CUET गणित के लिए शृंखला नियम, लघुगणकीय अवकलन और परिवर्तन की दर

Q: शृंखला नियम क्या है?

यदि y = f(u) और u = g(x), तो dy/dx = dy/du · du/dx । बाहरी फलन का अवकलन कीजिए, भीतरी भाग को वैसा ही रखिए, फिर भीतरी के अवकलज से गुणा कीजिए। अधिक परतें हों तो हर परत का एक गुणक।

Q: भीतरी फलन के साथ चरघातांकी या लघुगणक का अवकलन कैसे करते हैं?

d/dx e^u = e^u u' और d/dxlog u = (u')/u । इस प्रकार d/dxlog(sin x) = cot x और d/dx e^x^2 = 2xe^x^2 ।

Q: अवकलन से पहले लघुगणक कब लेना चाहिए?

जब आधार और घात दोनों बदलते हों, जैसे x^x या x^cos x में, तब न घात नियम लागू होता है न a^x का नियम। लघुगणक लीजिए, दोनों पक्षों का अवकलन कीजिए और y से वापस गुणा कीजिए। लघुगणक लंबे गुणनफल या भागफल को योग में भी बदल देता है।

सीखने में लगभग 5 मिनट · 130 प्रश्न

यह वह अवकलन है जो CUET गणित Section B1, Section A में जोड़ता है: फलनों के भीतर फलन, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, x की घात x जैसी घातें, और परिवर्तन की दरें। विधि स्पष्ट हो जाए तो हर प्रश्न कुछ पंक्तियों का अवकलज है। शृंखला नियम और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज से लेकर शृंखला में चरघातांकी और लघुगणक, लघुगणकीय अवकलन और परिवर्तन की दरों तक, हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र: Section B1: Mathematics

इस पृष्ठ पर · 10 भाग

01फलनों के भीतर फलन
02प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज
03चरघातांकी और लघुगणकीय फलन
04लघुगणकीय अवकलन
05राशियों के परिवर्तन की दर
06CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
07परीक्षा के लिए शॉर्टकट
08आम भूलें
09त्वरित पुनरावृत्ति
10अपनी समझ जाँचें

फलनों के भीतर फलन

एक गोलाकार गुब्बारा इस प्रकार फुलाया जाता है कि उसकी त्रिज्या हर सेकंड आधा सेंटीमीटर बढ़ती है। जब त्रिज्या 6 cm है, उसका आयतन कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है? आयतन त्रिज्या पर निर्भर है, और त्रिज्या समय पर। शृंखला नियम दोनों दरों को जोड़ता है, और अध्याय के अंत तक हमारे पास उत्तर होगा।

शृंखला नियम क्या है?

यदि $y = f(u)$ और $u = g(x)$ , तो $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ । बाहरी फलन का अवकलन कीजिए, भीतरी भाग को वैसा ही रखिए, फिर भीतरी के अवकलज से गुणा कीजिए। अधिक परतें हों तो हर परत का एक गुणक।

उदाहरण 1 · दो परतें

$\frac{d}{dx}\cos(x^{3})$ ज्ञात कीजिए।

बाहर $\cos u$ , भीतर $u = x^{3}$ ।
$-\sin(x^{3}) \cdot 3x^{2}$ ।

उत्तर

-3x^{2}\sin(x^{3})

सावधान

$\sin^{2} x$ और $\sin(x^{2})$ भिन्न फलन हैं। पहले से $2\sin x\cos x$ मिलता है; दूसरे से $2x\cos(x^{2})$ ।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज क्या हैं?

फलन	अवकलज
$\sin^{-1} x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\cos^{-1} x$	$-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\tan^{-1} x$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$
$\cot^{-1} x$	$-\frac{1}{1 + x^{2}}$
$\sec^{-1} x$ , $x > 1$	$\frac{1}{x\sqrt{x^{2} - 1}}$

भीतरी फलन $u$ के साथ, $u'$ से गुणा कीजिए और $x$ के स्थान पर $u$ रखिए।

उदाहरण 2 · घात का प्रतिलोम फलन

$\lvert x \rvert < 1$ के लिए $\frac{d}{dx}\sin^{-1}(x^{2})$ ज्ञात कीजिए।

$u = x^{2}$ , $u' = 2x$ के साथ $\frac{u'}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ ।
$\frac{2x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ ।

उत्तर

\frac{2x}{\sqrt{1 - x^{4}}}

मुख्य बात

कुछ व्यंजक अवकलन से पहले सरल हो जाते हैं। $x = \tan \theta$ रखने पर $\frac{2x}{1 - x^{2}} = \tan 2\theta$ , इसलिए $\lvert x \rvert < 1$ के लिए $\tan^{-1}\left(\frac{2x}{1 - x^{2}}\right) = 2\tan^{-1} x$ , जिसका अवकलज $\frac{2}{1 + x^{2}}$ है।

चरघातांकी और लघुगणकीय फलन

भीतरी फलन के साथ चरघातांकी या लघुगणक का अवकलन कैसे करते हैं?

$\frac{d}{dx} e^{u} = e^{u} u'$ और $\frac{d}{dx}\log u = \frac{u'}{u}$ । इस प्रकार $\frac{d}{dx}\log(\sin x) = \cot x$ और $\frac{d}{dx} e^{x^{2}} = 2xe^{x^{2}}$ ।

लघुगणकीय अवकलन

अवकलन से पहले लघुगणक कब लेना चाहिए?

जब आधार और घात दोनों बदलते हों, जैसे $x^{x}$ या $x^{\cos x}$ में, तब न घात नियम लागू होता है न $a^{x}$ का नियम। लघुगणक लीजिए, दोनों पक्षों का अवकलन कीजिए और $y$ से वापस गुणा कीजिए। लघुगणक लंबे गुणनफल या भागफल को योग में भी बदल देता है।

उदाहरण 3 · बदलता आधार और घात

$x > 0$ के लिए $y = x^{\cos x}$ का $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

$\log y = \cos x \log x$ ।
$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = -\sin x\log x + \frac{\cos x}{x}$ ।

उत्तर

\frac{dy}{dx} = x^{\cos x}\left(\frac{\cos x}{x} - \sin x\log x\right)

राशियों के परिवर्तन की दर

एक राशि की दर से दूसरी राशि के बदलने की दर कैसे निकालते हैं?

राशि को उस राशि के रूप में लिखिए जिसकी दर ज्ञात है, समय के सापेक्ष अवकलन कीजिए, और पूछे गए क्षण के मान रखिए। ऋणात्मक दर का अर्थ है राशि घट रही है।

उदाहरण 4 · गुब्बारा

गुब्बारे की त्रिज्या $0.5$ cm/s से बढ़ती है। जब त्रिज्या 6 cm है, आयतन कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?

$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$ , इसलिए $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}$ ।
$4\pi \times 36 \times 0.5 = 72\pi$ ।

उत्तर

$72\pi$ cm³/s

उदाहरण 5 · किसी चर के सापेक्ष दर

जब त्रिज्या 4 cm है, वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर त्रिज्या के सापेक्ष क्या है?

$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^{2}) = 2\pi r$ ।
$r = 4$ पर: $8\pi$ ।

उत्तर

$8\pi$ cm² प्रति cm

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

शृंखला नियम: संयुक्त फलन का अवकलज, व्यंजक के रूप में या किसी बिंदु पर।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय: सीधे अवकलज, या $x = \tan \theta$ जैसे प्रतिस्थापन के बाद।
लघुगणकीय अवकलन: $x^{x}$ , $x^{\sin x}$ , लंबा गुणनफल, या जहाँ ऐसा अवकलज शून्य हो।
दरें: समय के साथ बदलते क्षेत्रफल और आयतन, सीमांत आय, स्थिति से वेग।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

$\frac{d}{dx} x^{x} = x^{x}(1 + \log x)$ ।
हर $x \ne 0$ के लिए $\frac{d}{dx}\log \lvert x \rvert = \frac{1}{x}$ ।
$\frac{d}{dx}\sin^{-1} x + \frac{d}{dx}\cos^{-1} x = 0$ ।
संबंधित दरें: $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}$ ; गुणा कीजिए, $\frac{dV}{dr}$ पर कभी न रुकें।

आम भूलें

भीतरी फलन के अवकलज से पहले रुक जाना।
$x^{x}$ में घात को अचर मान लेना।
$\cos^{-1}$ या $\cot^{-1}$ का ऋण चिह्न छोड़ देना।
प्रश्न $\frac{dA}{dt}$ पूछे तब $\frac{dA}{dr}$ देना।

त्वरित पुनरावृत्ति

शृंखला नियम

बाहरी, भीतरी वैसा ही, गुणा भीतरी का अवकलज
हर परत का एक गुणक

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय और लघुगणक

$\tan^{-1} x \to \frac{1}{1 + x^{2}}$ ; $\sin^{-1} x \to \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\log u \to \frac{u'}{u}$ ; $x^{x}$ : लघुगणक लीजिए

दरें

लिखिए, $t$ में अवकलन, मान रखिए
ऋणात्मक दर: घटता हुआ

Section B1 में आगे, समाकलन वक्रीय क्षेत्रों का क्षेत्रफल मापता है: परिबद्ध क्षेत्रों का क्षेत्रफल।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

130 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

शृंखला नियमप्र1 / 130प्र1

शृंखला नियम

28 प्रश्न

प्रश्न 1

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sin{\left(x^{2} \right)}\right)$ क्या है?

\cos{\left(x^{2} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 x \cos{\left(x^{2} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 x \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

- 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2 x \cos{\left(x^{2} \right)}$

बाहर $\sin u$ , भीतर $u = x^{2}$ : $\cos u \cdot u'$ ।
$\cos(x^{2}) \cdot 2x$ ।

ध्यान देने योग्य

$\cos(x^{2})$ भीतर वाले भाग के अवकलज $2x$ से गुणा करने से पहले रुक गया।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \left(2 x + 1\right)^{5}$ , तो $f'\left(0\right)$ क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

32

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $10$

$f'(x) = 5(2x + 1)^{4} \cdot 2 = 10(2x + 1)^{4}$ ।
$f'(0) = 10$ ।

ध्यान देने योग्य

5 में भीतर का गुणक 2 भूल गए।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\left(3 x^{2} - 5\right)^{4}\right)$ क्या है?

4 \left(3 x^{2} - 5\right)^{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

6 x \left(3 x^{2} - 5\right)^{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

24 x \left(3 x^{2} - 5\right)^{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

24 x \left(3 x^{2} - 5\right)^{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $24 x \left(3 x^{2} - 5\right)^{3}$

$u = 3x^{2} - 5$ , $u' = 6x$ के साथ $\frac{d}{dx} u^{4} = 4u^{3} u'$ ।
$4(3x^{2} - 5)^{3} \cdot 6x = 24x(3x^{2} - 5)^{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$4(3x^{2} - 5)^{3}$ में भीतरी अवकलज $6x$ छूट गया।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$t$ सेकंड बाद एक कण की किसी बिंदु से दूरी $s = \sqrt{t^{2} + 16}$ मीटर है।

आरंभ में कण उस बिंदु से कितनी दूर है?

0 mसही उत्तरआपका उत्तर4 mसही उत्तरआपका उत्तर5 mसही उत्तरआपका उत्तर16 mसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 4 m

$t = 0$ पर: $s = \sqrt{16}$ ।
4 m।

ध्यान देने योग्य

16 वर्गमूल के भीतर है।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$t$ सेकंड बाद एक कण की किसी बिंदु से दूरी $s = \sqrt{t^{2} + 16}$ मीटर है।

$t = 3$ s पर कण का वेग क्या है?

0.1 m/sसही उत्तरआपका उत्तर0.6 m/sसही उत्तरआपका उत्तर1.2 m/sसही उत्तरआपका उत्तर5 m/sसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 0.6 m/s

$\frac{3}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{3}{5}$ ।
0.6 m/s।

ध्यान देने योग्य

5 m, $t = 3$ पर दूरी है, वेग नहीं।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \left(x^{2} + 1\right)^{3}$ , तो $f'\left(1\right)$ क्या है?

6

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

24

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $24$

$f'(x) = 3(x^{2} + 1)^{2} \cdot 2x$ ।
1 पर: $3 \times 4 \times 2 = 24$ ।

ध्यान देने योग्य

12 में भीतरी गुणक $2x = 2$ भूल गए।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sec 3x\right)$ क्या है?

\tan 3x \sec 3x

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \sec^{2} 3x

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \tan^{2} 3x

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \tan 3x \sec 3x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $3 \tan 3x \sec 3x$

$u = 3x$ के साथ $\frac{d}{dx}\sec u = \sec u\tan u \cdot u'$ ।
$3\sec 3x\tan 3x$ ।

ध्यान देने योग्य

$\sec 3x\tan 3x$ में भीतर का 3 भूल गए।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अवकलनीय फलनों $f$ और $g$ के लिए $g(1) = 2$ , $g'(1) = -4$ , $f'(1) = 7$ और $f'(2) = 3$ हैं। $x = 1$ पर $f(g(x))$ का अवकलज क्या है?

-28

सही उत्तरआपका उत्तर

-12

सही उत्तरआपका उत्तर

-8

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $-12$

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ ।
1 पर: $f'(g(1)) \cdot g'(1) = f'(2) \times (-4) = 3 \times (-4) = -12$ ।

ध्यान देने योग्य

$-28$ में $f'(1)$ लिया; बाहरी अवकलज भीतरी मान $g(1) = 2$ पर लिया जाता है।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(3x^{2} + 1)^{2}}\right)$ क्या है?

-\frac{12x}{(3x^{2} + 1)^{3}}

सही उत्तरआपका उत्तर

-\frac{2}{(3x^{2} + 1)^{3}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{12x(3x^{2} + 1)}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{12x}{(3x^{2} + 1)^{3}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-\frac{12x}{(3x^{2} + 1)^{3}}$

इसे $u = 3x^{2} + 1$ के साथ $u^{-2}$ लिखिए: अवकलज $-2u^{-3} \cdot u'$ है, $u' = 6x$ ।
$-2(3x^{2} + 1)^{-3} \cdot 6x = -\frac{12x}{(3x^{2} + 1)^{3}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\frac{2}{(3x^{2} + 1)^{3}}$ भीतरी अवकलज $6x$ से गुणा करने से पहले रुक गया।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\cot 4x\right)$ , $0 < x < \frac{\pi}{4}$ के लिए, क्या है?

-\operatorname{cosec}^{2} 4x

सही उत्तरआपका उत्तर

4\operatorname{cosec}^{2} 4x

सही उत्तरआपका उत्तर

-4\operatorname{cosec}^{2} 4x

सही उत्तरआपका उत्तर

-4\operatorname{cosec} 4x\cot 4x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $-4\operatorname{cosec}^{2} 4x$

$u = 4x$ के साथ $\frac{d}{dx}\cot u = -\operatorname{cosec}^{2} u \cdot u'$ ।
$-\operatorname{cosec}^{2} 4x \cdot 4 = -4\operatorname{cosec}^{2} 4x$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\operatorname{cosec}^{2} 4x$ में भीतर का गुणक 4 भूल गए।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $\frac{d}{dx}\sin^{2} x = \sin 2x$ ।

II. $\frac{d}{dx}\sin(x^{2}) = \cos(x^{2})$ ।

केवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIसही उत्तरआपका उत्तरI और II दोनोंसही उत्तरआपका उत्तरन I, न IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: $2\sin x\cos x = \sin 2x$ । सही।
II: भीतरी $x^{2}$ एक गुणक $2x$ देता है, इसलिए यह $2x\cos(x^{2})$ है। गलत।

ध्यान देने योग्य

$\sin^{2} x$ ज्या का वर्ग है; $\sin(x^{2})$ कोण का, और दोनों के अवकलज भिन्न हैं।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{3} + 1}\right)$ क्या है?

\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2 \sqrt{x^{3} + 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 1}}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 1}}$

$u = 1 + x^{3}$ के साथ $\frac{d}{dx}\sqrt{u} = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ ।
$\frac{3x^{2}}{2\sqrt{1 + x^{3}}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2\sqrt{1 + x^{3}}}$ में मूल का अवकलज लिया पर उसके भीतर $x^{3}$ का नहीं।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\cos^{3} 2x\right)$ क्या है?

3 \cos^{2} 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

- 3 \sin 2x \cos^{2} 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

- 6 \sin 2x \cos^{2} 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

6 \sin 2x \cos^{2} 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $- 6 \sin 2x \cos^{2} 2x$

तीन परतें: $u^{3}$ , फिर $\cos v$ , फिर $v = 2x$ ।
$3\cos^{2} 2x \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -6\cos^{2} 2x\,\sin 2x$ ।

ध्यान देने योग्य

$-3\cos^{2} 2x\,\sin 2x$ में सबसे भीतरी गुणक 2 छूट गया।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sin{\left(\cos x \right)}\right)$ क्या है?

\cos{\left(\cos x \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \sin x \cos{\left(\cos x \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \cos{\left(\sin x \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sin x \cos{\left(\cos x \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $- \sin x \cos{\left(\cos x \right)}$

बाहर $\sin u$ , भीतर $u = \cos x$ , $u' = -\sin x$ ।
$\cos(\cos x) \cdot (-\sin x)$ ।

ध्यान देने योग्य

$\sin x\cos(\cos x)$ में $\frac{d}{dx}\cos x$ का ऋण चिह्न खो गया।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$t$ सेकंड बाद एक कण की किसी बिंदु से दूरी $s = \sqrt{t^{2} + 16}$ मीटर है।

किस समय कण क्षण भर के लिए विराम में है?

t = 0

परसही उत्तरआपका उत्तर

t = 4

परसही उत्तरआपका उत्तर

t = 16

परसही उत्तरआपका उत्तरकभी नहींसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $t = 0$ पर

विराम का अर्थ $\frac{t}{\sqrt{t^{2} + 16}} = 0$ ।
ऐसा केवल $t = 0$ पर होता है।

ध्यान देने योग्य

$t = 4$ से मूल के भीतर दोनों पद बराबर होते हैं; वेग 0 नहीं होता।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , तो $f'\left(4\right)$ क्या है?

\frac{1}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{4}{5}$

$f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 9}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}}$ ।
4 पर: $\frac{4}{5}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{10}$ तो $\frac{1}{2\sqrt{25}}$ है, भीतरी $2x = 8$ के बिना।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \sin^{2} 2x$ , तो $f'\left(\frac{\pi}{8}\right)$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2$

$f'(x) = 2\sin 2x \cdot \cos 2x \cdot 2 = 2\sin 4x$ ।
$\frac{\pi}{8}$ पर: $2\sin \frac{\pi}{2} = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

1 में $2x$ का भीतरी गुणक 2 छूट गया।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\sin x}\right)$ , $0 < x < \pi$ के लिए, क्या है?

\frac{\cos x}{2 \sqrt{\sin x}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2 \sqrt{\sin x}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\sqrt{\cos x}}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{\cos x}{2 \sqrt{\sin x}}$

$u = \sin x$ के साथ $\frac{d}{dx}\sqrt{u} = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ ।
$\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}$ में $\cos x$ से गुणा करने से पहले रुक गए।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sin^{3} x\right)$ क्या है?

3 \sin^{2} x

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \sin^{2} x \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

\cos^{3} x

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \cos^{2} x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $3 \sin^{2} x \cos x$

बाहर $u^{3}$ , भीतर $u = \sin x$ ।
$3\sin^{2} x \cdot \cos x$ ।

ध्यान देने योग्य

$3\sin^{2} x$ में गुणक $\cos x$ छूट गया।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)}\right)$ , $x > 0$ के लिए, क्या है?

- \sin{\left(\sqrt{x} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

$-\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$ ।
$-\frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\sin\sqrt{x}$ में $\sqrt{x}$ के अवकलज से पहले रुक गए।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$t$ सेकंड बाद एक कण की किसी बिंदु से दूरी $s = \sqrt{t^{2} + 16}$ मीटर है।

कण का वेग $\frac{ds}{dt}$ क्या है?

\frac{t}{\sqrt{t^{2} + 16}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2\sqrt{t^{2} + 16}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2t}{\sqrt{t^{2} + 16}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{2t}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{t}{\sqrt{t^{2} + 16}}$

$u = t^{2} + 16$ के साथ $\frac{d}{dt}\sqrt{u} = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ ।
$\frac{2t}{2\sqrt{t^{2} + 16}} = \frac{t}{\sqrt{t^{2} + 16}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2\sqrt{t^{2} + 16}}$ में भीतरी $2t$ छूट गया।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sin x^{\circ}\right)$ , $x$ अंशों में होने पर, क्या है?

\cos x^{\circ}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{180}{\pi}\cos x^{\circ}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{180}\cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{180}\cos x^{\circ}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{\pi}{180}\cos x^{\circ}$

$x^{\circ} = \frac{\pi x}{180}$ रेडियन, इसलिए $\sin x^{\circ} = \sin\frac{\pi x}{180}$ ।
शृंखला नियम: $\cos\frac{\pi x}{180} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{180}\cos x^{\circ}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\cos x^{\circ}$ में अंशों वाले कोण पर रेडियन वाला नियम $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ लगाया, गुणक $\frac{\pi}{180}$ खो गया।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $f(x) = \sin(x^{2})$ के लिए हर $x$ पर $f'(-x) = -f'(x)$ ।

कारण (R): किसी अवकलनीय विषम फलन का अवकलज एक सम फलन होता है।

A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।सही उत्तरआपका उत्तरA और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।सही उत्तरआपका उत्तरA सही है, लेकिन R गलत है।सही उत्तरआपका उत्तरA गलत है, लेकिन R सही है।सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · A और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।

A सही है: $f'(x) = 2x\cos(x^{2})$ , और $f'(-x) = -2x\cos(x^{2}) = -f'(x)$ ।
R सही है ( $g(-x) = -g(x)$ का शृंखला नियम से अवकलन कीजिए), पर $\sin(x^{2})$ सम है, इसलिए A सम फलनों के नियम से आता है, R से नहीं।

ध्यान देने योग्य

R विषम फलनों की बात करता है; $\sin(x^{2})$ सम है, इसलिए R सही होते हुए भी A का कारण नहीं है।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक अवकलनीय फलन $f$ के लिए $f'(4) = 6$ है। यदि $F(x) = f(\sqrt{x})$ , तो $F'(16)$ क्या है?

\frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

48

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{3}{4}$

$F'(x) = f'(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$ ।
16 पर: $\sqrt{16} = 4$ , इसलिए $F'(16) = f'(4) \cdot \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

6 केवल $f'(4)$ है; भीतरी $\sqrt{x}$ गुणक $\frac{1}{2\sqrt{16}} = \frac{1}{8}$ देता है।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{x}}$ , तो $f'\left(9\right)$ क्या है?

\frac{1}{24}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{24}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + \sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , हर परत का एक गुणक।
9 पर: $\sqrt{x} = 3$ और $\sqrt{1 + 3} = 2$ , इसलिए $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{24}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{4}$ में केवल बाहरी मूल का अवकलज लिया, भीतरी $\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{6}$ के बिना।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर फलन को सूची II में $x = 0$ पर उसके अवकलज के मान से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $(1 - 3x)^{4}$	I. $4$
B. $\sqrt{1 + 8x}$	II. $-6$
C. $\tan 3x$	III. $-12$
D. $\frac{1}{(1 + 2x)^{3}}$	IV. $3$

A-II, B-I, C-IV, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-III, B-IV, C-I, D-IIसही उत्तरआपका उत्तरA-III, B-I, C-IV, D-IIसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · A-III, B-I, C-IV, D-II

A: 0 पर $4(1 - 3x)^{3}(-3)$ का मान $-12$ है। B: 0 पर $\frac{8}{2\sqrt{1 + 8x}}$ का मान 4 है।
C: 0 पर $3\sec^{2} 3x$ का मान 3 है। D: 0 पर $-3(1 + 2x)^{-4} \cdot 2$ का मान $-6$ है।

ध्यान देने योग्य

हर भीतरी अवकलज ( $-3$ , 8, 3 और 2) बाहरी अवकलज से गुणा होता है; किसी को छोड़ने से मान बदल जाता है।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sin^{3} x\cos 3x\right)$ क्या है?

3\sin^{2} x\cos 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

3\sin^{2} x\cos x\cos 3x

सही उत्तरआपका उत्तर

-9\sin^{2} x\cos x\sin 3x

सही उत्तरआपका उत्तर

3\sin^{2} x\cos 4x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $3\sin^{2} x\cos 4x$

गुणनफल नियम: $3\sin^{2} x\cos x \cdot \cos 3x + \sin^{3} x \cdot (-3\sin 3x)$ ।
$3\sin^{2} x(\cos x\cos 3x - \sin x\sin 3x) = 3\sin^{2} x\cos 4x$ ।

ध्यान देने योग्य

$3\sin^{2} x\cos 2x$ में $\cos 3x$ का अवकलज $+3\sin 3x$ लिया, जिससे $\cos(x + 3x)$ की जगह $\cos(3x - x)$ बन गया।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{5}$ , तो $f'\left(\frac{3}{4}\right)$ क्या है?

48

सही उत्तरआपका उत्तर

80

सही उत्तरआपका उत्तर

128

सही उत्तरआपका उत्तर

200

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $128$

$f'(x) = 5\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{4}\left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = \frac{5\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ।
$\frac{3}{4}$ पर: $\sqrt{x^{2} + 1} = \frac{5}{4}$ और $x + \sqrt{x^{2} + 1} = 2$ , इसलिए $f' = \frac{5 \times 32}{5/4} = 128$ ।

ध्यान देने योग्य

80 तो $5 \times 2^{4}$ है, केवल बाहरी अवकलज, भीतरी गुणक $1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{8}{5}$ के बिना।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज

24 प्रश्न

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sin^{-1}{\left(2 x \right)}\right)$ , $\lvert x \rvert < \frac{1}{2}$ के लिए, क्या है?

\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{4 x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

$u = 2x$ के साथ $\frac{d}{dx}\sin^{-1} u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ ।
$\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^{2}}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{\sqrt{1 - 4x^{2}}}$ में भीतर का गुणक 2 भूल गए।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \tan^{-1}{\left(x \right)}$ , तो $f'\left(1\right)$ क्या है?

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{2}$

$\frac{d}{dx}\tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^{2}}$ ।
$x = 1$ पर: $\frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\pi}{4}$ स्वयं $\tan^{-1} 1$ है, फलन का मान, उसका ढाल नहीं।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{\left(x^{2} \right)}\right)$ क्या है?

\frac{1}{x^{4} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 x}{x^{4} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 x}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 x}{1 - x^{4}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$

$u = x^{2}$ के साथ $\frac{d}{dx}\tan^{-1} u = \frac{u'}{1 + u^{2}}$ ।
$\frac{2x}{1 + x^{4}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2x}{1 + x^{2}}$ में हर में $x^{2}$ के बजाय $x$ का वर्ग लिया।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{\left(3 x \right)}\right)$ क्या है?

\frac{3}{9 x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{9 x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{3 x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{3}{9 x^{2} + 1}$

$u = 3x$ के साथ $\frac{u'}{1 + u^{2}}$ ।
$\frac{3}{1 + 9x^{2}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{1 + 3x^{2}}$ में $x$ के साथ 3 का वर्ग करना भूल गए।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\cot^{-1}(x^{2})\right)$ क्या है?

\frac{2x}{1 + x^{4}}

सही उत्तरआपका उत्तर

-\frac{1}{1 + x^{4}}

सही उत्तरआपका उत्तर

-\frac{2x}{1 + x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

-\frac{2x}{1 + x^{4}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $-\frac{2x}{1 + x^{4}}$

$u = x^{2}$ , $u' = 2x$ के साथ $\frac{d}{dx}\cot^{-1} u = -\frac{u'}{1 + u^{2}}$ ।
$-\frac{2x}{1 + x^{4}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2x}{1 + x^{4}}$ , $\tan^{-1}(x^{2})$ का अवकलज है; $\cot^{-1}$ में ऋण चिह्न होता है।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\sqrt{x}\right)$ , $x > 0$ के लिए, क्या है?

\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{1 + x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x^{2})}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}$

$u = \sqrt{x}$ , $u^{2} = x$ और $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ के साथ $\frac{u'}{1 + u^{2}}$ ।
$\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{1 + x}$ भीतरी अवकलज $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ से गुणा करने से पहले रुक गया।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $\lvert x \rvert < 1$ के लिए $\frac{d}{dx}\sin^{-1} x + \frac{d}{dx}\cos^{-1} x = 0$ ।

II. $\frac{d}{dx}\tan^{-1} x = \sec^{2} x$ ।

III. $\frac{d}{dx}\cot^{-1} x = -\frac{1}{1 + x^{2}}$ ।

IV. $x > 1$ के लिए $\frac{d}{dx}\sec^{-1} x = \frac{1}{x\sqrt{x^{2} - 1}}$ ।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · केवल I, III और IV

I: $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0$ । III और IV मानक परिणाम हैं।
II गलत है: $\sec^{2} x$ , $\tan x$ का अवकलज है; $\tan^{-1} x$ से $\frac{1}{1 + x^{2}}$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

II में प्रतिलोम फलन को $\tan$ के अवकलज से उलझा दिया।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\cos^{-1}{\left(3 x \right)}\right)$ , $\lvert x \rvert < \frac{1}{3}$ के लिए, क्या है?

\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{3}{9 x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $- \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$

$u = 3x$ के साथ $\frac{d}{dx}\cos^{-1} u = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ ।
$-\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^{2}}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^{2}}}$ , $\sin^{-1} 3x$ का अवकलज है; $\cos^{-1}$ में ऋण चिह्न होता है।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{\left(e^{x} \right)}\right)$ क्या है?

\frac{1}{2 \cosh{\left(x \right)}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{e^{2 x} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{e^{x}}{1 - e^{2 x}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{2 \cosh{\left(x \right)}}$

$u = e^{x}$ के साथ $u' = e^{x}$ और $u^{2} = e^{2x}$ ।
$\frac{e^{x}}{1 + e^{2x}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ में हर में $e^{x}$ का वर्ग करना भूल गए।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \sin^{-1}{\left(x \right)}$ , तो $f'\left(\frac{1}{2}\right)$ क्या है?

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\sqrt{3}}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\frac{d}{dx}\sin^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ।
$\frac{1}{2}$ पर: $\frac{1}{\sqrt{3/4}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ स्वयं $\sqrt{1 - x^{2}}$ है; अवकलज उसका व्युत्क्रम है।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sin^{-1}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)$ , $\lvert x \rvert < 2$ के लिए, क्या है?

\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

$\frac{1/2}{\sqrt{1 - x^{2}/4}} = \frac{1/2}{\frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}}}$ ।
$= \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ में 2 से गुणा किया, जबकि भीतरी भाग $\frac{1}{2}$ देता है।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)$ , $x > 0$ के लिए, क्या है?

\frac{1}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $- \frac{1}{x^{2} + 1}$

$u = \frac{1}{x}$ , $u' = -\frac{1}{x^{2}}$ के साथ $\frac{u'}{1 + u^{2}}$ ।
$\frac{-1/x^{2}}{1 + 1/x^{2}} = -\frac{1}{x^{2} + 1}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ का आकार ठीक है पर $\frac{d}{dx}\frac{1}{x}$ का ऋण चिह्न खो गया।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = x\tan^{-1} x$ , तो $f'\left(\sqrt{3}\right)$ क्या है?

\frac{\sqrt{3}}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}$

गुणनफल नियम: $f'(x) = \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^{2}}$ ।
$\sqrt{3}$ पर: $\tan^{-1}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$ और $\frac{\sqrt{3}}{1 + 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ , इसलिए $f' = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\pi}{3}$ में केवल पद $\tan^{-1} x$ रखा और $x \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$ छोड़ दिया।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $-1 < x < 1$ के लिए $\frac{d}{dx}\tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ।

कारण (R): $-1 < x < 1$ के लिए $\tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right) = \sin^{-1} x$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

R: $x = \sin\theta$ रखिए, जहाँ $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ ; तब $\sqrt{1 - x^{2}} = \cos\theta > 0$ , भिन्न $\tan\theta$ है, और फलन $\theta = \sin^{-1} x$ है। सही।
A तुरंत मिलता है: $\sin^{-1} x$ का अवकलज $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ है। दोनों सही हैं, और R, A की व्याख्या करता है।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sec^{-1}(x^{2})\right)$ , $x > 1$ के लिए, क्या है?

\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{4} - 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2x}{\sqrt{x^{4} - 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{x\sqrt{x^{4} - 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{x\sqrt{x^{2} - 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{x\sqrt{x^{4} - 1}}$

$u > 1$ के लिए $\frac{d}{dx}\sec^{-1} u = \frac{u'}{u\sqrt{u^{2} - 1}}$ , जहाँ $u = x^{2}$ , $u' = 2x$ ।
$\frac{2x}{x^{2}\sqrt{x^{4} - 1}} = \frac{2}{x\sqrt{x^{4} - 1}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{4} - 1}}$ में सूत्र में $u = x^{2}$ रखा पर $u' = 2x$ से गुणा करना भूल गए।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1 + x^{2}}\right)$ , $\lvert x \rvert < 1$ , के लिए $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\frac{1}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{2}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{x^{2} + 1}$

$x = \tan \theta$ रखिए: $\frac{2\tan \theta}{1 + \tan^{2} \theta} = \sin 2\theta$ , इसलिए फलन $2\theta = 2\tan^{-1} x$ है।
इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x^{2} + 1}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ में $2\tan^{-1} x$ का 2 छूट गया।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y = \cos^{-1}\left(\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}\right)$ , $0 < x < 1$ , के लिए $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

- \frac{2}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{2 x}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{2}{x^{2} + 1}$

$x = \tan \theta$ रखिए: $\frac{1 - \tan^{2} \theta}{1 + \tan^{2} \theta} = \cos 2\theta$ , इसलिए फलन $2\theta = 2\tan^{-1} x$ है।
इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x^{2} + 1}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\frac{2}{1 + x^{2}}$ में $\cos^{-1}$ का ऋण चिह्न रखा, पर प्रतिस्थापन के बाद फलन $2\tan^{-1} x$ है।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y = \tan^{-1}\left(\frac{3x - x^{3}}{1 - 3x^{2}}\right)$ , $\lvert x \rvert < \frac{1}{\sqrt{3}}$ , के लिए $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\frac{3}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{1 - x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3 x^{2}}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{3}{x^{2} + 1}$

$x = \tan \theta$ रखिए: $\frac{3\tan \theta - \tan^{3} \theta}{1 - 3\tan^{2} \theta} = \tan 3\theta$ , इसलिए फलन $3\theta = 3\tan^{-1} x$ है।
इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x^{2} + 1}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ में $3\tan^{-1} x$ का 3 छूट गया।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y = \cos^{-1}\left(2x^{2} - 1\right)$ , $0 < x < 1$ , के लिए $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

- \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $- \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

$x = \cos \theta$ रखिए: $2\cos^{2} \theta - 1 = \cos 2\theta$ , इसलिए फलन $2\theta = 2\cos^{-1} x$ है।
इसलिए $\frac{dy}{dx} = - \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ में $\cos^{-1}$ का ऋण चिह्न खो गया।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y = \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^{2}}\right)$ , $\lvert x \rvert < \frac{1}{\sqrt{2}}$ , के लिए $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

$x = \sin \theta$ रखिए: $2\sin \theta\cos \theta = \sin 2\theta$ , इसलिए फलन $2\theta = 2\sin^{-1} x$ है।
इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ में $2\sin^{-1} x$ का 2 छूट गया।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y = \tan^{-1}\left(\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}\right)$ , $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ , के लिए $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

-\frac{2}{1 + \sin 2x}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-1$

अंश और हर को $\cos x$ से भाग दीजिए: $\frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$ ।
$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ के लिए $\frac{\pi}{4} - x$ , $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में है, इसलिए $y = \frac{\pi}{4} - x$ और $\frac{dy}{dx} = -1$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\frac{2}{1 + \sin 2x}$ केवल भीतरी भाग का अवकलज है; बाहरी $\frac{1}{1 + u^{2}}$ छूट गया।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1 + x^{2}}\right)$ , $x > 1$ , के लिए $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\frac{2}{1 + x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

-\frac{1}{1 + x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

-\frac{2}{1 + x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{1 + x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $-\frac{2}{1 + x^{2}}$

$x = \tan\theta$ रखिए, जहाँ $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$ : $\frac{2x}{1 + x^{2}} = \sin 2\theta$ , और $2\theta$ , $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में है।
वहाँ $\sin^{-1}(\sin 2\theta) = \pi - 2\theta$ , इसलिए $y = \pi - 2\tan^{-1} x$ और $\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{1 + x^{2}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{1 + x^{2}}$ में $y = 2\tan^{-1} x$ लिया, जो केवल $-1 \le x \le 1$ के लिए सही है।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y = \tan^{-1}\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}$ , $0 < x < \pi$ , के लिए $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}\sec^{2}\frac{x}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{2}$

$\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \frac{2\sin^{2}(x/2)}{2\cos^{2}(x/2)} = \tan^{2}\frac{x}{2}$ , और $0 < x < \pi$ के लिए $\tan\frac{x}{2} > 0$ ।
इसलिए $y = \tan^{-1}\left(\tan\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2}$ , क्योंकि $\frac{x}{2}$ , $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में है: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

1 में आधा कोण भूल गए: मूल $\tan\frac{x}{2}$ है, $\tan x$ नहीं।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना हर वास्तविक $x$ के लिए $y = \cos^{-1}\left(\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}\right)$ । निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $x \ge 0$ के लिए $y = 2\tan^{-1} x$ ।

II. हर $x \ne 0$ के लिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + x^{2}}$ ।

III. $x < 0$ के लिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{1 + x^{2}}$ ।

IV. $x = 0$ पर $y$ अवकलनीय नहीं है।

केवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I, III और IV

$x = \tan\theta$ रखिए: $\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}} = \cos 2\theta$ । $x \ge 0$ के लिए $2\theta$ , $[0, \pi)$ में है, इसलिए $y = 2\tan^{-1} x$ ; $x < 0$ के लिए $2\theta$ , $(-\pi, 0)$ में है, इसलिए $y = -2\tan^{-1} x$ ।
इसलिए I और III सही हैं और II गलत है। 0 पर दाईं ओर से ढाल 2 और बाईं ओर से $-2$ है, इसलिए IV सही है।

ध्यान देने योग्य

II में 0 के दोनों ओर $y = 2\tan^{-1} x$ लिया; $x < 0$ के लिए फलन $-2\tan^{-1} x$ है।

चरघातांकी और लघुगणकीय फलन

28 प्रश्न

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(e^{\tan x}\right)$ क्या है?

e^{\tan x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2} x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{\sec^{2} x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{\tan x - 1} \tan x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2} x}$

$u = \tan x$ , $u' = \sec^{2} x$ के साथ $\frac{d}{dx} e^{u} = e^{u} u'$ ।
$e^{\tan x}\sec^{2} x$ ।

ध्यान देने योग्य

$e^{\tan x}$ में घातांक को $x$ मान लिया; उसे गुणक $\sec^{2} x$ चाहिए।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)}\right)$ क्या है?

\frac{1}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 x \log{\left(x^{2} + 1 \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 x}{x^{2} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

$u = x^{2} + 1$ के साथ $\frac{d}{dx}\log u = \frac{u'}{u}$ ।
$\frac{2x}{x^{2} + 1}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ भीतर के अवकलज $2x$ से पहले रुक गया।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$ , तो $f'\left(1\right)$ क्या है?

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\log 2

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $1$

$f'(x) = \frac{2x}{1 + x^{2}}$ ।
1 पर: $\frac{2}{2} = 1$ ।

ध्यान देने योग्य

$\log 2$ स्वयं $f(1)$ है, मान, ढाल नहीं।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\log 5x\right)$ , $x > 0$ के लिए, क्या है?

\frac{1}{5 x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\log 5}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{x}$

$\log 5x = \log 5 + \log x$ , और $\log 5$ एक अचर है।
इसलिए अवकलज $0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ है; शृंखला नियम भी यही देता है: $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{5x}$ भीतरी अवकलज 5 से गुणा करने से पहले रुक गया, जो नीचे के 5 को काट देता है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $\frac{d}{dx} 3^{x} = x \cdot 3^{x - 1}$ ।

कारण (R): $a > 0$ के लिए $\frac{d}{dx} a^{x} = a^{x}\log a$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · A गलत है, लेकिन R सही है।

R मानक परिणाम है: $a^{x} = e^{x\log a}$ , जिसका अवकलज $e^{x\log a}\log a = a^{x}\log a$ है।
A गलत है: यहाँ चर घात में है, इसलिए $\frac{d}{dx} 3^{x} = 3^{x}\log 3$ , घात नियम नहीं।

ध्यान देने योग्य

A में घात नियम $nx^{n - 1}$ लगाया, जिसके लिए चर आधार और अचर घात चाहिए।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अब से $t$ वर्ष बाद एक नगर की जनसंख्या का प्रतिरूप $P(t) = 50{,}000\,e^{0.02t}$ है।

$t = 0$ पर जनसंख्या कितनी तेज़ी से बढ़ रही है?

0 व्यक्ति प्रति वर्षसही उत्तरआपका उत्तर1,000 व्यक्ति प्रति वर्षसही उत्तरआपका उत्तर10,000 व्यक्ति प्रति वर्षसही उत्तरआपका उत्तर50,000 व्यक्ति प्रति वर्षसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 1,000 व्यक्ति प्रति वर्ष

$P'(t) = 50{,}000 \times 0.02\,e^{0.02t} = 1000\,e^{0.02t}$ ।
$t = 0$ पर: $1000 \times e^{0} = 1000$ व्यक्ति प्रति वर्ष।

ध्यान देने योग्य

50,000 तो $P(0)$ है, स्वयं जनसंख्या; शृंखला नियम गुणक 0.02 नीचे लाता है।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(e^{3\log x}\right)$ , $x > 0$ के लिए, क्या है?

x^{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

3 x^{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

3 x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $3 x^{2}$

$x > 0$ के लिए $e^{3\log x} = e^{\log x^{3}} = x^{3}$ ।
इसलिए अवकलज $3x^{2}$ है; शृंखला नियम भी वही देता है, $e^{3\log x} \cdot \frac{3}{x} = x^{3} \cdot \frac{3}{x}$ ।

ध्यान देने योग्य

$x^{3}$ स्वयं $e^{3\log x}$ है: यह भीतरी अवकलज $\frac{3}{x}$ से गुणा करने से पहले रुक गया।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sin(\log x)\right)$ , $x > 0$ के लिए, क्या है?

\frac{\cos(\log x)}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\cos(\log x)

सही उत्तरआपका उत्तर

\cos\left(\frac{1}{x}\right)

सही उत्तरआपका उत्तर

-\frac{\cos(\log x)}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{\cos(\log x)}{x}$

बाहर $\sin u$ , भीतर $u = \log x$ , $u' = \frac{1}{x}$ ।
$\cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\cos(\log x)}{x}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\cos(\log x)$ भीतरी $\log x$ के अवकलज से गुणा करने से पहले रुक गया।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \log{\left(\cos x \right)}$ , तो $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ क्या है?

- \sqrt{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $-1$

$f'(x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$ ।
$\frac{\pi}{4}$ पर: $-1$ ।

ध्यान देने योग्य

1 में $\frac{d}{dx}\cos x$ का ऋण चिह्न खो गया।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): हर $x \ne 0$ के लिए $\frac{d}{dx}\log \lvert x \rvert = \frac{1}{x}$ ।

कारण (R): $x < 0$ के लिए $\log \lvert x \rvert = \log(-x)$ , जिसका अवकलज $\frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$ है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

A सही है: $x > 0$ के लिए यह सीधे $\frac{1}{x}$ है।
R सही है और ऋणात्मक आधा भाग देता है, इसलिए A की व्याख्या करता है।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\log{\left(\log x \right)}\right)$ , $x > 1$ के लिए, क्या है?

\frac{1}{x \log x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\log x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\log x}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{x \log x}$

बाहर $\log u$ , भीतर $u = \log x$ : $\frac{1}{u} \cdot \frac{1}{x}$ ।
$\frac{1}{x\log x}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{\log x}$ में भीतरी $\log x$ का अवकलज $\frac{1}{x}$ छूट गया।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(e^{x} \log x\right)$ , $x > 0$ के लिए, क्या है?

\frac{e^{x}}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x} \log x

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\left(x \log x + 1\right) e^{x}}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\left(\log x - \frac{1}{x}\right) e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{\left(x \log x + 1\right) e^{x}}{x}$

गुणनफल नियम: $(e^{x})'\log x + e^{x}(\log x)'$ ।
$e^{x}\log x + \frac{e^{x}}{x} = e^{x}\left(\log x + \frac{1}{x}\right)$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{e^{x}}{x}$ में दोनों अवकलजों को गुणा किया; गुणनफल नियम दो पद जोड़ता है।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = e^{3 x} \cos x$ , तो $f'\left(0\right)$ क्या है?

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3$

$f'(x) = 3e^{3x}\cos x - e^{3x}\sin x$ ।
0 पर: $3 - 0 = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

1 में $e^{3x}$ का अवकलज $e^{3x}$ लिया, 3 भूलकर।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\log{\left(\tan x + \sec x \right)}\right)$ , $0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए, क्या है?

\tan x \sec x

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\tan x + \sec x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan x

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\cos x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{\cos x}$

$u = \sec x + \tan x$ , $u' = \sec x\tan x + \sec^{2} x = \sec x(\tan x + \sec x)$ के साथ $\frac{u'}{u}$ ।
$\frac{\sec x(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} = \sec x$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{\sec x + \tan x}$ में $u'$ से गुणा करने से पहले रुक गए।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(2^{x^{2}}\right)$ क्या है?

2^{x^{2}} \log 2

सही उत्तरआपका उत्तर

2 \cdot 2^{x^{2}} x \log 2

सही उत्तरआपका उत्तर

2^{x^{2} - 1} x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 \cdot 2^{x^{2}} x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2 \cdot 2^{x^{2}} x \log 2$

$u = x^{2}$ के साथ $\frac{d}{dx} a^{u} = a^{u}\log a \cdot u'$ ।
$2^{x^{2}} \log 2 \cdot 2x$ ।

ध्यान देने योग्य

$2x \cdot 2^{x^{2}}$ में $e$ से भिन्न आधार का गुणक $\log 2$ भूल गए।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर फलन को, $x > 0$ के लिए, सूची II में उसके अवकलज से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $\log x^{3}$	I. $3e^{3x}$
B. $(\log x)^{3}$	II. $\frac{3}{x}$
C. $e^{3x}$	III. $3^{x}\log 3$
D. $3^{x}$	IV. $\frac{3(\log x)^{2}}{x}$

A-II, B-IV, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-II, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-II, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A-II, B-IV, C-I, D-III

A: $\log x^{3} = 3\log x$ , अवकलज $\frac{3}{x}$ । B: शृंखला नियम, $3(\log x)^{2} \cdot \frac{1}{x}$ ।
C: $e^{3x} \cdot 3$ । D: अचर आधार, इसलिए $3^{x}\log 3$ ।

ध्यान देने योग्य

$\log x^{3}$ में लघुगणक के भीतर $x$ का घन है; $(\log x)^{3}$ में स्वयं लघुगणक का घन।

प्रश्न 69

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अब से $t$ वर्ष बाद एक नगर की जनसंख्या का प्रतिरूप $P(t) = 50{,}000\,e^{0.02t}$ है।

जिस क्षण जनसंख्या 75,000 तक पहुँचती है, उस क्षण वह कितनी तेज़ी से बढ़ रही है?

1,000 व्यक्ति प्रति वर्षसही उत्तरआपका उत्तर1,500 व्यक्ति प्रति वर्षसही उत्तरआपका उत्तर2,250 व्यक्ति प्रति वर्षसही उत्तरआपका उत्तर75,000 व्यक्ति प्रति वर्षसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 1,500 व्यक्ति प्रति वर्ष

$P'(t) = 0.02 \times 50{,}000\,e^{0.02t} = 0.02\,P(t)$ : दर, जनसंख्या की 0.02 गुनी है।
जब $P = 75{,}000$ : $0.02 \times 75{,}000 = 1500$ व्यक्ति प्रति वर्ष।

ध्यान देने योग्य

1,000 तो $t = 0$ पर दर है; दर जनसंख्या के साथ बढ़ती है, इसलिए बाद में वही नहीं रहती।

प्रश्न 70

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अब से $t$ वर्ष बाद एक नगर की जनसंख्या का प्रतिरूप $P(t) = 50{,}000\,e^{0.02t}$ है।

$\frac{d}{dt}\log P(t)$ क्या है?

\frac{1}{50{,}000\,e^{0.02t}}

सही उत्तरआपका उत्तर

1000\,e^{0.02t}

सही उत्तरआपका उत्तर

0.02t

सही उत्तरआपका उत्तर

0.02

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $0.02$

$\log P = \log 50{,}000 + 0.02t$ ।
इसलिए हर $t$ पर $\frac{d}{dt}\log P = 0.02$ : हर वर्ष जनसंख्या अपने ही एक समान भाग से बढ़ती है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{P}$ , $\log u$ का अवकलज है पर गुणक $u' = P'(t)$ के बिना।

प्रश्न 71

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\log_{2}(3x + 1)\right)$ , $x > -\frac{1}{3}$ के लिए, क्या है?

\frac{3}{(3x + 1)\log 2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{3x + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{(3x + 1)\log 2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3\log 2}{3x + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{3}{(3x + 1)\log 2}$

$\log_{2} u = \frac{\log u}{\log 2}$ , और $\log 2$ एक अचर है।
$\frac{1}{\log 2} \cdot \frac{3}{3x + 1} = \frac{3}{(3x + 1)\log 2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{3x + 1}$ में $\log_{2}$ को प्राकृतिक लघुगणक मान लिया, गुणक $\frac{1}{\log 2}$ खो गया।

प्रश्न 72

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\log\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}\right)$ , $-1 < x < 1$ के लिए, क्या है?

\frac{2}{1 - x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

-\frac{x}{1 - x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{(1 - x)^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{1 - x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{1 - x^{2}}$

$\log\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} = \frac{1}{2}\left[\log(1 + x) - \log(1 - x)\right]$ ।
$\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x}\right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - x^{2}} = \frac{1}{1 - x^{2}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{1 - x^{2}}$ में वर्गमूल से नीचे आने वाला $\frac{1}{2}$ भूल गए।

प्रश्न 73

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = x^{2}e^{1/x}$ , तो $f'\left(1\right)$ क्या है?

- 2 e

सही उत्तरआपका उत्तर

e

सही उत्तरआपका उत्तर

2 e

सही उत्तरआपका उत्तर

3 e

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $e$

$f'(x) = 2xe^{1/x} + x^{2}e^{1/x} \cdot \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = e^{1/x}(2x - 1)$ ।
1 पर: $e(2 - 1) = e$ ।

ध्यान देने योग्य

$3e$ में $\frac{1}{x}$ का अवकलज $+\frac{1}{x^{2}}$ लिया; यह $-\frac{1}{x^{2}}$ है।

प्रश्न 74

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(e^{x}(\sin x + \cos x)\right)$ क्या है?

2e^{x}\cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x}(\cos x - \sin x)

सही उत्तरआपका उत्तर

2e^{x}(\sin x + \cos x)

सही उत्तरआपका उत्तर

2e^{x}\sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $2e^{x}\cos x$

गुणनफल नियम: $e^{x}(\sin x + \cos x) + e^{x}(\cos x - \sin x)$ ।
$\sin x$ वाले पद कट जाते हैं: $2e^{x}\cos x$ ।

ध्यान देने योग्य

$e^{x}(\cos x - \sin x)$ में केवल कोष्ठक का अवकलज लिया, $(e^{x})' = e^{x}$ वाला पद छूट गया।

प्रश्न 75

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = e^{2 x} \sin x$ , तो $f'\left(0\right)$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $1$

$f'(x) = 2e^{2x}\sin x + e^{2x}\cos x$ ।
0 पर: $0 + 1 = 1$ ।

ध्यान देने योग्य

0 में केवल $2e^{2x}\sin x$ रखा, जो $x = 0$ पर 0 है; दूसरा पद, $e^{2x}\cos x$ , 1 देता है।

प्रश्न 76

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}\right)$ क्या है?

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

$u = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ , $u' = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{\sqrt{x^{2} + 1} + x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ।
$\frac{u'}{u} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$ तो $u'$ के बिना $\frac{1}{u}$ है।

प्रश्न 77

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अब से $t$ वर्ष बाद एक नगर की जनसंख्या का प्रतिरूप $P(t) = 50{,}000\,e^{0.02t}$ है।

कितने वर्ष बाद जनसंख्या 2,000 व्यक्ति प्रति वर्ष की दर से बढ़ रही होगी?

\frac{\log 2}{50}

वर्षसही उत्तरआपका उत्तर

50\log 2

वर्षसही उत्तरआपका उत्तर50 वर्षसही उत्तरआपका उत्तर100 वर्षसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $50\log 2$ वर्ष

$P'(t) = 1000\,e^{0.02t} = 2000$ से $e^{0.02t} = 2$ ।
$0.02t = \log 2$ , इसलिए $t = 50\log 2 \approx 34.7$ वर्ष।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\log 2}{50}$ में 0.02 से भाग के बजाय गुणा किया: $t = \frac{\log 2}{0.02}$ ।

प्रश्न 78

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \log(e^{x} + e^{-x})$ , तो $f'\left(\log 2\right)$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{3}{5}$

$f'(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$ ।
$x = \log 2$ पर $e^{x} = 2$ और $e^{-x} = \frac{1}{2}$ : $\frac{2 - \frac{1}{2}}{2 + \frac{1}{2}} = \frac{3}{5}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{5}$ केवल $\frac{1}{u}$ है, $u' = e^{x} - e^{-x}$ से गुणा करने से पहले।

प्रश्न 79

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\log\tan\frac{x}{2}\right)$ , $0 < x < \pi$ के लिए, क्या है?

2\operatorname{cosec} x

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}\sec^{2}\frac{x}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\operatorname{cosec} x

सही उत्तरआपका उत्तर

\cot\frac{x}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\operatorname{cosec} x$

$u = \tan\frac{x}{2}$ , $u' = \frac{1}{2}\sec^{2}\frac{x}{2}$ के साथ $\frac{u'}{u}$ ।
$\frac{\sec^{2}(x/2)}{2\tan(x/2)} = \frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$ ।

ध्यान देने योग्य

$2\operatorname{cosec} x$ में भीतरी $\frac{x}{2}$ का गुणक $\frac{1}{2}$ भूल गए।

प्रश्न 80

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x > 0$ के लिए, निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $\frac{d}{dx} e^{\log(x^{2})} = 2x$ ।

II. $\frac{d}{dx}\log\left(e^{\sin x}\right) = e^{\sin x}\cos x$ ।

III. $\frac{d}{dx} 2^{\log x} = \frac{2^{\log x}\log 2}{x}$ ।

IV. $\frac{d}{dx} e^{\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ ।

केवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I और III

I: $e^{\log x^{2}} = x^{2}$ , जिसका अवकलज $2x$ है। III: $u = \log x$ , $u' = \frac{1}{x}$ के साथ $2^{u}\log 2 \cdot u'$ ।
II गलत है: $\log e^{\sin x} = \sin x$ , इसलिए अवकलज $\cos x$ है। IV गलत है: $e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$ में नीचे 2 है।

ध्यान देने योग्य

II में $e^{\sin x}$ का अवकलज लिया और उसके बाहर का लघुगणक भूल गए, जो चरघातांकी को निरस्त कर देता है।

लघुगणकीय अवकलन

24 प्रश्न

प्रश्न 81

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(x^{x}\right)$ , $x > 0$ के लिए, क्या है?

x x^{x - 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{x} \log x

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{x} \left(\log x + 1\right)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $x^{x} \left(\log x + 1\right)$

लघुगणक लीजिए: $\log y = x\log x$ , इसलिए $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \log x + 1$ ।
$\frac{dy}{dx} = x^{x}(1 + \log x)$ ।

ध्यान देने योग्य

$x \cdot x^{x - 1}$ में घात को अचर माना; यहाँ घात भी बदलती है।

प्रश्न 82

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना $x > 0$ के लिए $y = x^{x}$ ।

इस $y = x^{x}$ के लिए $\log y$ क्या है?

x\log x

सही उत्तरआपका उत्तर

\log x

सही उत्तरआपका उत्तर

x + \log x

सही उत्तरआपका उत्तर

(\log x)^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $x\log x$

$\log(a^{b}) = b\log a$ ।
$\log y = x\log x$ ।

ध्यान देने योग्य

घात गुणक बनकर नीचे आती है, जोड़ने वाले पद के रूप में नहीं।

प्रश्न 83

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना $x > 0$ के लिए $y = x^{x}$ ।

$x = 1$ पर $y = x^{x}$ का ढाल क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

e

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $1$

$1^{1}(1 + \log 1) = 1 \times 1$ ।
1।

ध्यान देने योग्य

0 में $\log 1 = 0$ रखा और उसके साथ का 1 भूल गए।

प्रश्न 84

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $x > -1$ के लिए $y = \frac{(x + 1)^{2}}{(x + 3)^{4}}$ , तो $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$ क्या है?

\frac{2}{x + 1} + \frac{4}{x + 3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{x + 1} - \frac{4}{x + 3}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\log(x + 1) - 4\log(x + 3)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{x + 1} - \frac{4}{x + 3}$

लघुगणक लीजिए: $\log y = 2\log(x + 1) - 4\log(x + 3)$ ।
अवकलन कीजिए: $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x + 1} - \frac{4}{x + 3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{x + 1} + \frac{4}{x + 3}$ में हर का लघुगणक जोड़ा; भागफल में उसे घटाया जाता है।

प्रश्न 85

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = x^{x}$ , तो $f'\left(1\right)$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

e

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $1$

$f'(x) = x^{x}(1 + \log x)$ ।
$x = 1$ पर: $1 \times (1 + 0) = 1$ ।

ध्यान देने योग्य

0 में केवल $\log 1 = 0$ रखा और उसके साथ का 1 भूल गए।

प्रश्न 86

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $y = x^{x}$ के लिए लघुगणकीय अवकलन चाहिए, जहाँ आधार और घात दोनों बदलते हैं।

II. $\frac{d}{dx} x^{n} = nx^{n - 1}$ , $n = x$ के साथ $x^{x}$ पर लागू होता है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I सही है: न घात नियम, न $a^{x}$ का नियम, बदलते आधार और घात दोनों को एक साथ सँभालता है।
II गलत है: $nx^{n - 1}$ के लिए अचर $n$ चाहिए; यह $x \cdot x^{x - 1} = x^{x}$ देगा, $\log x$ वाला पद छोड़कर।

प्रश्न 87

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(x^{\sin x}\right)$ , $x > 0$ के लिए, क्या है?

x^{\sin x} \log x \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{\sin x - 1} \sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{\sin x} \left(\log x \sin x + \frac{\cos x}{x}\right)

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{\sin x} \left(\log x \cos x + \frac{\sin x}{x}\right)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $x^{\sin x} \left(\log x \cos x + \frac{\sin x}{x}\right)$

$\log y = \sin x\log x$ , इसलिए $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \cos x\log x + \frac{\sin x}{x}$ ।
$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x\log x + \frac{\sin x}{x}\right)$ ।

ध्यान देने योग्य

$x^{\sin x}\cos x\log x$ में $\sin x\log x$ पर गुणनफल नियम का केवल एक पद रखा।

प्रश्न 88

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)$ , तो $f'\left(0\right)$ क्या है?

\frac{11}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{47}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $11$

$\log y = \log(x + 1) + \log(x + 2) + \log(x + 3)$ , इसलिए $\frac{y'}{y} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3}$ ।
0 पर: $y = 6$ और $\frac{y'}{y} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6}$ , इसलिए $y' = 11$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{11}{6}$ तो $\frac{y'}{y}$ है; $y(0) = 6$ से गुणा कीजिए।

प्रश्न 89

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = x^{2 x}$ , तो $f'\left(1\right)$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2$

$\log y = 2x\log x$ , इसलिए $\frac{y'}{y} = 2\log x + 2$ ।
1 पर: $y = 1$ और $y' = 1 \times 2 = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

1 तो मान $y(1)$ है, ढाल नहीं।

प्रश्न 90

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना $x > 0$ के लिए $y = x^{x}$ ।

इस $y = x^{x}$ के लिए $\frac{dy}{dx}$ क्या है?

x^{x}(1 + \log x)

सही उत्तरआपका उत्तर

x \cdot x^{x - 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{x}\log x

सही उत्तरआपका उत्तर

1 + \log x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $x^{x}(1 + \log x)$

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = 1 + \log x$ ।
$y = x^{x}$ से गुणा कीजिए।

ध्यान देने योग्य

$1 + \log x$ तो $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$ है, $y$ से वापस गुणा करने से पहले।

प्रश्न 91

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $y = x^{x} + x^{2}$ के लिए $\log y = x\log x + 2\log x$ ।

II. $y = \frac{x^{2}}{(x + 1)^{3}}$ , $x > 0$ , के लिए $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} - \frac{3}{x + 1}$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल II

I गलत है: $x\log x + 2\log x$ गुणनफल $x^{x} \cdot x^{2}$ का लघुगणक है, और योग का लघुगणक टूटता नहीं।
II सही है: $\log y = 2\log x - 3\log(x + 1)$ , जिसका अवकलज $\frac{2}{x} - \frac{3}{x + 1}$ है।

ध्यान देने योग्य

I में योग का लघुगणक पद-दर-पद लिया, जो केवल गुणनफल के लिए सही है।

प्रश्न 92

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \frac{(x + 1)(x + 2)}{(x + 3)(x + 4)}$ , तो $f'\left(0\right)$ क्या है?

\frac{11}{72}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{25}{72}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{11}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{11}{72}$

$\log y = \log(x + 1) + \log(x + 2) - \log(x + 3) - \log(x + 4)$ , इसलिए 0 पर $\frac{y'}{y} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{11}{12}$ ।
$y(0) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ , इसलिए $f'(0) = \frac{1}{6} \times \frac{11}{12} = \frac{11}{72}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{25}{72}$ में $\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{4}$ जोड़े; रेखा के नीचे के गुणनखंड ऋण चिह्न के साथ आते हैं।

प्रश्न 93

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = x^{\sqrt{x}}$ , $x > 0$ के लिए, तो $f'\left(4\right)$ क्या है?

\frac{1 + \log 2}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

8(1 + \log 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

8 + 16\log 2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $8(1 + \log 2)$

$\log y = \sqrt{x}\log x$ , इसलिए $\frac{y'}{y} = \frac{\log x}{2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x}$ ।
4 पर: $y = 4^{2} = 16$ और $\frac{y'}{y} = \frac{2\log 2}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1 + \log 2}{2}$ , इसलिए $f'(4) = 8(1 + \log 2)$ ।

ध्यान देने योग्य

8 घात नियम $\sqrt{x} \cdot x^{\sqrt{x} - 1} = 2 \times 4$ है, जो बदलती घात को अचर मानता है।

प्रश्न 94

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(x^{\log x}\right)$ , $x > 0$ के लिए, क्या है?

\log x \cdot x^{\log x - 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{\log x}\log x

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2\log x}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2x^{\log x}\log x}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{2x^{\log x}\log x}{x}$

$\log y = \log x \cdot \log x = (\log x)^{2}$ , इसलिए $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{2\log x}{x}$ ।
$y$ से वापस गुणा कीजिए: $\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2\log x}{x}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\log x \cdot x^{\log x - 1}$ में घात नियम लगाया, जिसके लिए अचर घात चाहिए; यहाँ घात $\log x$ बदलती है।

प्रश्न 95

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना $x > -1$ के लिए $y = (x + 1)^{x}$ । निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $\log y = x\log(x + 1)$ ।

II. $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \log(x + 1) + \frac{x}{x + 1}$ ।

III. $x = 0$ पर $\frac{dy}{dx} = 0$ ।

IV. $\frac{dy}{dx} = x(x + 1)^{x - 1}$ ।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I, II और III

I: $\log(a^{b}) = b\log a$ । इसका गुणनफल नियम से अवकलन करने पर II मिलता है।
0 पर: $y = 1$ और $\frac{y'}{y} = \log 1 + 0 = 0$ , इसलिए III सही है। IV घात नियम है, जिसके लिए अचर घात चाहिए: गलत।

ध्यान देने योग्य

IV में घात $x$ को अचर माना और $\log(x + 1)$ वाला पद छूट गया।

प्रश्न 96

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \left(x + 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{3}$ , तो $f'\left(0\right)$ क्या है?

\frac{7}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

28

सही उत्तरआपका उत्तर

36

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $28$

$\log y = 2\log(x + 1) + 3\log(x + 2)$ , इसलिए $\frac{y'}{y} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}$ ।
0 पर: $y = 8$ और $\frac{y'}{y} = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$ , इसलिए $y' = 28$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{7}{2}$ तो $\frac{y'}{y}$ है; $y'$ के लिए $y(0) = 8$ से गुणा कीजिए।

प्रश्न 97

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किस $x > 0$ पर $y = x^{1/x}$ का अवकलज शून्य है?

e^{-1}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

e

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $e$

$\log y = \frac{\log x}{x}$ , इसलिए $\frac{y'}{y} = \frac{1 - \log x}{x^{2}}$ ।
$y > 0$ , इसलिए $y' = 0$ ठीक तब जब $\log x = 1$ : $x = e$ ।

ध्यान देने योग्य

1 से $\log x = 0$ होता है, पर $1 - \log x$ को शून्य होना है।

प्रश्न 98

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = x^{x}$ , तो $f'\left(e\right)$ क्या है?

2 e

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{e}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 e^{e}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{1 + e}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2 e^{e}$

$f'(x) = x^{x}(1 + \log x)$ ।
$x = e$ पर: $e^{e}(1 + 1) = 2e^{e}$ ।

ध्यान देने योग्य

$e^{e}$ स्वयं $f(e)$ है; ढाल में गुणक $1 + \log e = 2$ जुड़ता है।

प्रश्न 99

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{d}{dx}\left(\sin^{x}{\left(x \right)}\right)$ , $0 < x < \pi$ के लिए, क्या है?

x \sin^{x - 1}{\left(x \right)} \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

\log{\left(\sin x \right)} \sin^{x}{\left(x \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

\left(\log{\left(\sin x \right)} + \cot x\right) \sin^{x}{\left(x \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

\left(\frac{x \cos x}{\sin x} + \log{\left(\sin x \right)}\right) \sin^{x}{\left(x \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\left(\frac{x \cos x}{\sin x} + \log{\left(\sin x \right)}\right) \sin^{x}{\left(x \right)}$

$\log y = x\log \sin x$ , इसलिए $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \log \sin x + x\cot x$ ।
$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{x}(\log \sin x + x\cot x)$ ।

ध्यान देने योग्य

$x(\sin x)^{x - 1}\cos x$ में घात को अचर माना।

प्रश्न 100

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना $x > 0$ के लिए $y = x^{x}$ ।

किस $x$ पर $y = x^{x}$ का ढाल शून्य है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{-1}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

e

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $e^{-1}$

$x^{x} > 0$ , इसलिए ढाल ठीक तब 0 है जब $1 + \log x = 0$ ।
$\log x = -1$ : $x = \frac{1}{e}$ ।

ध्यान देने योग्य

$e$ से $\log x = 1$ हल होता है; यहाँ $\log x = -1$ है।

प्रश्न 101

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = x^{x}$ , तो $f'\left(2\right)$ क्या है?

4 \log 2

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

\log 2 + 4

सही उत्तरआपका उत्तर

4 \log 2 + 4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $4 \log 2 + 4$

$f'(x) = x^{x}(1 + \log x)$ ।
2 पर: $4(1 + \log 2)$ ।

ध्यान देने योग्य

4 तो $f(2) = 2^{2}$ है, गुणक $1 + \log 2$ से पहले।

प्रश्न 102

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = x^{x} + (\log x)^{x}$ , $x > 1$ के लिए, तो $f'\left(e\right)$ क्या है?

e^{e} + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

2e^{e}

सही उत्तरआपका उत्तर

2e^{e} + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

3e^{e}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2e^{e} + 1$

हर पद का अलग से अवकलन कीजिए: $\frac{d}{dx}x^{x} = x^{x}(1 + \log x)$ ; $u = (\log x)^{x}$ के लिए $\log u = x\log(\log x)$ से $u' = (\log x)^{x}\left(\log(\log x) + \frac{1}{\log x}\right)$ ।
$x = e$ पर: $e^{e}(1 + 1) + 1 \times (0 + 1) = 2e^{e} + 1$ ।

ध्यान देने योग्य

$3e^{e}$ में दोनों पदों के लघुगणक जोड़े, मानो $f$ उनका गुणनफल हो; योग का अवकलन पद-दर-पद होता है।

प्रश्न 103

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \sqrt{\frac{(x + 1)(x + 9)}{x + 4}}$ , तो $f'\left(0\right)$ क्या है?

\frac{31}{72}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{31}{48}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{49}{48}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{31}{24}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{31}{48}$

$\log y = \frac{1}{2}\left[\log(x + 1) + \log(x + 9) - \log(x + 4)\right]$ , इसलिए 0 पर $\frac{y'}{y} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{9} - \frac{1}{4}\right) = \frac{31}{72}$ ।
$y(0) = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ , इसलिए $f'(0) = \frac{3}{2} \times \frac{31}{72} = \frac{31}{48}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{31}{24}$ में वह $\frac{1}{2}$ भूल गए जो वर्गमूल लघुगणकों के आगे लगाता है।

प्रश्न 104

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}$ , $x > 0$ के लिए, तो $f'\left(1\right)$ क्या है?

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

\log 2 - \frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\log 2 - 1

सही उत्तरआपका उत्तर

2\log 2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2\log 2 - 1$

$\log y = x\left[\log(x + 1) - \log x\right]$ , इसलिए $\frac{y'}{y} = \log\left(1 + \frac{1}{x}\right) + x\left(\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}\right) = \log\left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x + 1}$ ।
1 पर: $y = 2$ और $\frac{y'}{y} = \log 2 - \frac{1}{2}$ , इसलिए $f'(1) = 2\log 2 - 1$ ।

ध्यान देने योग्य

$-1$ तो 1 पर घात नियम $x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x - 1} \cdot \left(-\frac{1}{x^{2}}\right)$ है, जो घात $x$ को अचर मानता है।

राशियों के परिवर्तन की दर

26 प्रश्न

प्रश्न 105

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तालाब में गिरा एक पत्थर एक वृत्ताकार लहर बनाता है जिसकी त्रिज्या 5 cm/s से बढ़ती है। जब त्रिज्या 8 cm है, लहर के भीतर का क्षेत्रफल कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?

16 \pi

cm²/sसही उत्तरआपका उत्तर

40 \pi

cm²/sसही उत्तरआपका उत्तर

64 \pi

cm²/sसही उत्तरआपका उत्तर

80 \pi

cm²/sसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $80 \pi$ cm²/s

$A = \pi r^{2}$ , इसलिए $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$ ।
$2\pi \times 8 \times 5 = 80\pi$ cm²/s।

ध्यान देने योग्य

$16\pi$ , $r = 8$ पर $\frac{dA}{dr}$ है, $\frac{dr}{dt} = 5$ से गुणा करने से पहले।

प्रश्न 106

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जब त्रिज्या 3 cm है, गोले के आयतन के परिवर्तन की दर उसकी त्रिज्या के सापेक्ष क्या है?

36 cm³ प्रति cmसही उत्तरआपका उत्तर

12 \pi

cm³ प्रति cmसही उत्तरआपका उत्तर

36 \pi

cm³ प्रति cmसही उत्तरआपका उत्तर

108 \pi

cm³ प्रति cmसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $36 \pi$ cm³ प्रति cm

$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}\left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\right) = 4\pi r^{2}$ ।
$r = 3$ पर: $36\pi$ ।

ध्यान देने योग्य

36 में $4\pi r^{2}$ का $\pi$ छूट गया।

प्रश्न 107

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x$ इकाइयाँ बेचने से एक फर्म की कुल आय $R(x) = 2x^{2} + 30x + 7$ रुपये है। $x = 6$ पर सीमांत आय क्या है?

₹30सही उत्तरआपका उत्तर₹42सही उत्तरआपका उत्तर₹54सही उत्तरआपका उत्तर₹259सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · ₹54

सीमांत आय $R'(x) = 4x + 30$ है।
$x = 6$ पर: $24 + 30 = 54$ रुपये।

ध्यान देने योग्य

₹259, $R(6)$ है, स्वयं आय।

प्रश्न 108

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक घन का किनारा 2 cm/s से बढ़ता है। जब किनारा 5 cm है, उसका आयतन कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?

60 cm³/sसही उत्तरआपका उत्तर75 cm³/sसही उत्तरआपका उत्तर150 cm³/sसही उत्तरआपका उत्तर250 cm³/sसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 150 cm³/s

$V = a^{3}$ , इसलिए $\frac{dV}{dt} = 3a^{2}\frac{da}{dt}$ ।
$3 \times 25 \times 2 = 150$ cm³/s।

ध्यान देने योग्य

75 cm³/s केवल $3a^{2}$ है, किनारे के प्रति cm की दर।

प्रश्न 109

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कार्यशाला का $x$ कुर्सियाँ बनाने का खर्च $C(x) = 0.02x^{2} + 8x + 300$ रुपये है। 50 कुर्सियाँ बनाने पर सीमांत लागत क्या है?

₹8सही उत्तरआपका उत्तर₹9सही उत्तरआपका उत्तर₹10सही उत्तरआपका उत्तर₹750सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · ₹10

$C'(x) = 0.04x + 8$ ।
50 पर: $2 + 8 = 10$ रुपये।

ध्यान देने योग्य

₹750, $C(50)$ है, स्वयं लागत।

प्रश्न 110

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तेल का एक धब्बा वृत्त के रूप में फैलता है, जिसकी त्रिज्या एक बिंदु से शुरू होकर स्थिर 2 m/s से बढ़ती है।

शुरू होने के 10 सेकंड बाद धब्बे की त्रिज्या क्या है?

5 mसही उत्तरआपका उत्तर10 mसही उत्तरआपका उत्तर20 mसही उत्तरआपका उत्तर200 mसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 20 m

यह 0 से स्थिर 2 m/s से बढ़ती है।
$2 \times 10 = 20$ m।

ध्यान देने योग्य

5 m में गुणा के बजाय भाग दिया।

प्रश्न 111

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पेंट के एक वृत्ताकार धब्बे की त्रिज्या 0.3 cm/s से बढ़ती है। जब त्रिज्या 10 cm है, उसका क्षेत्रफल कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?

3 \pi

cm²/sसही उत्तरआपका उत्तर

6 \pi

cm²/sसही उत्तरआपका उत्तर

20 \pi

cm²/sसही उत्तरआपका उत्तर

30 \pi

cm²/sसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $6 \pi$ cm²/s

$\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$ ।
$2\pi \times 10 \times 0.3 = 6\pi$ cm²/s।

ध्यान देने योग्य

$20\pi$ तो $\frac{dA}{dr}$ है, 0.3 से गुणा करने से पहले।

प्रश्न 112

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जब धब्बे की त्रिज्या 15 m है, उसका क्षेत्रफल कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?

4 \pi

m²/sसही उत्तरआपका उत्तर

30 \pi

m²/sसही उत्तरआपका उत्तर

60 \pi

m²/sसही उत्तरआपका उत्तर

225 \pi

m²/sसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $60 \pi$ m²/s

$\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$ ।
$2\pi \times 15 \times 2 = 60\pi$ m²/s।

ध्यान देने योग्य

$30\pi$ तो $\frac{dA}{dr}$ है, 2 से गुणा करने से पहले।

प्रश्न 113

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

धब्बे की परिधि कितनी तेज़ी से बढ़ रही है?

2 m/sसही उत्तरआपका उत्तर

\pi

m/sसही उत्तरआपका उत्तर

2 \pi

m/sसही उत्तरआपका उत्तर

4 \pi

m/sसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $4 \pi$ m/s

$C = 2\pi r$ , इसलिए $\frac{dC}{dt} = 2\pi\frac{dr}{dt}$ ।
$2\pi \times 2 = 4\pi$ m/s, हर क्षण वही।

ध्यान देने योग्य

$2\pi$ तो $\frac{dC}{dr}$ है; त्रिज्या 2 m/s से बदलती है।

प्रश्न 114

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शीर्ष नीचे रखे शंकु के आकार के एक टैंक में स्थिर 2 m³/min की दर से पानी डाला जाता है। टैंक 10 m गहरा है और उसके ऊपरी सिरे की त्रिज्या 5 m है। जब पानी $h$ m गहरा है, उसकी सतह $r$ m त्रिज्या का एक वृत्त है।

पानी का आयतन उसकी गहराई $h$ के पदों में क्या है?

\frac{\pi h^{3}}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4\pi h^{3}}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi h^{3}}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi h^{3}}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{\pi h^{3}}{12}$

समरूप त्रिभुज: $\frac{r}{h} = \frac{5}{10}$ , इसलिए $r = \frac{h}{2}$ ।
$V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{h^{2}}{4} \cdot h = \frac{\pi h^{3}}{12}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\pi h^{3}}{3}$ में $r = h$ लिया; टैंक का आकार $r = \frac{h}{2}$ देता है।

प्रश्न 115

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक दुकान $p = 120 - 2x$ रुपये प्रति लैंप के मूल्य पर एक सप्ताह में $x$ लैंप बेच सकती है। $x = 20$ पर सीमांत आय क्या है?

₹40सही उत्तरआपका उत्तर₹80सही उत्तरआपका उत्तर₹1,600सही उत्तरआपका उत्तर₹2,400सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · ₹40

आय = मूल्य × मात्रा: $R(x) = x(120 - 2x) = 120x - 2x^{2}$ ।
सीमांत आय $R'(x) = 120 - 4x$ ; $x = 20$ पर यह $120 - 80 = 40$ रुपये है।

ध्यान देने योग्य

₹80 तो मूल्य $p(20)$ है; सीमांत आय, आय $xp$ का अवकलज है, मूल्य नहीं।

प्रश्न 116

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक आयत की लंबाई 3 cm/min से घटती है जबकि चौड़ाई 2 cm/min से बढ़ती है। जब लंबाई 8 cm और चौड़ाई 6 cm है, क्षेत्रफल कितनी तेज़ी से बदल रहा है?

−6 cm²/minसही उत्तरआपका उत्तर−2 cm²/minसही उत्तरआपका उत्तर2 cm²/minसही उत्तरआपका उत्तर34 cm²/minसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · −2 cm²/min

$A = lw$ , इसलिए $\frac{dA}{dt} = l\frac{dw}{dt} + w\frac{dl}{dt}$ ।
$8 \times 2 + 6 \times (-3) = 16 - 18 = -2$ : क्षेत्रफल 2 cm²/min से घट रहा है।

ध्यान देने योग्य

$-6$ में दोनों दरें गुणा कीं, $2 \times (-3)$ ; गुणनफल नियम हर दर को दूसरी भुजा से जोड़ता है।

प्रश्न 117

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कण रेखा पर इस प्रकार चलता है कि $t$ सेकंड बाद एक स्थिर बिंदु से उसकी दूरी $s = t^{3} - 6t^{2} + 9t$ मीटर है। किन समयों पर वह क्षण भर के लिए विराम में है?

t = 1

s और

t = 3

sसही उत्तरआपका उत्तर

t = 0

s और

t = 3

sसही उत्तरआपका उत्तरकेवल

t = 2

sसही उत्तरआपका उत्तरकेवल

t = 3

sसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $t = 1$ s और $t = 3$ s

विराम का अर्थ वेग $\frac{ds}{dt} = 3t^{2} - 12t + 9 = 0$ ।
$3(t - 1)(t - 3) = 0$ : $t = 1$ और $t = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

$t = 0$ और $t = 3$ पर $s = 0$ है, कण स्थिर बिंदु पर, विराम में नहीं।

प्रश्न 118

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यदि $y$ , $x$ पर और $x$ , $t$ पर निर्भर है, तो $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ ।

II. ऋणात्मक $\frac{dy}{dt}$ का अर्थ है कि उस क्षण $y$ घट रहा है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · I और II दोनों

I, दरों के लिए लिखा गया शृंखला नियम है। सही।
II, किसी दर के चिह्न का अर्थ है। सही।

प्रश्न 119

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पिघलते बर्फ़ के घन का हर किनारा 0.2 cm/min से घटता है। जब किनारा 10 cm है, उसका आयतन कितनी तेज़ी से बदल रहा है?

−300 cm³/minसही उत्तरआपका उत्तर−60 cm³/minसही उत्तरआपका उत्तर−20 cm³/minसही उत्तरआपका उत्तर60 cm³/minसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · −60 cm³/min

$\frac{dV}{dt} = 3a^{2}\frac{da}{dt}$ , जहाँ $\frac{da}{dt} = -0.2$ ।
$3 \times 100 \times (-0.2) = -60$ : आयतन 60 cm³/min से घटता है।

ध्यान देने योग्य

60 में चिह्न खो गया: किनारा घट रहा है, इसलिए आयतन घट रहा है।

प्रश्न 120

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

साबुन के एक बुलबुले की त्रिज्या 0.5 cm/s से बढ़ती है। जब त्रिज्या 5 cm है, उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?

10 \pi

cm²/sसही उत्तरआपका उत्तर

20 \pi

cm²/sसही उत्तरआपका उत्तर

40 \pi

cm²/sसही उत्तरआपका उत्तर

50 \pi

cm²/sसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $20 \pi$ cm²/s

$S = 4\pi r^{2}$ , इसलिए $\frac{dS}{dt} = 8\pi r\frac{dr}{dt}$ ।
$8\pi \times 5 \times 0.5 = 20\pi$ cm²/s।

ध्यान देने योग्य

$10\pi$ में गोले के पृष्ठ के लिए वृत्त के क्षेत्रफल का अवकलज $2\pi r$ लिया।

प्रश्न 121

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिज्या 7 cm के एक बेलनाकार टैंक में पानी भरता है, जिससे स्तर 2 cm/s से उठता है। पानी का आयतन कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?

14 \pi

cm³/sसही उत्तरआपका उत्तर

28 \pi

cm³/sसही उत्तरआपका उत्तर

49 \pi

cm³/sसही उत्तरआपका उत्तर

98 \pi

cm³/sसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $98 \pi$ cm³/s

$V = \pi r^{2}h$ , $r = 7$ स्थिर, इसलिए $\frac{dV}{dt} = \pi r^{2}\frac{dh}{dt}$ ।
$\pi \times 49 \times 2 = 98\pi$ cm³/s।

ध्यान देने योग्य

$49\pi$ आधार का क्षेत्रफल है, दर 2 से गुणा करने से पहले।

प्रश्न 122

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शुरू होने के 10 सेकंड बाद धब्बे का क्षेत्रफल कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?

40 \pi

m²/sसही उत्तरआपका उत्तर

60 \pi

m²/sसही उत्तरआपका उत्तर

80 \pi

m²/sसही उत्तरआपका उत्तर

400 \pi

m²/sसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $80 \pi$ m²/s

10 सेकंड बाद त्रिज्या 20 m है।
$2\pi \times 20 \times 2 = 80\pi$ m²/s।

ध्यान देने योग्य

$40\pi$ में त्रिज्या के स्थान पर समय $r = 10$ लिया।

प्रश्न 123

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यदि किसी गोले की त्रिज्या अचर दर से बढ़ती है, तो उसका आयतन भी अचर दर से बढ़ता है।

II. यदि दीवार से टिकी सीढ़ी का निचला सिरा अचर चाल से दूर खिसकता है, तो उसका ऊपरी सिरा अचर चाल से नीचे खिसकता है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · न I, न II

I गलत है: $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}$ , $r$ के बढ़ने के साथ बढ़ता है।
II गलत है: $x^{2} + y^{2} = l^{2}$ से $\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}$ , जो $x$ के बढ़ने और $y$ के घटने के साथ बदलता है।

ध्यान देने योग्य

एक राशि की स्थिर दर दूसरी में स्थिर दर तभी देती है जब दोनों रैखिक रूप से जुड़ी हों, जैसे त्रिज्या और परिधि।

प्रश्न 124

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जब पानी 4 m गहरा है, जल-स्तर कितनी तेज़ी से उठ रहा है?

\frac{1}{8 \pi}

m/minसही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{8 \pi}

m/minसही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2 \pi}

m/minसही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{\pi}

m/minसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{2 \pi}$ m/min

$V = \frac{\pi h^{3}}{12}$ , इसलिए $\frac{dV}{dt} = \frac{\pi h^{2}}{4}\frac{dh}{dt}$ ।
$2 = \frac{\pi \times 16}{4}\frac{dh}{dt} = 4\pi\frac{dh}{dt}$ , इसलिए $\frac{dh}{dt} = \frac{1}{2\pi}$ m/min।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{8\pi}$ m/min में $\frac{dV}{dh} = \pi h^{2}$ लिया, जो $r = h$ वाले शंकु का है।

प्रश्न 125

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जब पानी 4 m गहरा है, पानी की सतह का क्षेत्रफल कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?

1 m²/minसही उत्तरआपका उत्तर2 m²/minसही उत्तरआपका उत्तर4 m²/minसही उत्तरआपका उत्तर

2 \pi

m²/minसही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरA · 1 m²/min

$A = \pi r^{2} = \frac{\pi h^{2}}{4}$ , इसलिए $\frac{dA}{dt} = \frac{\pi h}{2}\frac{dh}{dt}$ ।
$h = 4$ पर $\frac{dh}{dt} = \frac{1}{2\pi}$ : $\frac{dA}{dt} = 2\pi \times \frac{1}{2\pi} = 1$ m²/min।

ध्यान देने योग्य

4 m²/min में सतह की त्रिज्या $\frac{h}{2}$ के बजाय $h$ ली।

प्रश्न 126

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक गोलाकार गुब्बारे से 50 cm³/s की दर से गैस निकलती है। जब त्रिज्या 5 cm है, गुब्बारे की त्रिज्या कितनी तेज़ी से घट रही है?

\frac{3}{10 \pi}

cm/sसही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2 \pi}

cm/sसही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{2 \pi}

cm/sसही उत्तरआपका उत्तर

2 \pi

cm/sसही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरB · $\frac{1}{2 \pi}$ cm/s

$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$ , इसलिए $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}$ ।
$-50 = 4\pi \times 25 \times \frac{dr}{dt}$ , इसलिए $\frac{dr}{dt} = -\frac{50}{100\pi} = -\frac{1}{2\pi}$ : त्रिज्या $\frac{1}{2\pi}$ cm/s से घटती है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{2\pi}$ cm/s में $4\pi r^{2}$ के बजाय $4\pi r$ से भाग दिया।

प्रश्न 127

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

13 m की एक सीढ़ी दीवार से टिकी है। उसका निचला सिरा दीवार से 2 m/s से दूर खिसकता है। जब निचला सिरा दीवार से 5 m दूर है, उसका ऊपरी सिरा कितनी तेज़ी से नीचे खिसक रहा है?

\frac{5}{6}

m/sसही उत्तरआपका उत्तर2 m/sसही उत्तरआपका उत्तर2.4 m/sसही उत्तरआपका उत्तर4.8 m/sसही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरA · $\frac{5}{6}$ m/s

$x^{2} + y^{2} = 169$ ; $x = 5$ पर $y = 12$ । अवकलन करने पर $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ ।
$\frac{dy}{dt} = -\frac{5 \times 2}{12} = -\frac{5}{6}$ : ऊपरी सिरा $\frac{5}{6}$ m/s से नीचे खिसकता है।

ध्यान देने योग्य

2 m/s में माना कि दोनों सिरे एक ही चाल से चलते हैं; ऊपर रहते हुए ऊपरी सिरा धीमे चलता है।

प्रश्न 128

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक समतल सड़क से 5.4 m ऊपर एक लैंप लटका है। 1.8 m लंबा एक व्यक्ति लैंप के ठीक नीचे वाले बिंदु से 1.2 m/s की चाल से सीधा दूर चलता है। उसकी छाया कितनी तेज़ी से लंबी हो रही है?

0.4 m/sसही उत्तरआपका उत्तर0.6 m/sसही उत्तरआपका उत्तर1.8 m/sसही उत्तरआपका उत्तर2.4 m/sसही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरB · 0.6 m/s

माना व्यक्ति लैंप के नीचे वाले बिंदु से $x$ m दूर है और उसकी छाया $s$ m लंबी है। समरूप त्रिभुज: $\frac{s}{1.8} = \frac{x + s}{5.4}$ , इसलिए $3.6s = 1.8x$ और $s = \frac{x}{2}$ ।
$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{2}\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \times 1.2 = 0.6$ m/s।

ध्यान देने योग्य

1.8 m/s तो छाया का सिरा जिस चाल से चलता है, $\frac{d}{dt}(x + s)$ , वह है; छाया के लंबे होने की दर नहीं।

प्रश्न 129

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जिस क्षण टैंक में $18\pi$ m³ पानी है, उस क्षण जल-स्तर कितनी तेज़ी से उठ रहा है?

\frac{1}{18 \pi}

m/minसही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{9 \pi}

m/minसही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{9 \pi}

m/minसही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{3 \pi}

m/minसही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरC · $\frac{2}{9 \pi}$ m/min

पहले गहराई: $\frac{\pi h^{3}}{12} = 18\pi$ से $h^{3} = 216$ , इसलिए $h = 6$ ।
$2 = \frac{\pi \times 36}{4}\frac{dh}{dt} = 9\pi\frac{dh}{dt}$ , इसलिए $\frac{dh}{dt} = \frac{2}{9\pi}$ m/min।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{18\pi}$ m/min में $\frac{dV}{dh} = \pi h^{2}$ लिया, मानो $r = h$ हो।

प्रश्न 130

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो सड़कें एक-दूसरे को समकोण पर काटती हैं। चौराहे से 3 km उत्तर में एक कार 40 km/h से उत्तर की ओर, चौराहे से दूर, जा रही है; उसी क्षण चौराहे से 4 km पूर्व में एक साइकिल सवार 15 km/h से पश्चिम की ओर, चौराहे की ओर, जा रहा है। उस क्षण उनके बीच की दूरी किस दर से बढ़ रही है?

12 km/hसही उत्तरआपका उत्तर25 km/hसही उत्तरआपका उत्तर36 km/hसही उत्तरआपका उत्तर55 km/hसही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरA · 12 km/h

साइकिल सवार $x$ km पूर्व और कार $y$ km उत्तर में हो, तो $D^{2} = x^{2} + y^{2}$ , इसलिए $D\frac{dD}{dt} = x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}$ ।
अब $x = 4$ , $\frac{dx}{dt} = -15$ , $y = 3$ , $\frac{dy}{dt} = 40$ और $D = 5$ : $\frac{dD}{dt} = \frac{-60 + 120}{5} = 12$ km/h।

ध्यान देने योग्य

36 km/h में साइकिल सवार की दर $+15$ ली; वह चौराहे की ओर जा रहा है, इसलिए $\frac{dx}{dt} = -15$ ।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।