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CUET गणित के लिए सांतत्य तथा अवकलनीयता

सीखने में लगभग 5 मिनट · 125 प्रश्न

सांतत्य और अवकलनीयता CUET गणित Section B1 के कलन की शुरुआत करते हैं। प्रश्न छोटे और सटीक होते हैं: क्या कोई फलन किसी बिंदु पर संतत है, कौन-सा अचर उसे संतत बनाता है, वह कहाँ अवकलनीय नहीं है। किसी बिंदु पर फलन की जाँच और अचर निकालने से लेकर संतत फलनों के बीजगणित, कोनों और अवकलनीयता तक, हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र
Section B1: Mathematics
इस पृष्ठ पर · 10 भाग
  1. 01सांतत्य का अर्थ
  2. 02किसी बिंदु पर सांतत्य
  3. 03सांतत्य के लिए अचर चुनना
  4. 04संतत फलन
  5. 05अवकलनीयता
  6. 06CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
  7. 07परीक्षा के लिए शॉर्टकट
  8. 08आम भूलें
  9. 09त्वरित पुनरावृत्ति
  10. 10अपनी समझ जाँचें

सांतत्य का अर्थ

एक पार्किंग पहले दो घंटों के ₹20 और फिर हर अगले घंटे या उसके भाग के ₹15 लेती है। समय के सापेक्ष शुल्क का आलेख 2 घंटे, 3 घंटे, 4 घंटे पर उछलता है। कोई फलन किसी बिंदु पर तब संतत है जब उसके आलेख में वहाँ ऐसा विच्छेद न हो: आप उस बिंदु से कलम उठाए बिना आलेख खींच सकें। यह अध्याय इस चित्र को एक ऐसी जाँच में बदलता है जो किसी सूत्र पर चलाई जा सके।

कोई फलन किसी बिंदु पर कब संतत होता है?

ff, x=ax = a पर संतत है जब तीन संख्याएँ बराबर हों: बाएँ पक्ष की सीमा, दाएँ पक्ष की सीमा और मान f(a)f(a)।

lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a)

किसी बिंदु पर सांतत्य

यदि दोनों एकपक्षीय सीमाएँ भिन्न हों, तो आलेख उछलता है। यदि वे बराबर हों पर f(a)f(a) से भिन्न, तो सीमा है पर फलन को वहाँ गलत मान दिया गया है। दोनों ही स्थितियों में फलन संतत नहीं।

उदाहरण 1 · खंडशः फलन अपने जोड़ पर

क्या x<1x < 1 के लिए f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 और x≥1x \ge 1 के लिए f(x)=6−xf(x) = 6 - x, x=1x = 1 पर संतत है?

  1. बाएँ पक्ष की सीमा: 2(1)+3=52(1) + 3 = 5।

  2. दाएँ पक्ष की सीमा और मान: 6−1=56 - 1 = 5।

उत्तर

तीनों 5 हैं, इसलिए ff, x=1x = 1 पर संतत है।

सांतत्य के लिए अचर चुनना

फलन को संतत बनाने वाला अचर कैसे निकालते हैं?

जोड़ बिंदु पर बाएँ पक्ष की सीमा, दाएँ पक्ष की सीमा और मान को अचर के रूप में लिखिए, और बराबर रखिए। बिंदु पर 00\frac{0}{0} रूप वाले सूत्र के लिए अचर सीमा के बराबर होना चाहिए।

उदाहरण 2 · दो भागों को जोड़ना

kk के किस मान के लिए x≤2x \le 2 पर f(x)=kx+5f(x) = kx + 5 और x>2x > 2 पर f(x)=x2−1f(x) = x^{2} - 1, x=2x = 2 पर संतत है?

  1. भाग मिलें: 2k+5=22−1=32k + 5 = 2^{2} - 1 = 3।

  2. 2k=−22k = -2।

उत्तर
k=−1k = -1

उदाहरण 3 · सीमा से अचर

x≠0x \ne 0 के लिए f(x)=1−cos⁡6xx2f(x) = \frac{1 - \cos 6x}{x^{2}} और f(0)=kf(0) = k। 0 पर सांतत्य के लिए kk ज्ञात कीजिए।

  1. 1−cos⁡6x=2sin⁡23x1 - \cos 6x = 2\sin^{2} 3x, इसलिए f(x)=2(sin⁡3xx)2f(x) = 2\left(\frac{\sin 3x}{x}\right)^{2}।

  2. sin⁡3xx→3\frac{\sin 3x}{x} \to 3, इसलिए सीमा 2×9=182 \times 9 = 18 है।

उत्तर
k=18k = 18

मुख्य बात

तैयार रखने वाली सीमाएँ: sin⁡axbx→ab\frac{\sin ax}{bx} \to \frac{a}{b}, eax−1x→a\frac{e^{ax} - 1}{x} \to a, 1−cos⁡axx2→a22\frac{1 - \cos ax}{x^{2}} \to \frac{a^{2}}{2}, और xn−anx−a→nan−1\frac{x^{n} - a^{n}}{x - a} \to na^{n - 1}।

संतत फलन

कौन-से फलन संतत होते हैं?

बहुपद, sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x, exe^{x} और ∣x∣\lvert x \rvert हर जगह संतत हैं; log⁡x\log x, tan⁡x\tan x और परिमेय फलन अपने प्रांत के हर बिंदु पर संतत हैं। संतत फलनों के योग, अंतर, गुणनफल और संयोजन संतत होते हैं, और भागफल भी, जहाँ हर 0 न हो। महत्तम पूर्णांक फलन [x][x] हर पूर्णांक पर उछलता है।

सावधान

सांतत्य केवल प्रांत के बिंदुओं पर जाँचा जाता है। 1x\frac{1}{x} एक संतत फलन है: 0 उसके प्रांत में नहीं, इसलिए वह फलन का विच्छेद नहीं।

अवकलनीयता

किसी बिंदु पर फलन अवकलनीय क्यों नहीं होता?

ff, aa पर अवकलनीय है जब बाएँ और दाएँ पक्ष के अवकलज बराबर हों। विच्छेद, उछाल, या ऐसा कोना जहाँ दो भिन्न ढाल मिलें, इसे बिगाड़ते हैं। जो फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय हो, वह वहाँ संतत है, पर उलटा नहीं: ∣x∣\lvert x \rvert, 0 पर संतत है, कोने के साथ।

उदाहरण 4 · चिकना जोड़

क्या x≤2x \le 2 पर f(x)=x2f(x) = x^{2} और x>2x > 2 पर f(x)=4x−4f(x) = 4x - 4, x=2x = 2 पर अवकलनीय है?

  1. मान: 22=42^{2} = 4 और 4(2)−4=44(2) - 4 = 4: संतत।

  2. ढाल: बाईं ओर 2x=42x = 4 और दाईं ओर 4: बराबर।

उत्तर

x=2x = 2 पर अवकलनीय, अवकलज 4।

उदाहरण 5 · कोने गिनना

f(x)=∣x+2∣+∣x−5∣f(x) = \lvert x + 2 \rvert + \lvert x - 5 \rvert कितने बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है?

  1. हर मापांक का कोना वहाँ है जहाँ भीतर का भाग 0 हो: x=−2x = -2 और x=5x = 5।

  2. कोने भिन्न बिंदुओं पर हैं, इसलिए कोई दूसरे को रद्द नहीं करता।

उत्तर

2 बिंदु

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

  • किसी बिंदु पर: खंडशः या 00\frac{0}{0} फलन संतत है या नहीं, या एकपक्षीय सीमा का मान।
  • अचर: फलन को संतत बनाने वाला kk, या संतत अथवा अवकलनीय बनाने वाले aa और bb।
  • संतत फलन: कौन-से फलन हर जगह संतत हैं, संतत फलनों का बीजगणित, [x][x] के असांतत्य बिंदु।
  • अवकलनीयता: ∣x∣\lvert x \rvert जैसे फलनों के कोने, एकपक्षीय अवकलज, और सांतत्य से संबंध।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

  • aa पर सांतत्य: बाईं सीमा = दाईं सीमा = f(a)f(a)।
  • जोड़ पर अवकलनीयता: मान मिलें और ढाल मिलें।
  • ∣x−a∣\lvert x - a \rvert का एक कोना है, aa पर; x∣x∣x\lvert x \rvert और ∣x∣3\lvert x \rvert^{3} का कोई नहीं।
  • अवकलनीय ⇒ संतत; संतत से अवकलनीय नहीं निकलता।

आम भूलें

  • भाग मिलने पर भी सूत्र के बदलाव को विच्छेद मानना।
  • भूल जाना कि सीमा हो सकती है जबकि मान भिन्न हो।
  • प्रांत से बाहर के बिंदुओं को असांतत्य गिनना।
  • अवकलनीयता के लिए जोड़ पर केवल मान जाँचना, ढाल नहीं।

त्वरित पुनरावृत्ति

सांतत्य

  • बाईं सीमा = दाईं सीमा = f(a)f(a)
  • अचर: तीनों को बराबर रखिए

संतत फलन

  • योग, गुणनफल, संयोजन संतत रहते हैं
  • [x][x] पूर्णांकों पर उछलता है

अवकलनीयता

  • बाएँ और दाएँ अवकलज बराबर
  • कोना: संतत, अवकलनीय नहीं

Section B1 में आगे, संयुक्त, प्रतिलोम और चरघातांकी फलनों के अवकलन के नियम: शृंखला नियम, लघुगणकीय अवकलन और परिवर्तन की दर।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

125 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

किसी बिंदु पर सांतत्यप्र1 / 125प्र1

किसी बिंदु पर सांतत्य

30 प्रश्न

प्रश्न 1

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={2x+1,x≤1x2+2,x>1f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \le 1 \\ x^{2} + 2, & x > 1 \end{cases}, x=1x = 1 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 1 के विकल्प

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उत्तरB · उस बिंदु पर संतत

  1. aa पर सांतत्य के लिए बाएँ पक्ष की सीमा, दाएँ पक्ष की सीमा और f(a)f(a) बराबर हों।

  2. यहाँ बाएँ पक्ष की सीमा 33, दाएँ पक्ष की सीमा 33 और f(1)=3f(1) = 3 है।

ध्यान देने योग्य

दोनों भाग x=1x = 1 पर 3 देते हैं; यदि भाग मिलें तो सूत्र बदलना विच्छेद नहीं।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={4x−1,x<3x2,x≥3f(x) = \begin{cases} 4x - 1, & x < 3 \\ x^{2}, & x \ge 3 \end{cases} के लिए, x=3x = 3 पर बाएँ पक्ष की सीमा क्या है?

प्रश्न 2 के विकल्प

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उत्तरC · 1111

  1. बाएँ पक्ष की सीमा, 3 से कम xx वाला भाग लेती है।

  2. वह भाग 1111 की ओर जाता है।

ध्यान देने योग्य

9, 3 पर दाएँ भाग का मान है; बाएँ पक्ष की सीमा 4x−14x - 1 लेती है।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={3−x,x<2x−1,x≥2f(x) = \begin{cases} 3 - x, & x < 2 \\ x - 1, & x \ge 2 \end{cases}, x=2x = 2 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 3 के विकल्प

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उत्तरC · उस बिंदु पर संतत

  1. aa पर सांतत्य के लिए बाएँ पक्ष की सीमा, दाएँ पक्ष की सीमा और f(a)f(a) बराबर हों।

  2. यहाँ बाएँ पक्ष की सीमा 11, दाएँ पक्ष की सीमा 11 और f(2)=1f(2) = 1 है।

ध्यान देने योग्य

3−2=13 - 2 = 1 और 2−1=12 - 1 = 1: दोनों भाग x=2x = 2 पर मिलते हैं।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={x2+1,x<35x−4,x≥3f(x) = \begin{cases} x^{2} + 1, & x < 3 \\ 5x - 4, & x \ge 3 \end{cases} के लिए, x=3x = 3 पर बाएँ पक्ष की सीमा क्या है?

प्रश्न 4 के विकल्प

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उत्तरB · 1010

  1. 3 से ठीक कम xx के लिए ff के मान लीजिए।

  2. वे 1010 की ओर जाते हैं।

ध्यान देने योग्य

11, 3 पर दाएँ भाग का मान है।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=∣x−2∣f(x) = \lvert x - 2 \rvert, x=2x = 2 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 5 के विकल्प

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उत्तरD · उस बिंदु पर संतत

  1. aa पर सांतत्य के लिए बाएँ पक्ष की सीमा, दाएँ पक्ष की सीमा और f(a)f(a) बराबर हों।

  2. यहाँ बाएँ पक्ष की सीमा 00, दाएँ पक्ष की सीमा 00 और f(2)=0f(2) = 0 है।

ध्यान देने योग्य

कोना विच्छेद नहीं: दोनों ओर से 0 की ओर, जो f(2)f(2) है।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=[x]f(x) = [x] के लिए, x=2x = 2 पर बाएँ पक्ष की सीमा क्या है?

प्रश्न 6 के विकल्प

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उत्तरB · 11

  1. 2 से ठीक कम xx के लिए ff के मान लीजिए।

  2. वे 11 की ओर जाते हैं।

ध्यान देने योग्य

2, 2 पर मान और दाएँ पक्ष की सीमा है; 2 के ठीक नीचे [x]=1[x] = 1।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x<1x < 1 के लिए f(x)=x+1f(x) = x + 1, f(1)=2f(1) = 2, और x>1x > 1 के लिए f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1।

इस तीन भागों वाले ff की x=1x = 1 पर बाएँ पक्ष की सीमा क्या है?

प्रश्न 7 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. x<1x < 1 के लिए f(x)=x+1f(x) = x + 1।

  2. x→1−x \to 1^{-} पर x+1→2x + 1 \to 2।

ध्यान देने योग्य

1, xx का मान है, x+1x + 1 का नहीं।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x<1x < 1 के लिए f(x)=x+1f(x) = x + 1, f(1)=2f(1) = 2, और x>1x > 1 के लिए f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1।

इस तीन भागों वाले ff की x=1x = 1 पर दाएँ पक्ष की सीमा क्या है?

प्रश्न 8 के विकल्प

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उत्तरB · 22

  1. x>1x > 1 के लिए f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1।

  2. x→1+x \to 1^{+} पर 3x−1→23x - 1 \to 2।

ध्यान देने योग्य

3 में 3x−13x - 1 का −1-1 छूट गया।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=[x]f(x) = [x], x=52x = \frac{5}{2} पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 9 के विकल्प

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उत्तरB · उस बिंदु पर संतत

  1. (2,3)(2, 3) पर [x]=2[x] = 2: 52\frac{5}{2} के निकट ff अचर है।

  2. दोनों एकपक्षीय सीमाएँ और f(52)f\left(\frac{5}{2}\right) 2 के बराबर हैं: संतत।

ध्यान देने योग्य

[x][x] केवल पूर्णांकों पर उछलता है, और 52\frac{5}{2} पूर्णांक नहीं है।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=x2−9x−3f(x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}, x=3x = 3 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 10 के विकल्प

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उत्तरA · संतत नहीं: वहाँ फलन का कोई मान नहीं

  1. x=3x = 3 पर सूत्र 00\frac{0}{0} देता है: 3 प्रांत में नहीं है, इसलिए f(3)f(3) का अस्तित्व नहीं।

  2. सीमा x+3→6x + 3 \to 6 है, पर 3 पर कोई मान न होने से उसके बराबर होने को कुछ नहीं।

ध्यान देने योग्य

सीमा मान नहीं है: x2−9x−3\frac{x^{2} - 9}{x - 3}, 3 पर 6 की ओर जाता है पर वहाँ परिभाषित नहीं।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=x+∣x−1∣x−1f(x) = x + \frac{\lvert x - 1 \rvert}{x - 1} के लिए, x=1x = 1 पर दाएँ पक्ष की सीमा क्या है?

प्रश्न 11 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. x>1x > 1 के लिए ∣x−1∣=x−1\lvert x - 1 \rvert = x - 1, इसलिए ∣x−1∣x−1=1\frac{\lvert x - 1 \rvert}{x - 1} = 1।

  2. इसलिए x→1+x \to 1^{+} पर f(x)=x+1→2f(x) = x + 1 \to 2।

ध्यान देने योग्य

0 में ∣x−1∣x−1=−1\frac{\lvert x - 1 \rvert}{x - 1} = -1 लिया, जो केवल 1 के बाईं ओर सही है।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. कोई फलन x=ax = a पर सीमा रख सकता है और वहाँ संतत न हो।

II. यदि ff, x=ax = a पर संतत है, तो lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)।

प्रश्न 12 के विकल्प

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उत्तरC · I और II दोनों

  1. I: x≠2x \ne 2 के लिए f(x)=x2f(x) = x^{2} और f(2)=5f(2) = 5, 2 पर सीमा 4 रखता है पर संतत नहीं। सही।

  2. II, aa पर सांतत्य की परिभाषा है। सही।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={x2,x≠25,x=2f(x) = \begin{cases} x^{2}, & x \ne 2 \\ 5, & x = 2 \end{cases}, x=2x = 2 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 13 के विकल्प

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उत्तरD · संतत नहीं: सीमा है पर मान से भिन्न है

  1. aa पर सांतत्य के लिए बाएँ पक्ष की सीमा, दाएँ पक्ष की सीमा और f(a)f(a) बराबर हों।

  2. यहाँ बाएँ पक्ष की सीमा 44, दाएँ पक्ष की सीमा 44 और f(2)=5f(2) = 5 है।

ध्यान देने योग्य

सीमा 4 है, पर वहाँ फलन का मान 5 दिया गया है।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={x2−1,x≤27−x,x>2f(x) = \begin{cases} x^{2} - 1, & x \le 2 \\ 7 - x, & x > 2 \end{cases} के लिए, x=2x = 2 पर दाएँ पक्ष की सीमा क्या है?

प्रश्न 14 के विकल्प

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उत्तरC · 55

  1. दाएँ पक्ष की सीमा, 2 से अधिक xx वाला भाग लेती है।

  2. वह भाग 55 की ओर जाता है।

ध्यान देने योग्य

3, f(2)f(2) है, बाएँ भाग से; दाएँ पक्ष की सीमा 7−x7 - x लेती है।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={∣x∣x,x≠00,x=0f(x) = \begin{cases} \frac{\lvert x \rvert}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}, x=0x = 0 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 15 के विकल्प

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उत्तरA · संतत नहीं: बाएँ और दाएँ पक्ष की सीमाएँ भिन्न हैं

  1. aa पर सांतत्य के लिए बाएँ पक्ष की सीमा, दाएँ पक्ष की सीमा और f(a)f(a) बराबर हों।

  2. यहाँ बाएँ पक्ष की सीमा −1-1, दाएँ पक्ष की सीमा 11 और f(0)=0f(0) = 0 है।

ध्यान देने योग्य

बाईं ओर से −1-1 मिलता है, दाईं ओर से 1: कोई एक सीमा नहीं।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={x+3,x<12x−1,x≥1f(x) = \begin{cases} x + 3, & x < 1 \\ 2x - 1, & x \ge 1 \end{cases}, x=1x = 1 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 16 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · संतत नहीं: बाएँ और दाएँ पक्ष की सीमाएँ भिन्न हैं

  1. aa पर सांतत्य के लिए बाएँ पक्ष की सीमा, दाएँ पक्ष की सीमा और f(a)f(a) बराबर हों।

  2. यहाँ बाएँ पक्ष की सीमा 44, दाएँ पक्ष की सीमा 11 और f(1)=1f(1) = 1 है।

ध्यान देने योग्य

बायाँ भाग 4 की ओर जाता है और दायाँ 1 देता है: वे नहीं मिलते।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x<1x < 1 के लिए f(x)=x+1f(x) = x + 1, f(1)=2f(1) = 2, और x>1x > 1 के लिए f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1।

इनमें से कौन-सा इस तीन भागों वाले ff का x=1x = 1 पर वर्णन करता है?

प्रश्न 17 के विकल्प

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उत्तरB · संतत पर अवकलनीय नहीं

  1. यह 1 पर संतत है।

  2. ढाल बाईं ओर 1 और दाईं ओर 3 हैं: अवकलनीय नहीं।

ध्यान देने योग्य

मिलते मान इसे संतत बनाते हैं; अवकलनीयता के लिए ढाल भी मिलने चाहिए।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={x2−4x−2,x≠23,x=2f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}, & x \ne 2 \\ 3, & x = 2 \end{cases}, x=2x = 2 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 18 के विकल्प

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उत्तरB · संतत नहीं: सीमा है पर मान से भिन्न है

  1. aa पर सांतत्य के लिए बाएँ पक्ष की सीमा, दाएँ पक्ष की सीमा और f(a)f(a) बराबर हों।

  2. यहाँ बाएँ पक्ष की सीमा 44, दाएँ पक्ष की सीमा 44 और f(2)=3f(2) = 3 है।

ध्यान देने योग्य

सीमा x+2→4x + 2 \to 4 है, पर 2 पर दिया मान 3 है।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=x−[x]f(x) = x - [x], x=1x = 1 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 19 के विकल्प

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उत्तरA · संतत नहीं: बाएँ और दाएँ पक्ष की सीमाएँ भिन्न हैं

  1. 1 के ठीक बाईं ओर [x]=0[x] = 0, इसलिए f(x)=x→1f(x) = x \to 1। 1 पर और उसके ठीक दाईं ओर [x]=1[x] = 1, इसलिए f(x)=x−1→0f(x) = x - 1 \to 0।

  2. बाएँ पक्ष की सीमा 1 और दाएँ पक्ष की 0 भिन्न हैं।

ध्यान देने योग्य

भिन्नात्मक भाग हर पूर्णांक पर वापस 0 पर गिरता है।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x<1x < 1 के लिए f(x)=x+1f(x) = x + 1, f(1)=2f(1) = 2, और x>1x > 1 के लिए f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1।

इस तीन भागों वाले ff का x=1x = 1 पर दाएँ पक्ष का अवकलज क्या है?

प्रश्न 20 के विकल्प

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उत्तरD · 33

  1. lim⁡h→0+f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0+3(1+h)−1−2h\lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{3(1 + h) - 1 - 2}{h}।

  2. =lim⁡h→0+3hh=3= \lim_{h \to 0^{+}} \frac{3h}{h} = 3।

ध्यान देने योग्य

1 बाएँ पक्ष का अवकलज है, x+1x + 1 का ढाल।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=∣x−2∣+[x]f(x) = \lvert x - 2 \rvert + [x] के लिए lim⁡h→0+f(2−h)\lim_{h \to 0^{+}} f(2 - h) क्या है?

प्रश्न 21 के विकल्प

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उत्तरB · 11

  1. lim⁡h→0+f(2−h)\lim_{h \to 0^{+}} f(2 - h), 2 पर बाएँ पक्ष की सीमा है: x=2−hx = 2 - h, 2 से ठीक कम है।

  2. वहाँ ∣x−2∣=h→0\lvert x - 2 \rvert = h \to 0 और [x]=1[x] = 1, इसलिए सीमा 1 है।

ध्यान देने योग्य

2 में [x]=2[x] = 2 लिया, जो 2 पर और उसके दाईं ओर का मान है; 2 से ठीक कम पर यह 1 है।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यदि lim⁡x→a−f(x)=f(a)\lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a), तो ff, x=ax = a पर संतत है।

II. यदि ff, x=ax = a पर संतत है, तो lim⁡h→0f(a+h)=f(a)\lim_{h \to 0} f(a + h) = f(a)।

प्रश्न 22 के विकल्प

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उत्तरB · केवल II

  1. I गलत है: x≤1x \le 1 के लिए f(x)=xf(x) = x और x>1x > 1 के लिए x+1x + 1 में बाएँ पक्ष की सीमा 1=f(1)1 = f(1) है पर दाएँ पक्ष की 2।

  2. II सही है: lim⁡h→0f(a+h)\lim_{h \to 0} f(a + h), x=a+hx = a + h रखकर लिखी lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) है, और सांतत्य उसे f(a)f(a) बनाता है।

ध्यान देने योग्य

सांतत्य के लिए दोनों एकपक्षीय सीमाएँ f(a)f(a) के बराबर हों; एक पक्ष पर्याप्त नहीं।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-से फलन x=1x = 1 पर संतत हैं?

I. x≠1x \ne 1 के लिए f(x)=x2+x−2x−1f(x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}, और f(1)=3f(1) = 3

II. f(x)=x−∣x−1∣f(x) = x - \lvert x - 1 \rvert

III. f(x)=[x]+∣x−1∣f(x) = [x] + \lvert x - 1 \rvert

IV. x<1x < 1 के लिए f(x)=2xf(x) = 2x, और x≥1x \ge 1 के लिए f(x)=x2+1f(x) = x^{2} + 1

प्रश्न 23 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I, II और IV

  1. I: x2+x−2x−1=x+2→3=f(1)\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = x + 2 \to 3 = f(1)। II: संतत फलनों का अंतर। IV: दोनों भाग x=1x = 1 पर 2 देते हैं। तीनों संतत हैं।

  2. III: 1 के ठीक बाईं ओर [x]+∣x−1∣→0[x] + \lvert x - 1 \rvert \to 0, जबकि 1 पर यह 1+0=11 + 0 = 1 है। एक उछाल।

ध्यान देने योग्य

II में ∣x−1∣\lvert x - 1 \rvert का कोना सांतत्य नहीं तोड़ता; III में [x][x] का उछाल तोड़ता है।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={x2∣x∣,x≠00,x=0f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2}}{\lvert x \rvert}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}, x=0x = 0 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 24 के विकल्प

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उत्तरD · उस बिंदु पर संतत

  1. x≠0x \ne 0 के लिए x2∣x∣=∣x∣\frac{x^{2}}{\lvert x \rvert} = \lvert x \rvert, क्योंकि x2=∣x∣2x^{2} = \lvert x \rvert^{2}।

  2. इसलिए दोनों एकपक्षीय सीमाएँ 0 हैं, जो f(0)f(0) के बराबर है: संतत।

ध्यान देने योग्य

∣x∣x\frac{\lvert x \rvert}{x} के विपरीत, इस भागफल के ऊपर x2x^{2} है, जो दोनों ओर धनात्मक है: कोई उछाल नहीं।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={x3−8x−2,x≠212,x=2f(x) = \begin{cases} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}, & x \ne 2 \\ 12, & x = 2 \end{cases}, x=2x = 2 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 25 के विकल्प

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उत्तरB · उस बिंदु पर संतत

  1. aa पर सांतत्य के लिए बाएँ पक्ष की सीमा, दाएँ पक्ष की सीमा और f(a)f(a) बराबर हों।

  2. यहाँ बाएँ पक्ष की सीमा 1212, दाएँ पक्ष की सीमा 1212 और f(2)=12f(2) = 12 है।

ध्यान देने योग्य

x=2x = 2 पर सूत्र 00\frac{0}{0} है, पर सीमा x2+2x+4=12x^{2} + 2x + 4 = 12 है, जो दिया गया मान है।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={sin⁡3xx,x≠01,x=0f(x) = \begin{cases} \frac{\sin 3x}{x}, & x \ne 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}, x=0x = 0 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 26 के विकल्प

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उत्तरA · संतत नहीं: सीमा है पर मान से भिन्न है

  1. aa पर सांतत्य के लिए बाएँ पक्ष की सीमा, दाएँ पक्ष की सीमा और f(a)f(a) बराबर हों।

  2. यहाँ बाएँ पक्ष की सीमा 33, दाएँ पक्ष की सीमा 33 और f(0)=1f(0) = 1 है।

ध्यान देने योग्य

sin⁡3xx→3\frac{\sin 3x}{x} \to 3, 1 नहीं: ज्या के भीतर का 3 बाहर आता है।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={sin⁡xx,x≠01,x=0f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \ne 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}, x=0x = 0 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 27 के विकल्प

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उत्तरD · उस बिंदु पर संतत

  1. aa पर सांतत्य के लिए बाएँ पक्ष की सीमा, दाएँ पक्ष की सीमा और f(a)f(a) बराबर हों।

  2. यहाँ बाएँ पक्ष की सीमा 11, दाएँ पक्ष की सीमा 11 और f(0)=1f(0) = 1 है।

ध्यान देने योग्य

sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1, और 0 पर मान 1 चुना गया है।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=[x]2−[x2]f(x) = [x]^{2} - [x^{2}] के लिए, x=2x = 2 पर बाएँ पक्ष की सीमा क्या है?

प्रश्न 28 के विकल्प

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उत्तरB · −2-2

  1. 2 के ठीक बाईं ओर: [x]=1[x] = 1, इसलिए [x]2=1[x]^{2} = 1; और x2x^{2}, 4 से ठीक कम है, इसलिए [x2]=3[x^{2}] = 3।

  2. बाएँ पक्ष की सीमा 1−3=−21 - 3 = -2 है।

ध्यान देने योग्य

0, f(2)=4−4f(2) = 4 - 4 है; 2 से ठीक कम पर दोनों कोष्ठक घटते हैं, [x][x] 1 पर और [x2][x^{2}] 3 पर।

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={xsin⁡1x,x≠00,x=0f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}, x=0x = 0 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 29 के विकल्प

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उत्तरA · उस बिंदु पर संतत

  1. −∣x∣≤xsin⁡1x≤∣x∣-\lvert x \rvert \le x \sin \frac{1}{x} \le \lvert x \rvert, क्योंकि sin⁡1x\sin \frac{1}{x}, −1-1 और 1 के बीच रहता है।

  2. दोनों सीमाएँ 0 की ओर जाती हैं, इसलिए किसी भी ओर से xsin⁡1x→0=f(0)x \sin \frac{1}{x} \to 0 = f(0): संतत।

ध्यान देने योग्य

अकेले sin⁡1x\sin \frac{1}{x} की 0 पर कोई सीमा नहीं, पर गुणक xx गुणनफल को 0 तक दबा देता है।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={1−cos⁡2xx,x≠02,x=0f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1 - \cos 2x}}{x}, & x \ne 0 \\ \sqrt{2}, & x = 0 \end{cases}, x=0x = 0 पर कैसा व्यवहार करता है?

प्रश्न 30 के विकल्प

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उत्तरB · संतत नहीं: बाएँ और दाएँ पक्ष की सीमाएँ भिन्न हैं

  1. 1−cos⁡2x=2sin⁡2x1 - \cos 2x = 2\sin^{2} x, इसलिए 1−cos⁡2x=2∣sin⁡x∣\sqrt{1 - \cos 2x} = \sqrt{2}\lvert \sin x \rvert और f(x)=2∣sin⁡x∣xf(x) = \frac{\sqrt{2}\lvert \sin x \rvert}{x}।

  2. दाईं ओर से यह 2\sqrt{2} की ओर जाता है, बाईं ओर से −2-\sqrt{2} की ओर: एकपक्षीय सीमाएँ भिन्न हैं।

ध्यान देने योग्य

2sin⁡2x\sqrt{2\sin^{2} x} को 2sin⁡x\sqrt{2}\sin x लिखने से मापांक छूट जाता है; 0 के बाईं ओर sin⁡x<0\sin x < 0।

सांतत्य के लिए अचर चुनना

27 प्रश्न

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए f(x)={kx+3,x≤1x2+4,x>1f(x) = \begin{cases} kx + 3, & x \le 1 \\ x^{2} + 4, & x > 1 \end{cases}, x=1x = 1 पर संतत है?

प्रश्न 31 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. भाग x=1x = 1 पर मिलें: k+3=5k + 3 = 5।

  2. इसलिए k=2k = 2।

ध्यान देने योग्य

1 से भाग x=0x = 0 पर बराबर होते हैं, जोड़ बिंदु x=1x = 1 पर नहीं।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≠4x \ne 4 के लिए f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^{2} - 16}{x - 4}, और f(4)=kf(4) = k। किस kk के लिए ff, x=4x = 4 पर संतत है?

प्रश्न 32 के विकल्प

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उत्तरC · 88

  1. x≠4x \ne 4 के लिए x2−16x−4=x+4\frac{x^{2} - 16}{x - 4} = x + 4।

  2. इसलिए 4 पर सीमा 8 है, और kk को 8 होना चाहिए।

ध्यान देने योग्य

4 में x+4x + 4 का केवल xx लिया।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≠3x \ne 3 के लिए f(x)=x3−27x−3f(x) = \frac{x^{3} - 27}{x - 3}, और f(3)=kf(3) = k। किस kk के लिए ff, x=3x = 3 पर संतत है?

प्रश्न 33 के विकल्प

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उत्तरD · 2727

  1. x≠3x \ne 3 के लिए x3−27x−3=x2+3x+9\frac{x^{3} - 27}{x - 3} = x^{2} + 3x + 9।

  2. 3 पर: 9+9+9=279 + 9 + 9 = 27।

ध्यान देने योग्य

9 में x2+3x+9x^{2} + 3x + 9 का केवल x2x^{2} पद रखा।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए f(x)={kx−1,x<2k+3,x≥2f(x) = \begin{cases} kx - 1, & x < 2 \\ k + 3, & x \ge 2 \end{cases}, x=2x = 2 पर संतत है?

प्रश्न 34 के विकल्प

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उत्तरD · 44

  1. बाएँ पक्ष की सीमा 2k−12k - 1; दाएँ पक्ष की सीमा और मान k+3k + 3।

  2. 2k−1=k+32k - 1 = k + 3 से k=4k = 4।

ध्यान देने योग्य

2 में दाएँ भाग का kk भूलकर 2k−1=32k - 1 = 3 हल किया।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≠0x \ne 0 के लिए f(x)=sin⁡xx+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{x} + \cos x, और x=0x = 0 पर ff का मान kk है। किस kk के लिए ff, x=0x = 0 पर संतत है?

प्रश्न 35 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. x→0x \to 0 पर sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1 और cos⁡x→cos⁡0=1\cos x \to \cos 0 = 1।

  2. सीमा 1+1=21 + 1 = 2 है, इसलिए k=2k = 2।

ध्यान देने योग्य

1 में दोनों में से केवल एक सीमा रखी; sin⁡xx\frac{\sin x}{x} और cos⁡x\cos x दोनों 1 की ओर जाते हैं।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): kk का कोई भी मान x≠0x \ne 0 के लिए f(x)=∣x∣xf(x) = \frac{\lvert x \rvert}{x}, f(0)=kf(0) = k, को 0 पर संतत नहीं बनाता।

कारण (R): 0 पर ∣x∣x\frac{\lvert x \rvert}{x} की बाएँ और दाएँ पक्ष की सीमाएँ −1-1 और 1 हैं।

प्रश्न 36 के विकल्प

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उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

  1. A सही है: कोई एक मान दो भिन्न एकपक्षीय सीमाओं से नहीं मिल सकता।

  2. R सही है और यही कारण है: 0 पर सीमा न होने से f(0)f(0) चुनना मदद नहीं करता।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए f(x)={kx2,x≤23x+4,x>2f(x) = \begin{cases} kx^{2}, & x \le 2 \\ 3x + 4, & x > 2 \end{cases}, x=2x = 2 पर संतत है?

प्रश्न 37 के विकल्प

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उत्तरB · 52\frac{5}{2}

  1. भाग x=2x = 2 पर मिलें: 4k=104 k = 10।

  2. इसलिए k=52k = \frac{5}{2}।

ध्यान देने योग्य

5 में 2k=102k = 10 रखा, यह भूलकर कि x=2x = 2 पर x2x^{2} का मान 4 है।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≠0x \ne 0 के लिए f(x)=sin⁡5x2xf(x) = \frac{\sin 5x}{2x}, और f(0)=kf(0) = k। किस kk के लिए ff, x=0x = 0 पर संतत है?

प्रश्न 38 के विकल्प

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उत्तरC · 52\frac{5}{2}

  1. sin⁡5x2x=52⋅sin⁡5x5x\frac{\sin 5x}{2x} = \frac{5}{2} \cdot \frac{\sin 5x}{5x}।

  2. x→0x \to 0 पर sin⁡5x5x→1\frac{\sin 5x}{5x} \to 1, इसलिए सीमा 52\frac{5}{2} है।

ध्यान देने योग्य

25\frac{2}{5} में भिन्न उलट दी गई।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए f(x)={x2+kx,x<12x+3,x≥1f(x) = \begin{cases} x^{2} + kx, & x < 1 \\ 2x + 3, & x \ge 1 \end{cases}, x=1x = 1 पर संतत है?

प्रश्न 39 के विकल्प

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उत्तरB · 44

  1. भाग x=1x = 1 पर मिलें: k+1=5k + 1 = 5।

  2. इसलिए k=4k = 4।

ध्यान देने योग्य

5 दाएँ भाग का मान है; बाएँ भाग में x2=1x^{2} = 1 का हिसाब भी रखना है।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≠0x \ne 0 के लिए f(x)=1+x−1xf(x) = \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}, और f(0)=kf(0) = k। किस kk के लिए ff, x=0x = 0 पर संतत है?

प्रश्न 40 के विकल्प

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उत्तरB · 12\frac{1}{2}

  1. ऊपर और नीचे 1+x+1\sqrt{1 + x} + 1 से गुणा कीजिए: व्यंजक 11+x+1\frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} बनता है।

  2. x=0x = 0 पर वह 12\frac{1}{2} है।

ध्यान देने योग्य

0 में ऊपर को 0 रखकर रुक गए, पर नीचे भी 0 है।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≠0x \ne 0 के लिए f(x)=e3x−1xf(x) = \frac{e^{3x} - 1}{x}, और f(0)=kf(0) = k। किस kk के लिए ff, x=0x = 0 पर संतत है?

प्रश्न 41 के विकल्प

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उत्तरD · 33

  1. e3x−1x=3⋅e3x−13x\frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \cdot \frac{e^{3x} - 1}{3x}।

  2. et−1t→1\frac{e^{t} - 1}{t} \to 1, इसलिए सीमा 3 है।

ध्यान देने योग्य

1 में घात के 3 के बिना ex−1x→1\frac{e^{x} - 1}{x} \to 1 लिया।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए f(x)={ksin⁡x,x≤π2cos⁡x+1,x>π2f(x) = \begin{cases} k\sin x, & x \le \frac{\pi}{2} \\ \cos x + 1, & x > \frac{\pi}{2} \end{cases}, x=π2x = \frac{\pi}{2} पर संतत है?

प्रश्न 42 के विकल्प

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उत्तरC · 11

  1. भाग x=π2x = \frac{\pi}{2} पर मिलें: k=1k = 1।

  2. इसलिए k=1k = 1।

ध्यान देने योग्य

0 में cos⁡π2+1\cos \frac{\pi}{2} + 1 को 0 लिया, +1+1 भूलकर।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए f(x)={3ex+k,x≤0x+7,x>0f(x) = \begin{cases} 3e^{x} + k, & x \le 0 \\ x + 7, & x > 0 \end{cases}, x=0x = 0 पर संतत है?

प्रश्न 43 के विकल्प

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उत्तरA · 44

  1. भाग x=0x = 0 पर मिलें: k+3=7k + 3 = 7।

  2. इसलिए k=4k = 4।

ध्यान देने योग्य

7 में भूल गए कि बाईं ओर पहले से 3e0=33e^{0} = 3 है।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≠0x \ne 0 के लिए f(x)=tan⁡4xsin⁡2xf(x) = \frac{\tan 4x}{\sin 2x}, और f(0)=kf(0) = k। किस kk के लिए ff, x=0x = 0 पर संतत है?

प्रश्न 44 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. 0 के निकट tan⁡4x≈4x\tan 4x \approx 4x और sin⁡2x≈2x\sin 2x \approx 2x।

  2. सीमा 42=2\frac{4}{2} = 2 है।

ध्यान देने योग्य

1 में tan⁡\tan को sin⁡\sin से काटा और 4 तथा 2 को अनदेखा किया।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≠0x \ne 0 के लिए f(x)=log⁡(1+2x)xf(x) = \frac{\log(1 + 2x)}{x}, और f(0)=kf(0) = k। किस kk के लिए ff, x=0x = 0 पर संतत है?

प्रश्न 45 के विकल्प

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उत्तरD · 22

  1. log⁡(1+2x)x=2⋅log⁡(1+2x)2x\frac{\log(1 + 2x)}{x} = 2 \cdot \frac{\log(1 + 2x)}{2x}।

  2. log⁡(1+t)t→1\frac{\log(1 + t)}{t} \to 1, इसलिए सीमा 2 है।

ध्यान देने योग्य

1 में भीतर के 2 के बिना log⁡(1+x)x→1\frac{\log(1 + x)}{x} \to 1 लिया।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≠π2x \ne \frac{\pi}{2} के लिए f(x)=kcos⁡xπ−2xf(x) = \frac{k \cos x}{\pi - 2x}, और f(π2)=5f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 5। किस kk के लिए ff, x=π2x = \frac{\pi}{2} पर संतत है?

प्रश्न 46 के विकल्प

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उत्तरD · 1010

  1. x=π2−hx = \frac{\pi}{2} - h रखिए: cos⁡x=sin⁡h\cos x = \sin h और π−2x=2h\pi - 2x = 2h, इसलिए kcos⁡xπ−2x=ksin⁡h2h→k2\frac{k \cos x}{\pi - 2x} = \frac{k \sin h}{2h} \to \frac{k}{2}।

  2. सांतत्य के लिए k2=5\frac{k}{2} = 5, इसलिए k=10k = 10।

ध्यान देने योग्य

5 में cos⁡xπ−2x→1\frac{\cos x}{\pi - 2x} \to 1 लिया; π−2x\pi - 2x का 2 सीमा को आधा कर देता है।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए f(x)={kx+3,x≤πcos⁡x,x>πf(x) = \begin{cases} kx + 3, & x \le \pi \\ \cos x, & x > \pi \end{cases}, x=πx = \pi पर संतत है?

प्रश्न 47 के विकल्प

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उत्तरA · −4π- \frac{4}{\pi}

  1. भाग x=πx = \pi पर मिलें: kπ+3=cos⁡π=−1k\pi + 3 = \cos \pi = -1।

  2. इसलिए kπ=−4k\pi = -4 और k=−4πk = -\frac{4}{\pi}।

ध्यान देने योग्य

−2π-\frac{2}{\pi} में cos⁡π\cos \pi को 1 लिया; वह −1-1 है।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≠2x \ne 2 के लिए f(x)=[x]+[−x]f(x) = [x] + [-x], और x=2x = 2 पर ff का मान kk है। किस kk के लिए ff, x=2x = 2 पर संतत है?

प्रश्न 48 के विकल्प

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उत्तरB · −1-1

  1. 2 के ठीक बाईं ओर: [x]=1[x] = 1 और [−x]=−2[-x] = -2, योग −1-1। 2 के ठीक दाईं ओर: [x]=2[x] = 2 और [−x]=−3[-x] = -3, योग −1-1।

  2. दोनों एकपक्षीय सीमाएँ −1-1 हैं, इसलिए k=−1k = -1।

ध्यान देने योग्य

0, [2]+[−2][2] + [-2] है, 2 पर सूत्र का अपना मान; सांतत्य के लिए वहाँ सीमा −1-1 चाहिए।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≠0x \ne 0 के लिए f(x)=xtan⁡x1−cos⁡xf(x) = \frac{x \tan x}{1 - \cos x}, और x=0x = 0 पर ff का मान kk है। किस kk के लिए ff, x=0x = 0 पर संतत है?

प्रश्न 49 के विकल्प

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उत्तरD · 22

  1. 1−cos⁡x=2sin⁡2x21 - \cos x = 2\sin^{2} \frac{x}{2}, इसलिए f(x)=tan⁡xx⋅x22sin⁡2x2=tan⁡xx⋅2(x2sin⁡x2)2f(x) = \frac{\tan x}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2\sin^{2} \frac{x}{2}} = \frac{\tan x}{x} \cdot 2\left(\frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^{2}।

  2. x→0x \to 0 पर यह 1×2×1=21 \times 2 \times 1 = 2 की ओर जाता है, इसलिए k=2k = 2।

ध्यान देने योग्य

1 में 1−cos⁡x1 - \cos x को x2x^{2} से बदला; 0 के निकट वह x22\frac{x^{2}}{2} जैसा है।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): x≠0x \ne 0 के लिए f(x)=1−cos⁡2xx2f(x) = \frac{1 - \cos 2x}{x^{2}}, और f(0)=1f(0) = 1, x=0x = 0 पर संतत है।

कारण (R): हर वास्तविक xx के लिए 1−cos⁡2x=2sin⁡2x1 - \cos 2x = 2\sin^{2} x।

प्रश्न 50 के विकल्प

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उत्तरD · A गलत है, लेकिन R सही है।

  1. R सही है: यह द्विगुण कोण सूत्र cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^{2} x है।

  2. A गलत है: R से f(x)=2(sin⁡xx)2→2f(x) = 2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2} \to 2, 1 नहीं।

ध्यान देने योग्य

0 के निकट 1−cos⁡2x1 - \cos 2x को x2x^{2} मानने से 1 मिलता है; 2sin⁡2x2\sin^{2} x का गुणक 2 सीमा को 2 बनाता है।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≤1x \le 1 के लिए f(x)=2f(x) = 2, 1<x<31 < x < 3 के लिए f(x)=ax+bf(x) = ax + b, और x≥3x \ge 3 के लिए f(x)=8f(x) = 8। किन aa और bb के लिए ff हर जगह संतत है?

प्रश्न 51 के विकल्प

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उत्तरA · a=3, b=−1a = 3,\ b = -1

  1. x=1x = 1 पर: a+b=2a + b = 2। x=3x = 3 पर: 3a+b=83a + b = 8।

  2. घटाने पर 2a=62a = 6: a=3a = 3, b=−1b = -1।

ध्यान देने योग्य

a=2, b=0a = 2,\ b = 0 केवल x=1x = 1 पर जुड़ता है; बीच वाले भाग को दोनों छोरों से मिलना है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए f(x)={3x−k,x<4k2x,x≥4f(x) = \begin{cases} 3x - k, & x < 4 \\ \frac{k}{2}x, & x \ge 4 \end{cases}, x=4x = 4 पर संतत है?

प्रश्न 52 के विकल्प

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उत्तरB · 44

  1. भाग x=4x = 4 पर मिलें: 12−k=2k12 - k = 2 k।

  2. इसलिए k=4k = 4।

ध्यान देने योग्य

12 में 3×4=k3 \times 4 = k रखा, बाईं ओर का −k-k छोड़कर।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≠0x \ne 0 के लिए f(x)=1−cos⁡4x8x2f(x) = \frac{1 - \cos 4x}{8x^{2}}, और f(0)=kf(0) = k। किस kk के लिए ff, x=0x = 0 पर संतत है?

प्रश्न 53 के विकल्प

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उत्तरB · 11

  1. 1−cos⁡4x=2sin⁡22x1 - \cos 4x = 2\sin^{2} 2x, इसलिए व्यंजक 2sin⁡22x8x2=14(sin⁡2xx)2\frac{2\sin^{2} 2x}{8x^{2}} = \frac{1}{4}\left(\frac{\sin 2x}{x}\right)^{2} है।

  2. sin⁡2xx→2\frac{\sin 2x}{x} \to 2, इसलिए सीमा 14×4=1\frac{1}{4} \times 4 = 1 है।

ध्यान देने योग्य

8 तो 1−cos⁡4xx2\frac{1 - \cos 4x}{x^{2}} की सीमा है; नीचे का 8 उसे भाग देकर 1 कर देता है।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x<1x < 1 के लिए f(x)=x2f(x) = x^{2}, 1≤x≤21 \le x \le 2 के लिए f(x)=ax+bf(x) = ax + b, और x>2x > 2 के लिए f(x)=x+5f(x) = x + 5। किन aa और bb के लिए ff हर जगह संतत है?

प्रश्न 54 के विकल्प

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उत्तरA · a=6, b=−5a = 6,\ b = -5

  1. x=1x = 1 पर: 1=a+b1 = a + b। x=2x = 2 पर: 2a+b=72a + b = 7।

  2. घटाने पर a=6a = 6, इसलिए b=−5b = -5।

ध्यान देने योग्य

a=2, b=−1a = 2,\ b = -1 केवल x=1x = 1 पर जुड़ता है।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किन मानों के लिए f(x)={k2x,x<2x+3k,x≥2f(x) = \begin{cases} k^{2}x, & x < 2 \\ x + 3k, & x \ge 2 \end{cases}, x=2x = 2 पर संतत है?

प्रश्न 55 के विकल्प

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उत्तरD · k=2k = 2 या k=−12k = -\frac{1}{2}

  1. भाग x=2x = 2 पर मिलें: 2k2=2+3k2k^{2} = 2 + 3k।

  2. 2k2−3k−2=(2k+1)(k−2)=02k^{2} - 3k - 2 = (2k + 1)(k - 2) = 0, इसलिए k=2k = 2 या k=−12k = -\frac{1}{2}।

ध्यान देने योग्य

केवल k=2k = 2 में दूसरा मूल छूट गया; k=−12k = -\frac{1}{2} से भी दोनों भाग x=2x = 2 पर 12\frac{1}{2} होते हैं।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x≠0x \ne 0 के लिए f(x)=log⁡(1+3x)−log⁡(1−2x)xf(x) = \frac{\log(1 + 3x) - \log(1 - 2x)}{x}, और x=0x = 0 पर ff का मान kk है। किस kk के लिए ff, x=0x = 0 पर संतत है?

प्रश्न 56 के विकल्प

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उत्तरC · 55

  1. log⁡(1+3x)x=3⋅log⁡(1+3x)3x→3\frac{\log(1 + 3x)}{x} = 3 \cdot \frac{\log(1 + 3x)}{3x} \to 3 और log⁡(1−2x)x=−2⋅log⁡(1−2x)−2x→−2\frac{\log(1 - 2x)}{x} = -2 \cdot \frac{\log(1 - 2x)}{-2x} \to -2।

  2. सीमा 3−(−2)=53 - (-2) = 5 है, इसलिए k=5k = 5।

ध्यान देने योग्य

1 में दूसरी सीमा 2 ली, 1−2x1 - 2x का ऋण चिह्न खोकर।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किन aa और bb के लिए f(x)={sin⁡axx,x<04,x=0ebx−12x,x>0f(x) = \begin{cases} \frac{\sin ax}{x}, & x < 0 \\ 4, & x = 0 \\ \frac{e^{bx} - 1}{2x}, & x > 0 \end{cases}, x=0x = 0 पर संतत है?

प्रश्न 57 के विकल्प

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उत्तरB · a=4, b=8a = 4,\ b = 8

  1. बाईं ओर: sin⁡axx=a⋅sin⁡axax→a\frac{\sin ax}{x} = a \cdot \frac{\sin ax}{ax} \to a, और इसे f(0)=4f(0) = 4 के बराबर होना है, इसलिए a=4a = 4।

  2. दाईं ओर: ebx−12x=b2⋅ebx−1bx→b2\frac{e^{bx} - 1}{2x} = \frac{b}{2} \cdot \frac{e^{bx} - 1}{bx} \to \frac{b}{2}, इसलिए b2=4\frac{b}{2} = 4 और b=8b = 8।

ध्यान देने योग्य

a=4, b=4a = 4,\ b = 4 में 2x2x का 2 भूल गए, जो दाएँ पक्ष की सीमा को आधा करता है।

सतत फलन

25 प्रश्न

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

खुले अंतराल (−2,3)(-2, 3) में कितने बिंदुओं पर महत्तम पूर्णांक फलन f(x)=[x]f(x) = [x] संतत नहीं है?

प्रश्न 58 के विकल्प

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उत्तरB · 44

  1. [x][x] हर पूर्णांक पर 1 से उछलता है और बाकी जगह संतत है।

  2. −2-2 और 3 के बीच के पूर्णांक −1,0,1,2-1, 0, 1, 2 हैं: 4 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

6 में −2-2 और 3 भी गिने, जिन्हें खुला अंतराल छोड़ देता है।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चिह्न फलन sgn⁡x\operatorname{sgn} x (x>0x > 0 के लिए 11, 0 पर 00, x<0x < 0 के लिए −1-1) कितने बिंदुओं पर संतत नहीं है?

प्रश्न 59 के विकल्प

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उत्तरB · 11

  1. 0 से दूर यह अचर है, इसलिए संतत।

  2. 0 पर यह −1-1 से 1 तक उछलता है: 1 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

0 में मूलबिंदु का उछाल भूल गए।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

उन सभी बिंदुओं का समुच्चय क्या है जिन पर f(x)=x+1x2−5x+6f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 6} संतत है?

प्रश्न 60 के विकल्प

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उत्तरD · R−{2,3}\mathbb{R} - \{2, 3\}

  1. परिमेय फलन हर उस बिंदु पर संतत है जहाँ उसका हर 0 नहीं है।

  2. x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^{2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) केवल x=2x = 2 और x=3x = 3 पर 0 है, इसलिए ff, R−{2,3}\mathbb{R} - \{2, 3\} पर संतत है।

ध्यान देने योग्य

R−{−1}\mathbb{R} - \{-1\} में अंश का शून्य हटाया; प्रांत से केवल हर के शून्य बाहर होते हैं।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=x2f(x) = x^{2} और g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x। इनमें से कौन-सा फलन हर वास्तविक xx पर संतत नहीं है?

प्रश्न 61 के विकल्प

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उत्तरA · fg\frac{f}{g}

  1. हर जगह संतत फलनों के योग, अंतर, गुणनफल और संयोजन हर जगह संतत होते हैं।

  2. fg\frac{f}{g} के लिए cos⁡x≠0\cos x \ne 0 चाहिए: x=π2x = \frac{\pi}{2} पर यह परिभाषित ही नहीं, इसलिए वहाँ संतत नहीं है।

ध्यान देने योग्य

g∘f=cos⁡(x2)g \circ f = \cos(x^{2}) संतत फलनों का संयोजन है, इसलिए हर जगह संतत है।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कूरियर ww kg भार के पार्सल के लिए C(w)=40+20[w]C(w) = 40 + 20[w] रुपये लेता है, जहाँ 0<w<50 < w < 5 और [w][w], ww से अनधिक महत्तम पूर्णांक है।

यह कूरियर 2.5 kg के पार्सल के लिए कितना लेता है?

प्रश्न 62 के विकल्प

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उत्तरB · ₹80

  1. [2.5]=2[2.5] = 2: केवल पूरे किलोग्राम गिने जाते हैं।

  2. C(2.5)=40+20×2=80C(2.5) = 40 + 20 \times 2 = 80।

ध्यान देने योग्य

₹90 में महत्तम पूर्णांक को अनदेखा कर 20×2.520 \times 2.5 लिया।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कूरियर ww kg भार के पार्सल के लिए C(w)=40+20[w]C(w) = 40 + 20[w] रुपये लेता है, जहाँ 0<w<50 < w < 5 और [w][w], ww से अनधिक महत्तम पूर्णांक है।

(0,5)(0, 5) के कितने बिंदुओं पर यह शुल्क संतत नहीं है?

प्रश्न 63 के विकल्प

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उत्तरC · 44

  1. [w][w] हर पूर्णांक पर 1 से उछलता है, इसलिए वहाँ CC 20 से उछलता है।

  2. (0,5)(0, 5) के भीतर पूर्णांक 1, 2, 3, 4 हैं: 4 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

5 में w=5w = 5 भी गिना, जिसे अंतराल छोड़ देता है।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

[0,3][0, 3] में कितने बिंदुओं पर f(x)=x−[x]f(x) = x - [x] संतत नहीं है?

प्रश्न 64 के विकल्प

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उत्तरC · 33

  1. x−[x]x - [x] हर पूर्णांक पर लगभग 1 से 0 तक गिरता है, दाईं ओर से।

  2. [0,3][0, 3] पर विच्छेद 1, 2 और 3 पर है; 0 पर केवल दायाँ पक्ष गिना जाता है, और वहाँ यह संतत है।

ध्यान देने योग्य

4 में 0 भी गिना, जहाँ अंतराल शुरू होता है और केवल दाएँ पक्ष की सीमा मायने रखती है।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-से फलन हर वास्तविक xx पर संतत हैं?

I. f(x)=∣x−1∣+∣x−2∣f(x) = \lvert x - 1 \rvert + \lvert x - 2 \rvert

II. f(x)=∣sin⁡x∣f(x) = \lvert \sin x \rvert

III. f(x)=[x]f(x) = [x], महत्तम पूर्णांक फलन

IV. f(x)=cos⁡∣x∣f(x) = \cos \lvert x \rvert

प्रश्न 65 के विकल्प

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उत्तरD · केवल I, II और IV

  1. संतत फलनों के योग और संयोजन संतत होते हैं: I, II और IV।

  2. III हर पूर्णांक पर उछलता है।

ध्यान देने योग्य

कोना, जैसे 1 पर ∣x−1∣\lvert x - 1 \rvert, अवकलनीयता बिगाड़ता है, सांतत्य नहीं।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. यदि ff और gg, aa पर संतत हैं, तो f+gf + g भी।

II. यदि ff और gg, aa पर संतत हैं, तो fg\frac{f}{g} भी, g(a)g(a) जो भी हो।

III. यदि ff, aa पर संतत है, तो ∣f∣\lvert f \rvert भी।

IV. यदि ∣f∣\lvert f \rvert, aa पर संतत है, तो ff भी।

प्रश्न 66 के विकल्प

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उत्तरD · केवल I और III

  1. I और III सही हैं। II के लिए g(a)≠0g(a) \ne 0 चाहिए।

  2. IV गलत है: x≥0x \ge 0 के लिए f(x)=1f(x) = 1, x<0x < 0 के लिए −1-1, में ∣f∣=1\lvert f \rvert = 1 संतत है, जबकि ff, 0 पर उछलता है।

ध्यान देने योग्य

मापांक लेने से उछाल छिप सकता है, इसलिए IV उलटी दिशा में चलता है।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} अपने प्रांत के हर बिंदु पर संतत है।

II. f(x)=tan⁡xf(x) = \tan x, x=π2x = \frac{\pi}{2} पर संतत है।

प्रश्न 67 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I सही है: 0 प्रांत में नहीं, और हर अन्य बिंदु पर 1x\frac{1}{x} संतत है।

  2. II गलत है: tan⁡π2\tan \frac{\pi}{2} परिभाषित नहीं, इसलिए वहाँ सांतत्य का प्रश्न ही नहीं।

ध्यान देने योग्य

सांतत्य केवल वहीं जाँची जाती है जहाँ फलन परिभाषित है।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यदि ff और gg हर जगह संतत हैं, तो f∘gf \circ g भी।

II. f(x)=1x2−4f(x) = \frac{1}{x^{2} - 4}, x=2x = 2 पर संतत है।

प्रश्न 68 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I: संतत फलनों का संयोजन संतत होता है। सही।

  2. II: 2 प्रांत में नहीं, इसलिए वहाँ ff का कोई मान नहीं। गलत।

ध्यान देने योग्य

परिमेय फलन अपने प्रांत पर संतत है, जिसमें हर के शून्य शामिल नहीं।

प्रश्न 69

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

खुले अंतराल (0,2)(0, 2) में कितने बिंदुओं पर f(x)=[2x]f(x) = [2x] संतत नहीं है?

प्रश्न 69 के विकल्प

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उत्तरC · 33

  1. [2x][2x] तब उछलता है जब 2x2x पूर्णांक हो, यानी (0,2)(0, 2) के भीतर x=12,1,32x = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2} पर।

  2. 3 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

1 में केवल पूर्णांक x=1x = 1 गिना; गुणक 2 उछलने की आवृत्ति दोगुनी करता है।

प्रश्न 70

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. f(x)=[x2]f(x) = [x^{2}], x=0x = 0 पर संतत है।

II. g(x)=[x]2g(x) = [x]^{2}, x=0x = 0 पर संतत है।

प्रश्न 70 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I: −1<x<1-1 < x < 1 के लिए 0≤x2<10 \le x^{2} < 1, इसलिए 0 के चारों ओर [x2]=0[x^{2}] = 0, जो f(0)f(0) के बराबर है। सही।

  2. II: 0 के ठीक बाईं ओर [x]=−1[x] = -1, इसलिए [x]2=1[x]^{2} = 1; 0 पर और उसके दाईं ओर [x]2=0[x]^{2} = 0। एक उछाल, इसलिए गलत।

ध्यान देने योग्य

क्रम मायने रखता है: [x2][x^{2}] में महत्तम पूर्णांक फलन का निवेश 0 के निकट किसी पूर्णांक को पार नहीं करता।

प्रश्न 71

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कूरियर ww kg भार के पार्सल के लिए C(w)=40+20[w]C(w) = 40 + 20[w] रुपये लेता है, जहाँ 0<w<50 < w < 5 और [w][w], ww से अनधिक महत्तम पूर्णांक है।

w=3w = 3 पर इस शुल्क की बाएँ पक्ष की सीमा क्या है?

प्रश्न 71 के विकल्प

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उत्तरC · ₹80

  1. 3 kg से ठीक कम पर [w]=2[w] = 2।

  2. इसलिए वहाँ C(w)=40+20×2=80C(w) = 40 + 20 \times 2 = 80, और बाएँ पक्ष की सीमा ₹80 है।

ध्यान देने योग्य

₹100 स्वयं C(3)C(3) है; ठीक 3 kg पर शुल्क पहले ही बढ़ चुका है।

प्रश्न 72

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} और g(x)=1x−1g(x) = \frac{1}{x - 1}। उन सभी बिंदुओं का समुच्चय क्या है जिन पर f∘gf \circ g संतत है?

प्रश्न 72 के विकल्प

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उत्तरA · R−{1}\mathbb{R} - \{1\}

  1. f(g(x))f(g(x)) के लिए g(x)g(x) परिभाषित हो, अतः x≠1x \ne 1, और g(x)≠0g(x) \ne 0, जो सदा सत्य है।

  2. उस प्रांत पर f(g(x))=x−1f(g(x)) = x - 1, एक बहुपद, इसलिए f∘gf \circ g, R−{1}\mathbb{R} - \{1\} पर संतत है।

ध्यान देने योग्य

R\mathbb{R} में f(g(x))f(g(x)) को x−1x - 1 बनाकर भूल गए कि g(1)g(1) परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 73

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): f(x)=x2+∣x∣f(x) = x^{2} + \lvert x \rvert हर वास्तविक xx पर संतत है।

कारण (R): f(x)=x2+∣x∣f(x) = x^{2} + \lvert x \rvert, x=0x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 73 के विकल्प

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उत्तरB · A और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।

  1. A सही है: x2x^{2} और ∣x∣\lvert x \rvert हर जगह संतत हैं, और उनका योग भी।

  2. R भी सही है: 0 पर ढाल −1-1 और 1 हैं। पर कोना सांतत्य के बारे में कुछ नहीं बताता, इसलिए R, A की व्याख्या नहीं करता।

ध्यान देने योग्य

A का सांतत्य संतत फलनों के बीजगणित से आता है, ढालों से नहीं।

प्रश्न 74

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

lim⁡x→0etan⁡2xx\lim_{x \to 0} e^{\frac{\tan 2x}{x}} क्या है?

प्रश्न 74 के विकल्प

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उत्तरD · e2e^{2}

  1. eue^{u} संतत है, इसलिए सीमा भीतर जा सकती है: उत्तर eLe^{L} है, जहाँ L=lim⁡x→0tan⁡2xxL = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}।

  2. tan⁡2xx=2⋅tan⁡2x2x→2\frac{\tan 2x}{x} = 2 \cdot \frac{\tan 2x}{2x} \to 2, इसलिए सीमा e2e^{2} है।

ध्यान देने योग्य

ee में tan⁡2xx→1\frac{\tan 2x}{x} \to 1 लिया, स्पर्शज्या के भीतर का 2 खोकर।

प्रश्न 75

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा फलन x=0x = 0 पर संतत नहीं है?

प्रश्न 75 के विकल्प

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उत्तरD · f(x)=x+[x]f(x) = x + [x]

  1. 0 के ठीक बाईं ओर [x]=−1[x] = -1, इसलिए x+[x]→−1x + [x] \to -1; 0 पर और उसके ठीक दाईं ओर [x]=0[x] = 0, इसलिए x+[x]→0x + [x] \to 0। एक उछाल।

  2. दोनों ओर से x[x]→0=f(0)x[x] \to 0 = f(0), क्योंकि गुणक xx, 0 की ओर जाता है; x−∣x∣x - \lvert x \rvert और sin⁡∣x∣\sin \lvert x \rvert संतत फलनों से बने हैं।

ध्यान देने योग्य

x[x]x[x] में भी [x][x] है, पर उसका गुणक xx, 0 पर [x][x] के उछाल को शून्य कर देता है।

प्रश्न 76

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

खुले अंतराल (−3,3)(-3, 3) में कितने बिंदुओं पर f(x)=sin⁡(π[x])f(x) = \sin(\pi[x]) संतत नहीं है?

प्रश्न 76 के विकल्प

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उत्तरA · 00

  1. [x][x] सदा कोई पूर्णांक nn है, और हर पूर्णांक nn के लिए sin⁡(nπ)=0\sin(n\pi) = 0।

  2. इसलिए हर xx के लिए f(x)=0f(x) = 0, एक अचर फलन, जो हर जगह संतत है: 0 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

5 में वे सभी पूर्णांक गिने जहाँ [x][x] उछलता है, पर sin⁡\sin उन सब पर एक ही मान 0 देता है, इसलिए ff कभी नहीं उछलता।

प्रश्न 77

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={x+1,x<0x2,0≤x<22x,x≥2f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ x^{2}, & 0 \le x < 2 \\ 2x, & x \ge 2 \end{cases} कितने बिंदुओं पर संतत नहीं है?

प्रश्न 77 के विकल्प

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उत्तरB · 11

  1. हर भाग बहुपद है, इसलिए केवल जोड़ 0 और 2 पर विच्छेद हो सकता है।

  2. 0 पर: बाईं ओर 0+1=10 + 1 = 1, दाईं ओर 02=00^{2} = 0, विच्छेद। 2 पर: 22=4=2×22^{2} = 4 = 2 \times 2, विच्छेद नहीं। इसलिए 1 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

2 में मान लिया कि हर जोड़ विच्छेद है; x=2x = 2 पर भाग मिलते हैं।

प्रश्न 78

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

खुले अंतराल (0,2π)(0, 2\pi) में कितने बिंदुओं पर f(x)=[sin⁡x]f(x) = [\sin x] संतत नहीं है?

प्रश्न 78 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. [sin⁡x][\sin x] केवल वहीं बदल सकता है जहाँ sin⁡x\sin x पूर्णांक हो: x=π2,π,3π2x = \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} पर।

  2. π2\frac{\pi}{2} पर ff दोनों ओर 0 है पर उस बिंदु पर f=1f = 1; π\pi पर यह 0 से −1-1 पर गिरता है; 3π2\frac{3\pi}{2} पर यह दोनों ओर और उस बिंदु पर −1-1 है। इसलिए 2 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

3 में 3π2\frac{3\pi}{2} भी गिना; वहाँ sin⁡x\sin x केवल −1-1 को छूता है, इसलिए दोनों ओर [sin⁡x]=−1[\sin x] = -1 है और कोई विच्छेद नहीं।

प्रश्न 79

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. यदि ff, aa पर संतत है और gg नहीं, तो f+gf + g, aa पर संतत नहीं है।

II. यदि aa पर न ff संतत है न gg, तो f+gf + g, aa पर संतत नहीं है।

III. यदि ff, aa पर संतत है और gg नहीं, तो fgfg, aa पर संतत नहीं है।

IV. यदि ff, aa पर संतत है और f(a)≠0f(a) \ne 0, तो 1f\frac{1}{f}, aa पर संतत है।

प्रश्न 79 के विकल्प

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उत्तरB · केवल I और IV

  1. I सही है: यदि f+gf + g, aa पर संतत होता, तो (f+g)−f=g(f + g) - f = g भी होता। IV सही है: संतत फलनों का भागफल वहाँ संतत है जहाँ हर 0 न हो।

  2. II गलत है: [x][x] और −[x]-[x] दोनों 0 पर उछलते हैं, पर उनका योग 0 है। III गलत है: xsgn⁡x=∣x∣x \operatorname{sgn} x = \lvert x \rvert, 0 पर संतत है, यद्यपि sgn⁡x\operatorname{sgn} x नहीं।

ध्यान देने योग्य

योग में दो उछाल एक-दूसरे को रद्द कर सकते हैं, और aa पर 0 होने वाला गुणक गुणनफल में उछाल को रद्द कर सकता है।

प्रश्न 80

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना sgn⁡u\operatorname{sgn} u का मान 1, 0 या −1-1 है, जब uu क्रमशः धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक हो। f(x)=sgn⁡((x−1)2(x−4))f(x) = \operatorname{sgn}\left((x - 1)^{2}(x - 4)\right) कितने बिंदुओं पर संतत नहीं है?

प्रश्न 80 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. ff केवल वहीं टूट सकता है जहाँ u=(x−1)2(x−4)u = (x - 1)^{2}(x - 4) शून्य हो: x=1x = 1 और x=4x = 4 पर।

  2. 4 पर uu का चिह्न बदलता है, इसलिए ff, −1-1 से 1 पर उछलता है। 1 पर दोनों ओर u<0u < 0, इसलिए f→−1f \to -1, पर f(1)=0f(1) = 0: यह भी विच्छेद है। इसलिए 2 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

1 में केवल 4 पर चिह्न परिवर्तन गिना; द्विमूल 1 पर चिह्न नहीं बदलता, पर मान 0 फिर भी सीमा −1-1 से भिन्न है।

प्रश्न 81

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर फलन को खुले अंतराल (0,2)(0, 2) के उन बिंदुओं की संख्या से मिलाइए जिन पर वह संतत नहीं है (सूची II)।

सूची Iसूची II
A. [x][x]I. 3 बिंदु
B. [x2][x^{2}]II. कोई बिंदु नहीं
C. [x+12]\left[x + \frac{1}{2}\right]III. 1 बिंदु
D. [x2]\left[\frac{x}{2}\right]IV. 2 बिंदु
प्रश्न 81 के विकल्प

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उत्तरD · A-III, B-I, C-IV, D-II

  1. [u][u] ठीक वहीं उछलता है जहाँ uu किसी पूर्णांक को पार करे। 0<x<20 < x < 2 के लिए xx, 1 को पार करता है, और x2x^{2}, (0,4)(0, 4) पर चलते हुए x=1,2,3x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3} पर 1, 2, 3 को पार करता है।

  2. x+12x + \frac{1}{2}, (12,52)\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right) पर चलता है और 1 तथा 2 को पार करता है; x2\frac{x}{2}, (0,1)(0, 1) पर चलता है और किसी को पार नहीं करता।

ध्यान देने योग्य

[x2][x^{2}] अपरिमेय बिंदुओं 2\sqrt{2} और 3\sqrt{3} पर भी उछलता है, जहाँ x2x^{2} पूर्णांक है।

प्रश्न 82

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कूरियर ww kg भार के पार्सल के लिए C(w)=40+20[w]C(w) = 40 + 20[w] रुपये लेता है, जहाँ 0<w<50 < w < 5 और [w][w], ww से अनधिक महत्तम पूर्णांक है।

दूसरा कूरियर D(w)=C(w)+20(w−[w])D(w) = C(w) + 20(w - [w]) रुपये लेता है। (0,5)(0, 5) के कितने बिंदुओं पर DD संतत नहीं है?

प्रश्न 82 के विकल्प

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उत्तरA · 00

  1. D(w)=40+20[w]+20w−20[w]=40+20wD(w) = 40 + 20[w] + 20w - 20[w] = 40 + 20w।

  2. रैखिक फलन हर जगह संतत होता है: 0 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

4 में माना कि CC के उछाल बने रहते हैं; 20(w−[w])20(w - [w]) ठीक वहीं 20 गिरता है जहाँ CC 20 बढ़ता है, इसलिए वे रद्द हो जाते हैं।

अवकलनीयता

43 प्रश्न

प्रश्न 83

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा x=0x = 0 पर f(x)=∣x∣f(x) = \lvert x \rvert का वर्णन करता है?

प्रश्न 83 के विकल्प

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उत्तरD · संतत पर अवकलनीय नहीं

  1. दोनों ओर से ∣x∣→0=f(0)\lvert x \rvert \to 0 = f(0): संतत।

  2. बायाँ अवकलज −1-1 और दायाँ 1: अवकलनीय नहीं।

ध्यान देने योग्य

कोना भागों को बिना विच्छेद पर दो भिन्न ढालों से जोड़ता है।

प्रश्न 84

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. x=ax = a पर अवकलनीय हर फलन x=ax = a पर संतत है।

II. x=ax = a पर संतत हर फलन x=ax = a पर अवकलनीय है।

प्रश्न 84 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I सही है: अवकलनीयता सीमा को मान के बराबर होने पर बाध्य करती है।

  2. II गलत है: ∣x∣\lvert x \rvert, 0 पर संतत है पर वहाँ अवकलनीय नहीं।

ध्यान देने योग्य

निहितार्थ केवल एक दिशा में चलता है।

प्रश्न 85

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा x=1x = 1 पर f(x)=[x]f(x) = [x] का वर्णन करता है?

प्रश्न 85 के विकल्प

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उत्तरD · न संतत, न अवकलनीय

  1. [x][x], x=1x = 1 पर 0 से 1 तक उछलता है: संतत नहीं।

  2. जो फलन संतत न हो, वह अवकलनीय नहीं हो सकता।

ध्यान देने योग्य

अवकलनीय पर संतत नहीं, असंभव है: अवकलनीयता सांतत्य अनिवार्य करती है।

प्रश्न 86

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=∣x−1∣+∣x−3∣f(x) = \lvert x - 1 \rvert + \lvert x - 3 \rvert।

दो मापांकों के इस योग के लिए f(2)f(2) क्या है?

प्रश्न 86 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. ∣2−1∣+∣2−3∣=1+1\lvert 2 - 1 \rvert + \lvert 2 - 3 \rvert = 1 + 1।

  2. f(2)=2f(2) = 2।

ध्यान देने योग्य

0 में 2−3=−12 - 3 = -1 पर मापांक छूट गया।

प्रश्न 87

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=∣x−1∣+∣x−3∣f(x) = \lvert x - 1 \rvert + \lvert x - 3 \rvert।

दो मापांकों का यह योग कितने बिंदुओं पर संतत नहीं है?

प्रश्न 87 के विकल्प

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उत्तरA · 00

  1. हर मापांक हर जगह संतत है, और उनका योग भी।

  2. 0 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

2 कोने गिनता है, जो अवकलनीयता बिगाड़ते हैं, सांतत्य नहीं।

प्रश्न 88

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

xx के किस मान पर f(x)=∣2x−5∣f(x) = \lvert 2x - 5 \rvert अवकलनीय नहीं है?

प्रश्न 88 के विकल्प

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उत्तरC · 52\frac{5}{2}

  1. मापांक का कोना वहाँ होता है जहाँ उसका भीतरी भाग 0 हो।

  2. x=52x = \frac{5}{2} पर 2x−5=02x - 5 = 0; वहाँ ढाल −2-2 से 2 हो जाता है।

ध्यान देने योग्य

5 में 2x−52x - 5 का अचर पढ़ लिया, xx के आगे के 2 से भाग दिए बिना।

प्रश्न 89

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=x∣x∣+∣x−1∣f(x) = x\lvert x \rvert + \lvert x - 1 \rvert।

इस फलन के लिए f(−2)f(-2) क्या है?

प्रश्न 89 के विकल्प

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उत्तरB · −1-1

  1. x∣x∣=(−2)(2)=−4x\lvert x \rvert = (-2)(2) = -4 और ∣−2−1∣=3\lvert -2 - 1 \rvert = 3।

  2. f(−2)=−4+3=−1f(-2) = -4 + 3 = -1।

ध्यान देने योग्य

7 में x∣x∣x\lvert x \rvert को x2=4x^{2} = 4 लिया; ऋणात्मक xx के लिए यह −x2-x^{2} है।

प्रश्न 90

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा x=0x = 0 पर f(x)=∣x+2∣f(x) = \lvert x + 2 \rvert का वर्णन करता है?

प्रश्न 90 के विकल्प

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उत्तरD · संतत और अवकलनीय

  1. 0 के निकट x+2>0x + 2 > 0, इसलिए f(x)=x+2f(x) = x + 2।

  2. वहाँ एक रैखिक फलन: संतत और अवकलनीय, f′(0)=1f'(0) = 1।

ध्यान देने योग्य

∣x+2∣\lvert x + 2 \rvert का कोना x=−2x = -2 पर है, जहाँ भीतरी भाग 0 है, मूलबिंदु पर नहीं।

प्रश्न 91

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=∣x∣+∣x−1∣f(x) = \lvert x \rvert + \lvert x - 1 \rvert कितने बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है?

प्रश्न 91 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. हर मापांक का कोना वहाँ है जहाँ भीतर का भाग 0 हो: x=0x = 0 और x=1x = 1 पर।

  2. दोनों कोने भिन्न बिंदुओं पर हैं और रद्द नहीं होते: 2 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

1 में कोने मिला दिए; वे भिन्न स्थानों पर हैं।

प्रश्न 92

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): f(x)=∣x∣f(x) = \lvert x \rvert, x=0x = 0 पर संतत है।

कारण (R): f(x)=∣x∣f(x) = \lvert x \rvert, x=0x = 0 पर अवकलनीय है।

प्रश्न 92 के विकल्प

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उत्तरC · A सही है, लेकिन R गलत है।

  1. A सही है: दोनों एकपक्षीय सीमाएँ 0 हैं, f(0)f(0) के बराबर।

  2. R गलत है: एकपक्षीय अवकलज −1-1 और 1 हैं।

प्रश्न 93

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा x=0x = 0 पर f(x)=x∣x∣f(x) = x\lvert x \rvert का वर्णन करता है?

प्रश्न 93 के विकल्प

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उत्तरA · संतत और अवकलनीय

  1. x<0x < 0 के लिए f(x)=−x2f(x) = -x^{2} और x≥0x \ge 0 के लिए x2x^{2}; दोनों भाग 0 पर 0 देते हैं।

  2. दोनों एकपक्षीय अवकलज 0 हैं: अवकलनीय।

ध्यान देने योग्य

∣x∣\lvert x \rvert को xx से गुणा करने पर कोना समतल हो जाता है: दोनों ढाल 0 बनते हैं।

प्रश्न 94

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=∣x2−1∣f(x) = \lvert x^{2} - 1 \rvert कितने बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है?

प्रश्न 94 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. x2−1=0x^{2} - 1 = 0, x=±1x = \pm 1 पर, जहाँ उसका चिह्न बदलता है।

  2. हर एक कोना देता है: 2 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

1 में केवल x=1x = 1 गिना; x=−1x = -1 भी मूल है।

प्रश्न 95

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा x=1x = 1 पर f(x)={x2,x≤12x−1,x>1f(x) = \begin{cases} x^{2}, & x \le 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} का वर्णन करता है?

प्रश्न 95 के विकल्प

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उत्तरD · संतत और अवकलनीय

  1. दोनों भाग x=1x = 1 पर 1 देते हैं: संतत।

  2. ढाल 2x=22x = 2 और 2 हैं: बराबर, इसलिए अवकलनीय।

ध्यान देने योग्य

सूत्र का बदलाव तब चिकना है जब मान और ढाल दोनों मिलें।

प्रश्न 96

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा x=1x = 1 पर f(x)={x2,x≤1x,x>1f(x) = \begin{cases} x^{2}, & x \le 1 \\ x, & x > 1 \end{cases} का वर्णन करता है?

प्रश्न 96 के विकल्प

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उत्तरA · संतत पर अवकलनीय नहीं

  1. दोनों भाग x=1x = 1 पर 1 देते हैं: संतत।

  2. ढाल बाईं ओर 2 और दाईं ओर 1 हैं: अवकलनीय नहीं।

ध्यान देने योग्य

मान मिलना पर्याप्त नहीं; ढाल भी मिलने चाहिए।

प्रश्न 97

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा x=3x = 3 पर f(x)=∣x−3∣f(x) = \lvert x - 3 \rvert का वर्णन करता है?

प्रश्न 97 के विकल्प

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उत्तरA · संतत पर अवकलनीय नहीं

  1. दोनों ओर से ∣x−3∣→0=f(3)\lvert x - 3 \rvert \to 0 = f(3): संतत।

  2. ढाल −1-1 और 1: कोना, अवकलनीय नहीं।

ध्यान देने योग्य

∣x−3∣\lvert x - 3 \rvert, ∣x∣\lvert x \rvert को 3 दाईं ओर खिसकाना है, कोने सहित।

प्रश्न 98

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x=1x = 1 पर f(x)=∣x−1∣+xf(x) = \lvert x - 1 \rvert + x के बाएँ पक्ष और दाएँ पक्ष के अवकलज क्या हैं?

प्रश्न 98 के विकल्प

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उत्तरC · 00 और 22

  1. 1 के बाईं ओर: f=1−x+x=1f = 1 - x + x = 1, ढाल 0।

  2. 1 के दाईं ओर: f=x−1+x=2x−1f = x - 1 + x = 2x - 1, ढाल 2।

ध्यान देने योग्य

−1-1 और 1 केवल ∣x−1∣\lvert x - 1 \rvert के ढाल हैं; +x+x हर एक में 1 जोड़ता है।

प्रश्न 99

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): f(x)=[x]f(x) = [x], x=2x = 2 पर अवकलनीय नहीं है।

कारण (R): f(x)=[x]f(x) = [x], x=2x = 2 पर संतत नहीं है।

प्रश्न 99 के विकल्प

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उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

  1. R सही है: [x][x], x=2x = 2 पर 1 से 2 तक उछलता है।

  2. A सही है, और R उसका कारण है: जो फलन संतत न हो वह अवकलनीय नहीं हो सकता।

प्रश्न 100

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=∣x(x−2)∣f(x) = \lvert x(x - 2) \rvert कितने बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है?

प्रश्न 100 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. x(x−2)x(x - 2) का चिह्न x=0x = 0 और x=2x = 2 पर बदलता है।

  2. मापांक हर एक पर कोना बनाता है: 2 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

1 में दोनों मूलों में से केवल एक गिना; x(x−2)x(x - 2) का हर मूल एक कोना देता है।

प्रश्न 101

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=∣x−1∣+∣x−3∣f(x) = \lvert x - 1 \rvert + \lvert x - 3 \rvert।

दो मापांकों का यह योग कितने बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है?

प्रश्न 101 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. x=1x = 1 और x=3x = 3 पर कोने, जहाँ हर भीतरी भाग 0 है।

  2. 2 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

1 में केवल मध्य बिंदु गिना, जहाँ कुछ विशेष नहीं होता।

प्रश्न 102

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा x=3x = 3 पर f(x)=∣x2−9∣f(x) = \lvert x^{2} - 9 \rvert का वर्णन करता है?

प्रश्न 102 के विकल्प

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उत्तरD · संतत पर अवकलनीय नहीं

  1. दोनों ओर से 0 = f(3)f(3): संतत।

  2. ढाल −2x=−6-2x = -6 और 2x=62x = 6: कोना।

ध्यान देने योग्य

मापांक वक्र को वहाँ ऊपर मोड़ता है जहाँ x2−9x^{2} - 9 का चिह्न बदलता है, एक कोना छोड़ते हुए।

प्रश्न 103

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा x=0x = 0 पर f(x)=e∣x∣f(x) = e^{\lvert x \rvert} का वर्णन करता है?

प्रश्न 103 के विकल्प

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उत्तरB · संतत पर अवकलनीय नहीं

  1. दोनों ओर से e0=1=f(0)e^{0} = 1 = f(0): संतत।

  2. बाईं ओर ढाल −1-1 और दाईं ओर 1: अवकलनीय नहीं।

ध्यान देने योग्य

किसी चिकने फलन के भीतर ∣x∣\lvert x \rvert अपना कोना बनाए रखता है।

प्रश्न 104

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): kk का कोई भी मान f(x)=∣x−2∣+kxf(x) = \lvert x - 2 \rvert + kx को x=2x = 2 पर अवकलनीय नहीं बनाता।

कारण (R): kxkx जोड़ने से x=2x = 2 पर दोनों एकपक्षीय अवकलजों में वही kk जुड़ता है।

प्रश्न 104 के विकल्प

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उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

  1. R सही है: 2 पर एकपक्षीय अवकलज k−1k - 1 और k+1k + 1 हैं।

  2. kk जो भी हो, वे 2 से भिन्न रहते हैं, इसलिए कभी बराबर नहीं: A सही है, और R उसका कारण है।

ध्यान देने योग्य

एक रेखा जोड़ने से कोने के दोनों ढाल समान रूप से झुकते हैं और उनका अंतर नहीं मिटता।

प्रश्न 105

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)={x2+3x,x≤15x−1,x>1f(x) = \begin{cases} x^{2} + 3x, & x \le 1 \\ 5x - 1, & x > 1 \end{cases} के लिए f′(1)f'(1) क्या है?

प्रश्न 105 के विकल्प

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उत्तरD · 55

  1. 1 पर मान: 1+3=41 + 3 = 4 और 5−1=45 - 1 = 4, इसलिए वहाँ ff संतत है।

  2. ढाल: बाईं ओर 2x+3=52x + 3 = 5 और दाईं ओर 5; वे बराबर हैं, इसलिए f′(1)=5f'(1) = 5।

ध्यान देने योग्य

4, f(1)f(1) है, जोड़ पर मान, ढाल नहीं।

प्रश्न 106

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-से फलन x=0x = 0 पर अवकलनीय हैं?

I. f(x)=∣x∣sin⁡xf(x) = \lvert x \rvert \sin x

II. f(x)=∣sin⁡x∣f(x) = \lvert \sin x \rvert

III. f(x)=cos⁡∣x∣f(x) = \cos \lvert x \rvert

IV. f(x)=x+∣x∣f(x) = x + \lvert x \rvert

प्रश्न 106 के विकल्प

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उत्तरC · केवल I और III

  1. I बाईं ओर −xsin⁡x-x \sin x और दाईं ओर xsin⁡xx \sin x है, दोनों का 0 पर ढाल 0। III, cos⁡x\cos x है, क्योंकि कोसाइन सम फलन है। दोनों अवकलनीय हैं।

  2. II के ढाल −cos⁡0=−1-\cos 0 = -1 और cos⁡0=1\cos 0 = 1 हैं, एक कोना। IV बाईं ओर 0 और दाईं ओर 2x2x है, ढाल 0 और 2।

ध्यान देने योग्य

कोने पर 0 होने वाला गुणक, जैसे I में sin⁡x\sin x, या सम बाहरी फलन, जैसे III में cos⁡\cos, ∣x∣\lvert x \rvert को चिकना कर देता है।

प्रश्न 107

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=x∣x∣+∣x−1∣f(x) = x\lvert x \rvert + \lvert x - 1 \rvert।

इस फलन के लिए f′(0)f'(0) क्या है?

प्रश्न 107 के विकल्प

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उत्तरB · −1-1

  1. 0 के निकट x−1<0x - 1 < 0, इसलिए ∣x−1∣=1−x\lvert x - 1 \rvert = 1 - x, ढाल −1-1।

  2. 0 पर x∣x∣x\lvert x \rvert का ढाल 2∣x∣=02\lvert x \rvert = 0 है, इसलिए f′(0)=0−1=−1f'(0) = 0 - 1 = -1।

ध्यान देने योग्य

1 में ∣x−1∣\lvert x - 1 \rvert का ढाल +1+1 लिया; 1 के बाईं ओर यह घटता है, ढाल −1-1।

प्रश्न 108

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर फलन को x=0x = 0 पर उसके बाएँ पक्ष और दाएँ पक्ष के अवकलजों से सूची II में मिलाइए।

सूची Iसूची II
A. ∣x∣\lvert x \rvertI. −2-2 और 22
B. x+∣x∣x + \lvert x \rvertII. −3-3 और −1-1
C. ∣x∣−2x\lvert x \rvert - 2xIII. 00 और 22
D. ∣sin⁡2x∣\lvert \sin 2x \rvertIV. −1-1 और 11
प्रश्न 108 के विकल्प

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उत्तरB · A-IV, B-III, C-II, D-I

  1. हर फलन को 0 के दोनों ओर लिखिए: ∣x∣\lvert x \rvert पहले −x-x फिर xx; x+∣x∣x + \lvert x \rvert पहले 0 फिर 2x2x; ∣x∣−2x\lvert x \rvert - 2x पहले −3x-3x फिर −x-x; ∣sin⁡2x∣\lvert \sin 2x \rvert पहले −sin⁡2x-\sin 2x फिर sin⁡2x\sin 2x।

  2. 0 पर इनके ढाल, पहले बाएँ फिर दाएँ, −1,1-1, 1; 0,20, 2; −3,−1-3, -1; −2,2-2, 2 हैं।

ध्यान देने योग्य

∣sin⁡2x∣\lvert \sin 2x \rvert फिर से ∣x∣\lvert x \rvert नहीं है: भीतर का 2 दोनों ढाल दोगुने करता है।

प्रश्न 109

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

खुले अंतराल (0,3)(0, 3) में कितने बिंदुओं पर f(x)=[x]+∣x−2∣f(x) = [x] + \lvert x - 2 \rvert अवकलनीय नहीं है?

प्रश्न 109 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. [x][x], 1 और 2 पर उछलता है, इसलिए वहाँ ff संतत भी नहीं, अतः अवकलनीय नहीं।

  2. ∣x−2∣\lvert x - 2 \rvert का कोना 2 पर है, जो पहले ही गिना जा चुका है। इसलिए 2 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

3 में x=2x = 2 दो बार गिना, एक बार उछाल के लिए और एक बार कोने के लिए; वह एक ही बिंदु है।

प्रश्न 110

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=x∣x∣+∣x−1∣f(x) = x\lvert x \rvert + \lvert x - 1 \rvert।

यह फलन कितने बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है?

प्रश्न 110 के विकल्प

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उत्तरB · 11

  1. x∣x∣x\lvert x \rvert, x<0x < 0 के लिए −x2-x^{2} और x≥0x \ge 0 के लिए x2x^{2} है: 0 के दोनों ओर ढाल 0, इसलिए वहाँ कोई कोना नहीं।

  2. ∣x−1∣\lvert x - 1 \rvert का कोना 1 पर है, और चिकना x∣x∣x\lvert x \rvert उसे हटा नहीं सकता: 1 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

2 में x=0x = 0 भी गिना; वहाँ x∣x∣x\lvert x \rvert चिकना है।

प्रश्न 111

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x=2x = 2 पर f(x)=∣x2−4∣f(x) = \lvert x^{2} - 4 \rvert के बाएँ पक्ष और दाएँ पक्ष के अवकलज क्या हैं?

प्रश्न 111 के विकल्प

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उत्तरD · −4-4 और 44

  1. 2 के ठीक बाईं ओर x2−4<0x^{2} - 4 < 0, इसलिए f=4−x2f = 4 - x^{2}, ढाल −2x=−4-2x = -4।

  2. 2 के ठीक दाईं ओर f=x2−4f = x^{2} - 4, ढाल 2x=42x = 4।

ध्यान देने योग्य

−2-2 और 2 में अवकलज 2x2x का गुणक x=2x = 2 छूट गया।

प्रश्न 112

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किन aa और bb के लिए f(x)={ax2+1,x≤1x+b,x>1f(x) = \begin{cases} ax^{2} + 1, & x \le 1 \\ x + b, & x > 1 \end{cases}, x=1x = 1 पर अवकलनीय है?

प्रश्न 112 के विकल्प

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उत्तरA · a=12, b=12a = \frac{1}{2},\ b = \frac{1}{2}

  1. x=1x = 1 पर मान मिलें: a+1=b+1a + 1 = b + 1।

  2. ढाल मिलें: 2a=12 a = 1, इसलिए a=12a = \frac{1}{2}, b=12b = \frac{1}{2}।

ध्यान देने योग्य

a=1, b=1a = 1,\ b = 1 मान जोड़ता है पर ढाल 2 और 1 छोड़ता है।

प्रश्न 113

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर फलन को x=0x = 0 पर उसके व्यवहार से सूची II में मिलाइए।

सूची Iसूची II
A. x2x^{2}I. न संतत, न अवकलनीय
B. ∣x∣\lvert x \rvertII. अवकलनीय, अवकलज 0
C. ∣x∣x\frac{\lvert x \rvert}{x}, 0 पर मान 0 के साथIII. अवकलनीय, यद्यपि ∣x∣\lvert x \rvert से बना
D. ∣x∣3\lvert x \rvert^{3}IV. संतत पर अवकलनीय नहीं
प्रश्न 113 के विकल्प

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उत्तरB · A-II, B-IV, C-I, D-III

  1. 0 पर x2x^{2} का ढाल 0 है; ∣x∣\lvert x \rvert का कोना है; ∣x∣x\frac{\lvert x \rvert}{x}, −1-1 से 1 तक उछलता है।

  2. ∣x∣3\lvert x \rvert^{3} के एकपक्षीय ढाल ±3x2=0\pm 3x^{2} = 0 हैं: अवकलनीय।

प्रश्न 114

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=∣x−1∣+∣x−2∣+∣x−3∣f(x) = \lvert x - 1 \rvert + \lvert x - 2 \rvert + \lvert x - 3 \rvert कितने बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है?

प्रश्न 114 के विकल्प

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उत्तरD · 33

  1. कोने 1, 2 और 3 पर हैं।

  2. हर एक पर ढाल 2 से उछलता है, इसलिए सभी 3 बिंदुओं पर यह अवकलनीय नहीं।

ध्यान देने योग्य

1 में माना कि बीच का कोना ही एकमात्र है; हर मापांक अपना कोना लाता है।

प्रश्न 115

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किन aa और bb के लिए f(x)={x3,x≤2ax+b,x>2f(x) = \begin{cases} x^{3}, & x \le 2 \\ ax + b, & x > 2 \end{cases}, x=2x = 2 पर अवकलनीय है?

प्रश्न 115 के विकल्प

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उत्तरC · a=12, b=−16a = 12,\ b = -16

  1. x=2x = 2 पर मान मिलें: 8=2a+b8 = 2 a + b।

  2. ढाल मिलें: 12=a12 = a, इसलिए a=12a = 12, b=−16b = -16।

ध्यान देने योग्य

a=4, b=0a = 4,\ b = 0 केवल 2 पर मान जोड़ता है; वहाँ x3x^{3} का ढाल 3x2=123x^{2} = 12 है।

प्रश्न 116

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

(0,2π)(0, 2\pi) में f(x)=∣sin⁡x∣f(x) = \lvert \sin x \rvert कितने बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है?

प्रश्न 116 के विकल्प

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उत्तरB · 11

  1. (0,2π)(0, 2\pi) के भीतर sin⁡x=0\sin x = 0 केवल x=πx = \pi पर।

  2. वहाँ ∣sin⁡x∣\lvert \sin x \rvert का कोना है: 1 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

2 या 3 में 0 और 2π2\pi गिने, जिन्हें खुला अंतराल छोड़ देता है।

प्रश्न 117

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=x∣x∣f(x) = x\lvert x \rvert कितने बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है?

प्रश्न 117 के विकल्प

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उत्तरA · 00

  1. x<0x < 0 के लिए f(x)=−x2f(x) = -x^{2} और x≥0x \ge 0 के लिए x2x^{2}।

  2. 0 पर दोनों ढाल 0 हैं, इसलिए यह हर जगह अवकलनीय है: 0 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

1 में इसे ∣x∣\lvert x \rvert जैसा माना; अतिरिक्त गुणक xx कोना हटा देता है।

प्रश्न 118

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=∣x−1∣+∣x−3∣f(x) = \lvert x - 1 \rvert + \lvert x - 3 \rvert।

दो मापांकों के इस योग के लिए f′(2)f'(2) क्या है?

प्रश्न 118 के विकल्प

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उत्तरB · 00

  1. 1<x<31 < x < 3 के लिए: f(x)=(x−1)+(3−x)=2f(x) = (x - 1) + (3 - x) = 2, एक अचर।

  2. इसलिए f′(2)=0f'(2) = 0।

ध्यान देने योग्य

2 में ढाल +1+1 और +1+1 जोड़े; 1 और 3 के बीच दूसरे मापांक का ढाल −1-1 है।

प्रश्न 119

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा x=πx = \pi पर f(x)=∣sin⁡x∣f(x) = \lvert \sin x \rvert का वर्णन करता है?

प्रश्न 119 के विकल्प

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उत्तरD · संतत पर अवकलनीय नहीं

  1. दोनों ओर से 0 = f(π)f(\pi): संतत।

  2. बाईं ओर ढाल cos⁡π=−1\cos \pi = -1 और दाईं ओर −cos⁡π=1-\cos \pi = 1: कोना।

ध्यान देने योग्य

जहाँ sin⁡x\sin x, 0 को पार करता है, मापांक उसका ढाल उलट देता है।

प्रश्न 120

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किन aa और bb के लिए f(x)={ax+b,x<2x2−1,x≥2f(x) = \begin{cases} ax + b, & x < 2 \\ x^{2} - 1, & x \ge 2 \end{cases}, x=2x = 2 पर अवकलनीय है?

प्रश्न 120 के विकल्प

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उत्तरA · a=4, b=−5a = 4,\ b = -5

  1. मान मिलें: 2a+b=32a + b = 3। ढाल मिलें: a=4a = 4।

  2. इसलिए b=3−8=−5b = 3 - 8 = -5।

ध्यान देने योग्य

a=2, b=−1a = 2,\ b = -1 मान जोड़ता है पर ढाल 2x=42x = 4 के बजाय 2 लेता है।

प्रश्न 121

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. x≠0x \ne 0 के लिए f(x)=x2sin⁡1xf(x) = x^{2} \sin \frac{1}{x}, और f(0)=0f(0) = 0, x=0x = 0 पर अवकलनीय है।

II. x≠0x \ne 0 के लिए g(x)=xsin⁡1xg(x) = x \sin \frac{1}{x}, और g(0)=0g(0) = 0, x=0x = 0 पर अवकलनीय है।

प्रश्न 121 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I: f(h)−f(0)h=hsin⁡1h→0\frac{f(h) - f(0)}{h} = h \sin \frac{1}{h} \to 0, इसलिए f′(0)=0f'(0) = 0। सही।

  2. II: g(h)−g(0)h=sin⁡1h\frac{g(h) - g(0)}{h} = \sin \frac{1}{h}, जो −1-1 और 1 के बीच झूलता रहता है और जिसकी कोई सीमा नहीं। गलत, यद्यपि gg, 0 पर संतत है।

ध्यान देने योग्य

0 पर सांतत्य से अवकलनीयता नहीं मिलती: gg का अंतर-भागफल कभी स्थिर नहीं होता।

प्रश्न 122

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x=1x = 1 पर f(x)=[x]sin⁡πxf(x) = [x] \sin \pi x के बाएँ पक्ष और दाएँ पक्ष के अवकलज क्या हैं?

प्रश्न 122 के विकल्प

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उत्तरA · 00 और −π-\pi

  1. 1 के ठीक बाईं ओर [x]=0[x] = 0, इसलिए वहाँ f(x)=0f(x) = 0: बाएँ पक्ष का अवकलज 0 है।

  2. 1 पर और उसके ठीक दाईं ओर [x]=1[x] = 1, इसलिए f(x)=sin⁡πxf(x) = \sin \pi x, जिसका 1 पर ढाल πcos⁡π=−π\pi \cos \pi = -\pi है।

ध्यान देने योग्य

−π-\pi और −π-\pi में दोनों ओर [x][x] को 1 माना; 1 के बाईं ओर यह 0 है, जो ff को समतल कर देता है।

प्रश्न 123

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना f(x)=x∣x∣+∣x−1∣f(x) = x\lvert x \rvert + \lvert x - 1 \rvert।

x=1x = 1 पर इस फलन का दाएँ पक्ष का अवकलज क्या है?

प्रश्न 123 के विकल्प

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उत्तरD · 33

  1. x>1x > 1 के लिए x∣x∣=x2x\lvert x \rvert = x^{2} और ∣x−1∣=x−1\lvert x - 1 \rvert = x - 1, इसलिए f(x)=x2+x−1f(x) = x^{2} + x - 1।

  2. 1 पर इसका ढाल 2(1)+1=32(1) + 1 = 3 है।

ध्यान देने योग्य

1 बाएँ पक्ष का अवकलज है, x2+1−xx^{2} + 1 - x का ढाल; 1 पर कोना दोनों पक्षों को भिन्न बनाता है।

प्रश्न 124

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किन aa और bb के लिए f(x)={ax2+b,x<11x,x≥1f(x) = \begin{cases} ax^{2} + b, & x < 1 \\ \frac{1}{x}, & x \ge 1 \end{cases}, x=1x = 1 पर अवकलनीय है?

प्रश्न 124 के विकल्प

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उत्तरD · a=−12, b=32a = -\frac{1}{2},\ b = \frac{3}{2}

  1. x=1x = 1 पर मान मिलें: a+b=1a + b = 1। ढाल मिलें: x=1x = 1 पर 2a=−1x2=−12a = -\frac{1}{x^{2}} = -1।

  2. इसलिए a=−12a = -\frac{1}{2} और b=1−a=32b = 1 - a = \frac{3}{2}।

ध्यान देने योग्य

a=12, b=12a = \frac{1}{2},\ b = \frac{1}{2} में 1 पर 1x\frac{1}{x} का ढाल +1+1 लिया; वह −1x2=−1-\frac{1}{x^{2}} = -1 है।

प्रश्न 125

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

f(x)=∣(x−1)2(x−3)∣f(x) = \lvert (x - 1)^{2}(x - 3) \rvert कितने बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है?

प्रश्न 125 के विकल्प

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उत्तरB · 11

  1. u=(x−1)2(x−3)u = (x - 1)^{2}(x - 3), x=1x = 1 और x=3x = 3 पर 0 है। 3 पर इसका चिह्न बदलता है, इसलिए वहाँ ∣u∣\lvert u \rvert का कोना है, ढाल −4-4 और 4।

  2. 1 पर द्विमूल दोनों ओर u≤0u \le 0 रखता है, इसलिए 1 के निकट f=−uf = -u, ढाल 0 वाला एक चिकना वक्र। इसलिए 1 बिंदु।

ध्यान देने योग्य

2 में द्विमूल 1 भी गिना; वहाँ uu चिह्न बदले बिना 0 को छूता है, इसलिए मापांक उसे नहीं मोड़ता।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।