3 i - 2 j + 5 k के अक्षों के अनुदिश सदिश घटक क्या हैं?

3/(√(38)), -2/(√(38)), 5/(√(38))

CUET गणित के लिए सदिश बीजगणित

Q: सदिश का परिमाण और दिक्-कोसाइन कैसे निकालते हैं?

a = a₁ i + a₂ j + a₃ k के लिए a = √(a₁^2 + a₂^2 + a₃^2) । उसकी दिशा में मात्रक सदिश a = a a है, और उसके घटक दिक्-कोसाइन l, m, n हैं, जिनमें l^2 + m^2 + n^2 = 1 । घटक स्वयं दिक्-अनुपात हैं।

Q: दो बिंदुओं को मिलाने वाला सदिश और उसे बाँटने वाला बिंदु कैसे निकालते हैं?

PQ = q - p: अंत घटा आरंभ। PQ को m: n में अंतः विभाजित करने वाला बिंदु m q + n pm + n है; बाह्य रूप से m q - n pm - n । मध्य बिंदु p + q2 है।

Q: अदिश गुणनफल क्या है, और यह क्या देता है?

a · b = a b cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ । यह दो सदिशों के बीच का कोण देता है, लंबता जाँचता है ( a · b = 0 ), और a का b पर प्रक्षेप, a · b b, देता है।

Q: सदिश गुणनफल क्या है, और यह क्षेत्रफल कैसे देता है?

a × b वह सदिश है जिसका परिमाण a b sin θ है और जो दोनों के लंब है। इसे उस सारणिक से निकालिए जिसकी पंक्तियाँ i, j, k, फिर a, फिर b हैं, j पद का ऋण चिह्न याद रखते हुए। a × b, a और b पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है; उसका आधा त्रिभुज है।

सीखने में लगभग 5 मिनट · 125 प्रश्न

सदिश CUET गणित Section B1 के सबसे बड़े अध्यायों में से एक हैं, और सबसे यांत्रिक भी: परिमाण, घटक, अदिश गुणनफल और सदिश गुणनफल, हर एक छोटी गणना। परिमाण, दिक्-कोसाइन और सदिशों के प्रकार से लेकर उनका योग, विभाजन सूत्र, कोण और प्रक्षेप के साथ अदिश गुणनफल और क्षेत्रफल के साथ सदिश गुणनफल तक, हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र: Section B1: Mathematics

इस पृष्ठ पर · 10 भाग

01दिशा वाली राशि
02सदिश और उनके प्रकार
03योग, घटक और विभाजन सूत्र
04अदिश गुणनफल
05सदिश गुणनफल
06CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
07परीक्षा के लिए शॉर्टकट
08आम भूलें
09त्वरित पुनरावृत्ति
10अपनी समझ जाँचें

दिशा वाली राशि

एक ड्रोन 6 km पूर्व, 2 km उत्तर उड़ता है और 3 km ऊपर चढ़ता है। उसका विस्थापन सदिश $6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है, और वह आरंभ स्थान से कितनी दूर है, यह उस सदिश का परिमाण है। सदिशों में आकार और दिशा दोनों होते हैं, और यह अध्याय उनके साथ गणना के बारे में है।

सदिश और उनके प्रकार

सदिश का परिमाण और दिक्-कोसाइन कैसे निकालते हैं?

$\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ के लिए $\lvert \vec{a} \rvert = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2} + a_3^{2}}$ । उसकी दिशा में मात्रक सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{\lvert \vec{a} \rvert}$ है, और उसके घटक दिक्-कोसाइन $l, m, n$ हैं, जिनमें $l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$ । घटक स्वयं दिक्-अनुपात हैं।

उदाहरण 1 · ड्रोन

ड्रोन आरंभ से कितनी दूर है, और उसके विस्थापन $6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ की दिक्-कोसाइन क्या हैं?

$\sqrt{36 + 4 + 9} = 7$ km।
दिक्-कोसाइन: $\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}$ ।

उत्तर

7 km, दिशा $\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}$ में

प्रकार: शून्य सदिश का परिमाण 0 है और कोई निश्चित दिशा नहीं; मात्रक सदिश का परिमाण 1 है; बराबर सदिशों का परिमाण और दिशा एक होती है; संरेख सदिश एक-दूसरे के गुणज होते हैं, किसी भी चिह्न के।

योग, घटक और विभाजन सूत्र

दो बिंदुओं को मिलाने वाला सदिश और उसे बाँटने वाला बिंदु कैसे निकालते हैं?

$\overrightarrow{PQ} = \vec{q} - \vec{p}$ : अंत घटा आरंभ। $PQ$ को $m : n$ में अंतः विभाजित करने वाला बिंदु $\frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m + n}$ है; बाह्य रूप से $\frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m - n}$ । मध्य बिंदु $\frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$ है।

उदाहरण 2 · मध्य बिंदु

$P(2, 4, -1)$ और $Q(6, -2, 5)$ का मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए।

$\frac{(2 + 6, 4 - 2, -1 + 5)}{2}$ ।
$= (4, 1, 2)$ ।

उत्तर

(4, 1, 2)

अदिश गुणनफल

अदिश गुणनफल क्या है, और यह क्या देता है?

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \cos \theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ । यह दो सदिशों के बीच का कोण देता है, लंबता जाँचता है ( $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ), और $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप, $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert \vec{b} \rvert}$ , देता है।

उदाहरण 3 · एक कोण

$\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 + 4 + 2 = 8$ ; दोनों परिमाण 3 हैं।
$\cos \theta = \frac{8}{9}$ ।

उत्तर

\theta = \cos^{-1}\frac{8}{9}

सावधान

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ का अर्थ यह नहीं कि कोई सदिश शून्य है; इसका अर्थ है वे लंब हैं, जैसे $\hat{i}$ और $\hat{j}$ ।

सदिश गुणनफल

सदिश गुणनफल क्या है, और यह क्षेत्रफल कैसे देता है?

$\vec{a} \times \vec{b}$ वह सदिश है जिसका परिमाण $\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \sin \theta$ है और जो दोनों के लंब है। इसे उस सारणिक से निकालिए जिसकी पंक्तियाँ $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ , फिर $\vec{a}$ , फिर $\vec{b}$ हैं, $\hat{j}$ पद का ऋण चिह्न याद रखते हुए। $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert$ , $\vec{a}$ और $\vec{b}$ पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है; उसका आधा त्रिभुज है।

उदाहरण 4 · एक समांतर चतुर्भुज

आसन्न भुजाओं $3\hat{i} + \hat{k}$ और $2\hat{i} + \hat{j}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(3 - 0) = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ।
$\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ ।

उत्तर

$\sqrt{14}$ वर्ग इकाई

मुख्य बात

$\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert^{2} + (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = \lvert \vec{a} \rvert^{2}\lvert \vec{b} \rvert^{2}$ , क्योंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ । परिमाण और एक गुणनफल दिया हो तो यह दूसरा देता है।

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

मूल बातें: परिमाण, मात्रक सदिश, किसी दिशा में दिए परिमाण का सदिश, दिक्-कोसाइन, किसी अक्ष से सदिश का कोण।
बिंदु: दो बिंदुओं को मिलाने वाला सदिश, विभाजन सूत्र, संरेख बिंदु।
अदिश गुणनफल: मान, कोण, लंबता के लिए $\lambda$ , प्रक्षेप, परिमाणों से $\lvert \vec{a} + \vec{b} \rvert$ ।
सदिश गुणनफल: मान, क्षेत्रफल, दो सदिशों के लंब मात्रक सदिश, समांतर सदिशों के लिए $\lambda$ ।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

$\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ , $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ ; $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ , $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ , $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$ ।
$\lvert \vec{a} \pm \vec{b} \rvert^{2} = \lvert \vec{a} \rvert^{2} \pm 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \lvert \vec{b} \rvert^{2}$ ।
समांतर सदिश: $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ , घटक समानुपाती।
त्रिभुज $ABC$ : क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\lvert \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \rvert$ ।

आम भूलें

परिमाण के लिए घटकों का वर्ग करने के बजाय उन्हें जोड़ना।
$\overrightarrow{PQ}$ के लिए $\vec{p} - \vec{q}$ लेना।
प्रक्षेप में गलत परिमाण से भाग देना।
सदिश गुणनफल में $\hat{j}$ पद का ऋण चिह्न छोड़ना, या त्रिभुज के लिए $\frac{1}{2}$ भूलना।

त्वरित पुनरावृत्ति

मूल बातें

$\lvert \vec{a} \rvert = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2} + a_3^{2}}$ ; $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{\lvert \vec{a} \rvert}$
$l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$

अदिश गुणनफल

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert}$
$\vec{b}$ पर प्रक्षेप: $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert \vec{b} \rvert}$

सदिश गुणनफल

दोनों के लंब; $\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$
समांतर चतुर्भुज $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert$ , त्रिभुज आधा

Section B1 में आगे, अंतरिक्ष में रेखाएँ: त्रिविमीय ज्यामिति।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

125 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

सदिश और उनके प्रकारप्र1 / 125प्र1

सदिश और उनके प्रकार

28 प्रश्न

प्रश्न 1

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ का परिमाण क्या है?

5

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

49

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $7$

$\lvert a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k} \rvert = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ ।
$\sqrt{4 + 9 + 36} = 7$ ।

ध्यान देने योग्य

5 में घटक जोड़े, $2 - 3 + 6$ ; परिमाण उनके वर्गों के योग का वर्गमूल है।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ की दिशा में मात्रक सदिश क्या है?

\frac{1}{3}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$

सदिश को उसके परिमाण, $\sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$ , से भाग दीजिए।
$\hat{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3}$ में वर्गों के योग से भाग दिया, उसके वर्गमूल से नहीं।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ की दिक्-कोसाइन क्या हैं?

2, -1, 2

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{9}, -\frac{1}{9}, \frac{2}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$

परिमाण $\sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ है।
हर घटक को 3 से भाग दीजिए: $\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$2, -1, 2$ दिक्-अनुपात हैं; कोसाइन उन्हें परिमाण से भाग देकर मिलती हैं।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\hat{i} - 4\hat{j} + 8\hat{k}$ का परिमाण क्या है?

5

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

81

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $9$

$\lvert a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k} \rvert = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ ।
$\sqrt{1 + 16 + 64} = 9$ ।

ध्यान देने योग्य

81 वर्गमूल लेने से पहले वर्गों का योग है।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$3\hat{i} - 4\hat{k}$ की दिशा में मात्रक सदिश क्या है?

\frac{1}{5}(3\hat{i} - 4\hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{25}(3\hat{i} - 4\hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{7}(3\hat{i} - 4\hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

5(3\hat{i} - 4\hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{5}(3\hat{i} - 4\hat{k})$

$\lvert 3\hat{i} - 4\hat{k} \rvert = \sqrt{9 + 16} = 5$ ।
5 से भाग दीजिए: $\frac{1}{5}(3\hat{i} - 4\hat{k})$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{7}$ में $3 + 4$ , घटकों के आकारों के योग, से भाग दिया, परिमाण से नहीं।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$6\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ की दिक्-कोसाइन क्या हैं?

6, -2, 3

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{6}{49}, -\frac{2}{49}, \frac{3}{49}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{6}{7}, -\frac{2}{7}, \frac{3}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{6}{7}, -\frac{2}{7}, \frac{3}{7}$

परिमाण $\sqrt{36 + 4 + 9} = 7$ है।
हर घटक को उसके चिह्न सहित 7 से भाग दीजिए।

ध्यान देने योग्य

$6, -2, 3$ दिक्-अनुपात हैं; कोसाइन उन्हें परिमाण से भाग देकर मिलती हैं।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$3\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k}$ का परिमाण क्या है?

11

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

19

सही उत्तरआपका उत्तर

169

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $13$

हर घटक का वर्ग कीजिए, जोड़िए, और वर्गमूल लीजिए।
$\sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ।

ध्यान देने योग्य

19 में घटकों के आकार, $3 + 4 + 12$ , जोड़े, उनके वर्ग नहीं।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$4\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$ का परिमाण क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

81

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $9$

हर घटक का वर्ग कीजिए, जोड़िए, और वर्गमूल लीजिए।
$\sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$ ।

ध्यान देने योग्य

1 में घटक उनके चिह्नों सहित जोड़े, $4 + 4 - 7$ ।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा मात्रक सदिश है?

\frac{1}{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\sqrt{2}}{2}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{5}(3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{7}(2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{7}(2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k})$

मात्रक सदिश का परिमाण 1 होता है।
$\lvert 2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k} \rvert = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$ , इसलिए $\frac{1}{7}(2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k})$ का परिमाण 1 है; बाकी के परिमाण $\frac{1}{\sqrt{3}}$ , $\sqrt{\frac{3}{2}}$ और $\sqrt{2}$ हैं।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ के घटकों का योग 1 है, पर उसका परिमाण $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सदिश $(x + 1)\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ और $4\hat{i} + (y - 2)\hat{j} + z\hat{k}$ बराबर हैं। $x + y + z$ क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $6$

बराबर सदिशों के संगत घटक बराबर होते हैं: $x + 1 = 4$ , $3 = y - 2$ और $-2 = z$ ।
$x = 3$ , $y = 5$ , $z = -2$ , इसलिए $x + y + z = 6$ ।

ध्यान देने योग्य

10 में $z = 2$ लिया, $\hat{k}$ घटक का ऋण चिह्न छोड़कर।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से किस सदिश की दिशा वही है जो $3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$ की है?

-3\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

9\hat{i} - 18\hat{j} + 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

6\hat{i} - 12\hat{j} + 4\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $6\hat{i} - 12\hat{j} + 4\hat{k}$

एक ही दिशा का अर्थ है धनात्मक गुणज: $\vec{b} = \lambda\vec{a}$ , जहाँ $\lambda > 0$ ।
$6\hat{i} - 12\hat{j} + 4\hat{k} = 2(3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k})$ ; $-3\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$ ऋणात्मक गुणज है, और बाकी दो गुणज ही नहीं हैं।

ध्यान देने योग्य

$-3\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$ संरेख है, पर उसका गुणक $-1$ है: वह विपरीत दिशा में है।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $\hat{i} + \hat{j}$ और $-\hat{i} - \hat{j}$ संरेख सदिश हैं।

II. दो बराबर सदिशों का प्रारंभिक बिंदु एक ही होना चाहिए।

केवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIसही उत्तरआपका उत्तरI और II दोनोंसही उत्तरआपका उत्तरन I, न IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: $-\hat{i} - \hat{j} = -1(\hat{i} + \hat{j})$ , एक अदिश गुणज, इसलिए वे संरेख हैं। सही।
II: बराबर सदिशों के लिए केवल समान परिमाण और समान दिशा चाहिए; उनके प्रारंभिक बिंदु अलग हो सकते हैं। गलत।

ध्यान देने योग्य

विपरीत दिशाएँ दो सदिशों को संरेख होने से नहीं रोकतीं।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा त्रिक किसी रेखा की दिक्-कोसाइन हो सकता है?

\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

1, 1, 1

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

दिक्-कोसाइन $l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$ को संतुष्ट करती हैं।
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$ ; बाकी $\frac{3}{4}$ , 3 और $\frac{1}{3}$ देते हैं।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}$ का योग 1 है, पर वर्गों का योग 1 होना चाहिए।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा $x$ -अक्ष से $45^\circ$ और $y$ -अक्ष से $60^\circ$ का कोण बनाती है, और $z$ -अक्ष से एक न्यून कोण। वह कोण क्या है?

60^\circ

सही उत्तरआपका उत्तर

75^\circ

सही उत्तरआपका उत्तर

45^\circ

सही उत्तरआपका उत्तर

90^\circ

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $60^\circ$

$\cos^{2} 45^\circ + \cos^{2} 60^\circ + \cos^{2} \gamma = 1$ : $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$ ।
$\cos^{2} \gamma = \frac{1}{4}$ , और न्यून कोण के लिए $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ : $\gamma = 60^\circ$ ।

ध्यान देने योग्य

$75^\circ$ में कोणों का योग $180^\circ$ बनाया; कोसाइन के वर्गों का योग 1 होता है।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. शून्य सदिश की कोई निश्चित दिशा नहीं होती।

II. $2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $-4\hat{i} + 6\hat{j} - 8\hat{k}$ संरेख हैं।

III. समान परिमाण वाले दो सदिश बराबर होते हैं।

IV. मात्रक सदिश का परिमाण 1 होता है।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II, III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · केवल I, II और IV

I और IV परिभाषाएँ हैं। II: दूसरा पहले का $-2$ गुना है, इसलिए वे संरेख हैं।
III गलत है: बराबर सदिशों के लिए समान परिमाण और समान दिशा दोनों चाहिए।

ध्यान देने योग्य

संरेख सदिश विपरीत दिशाओं में हो सकते हैं; ऋणात्मक गुणज भी उसी रेखा पर होता है।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ की दिशा में परिमाण 9 का सदिश क्या है?

6\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

18\hat{i} + 9\hat{j} - 18\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

-6\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $6\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$

$\lvert 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} \rvert = 3$ , इसलिए मात्रक सदिश $\frac{1}{3}(2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ है।
$9 \times \frac{1}{3}(2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$ ।

ध्यान देने योग्य

$18\hat{i} + 9\hat{j} - 18\hat{k}$ में सदिश को पहले मात्रक बनाए बिना 9 से गुणा किया; उसका परिमाण 27 है।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सदिशों का कौन-सा युग्म संरेख है?

2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}

और

-4\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

\hat{i} + \hat{j}

और

\hat{j} + \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\hat{i} + \hat{j}

और

\hat{i} + 2\hat{j}

सही उत्तरआपका उत्तर

\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}

और

\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ और $-4\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$

संरेख सदिश एक-दूसरे के अदिश गुणज होते हैं: उनके घटक एक ही अनुपात में होते हैं।
$-4\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k} = -2(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ ; किसी और युग्म का एक अनुपात नहीं है।

ध्यान देने योग्य

$2\hat{i} + \hat{j}$ और $\hat{i} + 2\hat{j}$ में संख्याएँ वही हैं, पर क्रम अलग है, इसलिए अनुपात 2 और $\frac{1}{2}$ हैं।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा तीनों निर्देशांक अक्षों से बराबर न्यून कोण बनाती है। हर कोण की कोसाइन क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\sqrt{3}}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\sqrt{2}}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\sqrt{3}}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{\sqrt{3}}{3}$

तीनों $l$ के बराबर हों तो: $l^{2} + l^{2} + l^{2} = 1$ ।
$l^{2} = \frac{1}{3}$ , और न्यून कोणों से $l = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3}$ , $3l = 1$ का हल है; कोसाइनों के वर्गों का योग 1 होता है।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a} = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$ । $\lambda$ के किन मानों के लिए $\lambda\vec{a}$ एक मात्रक सदिश है?

\lambda = \pm\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\lambda = \frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\lambda = \pm\frac{1}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

\lambda = \pm 6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\lambda = \pm\frac{1}{6}$

$\lvert \vec{a} \rvert = \sqrt{16 + 16 + 4} = 6$ , और $\lvert \lambda\vec{a} \rvert = \lvert \lambda \rvert \lvert \vec{a} \rvert = 6\lvert \lambda \rvert$ ।
$6\lvert \lambda \rvert = 1$ से $\lambda = \pm\frac{1}{6}$ ।

ध्यान देने योग्य

केवल $\frac{1}{6}$ में ऋणात्मक मान छूट गया: $-\frac{1}{6}\vec{a}$ का परिमाण भी 1 है।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{r}$ की दिक्-कोसाइन $\frac{2}{7}, -\frac{3}{7}, \frac{6}{7}$ हैं, और उसका $\hat{k}$ घटक 12 है। $\lvert \vec{r} \rvert$ क्या है?

7

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{72}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

14

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $14$

हर घटक परिमाण और उसकी दिक्-कोसाइन का गुणनफल है: $r_3 = \frac{6}{7}\lvert \vec{r} \rvert$ ।
$12 = \frac{6}{7}\lvert \vec{r} \rvert$ , इसलिए $\lvert \vec{r} \rvert = 14$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{72}{7}$ में 12 को दिक्-कोसाइन से भाग देने के बजाय उससे गुणा किया।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर सदिश को सूची II में $x$ -अक्ष से उसके कोण से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$	I. $\frac{\pi}{4}$
B. $\sqrt{2}\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$	II. $\frac{\pi}{2}$
C. $-\hat{i} + \hat{j} - \sqrt{2}\hat{k}$	III. $\frac{\pi}{3}$
D. $2\hat{j} - \hat{k}$	IV. $\frac{2\pi}{3}$

A-III, B-I, C-IV, D-IIसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-I, C-III, D-IIसही उत्तरआपका उत्तरA-I, B-III, C-IV, D-IIसही उत्तरआपका उत्तरA-III, B-IV, C-I, D-IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A-III, B-I, C-IV, D-II

$\cos \alpha = \frac{a_1}{\lvert \vec{a} \rvert}$ , और पहले तीन सदिशों में हर एक का परिमाण $\sqrt{1 + 1 + 2} = 2$ है।
A: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ , $\frac{\pi}{3}$ ; B: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{\pi}{4}$ ; C: $-\frac{1}{2}$ , $\frac{2\pi}{3}$ ; D में $\hat{i}$ भाग नहीं है, इसलिए $\frac{\pi}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

ऋणात्मक $\hat{i}$ घटक अधिक कोण देता है: $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ का कोण $\frac{2\pi}{3}$ है, $\frac{\pi}{3}$ नहीं।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lvert \vec{a} \rvert = 3$ और $-4 \le \lambda \le 2$ । $\lvert \lambda\vec{a} \rvert$ का परिसर क्या है?

[-12, 6]

सही उत्तरआपका उत्तर

[6, 12]

सही उत्तरआपका उत्तर

[0, 12]

सही उत्तरआपका उत्तर

[0, 6]

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $[0, 12]$

$\lvert \lambda\vec{a} \rvert = 3\lvert \lambda \rvert$ , और $[-4, 2]$ पर $\lvert \lambda \rvert$ , $0$ ( $\lambda = 0$ पर) से $4$ ( $\lambda = -4$ पर) तक हर मान लेता है।
इसलिए $\lvert \lambda\vec{a} \rvert$ का परिसर $[0, 12]$ है।

ध्यान देने योग्य

$[-12, 6]$ में सिरों को मापांक के बिना 3 से गुणा किया; परिमाण कभी ऋणात्मक नहीं होता।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): सदिश $3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$ , $y$ -अक्ष से अधिक कोण बनाता है।

कारण (R): किसी सदिश द्वारा $y$ -अक्ष से बनाए गए कोण की कोसाइन उसके $\hat{j}$ घटक को उसके परिमाण से भाग देने पर मिलती है।

A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।सही उत्तरआपका उत्तरA और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।सही उत्तरआपका उत्तरA सही है, लेकिन R गलत है।सही उत्तरआपका उत्तरA गलत है, लेकिन R सही है।सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

R सही है: यह दिक्-कोसाइन $m = \frac{a_2}{\lvert \vec{a} \rvert}$ है।
यहाँ $m = -\frac{2}{7} < 0$ , इसलिए कोण अधिक कोण है: A सही है, और R उसका कारण है।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सदिश के दिक्-अनुपात $1, -2, 2$ हैं और वह $x$ -अक्ष से अधिक कोण बनाता है। उसकी दिक्-कोसाइन क्या हैं?

\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

-1, 2, -2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}$

$\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ , इसलिए दिक्-कोसाइन $\pm\left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ हैं।
$x$ -अक्ष से अधिक कोण के लिए $l < 0$ चाहिए: ऋण चिह्न लीजिए, $-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}$ में $l > 0$ है, जो $x$ -अक्ष से न्यून कोण है।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a} = -2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ के लिए निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $\lvert \vec{a} \rvert = 3$ ।

II. $\vec{a}$ की दिक्-कोसाइन $-2, 1, 2$ हैं।

III. $\vec{a}$ , $x$ -अक्ष से अधिक कोण बनाता है।

IV. $\frac{1}{9}(-2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$ , $\vec{a}$ की दिशा में मात्रक सदिश है।

केवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · केवल I और III

$\lvert \vec{a} \rvert = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ , इसलिए I सही है; दिक्-कोसाइन $-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ हैं, और II दिक्-अनुपात बताता है।
III: $l = -\frac{2}{3} < 0$ , अधिक कोण, इसलिए सही। IV में $9$ , परिमाण के वर्ग, से भाग दिया, इसलिए गलत।

ध्यान देने योग्य

दिक्-अनुपात परिमाण से भाग देने के बाद ही दिक्-कोसाइन बनते हैं।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

परिमाण 4 का एक सदिश $\vec{r}$ , $x$ -अक्ष से कोण $\frac{\pi}{3}$ , $y$ -अक्ष से कोण $\frac{2\pi}{3}$ और $z$ -अक्ष से अधिक कोण बनाता है। $\vec{r}$ क्या है?

2\hat{i} - 2\hat{j} + 2\sqrt{2}\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\sqrt{2}\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\sqrt{2}\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\sqrt{2}\hat{k}$

$l = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $m = \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ , इसलिए $n^{2} = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ ।
$z$ -अक्ष से कोण अधिक कोण है, इसलिए $n = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ ।
$\vec{r} = 4\left(\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}\right) = 2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\sqrt{2}\hat{k}$ ।

ध्यान देने योग्य

$2\hat{i} - 2\hat{j} + 2\sqrt{2}\hat{k}$ में $n$ का धनात्मक मूल लिया, जो $z$ -अक्ष से न्यून कोण है।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सदिश $x$ -, $y$ - और $z$ -अक्षों से कोण $\alpha$ , $\beta$ और $\gamma$ बनाता है। $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma$ क्या है?

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $-1$

$\cos 2\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1$ , इसलिए योग $2(\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\beta + \cos^{2}\gamma) - 3$ है।
दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग 1 है, इसलिए योग $2(1) - 3 = -1$ है।

ध्यान देने योग्य

1 तो $\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\beta + \cos^{2}\gamma$ का मान है; द्विगुण कोण $-3$ लाते हैं।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ । एक सदिश $\vec{b}$ , $\vec{a}$ के संरेख है, उसका परिमाण $3\sqrt{14}$ है और वह $z$ -अक्ष से न्यून कोण बनाता है। $\vec{b}$ क्या है?

6\hat{i} + 9\hat{j} - 3\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

-2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

6\hat{i} + 9\hat{j} + 3\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

-6\hat{i} - 9\hat{j} + 3\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $-6\hat{i} - 9\hat{j} + 3\hat{k}$

$\lvert \vec{a} \rvert = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ , इसलिए परिमाण $3\sqrt{14}$ का संरेख सदिश $\pm 3\vec{a}$ है।
$z$ -अक्ष से न्यून कोण के लिए धनात्मक $\hat{k}$ घटक चाहिए; $3\vec{a}$ में यह $-3$ है, इसलिए $\vec{b} = -3\vec{a} = -6\hat{i} - 9\hat{j} + 3\hat{k}$ ।

ध्यान देने योग्य

$6\hat{i} + 9\hat{j} - 3\hat{k}$ का परिमाण ठीक है, पर उसका $\hat{k}$ घटक ऋणात्मक है: $z$ -अक्ष से अधिक कोण।

योग, घटक और विभाजन सूत्र

30 प्रश्न

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(1, -2, 3)$ से $Q(4, 2, -1)$ तक का सदिश क्या है?

-3\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

3\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

5\hat{i} + 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

3\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $3\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$

$\overrightarrow{PQ} =$ ( $Q$ का स्थिति सदिश) $-$ ( $P$ का स्थिति सदिश)।
$(4 - 1)\hat{i} + (2 + 2)\hat{j} + (-1 - 3)\hat{k} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-3\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ , $\overrightarrow{QP}$ है, अंत घटा आरंभ उलटा लिया गया।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ , तो $2\vec{a} - \vec{b}$ क्या है?

5\hat{i} + 3\hat{j}

सही उत्तरआपका उत्तर

-2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

-\hat{i} + 5\hat{j}

सही उत्तरआपका उत्तर

-\hat{i} + 5\hat{j} - 4\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $-\hat{i} + 5\hat{j} - 4\hat{k}$

$2\vec{a} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ ।
घटक-दर-घटक घटाइए: $-\hat{i} + 5\hat{j} - 4\hat{k}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\hat{i} + 5\hat{j}$ में $\vec{a}$ के $\hat{k}$ भाग में गलती हुई, $-2 - 2$ को 0 लिया।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}$ क्या है?

\vec{0}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\overrightarrow{AC}

सही उत्तरआपका उत्तर

\overrightarrow{AC}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\overrightarrow{CA}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\vec{0}$

त्रिभुज नियम: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ ।
$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$ : रास्ता वहीं समाप्त होता है जहाँ से शुरू हुआ।

ध्यान देने योग्य

$2\overrightarrow{AC}$ में $\overrightarrow{CA}$ को $\overrightarrow{AC}$ मान लिया; वे विपरीत दिशाओं में हैं।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(3, -1, 2)$ और $Q(1, 2, -4)$ के बीच की दूरी क्या है?

\sqrt{21}

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

49

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $7$

$\overrightarrow{PQ} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$ ।
$\lvert \overrightarrow{PQ} \rvert = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$ ।

ध्यान देने योग्य

$\sqrt{21}$ में स्थिति सदिशों को घटाने के बजाय जोड़ा।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$3\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$ के अक्षों के अनुदिश सदिश घटक क्या हैं?

3, -2, 5

सही उत्तरआपका उत्तर

3\hat{i}, 2\hat{j}, 5\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

3\hat{i}, -2\hat{j}, 5\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{\sqrt{38}}, -\frac{2}{\sqrt{38}}, \frac{5}{\sqrt{38}}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3\hat{i}, -2\hat{j}, 5\hat{k}$

$a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ के अदिश घटक $a_1, a_2, a_3$ और सदिश घटक $a_1\hat{i}, a_2\hat{j}, a_3\hat{k}$ हैं।
यहाँ सदिश घटक $3\hat{i}$ , $-2\hat{j}$ और $5\hat{k}$ हैं, हर एक अपने चिह्न सहित।

ध्यान देने योग्य

$3, -2, 5$ अदिश घटक हैं; सदिश घटकों के साथ मात्रक सदिश होते हैं।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज $ABC$ में $D$ , $BC$ का मध्य-बिंदु है। $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ क्या है?

\overrightarrow{AD}

सही उत्तरआपका उत्तर

\overrightarrow{BC}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\overrightarrow{DA}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\overrightarrow{AD}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $2\overrightarrow{AD}$

$A$ को मूलबिंदु लेने पर, $D$ , $BC$ का मध्य-बिंदु है: $\overrightarrow{AD} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}$ ।
इसलिए $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AD}$ , माध्यिका का दोगुना।

ध्यान देने योग्य

$\overrightarrow{AD}$ में मध्य-बिंदु सूत्र का आधा भूल गए; योग माध्यिका का दोगुना है।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ , $\vec{b} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = -2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ । $\lvert \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \rvert$ क्या है?

5

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

49

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $7$

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (1 + 3 - 2)\hat{i} + (-2 + 1 - 2)\hat{j} + (4 - 1 + 3)\hat{k} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ ।
$\lvert \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \rvert = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$ ।

ध्यान देने योग्य

11 में योग के घटकों के आकार, $2 + 3 + 6$ , जोड़े, न कि वर्गमूल के अंदर उनके वर्ग।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के क्रम से लिए गए तीन शीर्ष $A(1, 2, -1)$ , $B(2, -1, 0)$ और $C(5, 4, 3)$ हैं।

$ABCD$ के विकर्ण किस बिंदु पर मिलते हैं?

(3, 3, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(2, 1, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{8}{3}, \frac{5}{3}, \frac{2}{3})

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $(3, 3, 1)$

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए वे $AC$ के मध्य-बिंदु पर मिलते हैं।
$\frac{(1, 2, -1) + (5, 4, 3)}{2} = (3, 3, 1)$ ।

ध्यान देने योग्य

$(2, 1, 2)$ में $\vec{c} - \vec{a}$ का आधा लिया; मध्य-बिंदु $\vec{a} + \vec{c}$ का आधा है।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(2, -1, 3)$ और $Q(6, 3, -5)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को 3 : 1 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाला बिंदु क्या है?

(5, 2, -3)

सही उत्तरआपका उत्तर

(3, 0, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(4, 1, -1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(16, 10, -18)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $(5, 2, -3)$

$\frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m + n}$ , $m = 3$ $Q$ की ओर और $n = 1$ $P$ की ओर।
$\frac{3(6, 3, -5) + (2, -1, 3)}{4} = (5, 2, -3)$ ।

ध्यान देने योग्य

$(3, 0, 1)$ में भार 3, $P$ पर रखा; बिंदु $Q$ के निकट है।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यदि $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ , तो $\vec{a} + \vec{b}$ की दिशा में मात्रक सदिश क्या है?

\frac{1}{18}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\sqrt{18}}(-2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\sqrt{18}}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{\sqrt{18}}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$

$\vec{a} + \vec{b} = 4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ , परिमाण $\sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18}$ के साथ।
मात्रक सदिश $\frac{1}{\sqrt{18}}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{6}$ में घटकों का योग लिया, $4 + 1 + 1$ , उनके वर्गों का नहीं।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(1, -2, 3)$ और $Q(4, 2, -1)$ के बीच की दूरी क्या है?

\sqrt{33}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{41}

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

41

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\sqrt{41}$

$\overrightarrow{PQ} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$ ।
$\lvert \overrightarrow{PQ} \rvert = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41}$ ।

ध्यान देने योग्य

41 दूरी का वर्ग है।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lambda$ के किस मान के लिए $2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\lambda\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$ समांतर हैं?

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-4$

समांतर सदिशों के घटक समानुपाती होते हैं: $\frac{\lambda}{2} = \frac{-6}{3} = \frac{2}{-1}$ ।
सार्व अनुपात $-2$ है, इसलिए $\lambda = -4$ ।

ध्यान देने योग्य

4 में अनुपात $+2$ लिया, यह चूककर कि $-6$ और 3 के चिह्न विपरीत हैं।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बिंदु $A(1, 2, 7)$ , $B(2, 6, 3)$ और $C(3, 10, -1)$ संरेख हैं। $B$ , $AC$ को किस अनुपात में विभाजित करता है?

1 : 2सही उत्तरआपका उत्तर2 : 1सही उत्तरआपका उत्तर1 : 3सही उत्तरआपका उत्तर1 : 1सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 1 : 1

$\overrightarrow{AB} = \hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$ और $\overrightarrow{BC} = \hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$ ।
वे बराबर हैं, इसलिए $AB = BC$ : $B$ मध्य-बिंदु है, अनुपात 1 : 1।

ध्यान देने योग्य

1 : 2 में $AB$ की तुलना पूरे $AC$ से की, $BC$ से नहीं।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A(2, -3, 4)$ और $B(5, 3, -2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को 1 : 2 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाला बिंदु क्या है?

(4, 1, 0)

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{7}{2}, 0, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-1, -9, 10)

सही उत्तरआपका उत्तर

(3, -1, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $(3, -1, 2)$

$m : n$ में अंतः: $\frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}$ , जहाँ $m = 1$ $B$ की ओर है।
$\frac{(5, 3, -2) + 2(2, -3, 4)}{3} = (3, -1, 2)$ ।

ध्यान देने योग्य

$(4, 1, 0)$ में 2, $B$ पर लगाया; वह बिंदु $B$ के निकट है, 2 : 1 के अनुपात में।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ क्या है?

2\overrightarrow{AB}

सही उत्तरआपका उत्तर

\vec{0}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\overrightarrow{AD}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\overrightarrow{DA}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2\overrightarrow{AD}$

समांतर चतुर्भुज नियम: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ ; और त्रिभुज नियम से $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$ ।
जोड़ने पर $\overrightarrow{AB}$ कट जाता है: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{AD}$ ।

ध्यान देने योग्य

$2\overrightarrow{AB}$ में $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ लिया, जो $\overrightarrow{DB}$ है, उलटी दिशा का विकर्ण।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष $A(3, -1, 2)$ और $B(-2, 4, 1)$ हैं, और उसका केंद्रक $G(1, 2, -1)$ है। $C$ क्या है?

(0, -1, -4)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-2, -3, 6)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-2, 11, -4)

सही उत्तरआपका उत्तर

(2, 3, -6)

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरD · $(2, 3, -6)$

केंद्रक का स्थिति सदिश $\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ है, इसलिए $\vec{c} = 3\vec{g} - \vec{a} - \vec{b}$ ।
$3(1, 2, -1) - (3, -1, 2) - (-2, 4, 1) = (2, 3, -6)$ ।

ध्यान देने योग्य

$(0, -1, -4)$ में $\vec{g} - \vec{a} - \vec{b}$ लिया, यह भूलकर कि केंद्रक तीन बिंदुओं का औसत है।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A(2, -1, 3)$ से $B(4, 1, 2)$ तक के सदिश की दिक्-कोसाइन क्या हैं?

-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

2, 2, -1

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{9}, \frac{2}{9}, -\frac{1}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}$

$\overrightarrow{AB} = (4 - 2)\hat{i} + (1 + 1)\hat{j} + (2 - 3)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ , परिमाण $\sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ ।
हर घटक को 3 से भाग दीजिए: $\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}$ , $\overrightarrow{BA}$ की हैं: $A$ से $B$ तक का सदिश $B$ घटा $A$ है।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किन्हीं चार बिंदुओं $A$ , $B$ , $C$ और $D$ के लिए निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ ।

II. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ ।

III. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{AB}$ ।

IV. $\lvert \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} \rvert = \lvert \overrightarrow{AB} \rvert + \lvert \overrightarrow{BD} \rvert$ ।

केवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I और II

I त्रिभुज नियम है। II: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = (\vec{b} - \vec{a}) - (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{b} - \vec{c} = \overrightarrow{CB}$ ।
III गलत है: $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ , इसलिए योग $\vec{0}$ है। IV गलत है जब तक $B$ रेखाखंड $AD$ पर न हो: बायाँ पक्ष $\lvert \overrightarrow{AD} \rvert$ है, त्रिभुज $ABD$ की एक भुजा, जो बाकी दो भुजाओं के योग से छोटी है।

ध्यान देने योग्य

परिमाण केवल एक ही दिशा वाले सदिशों के लिए जुड़ते हैं; सामान्यतः $\lvert \vec{a} + \vec{b} \rvert \le \lvert \vec{a} \rvert + \lvert \vec{b} \rvert$ ।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के क्रम से लिए गए तीन शीर्ष $A(1, 2, -1)$ , $B(2, -1, 0)$ और $C(5, 4, 3)$ हैं।

$D$ के निर्देशांक क्या हैं?

(6, 1, 4)

सही उत्तरआपका उत्तर

(-2, -3, -4)

सही उत्तरआपका उत्तर

(4, 7, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

(8, 5, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $(4, 7, 2)$

समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ , इसलिए $\vec{d} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$ ।
$(1, 2, -1) + (5, 4, 3) - (2, -1, 0) = (4, 7, 2)$ ।

ध्यान देने योग्य

$(6, 1, 4)$ , $\vec{b} + \vec{c} - \vec{a}$ है, जो $ABDC$ को समांतर चतुर्भुज बनाता है, $BC$ को विकर्ण मानकर।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से तीन बिंदुओं का कौन-सा समुच्चय संरेख है?

(1, 2, 3), (3, 0, 5), (4, -1, 6)

सही उत्तरआपका उत्तर

(1, 1, 1), (2, 3, 2), (4, 7, 5)

सही उत्तरआपका उत्तर

(0, 0, 0), (1, 2, 3), (2, 3, 4)

सही उत्तरआपका उत्तर

(2, 1, 0), (0, 3, 2), (-2, 5, 3)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $(1, 2, 3), (3, 0, 5), (4, -1, 6)$

तीन बिंदु $A$ , $B$ , $C$ संरेख होते हैं जब $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ समांतर हों, घटक एक ही अनुपात में।
$(1, 2, 3), (3, 0, 5), (4, -1, 6)$ के लिए: $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overrightarrow{AC} = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ ।

ध्यान देने योग्य

$(1, 1, 1), (2, 3, 2), (4, 7, 5)$ में $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ के $\hat{i}$ और $\hat{j}$ भाग 3 के अनुपात में हैं, पर $\hat{k}$ भाग नहीं।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के क्रम से लिए गए तीन शीर्ष $A(1, 2, -1)$ , $B(2, -1, 0)$ और $C(5, 4, 3)$ हैं।

विकर्ण $BD$ की लंबाई क्या है?

6

सही उत्तरआपका उत्तर

6 \sqrt{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 \sqrt{19}

सही उत्तरआपका उत्तर

72

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरB · $6 \sqrt{2}$

$\overrightarrow{BD} = \vec{d} - \vec{b} = 2\hat{i} + 8\hat{j} + 2\hat{k}$ ।
$\lvert \overrightarrow{BD} \rvert = \sqrt{4 + 64 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$2\sqrt{19}$ में $B$ और $D$ के स्थिति सदिशों को घटाने के बजाय जोड़ा।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बिंदु $R(3, 1, 0)$ , $PQ$ को 2 : 3 के अनुपात में अंतः विभाजित करता है, और $P$ , $(1, -1, 2)$ है। $Q$ क्या है?

(\frac{13}{3}, \frac{7}{3}, - \frac{4}{3})

सही उत्तरआपका उत्तर

(5, 3, -2)

सही उत्तरआपका उत्तर

(6, 4, -3)

सही उत्तरआपका उत्तर

(9, 1, 3)

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $(6, 4, -3)$

$\vec{r} = \frac{2\vec{q} + 3\vec{p}}{5}$ , इसलिए $\vec{q} = \frac{5\vec{r} - 3\vec{p}}{2}$ ।
$\frac{5(3, 1, 0) - 3(1, -1, 2)}{2} = \frac{(12, 8, -6)}{2} = (6, 4, -3)$ ।

ध्यान देने योग्य

$(\frac{13}{3}, \frac{7}{3}, - \frac{4}{3})$ में भार 2, $Q$ के बजाय $P$ पर रखा।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lambda$ के किस मान के लिए $A(1, 2, 3)$ , $B(2, 3, 5)$ और $C(\lambda, 5, 9)$ संरेख हैं?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $4$

$\overrightarrow{AB} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overrightarrow{AC} = (\lambda - 1)\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ समांतर हों।
$\hat{j}$ और $\hat{k}$ भाग दिखाते हैं कि $\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}$ , इसलिए $\lambda - 1 = 3$ : $\lambda = 4$ ।

ध्यान देने योग्य

3 गुणक है, $\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}$ , $\lambda$ नहीं; $\lambda$ उससे एक अधिक है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A(1, 2, 3)$ और $B(3, 4, 5)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 1 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाला बिंदु क्या है?

(\frac{7}{3}, \frac{10}{3}, \frac{13}{3})

सही उत्तरआपका उत्तर

(-1, 0, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(5, 6, 7)

सही उत्तरआपका उत्तर

(2, 2, 2)

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरC · $(5, 6, 7)$

बाह्य विभाजन: $\frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n}$ , $m = 2$ , $n = 1$ के साथ।
$2(3, 4, 5) - (1, 2, 3) = (5, 6, 7)$ ।

ध्यान देने योग्य

$(\frac{7}{3}, \frac{10}{3}, \frac{13}{3})$ अंतः विभाजन है; बाह्य बिंदु $B$ से आगे होता है।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बिंदु $A(1, -2, 3)$ , $B(3, 0, 1)$ और $C(4, 1, 0)$ संरेख हैं। $C$ , $AB$ को किस प्रकार विभाजित करता है?

बाह्यतः, 3 : 1 के अनुपात मेंसही उत्तरआपका उत्तरअंतः, 3 : 1 के अनुपात मेंसही उत्तरआपका उत्तरबाह्यतः, 1 : 3 के अनुपात मेंसही उत्तरआपका उत्तरअंतः, 2 : 1 के अनुपात मेंसही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरA · बाह्यतः, 3 : 1 के अनुपात में

$\overrightarrow{AC} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\overrightarrow{CB} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ , इसलिए $\overrightarrow{AC} = -3\overrightarrow{CB}$ ।
लंबाइयों का अनुपात $AC : CB = 3 : 1$ है, और ऋण चिह्न $C$ को $AB$ के बाहर, $B$ से आगे रखता है: बाह्य विभाजन।
जाँच: $\frac{3(3, 0, 1) - (1, -2, 3)}{3 - 1} = (4, 1, 0)$ ।

ध्यान देने योग्य

3 : 1 के अनुपात में अंतः विभाजन $C$ को $A$ और $B$ के बीच, $\left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ पर रखता।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$ABCDEF$ एक सम षड्भुज है। $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF}$ क्या है?

2\overrightarrow{AD}

सही उत्तरआपका उत्तर

3\overrightarrow{AD}

सही उत्तरआपका उत्तर

\vec{0}

सही उत्तरआपका उत्तर

6\overrightarrow{AD}

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरB · $3\overrightarrow{AD}$

सम षड्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED}$ और $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{CD}$ ।
त्रिभुज नियम से $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AD}$ और $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$ ।
इसलिए योग $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AD}$ है।

ध्यान देने योग्य

$2\overrightarrow{AD}$ में बाहर के चार सदिशों के युग्म बनाए पर स्वयं $\overrightarrow{AD}$ छोड़ दिया।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के क्रम से लिए गए तीन शीर्ष $A(1, 2, -1)$ , $B(2, -1, 0)$ और $C(5, 4, 3)$ हैं।

$N$ , $AD$ का मध्य-बिंदु है, और रेखाखंड $BN$ , विकर्ण $AC$ से $G$ पर मिलता है। $G$ के निर्देशांक क्या हैं?

(3, 3, 1)

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{11}{3}, \frac{10}{3}, \frac{5}{3})

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}, \frac{1}{2})

सही उत्तरआपका उत्तर

(\frac{7}{3}, \frac{8}{3}, \frac{1}{3})

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरD · $(\frac{7}{3}, \frac{8}{3}, \frac{1}{3})$

विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु $M$ पर मिलते हैं, इसलिए $AM$ और $BN$ दोनों त्रिभुज $ABD$ की माध्यिकाएँ हैं; वे उसके केंद्रक पर मिलती हैं।
$G = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3} = \frac{(7, 8, 1)}{3} = (\frac{7}{3}, \frac{8}{3}, \frac{1}{3})$ , $A$ से $C$ की ओर एक-तिहाई दूरी पर।

ध्यान देने योग्य

$(3, 3, 1)$ पर विकर्ण मिलते हैं; $BN$ , $AC$ को उससे पहले, त्रिभुज $ABD$ के केंद्रक पर काटता है।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बिंदुओं $A$ , $B$ और $C$ के स्थिति सदिश $\vec{a}$ , $\vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं, जहाँ $2\vec{a} + 3\vec{b} - 5\vec{c} = \vec{0}$ । $C$ , $AB$ को किस प्रकार विभाजित करता है?

अंतः, 2 : 3 के अनुपात मेंसही उत्तरआपका उत्तरबाह्यतः, 3 : 2 के अनुपात मेंसही उत्तरआपका उत्तरअंतः, 3 : 2 के अनुपात मेंसही उत्तरआपका उत्तरबाह्यतः, 2 : 3 के अनुपात मेंसही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरC · अंतः, 3 : 2 के अनुपात में

$\vec{c} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{a}}{3 + 2}$ ।
यह $\frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}$ है, $m = 3$ , $n = 2$ के साथ: $C$ , $AB$ को अंतः विभाजित करता है, $AC : CB = 3 : 2$ ।

ध्यान देने योग्य

2 : 3 में हर भार को उसके अपने बिंदु से जोड़ा; $\frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}$ में $\vec{b}$ पर लगा भार अनुपात का $AC$ भाग है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P$ , $(1, 2, 0)$ है और $Q$ , $(7, -4, 6)$ है। सूची I के हर बिंदु को सूची II में उसके निर्देशांकों से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $PQ$ का मध्य-बिंदु	I. $(-5, 8, -6)$
B. $PQ$ को 2 : 1 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाला बिंदु	II. $(13, -10, 12)$
C. $PQ$ को 2 : 1 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाला बिंदु	III. $(5, -2, 4)$
D. $PQ$ को 1 : 2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाला बिंदु	IV. $(4, -1, 3)$

A-IV, B-III, C-I, D-IIसही उत्तरआपका उत्तरA-III, B-IV, C-II, D-Iसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-II, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-III, C-II, D-Iसही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरD · A-IV, B-III, C-II, D-I

$m : n$ में अंतः: $\frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m + n}$ ; बाह्य: $\frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m - n}$ ।
A, $(4, -1, 3)$ है। B: $\frac{2(7, -4, 6) + (1, 2, 0)}{3} = (5, -2, 4)$ । C: $2(7, -4, 6) - (1, 2, 0) = (13, -10, 12)$ । D: $\frac{(7, -4, 6) - 2(1, 2, 0)}{-1} = (-5, 8, -6)$ ।

ध्यान देने योग्य

दोनों बाह्य बिंदु अलग हैं: 2 : 1 वाला $Q$ से आगे है, और 1 : 2 वाला $P$ से आगे।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a}$ और $\vec{b}$ असंरेख सदिश हैं। $\lambda$ के किस मान के लिए स्थिति सदिशों $\vec{a} + 2\vec{b}$ , $3\vec{a} - \vec{b}$ और $\lambda\vec{a} + 8\vec{b}$ वाले बिंदु संरेख हैं?

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरB · $-3$

बिंदुओं को $A$ , $B$ , $C$ कहिए: $\overrightarrow{AB} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$ और $\overrightarrow{AC} = (\lambda - 1)\vec{a} + 6\vec{b}$ ।
संरेख का अर्थ है $\overrightarrow{AC} = \mu\overrightarrow{AB}$ ; $\vec{b}$ भागों से $\mu = -2$ , इसलिए $\lambda - 1 = -4$ और $\lambda = -3$ ।

ध्यान देने योग्य

5 में $\mu = 2$ लिया, यह चूककर कि $6$ और $-3$ के चिह्न विपरीत हैं।

अदिश गुणनफल

33 प्रश्न

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k})$ क्या है?

-8

सही उत्तरआपका उत्तर

-6

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-8$

संगत घटकों को गुणा करके जोड़िए।
$2(1) + (-1)(4) + 3(-2) = 2 - 4 - 6 = -8$ ।

ध्यान देने योग्य

12 में चिह्न छूट गए: $2 + 4 + 6$ ।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\hat{i} + \hat{j}$ और $\hat{j} + \hat{k}$ के बीच का कोण क्या है?

\frac{\pi}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{\pi}{3}$

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert} = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ ।
$\theta = \frac{\pi}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\pi}{4}$ में $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ लिया, केवल एक परिमाण से भाग देकर।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lvert \vec{a} \rvert = 3$ और $\lvert \vec{b} \rvert = 4$ । $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ क्या है?

-7

सही उत्तरआपका उत्तर

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

25

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-7$

बीच के पद $\vec{a} \cdot \vec{b}$ और $\vec{b} \cdot \vec{a}$ कट जाते हैं: यह $\lvert \vec{a} \rvert^{2} - \lvert \vec{b} \rvert^{2}$ है।
$9 - 16 = -7$ ।

ध्यान देने योग्य

$-1$ में परिमाण घटाए, $3 - 4$ , बिना वर्ग किए।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यदि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और कोई भी सदिश $\vec{0}$ नहीं, तो सदिश लंब हैं।

II. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ , और इसी तरह $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{a}$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: दोनों परिमाण शून्येतर हों तो $\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \cos \theta = 0$ से $\cos \theta = 0$ । सही।
II: अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय है, पर $\vec{b} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b}$ । गलत।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक अचर बल $\vec{F} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ एक कण को $P(1, -1, 2)$ से $Q(3, 2, 1)$ तक ले जाता है। किया गया कार्य $\vec{F} \cdot \overrightarrow{PQ}$ है।

विस्थापन $\overrightarrow{PQ}$ क्या है?

-2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

4\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$

$\overrightarrow{PQ} = \vec{q} - \vec{p}$ ।
$(3 - 1)\hat{i} + (2 + 1)\hat{j} + (1 - 2)\hat{k} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ ।

ध्यान देने योग्य

$2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ में $2 - (-1)$ को 1 लिया।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k})$ क्या है?

-10

सही उत्तरआपका उत्तर

-5

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

16

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-10$

संगत घटकों को गुणा करके जोड़िए: $3(1) + (-2)(4) + 1(-5)$ ।
$3 - 8 - 5 = -10$ ।

ध्यान देने योग्य

0 में $1 \times (-5)$ को $+5$ लिया।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lvert \vec{a} \rvert = 4$ , $\lvert \vec{b} \rvert = 3$ , और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ है। $\vec{a} \cdot \vec{b}$ क्या है?

- 6 \sqrt{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

-6

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

6 \sqrt{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $-6$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \cos \theta = 4 \times 3 \times \cos\frac{2\pi}{3}$ ।
$\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ , इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$ ।

ध्यान देने योग्य

6 में $\cos\frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2}$ लिया; कोण अधिक कोण है, इसलिए उसकी कोसाइन ऋणात्मक है।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सदिशों का कौन-सा युग्म लंब है?

2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}

और

\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}

और

2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

3\hat{i} + \hat{j}

और

\hat{i} + 3\hat{j}

सही उत्तरआपका उत्तर

\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}

और

-\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ और $\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$

दो शून्येतर सदिश ठीक तब लंब होते हैं जब उनका अदिश गुणनफल 0 हो।
$2(1) + (-1)(5) + 3(1) = 2 - 5 + 3 = 0$ ; बाकी युग्म $-1$ , $6$ और $-3$ देते हैं।

ध्यान देने योग्य

$\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ में $\hat{i}$ और $\hat{j}$ के गुणनफल कट जाते हैं, पर $\hat{k}$ का गुणनफल $-1$ बचता है।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यदि $\lvert \vec{a} \rvert = \lvert \vec{b} \rvert$ , तो $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप, $\vec{b}$ के $\vec{a}$ पर प्रक्षेप के बराबर है।

II. यदि $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ , तो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण न्यून है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: दोनों प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert \vec{b} \rvert}$ और $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert \vec{a} \rvert}$ हैं, परिमाण बराबर हों तो बराबर। सही।
II: $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ का अर्थ है $\cos \theta < 0$ , अधिक कोण। गलत।

ध्यान देने योग्य

अदिश गुणनफल का चिह्न $\cos \theta$ का चिह्न है: ऋणात्मक का अर्थ अधिक कोण।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lambda$ के किस मान के लिए $2\hat{i} + \lambda\hat{j} + \hat{k}$ और $\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ लंब हैं?

- \frac{5}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{5}{2}$

लंब का अर्थ है अदिश गुणनफल 0: $2 - 2\lambda + 3 = 0$ ।
$\lambda = \frac{5}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\frac{5}{2}$ में $-2\lambda$ पद का चिह्न खो गया।

प्रश्न 69

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ का $\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ पर प्रक्षेप क्या है?

\frac{5}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{10 \sqrt{17}}{17}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5 \sqrt{6}}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{5 \sqrt{6}}{3}$

$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert \vec{b} \rvert}$ ।
$\frac{2 + 6 + 2}{\sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{10}{\sqrt{17}}$ में $\lvert \vec{a} \rvert$ से भाग दिया, जो $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप देता है।

प्रश्न 70

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ ।

II. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ ।

III. यदि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ , तो $\vec{a} = \vec{0}$ या $\vec{b} = \vec{0}$ ।

IV. $\vec{a} \cdot \vec{a} = \lvert \vec{a} \rvert^{2}$ ।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I, II और IV

I, II और IV अदिश गुणनफल के गुण हैं।
III गलत है: $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ जबकि कोई सदिश शून्य नहीं; वे लंब हैं।

प्रश्न 71

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lvert \vec{a} \rvert = 3$ , $\lvert \vec{b} \rvert = 4$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$ । $\lvert \vec{a} + \vec{b} \rvert$ क्या है?

5

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{31}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{37}

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\sqrt{37}$

$\lvert \vec{a} + \vec{b} \rvert^{2} = \lvert \vec{a} \rvert^{2} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \lvert \vec{b} \rvert^{2} = 9 + 12 + 16$ ।
$\lvert \vec{a} + \vec{b} \rvert = \sqrt{37}$ ।

ध्यान देने योग्य

7 में परिमाण जोड़े, जो केवल तब ठीक है जब सदिश एक ही दिशा में हों।

प्रश्न 72

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\hat{i} - \hat{j}$ और $\hat{j} - \hat{k}$ के बीच का कोण क्या है?

\frac{\pi}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 \pi}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5 \pi}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2 \pi}{3}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 - 1 + 0 = -1$ , और हर परिमाण $\sqrt{2}$ है।
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ , इसलिए $\theta = \frac{2\pi}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\pi}{3}$ में अदिश गुणनफल का ऋण चिह्न छूट गया।

प्रश्न 73

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बल द्वारा किया गया कार्य क्या है?

-9

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $9$

$\vec{F} \cdot \overrightarrow{PQ} = 2(2) + 2(3) + 1(-1)$ ।
$4 + 6 - 1 = 9$ ।

ध्यान देने योग्य

$-9$ में $\overrightarrow{QP}$ , उलटी दिशा का विस्थापन, लिया।

प्रश्न 74

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lambda$ के किस मान के लिए $\lambda\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $4\hat{i} - 9\hat{j} + 2\hat{k}$ लंब हैं?

-4

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $4$

$4\lambda - 18 + 2 = 0$ ।
$\lambda = 4$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{9}{2}$ में $\hat{k}$ पद, $1 \times 2$ , छूट गया।

प्रश्न 75

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$3\hat{i} + 4\hat{j}$ का $2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ पर प्रक्षेप क्या है?

\frac{2}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{3}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 - 4 + 0 = 2$ , और $\lvert \vec{b} \rvert = 3$ ।
प्रक्षेप $= \frac{2}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{5}$ में $\lvert \vec{a} \rvert = 5$ से भाग दिया; वह $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप है।

प्रश्न 76

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lvert \vec{a} \rvert = 2$ , $\lvert \vec{b} \rvert = 3$ , और उनके बीच का कोण $60^\circ$ है। $\lvert \vec{a} - \vec{b} \rvert$ क्या है?

\sqrt{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{19}

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\sqrt{7}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 3 \times \cos 60^\circ = 3$ ।
$\lvert \vec{a} - \vec{b} \rvert^{2} = 4 + 9 - 2(3) = 7$ , इसलिए $\sqrt{7}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\sqrt{19}$ में $2\vec{a} \cdot \vec{b}$ जोड़ा; $\vec{a} - \vec{b}$ के लिए वह घटता है।

प्रश्न 77

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{F}$ और $\overrightarrow{PQ}$ के बीच के कोण की कोसाइन क्या है?

\frac{3}{14}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\sqrt{14}}{14}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9}{14}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3 \sqrt{14}}{14}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{3 \sqrt{14}}{14}$

$\lvert \vec{F} \rvert = 3$ और $\lvert \overrightarrow{PQ} \rvert = \sqrt{14}$ ।
$\cos \theta = \frac{9}{3\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{9}{14}$ में $\lvert \vec{F} \rvert \lvert \overrightarrow{PQ} \rvert$ के बजाय $\lvert \overrightarrow{PQ} \rvert^{2}$ से भाग दिया।

प्रश्न 78

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ का $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ पर प्रक्षेप सदिश क्या है?

\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{11}(3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{9}(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{3}(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$

$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप सदिश $\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert \vec{b} \rvert}\right)\hat{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert \vec{b} \rvert^{2}}\vec{b}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + 2 - 2 = 3$ और $\lvert \vec{b} \rvert^{2} = 9$ , इसलिए यह $\frac{3}{9}\vec{b} = \frac{1}{3}(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$ है।

ध्यान देने योग्य

$\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ में अदिश प्रक्षेप को मात्रक सदिश $\hat{b}$ के बजाय $\vec{b}$ से गुणा किया।

प्रश्न 79

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ , $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j}$ और $\vec{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ । $\lambda$ के किस मान के लिए $\vec{a} + \lambda\vec{b}$ , $\vec{c}$ पर लंब है?

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $2$

$(\vec{a} + \lambda\vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \lambda\,\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ।
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 - 2 + 6 = 6$ और $\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 - 4 + 0 = -3$ , इसलिए $6 - 3\lambda = 0$ और $\lambda = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

$-2$ में $\vec{b} \cdot \vec{c} = -3$ का ऋण चिह्न खो गया।

प्रश्न 80

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): शून्येतर सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए, यदि $\lvert \vec{a} + \vec{b} \rvert = \lvert \vec{a} - \vec{b} \rvert$ , तो $\vec{a}$ , $\vec{b}$ पर लंब है।

कारण (R): $\lvert \vec{a} + \vec{b} \rvert^{2} - \lvert \vec{a} - \vec{b} \rvert^{2} = 4\vec{a} \cdot \vec{b}$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

R: वर्ग $\lvert \vec{a} \rvert^{2} \pm 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \lvert \vec{b} \rvert^{2}$ हैं, और उनका अंतर $4\vec{a} \cdot \vec{b}$ है। सही।
A: बराबर परिमाण R के बाएँ पक्ष को शून्य कर देते हैं, इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और शून्येतर सदिश लंब हैं। R ही कारण है।

प्रश्न 81

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a}$ , $\vec{b}$ और $\vec{c}$ परस्पर लंब हैं, तथा $\lvert \vec{a} \rvert = 2$ , $\lvert \vec{b} \rvert = 3$ और $\lvert \vec{c} \rvert = 6$ । $\lvert \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \rvert$ क्या है?

\sqrt{11}

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

49

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $7$

$\lvert \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \rvert^{2} = \lvert \vec{a} \rvert^{2} + \lvert \vec{b} \rvert^{2} + \lvert \vec{c} \rvert^{2} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$ ।
हर अदिश गुणनफल 0 है, इसलिए यह $4 + 9 + 36 = 49$ है, और $\lvert \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \rvert = 7$ ।

ध्यान देने योग्य

11 में परिमाण जोड़े, मानो तीनों सदिश एक ही दिशा में हों।

प्रश्न 82

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ । निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ।

II. $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप 3 है।

III. $\lvert \vec{a} - \vec{b} \rvert = 3\sqrt{2}$ ।

IV. $\vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{a} - \vec{b}$ लंब हैं।

केवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरI, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · केवल I, III और IV

I: $2 - 4 + 2 = 0$ , सही; इसलिए $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{0}{3} = 0$ है, और II गलत है।
III: $\lvert \vec{a} - \vec{b} \rvert^{2} = 9 - 0 + 9 = 18$ , सही। IV: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \lvert \vec{a} \rvert^{2} - \lvert \vec{b} \rvert^{2} = 9 - 9 = 0$ , सही।

ध्यान देने योग्य

IV इसलिए सही है कि परिमाण बराबर हैं, इसलिए नहीं कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंब हैं।

प्रश्न 83

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a}$ एक मात्रक सदिश है और $(\vec{x} - \vec{a}) \cdot (\vec{x} + \vec{a}) = 15$ । $\lvert \vec{x} \rvert$ क्या है?

\sqrt{14}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

16

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $4$

बीच के पद $\vec{x} \cdot \vec{a}$ और $\vec{a} \cdot \vec{x}$ कट जाते हैं: $(\vec{x} - \vec{a}) \cdot (\vec{x} + \vec{a}) = \lvert \vec{x} \rvert^{2} - \lvert \vec{a} \rvert^{2}$ ।
$\lvert \vec{x} \rvert^{2} - 1 = 15$ , इसलिए $\lvert \vec{x} \rvert^{2} = 16$ और $\lvert \vec{x} \rvert = 4$ ।

ध्यान देने योग्य

$\sqrt{14}$ में वर्ग जोड़े, $\lvert \vec{x} \rvert^{2} + 1 = 15$ ; यह गुणनफल वर्गों का अंतर है।

प्रश्न 84

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$3\hat{i} - 4\hat{k}$ और $2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ के बीच का कोण क्या है?

\cos^{-1}\frac{2}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

\cos^{-1}\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\cos^{-1}\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sin^{-1}\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\cos^{-1}\frac{2}{3}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(2) + 0(2) + (-4)(-1) = 10$ , $\lvert \vec{a} \rvert = 5$ और $\lvert \vec{b} \rvert = 3$ ।
$\cos \theta = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ , इसलिए $\theta = \cos^{-1}\frac{2}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\cos^{-1}\frac{2}{15}$ में $(-4)(-1)$ को $-4$ लिया, इसलिए अदिश गुणनफल 2 आया।

प्रश्न 85

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a}$ और $\vec{b}$ मात्रक सदिश हैं और $\lvert \vec{a} + \vec{b} \rvert = 1$ । उनके बीच का कोण क्या है?

\frac{\pi}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 \pi}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{2 \pi}{3}$

$\lvert \vec{a} + \vec{b} \rvert^{2} = 1 + 1 + 2\cos \theta = 1$ ।
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ , इसलिए $\theta = \frac{2\pi}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\pi}{3}$ में $\cos \theta = +\frac{1}{2}$ लिया; तब $\lvert \vec{a} + \vec{b} \rvert = \sqrt{3}$ होता।

प्रश्न 86

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\overrightarrow{PQ}$ का $\vec{F}$ पर प्रक्षेप क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9 \sqrt{14}}{14}

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3$

$\overrightarrow{PQ}$ का $\vec{F}$ पर प्रक्षेप $= \frac{\vec{F} \cdot \overrightarrow{PQ}}{\lvert \vec{F} \rvert}$ ।
$\frac{9}{3} = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{9}{\sqrt{14}}$ में $\lvert \overrightarrow{PQ} \rvert$ से भाग दिया; वह $\vec{F}$ का $\overrightarrow{PQ}$ पर प्रक्षेप है।

प्रश्न 87

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ , जहाँ $\lvert \vec{a} \rvert = 3$ , $\lvert \vec{b} \rvert = 8$ और $\lvert \vec{c} \rvert = 7$ । $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण क्या है?

\frac{\pi}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 \pi}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5 \pi}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2 \pi}{3}$

$\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$ , इसलिए $\lvert \vec{c} \rvert^{2} = \lvert \vec{a} \rvert^{2} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \lvert \vec{b} \rvert^{2}$ : $49 = 9 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 64$ ।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -12$ , इसलिए $\cos \theta = \frac{-12}{3 \times 8} = -\frac{1}{2}$ और $\theta = \frac{2\pi}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\pi}{3}$ वह कोण है जो सदिशों को सिरे से पुच्छ जोड़ने पर बने त्रिभुज के अंदर है; $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण उसका संपूरक है।

प्रश्न 88

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a}$ और $\vec{b}$ मात्रक सदिश हैं जिनके बीच का कोण $\theta$ है। $\lvert \vec{a} - \vec{b} \rvert$ क्या है?

2\cos\frac{\theta}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

2 - 2\cos \theta

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{2}\sin\frac{\theta}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\sin\frac{\theta}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $2\sin\frac{\theta}{2}$

$\lvert \vec{a} - \vec{b} \rvert^{2} = 1 + 1 - 2\cos \theta = 2(1 - \cos \theta)$ ।
$1 - \cos \theta = 2\sin^{2}\frac{\theta}{2}$ , इसलिए $\lvert \vec{a} - \vec{b} \rvert = 2\sin\frac{\theta}{2}$ , जो ऋणात्मक नहीं है क्योंकि $\frac{\theta}{2}$ , $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में है।

ध्यान देने योग्य

$2\cos\frac{\theta}{2}$ तो $\lvert \vec{a} + \vec{b} \rvert$ है, जहाँ $2\cos \theta$ जोड़ा जाता है, घटाया नहीं।

प्रश्न 89

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lambda$ के किन मानों के लिए $\lambda\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\lambda\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ के बीच का कोण अधिक कोण है?

\lambda < -2

या

\lambda > 2

सही उत्तरआपका उत्तर

0 < \lambda < 2

सही उत्तरआपका उत्तर

-4 < \lambda < 4

सही उत्तरआपका उत्तर

-2 < \lambda < 2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $-2 < \lambda < 2$

कोण अधिक कोण तब है जब $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ; ये सदिश कभी विपरीत नहीं होते, इसलिए $\theta = \pi$ नहीं आता।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lambda^{2} - 6 + 2 = \lambda^{2} - 4 < 0$ से $-2 < \lambda < 2$ ।

ध्यान देने योग्य

$\lambda < -2$ या $\lambda > 2$ से अदिश गुणनफल धनात्मक होता है: तब कोण न्यून है।

प्रश्न 90

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a} = \lambda\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ , जहाँ $\lambda > 0$ । $\lambda$ के किस मान के लिए $\vec{a} + \vec{b}$ , $\vec{a} - \vec{b}$ पर लंब है?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{14}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{19}

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $3$

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \lvert \vec{a} \rvert^{2} - \lvert \vec{b} \rvert^{2}$ , इसलिए दोनों ठीक तब लंब हैं जब $\lvert \vec{a} \rvert = \lvert \vec{b} \rvert$ ।
$\lambda^{2} + 4 + 1 = 4 + 1 + 9$ , इसलिए $\lambda^{2} = 9$ , और $\lambda > 0$ से $\lambda = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

9, $\lambda^{2}$ है; $\lambda$ उसका वर्गमूल है।

प्रश्न 91

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ , जहाँ $\lvert \vec{a} \rvert = 2$ , $\lvert \vec{b} \rvert = 3$ और $\lvert \vec{c} \rvert = 4$ । $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}$ क्या है?

-29

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{29}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{29}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $- \frac{29}{2}$

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ का वर्ग लीजिए: $\lvert \vec{a} \rvert^{2} + \lvert \vec{b} \rvert^{2} + \lvert \vec{c} \rvert^{2} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ ।
$4 + 9 + 16 = 29$ , इसलिए योग $-\frac{29}{2}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{29}{2}$ में वर्गों को दूसरी ओर ले जाते समय चिह्न खो गया।

सदिश गुणनफल

34 प्रश्न

प्रश्न 92

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ ।

कारण (R): सदिश गुणनफल का क्रम बदलने से उसका चिह्न बदल जाता है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

A सही है: $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ एक दक्षिणावर्त निकाय बनाते हैं।
R सही है और $\hat{j} \times \hat{i} = -(\hat{i} \times \hat{j})$ देता है, A का दूसरा भाग।

प्रश्न 93

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 1, 1)$ , $B(2, 3, 3)$ और $C(3, 1, 2)$ हैं।

$\overrightarrow{AB}$ क्या है?

-\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

3\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$

$\overrightarrow{AB}$ = $B$ का स्थिति सदिश − $A$ का स्थिति सदिश।
$(2 - 1)\hat{i} + (3 - 1)\hat{j} + (3 - 1)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ , $\overrightarrow{BA}$ है, $A$ घटा $B$ ।

प्रश्न 94

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lvert \vec{a} \rvert = 3$ , $\lvert \vec{b} \rvert = 4$ , और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है। $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert$ क्या है?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

6 \sqrt{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $6$

$\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \sin \theta = 3 \times 4 \times \sin\frac{\pi}{6}$ ।
$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ , इसलिए $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = 6$ ।

ध्यान देने योग्य

$6\sqrt{3}$ में $\cos\frac{\pi}{6}$ लिया; सदिश गुणनफल में ज्या आती है।

प्रश्न 95

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(2\hat{i} - 3\hat{k}) \times \hat{j}$ क्या है?

3\hat{i} + 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

-3\hat{i} - 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

-3\hat{i} + 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

3\hat{i} - 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $3\hat{i} + 2\hat{k}$

$(2\hat{i} - 3\hat{k}) \times \hat{j} = 2(\hat{i} \times \hat{j}) - 3(\hat{k} \times \hat{j})$ ।
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ , इसलिए यह $2\hat{k} + 3\hat{i} = 3\hat{i} + 2\hat{k}$ है।

ध्यान देने योग्य

$-3\hat{i} - 2\hat{k}$ तो $\hat{j} \times (2\hat{i} - 3\hat{k})$ है, उलटे क्रम में गुणनफल।

प्रश्न 96

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है?

3 वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर6 वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर12 वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर144 वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 12 वर्ग इकाई

क्षेत्रफल $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert$ है।
$\sqrt{64 + 64 + 16} = \sqrt{144} = 12$ ।

ध्यान देने योग्य

6 में सदिश गुणनफल का आधा लिया, जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ पर बना त्रिभुज देता है, समांतर चतुर्भुज नहीं।

प्रश्न 97

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k})$ क्या है?

\hat{i} - 5\hat{j} - 7\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

-\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

-\hat{i} - 5\hat{j} + 7\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $-\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$

$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix}$ का प्रसार कीजिए।
$\hat{i}(2 - 3) - \hat{j}(-4 - 1) + \hat{k}(6 + 1) = -\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-\hat{i} - 5\hat{j} + 7\hat{k}$ में $\hat{j}$ पद के आगे का ऋण चिह्न भूल गए।

प्रश्न 98

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

आसन्न भुजाओं $\hat{i} + 2\hat{j}$ और $\hat{j} + 3\hat{k}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है?

2 वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\sqrt{46}}{2}

वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{46}

वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर46 वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\sqrt{46}$ वर्ग इकाई

$\vec{a} \times \vec{b} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ ।
क्षेत्रफल $= \lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = \sqrt{36 + 9 + 1} = \sqrt{46}$ ।

ध्यान देने योग्य

2 तो $\vec{a} \cdot \vec{b}$ है, अदिश गुणनफल; क्षेत्रफल के लिए सदिश गुणनफल चाहिए।

प्रश्न 99

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lambda$ के किस मान के लिए $(3\hat{i} - 6\hat{j} + 9\hat{k}) \times (\hat{i} + \lambda\hat{j} + 3\hat{k}) = \vec{0}$ ?

-6

सही उत्तरआपका उत्तर

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $-2$

सदिश गुणनफल ठीक तब शून्य है जब सदिश समांतर हों: $\frac{1}{3} = \frac{\lambda}{-6} = \frac{3}{9}$ ।
$\lambda = -2$ ।

ध्यान देने योग्य

2 में चिह्न खो गया: पहले सदिश का $\hat{j}$ भाग $-6$ है।

प्रश्न 100

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ ।

II. हर $\vec{a}$ के लिए $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ ।

III. $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{a}$ ।

IV. $\vec{a} \times \vec{b}$ , $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंब है।

केवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरI, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II, III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I, II और IV

I, II और IV सदिश गुणनफल के गुण हैं।
III गलत है: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ ; क्रम मायने रखता है।

ध्यान देने योग्य

अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय है; सदिश गुणनफल का चिह्न बदलता है।

प्रश्न 101

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lvert \vec{a} \rvert = 2$ , $\lvert \vec{b} \rvert = 6$ और $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = 6\sqrt{3}$ । $\lvert \vec{a} \cdot \vec{b} \rvert$ क्या है?

6

सही उत्तरआपका उत्तर

6 \sqrt{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

36

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $6$

$\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert^{2} + (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = \lvert \vec{a} \rvert^{2}\lvert \vec{b} \rvert^{2} = 144$ ।
$(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = 144 - 108 = 36$ , इसलिए $\lvert \vec{a} \cdot \vec{b} \rvert = 6$ ।

ध्यान देने योग्य

36, वर्गमूल से पहले $(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}$ है।

प्रश्न 102

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lvert \vec{a} \rvert = \sqrt{3}$ , $\lvert \vec{b} \rvert = 2$ और $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = 3$ । $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का न्यून कोण क्या है?

\frac{\pi}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{\pi}{3}$

$\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \sin \theta$ : $3 = 2\sqrt{3}\sin \theta$ ।
$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\pi}{6}$ में $\frac{\sqrt{3}}{2}$ को कोसाइन पढ़ा; सदिश गुणनफल में ज्या आती है।

प्रश्न 103

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कौन-सा सदिश $\hat{i} + \hat{j}$ और $\hat{j} + \hat{k}$ दोनों के लंब है?

\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$

$\vec{a} \times \vec{b}$ दोनों के लंब है।
$\hat{i}(1 - 0) - \hat{j}(1 - 0) + \hat{k}(1 - 0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ ; हर एक के साथ इसका अदिश गुणनफल 0 है।

ध्यान देने योग्य

$\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ में $\hat{j}$ पद का ऋण चिह्न भूल गए।

प्रश्न 104

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 1, 1)$ , $B(2, 3, 3)$ और $C(3, 1, 2)$ हैं।

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $4$

$\overrightarrow{AC} = 2\hat{i} + \hat{k}$ ।
$1(2) + 2(0) + 2(1) = 4$ ।

ध्यान देने योग्य

2 में पहले गुणनफल, $1 \times 2$ , के बाद रुक गए।

प्रश्न 105

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 1, 1)$ , $B(2, 3, 3)$ और $C(3, 1, 2)$ हैं।

$\cos A$ , $A$ पर कोण की कोसाइन, क्या है?

\frac{2 \sqrt{5}}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4 \sqrt{5}}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{4 \sqrt{5}}{15}$

$\lvert \overrightarrow{AB} \rvert = 3$ और $\lvert \overrightarrow{AC} \rvert = \sqrt{5}$ ।
$\cos A = \frac{4}{3\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{5}}{15}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{4}{9}$ में दोनों परिमाणों के गुणनफल के बजाय $\lvert \overrightarrow{AB} \rvert^{2}$ से भाग दिया।

प्रश्न 106

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \times (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k})$ क्या है?

-5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

5\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

7\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$

$\hat{i}(2 \cdot 3 - (-1)(-1)) - \hat{j}(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 2) + \hat{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2)$ ।
$= 5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$ , $\vec{b} \times \vec{a}$ है, उलटे क्रम में गुणनफल।

प्रश्न 107

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): यदि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ , तो $\vec{a} = \vec{0}$ या $\vec{b} = \vec{0}$ ।

कारण (R): शून्येतर सदिशों के लिए $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ का अर्थ है कि वे समांतर हैं, और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ का अर्थ है कि वे लंब हैं।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

R सही है: $\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \sin \theta = 0$ से $\sin \theta = 0$ , और $\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \cos \theta = 0$ से $\cos \theta = 0$ ।
किसी कोण की ज्या और कोसाइन दोनों 0 नहीं होतीं, इसलिए दो शून्येतर सदिश दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकते: उनमें से एक $\vec{0}$ है। A सही है, और R उसकी व्याख्या करता है।

प्रश्न 108

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. दो मात्रक सदिशों का सदिश गुणनफल सदैव एक मात्रक सदिश होता है।

II. यदि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{c}$ और $\vec{a} \ne \vec{0}$ , तो $\vec{b} = \vec{c}$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · न I, न II

I: $\lvert \hat{a} \times \hat{b} \rvert = \sin \theta$ , जो केवल लंब सदिशों के लिए 1 है; $\hat{i} \times \hat{i} = \vec{0}$ । गलत।
II: $\vec{a} \times (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{0}$ केवल यह बताता है कि $\vec{b} - \vec{c}$ , $\vec{a}$ के समांतर है; उदाहरण: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{i} \times (\hat{i} + \hat{j})$ । गलत।

ध्यान देने योग्य

सदिश गुणनफल में निरसन नहीं होता: $\vec{b} - \vec{c}$ , $\vec{a}$ का कोई भी गुणज हो सकता है।

प्रश्न 109

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lvert \vec{a} \rvert = \lvert \vec{b} \rvert$ , $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = 12$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ । $\lvert \vec{a} \rvert$ क्या है?

\sqrt{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{17}

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

169

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\sqrt{13}$

$\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert^{2} + (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = \lvert \vec{a} \rvert^{2}\lvert \vec{b} \rvert^{2} = \lvert \vec{a} \rvert^{4}$ ।
$144 + 25 = 169$ , इसलिए $\lvert \vec{a} \rvert^{2} = 13$ और $\lvert \vec{a} \rvert = \sqrt{13}$ ।

ध्यान देने योग्य

13 तो $\lvert \vec{a} \rvert^{2}$ है: परिमाण बराबर हों तो 169, $\lvert \vec{a} \rvert$ की चौथी घात है।

प्रश्न 110

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शून्येतर सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = \sqrt{3}\,(\vec{a} \cdot \vec{b})$ । उनके बीच का कोण क्या है?

\frac{\pi}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\pi}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2 \pi}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{\pi}{3}$

$\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \sin \theta = \sqrt{3}\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \cos \theta$ , इसलिए $\tan \theta = \sqrt{3}$ ।
$\theta$ के $[0, \pi]$ में होने और $\cos \theta > 0$ होने से $\theta = \frac{\pi}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{\pi}{6}$ , $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ का हल है, ज्या और कोसाइन की अदला-बदली से।

प्रश्न 111

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ । निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $\vec{a} \times \vec{b} = -\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$ ।

II. $\vec{b} \times \vec{a} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$ ।

III. भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{35}}{2}$ है।

IV. $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert$ ।

केवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरI, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I, II और III

$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}((-1)(-1) - 2(1)) - \hat{j}(1(-1) - 2(2)) + \hat{k}(1(1) - (-1)(2)) = -\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$ : I सही है, और II, इसका ऋणात्मक, भी सही है।
III: $\frac{1}{2}\sqrt{1 + 25 + 9} = \frac{\sqrt{35}}{2}$ , सही। IV: $\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert = \sqrt{6}\sqrt{6} = 6 \ne \sqrt{35}$ , क्योंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1 \ne 0$ ; गलत।

ध्यान देने योग्य

$\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert$ केवल तब, जब सदिश लंब हों।

प्रश्न 112

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।

यदि $\theta$ , $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है, तो $\tan \theta$ क्या है?

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4 \sqrt{17}}{17}

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $4$

$\tan \theta = \frac{\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$ , क्योंकि $\sin \theta$ और $\cos \theta$ में से $\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert$ कट जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 + 3 - 4 = 3$ , इसलिए $\tan \theta = \frac{12}{3} = 4$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{4}$ में अदिश गुणनफल को अंश में रखा, जो $\cot \theta$ देता है।

प्रश्न 113

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(\lambda\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \times (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j} + \mu\hat{k}$ । $\lambda + \mu$ क्या है?

-6

सही उत्तरआपका उत्तर

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $-2$

$\hat{i}(2 \cdot 1 - (-1)(-1)) - \hat{j}(\lambda \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \hat{k}(\lambda(-1) - 2 \cdot 1) = \hat{i} - (\lambda + 1)\hat{j} - (\lambda + 2)\hat{k}$ ।
मिलान से: $\lambda + 1 = 3$ , इसलिए $\lambda = 2$ , और $\mu = -(\lambda + 2) = -4$ : $\lambda + \mu = -2$ ।

ध्यान देने योग्य

6 में $\hat{k}$ भाग उलटे क्रम में निकाला, $2 \cdot 1 - \lambda(-1)$ , जिससे $\mu = 4$ आया।

प्रश्न 114

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।

$\vec{a} \times \vec{b}$ क्या है?

-8\hat{i} - 8\hat{j} + 4\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

8\hat{i} - 8\hat{j} - 4\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

-8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

-8\hat{i} + 8\hat{j} - 4\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $-8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$

$\hat{i}(1(-2) - 2(3)) - \hat{j}(2(-2) - 2(2)) + \hat{k}(2(3) - 1(2))$ ।
$= -8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$ ।

ध्यान देने योग्य

$-8\hat{i} - 8\hat{j} + 4\hat{k}$ में $\hat{j}$ पद के आगे का ऋण चिह्न भूल गए।

प्रश्न 115

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lvert \vec{a} \rvert = 2$ , $\lvert \vec{b} \rvert = 5$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$ । $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert$ क्या है?

4

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{94}

सही उत्तरआपका उत्तर

64

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $8$

$\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert^{2} + (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = \lvert \vec{a} \rvert^{2}\lvert \vec{b} \rvert^{2}$ , क्योंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ ।
$\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert^{2} = 100 - 36 = 64$ , इसलिए $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = 8$ ।

ध्यान देने योग्य

64 तो $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert^{2}$ है, वर्गमूल से पहले।

प्रश्न 116

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा मात्रक सदिश $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\hat{i} - \hat{j}$ दोनों के लंब है?

\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ दोनों के लंब है; उसका परिमाण $\sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ है।
भाग देने पर $\frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ मिलता है; इसका ऋणात्मक भी ठीक है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{6}(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ में वर्गों के योग से भाग दिया, उसके वर्गमूल से नहीं।

प्रश्न 117

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर व्यंजक को सूची II में उसके मान से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $\hat{j} \times \hat{k}$	I. $\vec{0}$
B. $\hat{k} \cdot \hat{k}$	II. $\hat{i}$
C. $\hat{i} \times \hat{i}$	III. $-\hat{i}$
D. $\hat{k} \times \hat{j}$	IV. $1$

A-IV, B-II, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-II, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · A-II, B-IV, C-I, D-III

चक्र $\hat{i} \to \hat{j} \to \hat{k} \to \hat{i}$ में $+$ ; उलटे में $-$ : $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ , $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ ।
$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और $\hat{i} \times \hat{i} = \vec{0}$ ।

प्रश्न 118

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शीर्षों $A(1, 0, 1)$ , $B(2, 2, 3)$ और $C(0, 3, 1)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

\sqrt{13}

वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\sqrt{65}}{2}

वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{65}

वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर32.5 वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{\sqrt{65}}{2}$ वर्ग इकाई

$\overrightarrow{AB} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ , $\overrightarrow{AC} = -\hat{i} + 3\hat{j}$ , और $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = -6\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$ ।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\sqrt{36 + 4 + 25} = \frac{\sqrt{65}}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\sqrt{65}$ , $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ पर बना समांतर चतुर्भुज है; त्रिभुज उसका आधा है।

प्रश्न 119

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शीर्षों $A(1, 0, 2)$ , $B(3, 1, 0)$ और $C(2, 4, 1)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

\frac{7 \sqrt{2}}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

7 \sqrt{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{49}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$

$\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ , $\overrightarrow{AC} = \hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$ , और $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 7\hat{i} + 7\hat{k}$ ।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\sqrt{49 + 49} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$7\sqrt{2}$ , $AB$ और $AC$ पर बना समांतर चतुर्भुज है; त्रिभुज उसका आधा है।

प्रश्न 120

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं। उसका क्षेत्रफल क्या है?

\frac{5 \sqrt{3}}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

5 \sqrt{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

10 \sqrt{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

20 \sqrt{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $5 \sqrt{3}$

$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = -2\hat{i} - 14\hat{j} - 10\hat{k}$ , परिमाण $\sqrt{4 + 196 + 100} = 10\sqrt{3}$ ।
विकर्णों से, क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\lvert \vec{d_1} \times \vec{d_2} \rvert = 5\sqrt{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$10\sqrt{3}$ में भुजाओं वाला सूत्र विकर्णों पर लगाया; विकर्णों के साथ आधा चाहिए।

प्रश्न 121

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 1, 1)$ , $B(2, 3, 3)$ और $C(3, 1, 2)$ हैं।

त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल क्या है?

\frac{\sqrt{21}}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\sqrt{29}}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{29}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{29}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{\sqrt{29}}{2}$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ , परिमाण $\sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ ।
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{29}}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\sqrt{29}$ समांतर चतुर्भुज है, त्रिभुज का दोगुना।

प्रश्न 122

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \lambda\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$ , जहाँ $\lambda > 0$ । आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $2\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है। $\lambda$ क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

\sqrt{22}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $2$

$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(0 + \lambda) - \hat{j}(0 - \lambda) + \hat{k}(-1 - 1) = \lambda\hat{i} + \lambda\hat{j} - 2\hat{k}$ ।
क्षेत्रफल $= \sqrt{2\lambda^{2} + 4} = 2\sqrt{3}$ , इसलिए $2\lambda^{2} + 4 = 12$ , $\lambda^{2} = 4$ और $\lambda = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

$\sqrt{22}$ में त्रिभुज की तरह सदिश गुणनफल का आधा लिया; समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल पूरा $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert$ है।

प्रश्न 123

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ । एक सदिश $\vec{b}$ के लिए $\vec{a} \times \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ । $\vec{b}$ क्या है?

\hat{j} + 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\hat{i} + \hat{j}

सही उत्तरआपका उत्तर

2\hat{i} + \hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2\hat{i} + \hat{j}$

मान लीजिए $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ । तब $\vec{a} \cdot \vec{b} = x + y + z = 3$ ।
$\vec{a} \times \vec{b} = (z - y)\hat{i} + (x - z)\hat{j} + (y - x)\hat{k}$ , इसलिए $z - y = -1$ , $x - z = 2$ और $y - x = -1$ ।
इसलिए $y = x - 1$ और $z = x - 2$ ; तब $3x - 3 = 3$ से $x = 2$ , और $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\hat{j} + 2\hat{k}$ , $\vec{b} \times \vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ को हल करता है, उलटे क्रम का गुणनफल।

प्रश्न 124

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\lvert \vec{a} \rvert = 2$ , $\lvert \vec{b} \rvert = 3$ , और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है। आसन्न भुजाओं $2\vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{a} + 3\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है?

3 वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर15 वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर18 वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर21 वर्ग इकाईसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 15 वर्ग इकाई

$(2\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 3\vec{b}) = 2\vec{a} \times \vec{a} + 6\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} + 3\vec{b} \times \vec{b}$ ।
$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}$ और $\vec{b} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b}$ , इसलिए यह $5\vec{a} \times \vec{b}$ है।
$\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = 2 \times 3 \times \sin\frac{\pi}{6} = 3$ , इसलिए क्षेत्रफल $5 \times 3 = 15$ है।

ध्यान देने योग्य

21 में $\vec{b} \times \vec{a}$ को $+\vec{a} \times \vec{b}$ मानकर जोड़ा; क्रम बदलने से चिह्न बदलता है।

प्रश्न 125

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।

परिमाण 6 का एक सदिश $\vec{c}$ , $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों पर लंब है और $z$ -अक्ष से न्यून कोण बनाता है। $\vec{c}$ क्या है?

4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

- \frac{2}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

-48\hat{i} + 48\hat{j} + 24\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

-4\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $-4\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$

$\vec{a} \times \vec{b} = -8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$ दोनों पर लंब है, परिमाण 12; इसकी दिशा में मात्रक सदिश $\pm\frac{1}{3}(-2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$ हैं।
परिमाण 6 से $\pm(-4\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k})$ ; $z$ -अक्ष से न्यून कोण के लिए धनात्मक $\hat{k}$ घटक चाहिए, इसलिए $\vec{c} = -4\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ ।

ध्यान देने योग्य

$4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$ दोनों पर लंब है और उसका परिमाण 6 है, पर उसका $\hat{k}$ घटक ऋणात्मक है: $z$ -अक्ष से अधिक कोण।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।