिक किसी एक पंक्ति या स्तंभ के अवयवों और उनके अपने सहखंडों के गुणनफलों का योग है।
पहला व्यंजक यही स्तंभ 2 के लिए करता है। उपसारणिक वाले रूप में चिह्न छूट जाते हैं, उलटे सूचकांक अवयवों को गलत सहखंडों से जोड़ते हैं, और स्तंभ 1 के अवयव स्तंभ 2 के सहखंडों के साथ 0 देते हैं।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. 3 × 3 सारणिक का हर उपसारणिक एक 2 × 2 सारणिक होता है।

II. जब भी $i + j$ सम हो, $A_{ij} = M_{ij}$ ।

III. किसी भी स्तंभ के अवयवों और उनके सहखंडों के गुणनफलों का योग $\Delta$ होता है।

IV. $a_{11}A_{21} + a_{12}A_{22} + a_{13}A_{23} = \Delta$ ।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II, III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I, II और III

3 × 3 से एक पंक्ति और एक स्तंभ हटाने पर 2 × 2 बचता है (I); $i + j$ सम हो तो $(-1)^{i + j} = 1$ (II); और किसी भी पंक्ति या स्तंभ का प्रसार $\Delta$ देता है (III)।
IV में पंक्ति 1 के अवयव पंक्ति 2 के सहखंडों के साथ हैं, जो सदा 0 देता है, इसलिए IV गलत है।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\Delta = \begin{vmatrix}x & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & x\end{vmatrix}$ में पंक्ति 1, स्तंभ 2 के अवयव का सहखंड क्या है?

3 x - 2

सही उत्तरआपका उत्तर

3 x + 2

सही उत्तरआपका उत्तर

x - 2

सही उत्तरआपका उत्तर

2 - 3 x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $2 - 3 x$

पंक्ति 1 और स्तंभ 2 हटाइए: $M_{12} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & x \end{vmatrix} = 3x - 2$ ।
$A_{12} = (-1)^{1 + 2}(3x - 2) = 2 - 3x$ ।

ध्यान देने योग्य

$3x - 2$ उपसारणिक $M_{12}$ है, स्थान के चिह्न $-1$ के बिना।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\Delta = \begin{vmatrix}1 & 3 & -2 \\ 4 & 0 & 5 \\ 2 & -1 & 6\end{vmatrix}$ के लिए सहखंड $A_{32}$ क्या है?

-13

सही उत्तरआपका उत्तर

-12

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-13$

पंक्ति 3 और स्तंभ 2 हटाइए: उपसारणिक $\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 5 + 8 = 13$ है।
$A_{32} = (-1)^{3 + 2} \times 13 = -13$ ।

ध्यान देने योग्य

13 उपसारणिक है; सहखंड पर चिह्न $(-1)^{i + j}$ लगता है।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & -2\end{bmatrix}$ के लिए, जहाँ $A_{ij}$ , $a_{ij}$ का सहखंड है, $a_{11}A_{21} + a_{12}A_{22} + a_{13}A_{23}$ क्या है?

-85

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

85

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0$

ये पंक्ति 1 के अवयव और पंक्ति 2 के सहखंड हैं।
एक पंक्ति के अवयवों और दूसरी पंक्ति के सहखंडों के गुणनफलों का योग सदा 0 होता है; केवल एक ही पंक्ति लेने पर $|A|$ आता है।

ध्यान देने योग्य

$-85$ तो $|A|$ है, जिसके लिए उसी पंक्ति के सहखंड चाहिए।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी 3 × 3 सारणिक में पंक्ति 1 के अवयव 2, $-1$ और 3 हैं, और उनके सहखंड 4, 5 और $-2$ हैं। सारणिक का मान क्या है?

-7

सही उत्तरआपका उत्तर

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $-3$

$\Delta = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$ , और सहखंडों में चिह्न पहले से शामिल हैं।
$2(4) + (-1)(5) + 3(-2) = 8 - 5 - 6 = -3$ ।

ध्यान देने योग्य

7 में चिह्न $+, -, +$ दोबारा लगाए गए, $8 + 5 - 6$ ; यह उपसारणिकों के लिए है, सहखंडों के लिए नहीं।

सहखंडज और व्युत्क्रम

22 प्रश्न

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}4 & 3 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$ के लिए $\operatorname{adj} A$ क्या है?

\begin{bmatrix}2 & -1 \\ -3 & 4\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 4\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}-2 & 3 \\ 1 & -4\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & -3 \\ -1 & 4\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\begin{bmatrix}2 & -3 \\ -1 & 4\end{bmatrix}$

2 × 2 आव्यूह के लिए मुख्य विकर्ण के दोनों अवयव आपस में बदलिए और बाकी दोनों के चिह्न बदलिए।
$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}2 & -3 \\ -1 & 4\end{bmatrix}$ । जाँच: $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix}5 & 0 \\ 0 & 5\end{bmatrix} = |A|I$ ।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}2 & -1 \\ -3 & 4\end{bmatrix}$ स्वयं सहखंडों का आव्यूह है; सहखंडज उसका परिवर्त होता है।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}3 & 2 \\ 4 & 3\end{bmatrix}$ के लिए $A^{-1}$ क्या है?

\begin{bmatrix}3 & 4 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}-3 & 2 \\ 4 & -3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}3 & -4 \\ -2 & 3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}3 & -2 \\ -4 & 3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\begin{bmatrix}3 & -2 \\ -4 & 3\end{bmatrix}$

$|A| = 9 - 8 = 1$ , जो 0 नहीं है, इसलिए व्युत्क्रम मौजूद है।
$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}3 & -2 \\ -4 & 3\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}3 & -4 \\ -2 & 3\end{bmatrix}$ सहखंडों का आव्यूह है, जिसका अभी परिवर्त लेकर सहखंडज नहीं बनाया गया।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 2 & 0 & 5\end{bmatrix}$ के लिए $\operatorname{adj} A$ की पंक्ति 1, स्तंभ 2 का अवयव क्या है?

-10

सही उत्तरआपका उत्तर

-9

सही उत्तरआपका उत्तर

-7

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-10$

$\operatorname{adj} A$ सहखंडों के आव्यूह का परिवर्त है, इसलिए उसका $(1, 2)$ अवयव सहखंड $A_{21}$ है।
$A_{21} = (-1)^{2 + 1}\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = -10$ ।

ध्यान देने योग्य

$-7$ तो सहखंड $A_{12}$ है: परिवर्त लेना भूल गए।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}$ के लिए $\operatorname{adj} A$ क्या है?

\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}6 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}12 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}24 & 0 & 0 \\ 0 & 24 & 0 \\ 0 & 0 & 24\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\begin{bmatrix}12 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{bmatrix}$

विकर्ण आव्यूह में विकर्ण के बाहर के सभी सहखंड 0 होते हैं, और हर विकर्ण अवयव का सहखंड बाकी दोनों का गुणनफल होता है।
इसलिए $\operatorname{adj} A$ का विकर्ण $3 \times 4 = 12$ , $2 \times 4 = 8$ और $2 \times 3 = 6$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ वाला आव्यूह $A^{-1}$ है, जो $\operatorname{adj} A$ को $|A| = 24$ से भाग देने पर मिलता है।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ , 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है जिसमें $|A| = 6$ । $A(\operatorname{adj} A)$ कौन-सा आव्यूह है?

I

सही उत्तरआपका उत्तर

6I

सही उत्तरआपका उत्तर

216I

सही उत्तरआपका उत्तर

36I

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $6I$

हर वर्ग आव्यूह के लिए $A(\operatorname{adj} A) = (\operatorname{adj} A)A = |A|I$ ।
यहाँ यह $6I$ है।

ध्यान देने योग्य

$36I$ में $|\operatorname{adj} A| = |A|^2 = 36$ मिल गया है, जो सहखंडज का सारणिक है, यह गुणनफल नहीं।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ , 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है जिसमें $A(\operatorname{adj} A) = 5I$ । $|\operatorname{adj} A|$ क्या है?

5

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

25

सही उत्तरआपका उत्तर

125

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $25$

$A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ , इसलिए $|A| = 5$ ।
$|\operatorname{adj} A| = |A|^{n - 1} = 5^2 = 25$ ।

ध्यान देने योग्य

125 तो $|5I| = 5^3$ है, गुणनफल का सारणिक, सहखंडज का नहीं।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$k$ के किस मान के लिए $\begin{bmatrix} k & 4 \\ -2 & 8 \end{bmatrix}$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है?

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-1$

आव्यूह तब अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है जब उसका सारणिक 0 हो, और तब उसका व्युत्क्रम नहीं होता।
$8k - (4)(-2) = 8k + 8 = 0$ से $k = -1$ ।

ध्यान देने योग्य

1 तब आता है जब $8k - 8 = 0$ लिया जाए: गुणनफल $(4)(-2)$ को $+8$ मान लिया गया।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ , 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है जिसमें $|A| = 4$ । $|\operatorname{adj} A|$ क्या है?

4

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

16

सही उत्तरआपका उत्तर

64

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $16$

$A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ ; दोनों ओर सारणिक लेने पर $|A||\operatorname{adj} A| = |A|^3$ ।
इसलिए $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3 - 1} = 4^2 = 16$ ।

ध्यान देने योग्य

64 तो $|A|^3$ है, यानी $|A|I$ का सारणिक, $|A|$ से भाग देने से पहले।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. समान कोटि के व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ ।

II. व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए $(A')^{-1} = (A^{-1})'$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · I और II दोनों

$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I$ , इसलिए I सही है।
$AA^{-1} = I$ का परिवर्त लेने पर $(A^{-1})'A' = I$ , इसलिए II भी सही है।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ व्युत्क्रमणीय है और $A^{-1} = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}$ । $A$ क्या है?

\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & -1 \\ -3 & 2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & -3 \\ -1 & 2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 3 & -2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\begin{bmatrix}2 & -1 \\ -3 & 2\end{bmatrix}$

$A$ , $A^{-1}$ का व्युत्क्रम है: $(A^{-1})^{-1} = A$ ।
$|A^{-1}| = 4 - 3 = 1$ , इसलिए $A = \operatorname{adj}(A^{-1}) = \begin{bmatrix}2 & -1 \\ -3 & 2\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}2 & -3 \\ -1 & 2\end{bmatrix}$ उत्तर का परिवर्त है; जाँचिए कि $A^{-1}$ से इसका गुणनफल $I$ नहीं है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. कोई वर्ग आव्यूह ठीक तब व्युत्क्रमणीय होता है जब उसका सारणिक 0 न हो।

II. यदि $A$ अव्युत्क्रमणीय है, तो $A(\operatorname{adj} A) = O$ ।

III. हर वर्ग आव्यूह $A$ के लिए $A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{adj} A$ ।

IV. हर व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए $|A^{-1}| = |A|$ ।

केवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I और II

I व्युत्क्रम की कसौटी है। II: $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ , और $|A| = 0$ होने पर यह $O$ है।
III तब नहीं चलता जब $|A| = 0$ , क्योंकि तब व्युत्क्रम है ही नहीं; IV गलत है क्योंकि $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ ।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 4\end{bmatrix}$ के लिए $A^{-1}$ क्या है?

\begin{bmatrix}4 & -3 \\ -1 & 2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}\frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{3}{5} & \frac{4}{5}\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}\frac{4}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\begin{bmatrix}\frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$

$|A| = 8 - 3 = 5$ , जो 0 नहीं है, इसलिए व्युत्क्रम मौजूद है।
$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}4 & -3 \\ -1 & 2\end{bmatrix}$ , और $A^{-1} = \frac{1}{5}\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}\frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

केवल सहखंडज तभी व्युत्क्रम होता है जब $|A| = 1$ ; यहाँ उसे 5 से भाग देना होगा।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): जिस 3 × 3 आव्यूह की एक पंक्ति के सभी अवयव शून्य हों, उसका व्युत्क्रम नहीं होता।

कारण (R): ऐसे आव्यूह का सारणिक 0 होता है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

शून्य पंक्ति के अनुदिश प्रसार करने पर हर पद 0 है, इसलिए सारणिक 0 है: R सही है।
सारणिक 0 वाला आव्यूह अव्युत्क्रमणीय होता है और उसका व्युत्क्रम नहीं होता, इसलिए A सही है, और R ही उसका कारण है।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है जिसमें $|A| = -4$ । $|A^{-1}|$ क्या है?

- \frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $- \frac{1}{4}$

$AA^{-1} = I$ , इसलिए $|A||A^{-1}| = |I| = 1$ ।
$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = -\frac{1}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{4}$ में चिह्न छूट गया: ऋणात्मक संख्या का व्युत्क्रम भी ऋणात्मक होता है।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ , 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है जिसमें $|A| = 4$ । सूची I के हर सारणिक को सूची II में उसके मान से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $\|\operatorname{adj} A\|$	I. $32$
B. $\|A^{-1}\|$	II. $16$
C. $\|2A\|$	III. $4$
D. $\|A'\|$	IV. $\frac{1}{4}$

A-IV, B-II, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-II, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · A-II, B-IV, C-I, D-III

$|\operatorname{adj} A| = |A|^2 = 16$ और $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{4}$ ।
$|2A| = 2^3|A| = 32$ , और परिवर्त में सारणिक वही रहता है: $|A'| = 4$ ।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ कोटि 2 का एक वर्ग आव्यूह है जिसके लिए $|A| = 6$ । $|\operatorname{adj} A|$ क्या है?

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

36

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $6$

कोटि $n$ के लिए $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n - 1}$ ।
$n = 2$ लेकर: $6^{1} = 6$ ।

ध्यान देने योग्य

36 तो $|A|^{2}$ है, कोटि 3 का नियम।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 1\end{bmatrix}$ के लिए $A^{-1}$ क्या है?

\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -3 & -4 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & -4 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & -4 & 1\end{bmatrix}$

$|A| = 1$ (त्रिभुजाकार आव्यूह: विकर्ण का गुणनफल), इसलिए $A^{-1} = \operatorname{adj} A$ ।
पंक्ति 3 के सहखंड $A_{31} = 0$ , $A_{32} = 0$ , $A_{33} = 1$ ; पंक्ति 2 के $A_{21} = 0$ , $A_{22} = 1$ , $A_{23} = -4$ ; पंक्ति 1 के $A_{11} = 1$ , $A_{12} = -2$ , $A_{13} = 5$ हैं।
सहखंड आव्यूह का परिवर्त लेने पर $A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & -4 & 1\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

विकर्ण के नीचे के चिह्न बदल देने से कोना $-3$ आता है, जबकि वह 5 है: $A$ से गुणा करके जाँचिए।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ , 3 कोटि के वर्ग आव्यूह हैं जिनमें $|A| = 2$ और $|B| = -3$ । $|2AB|$ क्या है?

-48

सही उत्तरआपका उत्तर

-24

सही उत्तरआपका उत्तर

-12

सही उत्तरआपका उत्तर

48

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-48$

$|AB| = |A||B| = -6$ ।
$2AB$ एक 3 × 3 आव्यूह को 2 से गुणा करना है, इसलिए $|2AB| = 2^3|AB| = 8(-6) = -48$ ।

ध्यान देने योग्य

$-12$ में 2 एक ही बार निकाला गया; वह तीनों पंक्तियों से एक-एक बार निकलता है।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ , 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है जिसमें $|A| = 3$ । $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)|$ क्या है?

9

सही उत्तरआपका उत्तर

27

सही उत्तरआपका उत्तर

81

सही उत्तरआपका उत्तर

729

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $81$

3 कोटि के लिए हर वर्ग आव्यूह $B$ में $|\operatorname{adj} B| = |B|^2$ । पहले $|\operatorname{adj} A| = 3^2 = 9$ ।
$B = \operatorname{adj} A$ लेकर फिर लगाइए: $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = 9^2 = 81$ ।

ध्यान देने योग्य

9 एक ही चरण पर रुक गया: वह $|\operatorname{adj} A|$ है।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$ , $A^2 - 3A + I = O$ को संतुष्ट करता है। कौन-सा व्यंजक $A^{-1}$ के बराबर है?

A - 3I

सही उत्तरआपका उत्तर

3I - A

सही उत्तरआपका उत्तर

3A - I

सही उत्तरआपका उत्तर

3I + A

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $3I - A$

$A^2 - 3A + I = O$ को $A^{-1}$ से गुणा कीजिए: $A - 3I + A^{-1} = O$ ।
इसलिए $A^{-1} = 3I - A$ ।

ध्यान देने योग्य

$A - 3I$ में चिह्न उलटा है: यह $-A^{-1}$ है।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 5 & -2\end{bmatrix}$ के लिए $A^{-1} = kA$ । $k$ क्या है?

- \frac{18}{19}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{19}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{38}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{19}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{19}$

$|A| = -4 - 15 = -19$ और $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = -A$ ।
$A^{-1} = \frac{1}{-19}(-A) = \frac{1}{19}A$ , इसलिए $k = \frac{1}{19}$ । (वास्तव में $A^2 = 19I$ ।)

ध्यान देने योग्य

$-\frac{1}{19}$ में $|A|$ से भाग तो दिया, पर भूल गए कि सहखंडज $-A$ है, $A$ नहीं।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ कोटि 3 का एक वर्ग आव्यूह है जिसके लिए $|A| = 2$ । $|3A^{-1}|$ क्या है?

\frac{3}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{25}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{27}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{27}{2}$

कोटि $n$ के लिए $|kB| = k^{n}|B|$ , और $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ ।
$|3A^{-1}| = 3^{3} \times \frac{1}{2} = \frac{27}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{2}$ में 3 से एक बार गुणा किया; अदिश हर 3 पंक्तियों से बाहर आता है।

समीकरण निकाय की संगतता

10 प्रश्न

प्रश्न 69

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रैखिक समीकरणों का निकाय संगत (consistent) कब कहलाता है?

केवल तब जब उसका ठीक एक हल होसही उत्तरआपका उत्तरजब उसका कोई हल न होसही उत्तरआपका उत्तरकेवल तब जब उसके गुणांकों का सारणिक 0 होसही उत्तरआपका उत्तरजब उसका कम से कम एक हल होसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · जब उसका कम से कम एक हल हो

संगत निकाय के एक या अधिक हल होते हैं; असंगत निकाय का कोई हल नहीं होता।
इसलिए अनंत हलों वाला निकाय भी संगत है।

ध्यान देने योग्य

ठीक एक हल संगत निकाय का एक प्रकार है, एकमात्र प्रकार नहीं।

प्रश्न 70

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निकाय $3x + y = 4$ , $x + 2y = 3$ के कितने हल हैं?

ठीक एक हलसही उत्तरआपका उत्तरकोई हल नहींसही उत्तरआपका उत्तरअनंत हलसही उत्तरआपका उत्तरठीक दो हलसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · ठीक एक हल

$|A| = 5$ । यह 0 नहीं है, इसलिए $A^{-1}$ मौजूद है और हल अद्वितीय है।
$(\operatorname{adj} A)B = \begin{bmatrix}5 \\ 5\end{bmatrix}$ ।

प्रश्न 71

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निकाय $2x + 3y = 5$ , $4x + 6y = 10$ के कितने हल हैं?

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · अनंत हल

$|A| = 0$ । यह 0 है, इसलिए $(\operatorname{adj} A)B$ देखिए।
$(\operatorname{adj} A)B = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}$ । यह शून्य है, इसलिए दोनों समीकरण एक ही बात कहते हैं: अनंत हल।

ध्यान देने योग्य

केवल सारणिक 0 होना यह नहीं बताता कि हल नहीं है या अनंत हैं; यह $(\operatorname{adj} A)B$ बताता है।

प्रश्न 72

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से किस निकाय का कोई हल नहीं है?

2x + 3y = 5

4x + 6y = 10

सही उत्तरआपका उत्तर

x - 2y = 4

3x - 6y = 7

सही उत्तरआपका उत्तर

3x + y = 4

x + 2y = 3

सही उत्तरआपका उत्तर

x + y = 2

x - y = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $x - 2y = 4$ , $3x - 6y = 7$

केवल $|A| = 0$ वाले निकाय का अद्वितीय हल नहीं होता; इससे अंतिम दोनों बाहर हो जाते हैं, जिनके सारणिक $5$ और $-2$ हैं।
$4x + 6y = 10$ , $2x + 3y = 5$ का दोगुना है: अनंत हल। पर $x - 2y = 4$ का तीन गुना $3x - 6y = 12$ है, 7 नहीं, इसलिए वह निकाय परस्पर विरोधी है।

ध्यान देने योग्य

$2x + 3y = 5$ , $4x + 6y = 10$ में भी $|A| = 0$ है, पर इसके समीकरण आपस में सहमत हैं, इसलिए इसके अनंत हल हैं।

प्रश्न 73

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$k$ के किस मान के लिए निकाय $2x + 3y = 6$ , $kx + 6y = 7$ का अद्वितीय हल नहीं है?

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $4$

अद्वितीय हल के लिए $|A| \ne 0$ चाहिए, इसलिए $|A| = 0$ होने पर वह नहीं होता: $2(6) - 3k = 0$ ।
इसलिए $k = 4$ ।

ध्यान देने योग्य

$-4$ से $12 + 3k = 0$ हल होता है: दूसरे विकर्ण का गुणनफल घटाया जाता है, जोड़ा नहीं।

प्रश्न 74

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): निकाय $x + 2y = 3$ , $2x + 4y = 6$ के अनंत हल हैं।

कारण (R): जब भी $|A| = 0$ , निकाय $AX = B$ के अनंत हल होते हैं।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · A सही है, लेकिन R गलत है।

दूसरा समीकरण ठीक पहले का दोगुना है, इसलिए एक का हर हल दूसरे का भी हल है: A सही है।
R गलत है: $x + 2y = 3$ , $2x + 4y = 7$ में भी $|A| = 0$ है, पर कोई हल नहीं है।

प्रश्न 75

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यदि $|A| \ne 0$ , तो निकाय $AX = B$ का अद्वितीय हल होता है।

II. यदि $|A| = 0$ और $(\operatorname{adj} A)B = O$ , तो निकाय $AX = B$ का कोई हल नहीं होता।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

$|A| \ne 0$ होने पर $A^{-1}$ मौजूद है और $X = A^{-1}B$ ही एकमात्र हल है, इसलिए I सही है।
$|A| = 0$ और $(\operatorname{adj} A)B = O$ होने पर निकाय के अनंत हल हो सकते हैं (जैसे $2x + 3y = 5$ , $4x + 6y = 10$ के), इसलिए II गलत है।

प्रश्न 76

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$k$ और $m$ के किन मानों के लिए निकाय $2x + 3y = 5$ , $4x + ky = m$ के अनंत हल हैं?

k = 6

और

m = 10

सही उत्तरआपका उत्तर

k = 6

और

m \ne 10

सही उत्तरआपका उत्तर

k \ne 6

, किसी भी

m

के लिएसही उत्तरआपका उत्तर

k = 3

और

m = 5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $k = 6$ और $m = 10$

अनंत हलों के लिए $|A| = 0$ चाहिए: $2k - 12 = 0$ , इसलिए $k = 6$ ।
तब दूसरा समीकरण पहले का दोगुना होना चाहिए, $4x + 6y = 10$ , इसलिए $m = 10$ । कोई और $m$ समीकरणों को परस्पर विरोधी बना देता है: कोई हल नहीं।

ध्यान देने योग्य

$k = 6$ और $m \ne 10$ से समांतर रेखाएँ मिलती हैं जो कभी नहीं मिलतीं, यानी कोई हल नहीं।

प्रश्न 77

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निकाय $x + y + z = 2$ , $2x + 2y + 2z = 5$ , $x - y + z = 1$ के कितने हल हैं?

ठीक एक हलसही उत्तरआपका उत्तरअनंत हलसही उत्तरआपका उत्तरकोई हल नहींसही उत्तरआपका उत्तरठीक तीन हलसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · कोई हल नहीं

गुणांकों की पहली दो पंक्तियाँ समानुपाती हैं, इसलिए $|A| = 0$ और अद्वितीय हल नहीं है।
$(\operatorname{adj} A)B = \begin{bmatrix}-2 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix} \ne O$ , इसलिए निकाय असंगत है। सीधे भी: दूसरा समीकरण $x + y + z = \frac{5}{2}$ कहता है, पहला 2।

ध्यान देने योग्य

अनंत हलों के लिए दूसरा समीकरण ठीक पहले का दोगुना होना चाहिए, दाएँ पक्ष में 4 के साथ।

प्रश्न 78

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$k$ के किस मान के लिए निकाय $x + y + z = 1$ , $x + 2y + 3z = 2$ , $x + 3y + kz = 3$ के अनंत हल हैं?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $5$

अद्वितीय हल तब नहीं होता जब $|A| = 0$ : $|A| = 1(2k - 9) - 1(k - 3) + 1(3 - 2) = k - 5$ , इसलिए $k = 5$ ।
$k = 5$ पर तीसरा समीकरण, दूसरे का दोगुना घटा पहला है, और उसका दायाँ पक्ष भी ( $2 \times 2 - 1 = 3$ ): निकाय संगत है, अनंत हलों के साथ।

ध्यान देने योग्य

किसी और $k$ के लिए $|A| \ne 0$ और हल अद्वितीय है।

आव्यूह विधि से समीकरणों का हल

9 प्रश्न

प्रश्न 79

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निकाय $3x - 2y = 7$ , $x + 4y = 5$ को $AX = B$ के रूप में लिखा गया है, जहाँ $X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ । $A$ क्या है?

\begin{bmatrix}3 & 1 \\ -2 & 4\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}3 & -2 \\ 1 & 4\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}3 & -2 & 7 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}7 \\ 5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\begin{bmatrix}3 & -2 \\ 1 & 4\end{bmatrix}$

$A$ में गुणांक होते हैं, हर समीकरण की एक पंक्ति: पंक्ति 1 है $3, -2$ और पंक्ति 2 है $1, 4$ ।
$B = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}$ में दाएँ पक्ष होते हैं।

ध्यान देने योग्य

परिवर्त में हर चर के गुणांक एक पंक्ति में आ जाते हैं; पर $AX$ में $A$ की पंक्ति को स्तंभ $X$ से गुणा किया जाता है, इसलिए हर पंक्ति एक समीकरण होनी चाहिए।

प्रश्न 80

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ व्युत्क्रमणीय है और $AX = B$ । इनमें से कौन $X$ देता है?

X = BA^{-1}

सही उत्तरआपका उत्तर

X = B^{-1}A

सही उत्तरआपका उत्तर

X = AB^{-1}

सही उत्तरआपका उत्तर

X = A^{-1}B

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $X = A^{-1}B$

$AX = B$ को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा कीजिए: $A^{-1}AX = A^{-1}B$ ।
$A^{-1}A = I$ और $IX = X$ , इसलिए $X = A^{-1}B$ ।

ध्यान देने योग्य

$BA^{-1}$ में गलत ओर से गुणा किया गया; स्तंभ $B$ के लिए तो यह परिभाषित भी नहीं है।

प्रश्न 81

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

आव्यूह विधि से हल कीजिए: $2x + y = 5$ और $3x + 2y = 7$ । $x$ क्या है?

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $3$

इसे $AX = B$ लिखिए, जहाँ $A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix}5 \\ 7\end{bmatrix}$ ; $|A| = 1$ , इसलिए $X = A^{-1}B$ ।
$A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{bmatrix}2 & -1 \\ -3 & 2\end{bmatrix}$ , और $A^{-1}B = \begin{bmatrix}3 \\ -1\end{bmatrix}$ ।
इसलिए $x = 3$ और $y = -1$ ।

ध्यान देने योग्य

$-1$ दूसरे अज्ञात का मान है।

प्रश्न 82

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ के लिए $A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ । इसकी सहायता से $2x + y = 5$ , $-x + 2y = 5$ हल कीजिए। $y$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $3$

$X = A^{-1}B = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 5 \\ 15 \end{bmatrix}$ ।
इसलिए $x = 1$ और $y = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

15 में व्युत्क्रम के आगे का $\frac{1}{5}$ भूल गए।

प्रश्न 83

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

3 कॉपियों और 2 पेनों का मूल्य ₹110 है, और 2 कॉपियों और 5 पेनों का मूल्य भी ₹110 है। आव्यूह विधि से एक कॉपी का मूल्य क्या है?

10

सही उत्तरआपका उत्तर

20

सही उत्तरआपका उत्तर

29

सही उत्तरआपका उत्तर

30

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $30$

कॉपी ₹ $n$ और पेन ₹ $p$ लें: $3n + 2p = 110$ और $2n + 5p = 110$ , इसलिए $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ और $|A| = 11$ ।
$\begin{bmatrix} n \\ p \end{bmatrix} = \frac{1}{11}\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 110 \\ 110 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 \\ 10 \end{bmatrix}$ ।
एक कॉपी ₹30 की और एक पेन ₹10 का है।

ध्यान देने योग्य

₹10 तो पेन का मूल्य है, दूसरा अज्ञात।

प्रश्न 84

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

आव्यूह विधि से हल कीजिए: $4x - 3y = -4$ और $2x + 5y = 11$ । $y$ क्या है?

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $2$

इसे $AX = B$ लिखिए, जहाँ $A = \begin{bmatrix}4 & -3 \\ 2 & 5\end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix}-4 \\ 11\end{bmatrix}$ ; $|A| = 26$ , इसलिए $X = A^{-1}B$ ।
$A^{-1} = \frac{1}{26}\begin{bmatrix}5 & 3 \\ -2 & 4\end{bmatrix}$ , और $A^{-1}B = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} \\ 2\end{bmatrix}$ ।
इसलिए $x = \frac{1}{2}$ और $y = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2}$ दूसरे अज्ञात का मान है।

प्रश्न 85

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

आव्यूह विधि से हल कीजिए: $x + y + z = 6$ , $2x - y + z = 6$ , $x + 2y - z = 1$ । $z$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3$

$A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{bmatrix}$ और $|A| = 7$ , इसलिए $A^{-1}$ मौजूद है।
$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}-1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \\ 5 & -1 & -3\end{bmatrix}$ , इसलिए $X = \frac{1}{7}(\operatorname{adj} A)B = \begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 3\end{bmatrix}$ ।
इसलिए $x = 2$ , $y = 1$ और $z = 3$ । तीसरे समीकरण में जाँचिए: $2 + 2 - 3 = 1$ ।

ध्यान देने योग्य

2 तो $x$ है; $z$ के लिए $X$ की तीसरी पंक्ति पढ़िए।

प्रश्न 86

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix}2 & 2 & -4 \\ -4 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & 5\end{bmatrix}$ के लिए $AB = 6I$ । इसकी सहायता से $x - y = 3$ , $2x + 3y + 4z = 17$ , $y + 2z = 7$ हल कीजिए। $z$ क्या है?

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

24

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $4$

निकाय $AX = C$ है, जहाँ $C = \begin{bmatrix} 3 \\ 17 \\ 7 \end{bmatrix}$ , और $AB = 6I$ का अर्थ है $A^{-1} = \frac{1}{6}B$ ।
$X = \frac{1}{6}BC = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}12 \\ -6 \\ 24\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 4\end{bmatrix}$ ।
इसलिए $z = 4$ ।

ध्यान देने योग्य

24 तो $BC$ की तीसरी प्रविष्टि है, 6 से भाग देने से पहले।

प्रश्न 87

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कैंटीन में 2 चाय, 1 कॉफ़ी और 1 जूस ₹75 के; 1 चाय, 2 कॉफ़ी और 1 जूस ₹85 के; और 1 चाय, 1 कॉफ़ी और 2 जूस ₹100 के हैं। आव्यूह विधि से एक जूस का मूल्य क्या है?

10

सही उत्तरआपका उत्तर

20

सही उत्तरआपका उत्तर

25

सही उत्तरआपका उत्तर

35

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $35$

$A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{bmatrix}$ , $|A| = 4$ और $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3\end{bmatrix}$ ।
$X = \frac{1}{4}\begin{bmatrix}3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 75 \\ 85 \\ 100 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}10 \\ 20 \\ 35\end{bmatrix}$ ।
चाय ₹10, कॉफ़ी ₹20, जूस ₹35। जाँच: $10 + 20 + 2(35) = 100$ ।

ध्यान देने योग्य

₹20 तो कॉफ़ी है; जूस $X$ की तीसरी प्रविष्टि है।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।