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CUET गणित के लिए परिबद्ध क्षेत्रों का क्षेत्रफल

सीखने में लगभग 5 मिनट · 115 प्रश्न

CUET गणित Section B1 के क्षेत्रफल वाले प्रश्न Section A के वक्र के नीचे के क्षेत्रफल को वृत्त, परवलय और दीर्घवृत्त तक, और किसी रेखा से कटे उनके भागों तक ले जाते हैं। हर प्रश्न एक निश्चित समाकल है, जो एक रेखाचित्र से बनता है। रेखाओं से घिरे क्षेत्रों और y के अनुदिश समाकलन से लेकर वृत्त, परवलय और दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल और किसी रेखा से कटे भागों तक, हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र
Section B1: Mathematics
इस पृष्ठ पर · 10 भाग
  1. 01पट्टियों के योग के रूप में क्षेत्रफल
  2. 02रेखाओं वाले क्षेत्र
  3. 03वृत्त
  4. 04परवलय
  5. 05दीर्घवृत्त
  6. 06CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
  7. 07परीक्षा के लिए शॉर्टकट
  8. 08आम भूलें
  9. 09त्वरित पुनरावृत्ति
  10. 10अपनी समझ जाँचें

पट्टियों के योग के रूप में क्षेत्रफल

एक अंडाकार क्यारी 14 m लंबी और 10 m चौड़ी है। उसे ढकने में कितनी घास लगेगी? उसका किनारा एक दीर्घवृत्त है, और समाकलन ऐसे किसी भी क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालता है जो लिखे जा सकने वाले वक्रों से घिरा हो: उसे पतली पट्टियों में काटिए, वक्रों से हर पट्टी की लंबाई निकालिए, और समाकल से पट्टियाँ जोड़िए।

क्षेत्रफल का समाकल कैसे बनाते हैं?

क्षेत्र का रेखाचित्र बनाइए। जब क्षेत्र वक्र और xx-अक्ष के बीच हो, तब ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ लीजिए और ∫aby dx\int_a^{b} y\,dx निकालिए। जब वह yy-अक्ष से लगा हो, तब क्षैतिज पट्टियाँ लीजिए और ∫cdx dy\int_c^{d} x\,dy निकालिए। क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं: हर भाग का निरपेक्ष मान लीजिए।

रेखाओं वाले क्षेत्र

सरल रेखाओं से घिरा क्षेत्र अक्सर त्रिभुज या समलंब होता है, और समाकल को ज्यामिति से मेल खाना चाहिए, जो एक अच्छी जाँच है।

उदाहरण 1 · y-अक्ष से लगा क्षेत्र

x=3yx = 3y, yy-अक्ष और रेखाओं y=1y = 1 तथा y=3y = 3 के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

  1. क्षैतिज पट्टियाँ लीजिए: ∫133y dy=32[y2]13\int_1^{3} 3y\,dy = \frac{3}{2}\left[y^{2}\right]_1^{3}।

  2. 32(9−1)=12\frac{3}{2}(9 - 1) = 12।

उत्तर

12 वर्ग इकाई

वृत्त

समाकलन से वृत्त या उसके किसी भाग का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?

पहले चतुर्थांश में x2+y2=a2x^{2} + y^{2} = a^{2}, y=a2−x2y = \sqrt{a^{2} - x^{2}} है, और

∫a2−x2 dx=x2a2−x2+a22sin⁡−1xa+C.\int \sqrt{a^{2} - x^{2}}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + C.

चतुर्थांश का क्षेत्रफल πa24\frac{\pi a^{2}}{4} है, इसलिए वृत्त का πa2\pi a^{2}। रेखा x=cx = c से कटे भाग के लिए cc से aa तक समाकलन कीजिए और अक्ष के नीचे के आधे भाग के लिए दोगुना कीजिए।

उदाहरण 2 · पूरा वृत्त

समाकलन से x2+y2=9x^{2} + y^{2} = 9 से घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

  1. 4∫039−x2 dx=4×92×π24\int_0^{3} \sqrt{9 - x^{2}}\,dx = 4 \times \frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2}।

  2. =9π= 9\pi।

उत्तर

9π9\pi वर्ग इकाई

परवलय

परवलय से घिरे क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?

जिस भाग का समाकलन करना है उसके लिए हल कीजिए: y2=4axy^{2} = 4ax से अक्ष के ऊपर y=2axy = 2\sqrt{ax} मिलता है, और x2=4ayx^{2} = 4ay से उसके बगल में x=2ayx = 2\sqrt{ay}। y2=4axy^{2} = 4ax का उसकी नाभिलंब जीवा x=ax = a से कटा क्षेत्र 83a2\frac{8}{3}a^{2} है।

उदाहरण 3 · परवलय और उसकी नाभिलंब जीवा

y2=12xy^{2} = 12x और रेखा x=3x = 3 से घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

  1. अक्ष के ऊपर y=23xy = 2\sqrt{3x}; सममिति से क्षेत्रफल =2∫0323x dx= 2\int_0^{3} 2\sqrt{3}\sqrt{x}\,dx।

  2. 43×23×33/2=43×23×33=244\sqrt{3} \times \frac{2}{3} \times 3^{3/2} = 4\sqrt{3} \times \frac{2}{3} \times 3\sqrt{3} = 24।

उत्तर

24 वर्ग इकाई, जो 83×32\frac{8}{3} \times 3^{2} है

उदाहरण 4 · रेखा के नीचे परवलय

y=x2y = x^{2} और y=9y = 9 से घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

  1. वे x=±3x = \pm 3 पर मिलते हैं, और रेखा ऊपर है: ∫−33(9−x2) dx\int_{-3}^{3} (9 - x^{2})\,dx।

  2. 54−18=3654 - 18 = 36।

उत्तर

36 वर्ग इकाई

दीर्घवृत्त

दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल क्या है?

x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 के लिए पहले चतुर्थांश का चाप y=baa2−x2y = \frac{b}{a}\sqrt{a^{2} - x^{2}} है, इसलिए क्षेत्रफल 4ba∫0aa2−x2 dx=πab\frac{4b}{a}\int_0^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}\,dx = \pi ab है।

उदाहरण 5 · क्यारी

क्यारी दीर्घवृत्त x249+y225=1\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{25} = 1 है, मीटर में। उसका क्षेत्रफल क्या है?

  1. a=7a = 7, b=5b = 5।

  2. क्षेत्रफल =πab=35π= \pi ab = 35\pi।

उत्तर

35π35\pi, लगभग 110 m²

सावधान

अर्ध-अक्ष हरों के वर्गमूल हैं। x249+y225=1\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{25} = 1 के लिए वे 7 और 5 हैं, 49 और 25 नहीं।

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

  • पूरे वक्र: समाकलन से वृत्त या दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल, या वह समाकल जो उसे देता है।
  • भाग: चतुर्थांश, रेखा से कटा खंड, दीर्घवृत्त और उसकी जीवा के बीच का क्षेत्र।
  • परवलय: नाभिलंब जीवा या रेखा x=cx = c के साथ, दो कोटियों के बीच, या yy-अक्ष से लगा।
  • चित्र: वक्रों और कोने के बिंदुओं के साथ छायांकित क्षेत्र।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

  • वृत्त πa2\pi a^{2}; दीर्घवृत्त πab\pi ab; चतुर्थांश हर एक का चौथाई।
  • परवलय y2=4axy^{2} = 4ax, नाभिलंब जीवा तक: 83a2\frac{8}{3}a^{2}।
  • ∫0aa2−x2 dx=πa24\int_0^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}\,dx = \frac{\pi a^{2}}{4}।
  • सममित क्षेत्र: एक आधा निकालकर दोगुना कीजिए।

आम भूलें

  • क्षेत्र yy-अक्ष से लगा हो तब xx के अनुदिश समाकलन करना।
  • xx-अक्ष के नीचे के भाग के लिए दोगुना करना भूलना, या प्रश्न एक चतुर्थांश पूछे तब दोगुना कर देना।
  • दीर्घवृत्त के हरों को उनके वर्गमूलों के स्थान पर लेना।
  • ऋणात्मक समाकल को क्षेत्रफल मान लेना।

त्वरित पुनरावृत्ति

समाकल बनाना

  • रेखाचित्र; ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज पट्टियाँ चुनें
  • क्षेत्रफल धनात्मक होते हैं

वृत्त और दीर्घवृत्त

  • πa2\pi a^{2} और πab\pi ab
  • खंड: रेखा से किनारे तक समाकलन, फिर दोगुना

परवलय

  • y=2axy = 2\sqrt{ax} या x=2ayx = 2\sqrt{ay}
  • नाभिलंब जीवा तक: 83a2\frac{8}{3}a^{2}

Section B1 में आगे, अवकल समीकरण हल करने के दो और तरीके: समघातीय और रैखिक अवकल समीकरण।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

115 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

रेखाओं वाले क्षेत्रप्र1 / 115प्र1

रेखाओं वाले क्षेत्र

27 प्रश्न

प्रश्न 1

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा y=2x+1y = 2x + 1, xx-अक्ष और रेखाओं x=0x = 0 तथा x=3x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 1 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 12 वर्ग इकाई

  1. ∫03(2x+1) dx=[x2+x]03\int_0^{3} (2x + 1)\,dx = \left[x^{2} + x\right]_0^{3}।

  2. 9+3=129 + 3 = 12 वर्ग इकाई, समांतर भुजाओं 1 और 7 वाला समलंब।

ध्यान देने योग्य

9 में केवल 2x2x का समाकल लिया और +1+1 वाली पट्टी, 1×31 \times 3, भूल गए।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x=0x = 0 से x=3x = 3 तक रेखाओं y=2xy = 2x और y=xy = x के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 2 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 4.5 वर्ग इकाई

  1. 0≤x≤30 \le x \le 3 पर y=2xy = 2x ऊपरी रेखा है: ∫03(2x−x) dx\int_0^{3} (2x - x)\,dx।

  2. 92\frac{9}{2} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

9 केवल y=2xy = 2x के नीचे का क्षेत्रफल है, y=xy = x के नीचे का क्षेत्र घटाए बिना।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कौन-सा समाकल y=3−xy = 3 - x और दोनों निर्देशांक अक्षों से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल देता है?

प्रश्न 3 के विकल्प

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उत्तरD · ∫03(3−x) dx\int_0^{3} (3 - x)\,dx

  1. रेखा अक्षों से (3,0)(3, 0) और (0,3)(0, 3) पर मिलती है, और उनके बीच xx-अक्ष के ऊपर है।

  2. क्षेत्रफल =∫03(3−x) dx= \int_0^{3} (3 - x)\,dx।

ध्यान देने योग्य

∫03(x−3) dx\int_0^{3} (x - 3)\,dx में उलटा घटाया और यह ऋणात्मक आता है।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समाकलन से, रेखा x+2y=8x + 2y = 8 और निर्देशांक अक्षों से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 4 के विकल्प

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उत्तरC · 16 वर्ग इकाई

  1. रेखा अक्षों से (8,0)(8, 0) और (0,4)(0, 4) पर मिलती है; xx-अक्ष के ऊपर यह y=4−x2y = 4 - \frac{x}{2} है।

  2. ∫08(4−x2)dx=32−16=16\int_0^{8} \left(4 - \frac{x}{2}\right)dx = 32 - 16 = 16 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

32 तो आयत 8×48 \times 4 है, त्रिभुज का दोगुना; 12 में समाकल x=4x = 4, यानी yy-अंतःखंड, पर रोक दिया।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

y=x+1y = x + 1, xx-अक्ष और रेखाओं x=1x = 1 तथा x=3x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 5 के विकल्प

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उत्तरA · 6 वर्ग इकाई

  1. ∫13(x+1) dx=[x22+x]13\int_1^{3} (x + 1)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2} + x\right]_1^{3}।

  2. (92+3)−(12+1)=6\left(\frac{9}{2} + 3\right) - \left(\frac{1}{2} + 1\right) = 6 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

8 चौड़ाई 2 और ऊँचाई 4 वाला आयत है, x=3x = 3 पर रेखा की ऊँचाई पूरी पट्टी पर ले ली।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा 3x−2y+6=03x - 2y + 6 = 0, xx-अक्ष और रेखा x=2x = 2 से घिरा क्षेत्र ऊर्ध्वाधर पट्टियों से निकाला जाता है। y=3x+62y = \frac{3x + 6}{2} का समाकल किन सीमाओं के बीच लिया जाता है?

प्रश्न 6 के विकल्प

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उत्तरD · x=−2x = -2 से x=2x = 2 तक

  1. रेखा xx-अक्ष से वहाँ मिलती है जहाँ 3x+6=03x + 6 = 0, यानी x=−2x = -2 पर।

  2. क्षेत्र वहाँ से रेखा x=2x = 2 तक है: ∫−223x+62 dx=12\int_{-2}^{2} \frac{3x + 6}{2}\,dx = 12 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

x=0x = 0 से शुरू करना yy-अक्ष को भुजा मान लेता है, जबकि यह क्षेत्र वहाँ समाप्त होता है जहाँ रेखा xx-अक्ष से मिलती है।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

a>0a > 0 के लिए, रेखा y=x+ay = x + a और निर्देशांक अक्षों से घिरे त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 7 के विकल्प

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उत्तरD · a22\frac{a^{2}}{2}

  1. रेखा अक्षों से (−a,0)(-a, 0) और (0,a)(0, a) पर मिलती है, और उनके बीच xx-अक्ष के ऊपर है।

  2. ∫−a0(x+a) dx=[x22+ax]−a0=a22\int_{-a}^{0} (x + a)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2} + ax\right]_{-a}^{0} = \frac{a^{2}}{2} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

a2a^{2} दोनों भुजाओं पर बना वर्ग है; त्रिभुज उसका आधा है।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक क्षेत्र RR पहले चतुर्थांश में है। यह yy-अक्ष, रेखाओं y=1y = 1 और y=4y = 4, और रेखा x+y=6x + y = 6 से घिरा है।

रेखा x+y=6x + y = 6 रेखाओं y=1y = 1 और y=4y = 4 से किन बिंदुओं पर मिलती है?

प्रश्न 8 के विकल्प

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उत्तरA · (5,1)(5, 1) और (2,4)(2, 4)

  1. y=1y = 1 पर: x=6−1=5x = 6 - 1 = 5। y=4y = 4 पर: x=6−4=2x = 6 - 4 = 2।

  2. इसलिए तिरछी भुजा (5,1)(5, 1) से (2,4)(2, 4) तक है।

ध्यान देने योग्य

(1,5)(1, 5) और (4,2)(4, 2) में निर्देशांक अदल-बदल गए: y=1y = 1 पर के बिंदु का yy-निर्देशांक 1 होता है।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा x=y−12x = \frac{y - 1}{2}, yy-अक्ष और रेखाओं y=1y = 1 तथा y=5y = 5 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 9 के विकल्प

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उत्तरB · 4 वर्ग इकाई

  1. क्षेत्र वक्र और yy-अक्ष के बीच है, इसलिए yy के अनुदिश समाकलन कीजिए: ∫15y−12 dy\int_1^{5} \frac{y - 1}{2}\,dy।

  2. 12[y22−y]15=12(152+12)=4\frac{1}{2}\left[\frac{y^{2}}{2} - y\right]_1^{5} = \frac{1}{2}\left(\frac{15}{2} + \frac{1}{2}\right) = 4 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

8 में y−12\frac{y - 1}{2} का गुणक 12\frac{1}{2} भूल गए।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. वक्र x=g(y)x = g(y), yy-अक्ष और y=cy = c, y=dy = d के बीच का क्षेत्रफल ∫cd∣g(y)∣ dy\int_c^{d} \lvert g(y) \rvert\,dy है।

II. समाकलन से मिला क्षेत्रफल ऋणात्मक हो सकता है।

प्रश्न 10 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I, क्षेत्रफल सूत्र का क्षैतिज पट्टी वाला रूप है। सही।

  2. II गलत है: समाकल ऋणात्मक हो सकता है, पर क्षेत्रफल उसका निरपेक्ष मान है।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समाकलन से, y=xy = x, y=8−xy = 8 - x और xx-अक्ष से घिरे त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 11 के विकल्प

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उत्तरB · 16 वर्ग इकाई

  1. रेखाएँ (4,4)(4, 4) पर मिलती हैं और xx-अक्ष को 0 और 8 पर काटती हैं।

  2. ∫04x dx+∫48(8−x) dx=8+8=16\int_0^{4} x\,dx + \int_4^{8} (8 - x)\,dx = 8 + 8 = 16 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

32 में 12\frac{1}{2} के बिना आधार ×\times ऊँचाई लिया।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

y=x−3y = x - 3, xx-अक्ष और yy-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 12 के विकल्प

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उत्तरC · 4.5 वर्ग इकाई

  1. क्षेत्र 0≤x≤30 \le x \le 3 पर xx-अक्ष के नीचे है: ∫03(x−3) dx=−92\int_0^{3} (x - 3)\,dx = -\frac{9}{2}।

  2. क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं होता: ∣−92∣=92\left\lvert -\frac{9}{2} \right\rvert = \frac{9}{2} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

−92-\frac{9}{2} समाकल है; क्षेत्रफल उसका निरपेक्ष मान है।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x=2y+1x = 2y + 1, yy-अक्ष और रेखाओं y=0y = 0 तथा y=2y = 2 के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 13 के विकल्प

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उत्तरC · 6 वर्ग इकाई

  1. क्षैतिज पट्टियाँ: ∫02(2y+1) dy\int_0^{2} (2y + 1)\,dy।

  2. [y2+y]02=6\left[y^{2} + y\right]_0^{2} = 6 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

4 में केवल 2y2y का समाकल लिया, चौड़ाई 1 वाली पट्टी छोड़ दी।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

y=∣x∣y = \lvert x \rvert और y=2y = 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 14 के विकल्प

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उत्तरB · 4 वर्ग इकाई

  1. वे x=±2x = \pm 2 पर मिलते हैं; रेखा ऊपर है: ∫−22(2−∣x∣) dx=2∫02(2−x) dx\int_{-2}^{2} (2 - \lvert x \rvert)\,dx = 2\int_0^{2} (2 - x)\,dx।

  2. 2(4−2)=42(4 - 2) = 4 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

8 तो आयत 4×24 \times 2 है; क्षेत्र V के ऊपर का त्रिभुज है, उसका आधा।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समाकलन से, शीर्षों (1,0)(1, 0), (5,0)(5, 0) और (3,4)(3, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 15 के विकल्प

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उत्तरB · 8 वर्ग इकाई

  1. ऊपरी शीर्ष से भुजाएँ 1≤x≤31 \le x \le 3 के लिए y=2(x−1)y = 2(x - 1) और 3≤x≤53 \le x \le 5 के लिए y=2(5−x)y = 2(5 - x) हैं।

  2. ∫132(x−1) dx+∫352(5−x) dx=4+4=8\int_1^{3} 2(x - 1)\,dx + \int_3^{5} 2(5 - x)\,dx = 4 + 4 = 8 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

4 में दो में से केवल एक भुजा का समाकलन किया, x=3x = 3 पर रुककर।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

y=∣x∣y = \lvert x \rvert, xx-अक्ष और रेखाओं x=−1x = -1 तथा x=3x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 16 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 5 वर्ग इकाई

  1. x<0x < 0 के लिए ∣x∣=−x\lvert x \rvert = -x और x≥0x \ge 0 के लिए xx, इसलिए 0 पर बाँटिए: ∫−10(−x) dx+∫03x dx\int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_0^{3} x\,dx।

  2. 12+92=5\frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

4 तो ∫−13x dx\int_{-1}^{3} x\,dx है, जिसमें ∣x∣\lvert x \rvert को xx पढ़ा: yy-अक्ष के बाईं ओर का छोटा त्रिभुज जोड़ने के बजाय घट गया।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

m>0m > 0 के लिए, y=mxy = mx, xx-अक्ष और रेखा x=3x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल x+y=6x + y = 6 और निर्देशांक अक्षों से घिरे त्रिभुज के बराबर है। mm क्या है?

प्रश्न 17 के विकल्प

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उत्तरB · 44

  1. ∫03mx dx=9m2\int_0^{3} mx\,dx = \frac{9m}{2}, और त्रिभुज का क्षेत्रफल ∫06(6−x) dx=18\int_0^{6} (6 - x)\,dx = 18 है।

  2. 9m2=18\frac{9m}{2} = 18 से m=4m = 4।

ध्यान देने योग्य

2 में ∫03mx dx\int_0^{3} mx\,dx को 9m9m लिया, x22\frac{x^{2}}{2} का 12\frac{1}{2} छोड़कर।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): ∣x∣+∣y∣=3\lvert x \rvert + \lvert y \rvert = 3 से घिरा क्षेत्रफल 18 वर्ग इकाई है।

कारण (R): क्षेत्र ∣x∣+∣y∣≤3\lvert x \rvert + \lvert y \rvert \le 3 दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है, और पहले चतुर्थांश में इसका भाग x+y=3x + y = 3 और अक्षों से घिरा त्रिभुज है।

प्रश्न 18 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

  1. पहले चतुर्थांश में ∣x∣+∣y∣=3\lvert x \rvert + \lvert y \rvert = 3, x+y=3x + y = 3 है, और ∫03(3−x) dx=92\int_0^{3} (3 - x)\,dx = \frac{9}{2}। R सही है।

  2. उसी सममिति से क्षेत्रफल 4×92=184 \times \frac{9}{2} = 18 है: A सही है, और R उसका कारण है।

ध्यान देने योग्य

केवल पहले चतुर्थांश का त्रिभुज 92\frac{9}{2} है; R की सममिति ही उसे 4 से गुणा करती है।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. y=2xy = 2x, xx-अक्ष और रेखा x=3x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल x=y2x = \frac{y}{2}, yy-अक्ष और रेखा y=6y = 6 से घिरे क्षेत्र के बराबर है।

II. ∫−11x dx\int_{-1}^{1} x\,dx, y=xy = x, xx-अक्ष और रेखाओं x=−1x = -1 तथा x=1x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है।

प्रश्न 19 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I: ∫032x dx=9\int_0^{3} 2x\,dx = 9 और ∫06y2 dy=9\int_0^{6} \frac{y}{2}\,dy = 9; दोनों त्रिभुज मिलकर आयत 3×63 \times 6 भरते हैं। सही।

  2. II: ∫−11x dx=0\int_{-1}^{1} x\,dx = 0, पर क्षेत्र 12\frac{1}{2} क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज हैं, कुल 1। गलत।

ध्यान देने योग्य

II को सही मानने से अक्ष के नीचे का त्रिभुज ऊपर वाले को काट देता है; क्षेत्रफल में उनके माप जुड़ते हैं।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा y=x+2y = x + 2, xx-अक्ष और रेखा x=2x = 2 से घिरे क्षेत्र के लिए, निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. यह शीर्षों (−2,0)(-2, 0), (2,0)(2, 0) और (2,4)(2, 4) वाला त्रिभुज है।

II. इसका क्षेत्रफल ∫−22(x+2) dx\int_{-2}^{2} (x + 2)\,dx है।

III. क्षैतिज पट्टियों से इसका क्षेत्रफल ∫04(4−y) dy\int_0^{4} (4 - y)\,dy है।

IV. क्षैतिज पट्टियों से इसका क्षेत्रफल ∫04(y−2) dy\int_0^{4} (y - 2)\,dy है।

प्रश्न 20 के विकल्प

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उत्तरD · केवल I, II और III

  1. रेखा xx-अक्ष से (−2,0)(-2, 0) पर और x=2x = 2 से (2,4)(2, 4) पर मिलती है: क्षेत्रफल 12×4×4=8\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 वाला त्रिभुज, और ∫−22(x+2) dx=8\int_{-2}^{2} (x + 2)\,dx = 8। I और II सही हैं।

  2. ऊँचाई yy पर पट्टी x=y−2x = y - 2 से x=2x = 2 तक है, लंबाई 4−y4 - y: ∫04(4−y) dy=8\int_0^{4} (4 - y)\,dy = 8, इसलिए III सही है। IV पट्टी को yy-अक्ष से रेखा तक नापता है और ∫04(y−2) dy=0\int_0^{4} (y - 2)\,dy = 0 देता है: गलत।

ध्यान देने योग्य

III छोड़ने से यह छूट जाता है कि क्षैतिज पट्टियाँ, हर एक रेखा से x=2x = 2 तक, वही 8 देती हैं।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

क्षैतिज पट्टियों से, कौन-सा समाकल रेखाओं x=2yx = 2y, x=8−2yx = 8 - 2y और xx-अक्ष से घिरे त्रिभुज का क्षेत्रफल देता है?

प्रश्न 21 के विकल्प

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उत्तरD · ∫02(8−4y) dy\int_0^{2} (8 - 4y)\,dy

  1. रेखाएँ वहाँ मिलती हैं जहाँ 2y=8−2y2y = 8 - 2y, यानी y=2y = 2 पर। ऊँचाई yy पर पट्टी x=2yx = 2y से x=8−2yx = 8 - 2y तक जाती है।

  2. उसकी लंबाई (8−2y)−2y=8−4y(8 - 2y) - 2y = 8 - 4y है, इसलिए क्षेत्रफल ∫02(8−4y) dy=8\int_0^{2} (8 - 4y)\,dy = 8 वर्ग इकाई है।

ध्यान देने योग्य

∫02(8−2y) dy\int_0^{2} (8 - 2y)\,dy में हर पट्टी को रेखा x=2yx = 2y के बजाय yy-अक्ष से नापा।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक क्षेत्र RR पहले चतुर्थांश में है। यह yy-अक्ष, रेखाओं y=1y = 1 और y=4y = 4, और रेखा x+y=6x + y = 6 से घिरा है।

कौन-सा समाकल RR का क्षेत्रफल देता है?

प्रश्न 22 के विकल्प

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उत्तरD · ∫14(6−y) dy\int_1^{4} (6 - y)\,dy

  1. RR, yy-अक्ष से लगा है, इसलिए क्षैतिज पट्टियाँ लीजिए: ऊँचाई yy पर पट्टी x=0x = 0 से x=6−yx = 6 - y तक है।

  2. पट्टियाँ y=1y = 1 से y=4y = 4 तक हैं: ∫14(6−y) dy\int_1^{4} (6 - y)\,dy।

ध्यान देने योग्य

∫04(6−y) dy\int_0^{4} (6 - y)\,dy, xx-अक्ष से शुरू होता है, पर RR की निचली भुजा रेखा y=1y = 1 है।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक क्षेत्र RR पहले चतुर्थांश में है। यह yy-अक्ष, रेखाओं y=1y = 1 और y=4y = 4, और रेखा x+y=6x + y = 6 से घिरा है।

RR का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 23 के विकल्प

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उत्तरC · 10.5 वर्ग इकाई

  1. ∫14(6−y) dy=[6y−y22]14=(24−8)−(6−12)\int_1^{4} (6 - y)\,dy = \left[6y - \frac{y^{2}}{2}\right]_1^{4} = (24 - 8) - \left(6 - \frac{1}{2}\right)।

  2. 212\frac{21}{2} वर्ग इकाई: समांतर भुजाओं 5 और 2 तथा ऊँचाई 3 वाला समलंब।

ध्यान देने योग्य

15 तो आयत 5×35 \times 3 है, मानो हर पट्टी सबसे निचली जितनी लंबी हो।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा y=3−xy = 3 - x, xx-अक्ष और रेखाओं x=0x = 0 तथा x=5x = 5 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 24 के विकल्प

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उत्तरD · 6.5 वर्ग इकाई

  1. रेखा xx-अक्ष को x=3x = 3 पर काटती है: 0≤x<30 \le x < 3 के लिए यह अक्ष के ऊपर और 3<x≤53 < x \le 5 के लिए नीचे है।

  2. ∫03(3−x) dx+∣∫35(3−x) dx∣=92+2=132\int_0^{3} (3 - x)\,dx + \left\lvert \int_3^{5} (3 - x)\,dx \right\rvert = \frac{9}{2} + 2 = \frac{13}{2} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

52\frac{5}{2} एक साथ लिया गया ∫05(3−x) dx\int_0^{5} (3 - x)\,dx है: अक्ष के नीचे का भाग ऋणात्मक आता है और ऊपर के भाग में से 2 काट देता है।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा x=cx = c, y=2xy = 2x, xx-अक्ष और रेखा x=4x = 4 से घिरे क्षेत्र को बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में बाँटती है। cc क्या है?

प्रश्न 25 के विकल्प

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उत्तरC · 222 \sqrt{2}

  1. पूरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ∫042x dx=16\int_0^{4} 2x\,dx = 16 है, इसलिए हर भाग का 8।

  2. ∫0c2x dx=c2=8\int_0^{c} 2x\,dx = c^{2} = 8, इसलिए c=22c = 2\sqrt{2}।

ध्यान देने योग्य

2 आधार को आधा करता है, पर पट्टियाँ x=4x = 4 की ओर ऊँची होती जाती हैं, इसलिए क्षेत्रफल को आधा करने वाली रेखा मध्यबिंदु के दाईं ओर है।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक क्षेत्र RR पहले चतुर्थांश में है। यह yy-अक्ष, रेखाओं y=1y = 1 और y=4y = 4, और रेखा x+y=6x + y = 6 से घिरा है।

रेखा x=2x = 2, RR को दो भागों में काटती है। x=2x = 2 के दाईं ओर वाले भाग का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 26 के विकल्प

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उत्तरA · 4.5 वर्ग इकाई

  1. 1≤y≤41 \le y \le 4 के लिए 6−y≥26 - y \ge 2, इसलिए RR की हर पट्टी x=2x = 2 को पार करती है; दाईं ओर वाले भाग की पट्टियों की लंबाई 4−y4 - y है।

  2. ∫14(4−y) dy=[4y−y22]14=8−72=92\int_1^{4} (4 - y)\,dy = \left[4y - \frac{y^{2}}{2}\right]_1^{4} = 8 - \frac{7}{2} = \frac{9}{2} वर्ग इकाई, जो 212−6\frac{21}{2} - 6 है।

ध्यान देने योग्य

6 तो x=2x = 2 के बाईं ओर वाला भाग, आयत 2×32 \times 3, है।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समाकलन से, रेखाओं y=2xy = 2x, y=x2y = \frac{x}{2} और x+y=6x + y = 6 से घिरे त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 27 के विकल्प

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उत्तरB · 6 वर्ग इकाई

  1. शीर्ष: पहली दो रेखाएँ मूलबिंदु पर मिलती हैं; x+y=6x + y = 6, y=2xy = 2x से (2,4)(2, 4) पर और y=x2y = \frac{x}{2} से (4,2)(4, 2) पर मिलती है।

  2. ऊपरी भुजा x=2x = 2 पर बदलती है: ∫02(2x−x2)dx+∫24(6−x−x2)dx\int_0^{2} \left(2x - \frac{x}{2}\right)dx + \int_2^{4} \left(6 - x - \frac{x}{2}\right)dx।

  3. 3+3=63 + 3 = 6 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

3 में x=2x = 2 पर रुक गए, जहाँ ऊपरी भुजा y=2xy = 2x से x+y=6x + y = 6 में बदलती है; दूसरा टुकड़ा छूट गया।

वृत्त

28 प्रश्न

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समाकलन से, वृत्त x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 से घिरा क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 28 के विकल्प

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उत्तरD · 25π25 \pi वर्ग इकाई

  1. सममिति से, चतुर्थांश का 4 गुना: 4∫0525−x2 dx4\int_0^{5} \sqrt{25 - x^{2}}\,dx।

  2. चतुर्थांश 25π4\frac{25\pi}{4} है, इसलिए क्षेत्रफल 25π25\pi वर्ग इकाई है।

ध्यान देने योग्य

25π4\frac{25\pi}{4} एक चतुर्थांश है; वृत्त ऐसे 4 है।

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त x2+y2=16x^{2} + y^{2} = 16 के xx-अक्ष के ऊपर वाले भाग का क्षेत्रफल कौन-सा समाकल देता है?

प्रश्न 29 के विकल्प

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उत्तरD · ∫−4416−x2 dx\int_{-4}^{4} \sqrt{16 - x^{2}}\,dx

  1. xx-अक्ष के ऊपर वृत्त y=16−x2y = \sqrt{16 - x^{2}} है, −4≤x≤4-4 \le x \le 4 के लिए।

  2. क्षेत्रफल =∫−4416−x2 dx=8π= \int_{-4}^{4} \sqrt{16 - x^{2}}\,dx = 8\pi।

ध्यान देने योग्य

∫04\int_0^{4} केवल पहले चतुर्थांश वाला चौथाई भाग देता है।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 को रेखा x=3x = 3 एक छोटे और एक बड़े भाग में काटती है।

रेखा x=3x = 3 वृत्त x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 से किन बिंदुओं पर मिलती है?

प्रश्न 30 के विकल्प

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उत्तरD · (3,4)(3, 4) और (3,−4)(3, -4)

  1. 9+y2=259 + y^{2} = 25, इसलिए y2=16y^{2} = 16।

  2. y=±4y = \pm 4।

ध्यान देने योग्य

(3,16)(3, 16) में y2=16y^{2} = 16 पर रुक गए।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त x2+y2=36x^{2} + y^{2} = 36 के पहले चतुर्थांश वाले भाग का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 31 के विकल्प

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उत्तरA · 9π9 \pi वर्ग इकाई

  1. a=6a = 6 के साथ ∫0636−x2 dx=πa24\int_0^{6} \sqrt{36 - x^{2}}\,dx = \frac{\pi a^{2}}{4}।

  2. 9π9\pi वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

36π36\pi पूरा वृत्त है।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र x=25−y2x = \sqrt{25 - y^{2}} और yy-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 32 के विकल्प

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उत्तरC · 25π2\frac{25 \pi}{2} वर्ग इकाई

  1. x=25−y2x = \sqrt{25 - y^{2}}, वृत्त x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 का दायाँ आधा भाग है, y=−5y = -5 से y=5y = 5 तक।

  2. क्षैतिज पट्टियाँ: ∫−5525−y2 dy=25π2\int_{-5}^{5} \sqrt{25 - y^{2}}\,dy = \frac{25\pi}{2} वर्ग इकाई, वृत्त का आधा।

ध्यान देने योग्य

25π4\frac{25\pi}{4} में पट्टियाँ केवल y=0y = 0 से लीं और xx-अक्ष के नीचे का आधा भाग छोड़ दिया।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4 से घिरा क्षेत्रफल x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 से घिरे क्षेत्रफल का दोगुना है।

II. x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4 के पहले चतुर्थांश वाले भाग का क्षेत्रफल पूरे वृत्त x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 के बराबर है।

प्रश्न 33 के विकल्प

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उत्तरC · I और II दोनों

  1. I: दाएँ पक्ष त्रिज्याओं के वर्ग हैं, इसलिए क्षेत्रफल 4π4\pi और 2π2\pi हैं। सही।

  2. II: ∫024−x2 dx=4π4=π\int_0^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\,dx = \frac{4\pi}{4} = \pi, त्रिज्या 1 वाले वृत्त का क्षेत्रफल। सही।

ध्यान देने योग्य

I पर संदेह 4 और 2 को त्रिज्याएँ पढ़ने से होता है; वे त्रिज्याओं के वर्ग हैं, इसलिए क्षेत्रफलों का अनुपात 4:24 : 2 है।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

a>0a > 0 के लिए, वृत्त x2+y2=a2x^{2} + y^{2} = a^{2} के पहले चतुर्थांश वाले भाग का क्षेत्रफल 4π4\pi है। aa क्या है?

प्रश्न 34 के विकल्प

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उत्तरC · 44

  1. चतुर्थांश ∫0aa2−x2 dx=πa24\int_0^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}\,dx = \frac{\pi a^{2}}{4} है।

  2. πa24=4π\frac{\pi a^{2}}{4} = 4\pi से a2=16a^{2} = 16, इसलिए a=4a = 4।

ध्यान देने योग्य

2 में पूरे वृत्त, πa2\pi a^{2}, को 4π4\pi के बराबर रखा; दिया गया क्षेत्रफल उसका केवल एक-चौथाई है।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): वृत्त x2+y2=12x^{2} + y^{2} = 12 से घिरा क्षेत्रफल 12π12\pi वर्ग इकाई है।

कारण (R): वृत्त x2+y2=12x^{2} + y^{2} = 12 की त्रिज्या 12 है।

प्रश्न 35 के विकल्प

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उत्तरC · A सही है, लेकिन R गलत है।

  1. त्रिज्या 12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3} है, 12 नहीं, इसलिए R गलत है।

  2. 4∫02312−x2 dx=π(23)2=12π4\int_0^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 - x^{2}}\,dx = \pi\left(2\sqrt{3}\right)^{2} = 12\pi, इसलिए A सही है।

ध्यान देने योग्य

त्रिज्या 12 से 144π144\pi मिलता; A इसलिए सही है कि दायाँ पक्ष 12 त्रिज्या का वर्ग है।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कौन-सा समाकल वृत्त x2+y2=a2x^{2} + y^{2} = a^{2} से घिरा क्षेत्रफल देता है?

प्रश्न 36 के विकल्प

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उत्तरD · 4∫0aa2−x2 dx4\int_0^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}\,dx

  1. पहले चतुर्थांश में वृत्त y=a2−x2y = \sqrt{a^{2} - x^{2}} है, x=0x = 0 से x=ax = a तक।

  2. चारों चतुर्थांश बराबर हैं, इसलिए क्षेत्रफल उस समाकल का 4 गुना है, जो πa2\pi a^{2} है।

ध्यान देने योग्य

गुणक 4 के बिना समाकल केवल एक चतुर्थांश है।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा x+y=2x + y = 2 द्वारा वृत्त x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4 से कटे छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 37 के विकल्प

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उत्तरA · −2+π-2 + \pi वर्ग इकाई

  1. रेखा वृत्त से (2,0)(2, 0) और (0,2)(0, 2) पर मिलती है: क्षेत्र चौथाई वृत्त घटा रेखा के नीचे का त्रिभुज है।

  2. ∫02(4−x2−(2−x))dx=π−2\int_0^{2} \left(\sqrt{4 - x^{2}} - (2 - x)\right)dx = \pi - 2 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

π\pi पूरा चौथाई वृत्त है; क्षेत्रफल 2 वाला त्रिभुज घटाना है।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 को रेखा x=3x = 3 एक छोटे और एक बड़े भाग में काटती है।

वृत्त के बड़े भाग, x=3x = 3 के बाईं ओर, का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 38 के विकल्प

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उत्तरB · 12+25sin⁡−1(35)+25π212 + 25 \sin^{-1}{\left(\frac{3}{5} \right)} + \frac{25 \pi}{2} वर्ग इकाई

  1. बड़ा भाग = पूरा वृत्त − छोटा भाग।

  2. 25π−(−25sin⁡−1(35)−12+25π2)=12+25sin⁡−1(35)+25π225\pi - (- 25 \sin^{-1}{\left(\frac{3}{5} \right)} - 12 + \frac{25 \pi}{2}) = 12 + 25 \sin^{-1}{\left(\frac{3}{5} \right)} + \frac{25 \pi}{2}।

ध्यान देने योग्य

छोटा भाग जोड़ने से पूरे वृत्त से अधिक हो जाता है।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 को रेखा x=3x = 3 एक छोटे और एक बड़े भाग में काटती है।

कौन-सा समाकल छोटे भाग, x=3x = 3 के दाईं ओर, का क्षेत्रफल देता है?

प्रश्न 39 के विकल्प

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उत्तरD · 2∫3525−x2 dx2\int_3^{5} \sqrt{25 - x^{2}}\,dx

  1. भाग x=3x = 3 से x=5x = 5 तक है, और वृत्त xx-अक्ष के परितः सममित है।

  2. ऊपरी आधा y=25−x2y = \sqrt{25 - x^{2}}, दोगुना: 2∫3525−x2 dx2\int_3^{5} \sqrt{25 - x^{2}}\,dx।

ध्यान देने योग्य

2 के बिना समाकल केवल xx-अक्ष के ऊपर का आधा भाग देता है।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त x2+y2−4x−12=0x^{2} + y^{2} - 4x - 12 = 0 से घिरा क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 40 के विकल्प

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उत्तरD · 16π16 \pi वर्ग इकाई

  1. पूर्ण वर्ग बनाइए: (x−2)2+y2=16(x - 2)^{2} + y^{2} = 16, केंद्र (2,0)(2, 0) और त्रिज्या 4 वाला वृत्त।

  2. क्षेत्र को खिसकाने से उसका क्षेत्रफल नहीं बदलता: 2∫−2616−(x−2)2 dx=16π2\int_{-2}^{6} \sqrt{16 - (x - 2)^{2}}\,dx = 16\pi वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

12π12\pi में पूर्ण वर्ग बनाने से पहले अचर 12 को त्रिज्या का वर्ग पढ़ा; वह 4+12=164 + 12 = 16 है।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त x2+y2=10x^{2} + y^{2} = 10 के अंदर और रेखा y=1y = 1 के ऊपर का क्षेत्र ऊर्ध्वाधर पट्टियों से निकाला जाता है। समाकल xx की किन सीमाओं के बीच लिया जाता है?

प्रश्न 41 के विकल्प

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उत्तरD · x=−3x = -3 से x=3x = 3 तक

  1. रेखा वृत्त से वहाँ मिलती है जहाँ x2+1=10x^{2} + 1 = 10, इसलिए x=±3x = \pm 3।

  2. उनके बीच हर पट्टी y=1y = 1 से y=10−x2y = \sqrt{10 - x^{2}} तक है: ∫−33(10−x2−1)dx\int_{-3}^{3} \left(\sqrt{10 - x^{2}} - 1\right)dx।

ध्यान देने योग्य

±10\pm\sqrt{10} पर वृत्त xx-अक्ष से मिलता है; y=1y = 1 के ऊपर क्षेत्र वहाँ रुकता है जहाँ रेखा वृत्त से मिलती है।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पहले चतुर्थांश में x2+y2=16x^{2} + y^{2} = 16 के चाप और रेखाओं x=4x = 4 तथा y=4y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 42 के विकल्प

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उत्तरA · 16−4π16 - 4 \pi वर्ग इकाई

  1. हर ऊर्ध्वाधर पट्टी चाप y=16−x2y = \sqrt{16 - x^{2}} से y=4y = 4 तक है, 0≤x≤40 \le x \le 4 के लिए।

  2. ∫04(4−16−x2)dx=16−4π\int_0^{4} \left(4 - \sqrt{16 - x^{2}}\right)dx = 16 - 4\pi वर्ग इकाई: वर्ग 4×44 \times 4 घटा चौथाई वृत्त।

ध्यान देने योग्य

4π4\pi चाप के नीचे का चौथाई वृत्त है; पूछा गया क्षेत्र उसके ऊपर वर्ग का कोना है।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I में वृत्त x2+y2=16x^{2} + y^{2} = 16 के हर भाग को सूची II में उसके क्षेत्रफल से मिलाइए।

सूची Iसूची II
A. xx-अक्ष के ऊपर का भागI. 2π2\pi
B. पहले चतुर्थांश वाला भागII. 8π8\pi
C. पहले चतुर्थांश में रेखा y=xy = x के नीचे का भागIII. 16π3−43\frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}
D. रेखा x=2x = 2 के दाईं ओर का भागIV. 4π4\pi
प्रश्न 43 के विकल्प

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उत्तरD · A-II, B-IV, C-I, D-III

  1. A, 16π16\pi का आधा है, B एक-चौथाई, और रेखा y=xy = x चतुर्थांश को दो बराबर हिस्सों में काटती है, इसलिए C, 2π2\pi है।

  2. D: 2∫2416−x2 dx=2(4π−23−4π3)=16π3−432\int_2^{4} \sqrt{16 - x^{2}}\,dx = 2\left(4\pi - 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3}\right) = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}।

ध्यान देने योग्य

A और B की अदला-बदली अक्ष के ऊपर के आधे भाग को पहले चतुर्थांश के चौथाई भाग से उलझा देती है।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त x2+y2=20x^{2} + y^{2} = 20 के लिए, निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. इसकी त्रिज्या 252\sqrt{5} है।

II. ∫−252520−x2 dx=10π\int_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} \sqrt{20 - x^{2}}\,dx = 10\pi।

III. इससे घिरा क्षेत्रफल 4∫02020−x2 dx4\int_0^{20} \sqrt{20 - x^{2}}\,dx है।

IV. दूसरे चतुर्थांश में इसके भाग का क्षेत्रफल 5π5\pi है।

प्रश्न 44 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I, II और IV

  1. I: r2=20r^{2} = 20, इसलिए r=25r = 2\sqrt{5}। II: समाकल xx-अक्ष के ऊपर का आधा भाग है, 20π2=10π\frac{20\pi}{2} = 10\pi।

  2. III गलत है: ऊपरी सीमा त्रिज्या 252\sqrt{5} होनी चाहिए, 20 नहीं। IV: हर चतुर्थांश 20π4=5π\frac{20\pi}{4} = 5\pi है।

ध्यान देने योग्य

III को सही मानने में सीमा समीकरण के दाएँ पक्ष 20 पर रखी, त्रिज्या 252\sqrt{5} पर नहीं।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 के अंदर और वर्ग ∣x∣+∣y∣=5\lvert x \rvert + \lvert y \rvert = 5 के बाहर वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 45 के विकल्प

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उत्तरC · 25π−5025 \pi - 50 वर्ग इकाई

  1. पहले चतुर्थांश में वर्ग की भुजा जीवा x+y=5x + y = 5 है; वहाँ का टुकड़ा ∫05(25−x2−(5−x))dx=25π4−252\int_0^{5} \left(\sqrt{25 - x^{2}} - (5 - x)\right)dx = \frac{25\pi}{4} - \frac{25}{2} है।

  2. चारों चतुर्थांश बराबर टुकड़े देते हैं: 4(25π4−252)=25π−504\left(\frac{25\pi}{4} - \frac{25}{2}\right) = 25\pi - 50 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

25π4−252\frac{25\pi}{4} - \frac{25}{2} एक चतुर्थांश का टुकड़ा है; वर्ग चार बराबर टुकड़े काटता है।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कौन-सा समाकल पहले चतुर्थांश में रेखा y=3y = 3 के नीचे और वृत्त x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 के भीतर स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल देता है?

प्रश्न 46 के विकल्प

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उत्तरB · ∫0325−y2 dy\int_0^{3} \sqrt{25 - y^{2}}\,dy

  1. क्षेत्र y=0y = 0 से y=3y = 3 तक yy-अक्ष से लगा है; ऊँचाई yy पर पट्टी x=0x = 0 से वृत्त, x=25−y2x = \sqrt{25 - y^{2}}, तक है।

  2. इसलिए क्षेत्रफल ∫0325−y2 dy=6+252sin⁡−135\int_0^{3} \sqrt{25 - y^{2}}\,dy = 6 + \frac{25}{2}\sin^{-1}\frac{3}{5} है।

ध्यान देने योग्य

∫0425−x2 dx\int_0^{4} \sqrt{25 - x^{2}}\,dx में ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ चाप तक लीं, जो x<4x < 4 के लिए रेखा y=3y = 3 से ऊपर उठ जाता है।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र वृत्त x2+y2=16x^{2} + y^{2} = 16 का वह छोटा भाग दिखाता है जो रेखा x=22x = 2\sqrt{2} से कटता है। उसका क्षेत्रफल क्या है?

मूलबिंदु पर केंद्रित त्रिज्या 4 का वृत्त, रेखा x = 2√2 के दाईं ओर का भाग छायांकित
प्रश्न 47 के विकल्प

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उत्तरB · −8+4π-8 + 4 \pi वर्ग इकाई

  1. भाग xx-अक्ष के सापेक्ष सममित है: 2∫22416−x2 dx2\int_{2\sqrt{2}}^{4} \sqrt{16 - x^{2}}\,dx।

  2. ∫16−x2 dx=x216−x2+8sin⁡−1x4\int \sqrt{16 - x^{2}}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{16 - x^{2}} + 8\sin^{-1}\frac{x}{4}; सीमाओं के बीच यह 2π−42\pi - 4 देता है, इसलिए क्षेत्रफल 4π−84\pi - 8 है।

ध्यान देने योग्य

2π−42\pi - 4 केवल xx-अक्ष के ऊपर का भाग है।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पहले चतुर्थांश में xx-अक्ष, रेखा y=xy = x और वृत्त x2+y2=8x^{2} + y^{2} = 8 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 48 के विकल्प

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उत्तरB · π\pi वर्ग इकाई

  1. रेखा वृत्त से (2,2)(2, 2) पर मिलती है। x=2x = 2 पर बाँटिए: ∫02x dx+∫2228−x2 dx\int_0^{2} x\,dx + \int_2^{2\sqrt{2}} \sqrt{8 - x^{2}}\,dx।

  2. 2+(π−2)=π2 + (\pi - 2) = \pi वर्ग इकाई: वृत्त का आठवाँ भाग, 8π8\frac{8\pi}{8}।

ध्यान देने योग्य

π−2\pi - 2 केवल दूसरा समाकल है; y=xy = x के नीचे का त्रिभुज 2 जोड़ता है।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पहले चतुर्थांश में वृत्त x2+y2=16x^{2} + y^{2} = 16 और रेखा x+y=4x + y = 4 के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 49 के विकल्प

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उत्तरA · −8+4π-8 + 4 \pi वर्ग इकाई

  1. चौथाई वृत्त घटा रेखा के नीचे का त्रिभुज: ∫04(16−x2−(4−x))dx\int_0^{4} \left(\sqrt{16 - x^{2}} - (4 - x)\right)dx।

  2. 4π−12×4×4=4π−84\pi - \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 4\pi - 8 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

4π4\pi पूरा चौथाई वृत्त है, त्रिभुज घटाने से पहले।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4 के रेखा x=1x = 1 के दाईं ओर वाले भाग का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 50 के विकल्प

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उत्तरB · −3+4π3- \sqrt{3} + \frac{4 \pi}{3} वर्ग इकाई

  1. 2∫124−x2 dx2\int_1^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\,dx, जहाँ ∫4−x2 dx=x24−x2+2sin⁡−1x2\int \sqrt{4 - x^{2}}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^{2}} + 2\sin^{-1}\frac{x}{2}।

  2. सीमाओं के बीच: π−(32+π3)=2π3−32\pi - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}; दोगुना, 4π3−3\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}।

ध्यान देने योग्य

2π3−32\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} केवल xx-अक्ष के ऊपर का आधा भाग है।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 को रेखा x=3x = 3 एक छोटे और एक बड़े भाग में काटती है।

वृत्त के छोटे भाग, x=3x = 3 के दाईं ओर, का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 51 के विकल्प

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उत्तरC · −25sin⁡−1(35)−12+25π2- 25 \sin^{-1}{\left(\frac{3}{5} \right)} - 12 + \frac{25 \pi}{2} वर्ग इकाई

  1. 2∫3525−x2 dx2\int_3^{5} \sqrt{25 - x^{2}}\,dx, जहाँ ∫25−x2 dx=x225−x2+252sin⁡−1x5\int \sqrt{25 - x^{2}}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{25 - x^{2}} + \frac{25}{2}\sin^{-1}\frac{x}{5}।

  2. 3 और 5 के बीच: 25π4−6−252sin⁡−135\frac{25\pi}{4} - 6 - \frac{25}{2}\sin^{-1}\frac{3}{5}; दोगुना, −25sin⁡−1(35)−12+25π2- 25 \sin^{-1}{\left(\frac{3}{5} \right)} - 12 + \frac{25 \pi}{2}।

ध्यान देने योग्य

इसका आधा केवल xx-अक्ष के ऊपर का भाग है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

a>0a > 0 के लिए, पहले चतुर्थांश में वृत्त x2+y2=a2x^{2} + y^{2} = a^{2} के अंदर और रेखा x=a2x = \frac{a}{2} के दाईं ओर वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 52 के विकल्प

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उत्तरD · (π6−38)a2\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}\right)a^{2}

  1. ∫a/2aa2−x2 dx=[x2a2−x2+a22sin⁡−1xa]a/2a\int_{a/2}^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}\,dx = \left[\frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a}\right]_{a/2}^{a}।

  2. x=ax = a पर कोष्ठक πa24\frac{\pi a^{2}}{4} है; x=a2x = \frac{a}{2} पर यह 3a28+πa212\frac{\sqrt{3}a^{2}}{8} + \frac{\pi a^{2}}{12} है।

  3. अंतर: πa26−3a28\frac{\pi a^{2}}{6} - \frac{\sqrt{3}a^{2}}{8} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

πa26\frac{\pi a^{2}}{6} में केवल sin⁡−1\sin^{-1} वाले पद रखे और x=a2x = \frac{a}{2} पर x2a2−x2\frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} छोड़ दिया।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त x2+y2=8x^{2} + y^{2} = 8 के रेखाओं x=−2x = -2 और x=2x = 2 के बीच वाले भाग का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 53 के विकल्प

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उत्तरC · 8+4π8 + 4 \pi वर्ग इकाई

  1. भाग दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है: 4∫028−x2 dx4\int_0^{2} \sqrt{8 - x^{2}}\,dx।

  2. ∫028−x2 dx=[x28−x2+4sin⁡−1x22]02=2+4×π4=2+π\int_0^{2} \sqrt{8 - x^{2}}\,dx = \left[\frac{x}{2}\sqrt{8 - x^{2}} + 4\sin^{-1}\frac{x}{2\sqrt{2}}\right]_0^{2} = 2 + 4 \times \frac{\pi}{4} = 2 + \pi।

  3. क्षेत्रफल =4(2+π)=8+4π= 4(2 + \pi) = 8 + 4\pi वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

4+2π4 + 2\pi केवल xx-अक्ष के ऊपर का भाग है।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

क्षेत्र {(x,y):x2+y2≤16, y≥∣x∣}\{(x, y) : x^{2} + y^{2} \le 16,\ y \ge \lvert x \rvert\} का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 54 के विकल्प

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उत्तरB · 4π4 \pi वर्ग इकाई

  1. y=∣x∣y = \lvert x \rvert वृत्त से वहाँ मिलता है जहाँ 2x2=162x^{2} = 16, यानी x=±22x = \pm 2\sqrt{2} पर; क्षेत्र yy-अक्ष के सापेक्ष सममित है।

  2. दायाँ आधा: ∫022(16−x2−x)dx=(4+2π)−4=2π\int_0^{2\sqrt{2}} \left(\sqrt{16 - x^{2}} - x\right)dx = (4 + 2\pi) - 4 = 2\pi।

  3. दोनों आधे: 4π4\pi वर्ग इकाई, वृत्त का एक-चौथाई।

ध्यान देने योग्य

2π2\pi केवल x≥0x \ge 0 वाला आधा है; क्षेत्र का x<0x < 0 के लिए दर्पण-प्रतिबिंब भी है।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पहले चतुर्थांश में रेखा y=2y = 2 के नीचे और वृत्त x2+y2=16x^{2} + y^{2} = 16 के भीतर स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 55 के विकल्प

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उत्तरB · 23+4π32 \sqrt{3} + \frac{4 \pi}{3} वर्ग इकाई

  1. क्षेत्र yy-अक्ष से लगा है: क्षैतिज पट्टियाँ x=0x = 0 से x=16−y2x = \sqrt{16 - y^{2}} तक, 0≤y≤20 \le y \le 2 के लिए।

  2. ∫0216−y2 dy=[y216−y2+8sin⁡−1y4]02=12+8×π6\int_0^{2} \sqrt{16 - y^{2}}\,dy = \left[\frac{y}{2}\sqrt{16 - y^{2}} + 8\sin^{-1}\frac{y}{4}\right]_0^{2} = \sqrt{12} + 8 \times \frac{\pi}{6}।

  3. =23+4π3= 2\sqrt{3} + \frac{4\pi}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

23+8π32\sqrt{3} + \frac{8\pi}{3} में sin⁡−112\sin^{-1}\frac{1}{2} को π3\frac{\pi}{3} लिया; वह π6\frac{\pi}{6} है।

परवलय

32 प्रश्न

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पहले चतुर्थांश में y2=9xy^{2} = 9x, xx-अक्ष और रेखाओं x=1x = 1 तथा x=4x = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 56 के विकल्प

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उत्तरB · 14 वर्ग इकाई

  1. पहले चतुर्थांश में y=3xy = 3\sqrt{x}: ∫143x dx=2[x3/2]14\int_1^{4} 3\sqrt{x}\,dx = 2\left[x^{3/2}\right]_1^{4}।

  2. 2(8−1)=142(8 - 1) = 14 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

28 में क्षेत्र दोगुना किया, मानो परवलय के दोनों आधे गिने गए; प्रश्न पहले चतुर्थांश का है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

y=xy = x और y=x2y = x^{2} के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 57 के विकल्प

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उत्तरA · 16\frac{1}{6} वर्ग इकाई

  1. वे वहाँ मिलते हैं जहाँ x2=xx^{2} = x: x=0x = 0 और x=1x = 1, रेखा ऊपर है।

  2. ∫01(x−x2) dx=12−13=16\int_0^{1} (x - x^{2})\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

12\frac{1}{2} केवल रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

परवलय y2=4xy^{2} = 4x की नाभि (1,0)(1, 0) पर है, और उसकी नाभिलंब जीवा x=1x = 1 है।

नाभिलंब जीवा x=1x = 1 परवलय y2=4xy^{2} = 4x से कहाँ मिलती है?

प्रश्न 58 के विकल्प

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उत्तरD · (1,2)(1, 2) और (1,−2)(1, -2)

  1. y2=4×1=4y^{2} = 4 \times 1 = 4।

  2. y=±2y = \pm 2।

ध्यान देने योग्य

(1,4)(1, 4) में y2=4y^{2} = 4 पर रुक गए।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पहले चतुर्थांश में y2=xy^{2} = x और रेखा x=9x = 9 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 59 के विकल्प

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उत्तरA · 18 वर्ग इकाई

  1. पहले चतुर्थांश में y=xy = \sqrt{x}: ∫09x dx=23x3/2∣09\int_0^{9} \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_0^{9}।

  2. 23×27=18\frac{2}{3} \times 27 = 18 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

36 में क्षेत्र दोगुना किया, xx-अक्ष के नीचे का भाग भी गिना।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

y=x2y = x^{2}, xx-अक्ष और रेखाओं x=1x = 1 तथा x=2x = 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 60 के विकल्प

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उत्तरB · 73\frac{7}{3} वर्ग इकाई

  1. ∫12x2 dx=[x33]12\int_1^{2} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_1^{2}।

  2. 83−13=73\frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

83\frac{8}{3} में केवल ऊपरी सीमा ली, मानो क्षेत्र x=0x = 0 से शुरू होता हो।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

परवलय y2=4xy^{2} = 4x की नाभि (1,0)(1, 0) पर है, और उसकी नाभिलंब जीवा x=1x = 1 है।

y2=4xy^{2} = 4x और उसकी नाभिलंब जीवा से घिरा पूरा क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 61 के विकल्प

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उत्तरC · 83\frac{8}{3} वर्ग इकाई

  1. अक्ष के ऊपर के आधे को दोगुना कीजिए: 2×432 \times \frac{4}{3}।

  2. 83\frac{8}{3} वर्ग इकाई, जो a=1a = 1 के साथ 83a2\frac{8}{3}a^{2} है।

ध्यान देने योग्य

4 क्षेत्र के चारों ओर भुजाओं 1 और 4 वाला आयत है।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

परवलय x2=6yx^{2} = 6y और रेखा y=6y = 6 से घिरा क्षेत्र ऊर्ध्वाधर पट्टियों से निकाला जाता है। समाकल xx की किन सीमाओं के बीच लिया जाता है?

प्रश्न 62 के विकल्प

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उत्तरA · x=−6x = -6 से x=6x = 6 तक

  1. रेखा परवलय से वहाँ मिलती है जहाँ x2=6×6=36x^{2} = 6 \times 6 = 36, इसलिए x=±6x = \pm 6।

  2. उनके बीच रेखा परवलय के ऊपर है: ∫−66(6−x26)dx\int_{-6}^{6} \left(6 - \frac{x^{2}}{6}\right)dx।

ध्यान देने योग्य

±6\pm\sqrt{6} में x2=6x^{2} = 6 हल किया, यह भूलकर कि y=6y = 6 पर दायाँ पक्ष 6×66 \times 6 है।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

क्षैतिज पट्टियों से, कौन-सा समाकल परवलय x2=2yx^{2} = 2y और रेखा y=2y = 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल देता है?

प्रश्न 63 के विकल्प

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उत्तरD · ∫0222y dy\int_0^{2} 2\sqrt{2y}\,dy

  1. x2=2yx^{2} = 2y से x=±2yx = \pm\sqrt{2y}, इसलिए ऊँचाई yy पर पट्टी −2y-\sqrt{2y} से 2y\sqrt{2y} तक है, लंबाई 22y2\sqrt{2y}।

  2. पट्टियाँ शीर्ष, y=0y = 0, से y=2y = 2 तक हैं: ∫0222y dy=163\int_0^{2} 2\sqrt{2y}\,dy = \frac{16}{3}।

ध्यान देने योग्य

∫022y dy\int_0^{2} \sqrt{2y}\,dy हर पट्टी को केवल yy-अक्ष से दाईं भुजा तक नापता है, क्षेत्र का आधा।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

परवलय x2=−16yx^{2} = -16y और रेखा y=−4y = -4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 64 के विकल्प

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उत्तरB · 1283\frac{128}{3} वर्ग इकाई

  1. रेखा परवलय से वहाँ मिलती है जहाँ x2=64x^{2} = 64, यानी x=±8x = \pm 8 पर; उनके बीच परवलय y=−x216y = -\frac{x^{2}}{16}, रेखा y=−4y = -4 के ऊपर है।

  2. ∫−88(4−x216)dx=64−643=1283\int_{-8}^{8} \left(4 - \frac{x^{2}}{16}\right)dx = 64 - \frac{64}{3} = \frac{128}{3} वर्ग इकाई, जो a=4a = 4 के साथ 83a2\frac{8}{3}a^{2} है।

ध्यान देने योग्य

643\frac{64}{3} तो ∫−88x216 dx\int_{-8}^{8} \frac{x^{2}}{16}\,dx है: 16×416 \times 4 आयत का परवलय और xx-अक्ष के बीच वाला भाग, जो क्षेत्र के बाहर है।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पहले चतुर्थांश में x2=4yx^{2} = 4y, yy-अक्ष और रेखाओं y=1y = 1 तथा y=4y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 65 के विकल्प

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उत्तरC · 283\frac{28}{3} वर्ग इकाई

  1. क्षेत्र yy-अक्ष से लगा है, इसलिए क्षैतिज पट्टियाँ लीजिए: x=2yx = 2\sqrt{y}, ∫142y dy\int_1^{4} 2\sqrt{y}\,dy।

  2. 43[y3/2]14=43(8−1)=283\frac{4}{3}\left[y^{3/2}\right]_1^{4} = \frac{4}{3}(8 - 1) = \frac{28}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

214\frac{21}{4} में xx के अनुदिश x24\frac{x^{2}}{4} का समाकल लिया, वक्र के नीचे का क्षेत्रफल, उसके बगल का नहीं।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र परवलय y2=8xy^{2} = 8x और रेखा x=2x = 2, उसकी नाभिलंब जीवा, से घिरा क्षेत्र दिखाता है। उसका क्षेत्रफल क्या है?

दाईं ओर खुलता परवलय y² = 8x, रेखा x = 2 तक का क्षेत्र छायांकित
प्रश्न 66 के विकल्प

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उत्तरC · 323\frac{32}{3} वर्ग इकाई

  1. क्षेत्र xx-अक्ष के सापेक्ष सममित है: 2∫028x dx2\int_0^{2} \sqrt{8x}\,dx।

  2. 28⋅23x3/2∣02=2×163=3232\sqrt{8} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_0^{2} = 2 \times \frac{16}{3} = \frac{32}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

163\frac{16}{3}, xx-अक्ष के ऊपर का आधा भाग है।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र y=x2y = x^{2} और रेखा y=4y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 67 के विकल्प

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उत्तरC · 323\frac{32}{3} वर्ग इकाई

  1. वे x=±2x = \pm 2 पर मिलते हैं; रेखा ऊपर है: ∫−22(4−x2) dx\int_{-2}^{2} (4 - x^{2})\,dx।

  2. 16−163=32316 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

163\frac{16}{3}, −2-2 से 2 तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल है; क्षेत्र उसके ऊपर, रेखा के भीतर का भाग है।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

a>0a > 0 के किस मान के लिए x=0x = 0 से x=ax = a तक y=x2y = x^{2} के नीचे का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है?

प्रश्न 68 के विकल्प

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उत्तरB · 33

  1. ∫0ax2 dx=a33=9\int_0^{a} x^{2}\,dx = \frac{a^{3}}{3} = 9।

  2. a3=27a^{3} = 27, इसलिए a=3a = 3।

ध्यान देने योग्य

27, a3a^{3} है; अभी घनमूल लेना बाकी है।

प्रश्न 69

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

परवलय y2=4xy^{2} = 4x और रेखा y=2xy = 2x के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 69 के विकल्प

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उत्तरA · 13\frac{1}{3} वर्ग इकाई

  1. 4x2=4x4x^{2} = 4x से x=0,1x = 0, 1; उनके बीच y=2xy = 2\sqrt{x}, y=2xy = 2x के ऊपर है।

  2. ∫01(2x−2x) dx=43−1=13\int_0^{1} (2\sqrt{x} - 2x)\,dx = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

43\frac{4}{3} केवल परवलय के ऊपरी आधे के नीचे का क्षेत्रफल है।

प्रश्न 70

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

y2=4xy^{2} = 4x और रेखा x=4x = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 70 के विकल्प

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उत्तरC · 643\frac{64}{3} वर्ग इकाई

  1. सममिति से, 2∫042x dx=4×23x3/2∣042\int_0^{4} 2\sqrt{x}\,dx = 4 \times \frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_0^{4}।

  2. 4×23×8=6434 \times \frac{2}{3} \times 8 = \frac{64}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

323\frac{32}{3}, xx-अक्ष के ऊपर का आधा भाग है।

प्रश्न 71

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

x2=4yx^{2} = 4y और रेखा y=1y = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 71 के विकल्प

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उत्तरB · 83\frac{8}{3} वर्ग इकाई

  1. वे x=±2x = \pm 2 पर मिलते हैं; रेखा y=x24y = \frac{x^{2}}{4} के ऊपर है: ∫−22(1−x24)dx\int_{-2}^{2} \left(1 - \frac{x^{2}}{4}\right)dx।

  2. 4−1612=834 - \frac{16}{12} = \frac{8}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

43\frac{4}{3} परवलय के नीचे का क्षेत्रफल है, उसके ऊपर का क्षेत्र नहीं।

प्रश्न 72

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

परवलय y2=4xy^{2} = 4x की नाभि (1,0)(1, 0) पर है, और उसकी नाभिलंब जीवा x=1x = 1 है।

इस क्षेत्र के xx-अक्ष के ऊपर वाले भाग का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 72 के विकल्प

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उत्तरB · 43\frac{4}{3} वर्ग इकाई

  1. ∫012x dx=2×23\int_0^{1} 2\sqrt{x}\,dx = 2 \times \frac{2}{3}।

  2. 43\frac{4}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

23\frac{2}{3} में x\sqrt{x} का समाकल लिया, y=2xy = 2\sqrt{x} का गुणक 2 भूलकर।

प्रश्न 73

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. जब कोई क्षेत्र xx-अक्ष के नीचे हो, तो उसका समाकल ऋणात्मक होता है और क्षेत्रफल उसका निरपेक्ष मान है।

II. यदि रेखा y=g(x)y = g(x) वक्र y=f(x)y = f(x) को काटती है और उनके मिलन-बिंदुओं के बीच उसके नीचे है, तो कटे क्षेत्र का क्षेत्रफल उन बिंदुओं के बीच ∫(f−g) dx\int (f - g)\,dx है।

प्रश्न 73 के विकल्प

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उत्तरC · I और II दोनों

  1. I: ∫03(x−3) dx=−92\int_0^{3} (x - 3)\,dx = -\frac{9}{2}, क्षेत्रफल 92\frac{9}{2}। सही।

  2. II: उदाहरण के लिए y=x2y = x^{2} के ऊपर y=xy = x के लिए ∫01(x−x2) dx\int_0^{1} (x - x^{2})\,dx। सही।

प्रश्न 74

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. c>0c > 0 के लिए, y2=4xy^{2} = 4x और रेखा x=cx = c से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल आयत 0≤x≤c0 \le x \le c, −2c≤y≤2c-2\sqrt{c} \le y \le 2\sqrt{c} के क्षेत्रफल का 23\frac{2}{3} है।

II. y=x2y = x^{2} और रेखा y=1y = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल y=x2y = x^{2}, xx-अक्ष और रेखाओं x=−1x = -1 तथा x=1x = 1 से घिरे क्षेत्र का दोगुना है।

प्रश्न 74 के विकल्प

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उत्तरC · I और II दोनों

  1. I: 2∫0c2x dx=83c3/22\int_0^{c} 2\sqrt{x}\,dx = \frac{8}{3}c^{3/2}, और आयत c×4c=4c3/2c \times 4\sqrt{c} = 4c^{3/2} है; अनुपात 23\frac{2}{3} है। सही।

  2. II: ∫−11(1−x2) dx=43\int_{-1}^{1} (1 - x^{2})\,dx = \frac{4}{3} और ∫−11x2 dx=23\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = \frac{2}{3}। सही।

ध्यान देने योग्य

II पर संदेह दोनों क्षेत्रों को उलझा देता है: परवलय के अंदर वाला क्षेत्र 2×12 \times 1 आयत का बचा भाग, 2−232 - \frac{2}{3}, है।

प्रश्न 75

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वक्र y=x2+x−6y = x^{2} + x - 6 और xx-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 75 के विकल्प

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उत्तरC · 1256\frac{125}{6} वर्ग इकाई

  1. x2+x−6=(x+3)(x−2)x^{2} + x - 6 = (x + 3)(x - 2): वक्र xx-अक्ष से x=−3x = -3 और x=2x = 2 पर मिलता है और उनके बीच उसके नीचे है।

  2. ∫−32(x2+x−6) dx=−1256\int_{-3}^{2} (x^{2} + x - 6)\,dx = -\frac{125}{6}, इसलिए क्षेत्रफल 1256\frac{125}{6} वर्ग इकाई है।

ध्यान देने योग्य

−1256-\frac{125}{6} समाकल है; क्षेत्र xx-अक्ष के नीचे है, इसलिए क्षेत्रफल उसका निरपेक्ष मान है।

प्रश्न 76

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कौन-सा व्यंजक पहले चतुर्थांश में वक्र y=x2y = x^{2}, रेखा x+y=2x + y = 2 और xx-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल देता है?

प्रश्न 76 के विकल्प

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उत्तरA · ∫01x2 dx+∫12(2−x) dx\int_0^{1} x^{2}\,dx + \int_1^{2} (2 - x)\,dx

  1. y=x2y = x^{2}, x+y=2x + y = 2 से वहाँ मिलता है जहाँ x2+x−2=0x^{2} + x - 2 = 0, पहले चतुर्थांश में x=1x = 1 पर; रेखा xx-अक्ष से x=2x = 2 पर मिलती है।

  2. ऊपरी किनारा 0≤x≤10 \le x \le 1 के लिए परवलय और 1≤x≤21 \le x \le 2 के लिए रेखा है: ∫01x2 dx+∫12(2−x) dx=13+12=56\int_0^{1} x^{2}\,dx + \int_1^{2} (2 - x)\,dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}।

ध्यान देने योग्य

∫01(2−x−x2) dx\int_0^{1} (2 - x - x^{2})\,dx रेखा और परवलय के बीच का क्षेत्र है, जिसे xx-अक्ष नहीं, yy-अक्ष बंद करता है।

प्रश्न 77

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

c>0c > 0 के लिए, परवलय y=x2y = x^{2} और रेखा y=cy = c से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 77 के विकल्प

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उत्तरA · 43c3/2\frac{4}{3}c^{3/2}

  1. y=cy = c, y=x2y = x^{2} से x=±cx = \pm\sqrt{c} पर मिलती है और उनके बीच उसके ऊपर है।

  2. ∫−cc(c−x2) dx=2c3/2−23c3/2=43c3/2\int_{-\sqrt{c}}^{\sqrt{c}} (c - x^{2})\,dx = 2c^{3/2} - \frac{2}{3}c^{3/2} = \frac{4}{3}c^{3/2} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

23c3/2\frac{2}{3}c^{3/2} तो ∫−ccx2 dx\int_{-\sqrt{c}}^{\sqrt{c}} x^{2}\,dx, परवलय के नीचे का क्षेत्रफल, है, उसके ऊपर का क्षेत्र नहीं।

प्रश्न 78

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मान लीजिए A1A_1 परवलय y2=4xy^{2} = 4x और रेखा x=1x = 1 से घिरा क्षेत्रफल है, और A2A_2 उसी परवलय और रेखा x=4x = 4 से घिरा क्षेत्रफल। A2A1\frac{A_2}{A_1} क्या है?

प्रश्न 78 के विकल्प

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उत्तरC · 88

  1. x=cx = c तक क्षेत्रफल 2∫0c2x dx=83c3/22\int_0^{c} 2\sqrt{x}\,dx = \frac{8}{3}c^{3/2} है: A1=83A_1 = \frac{8}{3} और A2=83×8=643A_2 = \frac{8}{3} \times 8 = \frac{64}{3}।

  2. A2A1=43/2=8\frac{A_2}{A_1} = 4^{3/2} = 8।

ध्यान देने योग्य

4 मान लेता है कि क्षेत्रफल cc की तरह बढ़ता है; वह c3/2c^{3/2} की तरह बढ़ता है, क्योंकि क्षेत्र लंबा होने के साथ ऊँचा भी होता है।

प्रश्न 79

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

परवलय y=x2y = x^{2} और रेखा y=x+2y = x + 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 79 के विकल्प

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उत्तरC · 4.5 वर्ग इकाई

  1. x2=x+2x^{2} = x + 2 से x=−1x = -1 और x=2x = 2; उनके बीच रेखा परवलय के ऊपर है।

  2. ∫−12(x+2−x2) dx=[x22+2x−x33]−12=103+76=92\int_{-1}^{2} (x + 2 - x^{2})\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2} + 2x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

152\frac{15}{2} केवल रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है; परवलय के नीचे का 3 घटाना है।

प्रश्न 80

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

परवलय x2=8yx^{2} = 8y और रेखा y=2y = 2 से घिरे क्षेत्र के लिए, निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. रेखा परवलय से (−4,2)(-4, 2) और (4,2)(4, 2) पर मिलती है।

II. इसका क्षेत्रफल 2∫04(2−x28)dx2\int_0^{4} \left(2 - \frac{x^{2}}{8}\right)dx है।

III. इसका क्षेत्रफल 323\frac{32}{3} वर्ग इकाई है।

IV. इसका क्षेत्रफल ∫028y dy\int_0^{2} \sqrt{8y}\,dy है।

प्रश्न 80 के विकल्प

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उत्तरD · केवल I, II और III

  1. I: x2=16x^{2} = 16, इसलिए x=±4x = \pm 4। II और III: रेखा परवलय के ऊपर है और क्षेत्र yy-अक्ष के सापेक्ष सममित है, इसलिए क्षेत्रफल 2∫04(2−x28)dx=2(8−83)=3232\int_0^{4} \left(2 - \frac{x^{2}}{8}\right)dx = 2\left(8 - \frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3} है।

  2. IV: क्षैतिज पट्टी −8y-\sqrt{8y} से 8y\sqrt{8y} तक है, इसलिए उसकी लंबाई 28y2\sqrt{8y} है; ∫028y dy=163\int_0^{2} \sqrt{8y}\,dy = \frac{16}{3} केवल आधा क्षेत्रफल है। गलत।

ध्यान देने योग्य

IV को सही मानने में हर क्षैतिज पट्टी का केवल दायाँ आधा गिना।

प्रश्न 81

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

y2=4axy^{2} = 4ax और उसकी नाभिलंब जीवा x=ax = a से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल 83a2\frac{8}{3}a^{2} है। a>0a > 0 के किस मान के लिए यह क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है?

प्रश्न 81 के विकल्प

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उत्तरB · 33

  1. 83a2=24\frac{8}{3}a^{2} = 24 से a2=9a^{2} = 9।

  2. a=3a = 3।

ध्यान देने योग्य

9 तो a2a^{2} है; वर्गमूल अभी लेना है।

प्रश्न 82

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

परवलय y2=4xy^{2} = 4x की नाभि (1,0)(1, 0) पर है, और उसकी नाभिलंब जीवा x=1x = 1 है।

परवलय y2=4xy^{2} = 4x के रेखाओं x=1x = 1 और x=4x = 4 के बीच वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 82 के विकल्प

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उत्तरC · 563\frac{56}{3} वर्ग इकाई

  1. 2∫142x dx=4×23(8−1)2\int_1^{4} 2\sqrt{x}\,dx = 4 \times \frac{2}{3}\left(8 - 1\right)।

  2. 563\frac{56}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

643\frac{64}{3}, x=0x = 0 से चलता है, नाभिलंब जीवा तक का भाग भी गिनते हुए।

प्रश्न 83

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

परवलय y2=4xy^{2} = 4x और रेखा y=2x−4y = 2x - 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 83 के विकल्प

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उत्तरB · 9 वर्ग इकाई

  1. yy के पदों में xx: परवलय x=y24x = \frac{y^{2}}{4} और रेखा x=y+42x = \frac{y + 4}{2} है। वे वहाँ मिलते हैं जहाँ y2−2y−8=0y^{2} - 2y - 8 = 0, यानी y=−2y = -2 और y=4y = 4 पर।

  2. क्षैतिज पट्टियाँ परवलय से रेखा तक हैं: ∫−24(y+42−y24)dy\int_{-2}^{4} \left(\frac{y + 4}{2} - \frac{y^{2}}{4}\right)dy।

  3. [y24+2y−y312]−24=203+73=9\left[\frac{y^{2}}{4} + 2y - \frac{y^{3}}{12}\right]_{-2}^{4} = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = 9 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

323\frac{32}{3} में ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ x=0x = 0 से ही रेखा को निचला किनारा मानकर लीं; 0≤x≤10 \le x \le 1 के लिए निचला किनारा परवलय की निचली भुजा है।

प्रश्न 84

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पहले चतुर्थांश में वक्र y=xy = \sqrt{x}, रेखा y=x−2y = x - 2 और xx-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 84 के विकल्प

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उत्तरB · 103\frac{10}{3} वर्ग इकाई

  1. वक्र रेखा से वहाँ मिलता है जहाँ x=x−2\sqrt{x} = x - 2, यानी (4,2)(4, 2) पर; रेखा xx-अक्ष से (2,0)(2, 0) पर मिलती है।

  2. क्षैतिज पट्टियाँ वक्र x=y2x = y^{2} से रेखा x=y+2x = y + 2 तक हैं: ∫02(y+2−y2) dy=2+4−83=103\int_0^{2} (y + 2 - y^{2})\,dy = 2 + 4 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

163\frac{16}{3} तो x=4x = 4 तक वक्र के नीचे का पूरा क्षेत्रफल है; रेखा के नीचे का क्षेत्रफल 2 वाला त्रिभुज क्षेत्र का भाग नहीं है।

प्रश्न 85

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

k>0k > 0 के लिए, परवलय y=kx2y = kx^{2} और रेखा y=4y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल 163\frac{16}{3} वर्ग इकाई है। kk क्या है?

प्रश्न 85 के विकल्प

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उत्तरD · 44

  1. रेखा परवलय से वहाँ मिलती है जहाँ kx2=4kx^{2} = 4, यानी x=±2kx = \pm\frac{2}{\sqrt{k}} पर।

  2. क्षेत्रफल =2∫02/k(4−kx2) dx=2(8k−83k)=323k= 2\int_0^{2/\sqrt{k}} (4 - kx^{2})\,dx = 2\left(\frac{8}{\sqrt{k}} - \frac{8}{3\sqrt{k}}\right) = \frac{32}{3\sqrt{k}}।

  3. 323k=163\frac{32}{3\sqrt{k}} = \frac{16}{3} से k=2\sqrt{k} = 2, इसलिए k=4k = 4।

ध्यान देने योग्य

2 तो k\sqrt{k} है; उसका वर्ग करना अभी बाकी है।

प्रश्न 86

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा y=cy = c, परवलय y=x2y = x^{2} और रेखा y=4y = 4 से घिरे क्षेत्र को बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में बाँटती है। cc क्या है?

प्रश्न 86 के विकल्प

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उत्तरC · 2232\sqrt[3]{2}

  1. y=cy = c के नीचे का भाग y=x2y = x^{2} और y=cy = c से घिरा है, इसलिए उसका क्षेत्रफल 43c3/2\frac{4}{3}c^{3/2} है; पूरे क्षेत्र का, c=4c = 4 के साथ, 323\frac{32}{3}।

  2. 43c3/2=163\frac{4}{3}c^{3/2} = \frac{16}{3} से c3/2=4c^{3/2} = 4, इसलिए c=42/3=223c = 4^{2/3} = 2\sqrt[3]{2}।

ध्यान देने योग्य

2 ऊँचाई को आधा करता है, पर क्षेत्र ऊपर चौड़ा है, इसलिए क्षेत्रफल को आधा करने वाली रेखा बीच से ऊपर है।

प्रश्न 87

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

m>0m > 0 के लिए, परवलय y=x2y = x^{2} और रेखा y=mxy = mx से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल 43\frac{4}{3} वर्ग इकाई है। mm क्या है?

प्रश्न 87 के विकल्प

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उत्तरB · 22

  1. x2=mxx^{2} = mx, x=0x = 0 और x=mx = m पर; उनके बीच रेखा परवलय के ऊपर है।

  2. ∫0m(mx−x2) dx=m32−m33=m36\int_0^{m} (mx - x^{2})\,dx = \frac{m^{3}}{2} - \frac{m^{3}}{3} = \frac{m^{3}}{6}।

  3. m36=43\frac{m^{3}}{6} = \frac{4}{3} से m3=8m^{3} = 8, इसलिए m=2m = 2।

ध्यान देने योग्य

8 में m3=8m^{3} = 8 पर रुक गए, घनमूल लिए बिना।

दीर्घवृत्त

28 प्रश्न

प्रश्न 88

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समाकलन से, दीर्घवृत्त x225+y216=1\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1 से घिरा क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 88 के विकल्प

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उत्तरB · 20π20 \pi वर्ग इकाई

  1. पहले चतुर्थांश में y=4525−x2y = \frac{4}{5}\sqrt{25 - x^{2}}; सममिति से क्षेत्रफल 4∫054525−x2 dx4\int_0^{5} \frac{4}{5}\sqrt{25 - x^{2}}\,dx है।

  2. 4×45×25π4=20π4 \times \frac{4}{5} \times \frac{25\pi}{4} = 20\pi वर्ग इकाई, जो a=5a = 5, b=4b = 4 के साथ πab\pi ab है।

ध्यान देने योग्य

400π400\pi में हर 25 और 16 गुणा किए; अर्ध-अक्ष उनके वर्गमूल, 5 और 4, हैं।

प्रश्न 89

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त x24+y29=1\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1 के पहले चतुर्थांश वाले भाग का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 89 के विकल्प

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उत्तरA · 3π2\frac{3 \pi}{2} वर्ग इकाई

  1. y=324−x2y = \frac{3}{2}\sqrt{4 - x^{2}}, इसलिए चतुर्थांश 32∫024−x2 dx=32×π\frac{3}{2}\int_0^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\,dx = \frac{3}{2} \times \pi है।

  2. 3π2\frac{3\pi}{2} वर्ग इकाई, π×2×3\pi \times 2 \times 3 का एक-चौथाई।

ध्यान देने योग्य

6π6\pi पूरा दीर्घवृत्त है।

प्रश्न 90

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त x2+4y2=16x^{2} + 4y^{2} = 16 से घिरा क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 90 के विकल्प

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उत्तरA · 8π8 \pi वर्ग इकाई

  1. मानक रूप में x216+y24=1\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1, इसलिए a=4a = 4, b=2b = 2।

  2. क्षेत्रफल =πab=8π= \pi ab = 8\pi वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

16π16\pi में समीकरण को पहले 16 से भाग दिए बिना bb को 4 पढ़ा।

प्रश्न 91

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त 4x2+9y2=364x^{2} + 9y^{2} = 36 से घिरा क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 91 के विकल्प

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उत्तरA · 6π6 \pi वर्ग इकाई

  1. 36 से भाग दीजिए: x29+y24=1\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1, इसलिए a=3a = 3 और b=2b = 2।

  2. क्षेत्रफल =πab=6π= \pi ab = 6\pi वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

36π36\pi में समीकरण को मानक रूप में लाने से पहले दाएँ पक्ष के 36 को abab पढ़ा।

प्रश्न 92

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 के पहले चतुर्थांश वाले भाग का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 92 के विकल्प

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उत्तरD · πab4\frac{\pi ab}{4}

  1. ∫0abaa2−x2 dx=ba⋅πa24\int_0^{a} \frac{b}{a}\sqrt{a^{2} - x^{2}}\,dx = \frac{b}{a} \cdot \frac{\pi a^{2}}{4}।

  2. =πab4= \frac{\pi ab}{4}, पूरे दीर्घवृत्त का चौथाई।

ध्यान देने योग्य

πab2\frac{\pi ab}{2}, xx-अक्ष के ऊपर का आधा भाग है।

प्रश्न 93

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कौन-सा समाकल दीर्घवृत्त x216+y225=1\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1 के xx-अक्ष के ऊपर वाले भाग का क्षेत्रफल देता है?

प्रश्न 93 के विकल्प

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उत्तरA · 54∫−4416−x2 dx\frac{5}{4}\int_{-4}^{4} \sqrt{16 - x^{2}}\,dx

  1. xx-अक्ष के ऊपर y=51−x216=5416−x2y = 5\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}} = \frac{5}{4}\sqrt{16 - x^{2}}, −4≤x≤4-4 \le x \le 4 के लिए।

  2. इसलिए क्षेत्रफल 54∫−4416−x2 dx=54×8π=10π\frac{5}{4}\int_{-4}^{4} \sqrt{16 - x^{2}}\,dx = \frac{5}{4} \times 8\pi = 10\pi है, π×4×5\pi \times 4 \times 5 का आधा।

ध्यान देने योग्य

45\frac{4}{5} में अर्ध-अक्ष अदल-बदलकर yy निकाला; y2y^{2} के नीचे वाला 5 अंश में जाता है।

प्रश्न 94

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

k>0k > 0 के लिए, दीर्घवृत्त x2k2+y24k2=1\frac{x^{2}}{k^{2}} + \frac{y^{2}}{4k^{2}} = 1 से घिरा क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 94 के विकल्प

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उत्तरA · 2πk22\pi k^{2}

  1. अर्ध-अक्ष a=k2=ka = \sqrt{k^{2}} = k और b=4k2=2kb = \sqrt{4k^{2}} = 2k हैं।

  2. क्षेत्रफल =πab=π×k×2k=2πk2= \pi ab = \pi \times k \times 2k = 2\pi k^{2} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

4πk44\pi k^{4} में हर k2k^{2} और 4k24k^{2} गुणा किए, उनके वर्गमूल नहीं।

प्रश्न 95

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त x236+y216=1\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1 अक्षों से (±6,0)(\pm 6, 0) और (0,±4)(0, \pm 4) पर मिलता है। इन चारों बिंदुओं को क्रम से मिलाने पर दीर्घवृत्त के अंदर एक चतुर्भुज QQ बनता है।

दीर्घवृत्त से घिरा क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 95 के विकल्प

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उत्तरC · 24π24 \pi वर्ग इकाई

  1. a=36=6a = \sqrt{36} = 6 और b=16=4b = \sqrt{16} = 4; पहले चतुर्थांश में y=2336−x2y = \frac{2}{3}\sqrt{36 - x^{2}}।

  2. क्षेत्रफल =4∫062336−x2 dx=4×23×9π=24π= 4\int_0^{6} \frac{2}{3}\sqrt{36 - x^{2}}\,dx = 4 \times \frac{2}{3} \times 9\pi = 24\pi वर्ग इकाई, जो πab\pi ab है।

ध्यान देने योग्य

6π6\pi एक चतुर्थांश वाला भाग है; दीर्घवृत्त ऐसे चार भाग है।

प्रश्न 96

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. दीर्घवृत्त x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 उतना ही क्षेत्रफल घेरता है जितना त्रिज्या ab\sqrt{ab} वाला वृत्त।

II. दीर्घवृत्त x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 के xx-अक्ष के ऊपर वाले भाग का क्षेत्रफल πab4\frac{\pi ab}{4} है।

प्रश्न 96 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I: π(ab)2=πab\pi\left(\sqrt{ab}\right)^{2} = \pi ab, दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल। सही।

  2. II: xx-अक्ष के ऊपर का भाग आधा दीर्घवृत्त, πab2\frac{\pi ab}{2}, है; πab4\frac{\pi ab}{4} एक चतुर्थांश है। गलत।

ध्यान देने योग्य

II को सही मानना अक्ष के ऊपर के आधे भाग को एक चतुर्थांश के चौथाई भाग से उलझा देता है।

प्रश्न 97

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त 9x2+y2=369x^{2} + y^{2} = 36 के yy-अक्ष के दाईं ओर वाले भाग का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 97 के विकल्प

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उत्तरB · 6π6 \pi वर्ग इकाई

  1. 36 से भाग दीजिए: x24+y236=1\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1, इसलिए a=2a = 2, b=6b = 6, और दीर्घवृत्त πab=12π\pi ab = 12\pi घेरता है।

  2. yy-अक्ष इसे दो बराबर आधों में काटता है: 2∫0234−x2 dx=6π2\int_0^{2} 3\sqrt{4 - x^{2}}\,dx = 6\pi वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

12π12\pi पूरा दीर्घवृत्त है; yy-अक्ष के दाईं ओर का भाग उसका आधा है।

प्रश्न 98

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. दीर्घवृत्त x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 का क्षेत्रफल πab\pi ab है।

II. a=ba = b वाला दीर्घवृत्त एक वृत्त है, और πab\pi ab, πa2\pi a^{2} बन जाता है।

III. x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 का क्षेत्रफल π(a+b)\pi(a + b) है।

IV. दीर्घवृत्त के दोनों अर्ध-अक्ष दोगुने करने पर उसका क्षेत्रफल 4 गुना होता है।

प्रश्न 98 के विकल्प

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उत्तरD · केवल I, II और IV

  1. I, II और IV सही हैं: π(2a)(2b)=4πab\pi(2a)(2b) = 4\pi ab।

  2. III गलत है: π(a+b)\pi(a + b) लंबाई × लंबाई की वर्ग इकाई में भी नहीं है।

प्रश्न 99

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कौन-सा समाकल दीर्घवृत्त x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 से घिरा क्षेत्रफल देता है?

प्रश्न 99 के विकल्प

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उत्तरD · 4ba∫0aa2−x2 dx\frac{4b}{a}\int_0^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}\,dx

  1. पहले चतुर्थांश में yy के लिए हल: y=baa2−x2y = \frac{b}{a}\sqrt{a^{2} - x^{2}}, 0≤x≤a0 \le x \le a के लिए।

  2. चार बराबर चतुर्थांश 4ba∫0aa2−x2 dx=πab\frac{4b}{a}\int_0^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}\,dx = \pi ab देते हैं।

ध्यान देने योग्य

4ab\frac{4a}{b} में अर्ध-अक्ष अदल-बदलकर yy निकाला।

प्रश्न 100

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त x2a2+y29=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{9} = 1, a>0a > 0, 12π12\pi क्षेत्रफल घेरता है। aa क्या है?

प्रश्न 100 के विकल्प

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उत्तरC · 44

  1. b=3b = 3 के साथ πab=12π\pi ab = 12\pi।

  2. 3a=123a = 12: a=4a = 4।

ध्यान देने योग्य

43\frac{4}{3} में b=9b = 9, हर, लिया, उसका वर्गमूल नहीं।

प्रश्न 101

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त x236+y216=1\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1 अक्षों से (±6,0)(\pm 6, 0) और (0,±4)(0, \pm 4) पर मिलता है। इन चारों बिंदुओं को क्रम से मिलाने पर दीर्घवृत्त के अंदर एक चतुर्भुज QQ बनता है।

QQ का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 101 के विकल्प

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उत्तरC · 48 वर्ग इकाई

  1. पहले चतुर्थांश में QQ की भुजा x6+y4=1\frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 1, यानी y=4−2x3y = 4 - \frac{2x}{3}, है: ∫06(4−2x3)dx=24−12=12\int_0^{6} \left(4 - \frac{2x}{3}\right)dx = 24 - 12 = 12।

  2. QQ दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है: 4×12=484 \times 12 = 48 वर्ग इकाई, 12×812 \times 8 का आधा।

ध्यान देने योग्य

12 केवल पहले चतुर्थांश वाला त्रिभुज है; QQ ऐसे चार त्रिभुज है।

प्रश्न 102

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त x236+y216=1\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1 अक्षों से (±6,0)(\pm 6, 0) और (0,±4)(0, \pm 4) पर मिलता है। इन चारों बिंदुओं को क्रम से मिलाने पर दीर्घवृत्त के अंदर एक चतुर्भुज QQ बनता है।

दीर्घवृत्त के अंदर पर QQ के बाहर वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 102 के विकल्प

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उत्तरB · 24π−4824 \pi - 48 वर्ग इकाई

  1. दीर्घवृत्त के अंदर और QQ के बाहर का क्षेत्र, दीर्घवृत्त में से QQ हटाने पर बचता है।

  2. 24π−4824\pi - 48 वर्ग इकाई: 6π−126\pi - 12 के चार बराबर टुकड़े, दीर्घवृत्त के हर चौथाई और उसकी जीवा के बीच एक।

ध्यान देने योग्य

6π−126\pi - 12 एक चतुर्थांश का टुकड़ा है; ऐसे चार हैं।

प्रश्न 103

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त x264+y216=1\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{16} = 1 के अंदर और रेखा y=2y = 2 के ऊपर का क्षेत्र ऊर्ध्वाधर पट्टियों से निकाला जाता है। समाकल xx की किन सीमाओं के बीच लिया जाता है?

प्रश्न 103 के विकल्प

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उत्तरD · x=−43x = -4\sqrt{3} से x=43x = 4\sqrt{3} तक

  1. y=2y = 2 पर: x264=1−416=34\frac{x^{2}}{64} = 1 - \frac{4}{16} = \frac{3}{4}, इसलिए x2=48x^{2} = 48 और x=±43x = \pm 4\sqrt{3}।

  2. इनके बीच चाप y=1264−x2y = \frac{1}{2}\sqrt{64 - x^{2}} रेखा के ऊपर है: ∫−4343(1264−x2−2)dx\int_{-4\sqrt{3}}^{4\sqrt{3}} \left(\frac{1}{2}\sqrt{64 - x^{2}} - 2\right)dx।

ध्यान देने योग्य

±8\pm 8 पर दीर्घवृत्त xx-अक्ष से मिलता है; y=2y = 2 के ऊपर क्षेत्र सँकरा है और वहाँ समाप्त होता है जहाँ रेखा दीर्घवृत्त से मिलती है।

प्रश्न 104

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): दीर्घवृत्त x216+y29=1\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1 और वृत्त x2+y2=12x^{2} + y^{2} = 12 बराबर क्षेत्रफल घेरते हैं।

कारण (R): x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 से घिरा क्षेत्रफल πab\pi ab है।

प्रश्न 104 के विकल्प

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उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

  1. R: 4ba∫0aa2−x2 dx=πab\frac{4b}{a}\int_0^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}\,dx = \pi ab। सही।

  2. इसलिए दीर्घवृत्त π×4×3=12π\pi \times 4 \times 3 = 12\pi घेरता है, और वृत्त, यानी a=b=12a = b = \sqrt{12} वाली स्थिति, 12π12\pi घेरता है: A सही है, और R उसकी व्याख्या करता है।

ध्यान देने योग्य

A पर संदेह 16 और 9 की तुलना 12 से करता है; क्षेत्रफल ab=12ab = 12 और त्रिज्या के वर्ग, वह भी 12, पर निर्भर हैं।

प्रश्न 105

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त 9x2+4y2=369x^{2} + 4y^{2} = 36 के लिए, निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. इसका क्षेत्रफल 36π36\pi है।

II. इसका क्षेत्रफल 4∫02324−x2 dx4\int_0^{2} \frac{3}{2}\sqrt{4 - x^{2}}\,dx है।

III. इसका क्षेत्रफल 4∫03239−y2 dy4\int_0^{3} \frac{2}{3}\sqrt{9 - y^{2}}\,dy है।

IV. पहले चतुर्थांश में इसके भाग का क्षेत्रफल 3π2\frac{3\pi}{2} है।

प्रश्न 105 के विकल्प

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उत्तरD · केवल II, III और IV

  1. मानक रूप: x24+y29=1\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1, इसलिए a=2a = 2, b=3b = 3 और क्षेत्रफल 6π6\pi है, 36π36\pi नहीं। I गलत है, और IV, 6π6\pi का एक-चौथाई, सही है।

  2. II में y=324−x2y = \frac{3}{2}\sqrt{4 - x^{2}} और III में x=239−y2x = \frac{2}{3}\sqrt{9 - y^{2}} निकाला; दोनों 6π6\pi देते हैं, इसलिए दोनों सही हैं।

ध्यान देने योग्य

I को सही मानने में दाएँ पक्ष के 36 को अर्ध-अक्षों का गुणनफल पढ़ा; मानक रूप में वे 2 और 3 हैं।

प्रश्न 106

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

b>0b > 0 के लिए, दीर्घवृत्त x225+y2b2=1\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 उतना ही क्षेत्रफल घेरता है जितना वृत्त x2+y2=20x^{2} + y^{2} = 20। bb क्या है?

प्रश्न 106 के विकल्प

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उत्तरB · 44

  1. वृत्त की त्रिज्या 20\sqrt{20} है, इसलिए वह 20π20\pi घेरता है; दीर्घवृत्त में a=5a = 5 है और वह 5πb5\pi b घेरता है।

  2. 5πb=20π5\pi b = 20\pi से b=4b = 4।

ध्यान देने योग्य

45\frac{4}{5} में a=25a = 25, स्वयं हर, लिया, उसका वर्गमूल 5 नहीं।

प्रश्न 107

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर दीर्घवृत्त को सूची II में उसके घेरे क्षेत्रफल से मिलाइए।

सूची Iसूची II
A. x29+y2=1\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1I. 2π2\pi
B. 4x2+y2=44x^{2} + y^{2} = 4II. 12π12\pi
C. x2+4y2=36x^{2} + 4y^{2} = 36III. 3π3\pi
D. 9x2+16y2=1449x^{2} + 16y^{2} = 144IV. 18π18\pi
प्रश्न 107 के विकल्प

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उत्तरD · A-III, B-I, C-IV, D-II

  1. A: a=3a = 3, b=1b = 1। B: 4 से भाग देकर x2+y24=1x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1, इसलिए a=1a = 1, b=2b = 2।

  2. C: x236+y29=1\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1, क्षेत्रफल π×6×3\pi \times 6 \times 3। D: x216+y29=1\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1, क्षेत्रफल π×4×3\pi \times 4 \times 3।

ध्यान देने योग्य

A और B की अदला-बदली B को गलत पढ़ती है: 4x2+y2=44x^{2} + y^{2} = 4 को 4 से भाग देने पर अर्ध-अक्ष 1 और 2 मिलते हैं।

प्रश्न 108

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वृत्त x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 से घिरे क्षेत्रफल का कितना भाग दीर्घवृत्त x225+y29=1\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 घेरता है?

प्रश्न 108 के विकल्प

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उत्तरD · 35\frac{3}{5}

  1. दीर्घवृत्त में a=5a = 5, b=3b = 3: यह 4×35∫0525−x2 dx=15π\frac{4 \times 3}{5}\int_0^{5} \sqrt{25 - x^{2}}\,dx = 15\pi घेरता है; वृत्त 25π25\pi घेरता है।

  2. 15π25π=35\frac{15\pi}{25\pi} = \frac{3}{5}, जो ba\frac{b}{a} है: दीर्घवृत्त की हर ऊर्ध्वाधर पट्टी वृत्त की पट्टी का 35\frac{3}{5} है।

ध्यान देने योग्य

925\frac{9}{25} में हर 9 और 25 की तुलना की; पट्टियाँ ba=35\frac{b}{a} = \frac{3}{5} के अनुपात में छोटी होती हैं, उसके वर्ग में नहीं।

प्रश्न 109

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चित्र पहले चतुर्थांश में दीर्घवृत्त x29+y24=1\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1 और जीवा x3+y2=1\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1 के बीच का क्षेत्र दिखाता है। उसका क्षेत्रफल क्या है?

अर्ध-अक्ष 3 और 2 वाला दीर्घवृत्त, और (3, 0) से (0, 2) तक की जीवा; पहले चतुर्थांश में उनके बीच का क्षेत्र छायांकित
प्रश्न 109 के विकल्प

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उत्तरA · −3+3π2-3 + \frac{3 \pi}{2} वर्ग इकाई

  1. चौथाई दीर्घवृत्त घटा जीवा के नीचे का त्रिभुज: ∫03(239−x2−(2−2x3))dx\int_0^{3} \left(\frac{2}{3}\sqrt{9 - x^{2}} - \left(2 - \frac{2x}{3}\right)\right)dx।

  2. 3π2−12×3×2=3π2−3\frac{3\pi}{2} - \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = \frac{3\pi}{2} - 3 वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

3π2\frac{3\pi}{2} पूरा चौथाई दीर्घवृत्त है, क्षेत्रफल 3 वाला त्रिभुज घटाने से पहले।

प्रश्न 110

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त x216+y24=1\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1 के लिए, पहले चतुर्थांश में x=0x = 0 और x=2x = 2 के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 110 के विकल्प

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उत्तरA · 3+2π3\sqrt{3} + \frac{2 \pi}{3} वर्ग इकाई

  1. y=1216−x2y = \frac{1}{2}\sqrt{16 - x^{2}}: 12∫0216−x2 dx=12[x216−x2+8sin⁡−1x4]02\frac{1}{2}\int_0^{2} \sqrt{16 - x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x}{2}\sqrt{16 - x^{2}} + 8\sin^{-1}\frac{x}{4}\right]_0^{2}।

  2. 12(23+4π3)=3+2π3\frac{1}{2}\left(2\sqrt{3} + \frac{4\pi}{3}\right) = \sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

23+2π32\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} में दोनों में से केवल एक पद आधा किया।

प्रश्न 111

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त x216+y24=1\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1 के अंदर और रेखा y=1y = 1 के ऊपर वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 111 के विकल्प

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उत्तरB · 8π3−23\frac{8 \pi}{3} - 2 \sqrt{3} वर्ग इकाई

  1. y=1y = 1 दीर्घवृत्त से वहाँ मिलती है जहाँ x216=34\frac{x^{2}}{16} = \frac{3}{4}, यानी x=±23x = \pm 2\sqrt{3} पर; ऊपरी चाप y=1216−x2y = \frac{1}{2}\sqrt{16 - x^{2}} है।

  2. 12∫−232316−x2 dx=[x416−x2+4sin⁡−1x4]−2323=23+8π3\frac{1}{2}\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \sqrt{16 - x^{2}}\,dx = \left[\frac{x}{4}\sqrt{16 - x^{2}} + 4\sin^{-1}\frac{x}{4}\right]_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} + \frac{8\pi}{3}।

  3. y=1y = 1 के नीचे का आयत, क्षेत्रफल 434\sqrt{3}, घटाइए: 8π3−23\frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

8π3+23\frac{8\pi}{3} + 2\sqrt{3} चाप के नीचे xx-अक्ष तक का क्षेत्रफल है; y=1y = 1 के नीचे का आयत अभी घटाना है।

प्रश्न 112

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पहले चतुर्थांश में xx-अक्ष, रेखा 3x=4y3x = 4y और दीर्घवृत्त x216+y29=1\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रश्न 112 के विकल्प

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उत्तरC · 3π2\frac{3 \pi}{2} वर्ग इकाई

  1. रेखा y=3x4y = \frac{3x}{4} दीर्घवृत्त से वहाँ मिलती है जहाँ x216+x216=1\frac{x^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{16} = 1, यानी x=22x = 2\sqrt{2} पर।

  2. x=22x = 2\sqrt{2} तक रेखा के नीचे, फिर चाप के नीचे: ∫0223x4 dx+34∫22416−x2 dx=3+34(2π−4)\int_0^{2\sqrt{2}} \frac{3x}{4}\,dx + \frac{3}{4}\int_{2\sqrt{2}}^{4} \sqrt{16 - x^{2}}\,dx = 3 + \frac{3}{4}(2\pi - 4)।

  3. =3π2= \frac{3\pi}{2} वर्ग इकाई, दीर्घवृत्त के 12π12\pi का आठवाँ भाग।

ध्यान देने योग्य

3π2−3\frac{3\pi}{2} - 3 केवल दूसरा समाकल है; रेखा के नीचे का त्रिभुज 3 जोड़ता है।

प्रश्न 113

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीर्घवृत्त x236+y216=1\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1 अक्षों से (±6,0)(\pm 6, 0) और (0,±4)(0, \pm 4) पर मिलता है। इन चारों बिंदुओं को क्रम से मिलाने पर दीर्घवृत्त के अंदर एक चतुर्भुज QQ बनता है।

दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल का कितना भाग QQ के अंदर है?

प्रश्न 113 के विकल्प

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उत्तरD · 2π\frac{2}{\pi}

  1. 4824π=2π\frac{48}{24\pi} = \frac{2}{\pi}।

  2. किसी भी दीर्घवृत्त के लिए QQ का क्षेत्रफल 12(2a)(2b)=2ab\frac{1}{2}(2a)(2b) = 2ab और दीर्घवृत्त का πab\pi ab है, इसलिए यह भाग सदा 2π\frac{2}{\pi} है।

ध्यान देने योग्य

1−2π1 - \frac{2}{\pi} तो QQ के बाहर वाला भाग है।

प्रश्न 114

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a,b>0a, b > 0 के लिए, दीर्घवृत्त x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 और रेखा xa+yb=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 से घिरे छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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उत्तरA · (π−2)ab4\frac{(\pi - 2)ab}{4}

  1. रेखा (a,0)(a, 0) और (0,b)(0, b) को मिलाती है, दोनों दीर्घवृत्त पर हैं, इसलिए छोटा क्षेत्र पहले चतुर्थांश में चाप और जीवा के बीच है।

  2. ∫0a[baa2−x2−b(1−xa)]dx=πab4−ab2\int_0^{a} \left[\frac{b}{a}\sqrt{a^{2} - x^{2}} - b\left(1 - \frac{x}{a}\right)\right]dx = \frac{\pi ab}{4} - \frac{ab}{2}।

  3. =(π−2)ab4= \frac{(\pi - 2)ab}{4} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

πab4\frac{\pi ab}{4} दीर्घवृत्त का पूरा चौथाई भाग है; जीवा के नीचे का त्रिभुज, ab2\frac{ab}{2}, घटाना है।

प्रश्न 115

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पहले चतुर्थांश में रेखा y=4y = 4 के नीचे और दीर्घवृत्त x216+y264=1\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{64} = 1 के भीतर स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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उत्तरA · 43+8π34 \sqrt{3} + \frac{8 \pi}{3} वर्ग इकाई

  1. क्षेत्र yy-अक्ष से लगा है, इसलिए xx निकालिए: x=41−y264=1264−y2x = 4\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{64}} = \frac{1}{2}\sqrt{64 - y^{2}}, 0≤y≤40 \le y \le 4 के लिए।

  2. 12∫0464−y2 dy=12[y264−y2+32sin⁡−1y8]04=12(83+16π3)\frac{1}{2}\int_0^{4} \sqrt{64 - y^{2}}\,dy = \frac{1}{2}\left[\frac{y}{2}\sqrt{64 - y^{2}} + 32\sin^{-1}\frac{y}{8}\right]_0^{4} = \frac{1}{2}\left(8\sqrt{3} + \frac{16\pi}{3}\right)।

  3. =43+8π3= 4\sqrt{3} + \frac{8\pi}{3} वर्ग इकाई।

ध्यान देने योग्य

83+16π38\sqrt{3} + \frac{16\pi}{3} में x=1264−y2x = \frac{1}{2}\sqrt{64 - y^{2}} का गुणक 12\frac{1}{2} भूल गए।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।