कौन-सा प्रतिस्थापन समघातीय समीकरण dy/dx = F(y/x) को चर पृथक्करणीय समीकरण में बदलता है?

y = vx, जिससे dy/dx = v + xdv/dx

y = vx, जिससे dy/dx = v

y = v + x, जिससे dy/dx = dv/dx + 1

y = v/x, जिससे dy/dx = dv/dx

एक समघातीय समीकरण dx/dy = G(x/y) के रूप में लिखा है। कौन-सा प्रतिस्थापन, अपने अवकलज सहित, इसे पृथक करता है?

x = vy, जिससे dx/dy = v + ydv/dy

x = vy, जिससे dx/dy = ydv/dy

x = vy, जिससे dx/dy = v

x = v + y, जिससे dx/dy = dv/dy

CUET गणित के लिए समघातीय और रैखिक अवकल समीकरण

Q: समघातीय फलन और समघातीय समीकरण क्या हैं?

F(x, y) घात n का समघातीय है जब F(λ x, λ y) = λ^n F(x, y): हर पद की कुल घात एक हो। x^2 + 3xy की घात 2 है, √(x^2 + y^2) की 1, और y/x की 0। समीकरण dy/dx = F(x, y) समघातीय है जब F की घात 0 हो, ताकि उसे केवल y/x के फलन के रूप में लिखा जा सके।

Q: समघातीय समीकरण कैसे हल करते हैं?

y = vx रखिए। तब dy/dx = v + xdv/dx, समीकरण xdv/dx = F(v) - v बन जाता है, और चर पृथक हो जाते हैं। समाकलन कीजिए, फिर v = y/x वापस रखिए।

Q: रैखिक अवकल समीकरण क्या है?

dy/dx + Py = Q, जहाँ P और Q केवल x के फलन या अचर हैं। y और उसका अवकलज केवल पहली घात में आते हैं और कभी आपस में गुणा नहीं होते। x अज्ञात हो तो रूप dx/dy + Px = Q है, जिसमें P और Q, y के फलन हैं।

Q: समाकलन गुणक क्या है?

I.F. = e^∫ P dx । समीकरण को इससे गुणा करने पर बायाँ पक्ष d/dx(y · I.F.) बन जाता है। पहले समीकरण को मानक रूप में लाइए: xdy/dx + 2y = x^3 को P = 2/x पढ़ने से पहले x से भाग देना होगा।

Q: रैखिक समीकरण कैसे हल करते हैं?

y · I.F. = ∫ Q · I.F. dx + C अचर दाएँ पक्ष का समाकलन करने के बाद आता है; समाकलन गुणक को कोई अचर नहीं चाहिए।

सीखने में लगभग 5 मिनट · 120 प्रश्न

CUET गणित का Section A अवकल समीकरणों को चर पृथक्करण से हल करता है; Section B1 प्रथम कोटि के समीकरणों की दो और विधियाँ जोड़ता है, समघातीय समीकरण और रैखिक समीकरण। दोनों एक तय तरीके से चलती हैं, इसलिए थोड़ा अभ्यास इन्हें जल्दी मिलने वाले अंक बना देता है। समघातीय फलनों और प्रतिस्थापन y = vx से लेकर रैखिक समीकरणों, समाकलन गुणक और विशिष्ट हलों तक, हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र: Section B1: Mathematics

इस पृष्ठ पर · 10 भाग

01प्रथम कोटि के समीकरणों के दो तरीके
02समघातीय समीकरण
03समघातीय समीकरण हल करना
04रैखिक समीकरण और समाकलन गुणक
05रैखिक समीकरण हल करना
06CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
07परीक्षा के लिए शॉर्टकट
08आम भूलें
09त्वरित पुनरावृत्ति
10अपनी समझ जाँचें

प्रथम कोटि के समीकरणों के दो तरीके

हर समीकरण पृथक नहीं होता। $\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} + y^{2}}{2x^{2}}$ में $x$ और $y$ ऐसे मिले हैं कि कोई पुनर्व्यवस्था उन्हें अलग नहीं कर सकती, और $\frac{dy}{dx} + y\tan x = \sec x$ में $y$ और $x$ जुड़े हैं। पहला समघातीय है, दूसरा रैखिक, और हर एक का अपना तरीका है।

समघातीय समीकरण

समघातीय फलन और समघातीय समीकरण क्या हैं?

$F(x, y)$ घात $n$ का समघातीय है जब $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{n} F(x, y)$ : हर पद की कुल घात एक हो। $x^{2} + 3xy$ की घात 2 है, $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ की 1, और $\frac{y}{x}$ की 0। समीकरण $\frac{dy}{dx} = F(x, y)$ समघातीय है जब $F$ की घात 0 हो, ताकि उसे केवल $\frac{y}{x}$ के फलन के रूप में लिखा जा सके।

सावधान

अचर पद समघातीयता बिगाड़ देता है: $\frac{x + y + 1}{x - y}$ में घात 1 के साथ घात 0 मिली है।

समघातीय समीकरण हल करना

समघातीय समीकरण कैसे हल करते हैं?

$y = vx$ रखिए। तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ , समीकरण $x\frac{dv}{dx} = F(v) - v$ बन जाता है, और चर पृथक हो जाते हैं। समाकलन कीजिए, फिर $v = \frac{y}{x}$ वापस रखिए।

उदाहरण 1 · एक समघातीय समीकरण

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \frac{y}{x}$ हल कीजिए।

$y = vx$ से: $v + x\frac{dv}{dx} = v + \sec v$ , इसलिए $\cos v\,dv = \frac{dx}{x}$ ।
$\sin v = \log\lvert x \rvert + C$ ।

उत्तर

\sin \frac{y}{x} = \log\lvert x \rvert + C

रैखिक समीकरण और समाकलन गुणक

रैखिक अवकल समीकरण क्या है?

$\frac{dy}{dx} + Py = Q$ , जहाँ $P$ और $Q$ केवल $x$ के फलन या अचर हैं। $y$ और उसका अवकलज केवल पहली घात में आते हैं और कभी आपस में गुणा नहीं होते। $x$ अज्ञात हो तो रूप $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ है, जिसमें $P$ और $Q$ , $y$ के फलन हैं।

समाकलन गुणक क्या है?

$\text{I.F.} = e^{\int P\,dx}$ । समीकरण को इससे गुणा करने पर बायाँ पक्ष $\frac{d}{dx}(y \cdot \text{I.F.})$ बन जाता है। पहले समीकरण को मानक रूप में लाइए: $x\frac{dy}{dx} + 2y = x^{3}$ को $P = \frac{2}{x}$ पढ़ने से पहले $x$ से भाग देना होगा।

रैखिक समीकरण हल करना

रैखिक समीकरण कैसे हल करते हैं?

y \cdot \text{I.F.} = \int Q \cdot \text{I.F.}\,dx + C

अचर दाएँ पक्ष का समाकलन करने के बाद आता है; समाकलन गुणक को कोई अचर नहीं चाहिए।

उदाहरण 2 · त्रिकोणमितीय गुणांकों वाला रैखिक समीकरण

$\frac{dy}{dx} + y\tan x = \sec x$ हल कीजिए।

$P = \tan x$ , इसलिए $\text{I.F.} = e^{\int \tan x\,dx} = e^{\log \sec x} = \sec x$ ।
$y\sec x = \int \sec^{2} x\,dx = \tan x + C$ , इसलिए $y = \sin x + C\cos x$ ।

उत्तर

y = \sin x + C\cos x

उदाहरण 3 · एक विशिष्ट हल

$\frac{dy}{dx} - y = e^{x}$ हल कीजिए, जब $x = 0$ पर $y = 1$ दिया हो।

$\text{I.F.} = e^{-x}$ : $ye^{-x} = \int 1\,dx = x + C$ , इसलिए $y = (x + C)e^{x}$ ।
$y(0) = C = 1$ ।

उत्तर

y = (x + 1)e^{x}

मुख्य बात

अचर गुणांकों के साथ $\frac{dy}{dx} + ay = b$ का हल सदा $y = \frac{b}{a} + Ce^{-ax}$ है: एक स्थिर मान $\frac{b}{a}$ और एक भाग जो धीरे-धीरे मिट जाता है।

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

समघातीय: कौन-सा फलन या समीकरण समघातीय है, उसकी घात, प्रतिस्थापन, व्यापक या विशिष्ट हल।
रैखिक: कौन-सा समीकरण रैखिक है, उसके $P$ और $Q$ , उसका समाकलन गुणक, उसका हल, या किसी शर्त से किसी बिंदु पर $y$ ।
दूसरा रूप: $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ , $x$ के लिए हल।
प्रारूप: समाकलन गुणक क्यों काम करता है इस पर अभिकथन और कारण, और विधि पर कथन समुच्चय।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

$e^{\log f(x)} = f(x)$ : समाकलन गुणक अक्सर बस एक फलन होता है, जैसे $x^{2}$ , $\sec x$ या $\frac{1}{x}$ ।
$\frac{dy}{dx} + ay = b$ : $y = \frac{b}{a} + Ce^{-ax}$ ।
समघातीय: $y = vx$ , $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ ।
हल को वापस रखकर जाँचिए।

आम भूलें

$\frac{dy}{dx}$ के गुणांक से भाग देने से पहले $P$ पढ़ लेना।
$P$ का चिह्न खो देना: $-y\tan x$ से $\cos x$ मिलता है, $\sec x$ नहीं।
$v = \frac{y}{x}$ के बाद अचर को $x$ से गुणा करना भूलना।
समाकलन गुणक में अचर जोड़ देना।

त्वरित पुनरावृत्ति

समघातीय

$F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{n} F$
$y = vx$ , फिर पृथक कीजिए

रैखिक

$\frac{dy}{dx} + Py = Q$ ; I.F. $= e^{\int P\,dx}$
$y \cdot \text{I.F.} = \int Q \cdot \text{I.F.}\,dx + C$

Section B1 में आगे, वे राशियाँ जिनका आकार भी है और दिशा भी: सदिश बीजगणित।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

120 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

समघातीय समीकरणप्र1 / 120प्र1

समघातीय समीकरण

30 प्रश्न

प्रश्न 1

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा फलन समघातीय है?

x^{2} + y

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2} + x y

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{3} + y^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

x + \sin y

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $x^{2} + x y$

$F$ घात $n$ का समघातीय है जब $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{n} F(x, y)$ ।
$x^{2} + x y$ खरा उतरता है, घात 2 के साथ; बाकी हर एक विफल है।

ध्यान देने योग्य

$x^{2} + y$ में घात 2 और 1 मिली हैं; हर पद की घात एक होनी चाहिए।

प्रश्न 2

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समघातीय फलन $x^{3} + 3 x^{2} y$ की घात क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $3$

$x, y$ के स्थान पर $\lambda x, \lambda y$ रखिए और देखिए $\lambda$ की कौन-सी घात बाहर आती है।
यह $\lambda^{3}$ के रूप में आती है, इसलिए घात 3 है।

ध्यान देने योग्य

2 में एक पद के $x$ की घात पढ़ी; घात $x$ और $y$ दोनों को साथ गिनती है, $2 + 1 = 3$ ।

प्रश्न 3

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कौन-सा प्रतिस्थापन समघातीय समीकरण $\frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)$ को चर पृथक्करणीय समीकरण में बदलता है?

y = vx

, जिससे

\frac{dy}{dx} = v

सही उत्तरआपका उत्तर

y = v + x

, जिससे

\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

y = vx

, जिससे

\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \frac{v}{x}

, जिससे

\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $y = vx$ , जिससे $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$

$y = vx$ रखिए; गुणनफल नियम से $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ ।
फिर $x\frac{dv}{dx} = F(v) - v$ , जो पृथक हो जाता है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{dy}{dx} = v$ में $v$ को अचर माना; वह $x$ के साथ बदलता है।

प्रश्न 4

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा फलन घात 2 का समघातीय है?

x^{2} + y^{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

x y + x

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2} + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2} - 3 x y + y^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $x^{2} - 3 x y + y^{2}$

$x, y$ के स्थान पर $\lambda x, \lambda y$ रखिए; समघातीय फलन स्वयं का $\lambda^{n}$ गुना लौटाता है।
$x^{2} - 3 x y + y^{2}$ स्वयं का $\lambda^{2}$ गुना देता है; बाकी हर एक विफल है।

ध्यान देने योग्य

$xy + x$ में घात 2 का पद घात 1 के पद के साथ मिला है।

प्रश्न 5

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समघातीय फलन $F(x, y) = x^{3} + 2x^{2}y - y^{3}$ को $x^{3}h(v)$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $v = \frac{y}{x}$ । $h(v)$ क्या है?

1 + 2v - v^{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

v^{3} + 2v^{2} - 1

सही उत्तरआपका उत्तर

1 + 2v^{2} - v^{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

1 + 2v - v^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $1 + 2v - v^{3}$

हर पद को $x^{3}$ से भाग दीजिए: $\frac{2x^{2}y}{x^{3}} = 2\frac{y}{x}$ और $\frac{y^{3}}{x^{3}} = \left(\frac{y}{x}\right)^{3}$ ।
इसलिए $h(v) = 1 + 2v - v^{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$v^{3} + 2v^{2} - 1$ तो $F$ को $y^{3}$ से भाग देकर मिला $\frac{x}{y}$ का फलन है, $v = \frac{y}{x}$ का नहीं।

प्रश्न 6

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$F(x, y)$ घात 3 का समघातीय है और $F(2, -1) = 5$ । $F(6, -3)$ क्या है?

5

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

45

सही उत्तरआपका उत्तर

135

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $135$

$(6, -3) = (3 \cdot 2, 3 \cdot (-1))$ , इसलिए $\lambda = 3$ ।
$F(6, -3) = 3^{3}F(2, -1) = 27 \times 5 = 135$ ।

ध्यान देने योग्य

15 में 3 से केवल एक बार गुणा किया, मानो घात 1 हो।

प्रश्न 7

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x, y)$ घात 2 का समघातीय है और $g(x, y)$ घात 3 का समघातीय है। समघातीय फलन $f(x, y)\,g(x, y)$ की घात क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $5$

$f(\lambda x, \lambda y)\,g(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{2}f \cdot \lambda^{3}g = \lambda^{5}fg$ ।
$\lambda$ की घातें जुड़ती हैं, इसलिए घात 5 है।

ध्यान देने योग्य

6 में घातों का गुणा किया; गुणनफल में $\lambda$ की घातें जुड़ती हैं।

प्रश्न 8

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$F(x, y) = 4x^{2} - 5xy$ के लिए $F(\lambda x, \lambda y)$ क्या है?

\lambda(4x^{2} - 5xy)

सही उत्तरआपका उत्तर

4\lambda^{2}x^{2} - 5\lambda xy

सही उत्तरआपका उत्तर

4\lambda x^{2} - 5\lambda^{2}xy

सही उत्तरआपका उत्तर

\lambda^{2}(4x^{2} - 5xy)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\lambda^{2}(4x^{2} - 5xy)$

$x$ के स्थान पर $\lambda x$ और $y$ के स्थान पर $\lambda y$ रखिए: $4\lambda^{2}x^{2} - 5(\lambda x)(\lambda y)$ ।
दोनों पदों में $\lambda^{2}$ है, इसलिए $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{2}(4x^{2} - 5xy)$ : घात 2।

ध्यान देने योग्य

$\lambda(4x^{2} - 5xy)$ में एक ही $\lambda$ आया; $x^{2}$ और $xy$ के दोनों अक्षरों में से हर एक अपना अलग गुणक लाता है।

प्रश्न 9

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा अवकल समीकरण समघातीय है?

(x^{2} + xy)\,dy = (x^{2} + y^{2})\,dx

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = \frac{x + y + 1}{x - y}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} + y}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = x + y^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $(x^{2} + xy)\,dy = (x^{2} + y^{2})\,dx$

$\frac{dy}{dx} = F(x, y)$ के रूप में लिखने पर समीकरण तब समघातीय है जब $F$ घात 0 का समघातीय हो।
$F = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + xy}$ घात 2 के दो व्यंजकों का अनुपात है, इसलिए घात 0। बाकी को $+1$ , $x^{2} + y$ और $y^{2}$ बिगाड़ते हैं।

ध्यान देने योग्य

$\frac{x + y + 1}{x - y}$ में $+1$ की घात 0 है जबकि $x + y$ की 1।

प्रश्न 10

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा फलन घात 0 का समघातीय है?

\frac{\sin y}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

x + y^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

y e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sin{\left(\frac{y}{x} \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\sin{\left(\frac{y}{x} \right)}$

$F$ घात $n$ का समघातीय है जब $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{n} F(x, y)$ ।
$\sin{\left(\frac{y}{x} \right)}$ खरा उतरता है, घात 0 के साथ; बाकी हर एक विफल है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\sin y}{x}$ समघातीय नहीं: $\sin(\lambda y)$ , $\lambda$ की घात गुणा $\sin y$ नहीं है।

प्रश्न 11

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समघातीय फलन $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ की घात क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $1$

$x, y$ के स्थान पर $\lambda x, \lambda y$ रखिए और देखिए $\lambda$ की कौन-सी घात बाहर आती है।
यह $\lambda^{1}$ के रूप में आती है, इसलिए घात 1 है।

ध्यान देने योग्य

2 मूल के भीतर की घात है; वर्गमूल उसे आधा करता है।

प्रश्न 12

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा फलन घात 1 का समघातीय है?

\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{x^{2} + y}{x + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

x y + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2} - y^{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}$

$F$ घात $n$ का समघातीय है जब $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{n} F(x, y)$ ।
$\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}$ खरा उतरता है, घात 1 के साथ; बाकी हर एक विफल है।

ध्यान देने योग्य

$xy + 1$ में घात 2 वाले $xy$ के साथ घात 0 का अचर पद है।

प्रश्न 13

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समघातीय फलन $\frac{x^{2} - y^{2}}{x y}$ की घात क्या है?

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0$

$x, y$ के स्थान पर $\lambda x, \lambda y$ रखिए और देखिए $\lambda$ की कौन-सी घात बाहर आती है।
यह $\lambda^{0}$ के रूप में आती है, इसलिए घात 0 है।

ध्यान देने योग्य

2 में केवल ऊपर का भाग पढ़ा; नीचे की घात भी 2 है, इसलिए वे कट जाती हैं।

प्रश्न 14

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक समघातीय समीकरण $\frac{dx}{dy} = G\left(\frac{x}{y}\right)$ के रूप में लिखा है। कौन-सा प्रतिस्थापन, अपने अवकलज सहित, इसे पृथक करता है?

x = vy

, जिससे

\frac{dx}{dy} = v + y\frac{dv}{dy}

सही उत्तरआपका उत्तर

x = vy

, जिससे

\frac{dx}{dy} = y\frac{dv}{dy}

सही उत्तरआपका उत्तर

x = vy

, जिससे

\frac{dx}{dy} = v

सही उत्तरआपका उत्तर

x = v + y

, जिससे

\frac{dx}{dy} = \frac{dv}{dy}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $x = vy$ , जिससे $\frac{dx}{dy} = v + y\frac{dv}{dy}$

यहाँ $x$ अज्ञात है, इसलिए $x = vy$ रखिए और $y$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
गुणनफल नियम: $\frac{dx}{dy} = v + y\frac{dv}{dy}$ ; फिर $y\frac{dv}{dy} = G(v) - v$ पृथक हो जाता है।

ध्यान देने योग्य

केवल $y\frac{dv}{dy}$ में गुणनफल नियम का पहला पद, $v \cdot 1$ , छूट गया।

प्रश्न 15

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा अवकल समीकरण समघातीय नहीं है?

\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sin\frac{y}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

x\,dy - y\,dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\,dx

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} + y^{2}}{xy}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x^{2}}$

हर समीकरण तब समघातीय है जब उसके $\frac{dy}{dx} = F(x, y)$ में $F$ की घात 0 हो।
$\frac{x + y}{x^{2}}$ की घात $1 - 2 = -1$ है; बाकी तीनों दाएँ पक्षों की घात 0 है।

ध्यान देने योग्य

$x\,dy - y\,dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\,dx$ समघातीय है: $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$ की घात 0 है।

प्रश्न 16

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा फलन समघातीय है?

e^{x y}

सही उत्तरआपका उत्तर

x + e^{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

x e^{\frac{y}{x}}

सही उत्तरआपका उत्तर

y + \log x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $x e^{\frac{y}{x}}$

$x, y$ के स्थान पर $\lambda x, \lambda y$ रखिए; समघातीय फलन स्वयं का $\lambda^{n}$ गुना लौटाता है।
$x e^{\frac{y}{x}}$ स्वयं का $\lambda^{1}$ गुना देता है; बाकी हर एक विफल है।

ध्यान देने योग्य

$e^{xy}$ , $e^{\lambda^{2}xy}$ बन जाता है, जो $\lambda$ की कोई घात गुणा $e^{xy}$ नहीं है।

प्रश्न 17

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समघातीय फलन $\frac{x^{3} + y^{3}}{x - y}$ की घात क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2$

$x, y$ के स्थान पर $\lambda x, \lambda y$ रखिए और $\lambda$ की घात बाहर निकालिए।
$\lambda^{2}$ बाहर आता है, इसलिए घात 2 है।

ध्यान देने योग्य

3 में केवल ऊपर का भाग पढ़ा; नीचे की घात 1 घटती है, $3 - 1 = 2$ ।

प्रश्न 18

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$a$ के किस मान के लिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2x + ay + a - 3}{x + y}$ एक समघातीय अवकल समीकरण है?

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $3$

नीचे की घात 1 है, इसलिए ऊपर के हर पद की घात 1 होनी चाहिए: कोई अचर पद नहीं बचना चाहिए।
अचर $a - 3$ है, इसलिए $a = 3$ , जिससे घात 0 का $\frac{2x + 3y}{x + y}$ मिलता है।

ध्यान देने योग्य

$a = 0$ से $ay$ पद हटता है, पर घात 0 का अचर $-3$ बचा रहता है।

प्रश्न 19

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यदि $f$ और $g$ क्रमशः घात 3 और 1 के समघातीय हैं, तो $\frac{f}{g}$ घात 2 का समघातीय है।

II. यदि $f$ और $g$ क्रमशः घात 2 और 1 के समघातीय हैं, तो $f + g$ घात 3 का समघातीय है।

केवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIसही उत्तरआपका उत्तरI और II दोनोंसही उत्तरआपका उत्तरन I, न IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: $\frac{\lambda^{3}f}{\lambda g} = \lambda^{2}\frac{f}{g}$ । सही।
II: $x^{2} + x$ ऐसा ही योग है, और $\lambda^{2}x^{2} + \lambda x$ उसका $\lambda$ की किसी घात गुना नहीं, इसलिए वह समघातीय ही नहीं। गलत।

ध्यान देने योग्य

गुणनफल में घातें जुड़ती हैं; भिन्न घातों के पदों के योग की कोई एक घात नहीं होती।

प्रश्न 20

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$F(x, y)$ घात $n$ का समघातीय है, $F(1, 2) = 3$ और $F(3, 6) = 243$ । $n$ क्या है?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

81

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $4$

$(3, 6) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 2)$ , इसलिए $F(3, 6) = 3^{n}F(1, 2)$ : $3^{n} \cdot 3 = 243$ ।
$3^{n} = 81 = 3^{4}$ , इसलिए $n = 4$ ।

ध्यान देने योग्य

5 में $243 = 3^{5}$ पढ़ा, पर गुणक $F(1, 2) = 3$ भूल गए।

प्रश्न 21

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$F(x, y)$ घात 2 का समघातीय है, और हर $v$ के लिए $F(1, v) = 2 + v - v^{2}$ । $F(2, 6)$ क्या है?

-28

सही उत्तरआपका उत्तर

-16

सही उत्तरआपका उत्तर

-8

सही उत्तरआपका उत्तर

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $-16$

$(2, 6) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 3)$ , इसलिए $F(2, 6) = 2^{2}F(1, 3)$ ।
$F(1, 3) = 2 + 3 - 9 = -4$ , इसलिए $F(2, 6) = 4 \times (-4) = -16$ ।

ध्यान देने योग्य

$-8$ में 2 से केवल एक बार गुणा किया; घात 2 के लिए गुणक $2^{2} = 4$ चाहिए।

प्रश्न 22

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$n$ के किस मान के लिए $(x^{n}y + y^{4})\,dx = x^{2}y^{2}\,dy$ एक समघातीय अवकल समीकरण है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{n}y + y^{4}}{x^{2}y^{2}}$ ; $x^{2}y^{2}$ और $y^{4}$ दोनों की घात 4 है।
इसलिए $x^{n}y$ की घात भी 4 चाहिए: $n + 1 = 4$ , $n = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

4 में केवल $x^{n}$ की घात 4 ली और $x^{n}y$ का गुणनखंड $y$ भूल गए।

प्रश्न 23

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $\frac{dy}{dx} = x + \sqrt{xy}$ एक समघातीय अवकल समीकरण नहीं है।

कारण (R): $x, y > 0$ के लिए $x + \sqrt{xy}$ एक समघातीय फलन है।

A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।सही उत्तरआपका उत्तरA और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।सही उत्तरआपका उत्तरA सही है, लेकिन R गलत है।सही उत्तरआपका उत्तरA गलत है, लेकिन R सही है।सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · A और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।

R सही है: $\lambda x + \sqrt{\lambda^{2}xy} = \lambda(x + \sqrt{xy})$ , घात 1।
A सही है क्योंकि समीकरण के लिए $F$ की घात 0 चाहिए, और 1, 0 नहीं है; R केवल इतना कहता है कि $F$ समघातीय है, इसलिए वह A की व्याख्या नहीं करता।

ध्यान देने योग्य

दायाँ पक्ष समघातीय होना पर्याप्त नहीं: $\frac{dy}{dx} = F$ तभी समघातीय है जब $F$ की घात 0 हो।

प्रश्न 24

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समीकरण $(x^{2} - 2y^{2})\,dx + xy\,dy = 0$ को $\frac{dy}{dx} = F(v)$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $v = \frac{y}{x}$ । $F(v)$ क्या है?

\frac{1}{v} - 2v

सही उत्तरआपका उत्तर

2v^{2} - 1

सही उत्तरआपका उत्तर

2v - \frac{1}{v}

सही उत्तरआपका उत्तर

2v + \frac{1}{v}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2v - \frac{1}{v}$

$xy\,dy = -(x^{2} - 2y^{2})\,dx$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2y^{2} - x^{2}}{xy}$ ।
अंश और हर को $x^{2}$ से भाग दीजिए: $\frac{2v^{2} - 1}{v} = 2v - \frac{1}{v}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{v} - 2v$ में $dx$ वाले पद को दूसरी ओर ले जाने से आने वाला ऋण चिह्न भूल गए।

प्रश्न 25

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर समघातीय फलन को सूची II में उसकी घात से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $x^{3} - 2 x y^{2}$	I. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$	II. $3$
C. $\sqrt{x} + \sqrt{y}$	III. $-2$
D. $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$	IV. $0$

A-IV, B-II, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-II, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · A-II, B-IV, C-I, D-III

A: हर पद की घात 3 है। B: अंश और हर दोनों की घात 2 है, इसलिए घात $2 - 2 = 0$ है।
C: $\sqrt{\lambda x} = \lambda^{1/2}\sqrt{x}$ , घात $\frac{1}{2}$ । D: $\frac{1}{\lambda^{2}(x^{2} + y^{2})}$ , घात $-2$ ।

प्रश्न 26

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समघातीय फलन $x^{2} \sin{\left(\frac{y}{x} \right)} + x y$ की घात क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2$

$x, y$ के स्थान पर $\lambda x, \lambda y$ रखिए और $\lambda$ की घात बाहर निकालिए।
$\lambda^{2}$ बाहर आता है, इसलिए घात 2 है।

ध्यान देने योग्य

3 में $\sin\frac{y}{x}$ की घात 1 गिनी; उसकी घात 0 है, इसलिए $x^{2}\sin\frac{y}{x}$ की घात 2 ही रहती है।

प्रश्न 27

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समीकरण $3y\,e^{x/y}\,dx + (y - 3x\,e^{x/y})\,dy = 0$ को $\frac{dx}{dy} = G(v)$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $v = \frac{x}{y}$ । $G(v)$ क्या है?

v - \frac{1}{3}e^{-v}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}e^{-v} - v

सही उत्तरआपका उत्तर

3v - e^{-v}

सही उत्तरआपका उत्तर

v - \frac{1}{3}e^{v}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $v - \frac{1}{3}e^{-v}$

$dy$ वाले पद को चिह्न बदलकर दूसरी ओर ले जाइए: $\frac{dx}{dy} = \frac{3x\,e^{x/y} - y}{3y\,e^{x/y}}$ ।
अंश और हर को $y\,e^{x/y}$ से भाग दीजिए: $\frac{3v - e^{-v}}{3} = v - \frac{1}{3}e^{-v}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3}e^{-v} - v$ में $dy$ वाले पद का चिह्न वही रखा; बराबर के चिह्न के पार ले जाने पर वह बदल जाता है।

प्रश्न 28

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$f(x, y) = y^{2}e^{x/y} + xy$ के लिए निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $f$ घात 2 का समघातीय है।

II. $f(3x, 3y) = 9f(x, y)$ ।

III. $f(x, y) = y^{2}g\left(\frac{x}{y}\right)$ , जहाँ $g(u) = e^{u} + u$ ।

IV. $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ एक समघातीय अवकल समीकरण है।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I, II और III

$f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{2}y^{2}e^{x/y} + \lambda^{2}xy = \lambda^{2}f$ : I सही है, II स्थिति $\lambda = 3$ है, और $y^{2}$ से भाग देने पर III मिलता है।
IV गलत है: $\frac{dy}{dx} = F$ तभी समघातीय है जब $F$ की घात 0 हो, और $f$ की घात 2 है।

ध्यान देने योग्य

IV में समघातीय फलन को समघातीय समीकरण समझ लिया, जिसके लिए घात 0 चाहिए।

प्रश्न 29

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक समघातीय समीकरण $\frac{dy}{dx} = F(x, y)$ में $y = vx$ रखने पर $x\frac{dv}{dx} = v^{2} - 1$ मिलता है। $F(x, y)$ क्या है?

\frac{y^{2} + xy - x^{2}}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{y^{2} - xy - x^{2}}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{x^{2} + xy - y^{2}}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{y^{2} + xy - x^{2}}{x^{2}}$

$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} = v + v^{2} - 1$ ।
$v = \frac{y}{x}$ रखकर: $\frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - 1 = \frac{y^{2} + xy - x^{2}}{x^{2}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2}}$ तो केवल $v^{2} - 1$ है; $\frac{dy}{dx}$ , $v$ और $x\frac{dv}{dx}$ का योग है।

प्रश्न 30

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x, y > 0$ लीजिए। इनमें से कौन-सा अवकल समीकरण समघातीय है?

\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \log x - \log y

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \log x + \log y

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = \frac{y + \log x}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\log y

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \log x - \log y$

$\log x - \log y = -\log\frac{y}{x}$ , इसलिए $\frac{y}{x} + \log x - \log y = v - \log v$ , जो केवल $v = \frac{y}{x}$ का फलन है।
$x, y$ के $\lambda x, \lambda y$ बनने पर $\log x + \log y$ , $\log x$ और $\log y$ हर एक में $\log\lambda$ का गुणज जुड़ता है, इसलिए बाकी विफल हैं।

ध्यान देने योग्य

$\log x + \log y = \log xy$ में $2\log\lambda$ जुड़ जाता है; केवल दोनों लघुगणकों का अंतर ही अकेले $\frac{y}{x}$ पर निर्भर है।

समघातीय समीकरण हल करना

30 प्रश्न

प्रश्न 31

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अवकल समीकरण $x^{2}\frac{dy}{dx} = x^{2} + xy + y^{2}$ लीजिए, और $y = vx$ रखिए।

$\frac{dy}{dx} = F$ के रूप में, $v = \frac{y}{x}$ के पदों में $F$ क्या है?

v + v^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

1 + v^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

1 + v + v^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

1 + 2v + v^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $1 + v + v^{2}$

दाएँ पक्ष को $x^{2}$ से भाग दीजिए: $1 + \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$ ।
$F = 1 + v + v^{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$1 + v^{2}$ अगले चरण में $v$ के कटने के बाद बचता है, स्वयं $F$ नहीं।

प्रश्न 32

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अवकल समीकरण $y\,e^{x/y}\,dx = (x\,e^{x/y} + y)\,dy$ लीजिए, और $x = vy$ रखिए।

$\frac{dx}{dy} = G(v)$ के रूप में लिखने पर $G(v)$ क्या है?

v + e^{v}

सही उत्तरआपका उत्तर

v + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

v + e^{-v}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{e^{v}}{ve^{v} + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $v + e^{-v}$

$\frac{dx}{dy} = \frac{x\,e^{x/y} + y}{y\,e^{x/y}} = \frac{x}{y} + \frac{y}{y\,e^{x/y}}$ ।
इसलिए $G(v) = v + e^{-v}$ ।

ध्यान देने योग्य

$v + e^{v}$ में $\frac{1}{e^{v}}$ को $e^{v}$ बना दिया; $e^{v}$ से भाग देने पर $e^{-v}$ मिलता है।

प्रश्न 33

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} + 2y^{2}}{xy}$ में $y = vx$ रखिए। $x\frac{dv}{dx}$ किसके बराबर है?

\frac{1 + 2v^{2}}{v}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1 + v^{2}}{v}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1 + 3v^{2}}{v}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1 - v^{2}}{v}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1 + v^{2}}{v}$

दायाँ पक्ष $\frac{1 + 2v^{2}}{v}$ है, और $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ ।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + 2v^{2}}{v} - v = \frac{1 + v^{2}}{v}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1 + 2v^{2}}{v}$ तो पूरा $\frac{dy}{dx}$ है; $v + x\frac{dv}{dx}$ वाला $v$ घटाना है।

प्रश्न 34

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समघातीय समीकरण $\frac{dx}{dy} = G\left(\frac{x}{y}\right)$ को $x = vy$ से हल किया जाता है। वह कौन-सा पृथक रूप लेता है?

\frac{dv}{G(v) - v} = \frac{dx}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dv}{G(v)} = \frac{dy}{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dv}{G(v) + v} = \frac{dy}{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dv}{G(v) - v} = \frac{dy}{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{dv}{G(v) - v} = \frac{dy}{y}$

$x = vy$ से $\frac{dx}{dy} = v + y\frac{dv}{dy}$ , इसलिए $y\frac{dv}{dy} = G(v) - v$ ।
पृथक कीजिए: $\frac{dv}{G(v) - v} = \frac{dy}{y}$ ; यहाँ स्वतंत्र चर $y$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{dx}{x}$ , $y = vx$ में आता है; $x = vy$ में दूसरा पक्ष $\frac{dy}{y}$ है।

प्रश्न 35

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x > 0$ के लिए एक समघातीय समीकरण को $y = vx$ से हल करने पर $\sqrt{1 + v^{2}} = Cx$ मिलता है। $x$ और $y$ के पदों में हल क्या है?

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{1 + y^{2}} = Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2} + y^{2} = Cx^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx^{2}$

$x > 0$ के लिए $\sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$ ।
इसलिए $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} = Cx$ , अर्थात् $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx^{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx$ में $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$ के हर का $x$ भूल गए।

प्रश्न 36

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x}$ का व्यापक हल क्या है?

y = \log\lvert x \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x\log\lvert x \rvert + Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x\log\lvert x \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = Cx - x\log\lvert x \rvert

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $y = x\log\lvert x \rvert + Cx$

$y = vx$ : $v + x\frac{dv}{dx} = 1 + v$ , इसलिए $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$ ।
$v = \log\lvert x \rvert + C$ , इसलिए $y = x\log\lvert x \rvert + Cx$ ।

ध्यान देने योग्य

$x\log\lvert x \rvert + C$ में भूल गए कि अचर $v$ का है और उसे भी $x$ से गुणा होना है।

प्रश्न 37

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $y = vx$ के बाद समघातीय समीकरण $x\frac{dv}{dx} = F(v) - v$ बन जाता है।

II. समघातीय समीकरण का हल सदा मूलबिंदु से जाती सरल रेखा होता है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: $v + x\frac{dv}{dx} = F(v)$ , पुनर्व्यवस्थित। सही।
II: $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x}$ का हल $y = x\log\lvert x \rvert + Cx$ कोई रेखा नहीं। गलत।

प्रश्न 38

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y$ , $x\frac{dy}{dx} = x + 2y$ को संतुष्ट करता है, और $x = 1$ पर $y = 0$ । $x = 3$ पर $y$ क्या है?

-6

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $6$

व्यापक हल $y = Cx^{2} - x$ है; $y(1) = 0$ से $C = 1$ ।
$y = x^{2} - x$ , इसलिए $x = 3$ पर: $9 - 3 = 6$ ।

ध्यान देने योग्य

$-6$ , $y = Cx^{2} + x$ , चिह्न की भूल, से आता है: तब $C = -1$ ।

प्रश्न 39

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ एक समघातीय अवकल समीकरण है।

कारण (R): हर समीकरण $\frac{dy}{dx} = F(x, y)$ , जिसमें $F$ दो बहुपदों का अनुपात हो, समघातीय है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · A सही है, लेकिन R गलत है।

A सही है: $F = 1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ , $\frac{y}{x}$ का फलन, घात 0।
R गलत है: $\frac{x + y + 1}{x - y}$ बहुपदों का अनुपात है पर समघातीय नहीं।

प्रश्न 40

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अवकल समीकरण $x^{2}\frac{dy}{dx} = x^{2} + xy + y^{2}$ लीजिए, और $y = vx$ रखिए।

प्रतिस्थापन के बाद कौन-सा पृथक रूप मिलता है?

\frac{dv}{1 + v + v^{2}} = \frac{dx}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dv}{1 + v^{2}} = dx

सही उत्तरआपका उत्तर

(1 + v^{2})\,dv = \frac{dx}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dv}{1 + v^{2}} = \frac{dx}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{dv}{1 + v^{2}} = \frac{dx}{x}$

$v + x\frac{dv}{dx} = 1 + v + v^{2}$ , इसलिए $x\frac{dv}{dx} = 1 + v^{2}$ ।
पृथक कीजिए: $\frac{dv}{1 + v^{2}} = \frac{dx}{x}$ ।

ध्यान देने योग्य

हर में $1 + v + v^{2}$ में $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ वाला $v$ घटाना भूल गए।

प्रश्न 41

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x\frac{dy}{dx} = x + 2y$ का व्यापक हल क्या है?

y = Cx^{2} + x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = Cx^{2} - x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = Cx - x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = Cx^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $y = Cx^{2} - x$

$y = vx$ : $v + x\frac{dv}{dx} = 1 + 2v$ , इसलिए $\frac{dv}{1 + v} = \frac{dx}{x}$ ।
$\log\lvert 1 + v \rvert = \log\lvert x \rvert + c$ , इसलिए $1 + \frac{y}{x} = Cx$ : $y = Cx^{2} - x$ ।

ध्यान देने योग्य

$y = Cx^{2} + x$ में 1 को पक्ष बदलते समय उसका चिह्न नहीं बदला।

प्रश्न 42

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अवकल समीकरण $y\,e^{x/y}\,dx = (x\,e^{x/y} + y)\,dy$ लीजिए, और $x = vy$ रखिए।

समीकरण का व्यापक हल कौन-सा है?

e^{x/y} = \log\lvert y \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{y/x} = \log\lvert x \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{-x/y} = \log\lvert y \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x/y} = \log\lvert x \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $e^{x/y} = \log\lvert y \rvert + C$

$\int e^{v}\,dv = e^{v}$ और $\int \frac{dy}{y} = \log\lvert y \rvert$ ।
$v = \frac{x}{y}$ वापस रखिए: $e^{x/y} = \log\lvert y \rvert + C$ ।

ध्यान देने योग्य

$e^{y/x} = \log\lvert x \rvert + C$ में $v$ को $\frac{y}{x}$ रखा; $x = vy$ में $v = \frac{x}{y}$ है।

प्रश्न 43

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x^{2}\frac{dy}{dx} = y^{2} + 2xy$ के लिए निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $y = vx$ से $x\frac{dv}{dx} = v^{2} + v$ मिलता है।

II. चर $\frac{dv}{v^{2} + 2v} = \frac{dx}{x}$ के रूप में पृथक होते हैं।

III. व्यापक हल $y = Cx(x + y)$ है।

IV. रेखा $y = x$ एक हल है।

केवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I और III

I: $v + x\frac{dv}{dx} = v^{2} + 2v$ , इसलिए $x\frac{dv}{dx} = v^{2} + v$ ; II में $v$ घटाना भूल गए।
III: $\frac{dv}{v(v + 1)} = \frac{dx}{x}$ से $\frac{v}{v + 1} = Cx$ , अर्थात् $\frac{y}{x + y} = Cx$ । IV: $y = x$ पर बायाँ पक्ष $x^{2}$ और दायाँ पक्ष $3x^{2}$ है, इसलिए वह विफल है।

ध्यान देने योग्य

II में $F(v) - v$ के बजाय $F(v) = v^{2} + 2v$ से भाग दिया।

प्रश्न 44

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मूलबिंदु से होकर जाने वाली इनमें से कौन-सी रेखा $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^{2} + y^{2}}{3xy}$ का हल है?

y = x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 2x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 3x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \frac{x}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $y = x$

$y = mx$ पर $\frac{dy}{dx} = m$ और दायाँ पक्ष $\frac{2 + m^{2}}{3m}$ है; जब ये बराबर हों तब रेखा हल है।
$2 + m^{2} = 3m^{2}$ से $m^{2} = 1$ , इसलिए $y = x$ (और $y = -x$ ) हल हैं।

ध्यान देने योग्य

$y = 2x$ , $2 + m^{2} = 3m$ को हल करता है, जिसमें दाईं ओर के $m$ को $3m$ से गुणा करना भूल गए।

प्रश्न 45

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अवकल समीकरण $y\,e^{x/y}\,dx = (x\,e^{x/y} + y)\,dy$ लीजिए, और $x = vy$ रखिए।

$x = vy$ से कौन-सा पृथक रूप मिलता है?

e^{-v}\,dv = \frac{dy}{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dv}{v + e^{-v}} = \frac{dy}{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{v}\,dv = \frac{dx}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{v}\,dv = \frac{dy}{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $e^{v}\,dv = \frac{dy}{y}$

$\frac{dx}{dy} = v + y\frac{dv}{dy} = v + e^{-v}$ , इसलिए $y\frac{dv}{dy} = e^{-v}$ ।
पृथक कीजिए: $\frac{dv}{e^{-v}} = e^{v}\,dv = \frac{dy}{y}$ ।

ध्यान देने योग्य

$e^{-v}\,dv$ में $e^{-v}$ से गुणा किया, जबकि उससे भाग देना था।

प्रश्न 46

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x > 0$ के लिए $y$ , $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \cos^{2}\frac{y}{x}$ को संतुष्ट करता है, और $x = 1$ पर $y = 0$ । $x = e$ पर $y$ क्या है?

\frac{\pi}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{e \pi}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

e

सही उत्तरआपका उत्तर

e \tan 1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{e \pi}{4}$

$y = vx$ : $x\frac{dv}{dx} = \cos^{2}v$ , इसलिए $\sec^{2}v\,dv = \frac{dx}{x}$ और $\tan\frac{y}{x} = \log x + C$ ; $y(1) = 0$ से $C = 0$ ।
$x = e$ पर: $\tan\frac{y}{e} = 1$ , इसलिए $\frac{y}{e} = \frac{\pi}{4}$ और $y = \frac{e\pi}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\pi}{4}$ तो $v = \frac{y}{x}$ है; $y$ , $v$ गुणा $x = e$ है।

प्रश्न 47

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y^{2}\frac{dx}{dy} = x^{2} + xy$ का व्यापक हल क्या है?

\frac{y}{x} = \log\lvert y \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{x}{y} + \log\lvert y \rvert = C

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{y}{x} + \log\lvert x \rvert = C

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{y}{x} + \log\lvert y \rvert = C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{y}{x} + \log\lvert y \rvert = C$

$x = vy$ : $v + y\frac{dv}{dy} = v^{2} + v$ , इसलिए $\frac{dv}{v^{2}} = \frac{dy}{y}$ ।
$-\frac{1}{v} = \log\lvert y \rvert + c$ , और $\frac{1}{v} = \frac{y}{x}$ : $\frac{y}{x} + \log\lvert y \rvert = C$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{y}{x} = \log\lvert y \rvert + C$ में $\int \frac{dv}{v^{2}} = -\frac{1}{v}$ का ऋण चिह्न खो गया।

प्रश्न 48

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sin^{2}\frac{y}{x}$ का व्यापक हल क्या है?

\cot\frac{y}{x} = \log\lvert x \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan\frac{y}{x} + \log\lvert x \rvert = C

सही उत्तरआपका उत्तर

\cot\frac{y}{x} + \log\lvert x \rvert = C

सही उत्तरआपका उत्तर

\cot\frac{x}{y} + \log\lvert x \rvert = C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\cot\frac{y}{x} + \log\lvert x \rvert = C$

$y = vx$ : $v + x\frac{dv}{dx} = v + \sin^{2}v$ , इसलिए $\operatorname{cosec}^{2}v\,dv = \frac{dx}{x}$ ।
$-\cot v = \log\lvert x \rvert + C$ , इसलिए $\cot\frac{y}{x} + \log\lvert x \rvert = C$ ।

ध्यान देने योग्य

$\cot\frac{y}{x} = \log\lvert x \rvert + C$ में ऋण चिह्न छूट गया: $\int \operatorname{cosec}^{2}v\,dv = -\cot v$ ।

प्रश्न 49

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + \tan\frac{x}{y}$ के लिए प्रतिस्थापन $x = vy$ से $\cot v\,dv = \frac{dy}{y}$ मिलता है।

II. उस समीकरण का व्यापक हल $\sin\frac{x}{y} = Cy$ है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · I और II दोनों

I: $v + y\frac{dv}{dy} = v + \tan v$ , इसलिए $\frac{dv}{\tan v} = \cot v\,dv = \frac{dy}{y}$ । सही।
II: $\log\lvert \sin v \rvert = \log\lvert y \rvert + c$ , इसलिए $\sin\frac{x}{y} = Cy$ । सही।

ध्यान देने योग्य

$x = vy$ में अचर $y$ , यानी स्वतंत्र चर, से गुणा होता है, $x$ से नहीं।

प्रश्न 50

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x > 0$ के लिए $y$ , $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x}$ को संतुष्ट करता है, और $x = 1$ पर $y = 2$ । $x = e$ पर $y$ क्या है?

2 + e

सही उत्तरआपका उत्तर

2 e

सही उत्तरआपका उत्तर

e + 3

सही उत्तरआपका उत्तर

3 e

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $3 e$

व्यापक हल $y = x\log x + Cx$ है; $y(1) = 2$ से $C = 2$ ।
$x = e$ पर: $e \cdot 1 + 2e = 3e$ ।

ध्यान देने योग्य

$e + 2$ में अचर 2 को $x = e$ से गुणा किए बिना जोड़ा।

प्रश्न 51

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ का व्यापक हल क्या है?

y^{2} = x^{2}\log\lvert x \rvert + Cx^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

y^{2} = 2\log\lvert x \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 2x\log\lvert x \rvert + Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

y^{2} = 2x^{2}\log\lvert x \rvert + Cx^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $y^{2} = 2x^{2}\log\lvert x \rvert + Cx^{2}$

$y = vx$ : $v + x\frac{dv}{dx} = v + \frac{1}{v}$ , इसलिए $v\,dv = \frac{dx}{x}$ ।
$\frac{v^{2}}{2} = \log\lvert x \rvert + c$ , इसलिए $y^{2} = 2x^{2}\log\lvert x \rvert + Cx^{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$y^{2} = x^{2}\log\lvert x \rvert + Cx^{2}$ में $\frac{v^{2}}{2}$ का 2 छूट गया।

प्रश्न 52

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$2xy\frac{dy}{dx} = x^{2} + y^{2}$ का व्यापक हल क्या है?

x^{2} - y^{2} = Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2} + y^{2} = Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2} - y^{2} = C

सही उत्तरआपका उत्तर

y^{2} = Cx^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $x^{2} - y^{2} = Cx$

$y = vx$ : $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^{2}}{2v}$ , इसलिए $\frac{2v\,dv}{1 - v^{2}} = \frac{dx}{x}$ ।
$-\log\lvert 1 - v^{2} \rvert = \log\lvert x \rvert + c$ , इसलिए $x(1 - v^{2}) = C$ : $x^{2} - y^{2} = Cx$ ।

ध्यान देने योग्य

$x^{2} - y^{2} = C$ में $1 - v^{2}$ को गुणा करते समय गुणक $x$ खो गया।

प्रश्न 53

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अवकल समीकरण $x^{2}\frac{dy}{dx} = x^{2} + xy + y^{2}$ लीजिए, और $y = vx$ रखिए।

हल वक्र $(1, 0)$ से होकर जाता है। $x = e^{\pi/4}$ पर $y$ क्या है?

\frac{\pi}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi e^{\frac{\pi}{4}}}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{\frac{\pi}{4}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $e^{\frac{\pi}{4}}$

$(1, 0)$ पर: $\tan^{-1}0 = \log 1 + C$ , इसलिए $C = 0$ और $\tan^{-1}\frac{y}{x} = \log x$ ।
$x = e^{\pi/4}$ पर: $\tan^{-1}\frac{y}{x} = \frac{\pi}{4}$ , इसलिए $\frac{y}{x} = 1$ और $y = e^{\pi/4}$ ।

ध्यान देने योग्य

1 तो $v = \frac{y}{x}$ है; $y$ , $v$ गुणा $x$ है।

प्रश्न 54

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan\frac{y}{x}$ का व्यापक हल क्या है?

\cos\frac{y}{x} = Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan\frac{y}{x} = Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

\sin\frac{y}{x} = C

सही उत्तरआपका उत्तर

\sin\frac{y}{x} = Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\sin\frac{y}{x} = Cx$

$y = vx$ : $v + x\frac{dv}{dx} = v + \tan v$ , इसलिए $\cot v\,dv = \frac{dx}{x}$ ।
$\log\lvert \sin v \rvert = \log\lvert x \rvert + c$ , इसलिए $\sin\frac{y}{x} = Cx$ ।

ध्यान देने योग्य

$\cos\frac{y}{x} = Cx$ में $\int \cot v\,dv$ को $\log\lvert \cos v \rvert$ लिया; वह तो $-\int \tan v\,dv$ है।

प्रश्न 55

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(x - y)\frac{dy}{dx} = x + y$ का व्यापक हल क्या है?

\tan^{-1}\frac{y}{x} = \log\sqrt{x^{2} + y^{2}} + C

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan^{-1}\frac{y}{x} = \log\lvert x \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan^{-1}\frac{x}{y} = \log\sqrt{x^{2} + y^{2}} + C

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan^{-1}\frac{y}{x} = -\log\sqrt{x^{2} + y^{2}} + C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\tan^{-1}\frac{y}{x} = \log\sqrt{x^{2} + y^{2}} + C$

$y = vx$ : $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v}$ , इसलिए $x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^{2}}{1 - v}$ और $\frac{1 - v}{1 + v^{2}}dv = \frac{dx}{x}$ ।
$\tan^{-1}v - \frac{1}{2}\log(1 + v^{2}) = \log\lvert x \rvert + C$ ; लघुगणक मिलकर $\log\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ बनते हैं।

ध्यान देने योग्य

केवल $\log\lvert x \rvert$ में अंश के $-v$ से आने वाला $-\frac{1}{2}\log(1 + v^{2})$ भूल गए।

प्रश्न 56

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अवकल समीकरण $x^{2}\frac{dy}{dx} = x^{2} + xy + y^{2}$ लीजिए, और $y = vx$ रखिए।

समीकरण का व्यापक हल क्या है?

\tan^{-1}\frac{y}{x} = \log\lvert x \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan^{-1}\frac{x}{y} = \log\lvert x \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

\log\left(1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}\right) = \log\lvert x \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

\tan^{-1}\frac{y}{x} = \log\lvert y \rvert + C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\tan^{-1}\frac{y}{x} = \log\lvert x \rvert + C$

$\int \frac{dv}{1 + v^{2}} = \tan^{-1}v$ और $\int \frac{dx}{x} = \log\lvert x \rvert$ ।
$\tan^{-1}\frac{y}{x} = \log\lvert x \rvert + C$ ।

ध्यान देने योग्य

$\log\left(1 + v^{2}\right)$ में $\frac{1}{1 + v^{2}}$ का समाकलन ऐसे किया मानो वह $\frac{2v}{1 + v^{2}}$ हो।

प्रश्न 57

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अवकल समीकरण $y\,e^{x/y}\,dx = (x\,e^{x/y} + y)\,dy$ लीजिए, और $x = vy$ रखिए।

हल वक्र $(0, 1)$ से होकर जाता है। $y = e$ पर $x$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

\log 2

सही उत्तरआपका उत्तर

e \log 2

सही उत्तरआपका उत्तर

2 e

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $e \log 2$

$(0, 1)$ पर: $e^{0} = \log 1 + C$ , इसलिए $C = 1$ ।
$y = e$ पर: $e^{x/e} = 1 + 1 = 2$ , इसलिए $\frac{x}{e} = \log 2$ और $x = e\log 2$ ।

ध्यान देने योग्य

$\log 2$ तो $v = \frac{x}{y}$ है; $x$ , $v$ गुणा $y = e$ है।

प्रश्न 58

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x > 0$ के लिए $y$ , $x\frac{dy}{dx} - y = 2\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ को संतुष्ट करता है, और $x = 1$ पर $y = 0$ । $x = 2$ पर $y$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{15}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{15}{4}$

व्यापक हल $y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx^{3}$ है; $(1, 0)$ पर $0 + 1 = C$ , इसलिए $C = 1$ ।
$x = 2$ पर: $\sqrt{4 + y^{2}} = 8 - y$ , इसलिए $4 + y^{2} = 64 - 16y + y^{2}$ और $y = \frac{60}{16} = \frac{15}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{2}$ में $y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx^{2}$ लिया, जिसमें $v + \sqrt{1 + v^{2}}$ को $x$ से गुणा करना भूल गए।

प्रश्न 59

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x > 0$ के लिए $x\frac{dy}{dx} - y = 2\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ का व्यापक हल क्या है?

y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx^{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

y - \sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx^{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx^{3}$

$y = vx$ : $x\frac{dv}{dx} = 2\sqrt{1 + v^{2}}$ , इसलिए $\frac{dv}{\sqrt{1 + v^{2}}} = \frac{2\,dx}{x}$ ।
$\log\left\lvert v + \sqrt{1 + v^{2}} \right\rvert = 2\log x + c$ , इसलिए $v + \sqrt{1 + v^{2}} = Cx^{2}$ ।
$x$ से गुणा कीजिए: $y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx^{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$Cx^{2}$ पर $v + \sqrt{1 + v^{2}} = Cx^{2}$ में ही रुक गए; बायाँ पक्ष अभी $x$ से भाग में है।

प्रश्न 60

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(x^{2} - xy)\,dy = (xy + y^{2})\,dx$ का व्यापक हल क्या है?

\frac{x}{y} + \log\lvert y \rvert = C

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{x}{y} - \log\lvert xy \rvert = C

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{y}{x} + \log\lvert xy \rvert = C

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{x}{y} + \log\lvert xy \rvert = C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{x}{y} + \log\lvert xy \rvert = C$

$y = vx$ : $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v(1 + v)}{1 - v}$ , इसलिए $x\frac{dv}{dx} = \frac{2v^{2}}{1 - v}$ और $\left(\frac{1}{2v^{2}} - \frac{1}{2v}\right)dv = \frac{dx}{x}$ ।
$-\frac{1}{2v} - \frac{1}{2}\log\lvert v \rvert = \log\lvert x \rvert + c$ ; $-2$ से गुणा करके: $\frac{1}{v} + \log\lvert v \rvert + 2\log\lvert x \rvert = C$ ।
$\log\left\lvert \frac{y}{x} \right\rvert + 2\log\lvert x \rvert = \log\lvert xy \rvert$ , इसलिए $\frac{x}{y} + \log\lvert xy \rvert = C$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{x}{y} + \log\lvert y \rvert = C$ में $\log\lvert x \rvert$ को $-2$ से गुणा करते समय 2 छूट गया।

रैखिक समीकरण और समाकलन गुणक

29 प्रश्न

प्रश्न 61

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$ का समाकलन गुणक क्या है?

2 \log x

सही उत्तरआपका उत्तर

x

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{2 x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $x^{2}$

$\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में $P = \frac{2}{x}$ ।
गुणक $e^{\int P\,dx} = x^{2}$ है।

ध्यान देने योग्य

$2\log x$ , $\int P\,dx$ है; गुणक उसकी $e$ पर घात, $x^{2}$ , है।

प्रश्न 62

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा अवकल समीकरण $y$ में रैखिक है?

\frac{dy}{dx} + y^{2} = x

सही उत्तरआपका उत्तर

y\frac{dy}{dx} + x = 0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = \sin y

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} + xy = \sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{dy}{dx} + xy = \sin x$

$y$ में रैखिक का अर्थ है रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ , जिसमें $P$ , $Q$ केवल $x$ के फलन हों।
केवल $\frac{dy}{dx} + xy = \sin x$ फिट होता है, $P = x$ और $Q = \sin x$ के साथ।

ध्यान देने योग्य

$y\frac{dy}{dx}$ में $y$ को उसके अवकलज से गुणा किया, जो रैखिक समीकरण में कभी नहीं होता।

प्रश्न 63

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$ का समाकलन गुणक क्या है?

e^{- x}

सही उत्तरआपका उत्तर

x

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $e^{x}$

$\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में $P = 1$ ।
गुणक $e^{\int P\,dx} = e^{x}$ है।

ध्यान देने योग्य

$e^{-x}$ , $Q$ है, दायाँ पक्ष; गुणक $P = 1$ से आता है।

प्रश्न 64

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} + 3y = x$ का समाकलन गुणक क्या है?

3 x

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{3 x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $e^{3 x}$

$\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में $P = 3$ ।
गुणक $e^{\int P\,dx} = e^{3 x}$ है।

ध्यान देने योग्य

$3x$ , $\int P\,dx$ है; गुणक $e^{3x}$ है।

प्रश्न 65

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा $x$ में रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप है?

\frac{dx}{dy} + P_{1}x = Q_{1}

, जहाँ

P_{1}

Q_{1}

x

के फलन हैंसही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dx}{dy} + P_{1}x = Q_{1}

, जहाँ

P_{1}

Q_{1}

y

के फलन हैंसही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} + P_{1}x = Q_{1}

, जहाँ

P_{1}

Q_{1}

y

के फलन हैंसही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dx}{dy} + P_{1}x^{2} = Q_{1}

, जहाँ

P_{1}

Q_{1}

y

के फलन हैंसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{dx}{dy} + P_{1}x = Q_{1}$ , जहाँ $P_{1}$ , $Q_{1}$ , $y$ के फलन हैं

$x$ को अज्ञात लेने पर $y$ स्वतंत्र चर है, इसलिए अवकलज $\frac{dx}{dy}$ है।
$x$ केवल पहली घात में आता है, और $P_{1}$ , $Q_{1}$ केवल $y$ पर निर्भर हो सकते हैं।

ध्यान देने योग्य

$P_{1}$ और $Q_{1}$ में अज्ञात $x$ नहीं हो सकता; वे $y$ के फलन हैं।

प्रश्न 66

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dx}{dy} + 2x = y^{2}$ का समाकलन गुणक क्या है?

e^{2 x}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 y

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{- 2 y}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{2 y}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $e^{2 y}$

समीकरण $x$ में रैखिक है, $P_{1} = 2$ के साथ, जो $y$ का एक अचर फलन है।
गुणक $e^{\int 2\,dy} = e^{2y}$ है।

ध्यान देने योग्य

$e^{2x}$ में $x$ के सापेक्ष समाकलन किया; यहाँ समाकलन का चर $y$ है।

प्रश्न 67

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} = x + y$ का समाकलन गुणक क्या है?

e^{- x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{- y}

सही उत्तरआपका उत्तर

x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $e^{- x}$

मानक रूप में $\frac{dy}{dx} - y = x$ , इसलिए $P = -1$ ।
गुणक $e^{\int -1\,dx} = e^{-x}$ है।

ध्यान देने योग्य

$e^{x}$ में $\frac{dy}{dx} = x + y$ से $P = +1$ पढ़ा; $y$ को बाईं ओर ले जाने पर वह $-1$ हो जाता है।

प्रश्न 68

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक $e^{\int P\,dx}$ है।

कारण (R): $e^{\int P\,dx}$ से गुणा करने पर बायाँ पक्ष $\frac{d}{dx}\left(y\,e^{\int P\,dx}\right)$ बन जाता है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

A सही है, और R उसका कारण है: गुणनफल नियम से $e^{\int P\,dx}(y' + Py)$ मिलता है।
फिर दोनों पक्षों का समाकलन करने से समीकरण हल हो जाता है।

प्रश्न 69

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x$ में रैखिक $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = y^{2}$ का समाकलन गुणक क्या है?

x

सही उत्तरआपका उत्तर

\log y

सही उत्तरआपका उत्तर

y

सही उत्तरआपका उत्तर

y^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $y$

यहाँ $x$ अज्ञात है: $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ , $P = \frac{1}{y}$ के साथ।
गुणक $e^{\int \frac{1}{y}dy} = y$ है।

ध्यान देने योग्य

$x$ यहाँ अज्ञात है; गुणक $y$ का फलन है।

प्रश्न 70

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} - y\tan x = \sin x$ का समाकलन गुणक क्या है?

\sec x

सही उत्तरआपका उत्तर

\cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

- \cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{\tan x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\cos x$

$\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में $P = - \tan x$ ।
गुणक $e^{\int P\,dx} = \cos x$ है।

ध्यान देने योग्य

$\sec x$ , $+y\tan x$ का गुणक है; ऋण चिह्न के साथ $\int -\tan x\,dx = \log \cos x$ ।

प्रश्न 71

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x\frac{dy}{dx} - y = x^{2}$ का समाकलन गुणक क्या है?

x

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \log x

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{- x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में $P = - \frac{1}{x}$ ।
गुणक $e^{\int P\,dx} = \frac{1}{x}$ है।

ध्यान देने योग्य

$x$ में पहले $x$ से भाग देना छूट गया: तब $P = -\frac{1}{x}$ और गुणक $\frac{1}{x}$ है।

प्रश्न 72

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ का समाकलन गुणक $x$ है।

II. यदि $I$ एक समाकलन गुणक है, तो $5I$ भी है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · I और II दोनों

I: $e^{\int \frac{dx}{x}} = e^{\log x} = x$ । सही।
II: $5I$ से गुणा करने पर दोनों पक्ष केवल 5 गुना होते हैं, और बायाँ पक्ष अब भी एक पूर्ण अवकलज है। सही।

प्रश्न 73

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y\frac{dx}{dy} - x = 2y^{3}$ का समाकलन गुणक क्या है?

y

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{-y}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{y}$

$y$ से भाग दीजिए: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^{2}$ , $x$ में रैखिक, $P = -\frac{1}{y}$ ।
$e^{-\int \frac{dy}{y}} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ ।

ध्यान देने योग्य

$y$ , $+\frac{x}{y}$ का गुणक है; ऋण चिह्न उसे $\frac{1}{y}$ बना देता है।

प्रश्न 74

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} + y\cot x = 2\cos x$ का समाकलन गुणक क्या है?

\sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

\cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

\log{\left(\sin x \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\sin x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\sin x$

$\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में $P = \cot x$ ।
गुणक $e^{\int P\,dx} = \sin x$ है।

ध्यान देने योग्य

$\log \sin x$ , $\int \cot x\,dx$ है; गुणक $e$ की उस पर घात है।

प्रश्न 75

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(1 + x^{2})\frac{dy}{dx} + 2xy = 1$ का समाकलन गुणक क्या है?

\log{\left(x^{2} + 1 \right)}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 x

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2} + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $x^{2} + 1$

$\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में $P = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ ।
गुणक $e^{\int P\,dx} = x^{2} + 1$ है।

ध्यान देने योग्य

$e^{x^{2}}$ में $1 + x^{2}$ से भाग देने से पहले ही $P = 2x$ ले लिया।

प्रश्न 76

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ में $x\frac{dy}{dx} - 3y = x^{4}e^{x}$ के लिए $P$ और $Q$ क्या हैं?

P = -3

Q = x^{4}e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

P = \frac{3}{x}

Q = x^{3}e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

P = -\frac{3}{x}

Q = x^{3}e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

P = -\frac{3}{x}

Q = x^{4}e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $P = -\frac{3}{x}$ , $Q = x^{3}e^{x}$

$\frac{dy}{dx}$ के गुणांक $x$ से पूरे समीकरण को भाग दीजिए: $\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}y = x^{3}e^{x}$ ।
इसलिए $P = -\frac{3}{x}$ और $Q = x^{3}e^{x}$ ।

ध्यान देने योग्य

$P = -3$ , $Q = x^{4}e^{x}$ में $\frac{dy}{dx}$ के गुणांक $x$ से भाग देने से पहले ही समीकरण पढ़ लिया।

प्रश्न 77

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x > 0$ के लिए $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक $x^{3}$ है। $P$ क्या है?

3 x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

3 \log x

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{x^{3}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{3}{x}$

$e^{\int P\,dx} = x^{3}$ का अर्थ है $\int P\,dx = \log x^{3} = 3\log x$ ।
अवकलन कीजिए: $P = \frac{3}{x}$ ।

ध्यान देने योग्य

$3x^{2}$ में स्वयं गुणक का अवकलन किया; $\int P\,dx$ तो गुणक का लघुगणक है।

प्रश्न 78

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x > 0$ के लिए $\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = x$ को उसके समाकलन गुणक से गुणा किया जाता है। बायाँ पक्ष कौन-सा पूर्ण अवकलज बनता है?

\frac{d}{dx}\left(x^{2}y\right)

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right)

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x^{2}}\right)

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{d}{dx}\left(e^{-2x}y\right)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x^{2}}\right)$

$P = -\frac{2}{x}$ , इसलिए गुणक $e^{-2\log x} = \frac{1}{x^{2}}$ है।
भागफल नियम से $\frac{1}{x^{2}}\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x^{3}}y = \frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x^{2}}\right)$ ।

ध्यान देने योग्य

$x^{2}y$ में $+\frac{2}{x}$ का गुणक लिया; ऋण चिह्न उसे $\frac{1}{x^{2}}$ बना देता है।

प्रश्न 79

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. समाकलन गुणक $e^{\int P\,dx}$ कभी 0 नहीं होता।

II. यदि $P$ एक अचर $a$ है, तो समाकलन गुणक $e^{ax}$ है।

III. समाकलन गुणक $P$ के साथ-साथ $Q$ पर भी निर्भर करता है।

IV. $x > 0$ के लिए $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = Q$ और $x\frac{dy}{dx} + y = xQ$ का समाकलन गुणक एक ही है।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I, II और IV

I: $e$ की घात सदा धनात्मक होती है। II: $e^{\int a\,dx} = e^{ax}$ । IV: दूसरे समीकरण को $x$ से भाग देने पर पहला मिलता है, इसलिए दोनों में $P = \frac{1}{x}$ और गुणक $x$ है।
III गलत है: गुणक $e^{\int P\,dx}$ है, जो केवल $P$ से बनता है।

ध्यान देने योग्य

$Q$ गुणक मिलने के बाद ही, $\int Q \cdot e^{\int P\,dx}\,dx$ में, आता है।

प्रश्न 80

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x$ को $y$ का फलन, यानी अज्ञात, लेने पर इनमें से कौन-सा समीकरण रैखिक है?

\frac{dy}{dx} + y = x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + y^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^{2} + y}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x^{2} + y}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + y^{2}}$

हर एक को $\frac{dx}{dy}$ में पलटिए: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + y^{2}}$ से $\frac{dx}{dy} - x = y^{2}$ मिलता है, जो $P_{1} = -1$ के साथ $x$ में रैखिक है।
बाकी से $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{x^{2} - y}$ , $x^{2} + y$ और $\frac{x^{2} + y}{y}$ मिलते हैं, हर एक में $x^{2}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{dy}{dx} + y = x^{2}$ , $y$ में रैखिक है; पलटने पर $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{x^{2} - y}$ , $x$ में रैखिक नहीं है।

प्रश्न 81

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = y^{2}$ , $y$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है।

II. $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 2$ समघातीय भी है और रैखिक भी।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल II

I: दाईं ओर का $y^{2}$ उसे $y$ में अरैखिक बना देता है। गलत।
II: दायाँ पक्ष $v + 2$ है, जो $\frac{y}{x}$ का फलन है, और $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = 2$ रैखिक है। सही।

ध्यान देने योग्य

एक ही समीकरण दोनों विधियों में आ सकता है: समघातीय होना और रैखिक होना अलग-अलग परीक्षण हैं।

प्रश्न 82

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए $\cos x\frac{dy}{dx} + y = 1$ का समाकलन गुणक क्या है?

\sec x + \tan x

सही उत्तरआपका उत्तर

\sec x

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{\sec x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{\tan x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\sec x + \tan x$

$\cos x$ से भाग दीजिए: $\frac{dy}{dx} + y\sec x = \sec x$ , इसलिए $P = \sec x$ ।
$\int \sec x\,dx = \log(\sec x + \tan x)$ , इसलिए गुणक $\sec x + \tan x$ है।

ध्यान देने योग्य

$\sec x$ तो स्वयं $P$ है, $e^{\int P\,dx}$ नहीं।

प्रश्न 83

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $x > -1$ के लिए $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x + 1} = 1$ का समाकलन गुणक $x + 1$ है।

कारण (R): $x > -1$ के लिए $e^{-\log(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · A गलत है, लेकिन R सही है।

$P = -\frac{1}{x + 1}$ , इसलिए $\int P\,dx = -\log(x + 1)$ और गुणक $e^{-\log(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$ है।
इसलिए A गलत है और R सही है; वास्तव में R ही सही गुणक देता है।

ध्यान देने योग्य

$x + 1$ , $+\frac{y}{x + 1}$ का गुणक है; ऋण चिह्न उसे उलट देता है।

प्रश्न 84

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x > 0$ और $0 < y < \pi$ के लिए सूची I के हर समीकरण को सूची II में उसके समाकलन गुणक से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $x\frac{dy}{dx} + 4y = 1$	I. $e^{- 3 x}$
B. $\frac{dy}{dx} - 3y = x$	II. $\sin y$
C. $(x + 1)\frac{dy}{dx} + y = 1$	III. $x^{4}$
D. $\frac{dx}{dy} + x\cot y = 1$	IV. $x + 1$

A-III, B-I, C-IV, D-IIसही उत्तरआपका उत्तरA-I, B-III, C-IV, D-IIसही उत्तरआपका उत्तरA-III, B-I, C-II, D-IVसही उत्तरआपका उत्तरA-I, B-III, C-II, D-IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A-III, B-I, C-IV, D-II

A: $x$ से भाग दीजिए, $P = \frac{4}{x}$ , गुणक $x^{4}$ । B: $P = -3$ , गुणक $e^{-3x}$ ।
C: $P = \frac{1}{x + 1}$ , गुणक $x + 1$ । D: $x$ में रैखिक, $P_{1} = \cot y$ , गुणक $e^{\log \sin y} = \sin y$ ।

प्रश्न 85

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x\log x\frac{dy}{dx} + y = 2\log x$ का समाकलन गुणक क्या है?

x \log x

सही उत्तरआपका उत्तर

\log x

सही उत्तरआपका उत्तर

x

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\log x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\log x$

$\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में $P = \frac{1}{x \log x}$ ।
गुणक $e^{\int P\,dx} = \log x$ है।

ध्यान देने योग्य

$x\log x$ , $\frac{dy}{dx}$ का गुणांक है; उससे भाग देने पर $P = \frac{1}{x\log x}$ मिलता है।

प्रश्न 86

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x > 0$ के लिए इनमें से किस समीकरण का समाकलन गुणक $x^{2}$ है?

x\frac{dy}{dx} - 2y = e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

x\frac{dy}{dx} + 2y = e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{dy}{dx} + 2xy = e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2}\frac{dy}{dx} + 2y = e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $x\frac{dy}{dx} + 2y = e^{x}$

$x\frac{dy}{dx} + 2y = e^{x}$ को $x$ से भाग देने पर $P = \frac{2}{x}$ , इसलिए उसका गुणक $e^{2\log x} = x^{2}$ है।
बाकी में $P = -\frac{2}{x}$ , $2x$ और $\frac{2}{x^{2}}$ हैं, जिनके गुणक $\frac{1}{x^{2}}$ , $e^{x^{2}}$ और $e^{-2/x}$ हैं।

ध्यान देने योग्य

$x\frac{dy}{dx} - 2y = e^{x}$ में $P = -\frac{2}{x}$ है, जिसका गुणक $\frac{1}{x^{2}}$ है, $x^{2}$ नहीं।

प्रश्न 87

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x$ को अज्ञात मानकर $(1 + y^{2})\,dx = (2\tan^{-1}y - x)\,dy$ का समाकलन गुणक क्या है?

e^{-\tan^{-1}y}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{\tan^{-1}x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{\tan^{-1}y}

सही उत्तरआपका उत्तर

1 + y^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $e^{\tan^{-1}y}$

$\frac{dx}{dy} = \frac{2\tan^{-1}y - x}{1 + y^{2}}$ , इसलिए $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1 + y^{2}} = \frac{2\tan^{-1}y}{1 + y^{2}}$ ।
$P_{1} = \frac{1}{1 + y^{2}}$ , इसलिए गुणक $e^{\int \frac{dy}{1 + y^{2}}} = e^{\tan^{-1}y}$ है।

ध्यान देने योग्य

$e^{-\tan^{-1}y}$ में $-x$ को दाईं ओर ही रखा; बाईं ओर ले जाने पर वह $+\frac{x}{1 + y^{2}}$ बनता है।

प्रश्न 88

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x > 0$ के लिए $x\frac{dy}{dx} + (1 + x)y = x^{2}$ का समाकलन गुणक क्या है?

x + e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x + 1}

सही उत्तरआपका उत्तर

x e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $x e^{x}$

$x$ से भाग दीजिए: $P = \frac{1 + x}{x} = \frac{1}{x} + 1$ , इसलिए $\int P\,dx = \log x + x$ ।
गुणक $e^{\log x + x} = e^{\log x} \cdot e^{x} = x\,e^{x}$ है।

ध्यान देने योग्य

$x + e^{x}$ में $e^{\log x + x}$ को योग में तोड़ दिया; योग की घात वाला $e$ एक गुणनफल होता है।

प्रश्न 89

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$-1 < x < 1$ के लिए $(1 - x^{2})\frac{dy}{dx} - xy = 1$ का समाकलन गुणक क्या है?

\sqrt{1 - x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

सही उत्तरआपका उत्तर

1 - x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{- \frac{x^{2}}{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\sqrt{1 - x^{2}}$

$1 - x^{2}$ से भाग दीजिए: $P = -\frac{x}{1 - x^{2}}$ ।
$\int -\frac{x}{1 - x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\log(1 - x^{2})$ , इसलिए गुणक $\sqrt{1 - x^{2}}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ में लघुगणक का चिह्न गलत हुआ: $1 - x^{2}$ का अवकलज $-2x$ है, जो $P$ के ऋण चिह्न को समा लेता है।

रैखिक समीकरण हल करना

31 प्रश्न

प्रश्न 90

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} + 2y = 4$ का व्यापक हल क्या है?

y = 4 + Ce^{-2x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 2 + Ce^{2x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 2x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 2 + Ce^{-2x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $y = 2 + Ce^{-2x}$

गुणक $e^{2x}$ है: $\frac{d}{dx}(ye^{2x}) = 4e^{2x}$ , इसलिए $ye^{2x} = 2e^{2x} + C$ ।
$y = 2 + Ce^{-2x}$ ।

ध्यान देने योग्य

$4 + Ce^{-2x}$ में 4 को $P = 2$ से भाग देना भूल गए; स्थिर मान वहाँ है जहाँ $2y = 4$ ।

प्रश्न 91

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2xy = 2x$ लीजिए।

इसका समाकलन गुणक क्या है?

e^{2 x}

सही उत्तरआपका उत्तर

x^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{- x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $e^{x^{2}}$

$P = 2x$ , इसलिए $\int P\,dx = x^{2}$ ।
गुणक $e^{x^{2}}$ है।

ध्यान देने योग्य

$e^{2x}$ में घातांक में $\int P\,dx$ के बजाय स्वयं $P$ रखा।

प्रश्न 92

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2xy = 2x$ लीजिए।

यदि $x = 0$ पर $y = 3$ , तो $C$ क्या है?

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2$

$x = 0$ पर: $3 = 1 + C \cdot e^{0}$ ।
$C = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

3 में $C$ को $y$ का प्रारंभिक मान मान लिया, 1 भूलकर।

प्रश्न 93

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} - y = 2$ का व्यापक हल क्या है?

y = Ce^{x} - 2

सही उत्तरआपका उत्तर

y = Ce^{x} + 2

सही उत्तरआपका उत्तर

y = Ce^{-x} - 2

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 2x + Ce^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $y = Ce^{x} - 2$

गुणक $e^{-x}$ है: $\frac{d}{dx}(ye^{-x}) = 2e^{-x}$ , इसलिए $ye^{-x} = -2e^{-x} + C$ ।
$y = Ce^{x} - 2$ ।

ध्यान देने योग्य

$Ce^{x} + 2$ में $\int 2e^{-x}\,dx = -2e^{-x}$ का ऋण चिह्न छूट गया।

प्रश्न 94

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} + 4y = 8$ का हर हल $x \to \infty$ पर एक ही मान की ओर जाता है। वह मान क्या है?

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2$

गुणक $e^{4x}$ से $ye^{4x} = 2e^{4x} + C$ , इसलिए $y = 2 + Ce^{-4x}$ ।
$x \to \infty$ पर $Ce^{-4x} \to 0$ , इसलिए $y \to \frac{8}{4} = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

8 तो स्वयं $Q$ है; स्थिर मान वहाँ है जहाँ $4y = 8$ ।

प्रश्न 95

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रैखिक समीकरण को उसके समाकलन गुणक $x^{2}$ से गुणा करने पर $\frac{d}{dx}\left(x^{2}y\right) = 3x^{2}$ मिलता है। व्यापक हल क्या है?

y = x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x^{3} + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x + \frac{C}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $y = x + \frac{C}{x^{2}}$

समाकलन कीजिए: $x^{2}y = \int 3x^{2}\,dx = x^{3} + C$ ।
$x^{2}$ से भाग दीजिए: $y = x + \frac{C}{x^{2}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$x + C$ में $x^{3}$ को $x^{2}$ से भाग दिया, पर अचर को नहीं।

प्रश्न 96

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बचत खाते पर 5% वार्षिक ब्याज सतत रूप से चक्रवृद्धि होता है, और उसमें ₹12,000 प्रति वर्ष की दर से लगातार राशि जमा की जाती है। $t$ वर्ष बाद शेष राशि $A$ (रुपयों में) $\frac{dA}{dt} = \frac{A}{20} + 12{,}000$ को संतुष्ट करती है।

इस समीकरण का समाकलन गुणक क्या है?

e^{t/20}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{-20t}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{-t/20}

सही उत्तरआपका उत्तर

e^{-t}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $e^{-t/20}$

मानक रूप में $\frac{dA}{dt} - \frac{1}{20}A = 12{,}000$ , इसलिए $P = -\frac{1}{20}$ ।
गुणक $e^{\int -\frac{1}{20}\,dt} = e^{-t/20}$ है।

ध्यान देने योग्य

$e^{t/20}$ में $P = +\frac{1}{20}$ पढ़ा; $\frac{A}{20}$ को बाईं ओर ले जाने पर वह ऋणात्मक हो जाता है।

प्रश्न 97

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ का व्यापक हल क्या है?

A = Ce^{t/20} + 2{,}40{,}000

सही उत्तरआपका उत्तर

A = Ce^{-t/20} - 2{,}40{,}000

सही उत्तरआपका उत्तर

A = Ce^{t/20} - 600

सही उत्तरआपका उत्तर

A = Ce^{t/20} - 2{,}40{,}000

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $A = Ce^{t/20} - 2{,}40{,}000$

$\frac{d}{dt}\left(Ae^{-t/20}\right) = 12{,}000e^{-t/20}$ , इसलिए $Ae^{-t/20} = -2{,}40{,}000e^{-t/20} + C$ ।
$e^{t/20}$ से गुणा कीजिए: $A = Ce^{t/20} - 2{,}40{,}000$ ।

ध्यान देने योग्य

$+2{,}40{,}000$ में $\int e^{-t/20}\,dt = -20e^{-t/20}$ का ऋण चिह्न खो गया।

प्रश्न 98

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y$ , $\frac{dy}{dx} + y = 1$ को संतुष्ट करता है और $x = 0$ पर $y = 0$ । $x = \log 2$ पर $y$ क्या है?

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{2}$

गुणक $e^{x}$ से $ye^{x} = e^{x} + C$ , इसलिए $y = 1 + Ce^{-x}$ ; $y(0) = 0$ से $C = -1$ ।
$y = 1 - e^{-\log 2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{2}$ में $C = +1$ लिया; शर्त $y(0) = 0$ के लिए $1 + C = 0$ चाहिए।

प्रश्न 99

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. रैखिक समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का व्यापक हल $y\,e^{\int P\,dx} = \int Q\,e^{\int P\,dx}\,dx + C$ है।

II. अचर $C$ दाएँ पक्ष का समाकलन करने के बाद जोड़ा जाता है, गुणक में नहीं।

III. समाकलन गुणक को अपना अलग समाकलन अचर चाहिए।

IV. यदि $Q = 0$ , तो समीकरण चर पृथक्करणीय भी है।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I, II और IV

I हल का सूत्र है, II उसका उपयोग है, और IV सही है: $\frac{dy}{y} = -P\,dx$ ।
III गलत है: कोई भी एक समाकलन गुणक काम करता है, इसलिए उसका अचर छोड़ दिया जाता है।

ध्यान देने योग्य

गुणक में अचर केवल समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करेगा।

प्रश्न 100

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$ का व्यापक हल क्या है?

y = Ce^{-x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = (x + C)e^{-x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = (x + C)e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x + Ce^{-x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $y = (x + C)e^{-x}$

गुणक $e^{x}$ है: $\frac{d}{dx}(ye^{x}) = e^{x} \cdot e^{-x} = 1$ ।
$ye^{x} = x + C$ , इसलिए $y = (x + C)e^{-x}$ ।

ध्यान देने योग्य

$Ce^{-x}$ , दाएँ पक्ष के बिना, $\frac{dy}{dx} + y = 0$ को हल करता है।

प्रश्न 101

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2xy = 2x$ लीजिए।

$x = 0$ पर $y = 3$ के साथ, $x = 1$ पर $y$ क्या है?

\frac{2}{e}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{e}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{e} + 1

सही उत्तरआपका उत्तर

1 + 2 e

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{e} + 1$

$y = 1 + 2e^{-x^{2}}$ ।
$x = 1$ पर: $1 + \frac{2}{e}$ ।

ध्यान देने योग्य

$1 + 2e$ में घातांक $-x^{2}$ का ऋण चिह्न छूट गया।

प्रश्न 102

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^{2}$ का व्यापक हल क्या है?

y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{C}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \frac{x^{3}}{4} + \frac{C}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \frac{x^{3}}{4} + Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \frac{x^{4}}{4} + C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $y = \frac{x^{3}}{4} + \frac{C}{x}$

गुणक $x$ है: $\frac{d}{dx}(xy) = x^{3}$ ।
$xy = \frac{x^{4}}{4} + C$ , इसलिए $y = \frac{x^{3}}{4} + \frac{C}{x}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{x^{3}}{3}$ में $Q = x^{2}$ को पहले गुणक $x$ से गुणा किए बिना समाकलित किया।

प्रश्न 103

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x\frac{dy}{dx} - 2y = x^{3}$ का व्यापक हल क्या है?

y = x^{3} + Cx^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x^{3} + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \frac{x^{3}}{3} + Cx^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x^{3} + \frac{C}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $y = x^{3} + Cx^{2}$

$x$ से भाग दीजिए: $\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = x^{2}$ , गुणक $\frac{1}{x^{2}}$ के साथ।
$\frac{y}{x^{2}} = \int 1\,dx = x + C$ , इसलिए $y = x^{3} + Cx^{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$x^{3} + C$ में अचर को $x^{2}$ से गुणा करना भूल गए।

प्रश्न 104

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2xy = 2x$ लीजिए।

इसका व्यापक हल क्या है?

y = 1 + Ce^{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = 1 + Ce^{-x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x^{2} + Ce^{-x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = Ce^{-x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $y = 1 + Ce^{-x^{2}}$

$\frac{d}{dx}\left(ye^{x^{2}}\right) = 2xe^{x^{2}}$ , इसलिए $ye^{x^{2}} = e^{x^{2}} + C$ ।
$y = 1 + Ce^{-x^{2}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$Ce^{-x^{2}}$ दायाँ पक्ष 0 वाले समीकरण का हल है, $2x$ से आने वाला 1 छूट गया।

प्रश्न 105

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$t = 0$ पर शेष राशि ₹0 है। 20 वर्ष बाद शेष राशि क्या है?

₹

600(e - 1)

सही उत्तरआपका उत्तर₹

2{,}40{,}000

सही उत्तरआपका उत्तर₹

2{,}40{,}000(e - 1)

सही उत्तरआपका उत्तर₹

2{,}40{,}000e

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · ₹ $2{,}40{,}000(e - 1)$

$A(0) = C - 2{,}40{,}000 = 0$ , इसलिए $C = 2{,}40{,}000$ और $A = 2{,}40{,}000\left(e^{t/20} - 1\right)$ ।
$t = 20$ पर: $A = 2{,}40{,}000(e - 1)$ ।

ध्यान देने योग्य

₹2,40,000 तो केवल जमा की गई राशि, $12{,}000 \times 20$ , है, बिना ब्याज के।

प्रश्न 106

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x > 0$ के साथ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 3$ के लिए निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. इसका समाकलन गुणक $x$ है।

II. इसका व्यापक हल $y = 3x + \frac{C}{x}$ है।

III. $y = 3x$ इसका एक हल है।

IV. $(1, 2)$ से होकर जाने वाला इसका हल $y = \frac{3x}{2} + \frac{1}{2x}$ है।

केवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I और IV

I: $e^{\int \frac{dx}{x}} = x$ , और $\frac{d}{dx}(xy) = 3x$ से $xy = \frac{3x^{2}}{2} + C$ , इसलिए $y = \frac{3x}{2} + \frac{C}{x}$ ; II में $\frac{1}{2}$ छूट गया।
III: $y = 3x$ पर बायाँ पक्ष $3 + 3 = 6$ है, 3 नहीं। IV: $\frac{3}{2} + C = 2$ से $C = \frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

II में $3x$ का समाकलन $3x^{2}$ लिया; $\int 3x\,dx = \frac{3x^{2}}{2}$ ।

प्रश्न 107

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dx}{dy} - 2x = e^{y}$ का व्यापक हल क्या है?

y = Ce^{2x} - e^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

x = Ce^{2y} + e^{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

x = Ce^{2y} - e^{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

x = Ce^{-2y} - e^{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $x = Ce^{2y} - e^{y}$

$x$ में रैखिक, $P_{1} = -2$ : गुणक $e^{-2y}$ है, और $\frac{d}{dy}\left(xe^{-2y}\right) = e^{-y}$ ।
$xe^{-2y} = -e^{-y} + C$ , इसलिए $x = Ce^{2y} - e^{y}$ ।

ध्यान देने योग्य

$y = Ce^{2x} - e^{x}$ में $x$ और $y$ की भूमिकाएँ अदल-बदल गईं; यहाँ $x$ अज्ञात है।

प्रश्न 108

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $x = 0$ पर $y = 1$ वाला $\frac{dy}{dx} + y = xe^{-x}$ का हल $y = \left(\frac{x^{2}}{2} + 1\right)e^{-x}$ है।

कारण (R): $\frac{dy}{dx} + y = xe^{-x}$ का समाकलन गुणक $e^{-x}$ है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · A सही है, लेकिन R गलत है।

$P = 1$ , इसलिए गुणक $e^{x}$ है और R गलत है: $ye^{x} = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C$ ।
$y(0) = C = 1$ , इसलिए $y = \left(\frac{x^{2}}{2} + 1\right)e^{-x}$ और A सही है।

ध्यान देने योग्य

गुणक $P = 1$ से आता है, $Q = xe^{-x}$ से नहीं, इसलिए वह $e^{x}$ है।

प्रश्न 109

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x > 0$ के लिए $x\frac{dy}{dx} - y = x^{2}e^{x}$ का व्यापक हल क्या है?

y = e^{x} + Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

y = xe^{x} + C

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x^{2}e^{x} + Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

y = xe^{x} + Cx

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $y = xe^{x} + Cx$

$x$ से भाग दीजिए: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = xe^{x}$ , गुणक $\frac{1}{x}$ के साथ।
$\frac{y}{x} = \int e^{x}\,dx = e^{x} + C$ , इसलिए $y = xe^{x} + Cx$ ।

ध्यान देने योग्य

$e^{x} + Cx$ में अंत में केवल अचर को $x$ से गुणा किया; $e^{x}$ को भी गुणा करना है।

प्रश्न 110

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$0 < x < \pi$ के लिए $\frac{dy}{dx} + y\cot x = \operatorname{cosec} x$ का व्यापक हल क्या है?

y = (x + C)\operatorname{cosec} x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = (x + C)\sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x + C\operatorname{cosec} x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = x\operatorname{cosec} x + C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $y = (x + C)\operatorname{cosec} x$

गुणक $e^{\int \cot x\,dx} = \sin x$ है, और $\operatorname{cosec} x \cdot \sin x = 1$ ।
$y\sin x = \int 1\,dx = x + C$ , इसलिए $y = (x + C)\operatorname{cosec} x$ ।

ध्यान देने योग्य

$(x + C)\sin x$ में गुणक $\sin x$ से गुणा किया, जबकि उससे भाग देना था।

प्रश्न 111

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dx}{dy} + x = y$ का व्यापक हल क्या है?

y = x - 1 + Ce^{-x}

सही उत्तरआपका उत्तर

x = y + 1 + Ce^{-y}

सही उत्तरआपका उत्तर

x = y - 1 + Ce^{-y}

सही उत्तरआपका उत्तर

x = y - 1 + Ce^{y}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $x = y - 1 + Ce^{-y}$

$x$ में रैखिक, $P = 1$ : गुणक $e^{y}$ , और $\frac{d}{dy}(xe^{y}) = ye^{y}$ ।
$xe^{y} = (y - 1)e^{y} + C$ , इसलिए $x = y - 1 + Ce^{-y}$ ।

ध्यान देने योग्य

$y = x - 1 + Ce^{-x}$ में $x$ और $y$ की भूमिकाएँ अदल-बदल गईं; यहाँ $x$ अज्ञात है।

प्रश्न 112

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x\frac{dy}{dx} + 2y = x^{2}$ का व्यापक हल क्या है?

y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{C}{x^{2}}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \frac{x^{2}}{4} + Cx^{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \frac{x^{4}}{4} + C

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{x^{2}}$

$x$ से भाग दीजिए: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$ , गुणक $x^{2}$ के साथ।
$x^{2}y = \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C$ , इसलिए $y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{x^{2}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{x^{4}}{4} + C$ तो $x^{2}y$ है; उसे अभी $x^{2}$ से भाग देना है।

प्रश्न 113

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y$ , $\frac{dy}{dx} + y = 2x$ को संतुष्ट करता है और $x = 0$ पर $y = 0$ । $x = 1$ पर $y$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{e}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 - \frac{2}{e}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{e}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{2}{e}$

गुणक $e^{x}$ : $ye^{x} = \int 2xe^{x}\,dx = 2(x - 1)e^{x} + C$ , इसलिए $y = 2x - 2 + Ce^{-x}$ ।
$y(0) = -2 + C = 0$ से $C = 2$ ; $x = 1$ पर $y = 0 + \frac{2}{e} = \frac{2}{e}$ ।

ध्यान देने योग्य

0 में $Ce^{-x}$ पद छोड़ दिया, केवल $y = 2x - 2$ लिया।

प्रश्न 114

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} + y\tan x = \sec x$ का व्यापक हल क्या है?

y = \sin x + C\sec x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \tan x + C\cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \cos x + C\sin x

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \sin x + C\cos x

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $y = \sin x + C\cos x$

गुणक $e^{\int \tan x\,dx} = \sec x$ है: $\frac{d}{dx}(y\sec x) = \sec^{2}x$ ।
$y\sec x = \tan x + C$ , इसलिए $y = \sin x + C\cos x$ ।

ध्यान देने योग्य

$\tan x + C\cos x$ में केवल अचर को $\sec x$ से भाग दिया, $\tan x$ को नहीं।

प्रश्न 115

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक वक्र $(0, 3)$ से होकर जाता है, और उसके हर बिंदु $(x, y)$ पर उसकी प्रवणता $y - 2x$ है। वक्र पर $x = 1$ होने पर $y$ क्या है?

4 + e

सही उत्तरआपका उत्तर

3e

सही उत्तरआपका उत्तर

4 + 3e

सही उत्तरआपका उत्तर

5e

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $4 + e$

$\frac{dy}{dx} - y = -2x$ का गुणक $e^{-x}$ है: $ye^{-x} = \int -2xe^{-x}\,dx = 2(x + 1)e^{-x} + C$ ।
इसलिए $y = 2x + 2 + Ce^{x}$ ; $(0, 3)$ पर $2 + C = 3$ , इसलिए $C = 1$ ।
$x = 1$ पर: $y = 2 + 2 + e = 4 + e$ ।

ध्यान देने योग्य

$5e$ , $y = 2x - 2 + Ce^{x}$ से आता है, जो $\int -2xe^{-x}\,dx$ में चिह्न की भूल है; तब $C = 5$ ।

प्रश्न 116

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$t = 0$ पर शेष राशि ₹0 होने पर, वह कितने समय बाद ₹2,40,000 तक पहुँचती है?

\frac{\log 2}{20}

वर्षसही उत्तरआपका उत्तर

20\log 2

वर्षसही उत्तरआपका उत्तर20 वर्षसही उत्तरआपका उत्तर

20\log 3

वर्षसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $20\log 2$ वर्ष

$2{,}40{,}000\left(e^{t/20} - 1\right) = 2{,}40{,}000$ से $e^{t/20} = 2$ ।
$\frac{t}{20} = \log 2$ , इसलिए $t = 20\log 2$ , लगभग 13.9 वर्ष।

ध्यान देने योग्य

20 वर्ष में केवल जमा राशि गिनी; ब्याज के साथ शेष राशि वहाँ पहले पहुँचती है।

प्रश्न 117

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y > 0$ के लिए $x$ , $\frac{dx}{dy} + \frac{2x}{y} = 4y$ को संतुष्ट करता है, और $y = 1$ पर $x = 2$ । $y = 2$ पर $x$ क्या है?

4

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{17}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{17}{4}$

$x$ में रैखिक, $P_{1} = \frac{2}{y}$ : गुणक $y^{2}$ है, और $xy^{2} = \int 4y^{3}\,dy = y^{4} + C$ ।
$y = 1$ पर: $2 = 1 + C$ , इसलिए $C = 1$ और $x = y^{2} + \frac{1}{y^{2}}$ ।
$y = 2$ पर: $x = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

5 में $x = y^{2} + C$ लिया: अचर को गुणक $y^{2}$ से भाग नहीं दिया।

प्रश्न 118

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$y$ , $\frac{dy}{dx} + 2y = e^{x}$ को संतुष्ट करता है, और $x = 0$ पर $y = 1$ । $x = \log 2$ पर $y$ क्या है?

\frac{5}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{11}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{10}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{5}{6}$

गुणक $e^{2x}$ है: $ye^{2x} = \int e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{3} + C$ , इसलिए $y = \frac{e^{x}}{3} + Ce^{-2x}$ ।
$y(0) = \frac{1}{3} + C = 1$ से $C = \frac{2}{3}$ ।
$x = \log 2$ पर: $\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{6}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{11}{12}$ में $C = 1$ , यानी $y$ का प्रारंभिक मान, ले लिया, यह भूलकर कि $y(0)$ में $\frac{1}{3}$ पहले से है।

प्रश्न 119

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक टंकी में 20 लीटर शुद्ध पानी है। प्रति लीटर 3 ग्राम नमक वाला घोल 2 लीटर प्रति मिनट की दर से अंदर आता है, और अच्छी तरह मिला घोल 1 लीटर प्रति मिनट की दर से बाहर जाता है, इसलिए $t$ मिनट बाद टंकी में $20 + t$ लीटर घोल होता है और नमक $Q$ (ग्राम में) $\frac{dQ}{dt} = 6 - \frac{Q}{20 + t}$ को संतुष्ट करता है। 20 मिनट बाद टंकी में कितना नमक है?

3 ग्रामसही उत्तरआपका उत्तर

120 - \frac{120}{e}

ग्रामसही उत्तरआपका उत्तर90 ग्रामसही उत्तरआपका उत्तर120 ग्रामसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 90 ग्राम

$\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{20 + t}Q = 6$ का गुणक $e^{\log(20 + t)} = 20 + t$ है।
$Q(20 + t) = \int 6(20 + t)\,dt = 120t + 3t^{2} + C$ ; $Q(0) = 0$ से $C = 0$ ।
$t = 20$ पर: $Q = \frac{2400 + 1200}{40} = 90$ ग्राम।

ध्यान देने योग्य

$120 - \frac{120}{e}$ में आयतन 20 लीटर ही रखा और $\frac{dQ}{dt} = 6 - \frac{Q}{20}$ हल किया; टंकी हर मिनट एक लीटर भरती है।

प्रश्न 120

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\frac{dy}{dx} + y = \cos x$ का व्यापक हल क्या है?

y = \frac{\sin x + \cos x}{2} + Ce^{-x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \frac{\sin x - \cos x}{2} + Ce^{-x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \frac{\sin x + \cos x}{2} + Ce^{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

y = \sin x + Ce^{-x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $y = \frac{\sin x + \cos x}{2} + Ce^{-x}$

गुणक $e^{x}$ है, इसलिए $ye^{x} = \int e^{x}\cos x\,dx$ ।
दो बार खंडशः समाकलन से $\int e^{x}\cos x\,dx = \frac{e^{x}(\sin x + \cos x)}{2} + C$ ।
$e^{x}$ से भाग दीजिए: $y = \frac{\sin x + \cos x}{2} + Ce^{-x}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\sin x - \cos x}{2}$ में दूसरे खंडशः समाकलन में चिह्न की भूल हुई: $\int e^{x}\sin x\,dx$ ऋण चिह्न के साथ आता है।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।