CUET गणित के लिए आव्यूह

Q: आव्यूह की कोटि क्या होती है?

कोटि पंक्तियों की संख्या × स्तंभों की संख्या है, जिसे m × n लिखते हैं, पंक्तियाँ पहले। S में 2 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं, इसलिए उसकी कोटि 2 × 3 है, और उसमें 2 × 3 = 6 अवयव हैं।

Q: दो आव्यूह कब बराबर होते हैं?

दो आव्यूह तब बराबर होते हैं जब उनकी कोटि एक हो और हर संगत अवयव बराबर हो। इसलिए एक आव्यूह समीकरण असल में कई साधारण समीकरण हैं, हर स्थान के लिए एक।

Q: दो आव्यूहों का गुणन कब हो सकता है?

AB तभी परिभाषित है जब A के स्तंभों की संख्या B की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो। यदि A की कोटि m × n और B की n × p है, तो AB की कोटि m × p है: बीच की संख्याएँ मिलनी चाहिए, और बाहर की संख्याएँ कोटि देती हैं।

Q: क्या आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय है?

नहीं। सामान्यतः AB और BA अलग-अलग आव्यूह होते हैं, और ये तीन तरह से अलग हो सकते हैं। एक परिभाषित ही न हो: 2 × 3 गुणा 3 × 4 होता है, उलटा क्रम नहीं। दोनों परिभाषित हों पर कोटि अलग हो: 2 × 3 और 3 × 2 से एक क्रम में 2 × 2 और दूसरे में 3 × 3 मिलता है। या, ऊपर की तरह, दोनों की कोटि एक हो और फिर भी वे अलग हों।

Q: आव्यूह का परिवर्त क्या होता है?

परिवर्त A', जिसे A^T भी लिखते हैं, A की पंक्तियों को क्रम से स्तंभ बना देता है: पंक्ति 1, स्तंभ 1 बनती है। यदि A की कोटि m × n है, तो A' की n × m, और A' की पंक्ति i, स्तंभ j का अवयव aⱼᵢ है।

Q: कोई आव्यूह सममित कब होता है?

वर्ग आव्यूह सममित है जब A' = A, यानी हर i और j के लिए aᵢⱼ = aⱼᵢ: वह मुख्य विकर्ण के आर-पार अपना ही दर्पण-प्रतिबिंब है। वह विषम सममित है जब A' = -A, यानी aⱼᵢ = -aᵢⱼ ।

Q: कोई आव्यूह व्युत्क्रमणीय कब होता है?

वर्ग आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है यदि उसी कोटि का कोई आव्यूह B ऐसा हो कि AB = BA = I । तब B, A का व्युत्क्रम है, जिसे A^-1 लिखते हैं, और A भी B का व्युत्क्रम है।

सीखने में लगभग 10 मिनट · 106 प्रश्न

आव्यूह CUET गणित के Section A में आते हैं, वह सेक्शन जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, चाहे आप Mathematics लें या Applied Mathematics। इसके प्रश्न छोटे और नियमों पर आधारित होते हैं, इसलिए नियम साफ़ हों तो अंक जल्दी मिलते हैं। कोटि और प्रकार से लेकर परिवर्त और व्युत्क्रम तक हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र: Section A1

इस पृष्ठ पर · 14 भाग

01आव्यूह क्या है
02आव्यूहों के प्रकार
03आव्यूहों की समानता
04आव्यूहों का योग और संख्या से गुणन
05दो आव्यूहों का गुणन
06गुणन के गुणधर्म
07आव्यूह का परिवर्त
08सममित और विषम सममित आव्यूह
09व्युत्क्रमणीय आव्यूह
10CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
11परीक्षा के लिए शॉर्टकट
12आम भूलें
13त्वरित पुनरावृत्ति
14अपनी समझ जाँचें

आव्यूह क्या है

एक स्टेशनरी की दुकान की दो शाखाएँ हैं। सोमवार को शाखा 1 ने 12 पेन, 5 कॉपियाँ और 8 रबड़ बेचे, और शाखा 2 ने 9 पेन, 7 कॉपियाँ और 4 रबड़। हर शाखा के लिए एक पंक्ति और हर वस्तु के लिए एक स्तंभ वाली तालिका में ये संख्याएँ हैं

S = \begin{bmatrix} 12 & 5 & 8 \\ 9 & 7 & 4 \end{bmatrix}

संख्याओं का यह आयत एक आव्यूह है, और उसकी हर संख्या एक अवयव है। पंक्तियाँ आड़ी चलती हैं और स्तंभ खड़े। आव्यूहों के योग और गुणन में हम इसी दुकान पर लौटेंगे।

आव्यूह की कोटि क्या होती है?

कोटि पंक्तियों की संख्या × स्तंभों की संख्या है, जिसे $m \times n$ लिखते हैं, पंक्तियाँ पहले। $S$ में 2 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं, इसलिए उसकी कोटि $2 \times 3$ है, और उसमें $2 \times 3 = 6$ अवयव हैं।

आव्यूह $A$ की पंक्ति $i$ और स्तंभ $j$ के अवयव को $a_{ij}$ लिखते हैं, यहाँ भी पंक्ति पहले। $S$ में $s_{12} = 5$ शाखा 1 की कॉपियाँ हैं और $s_{21} = 9$ शाखा 2 के पेन।

उदाहरण 1 · कितनी कोटियाँ?

किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं। उसकी कौन-कौन सी कोटियाँ हो सकती हैं?

कोटि $m \times n$ के लिए $mn = 18$ चाहिए, इसलिए $m$ , 18 का कोई भी भाजक हो सकता है: 1, 2, 3, 6, 9 या 18।
हर भाजक से एक कोटि मिलती है, और $2 \times 9$ तथा $9 \times 2$ अलग-अलग कोटियाँ हैं।

उत्तर

छह कोटियाँ: $1 \times 18$ , $2 \times 9$ , $3 \times 6$ , $6 \times 3$ , $9 \times 2$ और $18 \times 1$ ।

अवयव किसी नियम से भी दिए जा सकते हैं। " $A = [a_{ij}]$ एक $2 \times 3$ आव्यूह है, जिसमें $a_{ij} = 3i - j$ " का अर्थ है: हर पंक्ति संख्या $i$ और स्तंभ संख्या $j$ को नियम में रखिए।

उदाहरण 2 · नियम से आव्यूह

$2 \times 3$ आव्यूह $A = [a_{ij}]$ लिखिए, जिसमें $a_{ij} = 3i - j$ ।

पंक्ति 1 ( $i = 1$ ): $3 - 1 = 2$ , $3 - 2 = 1$ और $3 - 3 = 0$ ।
पंक्ति 2 ( $i = 2$ ): $6 - 1 = 5$ , $6 - 2 = 4$ और $6 - 3 = 3$ ।

उत्तर

A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 \end{bmatrix}

मुख्य बात

आव्यूह गिनने के लिए स्थान गिनिए। $m \times n$ आव्यूह में $mn$ स्थान होते हैं, और यदि हर स्थान पर $r$ में से कोई भी मान आ सकता है, तो $r^{mn}$ आव्यूह बनते हैं। 0 और 1 वाला $2 \times 2$ आव्यूह $2^4 = 16$ तरीकों से बन सकता है।

आव्यूहों के प्रकार

आव्यूह कितने प्रकार के होते हैं?

सात प्रकार बार-बार आते हैं: पंक्ति, स्तंभ, वर्ग, विकर्ण, अदिश, तत्समक और शून्य आव्यूह।

प्रकार	क्या होता है	उदाहरण
पंक्ति आव्यूह	एक पंक्ति, कोटि $1 \times n$	$\begin{bmatrix} 4 & -2 & 7 \end{bmatrix}$
स्तंभ आव्यूह	एक स्तंभ, कोटि $m \times 1$	$\begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix}$
वर्ग आव्यूह	जितनी पंक्तियाँ, उतने स्तंभ	$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$
विकर्ण आव्यूह	वर्ग, मुख्य विकर्ण के बाहर हर जगह 0	$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$
अदिश आव्यूह	विकर्ण, सभी विकर्ण अवयव बराबर	$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
तत्समक आव्यूह $I$	विकर्ण, हर विकर्ण अवयव 1	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
शून्य आव्यूह $O$	हर अवयव 0, कोई भी कोटि	$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

वर्ग आव्यूह का मुख्य विकर्ण ऊपर-बाएँ से नीचे-दाएँ जाता है: $a_{11}, a_{22}, a_{33}$ इत्यादि।

सावधान

ये प्रकार एक-दूसरे के भीतर हैं: हर तत्समक आव्यूह अदिश है, हर अदिश आव्यूह विकर्ण है, और हर विकर्ण आव्यूह वर्ग है। इनमें से कोई भी बात उलटी सही नहीं। शून्य आव्यूह का वर्ग होना ज़रूरी नहीं।

आव्यूहों की समानता

दो आव्यूह कब बराबर होते हैं?

दो आव्यूह तब बराबर होते हैं जब उनकी कोटि एक हो और हर संगत अवयव बराबर हो। इसलिए एक आव्यूह समीकरण असल में कई साधारण समीकरण हैं, हर स्थान के लिए एक।

उदाहरण 3 · बराबर आव्यूहों से अज्ञात

यदि $\begin{bmatrix} x + y & 2 \\ x - y & z - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$ , तो $x$ , $y$ और $z$ ज्ञात कीजिए।

संगत अवयवों से $x + y = 9$ , $x - y = 5$ और $z - 1 = 3$ ।
पहले दो को जोड़ने पर $2x = 14$ , इसलिए $x = 7$ और $y = 2$ । तीसरे से $z = 4$ ।

उत्तर

$x = 7$ , $y = 2$ और $z = 4$

यदि समीकरण आपस में टकराएँ, जैसे एक स्थान से $x = 3$ और दूसरे से $x = 0$ मिले, तो कोई भी मान आव्यूहों को बराबर नहीं बनाता, और उत्तर "ऐसे कोई मान नहीं हैं" होता है।

आव्यूहों का योग और संख्या से गुणन

समान कोटि के आव्यूह अवयव-दर-अवयव जोड़े जाते हैं; अलग कोटि के आव्यूह जोड़े ही नहीं जा सकते। किसी आव्यूह को संख्या $k$ से, जिसे अदिश कहते हैं, गुणा करने पर हर अवयव $k$ से गुणा होता है। तब $-A = (-1)A$ और $A - B = A + (-B)$ ।

दुकान पर लौटें। मान लीजिए मंगलवार की बिक्री $T = \begin{bmatrix} 10 & 6 & 5 \\ 8 & 4 & 6 \end{bmatrix}$ है। दोनों दिन मिलाकर

S + T = \begin{bmatrix} 22 & 11 & 13 \\ 17 & 11 & 10 \end{bmatrix}

यानी शाखा 2 ने दो दिनों में 17 पेन बेचे। यदि किसी त्योहार से सोमवार की बिक्री दोगुनी हो जाए, तो वह $2S$ होगी।

योग और अदिश गुणन के गुणधर्म

A + B = B + A, \qquad (A + B) + C = A + (B + C), \qquad A + O = A, \qquad A + (-A) = O

k(A + B) = kA + kB, \qquad (k + l)A = kA + lA

उदाहरण 4 · एक साथ दो आव्यूह समीकरण

यदि $X + Y = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}$ और $X - Y = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}$ , तो $X$ और $Y$ ज्ञात कीजिए।

दोनों समीकरण जोड़िए: $2X = \begin{bmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 12 \end{bmatrix}$ , इसलिए $X = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 6 \end{bmatrix}$ ।
उन्हें घटाइए: $2Y = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}$ , इसलिए $Y = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ ।

उत्तर

$X = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 6 \end{bmatrix}$ और $Y = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

दो आव्यूहों का गुणन

दो आव्यूहों का गुणन कब हो सकता है?

$AB$ तभी परिभाषित है जब $A$ के स्तंभों की संख्या $B$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो। यदि $A$ की कोटि $m \times n$ और $B$ की $n \times p$ है, तो $AB$ की कोटि $m \times p$ है: बीच की संख्याएँ मिलनी चाहिए, और बाहर की संख्याएँ कोटि देती हैं।

$AB$ का हर अवयव $A$ की एक पंक्ति गुणा $B$ का एक स्तंभ है: संगत अवयवों को गुणा करके जोड़िए। दुकान से दिखता है कि यही नियम स्वाभाविक क्यों है। यदि एक पेन ₹10 का, एक कॉपी ₹40 की और एक रबड़ ₹5 का है, तो मूल्यों को एक स्तंभ $P$ में रखिए:

SP = \begin{bmatrix} 12 & 5 & 8 \\ 9 & 7 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 10 \\ 40 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12(10) + 5(40) + 8(5) \\ 9(10) + 7(40) + 4(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 360 \\ 390 \end{bmatrix}

पंक्ति 1 गुणा मूल्य-स्तंभ शाखा 1 की आय है, ₹360, और पंक्ति 2 शाखा 2 की, ₹390। $2 \times 3$ आव्यूह गुणा $3 \times 1$ आव्यूह से $2 \times 1$ आव्यूह मिला।

उदाहरण 5 · AB और BA

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ के लिए $AB$ और $BA$ ज्ञात कीजिए।

$AB$ : पंक्ति 1 से $1(4) + 2(2) = 8$ और $1(1) + 2(5) = 11$ ; पंक्ति 2 से $3(4) + 0(2) = 12$ और $3(1) + 0(5) = 3$ ।
$BA$ : पंक्ति 1 से $4(1) + 1(3) = 7$ और $4(2) + 1(0) = 8$ ; पंक्ति 2 से $2(1) + 5(3) = 17$ और $2(2) + 5(0) = 4$ ।

उत्तर

$AB = \begin{bmatrix} 8 & 11 \\ 12 & 3 \end{bmatrix}$ पर $BA = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 17 & 4 \end{bmatrix}$ , इसलिए $AB \ne BA$ ।

क्या आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय है?

नहीं। सामान्यतः $AB$ और $BA$ अलग-अलग आव्यूह होते हैं, और ये तीन तरह से अलग हो सकते हैं। एक परिभाषित ही न हो: $2 \times 3$ गुणा $3 \times 4$ होता है, उलटा क्रम नहीं। दोनों परिभाषित हों पर कोटि अलग हो: $2 \times 3$ और $3 \times 2$ से एक क्रम में $2 \times 2$ और दूसरे में $3 \times 3$ मिलता है। या, ऊपर की तरह, दोनों की कोटि एक हो और फिर भी वे अलग हों।

सावधान

गुणनफल शून्य आव्यूह हो सकता है, भले कोई गुणनखंड शून्य न हो: $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ । इसलिए $AB = O$ से $A = O$ या $B = O$ नहीं निकलता, और $AB = AC$ से $B = C$ नहीं निकलता।

गुणन के गुणधर्म

आव्यूह गुणन साधारण गुणन के तीन नियम मानता है और एक खो देता है।

गुणन जो नियम मानता है

(AB)C = A(BC), \qquad A(B + C) = AB + AC, \qquad (A + B)C = AC + BC, \qquad AI = IA = A

जो नियम छूटता है वह $AB = BA$ है। इसी कारण $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ , जो $A^2 + 2AB + B^2$ तभी है जब $A$ और $B$ क्रमविनिमेय हों।

वर्ग आव्यूह की घातें बनती हैं: $A^2 = AA$ और $A^3 = A^2A$ । $A^2 - 5A + 6I$ जैसे आव्यूह बहुपद में अचर पद उस संख्या गुणा $I$ होता है, ताकि हर पद एक ही कोटि का आव्यूह हो।

उदाहरण 6 · एक आव्यूह बहुपद

$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए दिखाइए कि $A^2 - 5A + 6I = O$ ।

$A^2 = \begin{bmatrix} 16 - 2 & 4 + 1 \\ -8 - 2 & -2 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 5 \\ -10 & -1 \end{bmatrix}$ ।
$5A = \begin{bmatrix} 20 & 5 \\ -10 & 5 \end{bmatrix}$ , इसलिए $A^2 - 5A = \begin{bmatrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{bmatrix}$ ।
$6I$ जोड़ने से विकर्ण साफ़ हो जाता है।

उत्तर

A^2 - 5A + 6I = O

मुख्य बात

हर $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए $A^2 - (a + d)A + (ad - bc)I = O$ । उदाहरण में $a + d = 5$ और $ad - bc = 4 + 2 = 6$ । इसलिए जब प्रश्न $A^2 - kA + cI = O$ में $k$ पूछे, तो $k$ विकर्ण अवयवों का योग है। अगला अध्याय $ad - bc$ को सारणिक कहता है।

दो और प्रतिरूप अक्सर आते हैं। यदि $A^2 = A$ , तो $A$ की हर घात $A$ है, इसलिए $(I + A)^2 = I + 2A + A^2 = I + 3A$ । और यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , तो $A^n = \begin{bmatrix} 1 & nk \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ।

आव्यूह का परिवर्त

आव्यूह का परिवर्त क्या होता है?

परिवर्त $A'$ , जिसे $A^T$ भी लिखते हैं, $A$ की पंक्तियों को क्रम से स्तंभ बना देता है: पंक्ति 1, स्तंभ 1 बनती है। यदि $A$ की कोटि $m \times n$ है, तो $A'$ की $n \times m$ , और $A'$ की पंक्ति $i$ , स्तंभ $j$ का अवयव $a_{ji}$ है।

A = \begin{bmatrix} 2 & 7 & -1 \\ 0 & 3 & 6 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad A' = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 7 & 3 \\ -1 & 6 \end{bmatrix}

परिवर्त के गुणधर्म

(A')' = A, \qquad (kA)' = kA', \qquad (A + B)' = A' + B', \qquad (AB)' = B'A'

सावधान

$(AB)' = B'A'$ में क्रम उलट जाता है। $A'B'$ लिखना सबसे आम भूल है, और वह पूरी तरह विफल भी हो सकता है: यदि $A$ की कोटि $2 \times 3$ और $B$ की $3 \times 4$ है, तो $(AB)'$ की कोटि $4 \times 2$ है, पर $A'B'$ परिभाषित ही नहीं।

सममित और विषम सममित आव्यूह

कोई आव्यूह सममित कब होता है?

वर्ग आव्यूह सममित है जब $A' = A$ , यानी हर $i$ और $j$ के लिए $a_{ij} = a_{ji}$ : वह मुख्य विकर्ण के आर-पार अपना ही दर्पण-प्रतिबिंब है। वह विषम सममित है जब $A' = -A$ , यानी $a_{ji} = -a_{ij}$ ।

उदाहरण के लिए, $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 4 & 0 & 5 \\ -2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ सममित है और $\begin{bmatrix} 0 & 4 & -2 \\ -4 & 0 & 5 \\ 2 & -5 & 0 \end{bmatrix}$ विषम सममित।

$a_{ji} = -a_{ij}$ में $j = i$ रखने पर $a_{ii} = -a_{ii}$ , इसलिए $2a_{ii} = 0$ : विषम सममित आव्यूह का हर विकर्ण अवयव 0 होता है।

किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए $A + A'$ सममित है, क्योंकि $(A + A')' = A' + A$ , और $A - A'$ विषम सममित है, क्योंकि $(A - A')' = A' - A = -(A - A')$ । इनके आधे जुड़कर $A$ बनाते हैं, इसलिए हर वर्ग आव्यूह एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह का योग है।

किसी भी वर्ग आव्यूह को बाँटना

A = \frac{1}{2}(A + A') + \frac{1}{2}(A - A')

पहला भाग सममित है और दूसरा विषम सममित।

उदाहरण 7 · दोनों भाग

$A = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ को $P + Q$ के रूप में लिखिए, जहाँ $P$ सममित हो और $Q$ विषम सममित।

$A + A' = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 8 & 8 \end{bmatrix}$ , इसलिए $P = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$ ।
$A - A' = \begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -6 & 0 \end{bmatrix}$ , इसलिए $Q = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}$ ।

उत्तर

$P + Q = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = A$ , जहाँ $P' = P$ और $Q' = -Q$ ।

यही एक पंक्ति की जाँच, परिवर्त लेकर तुलना करना, सबसे ज़्यादा पूछी जाने वाली बातें तय कर देती है:

सममित आव्यूहों का योग, अंतर या अदिश गुणज सममित होता है, और विषम सममित आव्यूहों के लिए भी यही सही है;
जो आव्यूह सममित भी हो और विषम सममित भी, वह केवल $O$ है, क्योंकि $A' = A$ और $A' = -A$ से $A = -A$ ;
यदि $A$ और $B$ सममित हैं, तो $AB$ तभी सममित है जब $AB = BA$ , जबकि $AB - BA$ सदा विषम सममित है;
$AA'$ और $A'A$ सदा सममित होते हैं।

व्युत्क्रमणीय आव्यूह

कोई आव्यूह व्युत्क्रमणीय कब होता है?

वर्ग आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय है यदि उसी कोटि का कोई आव्यूह $B$ ऐसा हो कि $AB = BA = I$ । तब $B$ , $A$ का व्युत्क्रम है, जिसे $A^{-1}$ लिखते हैं, और $A$ भी $B$ का व्युत्क्रम है।

उदाहरण 8 · व्युत्क्रम की जाँच

दिखाइए कि $B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$ , $A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम है।

$AB = \begin{bmatrix} 5 - 4 & -10 + 10 \\ 2 - 2 & -4 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ।
$BA = \begin{bmatrix} 5 - 4 & 2 - 2 \\ -10 + 10 & -4 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ भी।

उत्तर

A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}

परिभाषा से तीन बातें निकलती हैं:

केवल वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम हो सकता है, क्योंकि $AB$ और $BA$ दोनों परिभाषित और एक ही कोटि के होने चाहिए;
व्युत्क्रम अद्वितीय होता है: यदि $B$ और $C$ दोनों $A$ के व्युत्क्रम हों, तो $B = B(AC) = (BA)C = C$ ;
गुणनफल का व्युत्क्रम क्रम उलट देता है, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ , ठीक परिवर्त की तरह।

हर वर्ग आव्यूह व्युत्क्रमणीय नहीं होता; जैसे $O$ का कोई व्युत्क्रम नहीं। कोई आव्यूह समीकरण सीधे व्युत्क्रम दे सकता है: यदि $A^2 - 4A - I = O$ , तो $A(A - 4I) = I$ और $(A - 4I)A = I$ , इसलिए $A^{-1} = A - 4I$ । कौन-से आव्यूह व्युत्क्रमणीय हैं, और $A^{-1}$ सामान्य रूप से कैसे निकालें, यह अगले अध्याय का काम है।

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

कोटि और अवयव: किसी गुणनफल या परिवर्त की कोटि, गुणनफल का एक अवयव, किसी आव्यूह की कितनी कोटियाँ हो सकती हैं, या दिए गए अवयवों से कितने आव्यूह बन सकते हैं।
अज्ञात: दो बराबर आव्यूहों से, या सममित अथवा विषम सममित की शर्त से।
कथनों के समूह: गुणनफलों, परिवर्तों, सममित या विषम सममित आव्यूहों, या व्युत्क्रमों के बारे में कई कथनों में से कौन-से सही हैं।
आव्यूह बहुपद: $A^2 - kA + cI = O$ में $k$ ज्ञात करना, या $A^2 - 5A + 6I$ जैसा बहुपद निकालना।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

$N$ अवयवों के लिए कोटियों की संख्या $N$ के भाजकों की संख्या है।
$m \times n$ कोटि के आव्यूह, हर अवयव $r$ मानों में से: $r^{mn}$ ।
$AB$ तब परिभाषित है जब बीच की संख्याएँ मिलें, और उसकी कोटि बाहर की संख्याएँ हैं।
$2 \times 2$ आव्यूह के लिए $A^2 - (a + d)A + (ad - bc)I = O$ ।
यदि $A^2 = A$ , तो $A$ की हर घात $A$ है।
$3 \times 3$ विषम सममित आव्यूह विकर्ण के ऊपर के अपने 3 अवयवों से तय हो जाता है।

आम भूलें

$a_{ij}$ में स्तंभ को पहले पढ़ना।
संगत अवयवों के गुणा को आव्यूह गुणन मान लेना।
$AB = BA$ मान लेना, या $AB = AC$ में $A$ को काट देना।
आव्यूह में सीधी संख्या जोड़ देना: $A^2 - 5A + 6I$ में 6 का अर्थ $6I$ है, केवल विकर्ण पर।
$(AB)' = A'B'$ या $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ लिखना।
सममित और विषम सममित भागों में $\frac{1}{2}$ भूल जाना।

त्वरित पुनरावृत्ति

कोटि और प्रकार

कोटि: पंक्तियाँ × स्तंभ; $a_{ij}$ पंक्ति $i$ , स्तंभ $j$
तत्समक, फिर अदिश, फिर विकर्ण: हर एक अगले का विशेष रूप
बराबर: एक ही कोटि और बराबर संगत अवयव

बीजगणित

केवल समान कोटि के आव्यूह जुड़ते हैं; $kA$ हर अवयव को गुणा करता है
$AB$ के लिए $A$ के स्तंभ = $B$ की पंक्तियाँ; सामान्यतः $AB \ne BA$
$A \ne O$ और $B \ne O$ होते हुए भी $AB = O$ हो सकता है

परिवर्त और सममिति

$(AB)' = B'A'$
सममित: $A' = A$ ; विषम सममित: $A' = -A$ , विकर्ण शून्य
$A = \frac{1}{2}(A + A') + \frac{1}{2}(A - A')$

व्युत्क्रम

$AB = BA = I$ , केवल वर्ग आव्यूहों के लिए
अद्वितीय, और $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

अगला अध्याय हर वर्ग आव्यूह से एक संख्या जोड़ता है और उससे व्युत्क्रम निकालता है: सारणिक, सहखंडज और व्युत्क्रम।

आगे · 13त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

106 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

आव्यूह, उसके अवयव और कोटिप्र1 / 106प्र1

आव्यूह, उसके अवयव और कोटि

15 प्रश्न

प्रश्न 1

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}3 & -1 & 0 & 5 \\ 2 & 7 & 4 & -6 \\ 1 & 0 & 9 & 8\end{bmatrix}$ की कोटि क्या है?

4 \times 3

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3 \times 4

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12

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3 \times 3

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उत्तरB · $3 \times 4$

$A$ में 3 पंक्तियाँ और 4 स्तंभ हैं।
कोटि पंक्तियाँ × स्तंभ लिखी जाती है, इसलिए कोटि $3 \times 4$ है। आव्यूह में 12 अवयव हैं, पर 12 एक गिनती है, कोटि नहीं।

ध्यान देने योग्य

$4 \times 3$ में स्तंभ पहले लिखे गए हैं; कोटि सदा पंक्तियों से शुरू होती है।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}4 & -2 & 7 \\ 0 & 5 & -3 \\ 8 & 1 & 6\end{bmatrix}$ में $a_{23}$ क्या है?

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-3$

$a_{23}$ में पहला अंक पंक्ति है और दूसरा स्तंभ: पंक्ति 2, स्तंभ 3।
पंक्ति 2 है $0,\ 5,\ -3$ , और उसका तीसरा अवयव $-3$ है।

ध्यान देने योग्य

1 तो $a_{32}$ है, पंक्ति 3, स्तंभ 2: दोनों अंक उलटे पढ़े गए।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी आव्यूह में 10 अवयव हैं। उसकी कितनी अलग-अलग कोटियाँ हो सकती हैं?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $4$

कोटि m × n के लिए $mn = 10$ चाहिए, इसलिए m, 10 का कोई भी भाजक हो सकता है।
भाजकों से कोटियाँ 1 × 10, 2 × 5, 5 × 2, 10 × 1 मिलती हैं: कुल 4।

ध्यान देने योग्य

2 में केवल m ≤ n गिना गया, पर 1 × 10 और 10 × 1 अलग-अलग कोटियाँ हैं।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = [a_{ij}]$ एक 2 × 3 आव्यूह है, जिसमें $a_{ij} = i + 2j$ । $a_{23}$ क्या है?

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $8$

$a_{23}$ में $i = 2$ पंक्ति है और $j = 3$ स्तंभ।
$a_{23} = 2 + 2(3) = 8$ ।

ध्यान देने योग्य

7 में $i = 3$ और $j = 2$ रखा गया, जो $a_{32}$ है, $a_{23}$ नहीं।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी आव्यूह में 3 पंक्तियाँ और 15 अवयव हैं। उसमें कितने स्तंभ हैं?

5

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

18

सही उत्तरआपका उत्तर

45

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $5$

अवयवों की संख्या पंक्तियाँ × स्तंभ होती है, इसलिए $3 \times c = 15$ ।
इसलिए $c = 5$ ।

ध्यान देने योग्य

12 में अवयवों में से पंक्तियाँ घटाई गई हैं; अवयव तो पंक्तियों और स्तंभों का गुणनफल होते हैं।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

2 × 2 कोटि के कितने आव्यूह बन सकते हैं, यदि हर अवयव 0 या 1 हो?

8

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

16

सही उत्तरआपका उत्तर

32

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $16$

2 × 2 आव्यूह में भरने के लिए $2 \times 2 = 4$ स्थान हैं।
हर स्थान के लिए, स्वतंत्र रूप से, 2 विकल्प हैं, इसलिए $2^{4} = 16$ आव्यूह बनते हैं।

ध्यान देने योग्य

$4 \times 2$ में हर स्थान के विकल्प जोड़े गए; उन्हें गुणा करना होता है।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}2 & 5 & -1 \\ 3 & 0 & 4 \\ 6 & -2 & 1\end{bmatrix}$ के लिए $a_{13} + a_{21}$ क्या है?

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2$

$a_{13}$ पंक्ति 1, स्तंभ 3 है: $-1$ । $a_{21}$ पंक्ति 2, स्तंभ 1 है: $3$ ।
इसलिए $a_{13} + a_{21} = -1 + 3 = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

$11$ तो $a_{31} + a_{12}$ है: पहले स्तंभ, फिर पंक्ति।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी आव्यूह में 7 अवयव हैं। उसकी कितनी अलग-अलग कोटियाँ हो सकती हैं?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2$

कोटि m × n के लिए $mn = 7$ चाहिए, इसलिए m, 7 का कोई भी भाजक हो सकता है।
भाजकों से कोटियाँ 1 × 7, 7 × 1 मिलती हैं: कुल 2।

ध्यान देने योग्य

1 में केवल m ≤ n गिना गया, पर 1 × 7 और 7 × 1 अलग-अलग कोटियाँ हैं।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = [a_{ij}]$ एक 2 × 2 आव्यूह है, जिसमें $a_{ij} = i^2 - j$ । $A$ कौन-सा आव्यूह है?

\begin{bmatrix}0 & 3 \\ -1 & 2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & -3 \\ 1 & -2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 5 & 6\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}$

पंक्ति 1 ( $i = 1$ ): $1 - 1 = 0$ और $1 - 2 = -1$ ।
पंक्ति 2 ( $i = 2$ ): $4 - 1 = 3$ और $4 - 2 = 2$ ।
इसलिए $A = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}0 & 3 \\ -1 & 2\end{bmatrix}$ तो $A$ का परिवर्त है: $i$ को स्तंभ मान लिया गया।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

3 × 2 कोटि के कितने आव्यूह बन सकते हैं, यदि हर अवयव −1, 0 या 1 हो?

18

सही उत्तरआपका उत्तर

216

सही उत्तरआपका उत्तर

243

सही उत्तरआपका उत्तर

729

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $729$

3 × 2 आव्यूह में भरने के लिए $3 \times 2 = 6$ स्थान हैं।
हर स्थान के लिए, स्वतंत्र रूप से, 3 विकल्प हैं, इसलिए $3^{6} = 729$ आव्यूह बनते हैं।

ध्यान देने योग्य

$6 \times 3$ में हर स्थान के विकल्प जोड़े गए; उन्हें गुणा करना होता है।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-सी, 24 अवयवों वाले आव्यूह की संभावित कोटि नहीं है?

3 \times 8

सही उत्तरआपका उत्तर

6 \times 4

सही उत्तरआपका उत्तर

2 \times 12

सही उत्तरआपका उत्तर

4 \times 5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $4 \times 5$

$m \times n$ कोटि के आव्यूह में $mn$ अवयव होते हैं, इसलिए यहाँ हर संभावित कोटि में $mn = 24$ होगा।
$3 \times 8$ , $6 \times 4$ और $2 \times 12$ सभी से 24 मिलता है, पर $4 \times 5 = 20$ ।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = [a_{ij}]$ एक 3 × 3 आव्यूह है, जिसमें $i < j$ होने पर $a_{ij} = i - j$ और $i \ge j$ होने पर $a_{ij} = i + j$ । $a_{13} + a_{31}$ क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $2$

$a_{13}$ के लिए $i = 1 < j = 3$ , इसलिए $a_{13} = 1 - 3 = -2$ ।
$a_{31}$ के लिए $i = 3 \ge j = 1$ , इसलिए $a_{31} = 3 + 1 = 4$ ।
योग $-2 + 4 = 2$ है।

ध्यान देने योग्य

6 में दोनों नियम उलटे लगाए गए: $1 + 3$ और $3 - 1$ ।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = [a_{ij}]$ एक 2 × 2 आव्यूह है जिसमें $a_{ij} = \frac{(i + j)^2}{2}$ । $A$ कौन-सा आव्यूह है?

\begin{bmatrix}4 & 9 \\ 9 & 16\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & \frac{9}{2} \\ \frac{9}{2} & 8\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & \frac{9}{2} \\ \frac{9}{2} & 8\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 4 & 8\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\begin{bmatrix}2 & \frac{9}{2} \\ \frac{9}{2} & 8\end{bmatrix}$

$a_{11} = \frac{4}{2} = 2$ , $a_{12} = a_{21} = \frac{9}{2}$ , $a_{22} = \frac{16}{2} = 8$ ।
इसलिए $A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{9}{2} \\ \frac{9}{2} & 8 \end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

2 से भाग छोड़ देने पर स्वयं वर्ग 4, 9, 9, 16 आते हैं।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = [a_{ij}]$ एक 3 × 3 आव्यूह है, जिसमें $a_{ij} = |i - j|$ । उसके सभी अवयवों का योग क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $8$

हर अवयव निकालने पर $A = \begin{bmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0\end{bmatrix}$ : मुख्य विकर्ण पर 0, उसके पास 1 और कोनों में 2।
योग $4 \times 1 + 2 \times 2 = 8$ है।

ध्यान देने योग्य

0 तो बिना मापांक के $i - j$ का योग है: हर अवयव अपने दर्पण-प्रतिबिंब से कट जाता है।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

छह अलग-अलग संख्याएँ किसी आव्यूह के अवयव बनानी हैं, हर संख्या ठीक एक बार। किसी भी कोटि के ऐसे कितने आव्यूह बन सकते हैं?

720

सही उत्तरआपका उत्तर

1{,}440

सही उत्तरआपका उत्तर

2{,}880

सही उत्तरआपका उत्तर

46{,}656

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2{,}880$

6 अवयवों वाले आव्यूह की कोटि 1 × 6, 2 × 3, 3 × 2 या 6 × 1 हो सकती है: 4 कोटियाँ।
हर कोटि के लिए छह संख्याएँ $6! = 720$ तरीकों से रखी जा सकती हैं।
इसलिए $4 \times 720 = 2{,}880$ आव्यूह बनते हैं।

ध्यान देने योग्य

720 केवल एक कोटि की व्यवस्थाएँ हैं; 4 में से हर कोटि अपनी 720 देती है।

आव्यूहों के प्रकार

9 प्रश्न

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = [a_{ij}]_{m \times n}$ वर्ग आव्यूह कब होता है?

m < n

सही उत्तरआपका उत्तर

m = n

सही उत्तरआपका उत्तर

m > n

सही उत्तरआपका उत्तर

m = 1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $m = n$

वर्ग आव्यूह में जितनी पंक्तियाँ होती हैं, उतने ही स्तंभ।
इसलिए $m = n$ । $m = 1$ होने पर आव्यूह पंक्ति आव्यूह होता है।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-सा अदिश आव्यूह है?

\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & 3 \\ 3 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}3 & 3 \\ 3 & 3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$

अदिश आव्यूह वह विकर्ण आव्यूह है जिसके सभी विकर्ण अवयव बराबर हों।
केवल $\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ इस पर खरा उतरता है।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-सा पंक्ति आव्यूह है?

\begin{bmatrix}4 \\ -2 \\ 7\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}4 & -2 & 7\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}4 & -2 \\ 7 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}4 & -2 & 7 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\begin{bmatrix}4 & -2 & 7\end{bmatrix}$

पंक्ति आव्यूह में ठीक एक पंक्ति होती है; उसकी कोटि 1 × n होती है।
केवल $\begin{bmatrix}4 & -2 & 7\end{bmatrix}$ इस पर खरा उतरता है।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-सा 2 × 3 कोटि का शून्य आव्यूह है?

\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

शून्य आव्यूह का हर अवयव 0 होता है, और 2 × 3 कोटि का अर्थ है 2 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ।
केवल $\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ इस पर खरा उतरता है।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक आव्यूह पंक्ति आव्यूह भी है और स्तंभ आव्यूह भी। उसकी कोटि क्या है?

1 × 2सही उत्तरआपका उत्तर1 × 1सही उत्तरआपका उत्तर2 × 1सही उत्तरआपका उत्तर2 × 2सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 1 × 1

पंक्ति आव्यूह में 1 पंक्ति होती है, और स्तंभ आव्यूह में 1 स्तंभ।
दोनों एक साथ, यानी 1 पंक्ति और 1 स्तंभ: कोटि 1 × 1।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-सा आव्यूह विकर्ण है, पर अदिश नहीं?

\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 5 & 0 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}$

मुख्य विकर्ण के बाहर हर अवयव 0 है, और विकर्ण के अवयव सब बराबर नहीं हैं।
केवल $\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}$ इस पर खरा उतरता है।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. हर तत्समक आव्यूह एक अदिश आव्यूह है।

II. हर अदिश आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह है।

III. हर विकर्ण आव्यूह एक अदिश आव्यूह है।

IV. हर शून्य आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है।

केवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II और IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I और II

तत्समक आव्यूह वह अदिश आव्यूह है जिसके विकर्ण अवयव 1 हों, और अदिश आव्यूह वह विकर्ण आव्यूह है जिसके विकर्ण अवयव बराबर हों: I और II सही हैं।
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ विकर्ण है पर अदिश नहीं, इसलिए III गलत है; $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ऐसा शून्य आव्यूह है जो वर्ग नहीं, इसलिए IV गलत है।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक 3 × 3 आव्यूह $A = [a_{ij}]$ में $i \ne j$ होने पर $a_{ij} = 0$ और $i = j$ होने पर $a_{ij} = 4$ है। $A$ क्या है?

एक तत्समक आव्यूहसही उत्तरआपका उत्तरएक शून्य आव्यूहसही उत्तरआपका उत्तरएक अदिश आव्यूहसही उत्तरआपका उत्तरऐसा विकर्ण आव्यूह जो अदिश नहीं हैसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · एक अदिश आव्यूह

मुख्य विकर्ण के बाहर हर अवयव 0 है, इसलिए $A$ विकर्ण है।
उसके सभी विकर्ण अवयव 4 हैं, बराबर पर 1 नहीं, इसलिए वह अदिश आव्यूह है, तत्समक नहीं।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

3 × 3 कोटि के कितने विकर्ण आव्यूह बन सकते हैं, यदि हर अवयव 0 या 1 हो?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

512

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $8$

विकर्ण आव्यूह में मुख्य विकर्ण के बाहर हर अवयव 0 होना चाहिए, इसलिए केवल विकर्ण के 3 स्थान खाली हैं।
हर स्थान के 2 विकल्प हैं, इसलिए ऐसे $2^3 = 8$ आव्यूह हैं (शून्य आव्यूह और $I$ भी इनमें हैं)।

ध्यान देने योग्य

512 तो $2^9$ है, 0 और 1 वाले सभी 3 × 3 आव्यूह, जिनमें से ज़्यादातर विकर्ण नहीं हैं।

आव्यूहों की समानता

8 प्रश्न

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\begin{bmatrix} x + 2 & 5 \\ 6 & y - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$ , तो $x + y$ क्या है?

9

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $9$

बराबर आव्यूहों के संगत अवयव बराबर होते हैं: $x + 2 = 7$ और $y - 1 = 3$ ।
इसलिए $x = 5$ , $y = 4$ और $x + y = 9$ ।

ध्यान देने योग्य

11 में दोनों अचर उलटी दिशा में ले जाए गए: $x = 9$ और $y = 2$ ।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो आव्यूह कब बराबर होते हैं?

जब उनकी कोटि एक हो और अवयवों का योग बराबर होसही उत्तरआपका उत्तरजब उनमें अवयवों की संख्या बराबर हो, किसी भी व्यवस्था मेंसही उत्तरआपका उत्तरजब उनमें पंक्तियाँ बराबर हों और मुख्य विकर्ण एक होसही उत्तरआपका उत्तरजब उनकी कोटि एक हो और संगत अवयव बराबर होंसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · जब उनकी कोटि एक हो और संगत अवयव बराबर हों

समानता के लिए दो बातें चाहिए: एक ही कोटि, और हर संगत स्थान पर बराबर अवयव।
इसलिए 2 × 3 आव्यूह कभी 3 × 2 आव्यूह के बराबर नहीं होता, चाहे छहों संख्याएँ वही हों।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\begin{bmatrix} x + y + z \\ x + z \\ y + z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 7 \\ 9 \end{bmatrix}$ , तो $x$ , $y$ और $z$ क्या हैं?

x = 5,\ y = 3,\ z = 4

सही उत्तरआपका उत्तर

x = 3,\ y = 5,\ z = 4

सही उत्तरआपका उत्तर

x = 3,\ y = 4,\ z = 5

सही उत्तरआपका उत्तर

x = 4,\ y = 5,\ z = 3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $x = 3,\ y = 5,\ z = 4$

अवयवों की तुलना: $x + y + z = 12$ , $x + z = 7$ और $y + z = 9$ ।
पहले में से दूसरा घटाने पर $y = 5$ ; फिर $z = 9 - 5 = 4$ और $x = 7 - 4 = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

$x = 5,\ y = 3$ में $x$ और $y$ बदल गए; $x + z = 7$ में जाँचें तो यह नहीं बैठता।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x$ और $y$ के किन मानों के लिए $\begin{bmatrix} 2x + 1 & 4 \\ y & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 4 \\ -2 & 3 - x \end{bmatrix}$ ?

x = 3,\ y = -2

सही उत्तरआपका उत्तर

x = 0,\ y = -2

सही उत्तरआपका उत्तर

x = 3,\ y = 2

सही उत्तरआपका उत्तरऐसे कोई मान नहीं हैंसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · ऐसे कोई मान नहीं हैं

ऊपर-बाएँ अवयवों से $2x + 1 = 7$ , इसलिए $x = 3$ ।
नीचे-दाएँ अवयवों से $3 = 3 - x$ , इसलिए $x = 0$ । एक ही $x$ दोनों नहीं हो सकता, इसलिए ये आव्यूह कभी बराबर नहीं होते।

ध्यान देने योग्य

$x = 3,\ y = -2$ चार में से तीन समीकरण पूरे करता है; समानता के लिए चारों चाहिए।

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\begin{bmatrix} a + b & a - 2c \\ 2a - b & c + d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}$ , तो $a + b + c + d$ क्या है?

10

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

14

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $12$

पहले स्तंभ से: $a + b = 7$ और $2a - b = -1$ । जोड़ने पर $3a = 6$ , इसलिए $a = 2$ और $b = 5$ ।
फिर $a - 2c = 0$ से $c = 1$ , और $c + d = 5$ से $d = 4$ ।
इसलिए $a + b + c + d = 12$ ।

ध्यान देने योग्य

$11$ दाईं ओर के अवयवों का योग है, अज्ञातों का नहीं।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\begin{bmatrix} 2x - y & 3 \\ 1 & x + 3y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 13 \end{bmatrix}$ , तो $x$ और $y$ क्या हैं?

x = 3,\ y = 4

सही उत्तरआपका उत्तर

x = 4,\ y = -3

सही उत्तरआपका उत्तर

x = 1,\ y = 4

सही उत्तरआपका उत्तर

x = 4,\ y = 3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $x = 4,\ y = 3$

समान आव्यूहों के संगत अवयव बराबर होते हैं: $2x - y = 5$ और $x + 3y = 13$ ।
पहले से $y = 2x - 5$ ; तब $x + 6x - 15 = 13$ , इसलिए $x = 4$ और $y = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

$x = 3,\ y = 4$ में दोनों उलट गए; $2x - y = 5$ में मान रखकर जाँचिए।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\begin{bmatrix} x^2 & 3 \\ y & 2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 4 & -6 \end{bmatrix}$ , तो $x + y$ क्या है?

-7

सही उत्तरआपका उत्तर

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $1$

$x^2 = 9$ से $x = 3$ या $x = -3$ हो सकता है, पर $2x = -6$ से केवल $x = -3$ बचता है।
$y = 4$ , इसलिए $x + y = -3 + 4 = 1$ ।

ध्यान देने योग्य

7 में $x^2 = 9$ से $x = 3$ लिया गया, $2x = -6$ में जाँचे बिना।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\begin{bmatrix} a + b & a - 2c \\ 2a - b & c + d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 11 & 9 \end{bmatrix}$ , तो $a + b + c + d$ क्या है?

13

सही उत्तरआपका उत्तर

14

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

25

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $13$

पहले स्तंभ से: $a + b = 4$ और $2a - b = 11$ । जोड़ने पर $3a = 15$ , इसलिए $a = 5$ और $b = -1$ ।
फिर $a - 2c = 1$ से $c = 2$ , और $c + d = 9$ से $d = 7$ ।
इसलिए $a + b + c + d = 13$ ।

ध्यान देने योग्य

$25$ दाईं ओर के अवयवों का योग है, अज्ञातों का नहीं।

योग और अदिश से गुणन

11 प्रश्न

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & -3\end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix}1 & 4 \\ -2 & 5\end{bmatrix}$ , तो $2A + B$ क्या है?

\begin{bmatrix}3 & -2 \\ 2 & -11\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}5 & 6 \\ -2 & -1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}3 & 5 \\ -2 & 2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}4 & 9 \\ -4 & 7\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\begin{bmatrix}5 & 6 \\ -2 & -1\end{bmatrix}$

पहले गुणा कीजिए: $2A = \begin{bmatrix}4 & 2 \\ 0 & -6\end{bmatrix}$ और $1B = \begin{bmatrix}1 & 4 \\ -2 & 5\end{bmatrix}$ ।
फिर संगत अवयव जोड़िए: $\begin{bmatrix}5 & 6 \\ -2 & -1\end{bmatrix}$ ।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ 2 × 3 आव्यूह हैं और $C$ एक 3 × 2 आव्यूह है। निम्नलिखित में से कौन-सा परिभाषित नहीं है?

A + B

सही उत्तरआपका उत्तर

A - 2B

सही उत्तरआपका उत्तर

3A + B

सही उत्तरआपका उत्तर

A + C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $A + C$

आव्यूह तभी जोड़े या घटाए जा सकते हैं जब उनकी कोटि एक हो।
$A$ , $B$ , $2B$ और $3A$ सभी 2 × 3 हैं, पर $C$ 3 × 2 है, इसलिए $A + C$ परिभाषित नहीं है।

ध्यान देने योग्य

अदिश गुणज से कोटि नहीं बदलती: $2B$ अब भी 2 × 3 है, इसलिए $A - 2B$ परिभाषित है।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक दुकान की दो शाखाएँ शर्ट और पतलून की बिक्री लिखती हैं। मार्च की बिक्री $M = \begin{bmatrix}40 & 25 \\ 35 & 30\end{bmatrix}$ और अप्रैल की $N = \begin{bmatrix}45 & 20 \\ 30 & 40\end{bmatrix}$ है, जहाँ पंक्ति 1 शाखा P है, पंक्ति 2 शाखा Q, स्तंभ 1 शर्ट और स्तंभ 2 पतलून। शाखा Q ने दोनों महीनों में कुल कितनी पतलून बेचीं?

45

सही उत्तरआपका उत्तर

65

सही उत्तरआपका उत्तर

70

सही उत्तरआपका उत्तर

75

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $70$

दोनों महीने मिलाकर $M + N = \begin{bmatrix}85 & 45 \\ 65 & 70\end{bmatrix}$ ।
शाखा Q पंक्ति 2 है और पतलून स्तंभ 2: $30 + 40 = 70$ ।

ध्यान देने योग्य

45 शाखा P की पतलून है: पंक्ति 2 की जगह पंक्ति 1।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 5\end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix}2 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & -2\end{bmatrix}$ , तो $3A - 2B$ की पंक्ति 2, स्तंभ 3 का अवयव क्या है?

7

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

19

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $19$

$3A - 2B$ का हर अवयव $3a_{ij} - 2b_{ij}$ है।
यहाँ $3(5) - 2(-2) = 15 + 4 = 19$ ।

ध्यान देने योग्य

11 में चिह्न छूट गया: $-2 \times (-2)$ का मान $+4$ है, $-4$ नहीं।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}3 & -1 \\ 2 & 4\end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ , तो $2A - 3B$ क्या है?

\begin{bmatrix}3 & -8 \\ 4 & 11\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}9 & 4 \\ 4 & 5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}7 & -7 \\ 6 & 14\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}5 & -4 \\ 4 & 9\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\begin{bmatrix}3 & -8 \\ 4 & 11\end{bmatrix}$

हर आव्यूह को उसके अदिश से अवयव-दर-अवयव गुणा कीजिए: $2A = \begin{bmatrix} 6 & -2 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}$ , $3B = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$ ।
घटाइए: $\begin{bmatrix}3 & -8 \\ 4 & 11\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-3$ घटाने पर $+3$ आता है: अंतिम अवयव $8 - (-3) = 11$ है।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $2X + \begin{bmatrix}-1 & 3 \\ 2 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 7 \\ 6 & 0\end{bmatrix}$ , तो $X$ ज्ञात कीजिए।

\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & -1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & 5 \\ 4 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 4 & -2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}-1 & -2 \\ -2 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & -1\end{bmatrix}$

पहले घटाइए: $2X = \begin{bmatrix}1 & 7 \\ 6 & 0\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-1 & 3 \\ 2 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 4 & -2\end{bmatrix}$ ।
फिर हर अवयव को आधा कीजिए: $X = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & -1\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 4 & -2\end{bmatrix}$ तो $2X$ है, $X$ नहीं।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $3\begin{bmatrix} 2 & x \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ , तो $x + y$ क्या है?

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0$

बायाँ पक्ष $\begin{bmatrix} 6 + y & 3x + 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ है।
इसलिए $6 + y = 4$ से $y = -2$ , और $3x + 1 = 7$ से $x = 2$ । तब $x + y = 0$ ।

ध्यान देने योग्य

8 में पहले आव्यूह को 3 से गुणा करना छूट गया: $2 + y = 4$ और $x + 1 = 7$ ।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. समान कोटि के आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए $A + B = B + A$ ।

II. समान कोटि के आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए $A - B = B - A$ ।

III. किसी भी संख्या $k$ के लिए $k(A + B) = kA + kB$ ।

IV. किन्हीं भी संख्याओं $k$ और $l$ के लिए $(k + l)A = kA + lA$ ।

केवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरI, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I, III और IV

योग अवयव-दर-अवयव होता है, इसलिए वह संख्याओं के योग की तरह क्रमविनिमेय है (I), और कोई संख्या योग पर दोनों तरह बँट जाती है (III और IV)।
$B - A = -(A - B)$ , इसलिए II तभी सही है जब $A = B$ ।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$X + Y = \begin{bmatrix}5 & 2 \\ 0 & 9\end{bmatrix}$ और $X - Y = \begin{bmatrix}3 & 6 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ । $X$ क्या है?

\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}4 & 4 \\ 0 & 4\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}8 & 8 \\ 0 & 8\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & -4 \\ 0 & 10\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\begin{bmatrix}4 & 4 \\ 0 & 4\end{bmatrix}$

दोनों समीकरण जोड़िए: $2X = \begin{bmatrix}8 & 8 \\ 0 & 8\end{bmatrix}$ ।
हर अवयव को आधा कीजिए: $X = \begin{bmatrix}4 & 4 \\ 0 & 4\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 5\end{bmatrix}$ तो $Y$ है, जो समीकरण घटाने से आता है।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $x\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ -1 \end{bmatrix}$ , तो $xy$ क्या है?

-6

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $6$

पंक्तियों की तुलना: $3x + 2y = 12$ और $x - y = -1$ ।
तब $x = y - 1$ , इसलिए $3y - 3 + 2y = 12$ , $y = 3$ और $x = 2$ । इसलिए $xy = 6$ ।

ध्यान देने योग्य

5 तो $x + y$ है, $xy$ नहीं।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$2X + 3Y = \begin{bmatrix}8 & -1 \\ -3 & 6\end{bmatrix}$ और $3X + 2Y = \begin{bmatrix}7 & -4 \\ -2 & 9\end{bmatrix}$ । $X$ क्या है?

\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 0 & -3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}3 & -1 \\ -1 & 3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$

$Y$ हटाइए: दूसरे समीकरण के तीन गुने में से पहले का दोगुना घटाने पर $9X - 4X = 5X$ ।
$5X = 3\begin{bmatrix}7 & -4 \\ -2 & 9\end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix}8 & -1 \\ -3 & 6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 & -10 \\ 0 & 15\end{bmatrix}$ ।
इसलिए $X = \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 0 & -3\end{bmatrix}$ उलटा घटाने से आता है, $2P - 3Q = -5X$ , और ऋण चिह्न भूल जाने से।

आव्यूहों का गुणन

15 प्रश्न

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ एक 3 × 2 आव्यूह है और $B$ एक 2 × 4 आव्यूह। $AB$ की कोटि क्या है?

2 \times 2

सही उत्तरआपका उत्तर

4 \times 3

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \times 4

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \times 2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3 \times 4$

$AB$ परिभाषित है: $A$ में 2 स्तंभ हैं और $B$ में 2 पंक्तियाँ।
गुणनफल में पंक्तियाँ $A$ की और स्तंभ $B$ के आते हैं: $3 \times 4$ ।

ध्यान देने योग्य

दोनों कोटियों में साझा 2 ही गुणन संभव बनाता है; गुणनफल में वह नहीं रहता।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 1 & 3\end{bmatrix}$ , तो $AB$ क्या है?

\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 10 & 14\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 3 & 12\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}4 & 10 \\ 6 & 12\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}4 & 6 \\ 10 & 12\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\begin{bmatrix}4 & 6 \\ 10 & 12\end{bmatrix}$

$AB$ का हर अवयव $A$ की किसी पंक्ति और $B$ के किसी स्तंभ के संगत अवयवों के गुणनफलों का योग है।
उदाहरण के लिए, पंक्ति 1 और स्तंभ 1: $(1)(2) + (2)(1) = 4$ ।
इसलिए $AB = \begin{bmatrix}4 & 6 \\ 10 & 12\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

संगत अवयवों का गुणा आव्यूह गुणन नहीं है, और $BA$ प्रायः अलग आव्यूह होता है।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ दोनों 3 × 2 आव्यूह हैं। गुणनफल $AB$ और $BA$ में से कौन-सा परिभाषित है?

केवल

AB

सही उत्तरआपका उत्तरन

AB

, न

BA

सही उत्तरआपका उत्तरकेवल

BA

सही उत्तरआपका उत्तर

AB

और

BA

दोनोंसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · न $AB$ , न $BA$

$AB$ के लिए $A$ के स्तंभ (2) और $B$ की पंक्तियाँ (3) बराबर होनी चाहिए: वे नहीं हैं।
$BA$ के लिए $B$ के स्तंभ (2) और $A$ की पंक्तियाँ (3) बराबर होनी चाहिए: वे भी नहीं हैं।

ध्यान देने योग्य

एक ही कोटि योग के लिए चाहिए; गुणन के लिए बीच की संख्याएँ मिलनी चाहिए।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{bmatrix}2 & -1 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ -2\end{bmatrix}$ क्या है?

\begin{bmatrix}8 & -1 & -6\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}8 \\ -1 \\ -6\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}8 & -4 & 12 \\ 2 & -1 & 3 \\ -4 & 2 & -6\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}$

1 × 3 आव्यूह और 3 × 1 आव्यूह का गुणनफल 1 × 1 आव्यूह होता है।
उसका एक अवयव $(2)(4) + (-1)(1) + (3)(-2) = 8 - 1 - 6 = 1$ है।

ध्यान देने योग्य

3 × 3 आव्यूह उलटे क्रम का गुणनफल है, $\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & -1 & 3\end{bmatrix}$ ।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}2 & k \\ 1 & 3\end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix}3 & -6 \\ -1 & 2\end{bmatrix}$ और $AB = O$ , तो $k$ क्या है?

-6

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $6$

$A$ की पंक्ति 1 और $B$ का स्तंभ 1: $2(3) + k(-1) = 6 - k$ , जो 0 होना चाहिए।
इसलिए $k = 6$ , और बाकी तीन अवयव, $-12 + 2k$ , $3 - 3$ और $-6 + 6$ , भी 0 हैं। न $A$ और न $B$ ही $O$ है, फिर भी $AB = O$ ।

ध्यान देने योग्य

$-6$ तो $6 + k = 0$ का हल है, जिसमें $-1$ का ऋण चिह्न छूट गया।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कंपनी दो शहरों में पेन, कॉपियाँ और फ़ाइलें बेचती है। उसकी बिक्री $S = \begin{bmatrix}200 & 150 & 100 \\ 120 & 250 & 90\end{bmatrix}$ है, जिसमें पंक्ति 1 आगरा की है, पंक्ति 2 भोपाल की, और स्तंभ इसी क्रम में हैं। मूल्य ₹5, ₹4 और ₹10 हैं। $P = \begin{bmatrix}5 \\ 4 \\ 10\end{bmatrix}$ लेकर $SP$ से भोपाल की आय, रुपयों में, क्या है?

460

सही उत्तरआपका उत्तर

2{,}500

सही उत्तरआपका उत्तर

2{,}600

सही उत्तरआपका उत्तर

5{,}100

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2{,}500$

$SP$ एक 2 × 1 आव्यूह है: $S$ की हर पंक्ति और मूल्य-स्तंभ का गुणनफल उस शहर की आय है।
भोपाल: $120(5) + 250(4) + 90(10) = 600 + 1{,}000 + 900 = 2{,}500$ ।

ध्यान देने योग्य

2,600 आगरा की आय है, $SP$ की पंक्ति 1।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}2 & -1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix}1 & 4 \\ 2 & -2\end{bmatrix}$ , तो $AB$ क्या है?

\begin{bmatrix}0 & 10 \\ 6 & -6\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 11 \\ 4 & -8\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & -4 \\ 0 & -6\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & 6 \\ 10 & -6\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\begin{bmatrix}0 & 10 \\ 6 & -6\end{bmatrix}$

$AB$ का हर अवयव $A$ की किसी पंक्ति और $B$ के किसी स्तंभ के संगत अवयवों के गुणनफलों का योग है।
उदाहरण के लिए, पंक्ति 1 और स्तंभ 1: $(2)(1) + (-1)(2) = 0$ ।
इसलिए $AB = \begin{bmatrix}0 & 10 \\ 6 & -6\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

संगत अवयवों का गुणा आव्यूह गुणन नहीं है, और $BA$ प्रायः अलग आव्यूह होता है।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ एक 2 × 3 आव्यूह है और $B$ एक 3 × 2 आव्यूह। निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $AB$ परिभाषित है, और उसकी कोटि $2 \times 2$ है।

II. $BA$ परिभाषित है, और उसकी कोटि $3 \times 3$ है।

III. $AB = BA$ ।

IV. $A + B$ परिभाषित है।

केवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · केवल I और II

दोनों गुणनफल परिभाषित हैं, क्योंकि दोनों क्रमों में बीच की संख्याएँ मिलती हैं: $AB$ की कोटि $2 \times 2$ और $BA$ की $3 \times 3$ है।
अलग कोटि के आव्यूह बराबर नहीं हो सकते, इसलिए III गलत है, और $A$ तथा $B$ की कोटि अलग है, इसलिए $A + B$ परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4 & 5 & 6\end{bmatrix}$ की पंक्ति 2, स्तंभ 3 का अवयव क्या है?

12

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

32

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $12$

3 × 1 आव्यूह और 1 × 3 आव्यूह का गुणनफल 3 × 3 आव्यूह है, और उसका हर अवयव एक ही गुणनफल होता है।
स्तंभ की पंक्ति 2 में 2 है और पंक्ति के स्तंभ 3 में 6: $2 \times 6 = 12$ ।

ध्यान देने योग्य

32 तो $4 + 10 + 18$ है, उलटे क्रम का गुणनफल, जो 1 × 1 आव्यूह है।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ । $AB$ की पंक्ति 2, स्तंभ 1 का अवयव क्या है?

11

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

14

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $14$

यह $A$ की पंक्ति 2 और $B$ के स्तंभ 1 से बनता है: $(4)(1) + (5)(2) + (6)(0)$ ।
इसका योग $14$ है।

ध्यान देने योग्य

11 पंक्ति 1, स्तंभ 2 का अवयव है: पंक्ति और स्तंभ उलट गए।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ की कोटि 2 × 3, $B$ की 3 × 2 और $C$ की 2 × 2 है। सूची I के हर आव्यूह को सूची II में उसकी कोटि से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $AB$	I. $2 \times 3$
B. $BA$	II. $2 \times 2$
C. $CA$	III. $3 \times 2$
D. $BC$	IV. $3 \times 3$

A-IV, B-II, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-II, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · A-II, B-IV, C-I, D-III

$AB$ : पंक्तियाँ $A$ की, स्तंभ $B$ के, इसलिए 2 × 2; $BA$ की कोटि 3 × 3 है।
$CA$ की कोटि 2 × 3 है, और $BC$ की 3 × 2।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो विद्यार्थी पेन, कॉपियाँ और रबड़ $Q = \begin{bmatrix}2 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 2\end{bmatrix}$ (हर एक की एक पंक्ति) मात्राओं में ख़रीदते हैं। मूल्य ₹40, ₹25 और ₹10 हैं, जो $P = \begin{bmatrix}40 \\ 25 \\ 10\end{bmatrix}$ लिखे गए। $QP$ के रूप में हर विद्यार्थी कितना ख़र्च करता है?

\begin{bmatrix}155 \\ 170\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}175 \\ 150\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}165 \\ 160\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}165 \\ 150\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\begin{bmatrix}165 \\ 160\end{bmatrix}$

$Q$ की हर पंक्ति गुणा मूल्य: $2 \times 40 + 3 \times 25 + 1 \times 10 = 165$ ।
$1 \times 40 + 4 \times 25 + 2 \times 10 = 160$ । इसलिए $QP = \begin{bmatrix} 165 \\ 160 \end{bmatrix}$ : ₹165 और ₹160।

ध्यान देने योग्य

हर योग में एक पंक्ति को मूल्य स्तंभ से अवयव-दर-अवयव गुणा करके जोड़ा जाता है।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x$ के किस मान के लिए $\begin{bmatrix} 1 & x & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ x \end{bmatrix} = O$ ?

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-2$

पहले पंक्ति गुणा आव्यूह: $\begin{bmatrix} 3 & x + 1 & x + 3 \end{bmatrix}$ ।
फिर गुणा स्तंभ: $3 + (x + 1) + x(x + 3) = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ ।
$(x + 2)^2 = 0$ से $x = -2$ ।

ध्यान देने योग्य

2 में चिह्न उलटा है: $(x + 2)^2 = 0$ से $x = -2$ मिलता है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix}x & 2 \\ 3 & 7\end{bmatrix}$ और $AB = BA$ , तो $x$ क्या है?

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $4$

$AB$ की पंक्ति 1, स्तंभ 2: $1(2) + 2(7) = 16$ ; $BA$ की: $x(2) + 2(4) = 2x + 8$ ।
$2x + 8 = 16$ से $x = 4$ , और पंक्ति 2, स्तंभ 1 भी यही देता है: $3x + 12 = 24$ ।

ध्यान देने योग्य

7 तो $x$ के पास वाला अवयव है; $AB = BA$ को अवयव-दर-अवयव हल करना होता है।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P$ एक $3 \times m$ आव्यूह है, $Q$ एक $n \times 4$ आव्यूह और $R$ एक $2 \times 3$ आव्यूह। यदि $RPQ$ परिभाषित है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?

m = n

, और

RPQ

की कोटि

3 \times 4

हैसही उत्तरआपका उत्तर

m = 3

, और

RPQ

की कोटि

2 \times 4

हैसही उत्तरआपका उत्तर

n = 3

, और

RPQ

की कोटि

2 \times m

हैसही उत्तरआपका उत्तर

m = n

, और

RPQ

की कोटि

2 \times 4

हैसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $m = n$ , और $RPQ$ की कोटि $2 \times 4$ है

$RP$ परिभाषित है, क्योंकि $R$ में 3 स्तंभ और $P$ में 3 पंक्तियाँ हैं, और उसकी कोटि $2 \times m$ है।
फिर $(RP)Q$ के लिए $m = n$ चाहिए, और उसकी कोटि $2 \times 4$ है।

गुणन के गुणधर्म और घातें

15 प्रश्न

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ , तो $A^2$ क्या है?

\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 0 & 9\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}4 & 2 \\ 0 & 6\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}5 & 5 \\ 0 & 9\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}4 & 5 \\ 0 & 9\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\begin{bmatrix}4 & 5 \\ 0 & 9\end{bmatrix}$

$A^2$ का अर्थ है $AA$ , एक आव्यूह गुणनफल, पंक्ति गुणा स्तंभ।
पंक्ति 1, स्तंभ 2: $2(1) + 1(3) = 5$ ; बाकी अवयव $4$ , $0$ और $9$ हैं।
इसलिए $A^2 = \begin{bmatrix}4 & 5 \\ 0 & 9\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 0 & 9\end{bmatrix}$ में हर अवयव का वर्ग किया गया, जो $AA$ नहीं है।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}2 & 2 \\ 2 & 2\end{bmatrix}$ और $A^2 = kA$ , तो $k$ क्या है?

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

16

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $4$

$A^2 = \begin{bmatrix}8 & 8 \\ 8 & 8\end{bmatrix}$ ।
यह $A$ का 4 गुना है, इसलिए $k = 4$ ।

ध्यान देने योग्य

8 तो $A^2$ का एक अवयव है; $k$ वह संख्या है जो $A$ को $A^2$ बनाती है।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}$ , तो $A^2 - 5A + 6I$ क्या है?

\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}-5 & 0 \\ 0 & -5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & 6 \\ 6 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

$A^2 = \begin{bmatrix}5 & 5 \\ 5 & 10\end{bmatrix}$ और $5A = \begin{bmatrix}10 & 5 \\ 5 & 15\end{bmatrix}$ , इसलिए $A^2 - 5A = \begin{bmatrix}-5 & 0 \\ 0 & -5\end{bmatrix}$ ।
अचर पद $6I$ है, जो केवल विकर्ण में 6 जोड़ता है: परिणाम $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = I$ है।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 6 & 1 \end{bmatrix}$ में हर अवयव में 6 जोड़ दिया गया; आव्यूह बहुपद में अचर 6 का अर्थ $6I$ है।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ एक वर्ग आव्यूह है जिसमें $A^2 = A$ । $(I - A)^2$ क्या है?

I - A

सही उत्तरआपका उत्तर

I + A

सही उत्तरआपका उत्तर

I - 2A

सही उत्तरआपका उत्तर

I

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $I - A$

$(I - A)^2 = I - IA - AI + A^2 = I - 2A + A^2$ , क्योंकि $I$ हर आव्यूह के साथ क्रमविनिमेय है।
$A^2 = A$ रखने पर यह $I - 2A + A = I - A$ है।

ध्यान देने योग्य

$I - 2A$ में $A^2$ को $A$ से बदलना छूट गया।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): यदि $A \ne O$ और $AB = AC$ , तो ज़रूरी नहीं कि $B = C$ हो।

कारण (R): दो अशून्य आव्यूहों का गुणनफल शून्य आव्यूह हो सकता है।

A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।सही उत्तरआपका उत्तरA और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।सही उत्तरआपका उत्तरA सही है, लेकिन R गलत है।सही उत्तरआपका उत्तरA गलत है, लेकिन R सही है।सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

$AB = AC$ का अर्थ है $A(B - C) = O$ । $A \ne O$ होने पर भी ऐसा तब हो सकता है जब $B - C \ne O$ , क्योंकि दो अशून्य आव्यूहों का गुणनफल $O$ हो सकता है।
इसलिए R सही है और वही A के सही होने का कारण है।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. जब भी गुणनफल परिभाषित हों, $(AB)C = A(BC)$ ।

II. जब भी गुणनफल परिभाषित हों, $A(B + C) = AB + AC$ ।

III. समान कोटि के किन्हीं भी दो वर्ग आव्यूहों के लिए $AB = BA$ ।

IV. वर्ग आव्यूह $A$ और उसी कोटि के तत्समक आव्यूह के लिए $AI = IA = A$ ।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II, III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · केवल I, II और IV

गुणन साहचर्य है (I), योग पर वितरित होता है (II), और $I$ किसी भी ओर से आव्यूह को नहीं बदलता (IV)।
यह क्रमविनिमेय नहीं है: $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ के लिए $AB \ne BA$ । इसलिए III गलत है।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ , तो $A^5$ क्या है?

\begin{bmatrix}1 & 32 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & 10 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}5 & 10 \\ 0 & 5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\begin{bmatrix}1 & 10 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

$A^2 = \begin{bmatrix}1 & 4 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ और $A^3 = \begin{bmatrix}1 & 6 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ : हर घात ऊपर-दाएँ अवयव में 2 जोड़ती है।
इसलिए $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , और $A^5 = \begin{bmatrix}1 & 10 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

32 तो $2^5$ है: हर चरण में 2 जुड़ता है, गुणा नहीं होता।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}4 & -3 \\ 2 & -1\end{bmatrix}$ और $A^2 = kA - 2I$ , तो $k$ क्या है?

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $3$

$A^2 = \begin{bmatrix}10 & -9 \\ 6 & -5\end{bmatrix}$ ।
$A^2 = kA - 2I$ के ऊपर-बाएँ अवयवों की तुलना: $10 = 4k - 2$ , इसलिए $k = 3$ ; बाकी अवयव भी यही देते हैं।

ध्यान देने योग्य

2 × 2 आव्यूह के लिए $k$ विकर्ण अवयवों का योग होता है, $4 + (-1) = 3$ : एक तेज़ जाँच।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix}$ के लिए $A^2 - kA + 5I = O$ । $k$ क्या है?

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $4$

$A^2 = \begin{bmatrix}-1 & 8 \\ -4 & 7\end{bmatrix}$ ।
$A^2 + 5I = kA$ के ऊपर-बाएँ अवयवों से $-1 + 5 = k$ , इसलिए $k = 4$ ; बाकी तीनों अवयव भी यही देते हैं।

ध्यान देने योग्य

5 तो अचर पद है; $k$ विकर्ण अवयवों का योग है, $1 + 3 = 4$ ।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1\end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix}3 & 1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}$ के लिए $AB = BA$ ।

II. किन्हीं भी दो 2 × 2 आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए $AB = BA$ ।

केवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIसही उत्तरआपका उत्तरI और II दोनोंसही उत्तरआपका उत्तरन I, न IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: $AB = \begin{bmatrix}5 & 7 \\ 7 & 5\end{bmatrix} = BA$ । सही।
II: गलत; $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए दोनों गुणनफल अलग हैं। आव्यूह गुणन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं है।

प्रश्न 69

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}$ , तो $A^{6}$ क्या है?

\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$

$A^{2} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$ ।
$A^{6} = (A^{2})^{3} = (-I)^{3} = -I$ ।

ध्यान देने योग्य

$I$ तो $A^{4}$ है; एक और $A^{2} = -I$ उसे $-I$ बना देता है।

प्रश्न 70

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$F(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ । $F\left(\frac{\pi}{6}\right) F\left(\frac{\pi}{3}\right)$ क्या है?

\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$

गुणा करने पर $F(\alpha)F(\beta)$ के विकर्ण पर $\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta)$ आता है, और विकर्ण के बाहर इसी तरह $\sin(\alpha + \beta)$ : $F(\alpha)F(\beta) = F(\alpha + \beta)$ ।
इसलिए गुणनफल $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ तो $F\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ है: ज्याओं के चिह्न उलट गए।

प्रश्न 71

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): समान कोटि के वर्ग आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए ज़रूरी नहीं कि $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ हो।

कारण (R): $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ , और ज़रूरी नहीं कि $AB$ , $BA$ के बराबर हो।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

$(A + B)(A + B)$ के प्रसार में हर गुणनफल का क्रम बना रहता है: $A^2 + AB + BA + B^2$ ।
यह $A^2 + 2AB + B^2$ तभी बनता है जब $AB = BA$ , इसलिए R सही है और A की व्याख्या करता है।

प्रश्न 72

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ एक वर्ग आव्यूह है जिसमें $A^2 = A$ , और $(I + A)^3 = I + kA$ । $k$ क्या है?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $7$

$I$ , $A$ के साथ क्रमविनिमेय है, इसलिए $(I + A)^3 = I + 3A + 3A^2 + A^3$ ।
$A$ की हर घात $A$ है, इसलिए यह $I + 3A + 3A + A = I + 7A$ है, और $k = 7$ ।

ध्यान देने योग्य

6 में $A^3$ छूट गया, जो भी $A$ ही है।

प्रश्न 73

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}p & 2 \\ 3 & - p\end{bmatrix}$ और $A^2 = 15I$ , तो $p$ के संभावित मान क्या हैं?

केवल

p = 3

सही उत्तरआपका उत्तर

p = \pm\sqrt{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

p = \pm 9

सही उत्तरआपका उत्तर

p = \pm 3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $p = \pm 3$

$A^2 = \begin{bmatrix}p^{2} + 6 & 0 \\ 0 & p^{2} + 6\end{bmatrix}$ , जो $(p^2 + 6)I$ है।
$p^2 + 6 = 15$ से $p^2 = 9$ , इसलिए $p = 3$ या $p = -3$ ।

ध्यान देने योग्य

$\pm\sqrt{15}$ में $p^2 = 15$ ले लिया गया और $2 \times 3$ से आने वाला $6$ छूट गया।

आव्यूह का परिवर्त

10 प्रश्न

प्रश्न 74

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}1 & -2 & 3 \\ 0 & 4 & 5\end{bmatrix}$ , तो $A'$ क्या है?

\begin{bmatrix}1 & -2 & 3 \\ 0 & 4 & 5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & 0 \\ -2 & 4 \\ 3 & 5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & 0 \\ 4 & 5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 4 & -2 \\ 5 & 3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ -2 & 4 \\ 3 & 5\end{bmatrix}$

परिवर्त में हर पंक्ति क्रम से स्तंभ बन जाती है: पंक्ति 1, स्तंभ 1 बनती है।
इसलिए $A' = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ -2 & 4 \\ 3 & 5\end{bmatrix}$ , जिसकी कोटि 3 × 2 है।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & 0 \\ 4 & 5\end{bmatrix}$ की कोटि सही है, पर पंक्तियों को स्तंभ बनाने की जगह अवयव पंक्ति-दर-पंक्ति फिर से भर दिए गए।

प्रश्न 75

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ की कोटि 2 × 3 है और $B$ की 3 × 4। $(AB)'$ की कोटि क्या है?

2 \times 4

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \times 3

सही उत्तरआपका उत्तर

4 \times 2

सही उत्तरआपका उत्तर

4 \times 3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $4 \times 2$

$AB$ परिभाषित है क्योंकि $A$ में 3 स्तंभ और $B$ में 3 पंक्तियाँ हैं; $AB$ की कोटि 2 × 4 है।
परिवर्त पंक्ति और स्तंभ बदल देता है, इसलिए $(AB)'$ की कोटि 4 × 2 है।

ध्यान देने योग्य

2 × 4 तो स्वयं $AB$ की कोटि है।

प्रश्न 76

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A' = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ -1 & 0 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ , तो $A$ क्या है?

\begin{bmatrix}2 & 5 \\ -1 & 0 \\ 3 & 4\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 5 & -1 \\ 0 & 3 & 4\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}3 & -1 & 2 \\ 4 & 0 & 5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & -1 & 3 \\ 5 & 0 & 4\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\begin{bmatrix}2 & -1 & 3 \\ 5 & 0 & 4\end{bmatrix}$

$(A')' = A$ , इसलिए $A$ दिए गए आव्यूह का परिवर्त है।
$A = \begin{bmatrix}2 & -1 & 3 \\ 5 & 0 & 4\end{bmatrix}$ ।

प्रश्न 77

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ , तो $A + A'$ क्या है?

\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 6 \\ 4 & 8\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 5 \\ 5 & 8\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\begin{bmatrix}2 & 5 \\ 5 & 8\end{bmatrix}$

$A' = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ , $A$ की पंक्तियाँ स्तंभों के रूप में।
$A + A' = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ 5 & 8\end{bmatrix}$ , एक सममित आव्यूह।

ध्यान देने योग्य

$2A$ में $A$ को स्वयं से जोड़ा, उसके परिवर्त से नहीं।

प्रश्न 78

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A' = \begin{bmatrix}3 & -1 \\ 2 & 4\end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ -2 & 5\end{bmatrix}$ , तो $(A + 2B)'$ क्या है?

\begin{bmatrix}5 & 2 \\ -5 & 14\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}5 & -5 \\ 2 & 14\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}5 & -1 \\ -2 & 14\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}4 & 0 \\ -1 & 9\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\begin{bmatrix}5 & -5 \\ 2 & 14\end{bmatrix}$

$(A + 2B)' = A' + 2B'$ , और $A'$ दिया हुआ है।
$B' = \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 5\end{bmatrix}$ , इसलिए $A' + 2B' = \begin{bmatrix}3 & -1 \\ 2 & 4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2 & -4 \\ 0 & 10\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 & -5 \\ 2 & 14\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}5 & -1 \\ -2 & 14\end{bmatrix}$ में $2B'$ की जगह $2B$ जोड़ा गया: केवल $A$ का परिवर्त लिया गया।

प्रश्न 79

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = [a_{ij}]$ एक 3 × 2 आव्यूह है, जिसमें $a_{ij} = 2i - j$ । $A'$ की पंक्ति 1, स्तंभ 3 का अवयव क्या है?

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $5$

$A'$ की पंक्ति 1, स्तंभ 3 का अवयव $A$ की पंक्ति 3, स्तंभ 1 का अवयव है: $a_{31}$ ।
$a_{31} = 2(3) - 1 = 5$ ।

ध्यान देने योग्य

$-1$ तो $2(1) - 3$ है, मानो $A$ में $a_{13}$ हो; 3 × 2 आव्यूह में स्तंभ 3 है ही नहीं।

प्रश्न 80

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $A = \begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix}3 & 1\end{bmatrix}$ , तो $(AB)'$ क्या है?

\begin{bmatrix}6 & 2 \\ -3 & -1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}6 & -3 \\ 2 & -1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}6 & -1 \\ 2 & -3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\begin{bmatrix}6 & -3 \\ 2 & -1\end{bmatrix}$

$AB = \begin{bmatrix}6 & 2 \\ -3 & -1\end{bmatrix}$ , एक 2 × 2 आव्यूह।
इसका परिवर्त $\begin{bmatrix}6 & -3 \\ 2 & -1\end{bmatrix}$ है, जो उत्क्रम नियम के अनुसार $B'A'$ है।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}$ तो $A'B'$ है, एक 1 × 1 आव्यूह: परिवर्तों का क्रम उलटा नहीं गया।

प्रश्न 81

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ एक 3 × 4 आव्यूह है। $A'A$ की कोटि क्या है?

3 \times 3

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \times 4

सही उत्तरआपका उत्तर

4 \times 3

सही उत्तरआपका उत्तर

4 \times 4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $4 \times 4$

$A'$ की कोटि 4 × 3 है, और $A$ की 3 × 4।
इसलिए $A'A$ की कोटि 4 × 4 है।

ध्यान देने योग्य

3 × 3 तो $AA'$ की कोटि है, जो उलटे क्रम का गुणनफल है।

प्रश्न 82

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $(A')' = A$ ।

II. किसी भी संख्या $k$ के लिए $(kA)' = kA'$ ।

III. जब भी $AB$ परिभाषित हो, $(AB)' = A'B'$ ।

IV. समान कोटि के आव्यूहों के लिए $(A + B)' = A' + B'$ ।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I, II और IV

दो बार परिवर्त लेने पर $A$ वापस मिलता है, संख्या परिवर्त से बाहर आ जाती है, और योग भी: I, II और IV सही हैं।
गुणनफल का नियम क्रम उलट देता है: $(AB)' = B'A'$ , इसलिए III गलत है।

प्रश्न 83

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ एक 3 × 4 आव्यूह है, और $B$ ऐसा आव्यूह है जिसके लिए $A'B$ और $BA'$ दोनों परिभाषित हैं। $B$ की कोटि क्या है?

3 \times 4

सही उत्तरआपका उत्तर

4 \times 3

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \times 3

सही उत्तरआपका उत्तर

4 \times 4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $3 \times 4$

$A'$ की कोटि 4 × 3 है। $A'B$ के लिए $B$ में 3 पंक्तियाँ चाहिए।
$BA'$ के लिए $B$ में 4 स्तंभ चाहिए। इसलिए $B$ की कोटि 3 × 4 है।

ध्यान देने योग्य

4 × 3 तो स्वयं $A'$ की कोटि है; $A'$ से मेल खाना योग के लिए ज़रूरी है, गुणन के लिए नहीं।

सममित और विषम सममित आव्यूह

14 प्रश्न

प्रश्न 84

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-सा विषम सममित आव्यूह है?

\begin{bmatrix}0 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & 5 \\ -3 & 5 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & 2 \\ -2 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 5 \\ 3 & -5 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & -5 \\ 3 & 5 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\begin{bmatrix}0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 5 \\ 3 & -5 & 0\end{bmatrix}$

विषम सममित आव्यूह में $a_{ji} = -a_{ij}$ : हर अवयव अपने दर्पण-प्रतिबिंब का ऋणात्मक होता है, और विकर्ण 0 होता है।
केवल $\begin{bmatrix}0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 5 \\ 3 & -5 & 0\end{bmatrix}$ हर जोड़े पर खरा उतरता है।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ में विकर्ण के बाहर चिह्न सही हैं, पर विषम सममित आव्यूह के विकर्ण पर 0 चाहिए।

प्रश्न 85

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x$ के किस मान के लिए $\begin{bmatrix} 4 & 2x - 1 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$ सममित है?

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $4$

सममित आव्यूह अपने परिवर्त के बराबर होता है, इसलिए $a_{12} = a_{21}$ ।
$2x - 1 = 7$ से $x = 4$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

$-3$ तो विषम सममित की शर्त $2x - 1 = -7$ से आता।

प्रश्न 86

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ समान कोटि के विषम सममित आव्यूह हैं। $A + B$ सदा क्या होता है?

सममितसही उत्तरआपका उत्तरशून्य आव्यूहसही उत्तरआपका उत्तरतत्समक आव्यूहसही उत्तरआपका उत्तरविषम सममितसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · विषम सममित

$(A + B)' = A' + B' = -A - B = -(A + B)$ ।
इसलिए $A + B$ विषम सममित है। यही चरण दिखाते हैं कि $A - B$ और $kA$ भी विषम सममित हैं।

ध्यान देने योग्य

योग शून्य आव्यूह तभी है जब $B = -A$ ; विषम सममित वह हर बार है।

प्रश्न 87

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = [a_{ij}]$ कोटि 3 का एक विषम सममित आव्यूह है जिसमें $a_{12} = 4$ । $a_{21}$ क्या है?

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-4$

विषम सममित आव्यूह में $A' = -A$ , यानी $a_{ji} = -a_{ij}$ ।
इसलिए $a_{21} = -a_{12} = -4$ ।

ध्यान देने योग्य

4 सममित आव्यूह के लिए सही होता, जहाँ $a_{21} = a_{12}$ ।

प्रश्न 88

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}3 & 5 \\ 1 & -2\end{bmatrix}$ को $P + Q$ के रूप में लिखा गया है, जहाँ $P$ सममित है और $Q$ विषम सममित। $P$ क्या है?

\begin{bmatrix}0 & 2 \\ -2 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}3 & 3 \\ 3 & -2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}6 & 6 \\ 6 & -4\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & -2 \\ 2 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\begin{bmatrix}3 & 3 \\ 3 & -2\end{bmatrix}$

$P = \frac{1}{2}(A + A')$ और $Q = \frac{1}{2}(A - A')$ ।
$A + A' = \begin{bmatrix}6 & 6 \\ 6 & -4\end{bmatrix}$ , इसलिए $P = \begin{bmatrix}3 & 3 \\ 3 & -2\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}6 & 6 \\ 6 & -4\end{bmatrix}$ सममित तो है, पर $P$ का दोगुना है: आधा करना छूट गया।

प्रश्न 89

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): विषम सममित आव्यूह का हर विकर्ण अवयव 0 होता है।

कारण (R): विषम सममित आव्यूह के लिए $a_{ii} = -a_{ii}$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

$a_{ji} = -a_{ij}$ में $j = i$ रखिए: $a_{ii} = -a_{ii}$ , इसलिए $2a_{ii} = 0$ ।
R सही है और ठीक यही A के सही होने का कारण है।

प्रश्न 90

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ कोई भी वर्ग आव्यूह है। निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $A + A'$ सममित है।

II. $A - A'$ विषम सममित है।

III. $AA'$ सममित है।

IV. $A - A'$ सममित है।

केवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II, III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · केवल I, II और III

$(A + A')' = A' + A$ , $(A - A')' = A' - A = -(A - A')$ और $(AA')' = (A')'A' = AA'$ : I, II और III सही हैं।
विषम सममित आव्यूह तभी सममित होता है जब वह $O$ हो, इसलिए अधिकतर $A$ के लिए IV गलत है।

प्रश्न 91

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यदि $A$ और $B$ समान कोटि के सममित आव्यूह हैं, तो $AB - BA$ विषम सममित है।

II. यदि $A$ और $B$ समान कोटि के सममित आव्यूह हैं, तो $AB$ सदा सममित है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

$(AB - BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB$ , इसलिए I सही है।
$(AB)' = B'A' = BA$ , जो $AB$ के बराबर तभी है जब $A$ और $B$ क्रमविनिमेय हों, इसलिए II गलत है।

प्रश्न 92

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix} 0 & 5 & 1 \\ p & 0 & -3 \\ q & r & 0 \end{bmatrix}$ विषम सममित है। $p + q + r$ ज्ञात कीजिए।

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-3$

विषम सममित आव्यूह में $a_{ji} = -a_{ij}$ ।
इसलिए $p = -5$ , $q = -1$ और $r = 3$ , और $p + q + r = -3$ ।

ध्यान देने योग्य

$3$ में अवयव बिना चिह्न बदले उतारे गए हैं, जो सममित आव्यूह का नियम है।

प्रश्न 93

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ -1 & 3\end{bmatrix}$ को $P + Q$ के रूप में लिखा गया है, जहाँ $P$ सममित है और $Q$ विषम सममित। $Q$ क्या है?

\begin{bmatrix}0 & -3 \\ 3 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & 6 \\ -6 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}0 & 3 \\ -3 & 0\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\begin{bmatrix}0 & 3 \\ -3 & 0\end{bmatrix}$

$Q = \frac{1}{2}(A - A')$ ।
$A - A' = \begin{bmatrix}0 & 6 \\ -6 & 0\end{bmatrix}$ , इसलिए $Q = \begin{bmatrix}0 & 3 \\ -3 & 0\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}0 & -3 \\ 3 & 0\end{bmatrix}$ तो $\frac{1}{2}(A' - A)$ है: घटाना उलटे क्रम में किया गया।

प्रश्न 94

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): जो आव्यूह सममित भी हो और विषम सममित भी, वह शून्य आव्यूह है।

कारण (R): यदि $A' = A$ और $A' = -A$ , तो $A = -A$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

दोनों शर्तें एक ही $A'$ देती हैं, इसलिए $A = -A$ , यानी $2A = O$ ।
इसलिए $A = O$ : R सही है और A की व्याख्या करता है।

प्रश्न 95

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\begin{bmatrix}0 & a - 2 & 3 \\ 1 & 0 & b + 1 \\ -3 & 4 & 0\end{bmatrix}$ विषम सममित है। $a + b$ क्या है?

-6

सही उत्तरआपका उत्तर

-5

सही उत्तरआपका उत्तर

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $-4$

$a_{12} = -a_{21}$ : $a - 2 = -1$ , इसलिए $a = 1$ ।
$a_{23} = -a_{32}$ : $b + 1 = -4$ , इसलिए $b = -5$ । तब $a + b = -4$ ।

ध्यान देने योग्य

6 में सममित नियम लगाया गया, $a - 2 = 1$ और $b + 1 = 4$ ।

प्रश्न 96

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

3 × 3 कोटि के कितने विषम सममित आव्यूह बन सकते हैं, यदि हर अवयव −1, 0 या 1 हो?

9

सही उत्तरआपका उत्तर

26

सही उत्तरआपका उत्तर

27

सही उत्तरआपका उत्तर

729

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $27$

विकर्ण 0 होना चाहिए, और विकर्ण के नीचे का हर अवयव ऊपर वाले से तय हो जाता है, $a_{ji} = -a_{ij}$ ।
इसलिए केवल विकर्ण के ऊपर के 3 स्थान खाली हैं, हर एक के 3 विकल्प: $3^3 = 27$ । हर ऋणात्मक फिर से −1, 0 या 1 ही है।

ध्यान देने योग्य

729 तो $3^6$ है: इसमें विकर्ण के नीचे के स्थान भी खुलकर भरे गए, जबकि वे ऊपर वालों से तय होते हैं।

प्रश्न 97

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ विषम सममित है और $B$ उसी कोटि का कोई भी वर्ग आव्यूह है। $B'AB$ क्या है?

सममितसही उत्तरआपका उत्तरविषम सममितसही उत्तरआपका उत्तरशून्य आव्यूहसही उत्तरआपका उत्तरएक विकर्ण आव्यूहसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · विषम सममित

उत्क्रम नियम से $(B'AB)' = B'A'(B')' = B'A'B$ ।
$A' = -A$ रखने पर यह $-B'AB$ है, इसलिए $B'AB$ विषम सममित है। सममित $A$ के लिए यही चरण सममित $B'AB$ देते हैं।

व्युत्क्रमणीय आव्यूह

9 प्रश्न

प्रश्न 98

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समान कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ और $B$ एक-दूसरे के व्युत्क्रम कब होते हैं?

AB = BA = O

सही उत्तरआपका उत्तर

AB = O,\ BA = I

सही उत्तरआपका उत्तर

A + B = I

सही उत्तरआपका उत्तर

AB = BA = I

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $AB = BA = I$

$B$ , $A$ का व्युत्क्रम तब है जब उससे किसी भी ओर से गुणा करने पर तत्समक आव्यूह मिले।
इसलिए $AB = BA = I$ , और तब $A$ भी $B$ का व्युत्क्रम है।

प्रश्न 99

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से किस कोटि के आव्यूह का व्युत्क्रम हो सकता है?

2 \times 3

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \times 3

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \times 2

सही उत्तरआपका उत्तर

1 \times 3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $3 \times 3$

$AB = BA = I$ के लिए दोनों गुणनफल परिभाषित और एक ही कोटि के होने चाहिए, जो केवल समान कोटि के वर्ग आव्यूहों में होता है।
इसलिए केवल $3 \times 3$ आव्यूह व्युत्क्रमणीय हो सकता है।

प्रश्न 100

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 5\end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम क्या है?

\begin{bmatrix}-2 & 0 \\ 0 & -5\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}5 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{5}\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}\frac{1}{5} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{5}\end{bmatrix}$

शून्येतर विकर्ण अवयवों वाले विकर्ण आव्यूह के व्युत्क्रम में हर अवयव का व्युत्क्रम लिया जाता है।
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} \end{bmatrix}$ ; जाँच: $AA^{-1} = I$ ।

ध्यान देने योग्य

2 × 2 शॉर्टकट की तरह विकर्ण अवयव बदलने के बाद सारणिक, 10, से भाग देना भी ज़रूरी है।

प्रश्न 101

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-सा $A = \begin{bmatrix}3 & 5 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम है?

\begin{bmatrix}-2 & 5 \\ 1 & -3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}3 & -5 \\ -1 & 2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & -1 \\ -5 & 3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & -5 \\ -1 & 3\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\begin{bmatrix}2 & -5 \\ -1 & 3\end{bmatrix}$

$A$ को उम्मीदवार से गुणा कीजिए: $\begin{bmatrix}3 & 5 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & -5 \\ -1 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ ।
उलटे क्रम का गुणनफल भी $I$ है, इसलिए यही आव्यूह $A^{-1}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}2 & -1 \\ -5 & 3\end{bmatrix}$ तो व्युत्क्रम का परिवर्त है; $A$ से गुणा करने पर यह $\begin{bmatrix}-19 & 12 \\ -8 & 5\end{bmatrix}$ देता है।

प्रश्न 102

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ और $B^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 3 & 1\end{bmatrix}$ । $(AB)^{-1}$ क्या है?

\begin{bmatrix}7 & 2 \\ 3 & 1\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 3 & 2\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 7\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

\begin{bmatrix}7 & 16 \\ 3 & 7\end{bmatrix}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 7\end{bmatrix}$

गुणनफल का व्युत्क्रम क्रम उलट देता है: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ ।
$B^{-1}A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 7\end{bmatrix}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\begin{bmatrix}7 & 2 \\ 3 & 1\end{bmatrix}$ तो $A^{-1}B^{-1}$ है, $AB$ वाले क्रम में, उलटे बिना।

प्रश्न 103

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ एक वर्ग आव्यूह है जिसमें $A^2 = I$ । निम्नलिखित में से कौन-सा सदा $A^{-1}$ के बराबर है?

-A

सही उत्तरआपका उत्तर

A

सही उत्तरआपका उत्तर

I

सही उत्तरआपका उत्तर

O

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $A$

$A^2 = I$ का अर्थ है $AA = I$ , किसी भी ओर से।
इसलिए $A$ स्वयं अपना व्युत्क्रम है: $A^{-1} = A$ ।

ध्यान देने योग्य

$I$ तभी $A^{-1}$ है जब स्वयं $A$ , $I$ हो; $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ में भी $A^2 = I$ है।

प्रश्न 104

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. जो आयताकार आव्यूह वर्ग नहीं है, उसका व्युत्क्रम नहीं होता।

II. वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम, यदि हो, तो अद्वितीय होता है।

III. हर वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम होता है।

IV. यदि $B$ , $A$ का व्युत्क्रम है, तो $A$ , $B$ का व्युत्क्रम है।

केवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरI, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरA · केवल I, II और IV

I, II और IV सही हैं: $AB = BA = I$ के लिए वर्ग आव्यूह चाहिए, दो व्युत्क्रम $B$ और $C$ हों तो $B = B(AC) = (BA)C = C$ , और परिभाषा दोनों ओर से एक जैसी पढ़ी जाती है।
III गलत है: $O$ का, या $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ का, कोई व्युत्क्रम नहीं।

प्रश्न 105

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $(A^{-1})^{-1} = A$ ।

II. $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ ।

III. $(A')^{-1} = (A^{-1})'$ ।

IV. किसी शून्येतर अदिश $k$ के लिए $(kA)^{-1} = kA^{-1}$ ।

केवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल Iसही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरB · केवल I और III

I: $A$ और $A^{-1}$ एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं। III: $AA^{-1} = I$ का परिवर्त लेने पर $(A^{-1})'A' = I$ ।
II गलत है: क्रम उलटता है, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ । IV गलत है: $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$ ।

ध्यान देने योग्य

IV: $kA \cdot \frac{1}{k}A^{-1} = I$ , इसलिए अदिश का भी व्युत्क्रम होता है।

प्रश्न 106

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ एक वर्ग आव्यूह है जिसमें $A^2 - 3A + I = O$ । $A^{-1}$ क्या है?

A - 3I

सही उत्तरआपका उत्तर

3A - I

सही उत्तरआपका उत्तर

I - 3A

सही उत्तरआपका उत्तर

3I - A

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरD · $3I - A$

$I$ को दूसरी ओर ले जाइए: $3A - A^2 = I$ , यानी $A(3I - A) = I$ ।
इसी तरह $(3I - A)A = I$ , इसलिए $A^{-1} = 3I - A$ ।

ध्यान देने योग्य

$A - 3I$ में चिह्न उलटा है: $A(A - 3I) = -I$ ।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।