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CUET गणित के लिए त्रिविमीय ज्यामिति

सीखने में लगभग 5 मिनट · 120 प्रश्न

CUET गणित Section B1 में त्रिविमीय ज्यामिति पूरी तरह अंतरिक्ष की रेखाओं के बारे में है: उनकी दिशा, उनके समीकरण, दो रेखाओं के बीच का कोण और दो रेखाएँ एक-दूसरे के कितने निकट आती हैं। यह सीधे सदिशों पर बनी है, इसलिए अधिकतर प्रश्न कुछ पंक्तियों में हल होते हैं। रेखा की दिक्-कोसाइन से लेकर उसके सदिश और कार्तीय समीकरण, दो रेखाओं के बीच का कोण, विषमतलीय रेखाएँ और उनके बीच न्यूनतम दूरी तक, हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र
Section B1: Mathematics
इस पृष्ठ पर · 10 भाग
  1. 01अंतरिक्ष में रेखाएँ
  2. 02रेखा की दिक्-कोसाइन
  3. 03रेखा का समीकरण
  4. 04दो रेखाओं के बीच का कोण
  5. 05विषमतलीय रेखाएँ और न्यूनतम दूरी
  6. 06CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
  7. 07परीक्षा के लिए शॉर्टकट
  8. 08आम भूलें
  9. 09त्वरित पुनरावृत्ति
  10. 10अपनी समझ जाँचें

अंतरिक्ष में रेखाएँ

एक हॉल में अलग-अलग ऊँचाई पर दो सीधे तार खींचे गए हैं। वे समांतर नहीं हैं, और कभी मिलते नहीं। वे एक-दूसरे के कितने निकट आते हैं? तीन विमाओं में दो रेखाएँ विषमतलीय हो सकती हैं: न समांतर, न प्रतिच्छेदी। यह अध्याय रेखा का समीकरण लिखता है, दो रेखाओं के बीच का कोण मापता है, और वह न्यूनतम दूरी निकालता है।

रेखा की दिक्-कोसाइन

दो बिंदुओं से जाती रेखा की दिक्-कोसाइन कैसे निकालते हैं?

(x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1) और (x2,y2,z2)(x_2, y_2, z_2) से जाती रेखा के दिक्-अनुपात x2−x1,y2−y1,z2−z1x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 हैं। दिक्-कोसाइन के लिए इन्हें (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2} + (z_2 - z_1)^{2}} से भाग दीजिए।

उदाहरण 1 · दो बिंदु

(2,3,1)(2, 3, 1) से (4,4,3)(4, 4, 3) तक की रेखा की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

  1. दिक्-अनुपात 2,1,22, 1, 2, और 4+1+4=3\sqrt{4 + 1 + 4} = 3।

  2. दिक्-कोसाइन 23,13,23\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}।

उत्तर
23,13,23\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}

रेखा का समीकरण

रेखा के सदिश और कार्तीय समीकरण क्या हैं?

बिंदु a⃗\vec{a} से होकर b⃗\vec{b} के समांतर: r⃗=a⃗+λb⃗\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}। कार्तीय रूप में, (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1) से होकर, दिक्-अनुपात a,b,ca, b, c के साथ:

x−x1a=y−y1b=z−z1c.\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}.

दो बिंदुओं से होकर जाने के लिए उनके अंतर को दिशा लीजिए।

उदाहरण 2 · बिंदु और दिशा से

(1,−1,2)(1, -1, 2) से होकर 3i^+2j^−k^3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} के समांतर रेखा दोनों रूपों में लिखिए।

  1. सदिश: r⃗=(i^−j^+2k^)+λ(3i^+2j^−k^)\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})।

  2. कार्तीय: x−13=y+12=z−2−1\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{-1}।

उत्तर

दोनों एक ही रेखा बताते हैं।

सावधान

y+1y + 1 का अर्थ y−(−1)y - (-1) है: बिंदु का y1=−1y_1 = -1 है। अंशों से चिह्न ध्यान से पढ़िए।

दो रेखाओं के बीच का कोण

दो रेखाओं के बीच का कोण कैसे निकालते हैं?

केवल दिशाएँ मायने रखती हैं। दिक्-अनुपात a1,b1,c1a_1, b_1, c_1 और a2,b2,c2a_2, b_2, c_2 के साथ,

cos⁡θ=∣a1a2+b1b2+c1c2∣a12+b12+c12a22+b22+c22.\cos \theta = \frac{\lvert a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 \rvert}{\sqrt{a_1^{2} + b_1^{2} + c_1^{2}}\sqrt{a_2^{2} + b_2^{2} + c_2^{2}}}.

रेखाएँ लंब हैं जब a1a2+b1b2+c1c2=0a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0, और समांतर जब अनुपात समानुपाती हों।

उदाहरण 3 · एक कोण

दिक्-अनुपात 1,1,01, 1, 0 और 1,0,11, 0, 1 वाली रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

  1. cos⁡θ=122=12\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2}।

  2. θ=60∘\theta = 60^\circ।

उत्तर
60∘60^\circ

विषमतलीय रेखाएँ और न्यूनतम दूरी

दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी कैसे निकालते हैं?

r⃗=a⃗1+λb⃗1\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}_1 और r⃗=a⃗2+μb⃗2\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}_2 के लिए न्यूनतम दूरी b⃗1×b⃗2\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 के अनुदिश होती है:

d=∣(a⃗2−a⃗1)⋅(b⃗1×b⃗2)∣∣b⃗1×b⃗2∣.d = \frac{\lvert (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \rvert}{\lvert \vec{b}_1 \times \vec{b}_2 \rvert}.

यदि d=0d = 0 तो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। समांतर रेखाओं r⃗=a⃗1+λb⃗\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b} और r⃗=a⃗2+μb⃗\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b} के लिए d=∣b⃗×(a⃗2−a⃗1)∣∣b⃗∣d = \frac{\lvert \vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \rvert}{\lvert \vec{b} \rvert} लीजिए।

उदाहरण 4 · दोनों तार

r⃗=(i^+2k^)+λ(i^+j^)\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j}) और r⃗=(j^+k^)+μ(j^−k^)\vec{r} = (\hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{j} - \hat{k}) के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

  1. b⃗1×b⃗2=(i^+j^)×(j^−k^)=−i^+j^+k^\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = (\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{j} - \hat{k}) = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, परिमाण 3\sqrt{3}।

  2. a⃗2−a⃗1=−i^+j^−k^\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}, और −i^+j^+k^-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} से इसका अदिश गुणनफल 1+1−1=11 + 1 - 1 = 1 है।

उत्तर
d=13d = \frac{1}{\sqrt{3}}

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

  • दिक्-कोसाइन: दो बिंदुओं से जाती रेखा की, किसी अक्ष की, दिक्-अनुपात से, या कौन-सा त्रिक दिक्-कोसाइन हो सकता है।
  • समीकरण: किसी बिंदु से किसी दिशा में, या दो बिंदुओं से जाती रेखा, किसी भी रूप में; कोई बिंदु रेखा पर है या नहीं।
  • कोण: दो रेखाओं के बीच का कोण, या वह kk जो उन्हें लंब या समांतर बनाए।
  • दूरी: विषमतलीय या समांतर रेखाओं के बीच, और दो रेखाएँ मिलती हैं या नहीं।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

  • l2+m2+n2=1l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1; अक्षों की दिक्-कोसाइन 1,0,01, 0, 0, 0,1,00, 1, 0, 0,0,10, 0, 1 हैं।
  • कोण: केवल दिक्-अनुपात लीजिए, बिंदु कभी नहीं।
  • अ-समांतर रेखाएँ ठीक तब मिलती हैं जब (a⃗2−a⃗1)⋅(b⃗1×b⃗2)=0(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = 0।

आम भूलें

  • कार्तीय रूप से बिंदु के निर्देशांक गलत चिह्न के साथ लेना।
  • कोण की गणना में बिंदुओं का उपयोग करना।
  • दूरी सूत्र के अंश पर ही रुक जाना।
  • समांतर रेखाओं को विषमतलीय कहना: समांतर रेखाएँ एक तल में होती हैं; विषमतलीय कभी नहीं।

त्वरित पुनरावृत्ति

एक रेखा

  • r⃗=a⃗+λb⃗\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}
  • x−x1a=y−y1b=z−z1c\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}

दो रेखाएँ

  • दिक्-अनुपातों से cos⁡θ\cos \theta
  • विषमतलीय: d=∣(a⃗2−a⃗1)⋅(b⃗1×b⃗2)∣∣b⃗1×b⃗2∣d = \frac{\lvert (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \rvert}{\lvert \vec{b}_1 \times \vec{b}_2 \rvert}

Section B1 का अंतिम अध्याय, जब कुछ पहले से ज्ञात हो तब प्रायिकता: सप्रतिबंध प्रायिकता और बेज़ प्रमेय।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

120 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

रेखा की दिक्-कोसाइनप्र1 / 120प्र1

रेखा की दिक्-कोसाइन

28 प्रश्न

प्रश्न 1

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

P(1,2,−3)P(1, 2, -3) और Q(3,1,−1)Q(3, 1, -1) को मिलाने वाली रेखा की, PP से QQ की दिशा में, दिक्-कोसाइन क्या हैं?

प्रश्न 1 के विकल्प

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उत्तरB · 23,−13,23\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}

  1. दिक्-अनुपात: 3−1,1−2,−1+3=2,−1,23 - 1, 1 - 2, -1 + 3 = 2, -1, 2, और 4+1+4=3\sqrt{4 + 1 + 4} = 3।

  2. दिक्-कोसाइन: 23,−13,23\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}।

ध्यान देने योग्य

−23,13,−23-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, QQ से PP की ओर, उलटी दिशा में है।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

yy-अक्ष की दिक्-कोसाइन क्या हैं?

प्रश्न 2 के विकल्प

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उत्तरD · 0,1,00, 1, 0

  1. yy-अक्ष तीनों अक्षों से 90∘90^\circ, 0∘0^\circ, 90∘90^\circ के कोण बनाता है।

  2. उनकी कोसाइन 0,1,00, 1, 0 हैं।

ध्यान देने योग्य

1,0,01, 0, 0, xx-अक्ष है।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा xx-, yy- और zz-अक्षों से 90∘90^\circ, 135∘135^\circ और 45∘45^\circ के कोण बनाती है। उसकी दिक्-कोसाइन क्या हैं?

प्रश्न 3 के विकल्प

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उत्तरC · 0,−12,120, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}

  1. दिक्-कोसाइन तीनों कोणों की कोसाइन हैं।

  2. cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0, cos⁡135∘=−12\cos 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}, cos⁡45∘=12\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}।

ध्यान देने योग्य

135∘135^\circ के लिए +12+\frac{1}{\sqrt{2}} में यह चूक गए कि दूसरे चतुर्थांश में कोसाइन ऋणात्मक है।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा x4=y−1−4=z+27\frac{x}{4} = \frac{y - 1}{-4} = \frac{z + 2}{7} की दिक्-कोसाइन क्या हैं?

प्रश्न 4 के विकल्प

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उत्तरD · 49,−49,79\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}, \frac{7}{9}

  1. दिक्-अनुपात हर हैं, 4,−4,74, -4, 7, लंबाई 16+16+49=9\sqrt{16 + 16 + 49} = 9।

  2. दिक्-कोसाइन: 49,−49,79\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}, \frac{7}{9}।

ध्यान देने योग्य

0,1,−20, 1, -2 रेखा पर के बिंदु से आता है, उसकी दिशा से नहीं।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा तीनों निर्देशांक अक्षों से बराबर न्यून कोण बनाती है। उसकी दिक्-कोसाइन क्या हैं?

प्रश्न 5 के विकल्प

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उत्तरA · 13,13,13\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}

  1. बराबर कोणों से l=m=nl = m = n, और तब l2+m2+n2=1l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1 से 3l2=13l^{2} = 1।

  2. कोण न्यून हैं, इसलिए l=m=n=13l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}।

ध्यान देने योग्य

हर एक 13\frac{1}{3} लेने से l+m+n=1l + m + n = 1 होता है; योग 1 तो वर्गों का होता है।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा के दिक्-अनुपात 3,−1,43, -1, 4 हैं। इनमें से कौन-सा समुच्चय भी उसके दिक्-अनुपात देता है?

प्रश्न 6 के विकल्प

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उत्तरB · −6,2,−8-6, 2, -8

  1. दिक्-अनुपात केवल किसी अशून्य गुणज तक निश्चित होते हैं।

  2. −6,2,−8-6, 2, -8, 3,−1,43, -1, 4 का −2-2 गुना है; बाकी में से कोई उसका एक गुणज नहीं है।

ध्यान देने योग्य

6,2,86, 2, 8 में मान दोगुने किए पर चिह्न छोड़ दिए।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा की दिक्-कोसाइन 32,0,−12\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, -\frac{1}{2} हैं। वह xx-, yy- और zz-अक्षों से कौन-से कोण बनाती है?

प्रश्न 7 के विकल्प

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उत्तरD · π6,π2,2π3\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}

  1. हर कोण अपनी दिक्-कोसाइन का प्रतिलोम कोसाइन है: cos⁡−132=π6\cos^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} और cos⁡−10=π2\cos^{-1} 0 = \frac{\pi}{2}।

  2. cos⁡−1(−12)=2π3\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}, एक अधिक कोण, क्योंकि कोसाइन ऋणात्मक है।

ध्यान देने योग्य

zz-अक्ष के लिए π3\frac{\pi}{3} में −12-\frac{1}{2} का ऋण चिह्न छोड़ दिया।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक हॉल का एक कोना मूलबिंदु OO है; फ़र्श के किनारे xx- और yy-अक्षों के अनुदिश और ऊर्ध्वाधर किनारा zz-अक्ष के अनुदिश हैं; लंबाइयाँ मीटर में हैं। एक सीधी छड़ OO से बिंदु P(6,2,9)P(6, 2, 9) तक जाती है।

OO से PP की दिशा में छड़ की दिक्-कोसाइन क्या हैं?

प्रश्न 8 के विकल्प

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उत्तरB · 611,211,911\frac{6}{11}, \frac{2}{11}, \frac{9}{11}

  1. छड़ की लंबाई 36+4+81=121=11\sqrt{36 + 4 + 81} = \sqrt{121} = 11 है।

  2. उसकी दिक्-कोसाइन 611,211,911\frac{6}{11}, \frac{2}{11}, \frac{9}{11} हैं।

ध्यान देने योग्य

617,217,917\frac{6}{17}, \frac{2}{17}, \frac{9}{17} में 6+2+9=176 + 2 + 9 = 17 से भाग दिया, लंबाई 11 से नहीं।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा xx- और yy-अक्षों में से हर एक से π4\frac{\pi}{4} का कोण बनाती है। वह zz-अक्ष से कितना कोण बनाती है?

प्रश्न 9 के विकल्प

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उत्तरD · π2\frac{\pi}{2}

  1. cos⁡2γ=1−cos⁡2π4−cos⁡2π4=1−12−12=0\cos^{2}\gamma = 1 - \cos^{2}\frac{\pi}{4} - \cos^{2}\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0।

  2. cos⁡γ=0\cos \gamma = 0, इसलिए γ=π2\gamma = \frac{\pi}{2}।

ध्यान देने योग्य

π4\frac{\pi}{4} में मान लिया कि रेखा हर अक्ष से एक ही कोण बनाती है।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा के दिक्-अनुपात −18,12,−4-18, 12, -4 हैं। उसकी दिक्-कोसाइन क्या हैं?

प्रश्न 10 के विकल्प

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उत्तरA · −911,611,−211-\frac{9}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11}

  1. 324+144+16=484=22\sqrt{324 + 144 + 16} = \sqrt{484} = 22।

  2. −1822,1222,−422=−911,611,−211-\frac{18}{22}, \frac{12}{22}, -\frac{4}{22} = -\frac{9}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11}।

ध्यान देने योग्य

−9,6,−2-9, 6, -2 में केवल अनुपात आधे किए; वे अब भी अनुपात हैं, कोसाइन नहीं।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. एक रेखा के अनंत दिक्-अनुपात समुच्चय होते हैं पर दिक्-कोसाइन के केवल दो समुच्चय।

II. यदि l,m,nl, m, n दिक्-कोसाइन हैं, तो l+m+n=1l + m + n = 1।

प्रश्न 11 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I: अनुपातों का कोई भी अशून्य गुणज फिर से अनुपात है; कोसाइन दिशा के चिह्न तक निश्चित हैं। सही।

  2. II: यह l2+m2+n2=1l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1 है; उलटी दिशा वाले xx-अक्ष के लिए −1+0+0≠1-1 + 0 + 0 \ne 1। गलत।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा निर्देशांक अक्षों से कोण α\alpha, β\beta, γ\gamma बनाती है। sin⁡2α+sin⁡2β+sin⁡2γ\sin^{2}\alpha + \sin^{2}\beta + \sin^{2}\gamma क्या है?

प्रश्न 12 के विकल्प

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उत्तरC · 22

  1. sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^{2}\theta = 1 - \cos^{2}\theta, इसलिए योग 3−(cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ)3 - (\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\beta + \cos^{2}\gamma) है।

  2. 3−1=23 - 1 = 2।

ध्यान देने योग्य

1 कोसाइनों के वर्गों का योग है, ज्याओं के वर्गों का नहीं।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा की दिक्-कोसाइन 27\frac{2}{7}, 37\frac{3}{7} और nn हैं, जहाँ n>0n > 0। nn क्या है?

प्रश्न 13 के विकल्प

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उत्तरD · 67\frac{6}{7}

  1. l2+m2+n2=1l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1: n2=1−449−949=3649n^{2} = 1 - \frac{4}{49} - \frac{9}{49} = \frac{36}{49}।

  2. n=67n = \frac{6}{7}।

ध्यान देने योग्य

27\frac{2}{7} में l+m+n=1l + m + n = 1 लिया; योग 1 तो वर्गों का होता है।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा के दिक्-अनुपात 1,−2,21, -2, 2 हैं। वह xx-अक्ष से कितना कोण बनाती है?

प्रश्न 14 के विकल्प

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उत्तरA · cos⁡−113\cos^{-1}\frac{1}{3}

  1. 1+4+4=3\sqrt{1 + 4 + 4} = 3, इसलिए l=13l = \frac{1}{3}।

  2. xx-अक्ष से कोण cos⁡−113\cos^{-1}\frac{1}{3} है।

ध्यान देने योग्य

cos⁡−11\cos^{-1} 1 में अनुपात 1 को लंबाई 3 से भाग दिए बिना कोसाइन मान लिया।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा त्रिक किसी रेखा की दिक्-कोसाइन हो सकता है?

प्रश्न 15 के विकल्प

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उत्तरD · 12,−12,12\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}

  1. दिक्-कोसाइन को l2+m2+n2=1l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1 संतुष्ट करना चाहिए।

  2. 12,−12,12\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}} के लिए: 14+14+12=1\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1; बाकी त्रिक 38\frac{3}{8}, 54\frac{5}{4} और 23\frac{2}{3} देते हैं।

ध्यान देने योग्य

12,14,14\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4} का योग 1 है, पर उनके वर्गों का योग 38\frac{3}{8} है।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए बिंदु A(2,−1,1)A(2, -1, 1), B(4,2,3)B(4, 2, 3) और C(8,k,7)C(8, k, 7) संरेख हैं?

प्रश्न 16 के विकल्प

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उत्तरB · 88

  1. ABAB के दिक्-अनुपात 2,3,22, 3, 2 हैं; ACAC के 6,k+1,66, k + 1, 6 हैं।

  2. संरेख का अर्थ है समानुपाती, यहाँ गुणक 62=3\frac{6}{2} = 3: k+1=9k + 1 = 9, इसलिए k=8k = 8।

ध्यान देने योग्य

9, k+1k + 1 है, ACAC का अनुपात; स्वयं kk उससे 1 कम है।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक हॉल का एक कोना मूलबिंदु OO है; फ़र्श के किनारे xx- और yy-अक्षों के अनुदिश और ऊर्ध्वाधर किनारा zz-अक्ष के अनुदिश हैं; लंबाइयाँ मीटर में हैं। एक सीधी छड़ OO से बिंदु P(6,2,9)P(6, 2, 9) तक जाती है।

छड़ पर एक मनका फ़र्श से 4.5 मीटर ऊपर है। छड़ के अनुदिश मापने पर वह OO से कितनी दूर है?

प्रश्न 17 के विकल्प

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उत्तरC · 5.5 मीटर

  1. OO से ss दूरी पर छड़ का बिंदु s×911s \times \frac{9}{11} की ऊँचाई पर है।

  2. s×911=4.5s \times \frac{9}{11} = 4.5 से s=5.5s = 5.5 मीटर।

ध्यान देने योग्य

4.5 मीटर ऊँचाई है; छड़ तिरछी है, इसलिए उसके अनुदिश दूरी अधिक है।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा xx-अक्ष पर लंब है, yy-अक्ष से 5π6\frac{5\pi}{6} का कोण और zz-अक्ष से न्यून कोण बनाती है। उसकी दिक्-कोसाइन क्या हैं?

प्रश्न 18 के विकल्प

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उत्तरC · 0,−32,120, -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}

  1. xx-अक्ष पर लंब: l=cos⁡π2=0l = \cos\frac{\pi}{2} = 0; और m=cos⁡5π6=−32m = \cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}।

  2. n2=1−0−34=14n^{2} = 1 - 0 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}, और न्यून कोण से n=12n = \frac{1}{2}।

ध्यान देने योग्य

+32+\frac{\sqrt{3}}{2} में यह चूक गए कि cos⁡5π6\cos\frac{5\pi}{6} ऋणात्मक है।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक हॉल का एक कोना मूलबिंदु OO है; फ़र्श के किनारे xx- और yy-अक्षों के अनुदिश और ऊर्ध्वाधर किनारा zz-अक्ष के अनुदिश हैं; लंबाइयाँ मीटर में हैं। एक सीधी छड़ OO से बिंदु P(6,2,9)P(6, 2, 9) तक जाती है।

छड़ ऊर्ध्वाधर किनारे से कितना कोण बनाती है?

प्रश्न 19 के विकल्प

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उत्तरA · cos⁡−1(911)\cos^{-1}{\left(\frac{9}{11} \right)}

  1. ऊर्ध्वाधर किनारा zz-अक्ष है, और उसके लिए छड़ की दिक्-कोसाइन n=911n = \frac{9}{11} है।

  2. कोण cos⁡−1911\cos^{-1}\frac{9}{11} है।

ध्यान देने योग्य

sin⁡−1911\sin^{-1}\frac{9}{11} में 911\frac{9}{11} को ज्या मान लिया; दिक्-कोसाइन कोण की कोसाइन होती है।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): कोई भी रेखा xx-, yy- और zz-अक्षों से कोण π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4} और π3\frac{\pi}{3} नहीं बनाती।

कारण (R): हर रेखा की दिक्-कोसाइन l,m,nl, m, n, l2+m2+n2=1l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1 को संतुष्ट करती हैं।

प्रश्न 20 के विकल्प

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उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

  1. cos⁡2π6+cos⁡2π4+cos⁡2π3=34+12+14=32≠1\cos^{2}\frac{\pi}{6} + \cos^{2}\frac{\pi}{4} + \cos^{2}\frac{\pi}{3} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \ne 1, इसलिए A सही है।

  2. R सही है, और ठीक यही नियम ये कोण तोड़ते हैं: R, A की व्याख्या करता है।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा LL के दिक्-अनुपात 6,−2,−36, -2, -3 हैं। निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. LL की दिक्-कोसाइन 67,−27,−37\frac{6}{7}, -\frac{2}{7}, -\frac{3}{7} हैं, या यही तीनों उलटे चिह्नों के साथ।

II. LL, दिक्-अनुपात 1,3,01, 3, 0 वाली रेखा पर लंब है।

III. LL, दिक्-अनुपात 12,4,612, 4, 6 वाली रेखा के समांतर है।

IV. LL की दिक्-कोसाइन का योग 1 है।

प्रश्न 21 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I और II

  1. 36+4+9=7\sqrt{36 + 4 + 9} = 7, इसलिए I सही है; 6(1)+(−2)(3)+(−3)(0)=06(1) + (-2)(3) + (-3)(0) = 0, इसलिए II सही है।

  2. 12,4,612, 4, 6, 6,−2,−36, -2, -3 का गुणज नहीं है, इसलिए III गलत है; 6−2−37=17\frac{6 - 2 - 3}{7} = \frac{1}{7}, इसलिए IV गलत है।

ध्यान देने योग्य

III चिह्नों पर विफल है: 6,−2,−36, -2, -3 का दोगुना 12,−4,−612, -4, -6 है।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा के दिक्-अनुपात 2,k,62, k, 6 हैं, जहाँ k>0k > 0, और xx-अक्ष से उसके कोण की कोसाइन 27\frac{2}{7} है। kk क्या है?

प्रश्न 22 के विकल्प

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उत्तरA · 33

  1. l=24+k2+36=27l = \frac{2}{\sqrt{4 + k^{2} + 36}} = \frac{2}{7}, इसलिए 40+k2=7\sqrt{40 + k^{2}} = 7।

  2. k2=49−40=9k^{2} = 49 - 40 = 9, और k>0k > 0 से k=3k = 3।

ध्यान देने योग्य

9, k2k^{2} है; kk उसका वर्गमूल है।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा निर्देशांक अक्षों से कोण α\alpha, β\beta, γ\gamma बनाती है। cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma क्या है?

प्रश्न 23 के विकल्प

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उत्तरA · −1-1

  1. cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos 2\theta = 2\cos^{2}\theta - 1, इसलिए योग 2(cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ)−32(\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\beta + \cos^{2}\gamma) - 3 है।

  2. 2×1−3=−12 \times 1 - 3 = -1।

ध्यान देने योग्य

1 में तीनों cos⁡2\cos^{2} पद जोड़े और हर cos⁡2θ\cos 2\theta का −1-1 भूल गए।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा किसी घन के चारों मुख्य विकर्णों से कोण α\alpha, β\beta, γ\gamma, δ\delta बनाती है। cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ+cos⁡2δ\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\beta + \cos^{2}\gamma + \cos^{2}\delta क्या है?

प्रश्न 24 के विकल्प

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उत्तरC · 43\frac{4}{3}

  1. किनारों को अक्षों के अनुदिश लेने पर मुख्य विकर्णों के दिक्-अनुपात 1,1,11, 1, 1, −1,1,1-1, 1, 1, 1,−1,11, -1, 1 और 1,1,−11, 1, -1 हैं, हर एक की लंबाई 3\sqrt{3}।

  2. दिक्-कोसाइन l,m,nl, m, n वाली रेखा के लिए: cos⁡α=∣l+m+n∣3\cos \alpha = \frac{\lvert l + m + n \rvert}{\sqrt{3}}, और इसी प्रकार बाकी।

  3. चारों वर्गों का योग 4(l2+m2+n2)3=43\frac{4(l^{2} + m^{2} + n^{2})}{3} = \frac{4}{3} है।

ध्यान देने योग्य

1 तीनों अक्षों की सर्वसमिका है, चारों विकर्णों की नहीं।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक हॉल का एक कोना मूलबिंदु OO है; फ़र्श के किनारे xx- और yy-अक्षों के अनुदिश और ऊर्ध्वाधर किनारा zz-अक्ष के अनुदिश हैं; लंबाइयाँ मीटर में हैं। एक सीधी छड़ OO से बिंदु P(6,2,9)P(6, 2, 9) तक जाती है।

एक दूसरी छड़ PP से xx-अक्ष के एक बिंदु RR तक जाती है और पहली छड़ पर लंब है। RR, OO से कितनी दूर है?

प्रश्न 25 के विकल्प

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उत्तरD · 1216\frac{121}{6} मीटर

  1. R(r,0,0)R(r, 0, 0) लेने पर PRPR के दिक्-अनुपात r−6,−2,−9r - 6, -2, -9 हैं, और इसे 6,2,96, 2, 9 पर लंब होना है।

  2. 6(r−6)−4−81=06(r - 6) - 4 - 81 = 0, इसलिए 6r=1216r = 121 और OR=1216OR = \frac{121}{6} मीटर।

ध्यान देने योग्य

6 मीटर में PP के xx-निर्देशांक पर रुक गए; तब PRPR, OPOP पर लंब नहीं है।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बिंदु PP मूलबिंदु OO से 8 की दूरी पर है। रेखा OPOP, xx- और yy-अक्षों से कोण 2π3\frac{2\pi}{3} और 3π4\frac{3\pi}{4} तथा zz-अक्ष से न्यून कोण बनाती है। PP के निर्देशांक क्या हैं?

प्रश्न 26 के विकल्प

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उत्तरD · (−4,−42,4)(-4, -4\sqrt{2}, 4)

  1. l=cos⁡2π3=−12l = \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} और m=cos⁡3π4=−12m = \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}, इसलिए n2=1−14−12=14n^{2} = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}; न्यून कोण से n=12n = \frac{1}{2}।

  2. P=(8l,8m,8n)=(−4,−42,4)P = (8l, 8m, 8n) = (-4, -4\sqrt{2}, 4)।

ध्यान देने योग्य

(4,42,4)(4, 4\sqrt{2}, 4) में यह चूक गए कि 2π3\frac{2\pi}{3} और 3π4\frac{3\pi}{4} की कोसाइन ऋणात्मक हैं।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज ABCABC के शीर्ष A(2,−1,3)A(2, -1, 3), B(5,1,−2)B(5, 1, -2) और C(1,5,−8)C(1, 5, -8) हैं। AA से BCBC के मध्यबिंदु की ओर ली गई उसकी माध्यिका की दिक्-कोसाइन क्या हैं?

प्रश्न 27 के विकल्प

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उत्तरB · 19,49,−89\frac{1}{9}, \frac{4}{9}, -\frac{8}{9}

  1. BCBC का मध्यबिंदु D(5+12,1+52,−2−82)=(3,3,−5)D\left(\frac{5 + 1}{2}, \frac{1 + 5}{2}, \frac{-2 - 8}{2}\right) = (3, 3, -5) है।

  2. ADAD के दिक्-अनुपात 1,4,−81, 4, -8 हैं और लंबाई 1+16+64=9\sqrt{1 + 16 + 64} = 9: दिक्-कोसाइन 19,49,−89\frac{1}{9}, \frac{4}{9}, -\frac{8}{9}।

ध्यान देने योग्य

−19,−49,89-\frac{1}{9}, -\frac{4}{9}, \frac{8}{9} मध्यबिंदु से वापस AA की ओर है।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा xx- और zz-अक्षों से एक ही कोण θ\theta तथा yy-अक्ष से कोण β\beta बनाती है, जहाँ sin⁡2β=3sin⁡2θ\sin^{2}\beta = 3\sin^{2}\theta। cos⁡2θ\cos^{2}\theta क्या है?

प्रश्न 28 के विकल्प

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उत्तरC · 35\frac{3}{5}

  1. cos⁡2β=1−sin⁡2β=1−3(1−cos⁡2θ)=3cos⁡2θ−2\cos^{2}\beta = 1 - \sin^{2}\beta = 1 - 3(1 - \cos^{2}\theta) = 3\cos^{2}\theta - 2।

  2. दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग 1 है: 2cos⁡2θ+cos⁡2β=5cos⁡2θ−2=12\cos^{2}\theta + \cos^{2}\beta = 5\cos^{2}\theta - 2 = 1, इसलिए cos⁡2θ=35\cos^{2}\theta = \frac{3}{5}।

ध्यान देने योग्य

34\frac{3}{4} में θ\theta एक ही बार गिना, जबकि रेखा यह कोण दो अक्षों से बनाती है।

रेखा का समीकरण

31 प्रश्न

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

(5,−2,4)(5, -2, 4) से होकर 3i^+2j^−8k^3\hat{i} + 2\hat{j} - 8\hat{k} के समांतर रेखा का कार्तीय समीकरण क्या है?

प्रश्न 29 के विकल्प

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उत्तरC · x−53=y+22=z−4−8\frac{x - 5}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 4}{-8}

  1. (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1) से होकर, दिक्-अनुपात a,b,ca, b, c: x−x1a=y−y1b=z−z1c\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}।

  2. यहाँ x−53=y+22=z−4−8\frac{x - 5}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 4}{-8}।

ध्यान देने योग्य

x+5x + 5 लिखने में बिंदु के निर्देशांक गलत चिह्न के साथ लिए गए।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बिंदु (2,−1,4)(2, -1, 4) से होकर i^+j^−2k^\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} के समांतर रेखा का सदिश समीकरण क्या है?

प्रश्न 30 के विकल्प

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उत्तरB · r⃗=(2i^−j^+4k^)+λ(i^+j^−2k^)\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})

  1. a⃗\vec{a} से होकर b⃗\vec{b} के समांतर रेखा r⃗=a⃗+λb⃗\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} है।

  2. यहाँ a⃗=2i^−j^+4k^\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k} और b⃗=i^+j^−2k^\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}।

ध्यान देने योग्य

a⃗\vec{a} और b⃗\vec{b} अदल-बदलने से गलत बिंदु से, गलत दिशा में रेखा मिलती है।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मूलबिंदु और बिंदु (2,−1,3)(2, -1, 3) से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण क्या है?

प्रश्न 31 के विकल्प

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उत्तरA · r⃗=λ(2i^−j^+3k^)\vec{r} = \lambda(2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k})

  1. रेखा 0⃗\vec{0} से होकर जाती है, दिशा 2i^−j^+3k^−0⃗2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k} - \vec{0}।

  2. r⃗=0⃗+λ(2i^−j^+3k^)\vec{r} = \vec{0} + \lambda(2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k})।

ध्यान देने योग्य

r⃗=2i^−j^+3k^\vec{r} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k} में कोई प्राचल नहीं, इसलिए यह एक ही बिंदु है।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा r⃗=(2i^−j^+4k^)+λ(i^+2j^−k^)\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) का कार्तीय रूप क्या है?

प्रश्न 32 के विकल्प

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उत्तरD · x−21=y+12=z−4−1\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{-1}

  1. बिंदु (2,−1,4)(2, -1, 4) है और दिक्-अनुपात 1,2,−11, 2, -1 हैं।

  2. x−21=y+12=z−4−1\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{-1}।

ध्यान देने योग्य

बिंदु और दिशा अदल-बदल करने से 1,2,−11, 2, -1 अंशों में चले जाते हैं।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा A(2,−1,3)A(2, -1, 3) और B(4,3,−1)B(4, 3, -1) से होकर जाती है।

इनमें से कौन-से रेखा के दिक्-अनुपात हैं?

प्रश्न 33 के विकल्प

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उत्तरA · 2,4,−42, 4, -4

  1. BB के निर्देशांकों में से AA के निर्देशांक घटाइए।

  2. 4−2,3−(−1),−1−3=2,4,−44 - 2, 3 - (-1), -1 - 3 = 2, 4, -4।

ध्यान देने योग्य

2,2,−42, 2, -4 में 3−(−1)3 - (-1) को 2 लिया।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

(3,−1,2)(3, -1, 2) से होकर yy-अक्ष के समांतर रेखा को कौन-सा समीकरण-युग्म दर्शाता है?

प्रश्न 34 के विकल्प

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उत्तरC · x=3x = 3 और z=2z = 2

  1. yy-अक्ष के समांतर का अर्थ है दिक्-अनुपात 0,1,00, 1, 0: x−30=y+11=z−20\frac{x - 3}{0} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{0}।

  2. शून्य हरों का अर्थ है कि रेखा के अनुदिश xx और zz कभी नहीं बदलते: x=3x = 3 और z=2z = 2, तथा yy स्वतंत्र।

ध्यान देने योग्य

y=−1y = -1 और z=2z = 2 में yy स्थिर कर दिया, जबकि yy-अक्ष के समांतर रेखा पर यही एक निर्देशांक बदलता है।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा x−23=y+14\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4}, z=5z = 5 के दिक्-अनुपात क्या हैं?

प्रश्न 35 के विकल्प

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उत्तरD · 3,4,03, 4, 0

  1. हर बिंदु पर z=5z = 5, इसलिए रेखा के अनुदिश zz नहीं बदलता: उसका दिक्-अनुपात 0 है।

  2. बाकी दो हर हैं, इसलिए अनुपात 3,4,03, 4, 0 हैं।

ध्यान देने योग्य

5, zz का स्थिर मान है, दिक्-अनुपात नहीं।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बिंदु P(5,1,4)P(5, 1, 4) और रेखा L:x−12=y2=z−3−1L: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 3}{-1} दी गई है। MM, LL का प्राचल λ\lambda वाला बिंदु है, और FF, PP से LL पर डाले गए लंब का पाद है।

MM के निर्देशांक क्या हैं?

प्रश्न 36 के विकल्प

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उत्तरA · (1+2λ,2λ,3−λ)(1 + 2\lambda, 2\lambda, 3 - \lambda)

  1. हर भिन्न को λ\lambda के बराबर रखिए: x−1=2λx - 1 = 2\lambda, y=2λy = 2\lambda, z−3=−λz - 3 = -\lambda।

  2. इसलिए M=(1+2λ,2λ,3−λ)M = (1 + 2\lambda, 2\lambda, 3 - \lambda)।

ध्यान देने योग्य

(2+λ,2,−1+3λ)(2 + \lambda, 2, -1 + 3\lambda) में बिंदु (1,0,3)(1, 0, 3) और दिशा 2,2,−12, 2, -1 अदल-बदल गए।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

A(3,−2,1)A(3, -2, 1) और B(1,0,4)B(1, 0, 4) से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण क्या है?

प्रश्न 37 के विकल्प

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उत्तरC · r⃗=(3i^−2j^+k^)+λ(−2i^+2j^+3k^)\vec{r} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(-2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})

  1. उसकी दिशा b⃗−a⃗=(i^+4k^)−(3i^−2j^+k^)=−2i^+2j^+3k^\vec{b} - \vec{a} = (\hat{i} + 4\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} है।

  2. AA से होकर: r⃗=(3i^−2j^+k^)+λ(−2i^+2j^+3k^)\vec{r} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(-2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})।

ध्यान देने योग्य

i^+4k^\hat{i} + 4\hat{k}, BB का स्थिति सदिश है, AA से BB की दिशा नहीं।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I की हर रेखा को सूची II में उसके दिक्-अनुपातों से मिलाइए।

सूची Iसूची II
A. x−12=y+3−1=z4\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z}{4}I. 3,−2,13, -2, 1
B. r⃗=(i^−k^)+λ(3j^+k^)\vec{r} = (\hat{i} - \hat{k}) + \lambda(3\hat{j} + \hat{k})II. 2,−1,42, -1, 4
C. (1,2,0)(1, 2, 0) और (4,0,1)(4, 0, 1) से होकर रेखाIII. −2,3,1-2, 3, 1
D. 1−x2=y3=z+11\frac{1 - x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{1}IV. 0,3,10, 3, 1
प्रश्न 38 के विकल्प

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उत्तरC · A-II, B-IV, C-I, D-III

  1. A: हर, 2,−1,42, -1, 4; B: λ\lambda से गुणा होने वाला सदिश, 0,3,10, 3, 1।

  2. C: 4−1,0−2,1−0=3,−2,14 - 1, 0 - 2, 1 - 0 = 3, -2, 1; D: 1−x2=x−1−2\frac{1 - x}{2} = \frac{x - 1}{-2}, इसलिए −2,3,1-2, 3, 1।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

(3,−2,−5)(3, -2, -5) और (3,−2,6)(3, -2, 6) से होकर जाने वाली रेखा का कार्तीय समीकरण क्या है?

प्रश्न 39 के विकल्प

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उत्तरD · x−30=y+20=z+511\frac{x - 3}{0} = \frac{y + 2}{0} = \frac{z + 5}{11}

  1. दिक्-अनुपात B−A=0,0,11B - A = 0, 0, 11।

  2. इसलिए x−30=y+20=z+511\frac{x - 3}{0} = \frac{y + 2}{0} = \frac{z + 5}{11}; शून्य हर का अर्थ है पूरी रेखा पर x=3x = 3, y=−2y = -2।

ध्यान देने योग्य

बिंदुओं के निर्देशांक जोड़ने से दिशा नहीं मिलती; दिशा उनका अंतर है।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कौन-सा बिंदु रेखा x−12=y−2−1=z+13\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z + 1}{3} पर है?

प्रश्न 40 के विकल्प

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उत्तरC · (5,0,5)(5, 0, 5)

  1. रेखा पर कोई बिंदु (1+2λ,2−λ,−1+3λ)(1 + 2\lambda, 2 - \lambda, -1 + 3\lambda) है।

  2. λ=2\lambda = 2 से (5,0,5)(5, 0, 5) मिलता है; बाकी किसी एक λ\lambda में नहीं बैठते।

ध्यान देने योग्य

(2,−1,3)(2, -1, 3) दिशा है, रेखा का बिंदु नहीं।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा x−53=y+47=z−62\frac{x - 5}{3} = \frac{y + 4}{7} = \frac{z - 6}{2} का सदिश रूप क्या है?

प्रश्न 41 के विकल्प

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उत्तरB · r⃗=(5i^−4j^+6k^)+λ(3i^+7j^+2k^)\vec{r} = (5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k})

  1. रेखा (5,−4,6)(5, -4, 6) से होकर जाती है: ध्यान दीजिए y+4=y−(−4)y + 4 = y - (-4)।

  2. उसकी दिशा 3i^+7j^+2k^3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k} है।

ध्यान देने योग्य

y+4y + 4 का अर्थ y1=−4y_1 = -4 है, 4 नहीं।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कौन-सा बिंदु रेखा r⃗=(i^−j^+2k^)+λ(2i^+j^−k^)\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) पर है?

प्रश्न 42 के विकल्प

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उत्तरB · (5,1,0)(5, 1, 0)

  1. रेखा पर बिंदु (1+2λ,−1+λ,2−λ)(1 + 2\lambda, -1 + \lambda, 2 - \lambda) है।

  2. λ=2\lambda = 2 से (5,1,0)(5, 1, 0) मिलता है; बाकी हर विकल्प किसी एक निर्देशांक में विफल है।

ध्यान देने योग्य

(2,1,−1)(2, 1, -1) दिशा सदिश है, रेखा का बिंदु नहीं।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बिंदु (p,4,−3)(p, 4, -3) रेखा x−12=y−21=z+1−1\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{-1} पर है। pp क्या है?

प्रश्न 43 के विकल्प

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उत्तरB · 55

  1. yy से: 4−21=2\frac{4 - 2}{1} = 2; zz भी मेल खाता है, −3+1−1=2\frac{-3 + 1}{-1} = 2।

  2. p−12=2\frac{p - 1}{2} = 2, इसलिए p=5p = 5।

ध्यान देने योग्य

9 में सार्व अनुपात 4−21\frac{4 - 2}{1} के बजाय स्वयं y=4y = 4 लिया।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

(1,−2,3)(1, -2, 3) से होकर रेखा x−42=y+1−3=z−26\frac{x - 4}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z - 2}{6} के समांतर रेखा का कार्तीय समीकरण क्या है?

प्रश्न 44 के विकल्प

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उत्तरC · x−12=y+2−3=z−36\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-3} = \frac{z - 3}{6}

  1. समांतर रेखा के दिक्-अनुपात वही हैं, 2,−3,62, -3, 6।

  2. (1,−2,3)(1, -2, 3) से होकर: x−12=y+2−3=z−36\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-3} = \frac{z - 3}{6}।

ध्यान देने योग्य

4,−1,24, -1, 2 को दिशा मानने में दी गई रेखा का बिंदु लिया, उसकी दिशा नहीं।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा A(2,−1,3)A(2, -1, 3) और B(4,3,−1)B(4, 3, -1) से होकर जाती है।

AA से BB की दिशा में उसकी दिक्-कोसाइन क्या हैं?

प्रश्न 45 के विकल्प

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उत्तरD · 13,23,−23\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}

  1. 4+16+16=6\sqrt{4 + 16 + 16} = 6।

  2. 26,46,−46=13,23,−23\frac{2}{6}, \frac{4}{6}, -\frac{4}{6} = \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}।

ध्यान देने योग्य

15,25,−25\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, -\frac{2}{5} में 2+4+4=102 + 4 + 4 = 10 से भाग दिया, लंबाई 6 से नहीं।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा A(2,−1,3)A(2, -1, 3) और B(4,3,−1)B(4, 3, -1) से होकर जाती है।

कौन-सा बिंदु रेखा ABAB पर है?

प्रश्न 46 के विकल्प

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उत्तरD · (6,7,−5)(6, 7, -5)

  1. रेखा के बिंदु: (2+2t,−1+4t,3−4t)(2 + 2t, -1 + 4t, 3 - 4t)।

  2. t=2t = 2 से (6,7,−5)(6, 7, -5) मिलता है; बाकी हर विकल्प किसी एक निर्देशांक में विफल है।

ध्यान देने योग्य

(6,7,5)(6, 7, 5) में t=2t = 2 के लिए xx और yy सही हैं, पर zz में 4t4t घटाने के बजाय जोड़ा।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा A(2,−1,3)A(2, -1, 3) और B(4,3,−1)B(4, 3, -1) से होकर जाती है।

रेखा का कार्तीय समीकरण क्या है?

प्रश्न 47 के विकल्प

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उत्तरA · x−21=y+12=z−3−2\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{-2}

  1. A(2,−1,3)A(2, -1, 3) से होकर, अनुपात 2,4,−42, 4, -4 या, आधे करके, 1,2,−21, 2, -2।

  2. x−21=y+12=z−3−2\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{-2}।

ध्यान देने योग्य

हर 4,3,−14, 3, -1 में BB के निर्देशांकों को दिशा मान लिया।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा x−22=y+3−2=z−11\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 3}{-2} = \frac{z - 1}{1} का कौन-सा बिंदु (2,−3,1)(2, -3, 1) से 6 की दूरी पर है और उसके लिए z>1z > 1 है?

प्रश्न 48 के विकल्प

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उत्तरB · (6,−7,3)(6, -7, 3)

  1. रेखा का एक बिंदु (2+2λ,−3−2λ,1+λ)(2 + 2\lambda, -3 - 2\lambda, 1 + \lambda) है, जो (2,−3,1)(2, -3, 1) से 4+4+1 ∣λ∣=3∣λ∣\sqrt{4 + 4 + 1}\,\lvert \lambda \rvert = 3\lvert \lambda \rvert की दूरी पर है।

  2. 3∣λ∣=63\lvert \lambda \rvert = 6 से λ=±2\lambda = \pm 2, और z>1z > 1 के लिए λ=2\lambda = 2: बिंदु (6,−7,3)(6, -7, 3)।

ध्यान देने योग्य

(14,−15,7)(14, -15, 7) में λ=6\lambda = 6 लिया, पर λ\lambda की हर इकाई रेखा के अनुदिश 3 इकाई चलती है, 1 नहीं।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

A(4,−1,3)A(4, -1, 3) और B(2,3,−1)B(2, 3, -1) से होकर जाने वाली रेखा के किस बिंदु का xx-निर्देशांक 0 है?

प्रश्न 49 के विकल्प

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उत्तरA · (0,7,−5)(0, 7, -5)

  1. दिशा B−AB - A, −2,4,−4-2, 4, -4 है, इसलिए रेखा के बिंदु (4−2t,−1+4t,3−4t)(4 - 2t, -1 + 4t, 3 - 4t) हैं।

  2. 4−2t=04 - 2t = 0 से t=2t = 2: बिंदु (0,7,−5)(0, 7, -5) है।

ध्यान देने योग्य

(0,3,−1)(0, 3, -1) में केवल BB का xx-निर्देशांक 0 से बदला; वह बिंदु रेखा पर नहीं है।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. रेखा r⃗=(i^+2j^)+λ(2i^−k^)\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j}) + \lambda(2\hat{i} - \hat{k}) बिंदु (5,2,2)(5, 2, 2) से होकर जाती है।

II. r⃗=(2i^−k^)+λ(j^+3k^)\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{k}) + \lambda(\hat{j} + 3\hat{k}) का कार्तीय रूप x−20=y1=z+13\frac{x - 2}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{3} है।

प्रश्न 50 के विकल्प

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उत्तरB · केवल II

  1. I: x=1+2λ=5x = 1 + 2\lambda = 5 के लिए λ=2\lambda = 2 चाहिए, जिससे z=−2z = -2 मिलता है, 2 नहीं। गलत।

  2. II: बिंदु (2,0,−1)(2, 0, -1) है और दिक्-अनुपात 0,1,30, 1, 3 हैं। सही।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बिंदु P(5,1,4)P(5, 1, 4) और रेखा L:x−12=y2=z−3−1L: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 3}{-1} दी गई है। MM, LL का प्राचल λ\lambda वाला बिंदु है, और FF, PP से LL पर डाले गए लंब का पाद है।

λ\lambda के किस मान के लिए PMPM, LL पर लंब है?

प्रश्न 51 के विकल्प

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उत्तरB · 11

  1. PMPM के दिक्-अनुपात 2λ−4,2λ−1,−1−λ2\lambda - 4, 2\lambda - 1, -1 - \lambda हैं, और इसे 2,2,−12, 2, -1 पर लंब होना है।

  2. 2(2λ−4)+2(2λ−1)−(−1−λ)=9λ−9=02(2\lambda - 4) + 2(2\lambda - 1) - (-1 - \lambda) = 9\lambda - 9 = 0, इसलिए λ=1\lambda = 1।

ध्यान देने योग्य

9, (p⃗−a⃗)⋅b⃗(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{b} है, जिसे अभी ∣b⃗∣2=9\lvert \vec{b} \rvert^{2} = 9 से भाग देना है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बिंदु P(5,1,4)P(5, 1, 4) और रेखा L:x−12=y2=z−3−1L: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 3}{-1} दी गई है। MM, LL का प्राचल λ\lambda वाला बिंदु है, और FF, PP से LL पर डाले गए लंब का पाद है।

FF के निर्देशांक क्या हैं?

प्रश्न 52 के विकल्प

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उत्तरC · (3,2,2)(3, 2, 2)

  1. MM में λ=1\lambda = 1 रखिए: F=(1+2,2,3−1)=(3,2,2)F = (1 + 2, 2, 3 - 1) = (3, 2, 2)।

  2. जाँच: PFPF के दिक्-अनुपात −2,1,−2-2, 1, -2 हैं, और 2(−2)+2(1)−1(−2)=02(-2) + 2(1) - 1(-2) = 0।

ध्यान देने योग्य

(19,18,−6)(19, 18, -6) में λ=9\lambda = 9 रखा, जो ∣b⃗∣2\lvert \vec{b} \rvert^{2} से भाग देने से पहले का अदिश गुणनफल है।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा L:x−36=y+1−2=z3L: \frac{x - 3}{6} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z}{3} के लिए निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. LL बिंदु (−3,1,−3)(-3, 1, -3) से होकर जाती है।

II. LL का सदिश रूप r⃗=(3i^−j^)+λ(6i^−2j^+3k^)\vec{r} = (3\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(6\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) है।

III. LL, 12i^+4j^+6k^12\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k} के समांतर है।

IV. LL का वह बिंदु जिसके लिए z=6z = 6 है, (15,−5,6)(15, -5, 6) है।

प्रश्न 53 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I, II और IV

  1. λ=−1\lambda = -1 से (−3,1,−3)(-3, 1, -3) मिलता है, इसलिए I सही है; II में बिंदु (3,−1,0)(3, -1, 0) और अनुपात 6,−2,36, -2, 3 सही पढ़े गए हैं, इसलिए वह सही है।

  2. 2(6i^−2j^+3k^)=12i^−4j^+6k^2(6\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 12\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}, इसलिए III गलत है; z=3λ=6z = 3\lambda = 6 से λ=2\lambda = 2 और (15,−5,6)(15, -5, 6), इसलिए IV सही है।

ध्यान देने योग्य

IV छोड़ने में यह चूक गए कि λ=2\lambda = 2 से ठीक (15,−5,6)(15, -5, 6) मिलता है।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

(4,−2,1)(4, -2, 1) से होकर जाने वाली और निर्देशांक अक्षों से बराबर न्यून कोण बनाने वाली रेखा का कार्तीय समीकरण कौन-सा है?

प्रश्न 54 के विकल्प

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उत्तरD · x−41=y+21=z−11\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{1}

  1. बराबर न्यून कोणों से दिक्-कोसाइन 13,13,13\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, इसलिए दिक्-अनुपात 1,1,11, 1, 1 हैं।

  2. (4,−2,1)(4, -2, 1) से होकर: x−41=y+21=z−11\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{1}।

ध्यान देने योग्य

x−44=y+2−2=z−11\frac{x - 4}{4} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{1} में बिंदु के निर्देशांकों को दिशा मान लिया।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा x−21=2y+14=3−z2\frac{x - 2}{1} = \frac{2y + 1}{4} = \frac{3 - z}{2} के दिक्-अनुपात क्या हैं?

प्रश्न 55 के विकल्प

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उत्तरC · 1,2,−21, 2, -2

  1. xx, yy, zz में से हर एक का गुणांक 1 कीजिए: 2y+14=y+122\frac{2y + 1}{4} = \frac{y + \frac{1}{2}}{2} और 3−z2=z−3−2\frac{3 - z}{2} = \frac{z - 3}{-2}।

  2. तो x−21=y+122=z−3−2\frac{x - 2}{1} = \frac{y + \frac{1}{2}}{2} = \frac{z - 3}{-2}: अनुपात 1,2,−21, 2, -2।

ध्यान देने योग्य

1,4,21, 4, 2 में हर वैसे ही पढ़े, yy और zz का गुणांक 1 करने से पहले।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

(−1,2,1)(-1, 2, 1) से होकर, x−31=y+12=z−2−1\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{-1} और x2=y−41=z+11\frac{x}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 1}{1} दोनों पर लंब रेखा का सदिश समीकरण कौन-सा है?

प्रश्न 56 के विकल्प

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उत्तरA · r⃗=(−i^+2j^+k^)+λ(i^−j^−k^)\vec{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})

  1. दोनों पर लंब एक दिशा b⃗1×b⃗2=(i^+2j^−k^)×(2i^+j^+k^)=3i^−3j^−3k^\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \times (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k} है, या i^−j^−k^\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}।

  2. (−1,2,1)(-1, 2, 1) से होकर: r⃗=(−i^+2j^+k^)+λ(i^−j^−k^)\vec{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})।

ध्यान देने योग्य

i^+j^−k^\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} में सदिश गुणनफल के j^\hat{j} पद का ऋण चिह्न भूल गए।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा समीकरण वही रेखा दर्शाता है जो x−22=y−13=z+3−1\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z + 3}{-1} है?

प्रश्न 57 के विकल्प

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उत्तरB · x−6−4=y−7−6=z+52\frac{x - 6}{-4} = \frac{y - 7}{-6} = \frac{z + 5}{2}

  1. दो समीकरण एक ही रेखा देते हैं जब दिशाएँ समांतर हों और एक बिंदु उभयनिष्ठ हो: −4,−6,2=−2(2,3,−1)-4, -6, 2 = -2(2, 3, -1)।

  2. और (6,7,−5)(6, 7, -5) दी गई रेखा पर है: 6−22=7−13=−5+3−1=2\frac{6 - 2}{2} = \frac{7 - 1}{3} = \frac{-5 + 3}{-1} = 2।

ध्यान देने योग्य

x+22=y+13=z−3−1\frac{x + 2}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 3}{-1} की दिशा सही है पर वह (−2,−1,3)(-2, -1, 3) से होकर जाती है, जो रेखा पर नहीं है।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बिंदु P(5,1,4)P(5, 1, 4) और रेखा L:x−12=y2=z−3−1L: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 3}{-1} दी गई है। MM, LL का प्राचल λ\lambda वाला बिंदु है, और FF, PP से LL पर डाले गए लंब का पाद है।

LL में PP का प्रतिबिंब क्या है?

प्रश्न 58 के विकल्प

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उत्तरD · (1,3,0)(1, 3, 0)

  1. FF, PP और उसके प्रतिबिंब P′P' का मध्यबिंदु है, इसलिए P′=2F−PP' = 2F - P।

  2. P′=(6−5,4−1,4−4)=(1,3,0)P' = (6 - 5, 4 - 1, 4 - 4) = (1, 3, 0)।

ध्यान देने योग्य

(3,2,2)(3, 2, 2) पाद FF है, प्रतिबिंब तक का केवल आधा रास्ता।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा 2x−4=3y+3=6−z2x - 4 = 3y + 3 = 6 - z का सदिश समीकरण क्या है?

प्रश्न 59 के विकल्प

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उत्तरD · r⃗=(2i^−j^+6k^)+λ(3i^+2j^−6k^)\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k})

  1. गुणांक बाहर निकालिए: 2(x−2)=3(y+1)=−(z−6)2(x - 2) = 3(y + 1) = -(z - 6); 6 से भाग देने पर x−23=y+12=z−6−6\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 6}{-6}।

  2. इसलिए रेखा (2,−1,6)(2, -1, 6) से होकर दिशा 3i^+2j^−6k^3\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k} में है: r⃗=(2i^−j^+6k^)+λ(3i^+2j^−6k^)\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k})।

ध्यान देने योग्य

2i^+3j^−k^2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k} में xx, yy, zz के गुणांकों को दिशा मान लिया; दिक्-अनुपात उनके व्युत्क्रम हैं।

दो रेखाओं के बीच का कोण

26 प्रश्न

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. दिक्-अनुपात 1,2,31, 2, 3 और −2,−4,−6-2, -4, -6 वाली रेखाएँ समांतर हैं।

II. दिक्-अनुपात 1,2,31, 2, 3 और 3,0,−13, 0, -1 वाली रेखाएँ लंब हैं।

प्रश्न 60 के विकल्प

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उत्तरC · I और II दोनों

  1. I: −2,−4,−6=−2(1,2,3)-2, -4, -6 = -2(1, 2, 3), समानुपाती। सही।

  2. II: 1(3)+2(0)+3(−1)=01(3) + 2(0) + 3(-1) = 0। सही।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सी रेखा, रेखा x−21=y+32=z−1−2\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{-2} पर लंब है?

प्रश्न 61 के विकल्प

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उत्तरA · x2=y−10=z+21\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z + 2}{1}

  1. लंब रेखाओं के लिए a1a2+b1b2+c1c2=0a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0; दिए गए अनुपात 1,2,−21, 2, -2 हैं।

  2. 2,0,12, 0, 1 के लिए: 2+0−2=02 + 0 - 2 = 0; बाकी रेखाएँ 99, −4-4 और 11 देती हैं।

ध्यान देने योग्य

x+11=y2=z−3−2\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 3}{-2} के अनुपात दी गई रेखा वाले ही हैं: वह समांतर है, लंब नहीं।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दिक्-कोसाइन 27,37,67\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7} और 67,−27,37\frac{6}{7}, -\frac{2}{7}, \frac{3}{7} वाली रेखाओं के बीच के कोण की कोसाइन क्या है?

प्रश्न 62 के विकल्प

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उत्तरC · 2449\frac{24}{49}

  1. दिक्-कोसाइन के साथ cos⁡θ=∣l1l2+m1m2+n1n2∣\cos \theta = \lvert l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 \rvert: किसी से भाग नहीं देना।

  2. 12−6+1849=2449\frac{12 - 6 + 18}{49} = \frac{24}{49}।

ध्यान देने योग्य

3649\frac{36}{49} में −27-\frac{2}{7} का ऋण चिह्न छोड़ दिया।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं r⃗=(i^+k^)+λ(2i^−3j^+k^)\vec{r} = (\hat{i} + \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) और r⃗=(3j^−k^)+μ(−4i^+6j^−2k^)\vec{r} = (3\hat{j} - \hat{k}) + \mu(-4\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}) के बीच का कोण क्या है?

प्रश्न 63 के विकल्प

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उत्तरA · 00

  1. −4i^+6j^−2k^=−2(2i^−3j^+k^)-4\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k} = -2(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}): दिशाएँ समानुपाती हैं।

  2. cos⁡θ=∣−8−18−2∣1456=2828=1\cos \theta = \frac{\lvert -8 - 18 - 2 \rvert}{\sqrt{14}\sqrt{56}} = \frac{28}{28} = 1, इसलिए θ=0\theta = 0: रेखाएँ समांतर हैं।

ध्यान देने योग्य

π\pi में विपरीत दिशा सदिशों को कोण मान लिया; रेखाओं के बीच का कोण ∣cos⁡θ∣\lvert \cos \theta \rvert से आता है, इसलिए वह 0 है।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दिक्-अनुपात 2,2,12, 2, 1 और 4,1,84, 1, 8 वाली रेखाओं के बीच के कोण की कोसाइन क्या है?

प्रश्न 64 के विकल्प

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उत्तरC · 23\frac{2}{3}

  1. cos⁡θ=∣a1a2+b1b2+c1c2∣a12+b12+c12a22+b22+c22\cos \theta = \frac{\lvert a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 \rvert}{\sqrt{a_1^{2} + b_1^{2} + c_1^{2}}\sqrt{a_2^{2} + b_2^{2} + c_2^{2}}}।

  2. 8+2+83×9=1827=23\frac{8 + 2 + 8}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}।

ध्यान देने योग्य

1881\frac{18}{81} में 9×99 \times 9 से भाग दिया, पहले परिमाण 3 के स्थान पर उसका वर्ग 9 लेकर।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए दिक्-अनुपात 2,−1,32, -1, 3 और 4,k,64, k, 6 वाली रेखाएँ समांतर हैं?

प्रश्न 65 के विकल्प

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उत्तरB · −2-2

  1. समांतर रेखाओं के दिक्-अनुपात समानुपाती होते हैं: 42=k−1=63\frac{4}{2} = \frac{k}{-1} = \frac{6}{3}।

  2. k=−2k = -2।

ध्यान देने योग्य

2 रेखाओं के बीच का अनुपात है, kk नहीं।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं r⃗=(3i^+j^)+λ(i^+2j^+2k^)\vec{r} = (3\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) और r⃗=(j^−2k^)+μ(3i^+2j^+6k^)\vec{r} = (\hat{j} - 2\hat{k}) + \mu(3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) के बीच का कोण क्या है?

प्रश्न 66 के विकल्प

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उत्तरD · cos⁡−1(1921)\cos^{-1}{\left(\frac{19}{21} \right)}

  1. केवल दिशाएँ मायने रखती हैं: cos⁡θ=∣3+4+12∣3×7\cos \theta = \frac{\lvert 3 + 4 + 12 \rvert}{3 \times 7}।

  2. θ=cos⁡−1(1921)\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)।

ध्यान देने योग्य

बिंदु 3i^+j^3\hat{i} + \hat{j} और j^−2k^\hat{j} - 2\hat{k} कोण में कोई भूमिका नहीं निभाते।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए दिक्-अनुपात k,2,−1k, 2, -1 और 3,−1,43, -1, 4 वाली रेखाएँ लंब हैं?

प्रश्न 67 के विकल्प

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उत्तरD · 22

  1. लंब: 3k+2(−1)+(−1)(4)=03k + 2(-1) + (-1)(4) = 0।

  2. 3k=63k = 6, इसलिए k=2k = 2।

ध्यान देने योग्य

23\frac{2}{3} में अंतिम गुणनफल, (−1)(4)(-1)(4), छूट गया।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए रेखाएँ x−32=y+1k=z−1\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{k} = \frac{z}{-1} और x+13=y2=z−24\frac{x + 1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{4} लंब हैं?

प्रश्न 68 के विकल्प

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उत्तरB · −1-1

  1. दिक्-अनुपात 2,k,−12, k, -1 और 3,2,43, 2, 4: 6+2k−4=06 + 2k - 4 = 0।

  2. 2k=−22k = -2, इसलिए k=−1k = -1।

ध्यान देने योग्य

−5-5 में (−1)(4)(-1)(4) को +4+4 लिया।

प्रश्न 69

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं x−11=y+12=z2\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{2} और x+22=y−3−2=z−11\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 1}{1} के बीच का कोण क्या है?

प्रश्न 69 के विकल्प

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उत्तरD · π2\frac{\pi}{2}

  1. दिक्-अनुपात 1,2,21, 2, 2 और 2,−2,12, -2, 1: 1(2)+2(−2)+2(1)=01(2) + 2(-2) + 2(1) = 0।

  2. cos⁡θ=0\cos \theta = 0, इसलिए रेखाएँ लंब हैं: π2\frac{\pi}{2}।

ध्यान देने योग्य

0 के लिए दिक्-अनुपात समानुपाती होने चाहिए; उनका अदिश गुणनफल 0 है, उलटी स्थिति।

प्रश्न 70

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दिक्-अनुपात 3,−6,23, -6, 2 और 2,2,12, 2, 1 वाली रेखाओं के बीच के न्यून कोण की कोसाइन क्या है?

प्रश्न 70 के विकल्प

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उत्तरB · 421\frac{4}{21}

  1. 3(2)+(−6)(2)+2(1)=−43(2) + (-6)(2) + 2(1) = -4; लंबाइयाँ 7 और 3 हैं।

  2. न्यून कोण के लिए cos⁡θ=∣−4∣7×3=421\cos \theta = \frac{\lvert -4 \rvert}{7 \times 3} = \frac{4}{21}।

ध्यान देने योग्य

−421-\frac{4}{21} अधिक कोण का है; न्यून कोण के लिए निरपेक्ष मान लेते हैं।

प्रश्न 71

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दिक्-अनुपात 1,−2,21, -2, 2 और 4,0,34, 0, 3 वाली रेखाओं के बीच के कोण की ज्या क्या है?

प्रश्न 71 के विकल्प

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उत्तरD · 53\frac{\sqrt{5}}{3}

  1. cos⁡θ=∣4+0+6∣3×5=23\cos \theta = \frac{\lvert 4 + 0 + 6 \rvert}{3 \times 5} = \frac{2}{3}।

  2. sin⁡θ=1−49=53\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}।

ध्यान देने योग्य

33=1−23\frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} में कोसाइन का वर्ग करना भूल गए।

प्रश्न 72

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): दिक्-अनुपात 3,−1,23, -1, 2 और 1,1,−11, 1, -1 वाली रेखाएँ लंब हैं।

कारण (R): दो रेखाएँ लंब होती हैं जब उनके दिक्-अनुपात समानुपाती हों।

प्रश्न 72 के विकल्प

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उत्तरC · A सही है, लेकिन R गलत है।

  1. A: 3(1)+(−1)(1)+2(−1)=03(1) + (-1)(1) + 2(-1) = 0, इसलिए A सही है।

  2. R गलत है: समानुपाती अनुपात रेखाओं को समांतर बनाते हैं; लंब रेखाओं के लिए a1a2+b1b2+c1c2=0a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0 चाहिए।

प्रश्न 73

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

pp और qq के किन मानों के लिए रेखाएँ x−12=y+1p=z−23\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{p} = \frac{z - 2}{3} और x+3q=y−2−6=z9\frac{x + 3}{q} = \frac{y - 2}{-6} = \frac{z}{9} समांतर हैं?

प्रश्न 73 के विकल्प

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उत्तरA · p=−2,q=6p = -2, q = 6

  1. समांतर रेखाओं के दिक्-अनुपात समानुपाती होते हैं: q2=−6p=93=3\frac{q}{2} = \frac{-6}{p} = \frac{9}{3} = 3।

  2. इसलिए q=6q = 6 और p=−2p = -2।

ध्यान देने योग्य

p=−18p = -18 में −6-6 को 3 से भाग देने के बजाय गुणा किया।

प्रश्न 74

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. दिक्-अनुपात 1,2,−21, 2, -2 और 2,−2,12, -2, 1 वाली रेखाएँ लंब हैं।

II. r⃗=a⃗1+λb⃗1\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}_1 और r⃗=a⃗2+μb⃗2\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}_2 के बीच का कोण a⃗1\vec{a}_1 और a⃗2\vec{a}_2 पर निर्भर करता है।

प्रश्न 74 के विकल्प

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उत्तरD · न I, न II

  1. I: 1(2)+2(−2)+(−2)(1)=−4≠01(2) + 2(-2) + (-2)(1) = -4 \ne 0। गलत।

  2. II: कोण में केवल b⃗1\vec{b}_1 और b⃗2\vec{b}_2 आते हैं; बिंदुओं की कोई भूमिका नहीं। गलत।

प्रश्न 75

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दिक्-अनुपात a,b,ca, b, c और b−c,c−a,a−bb - c, c - a, a - b वाली रेखाओं के बीच का कोण क्या है, जहाँ a,b,ca, b, c सभी बराबर नहीं हैं?

प्रश्न 75 के विकल्प

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उत्तरD · π2\frac{\pi}{2}

  1. a(b−c)+b(c−a)+c(a−b)=ab−ac+bc−ab+ca−bc=0a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ab + ca - bc = 0।

  2. इसलिए cos⁡θ=0\cos \theta = 0 और θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}, a,b,ca, b, c कुछ भी हों।

ध्यान देने योग्य

0 के लिए दोनों अनुपात-समुच्चय समानुपाती होने चाहिए; इसके बजाय उनका अदिश गुणनफल 0 है।

प्रश्न 76

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं L1L_1, L2L_2, L3L_3 के दिक्-अनुपात क्रमशः 2,−1,22, -1, 2; 2,2,−12, 2, -1; और −1,2,2-1, 2, 2 हैं। निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. L1L_1, L2L_2 पर लंब है।

II. L1L_1, L2L_2 और L3L_3 परस्पर लंब हैं।

III. L3L_3, दिक्-अनुपात 1,−2,−21, -2, -2 वाली रेखा के समांतर है।

IV. L1L_1, दिक्-अनुपात 4,−2,−44, -2, -4 वाली रेखा के समांतर है।

प्रश्न 76 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I, II और III

  1. L1,L2L_1, L_2 के लिए: 4−2−2=04 - 2 - 2 = 0; L1,L3L_1, L_3 के लिए: −2−2+4=0-2 - 2 + 4 = 0; L2,L3L_2, L_3 के लिए: −2+4−2=0-2 + 4 - 2 = 0। इसलिए I और II सही हैं।

  2. −1,2,2=−(1,−2,−2)-1, 2, 2 = -(1, -2, -2), इसलिए III सही है; 2,−1,22, -1, 2 का दोगुना 4,−2,44, -2, 4 है, 4,−2,−44, -2, -4 नहीं, इसलिए IV गलत है।

ध्यान देने योग्य

IV एक चिह्न पर विफल है: 2,−1,22, -1, 2 का दोगुना 4,−2,44, -2, 4 है।

प्रश्न 77

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं x+13=4−y2=z6\frac{x + 1}{3} = \frac{4 - y}{2} = \frac{z}{6} और x−22=y+36=z−13\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 3}{6} = \frac{z - 1}{3} के बीच का कोण क्या है?

प्रश्न 77 के विकल्प

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उत्तरD · cos⁡−1(1249)\cos^{-1}{\left(\frac{12}{49} \right)}

  1. 4−y2=y−4−2\frac{4 - y}{2} = \frac{y - 4}{-2}, इसलिए पहली रेखा के दिक्-अनुपात 3,−2,63, -2, 6 और दूसरी के 2,6,32, 6, 3 हैं; दोनों की लंबाई 7 है।

  2. cos⁡θ=∣6−12+18∣7×7=1249\cos \theta = \frac{\lvert 6 - 12 + 18 \rvert}{7 \times 7} = \frac{12}{49}, इसलिए θ=cos⁡−11249\theta = \cos^{-1}\frac{12}{49}।

ध्यान देने योग्य

cos⁡−13649\cos^{-1}\frac{36}{49} में 4−y2\frac{4 - y}{2} का दिक्-अनुपात 2 पढ़ा; वह −2-2 है।

प्रश्न 78

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

A(1,3,−2)A(1, 3, -2) और B(3,1,−1)B(3, 1, -1) से होकर जाने वाली रेखा तथा C(−1,0,2)C(-1, 0, 2) और D(5,2,5)D(5, 2, 5) से होकर जाने वाली रेखा के बीच के कोण की कोसाइन क्या है?

प्रश्न 78 के विकल्प

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उत्तरC · 1121\frac{11}{21}

  1. दिक्-अनुपात: ABAB से 2,−2,12, -2, 1 (लंबाई 3) और CDCD से 6,2,36, 2, 3 (लंबाई 7)।

  2. cos⁡θ=∣12−4+3∣3×7=1121\cos \theta = \frac{\lvert 12 - 4 + 3 \rvert}{3 \times 7} = \frac{11}{21}।

ध्यान देने योग्य

1921\frac{19}{21} में ABAB की दिशा में 1−31 - 3 को +2+2 लिया।

प्रश्न 79

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेखा L1L_1 निर्देशांक अक्षों से बराबर न्यून कोण बनाती है, और एक रेखा L2L_2 के दिक्-अनुपात 6,−2,36, -2, 3 हैं। L1L_1 और L2L_2 के बीच के कोण की कोसाइन क्या है?

प्रश्न 79 के विकल्प

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उत्तरB · 33\frac{\sqrt{3}}{3}

  1. L1L_1 के दिक्-अनुपात 1,1,11, 1, 1 हैं, लंबाई 3\sqrt{3}; L2L_2 की लंबाई 36+4+9=7\sqrt{36 + 4 + 9} = 7 है।

  2. cos⁡θ=∣6−2+3∣73=13=33\cos \theta = \frac{\lvert 6 - 2 + 3 \rvert}{7\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}।

ध्यान देने योग्य

13\frac{1}{3} में L1L_1 की हर दिक्-कोसाइन 13\frac{1}{\sqrt{3}} के बजाय 13\frac{1}{3} ली।

प्रश्न 80

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए रेखाएँ x−1−3=y−22k=z−32\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{2k} = \frac{z - 3}{2} और x−13k=y−11=z−6−5\frac{x - 1}{3k} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 6}{-5} लंब हैं?

प्रश्न 80 के विकल्प

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उत्तरA · −107- \frac{10}{7}

  1. लंब: a1a2+b1b2+c1c2=0a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0, इसलिए −9k+2k−10=0-9k + 2k - 10 = 0।

  2. −7k=10-7k = 10: k=−107k = -\frac{10}{7}।

ध्यान देने योग्य

107\frac{10}{7} में −7k=10-7k = 10 हल करते समय चिह्न खो गया।

प्रश्न 81

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं r⃗=(i^−k^)+λ(i^+j^+2k^)\vec{r} = (\hat{i} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) और r⃗=3j^+μ(2i^−j^+k^)\vec{r} = 3\hat{j} + \mu(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) के बीच का कोण क्या है?

प्रश्न 81 के विकल्प

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उत्तरC · π3\frac{\pi}{3}

  1. केवल दिशाएँ मायने रखती हैं: (1)(2)+(1)(−1)+(2)(1)=3(1)(2) + (1)(-1) + (2)(1) = 3, और हर एक की लंबाई 6\sqrt{6} है।

  2. cos⁡θ=36=12\cos \theta = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, इसलिए θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}।

ध्यान देने योग्य

π6\frac{\pi}{6} में 12\frac{1}{2} को ज्या पढ़ा; अदिश गुणनफल कोसाइन देता है।

प्रश्न 82

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन l,m,nl, m, n, 2l+2m−3n=02l + 2m - 3n = 0 और mn+nl−3lm=0mn + nl - 3lm = 0 को संतुष्ट करती हैं। रेखाओं के बीच के कोण की कोसाइन क्या है?

प्रश्न 82 के विकल्प

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उत्तरD · 89\frac{8}{9}

  1. पहले से n=2(l+m)3n = \frac{2(l + m)}{3}; तब mn+nl=n(l+m)=3lmmn + nl = n(l + m) = 3lm से 2(l+m)2=9lm2(l + m)^{2} = 9lm, अर्थात (2l−m)(l−2m)=0(2l - m)(l - 2m) = 0।

  2. m=2lm = 2l से दिक्-अनुपात 1,2,21, 2, 2; l=2ml = 2m से 2,1,22, 1, 2।

  3. cos⁡θ=2+2+43×3=89\cos \theta = \frac{2 + 2 + 4}{3 \times 3} = \frac{8}{9}।

ध्यान देने योग्य

49\frac{4}{9} में zz-अनुपातों का गुणनफल, 2×22 \times 2, छूट गया।

प्रश्न 83

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी घन के दो मुख्य विकर्णों के बीच का न्यून कोण क्या है?

प्रश्न 83 के विकल्प

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उत्तरC · cos⁡−1(13)\cos^{-1}{\left(\frac{1}{3} \right)}

  1. भुजा aa और किनारे अक्षों के अनुदिश लेने पर दो मुख्य विकर्ण (0,0,0)(0, 0, 0) से (a,a,a)(a, a, a) तक और (a,0,0)(a, 0, 0) से (0,a,a)(0, a, a) तक हैं: दिक्-अनुपात 1,1,11, 1, 1 और −1,1,1-1, 1, 1।

  2. cos⁡θ=∣−1+1+1∣33=13\cos \theta = \frac{\lvert -1 + 1 + 1 \rvert}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{1}{3}, इसलिए θ=cos⁡−113\theta = \cos^{-1}\frac{1}{3}।

ध्यान देने योग्य

π2\frac{\pi}{2} वर्गाकार फलक के विकर्णों के लिए सही है, घन के मुख्य विकर्णों के लिए नहीं।

प्रश्न 84

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए दिक्-अनुपात 2,−1,22, -1, 2 और 1,1,k1, 1, k वाली रेखाओं के बीच का कोण π4\frac{\pi}{4} है?

प्रश्न 84 के विकल्प

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उत्तरB · 44

  1. cos⁡π4=∣2−1+2k∣32+k2=12\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\lvert 2 - 1 + 2k \rvert}{3\sqrt{2 + k^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}, इसलिए 2(1+2k)2=9(2+k2)2(1 + 2k)^{2} = 9(2 + k^{2})।

  2. 8k2+8k+2=9k2+188k^{2} + 8k + 2 = 9k^{2} + 18 से k2−8k+16=0k^{2} - 8k + 16 = 0, अर्थात (k−4)2=0(k - 4)^{2} = 0, इसलिए k=4k = 4।

ध्यान देने योग्य

−4-4, −8k-8k में चिह्न की चूक से आता है, जो समीकरण को (k+4)2=0(k + 4)^{2} = 0 बना देती है।

प्रश्न 85

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं x=2y=−zx = 2y = -z और x=y=2zx = y = 2z के बीच का कोण क्या है?

प्रश्न 85 के विकल्प

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उत्तरB · cos⁡−1(49)\cos^{-1}{\left(\frac{4}{9} \right)}

  1. हर एक को tt के बराबर रखिए: पहली रेखा x=tx = t, y=t2y = \frac{t}{2}, z=−tz = -t है, दिक्-अनुपात 1,12,−11, \frac{1}{2}, -1, या 2,1,−22, 1, -2।

  2. इसी प्रकार दूसरी के 1,1,121, 1, \frac{1}{2}, या 2,2,12, 2, 1।

  3. cos⁡θ=∣4+2−2∣3×3=49\cos \theta = \frac{\lvert 4 + 2 - 2 \rvert}{3 \times 3} = \frac{4}{9}, इसलिए θ=cos⁡−149\theta = \cos^{-1}\frac{4}{9}।

ध्यान देने योग्य

cos⁡−116\cos^{-1}\frac{1}{6} में गुणांकों 1,2,−11, 2, -1 और 1,1,21, 1, 2 को दिक्-अनुपात मान लिया; अनुपात उनके व्युत्क्रम हैं।

विषमतलीय रेखाएँ और न्यूनतम दूरी

35 प्रश्न

प्रश्न 86

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

xx-अक्ष और (0,0,3)(0, 0, 3) से होकर yy-अक्ष के समांतर रेखा के बीच न्यूनतम दूरी क्या है?

प्रश्न 86 के विकल्प

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उत्तरC · 33

  1. b⃗1×b⃗2=i^×j^=k^\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}, लंबाई 1, और a⃗2−a⃗1=3k^\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = 3\hat{k}।

  2. d=∣3k^⋅k^∣=3d = \lvert 3\hat{k} \cdot \hat{k} \rvert = 3: उभयनिष्ठ लंब zz-अक्ष के अनुदिश (0,0,0)(0, 0, 0) से (0,0,3)(0, 0, 3) तक है।

ध्यान देने योग्य

0 में मान लिया कि लंब रेखाएँ मिलती हैं; ये दोनों लंब हैं पर विषमतलीय।

प्रश्न 87

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

xx-अक्ष और (0,3,4)(0, 3, 4) से होकर उसके समांतर रेखा के बीच की दूरी क्या है?

प्रश्न 87 के विकल्प

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उत्तरB · 55

  1. रेखा का हर बिंदु (t,3,4)(t, 3, 4), xx-अक्ष के बिंदु (t,0,0)(t, 0, 0) के सबसे निकट है।

  2. यह अंतर पूरी रेखा पर 32+42=5\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 है, इसलिए दूरी 5 है।

ध्यान देने योग्य

7 में 3 और 4 जोड़े; अंतर कर्ण है, 9+16\sqrt{9 + 16}।

प्रश्न 88

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं x−21=y+12=z−43\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{3} और x−23=y+1−1=z−42\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 4}{2} के बीच न्यूनतम दूरी क्या है?

प्रश्न 88 के विकल्प

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उत्तरA · 00

  1. दोनों रेखाएँ (2,−1,4)(2, -1, 4) से होकर जाती हैं: वहाँ हर अंश 0 है।

  2. उभयनिष्ठ बिंदु वाली रेखाएँ मिलती हैं, इसलिए न्यूनतम दूरी 0 है।

ध्यान देने योग्य

14\sqrt{14}, (1,2,3)(1, 2, 3) और (3,−1,2)(3, -1, 2) के बीच की दूरी है, हरों को बिंदु मानकर।

प्रश्न 89

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाएँ r⃗=a⃗1+λb⃗\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b} और r⃗=a⃗2+μb⃗\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b} समांतर और भिन्न हैं। कौन-सा व्यंजक उनके बीच की दूरी देता है?

प्रश्न 89 के विकल्प

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उत्तरD · ∣b⃗×(a⃗2−a⃗1)∣∣b⃗∣\frac{\lvert \vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \rvert}{\lvert \vec{b} \rvert}

  1. समांतर रेखाओं के लिए b⃗×b⃗=0⃗\vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}, इसलिए विषमतलीय रेखाओं का सूत्र 0 से भाग देगा।

  2. अंतर a⃗2−a⃗1\vec{a}_2 - \vec{a}_1 का b⃗\vec{b} के आर-पार वाला भाग है: d=∣b⃗×(a⃗2−a⃗1)∣∣b⃗∣d = \frac{\lvert \vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \rvert}{\lvert \vec{b} \rvert}।

ध्यान देने योग्य

विषमतलीय रेखाओं के सूत्र के लिए b⃗1×b⃗2≠0⃗\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 \ne \vec{0} चाहिए; एक ही दिशा b⃗\vec{b} के साथ वह 00\frac{0}{0} हो जाता है।

प्रश्न 90

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अंतरिक्ष में दो रेखाएँ न समांतर हैं न प्रतिच्छेदी। उन्हें क्या कहते हैं?

प्रश्न 90 के विकल्प

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उत्तरD · विषमतलीय रेखाएँ

  1. जो रेखाएँ न मिलती हैं न समांतर हैं, वे एक तल में नहीं हो सकतीं।

  2. ऐसी रेखाएँ विषमतलीय कहलाती हैं।

ध्यान देने योग्य

लंब रेखाएँ फिर भी मिल सकती हैं, जैसे अक्ष मिलते हैं।

प्रश्न 91

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. दो विषमतलीय रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी दोनों के लंब रेखा के अनुदिश होती है।

II. अ-समांतर रेखाओं के लिए यदि (a⃗2−a⃗1)⋅(b⃗1×b⃗2)=0(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = 0, तो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

III. दो समांतर रेखाएँ विषमतलीय होती हैं।

IV. दो विषमतलीय रेखाएँ सदा एक तल में होती हैं।

प्रश्न 91 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I और II

  1. I और II सही हैं: सूत्र b⃗1×b⃗2\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 के अनुदिश मापता है, और शून्य अंश का अर्थ दूरी 0 है।

  2. III और IV गलत हैं: समांतर रेखाएँ एक तल में होती हैं, और विषमतलीय कभी नहीं।

प्रश्न 92

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

r⃗=(i^+2j^+3k^)+λ(i^−j^+2k^)\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) और r⃗=(i^+4k^)+μ(i^+j^+k^)\vec{r} = (\hat{i} + 4\hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) के बीच न्यूनतम दूरी क्या है?

प्रश्न 92 के विकल्प

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उत्तरA · 00

  1. b1⃗×b2⃗=−3i^+j^+2k^\vec{b_1} \times \vec{b_2} = -3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} और a2⃗−a1⃗=−2j^+k^\vec{a_2} - \vec{a_1} = -2\hat{j} + \hat{k}; उनका अदिश गुणनफल 00 है।

  2. इसलिए दूरी 0 है: रेखाएँ मिलती हैं, (2,1,5)(2, 1, 5) पर, जहाँ λ=μ=1\lambda = \mu = 1।

ध्यान देने योग्य

5\sqrt{5}, ∣a2⃗−a1⃗∣\lvert \vec{a_2} - \vec{a_1} \rvert, दिए गए दो बिंदुओं के बीच की दूरी है, जो आवश्यक नहीं कि न्यूनतम हो।

प्रश्न 93

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाएँ x1=y2=z3\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} और x−12=y4=z6\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} किस प्रकार स्थित हैं?

प्रश्न 93 के विकल्प

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उत्तरA · समांतर और भिन्न

  1. दिक्-अनुपात 2,4,62, 4, 6, 1,2,31, 2, 3 के दोगुने हैं, इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।

  2. (1,0,0)(1, 0, 0) दूसरी रेखा पर है पर पहली पर नहीं (11≠02\frac{1}{1} \ne \frac{0}{2}), इसलिए वे भिन्न हैं।

ध्यान देने योग्य

विषमतलीय रेखाएँ कभी समांतर नहीं होतीं; समांतर रेखाएँ सदा एक तल में होती हैं।

प्रश्न 94

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): विषमतलीय रेखाएँ किसी एक तल में नहीं होतीं।

कारण (R): अंतरिक्ष में दो रेखाएँ जो नहीं मिलतीं, अवश्य समांतर होती हैं।

प्रश्न 94 के विकल्प

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उत्तरC · A सही है, लेकिन R गलत है।

  1. A सही है: विषमतलीय का यही अर्थ है।

  2. R गलत है: विषमतलीय रेखाएँ न मिलती हैं, न समांतर होती हैं।

प्रश्न 95

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. दिक्-कोसाइन l1,m1,n1l_1, m_1, n_1 और l2,m2,n2l_2, m_2, n_2 वाली दो रेखाएँ ठीक तब लंब हैं जब l1l2+m1m2+n1n2=0l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0।

II. विषमतलीय रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी ∣(a2⃗−a1⃗)⋅(b1⃗×b2⃗)∣\lvert (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \rvert है।

प्रश्न 95 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I

  1. I: cos⁡θ=l1l2+m1m2+n1n2\cos \theta = l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2, जो 90∘90^\circ के लिए 0 है। सही।

  2. II: इसे अभी ∣b1⃗×b2⃗∣\lvert \vec{b_1} \times \vec{b_2} \rvert से भाग देना है। गलत।

प्रश्न 96

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो रेखाएँ L1:r⃗=(i^+2k^)+λ(i^+2j^−k^)L_1: \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) और L2:r⃗=(j^−k^)+μ(2i^+j^+k^)L_2: \vec{r} = (\hat{j} - \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) हैं।

b1⃗×b2⃗\vec{b_1} \times \vec{b_2} क्या है?

प्रश्न 96 के विकल्प

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उत्तरD · 3i^−3j^−3k^3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}

  1. i^(2⋅1−(−1)⋅1)−j^(1⋅1−(−1)⋅2)+k^(1⋅1−2⋅2)\hat{i}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) - \hat{j}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + \hat{k}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2)।

  2. =3i^−3j^−3k^= 3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}।

ध्यान देने योग्य

−3i^+3j^+3k^-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}, b2⃗×b1⃗\vec{b_2} \times \vec{b_1} है, उलटे क्रम में गुणनफल।

प्रश्न 97

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो रेखाएँ L1:r⃗=(i^+2k^)+λ(i^+2j^−k^)L_1: \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) और L2:r⃗=(j^−k^)+μ(2i^+j^+k^)L_2: \vec{r} = (\hat{j} - \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) हैं।

(a2⃗−a1⃗)⋅(b1⃗×b2⃗)(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) क्या है?

प्रश्न 97 के विकल्प

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उत्तरB · 33

  1. a2⃗−a1⃗=−i^+j^−3k^\vec{a_2} - \vec{a_1} = -\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}।

  2. (−1)(3)+(1)(−3)+(−3)(−3)=−3−3+9=3(-1)(3) + (1)(-3) + (-3)(-3) = -3 - 3 + 9 = 3।

ध्यान देने योग्य

15 में तीनों गुणनफल उनके चिह्नों के बिना जोड़े।

प्रश्न 98

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो रेखाएँ L1:r⃗=(i^+2k^)+λ(i^+2j^−k^)L_1: \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) और L2:r⃗=(j^−k^)+μ(2i^+j^+k^)L_2: \vec{r} = (\hat{j} - \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) हैं।

L1L_1 और L2L_2 के बीच का कोण क्या है?

प्रश्न 98 के विकल्प

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उत्तरC · π3\frac{\pi}{3}

  1. b1⃗⋅b2⃗=2+2−1=3\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = 2 + 2 - 1 = 3, और हर एक की लंबाई 6\sqrt{6} है।

  2. cos⁡θ=36=12\cos \theta = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, इसलिए θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}।

ध्यान देने योग्य

π2\frac{\pi}{2} में मान लिया कि विषमतलीय रेखाएँ लंब होती हैं; उनकी दिशाओं के बीच कोई भी कोण हो सकता है।

प्रश्न 99

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाएँ r⃗=(i^+3j^−6k^)+λ(i^−j^+2k^)\vec{r} = (\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) और r⃗=(i^−2k^)+μ(2i^+j^)\vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + \hat{j}) प्रतिच्छेद करती हैं। किस बिंदु पर?

प्रश्न 99 के विकल्प

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उत्तरB · (3,1,−2)(3, 1, -2)

  1. घटकों को बराबर रखिए: 1+λ=1+2μ1 + \lambda = 1 + 2\mu, 3−λ=μ3 - \lambda = \mu और −6+2λ=−2-6 + 2\lambda = -2।

  2. अंतिम से λ=2\lambda = 2, फिर μ=1\mu = 1, और पहला भी सही बैठता है: 3=33 = 3। बिंदु (3,1,−2)(3, 1, -2) है।

ध्यान देने योग्य

(5,2,−2)(5, 2, -2) में λ=2\lambda = 2 को दूसरी रेखा में रखा, जिसका प्राचल μ\mu है।

प्रश्न 100

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): रेखाएँ L1:r⃗=(i^+2j^)+λ(i^−j^+k^)L_1: \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) और L2:r⃗=(2i^−k^)+μ(i^+2j^)L_2: \vec{r} = (2\hat{i} - \hat{k}) + \mu(\hat{i} + 2\hat{j}) विषमतलीय हैं।

कारण (R): L1L_1 और L2L_2 के दिक्-अनुपात समानुपाती नहीं हैं।

प्रश्न 100 के विकल्प

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उत्तरB · A और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।

  1. A: (a⃗2−a⃗1)⋅(b⃗1×b⃗2)=(i^−2j^−k^)⋅(−2i^+j^+3k^)=−7≠0(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot (-2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) = -7 \ne 0, और रेखाएँ समांतर नहीं हैं, इसलिए A सही है।

  2. R सही है, पर वह केवल समांतर होना खारिज करता है; जो रेखाएँ समांतर नहीं हैं, वे फिर भी मिल सकती हैं, इसलिए R, A की व्याख्या नहीं करता।

प्रश्न 101

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बिंदु (5,1,5)(5, 1, 5) की रेखा r⃗=(i^−j^)+λ(2i^−2j^+k^)\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) से लंब दूरी क्या है?

प्रश्न 101 के विकल्प

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उत्तरB · 66

  1. p⃗−a⃗=4i^+2j^+5k^\vec{p} - \vec{a} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k} और b⃗×(p⃗−a⃗)=−12i^−6j^+12k^\vec{b} \times (\vec{p} - \vec{a}) = -12\hat{i} - 6\hat{j} + 12\hat{k}, लंबाई 18।

  2. d=18∣b⃗∣=183=6d = \frac{18}{\lvert \vec{b} \rvert} = \frac{18}{3} = 6।

ध्यान देने योग्य

18, ∣b⃗×(p⃗−a⃗)∣\lvert \vec{b} \times (\vec{p} - \vec{a}) \rvert है, ∣b⃗∣=3\lvert \vec{b} \rvert = 3 से भाग देने से पहले।

प्रश्न 102

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं x−12=y+21=z−3−1\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{-1} और x+11=y−1−1=z−22\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 2}{2} का सही वर्णन कौन-सा है?

प्रश्न 102 के विकल्प

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उत्तरA · विषमतलीय

  1. 2,1,−12, 1, -1 और 1,−1,21, -1, 2 समानुपाती नहीं हैं, इसलिए रेखाएँ समांतर नहीं हैं।

  2. (a⃗2−a⃗1)⋅(b⃗1×b⃗2)=(−2i^+3j^−k^)⋅(i^−5j^−3k^)=−14≠0(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (-2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}) = -14 \ne 0: वे मिलती भी नहीं, इसलिए विषमतलीय हैं।

ध्यान देने योग्य

जो रेखाएँ समांतर नहीं हैं, उनका मिलना आवश्यक नहीं: अंतरिक्ष में वे विषमतलीय हो सकती हैं।

प्रश्न 103

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. समांतर रेखाओं r⃗=λ(i^+j^+k^)\vec{r} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) और r⃗=2i^+μ(i^+j^+k^)\vec{r} = 2\hat{i} + \mu(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) के बीच की दूरी 263\frac{2\sqrt{6}}{3} है।

II. रेखाएँ r⃗=(2i^+k^)+λ(i^−j^)\vec{r} = (2\hat{i} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j}) और r⃗=(i^+2j^+2k^)+μ(j^+k^)\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(\hat{j} + \hat{k}), (1,1,1)(1, 1, 1) पर मिलती हैं।

प्रश्न 103 के विकल्प

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उत्तरC · I और II दोनों

  1. I: (i^+j^+k^)×2i^=2j^−2k^(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \times 2\hat{i} = 2\hat{j} - 2\hat{k}, लंबाई 222\sqrt{2}; 3\sqrt{3} से भाग देने पर 263\frac{2\sqrt{6}}{3}। सही।

  2. II: पहली रेखा पर λ=−1\lambda = -1 से (1,1,1)(1, 1, 1) और दूसरी पर μ=−1\mu = -1 से (1,1,1)(1, 1, 1) मिलता है। सही।

प्रश्न 104

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं r⃗=(2i^−j^+k^)+λ(i^+2j^−3k^)\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) और x−4−2=y−3−4=z+56\frac{x - 4}{-2} = \frac{y - 3}{-4} = \frac{z + 5}{6} का सही वर्णन कौन-सा है?

प्रश्न 104 के विकल्प

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उत्तरB · एक ही रेखा

  1. −2,−4,6=−2(1,2,−3)-2, -4, 6 = -2(1, 2, -3): रेखाएँ समांतर हैं।

  2. पहली रेखा पर λ=2\lambda = 2 से (4,3,−5)(4, 3, -5) मिलता है, जो दूसरी का बिंदु है; एक बिंदु उभयनिष्ठ होने से वे एक ही रेखा हैं।

ध्यान देने योग्य

समांतर और भिन्न रेखाओं का कोई बिंदु उभयनिष्ठ नहीं होता; यहाँ (4,3,−5)(4, 3, -5) दोनों पर है।

प्रश्न 105

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I की हर रेखा को सूची II में L:r⃗=λ(2i^+j^)L: \vec{r} = \lambda(2\hat{i} + \hat{j}) के सापेक्ष उसकी स्थिति से मिलाइए।

सूची Iसूची II
A. r⃗=k^+μ(2i^+j^)\vec{r} = \hat{k} + \mu(2\hat{i} + \hat{j})I. विषमतलीय
B. r⃗=k^+μ(i^−2j^)\vec{r} = \hat{k} + \mu(\hat{i} - 2\hat{j})II. एक ही रेखा
C. r⃗=k^+μ(2i^+j^−k^)\vec{r} = \hat{k} + \mu(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})III. समांतर और भिन्न
D. r⃗=(4i^+2j^)+μ(−2i^−j^)\vec{r} = (4\hat{i} + 2\hat{j}) + \mu(-2\hat{i} - \hat{j})IV. एक बिंदु पर प्रतिच्छेदी
प्रश्न 105 के विकल्प

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उत्तरD · A-III, B-I, C-IV, D-II

  1. A की दिशा LL वाली है, और (0,0,1)(0, 0, 1), LL पर नहीं है: समांतर और भिन्न। D की दिशा −(2i^+j^)-(2\hat{i} + \hat{j}) है और वह (4,2,0)(4, 2, 0) से होकर जाती है, जो LL का बिंदु है: एक ही रेखा।

  2. B और C, LL के समांतर नहीं हैं। a⃗2−a⃗1=k^\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{k} के साथ k^⋅(b⃗1×b⃗2)\hat{k} \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2), B के लिए −5-5 है, इसलिए B विषमतलीय है, और C के लिए 0, जो LL से (2,1,0)(2, 1, 0) पर मिलती है।

प्रश्न 106

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

r⃗=(i^+2j^+3k^)+λ(i^−j^+k^)\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) और r⃗=(2i^−j^−k^)+μ(2i^+j^+2k^)\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) के बीच न्यूनतम दूरी क्या है?

प्रश्न 106 के विकल्प

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उत्तरB · 522\frac{5 \sqrt{2}}{2}

  1. b⃗1×b⃗2=−3i^+3k^\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = -3\hat{i} + 3\hat{k}, परिमाण 323 \sqrt{2}; a⃗2−a⃗1=i^−3j^−4k^\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}।

  2. d=∣(a⃗2−a⃗1)⋅(b⃗1×b⃗2)∣∣b⃗1×b⃗2∣=1532=522d = \frac{\lvert (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \rvert}{\lvert \vec{b}_1 \times \vec{b}_2 \rvert} = \frac{15}{3 \sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}।

ध्यान देने योग्य

1515 केवल अंश है; उसे अभी ∣b⃗1×b⃗2∣\lvert \vec{b}_1 \times \vec{b}_2 \rvert से भाग देना है।

प्रश्न 107

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समांतर रेखाओं r⃗=(i^+2j^−4k^)+λ(2i^+3j^+6k^)\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}) और r⃗=(3i^+3j^−5k^)+μ(2i^+3j^+6k^)\vec{r} = (3\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}) के बीच की दूरी क्या है?

प्रश्न 107 के विकल्प

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उत्तरB · 2937\frac{\sqrt{293}}{7}

  1. a⃗2−a⃗1=2i^+j^−k^\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} और b⃗×(a⃗2−a⃗1)=−9i^+14j^−4k^\vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = -9\hat{i} + 14\hat{j} - 4\hat{k}।

  2. d=∣b⃗×(a⃗2−a⃗1)∣∣b⃗∣=2937=2937d = \frac{\lvert \vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \rvert}{\lvert \vec{b} \rvert} = \frac{\sqrt{293}}{7} = \frac{\sqrt{293}}{7}।

ध्यान देने योग्य

6\sqrt{6} दिए गए दो बिंदुओं के बीच की दूरी है, जो आवश्यक नहीं कि सबसे निकट युग्म हो।

प्रश्न 108

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): रेखाएँ r⃗=i^+λ(i^+j^)\vec{r} = \hat{i} + \lambda(\hat{i} + \hat{j}) और r⃗=j^+μ(i^+k^)\vec{r} = \hat{j} + \mu(\hat{i} + \hat{k}) प्रतिच्छेद करती हैं।

कारण (R): दो रेखाएँ ठीक तब प्रतिच्छेद करती हैं जब उनके बीच न्यूनतम दूरी 0 हो।

प्रश्न 108 के विकल्प

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उत्तरD · A गलत है, लेकिन R सही है।

  1. A गलत है: (a⃗2−a⃗1)⋅(b⃗1×b⃗2)=(−i^+j^)⋅(i^−j^−k^)=−2≠0(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (-\hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = -2 \ne 0, इसलिए दूरी 0 नहीं।

  2. R अ-समांतर रेखाओं के लिए सही है, जो ये हैं।

प्रश्न 109

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समांतर रेखाओं r⃗=λ(i^+2j^+2k^)\vec{r} = \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) और r⃗=3i^+μ(i^+2j^+2k^)\vec{r} = 3\hat{i} + \mu(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) के बीच की दूरी क्या है?

प्रश्न 109 के विकल्प

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उत्तरB · 222 \sqrt{2}

  1. b⃗×(a2⃗−a1⃗)=6j^−6k^\vec{b} \times (\vec{a_2} - \vec{a_1}) = 6\hat{j} - 6\hat{k}, लंबाई 626\sqrt{2}; ∣b⃗∣=3\lvert \vec{b} \rvert = 3।

  2. d=623=22d = \frac{6\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2}।

ध्यान देने योग्य

3 दिए गए दो बिंदुओं के बीच की दूरी है, xx-अक्ष के अनुदिश, रेखाओं के आर-पार नहीं।

प्रश्न 110

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

r⃗=(i^+j^)+λ(i^+k^)\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + \hat{k}) और r⃗=(3j^+5k^)+μ(j^+k^)\vec{r} = (3\hat{j} + 5\hat{k}) + \mu(\hat{j} + \hat{k}) के बीच न्यूनतम दूरी क्या है?

प्रश्न 110 के विकल्प

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उत्तरC · 433\frac{4 \sqrt{3}}{3}

  1. b1⃗×b2⃗=−i^−j^+k^\vec{b_1} \times \vec{b_2} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}, लंबाई 3\sqrt{3}, और a2⃗−a1⃗=−i^+2j^+5k^\vec{a_2} - \vec{a_1} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}।

  2. d=∣1−2+5∣3=43d = \frac{\lvert 1 - 2 + 5 \rvert}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}।

ध्यान देने योग्य

4 में अदिश त्रिक गुणनफल पर रुक गए और ∣b1⃗×b2⃗∣\lvert \vec{b_1} \times \vec{b_2} \rvert से भाग नहीं दिया।

प्रश्न 111

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समांतर रेखाओं x1=y2=z2\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2} और x−31=y−32=z−32\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 3}{2} के बीच की दूरी क्या है?

प्रश्न 111 के विकल्प

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उत्तरB · 2\sqrt{2}

  1. b⃗×(a2⃗−a1⃗)=3j^−3k^\vec{b} \times (\vec{a_2} - \vec{a_1}) = 3\hat{j} - 3\hat{k}, लंबाई 323\sqrt{2}, और ∣b⃗∣=3\lvert \vec{b} \rvert = 3।

  2. d=323=2d = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}।

ध्यान देने योग्य

333\sqrt{3} दिए गए दो बिंदुओं, (0,0,0)(0, 0, 0) और (3,3,3)(3, 3, 3), के बीच की दूरी है।

प्रश्न 112

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं x1=y−11=z−21\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1} और x−11=y−1=z2\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2} के बीच न्यूनतम दूरी क्या है?

प्रश्न 112 के विकल्प

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उत्तरC · 4147\frac{4 \sqrt{14}}{7}

  1. बिंदु (0,1,2)(0, 1, 2), (1,0,0)(1, 0, 0); दिशाएँ 1,1,11, 1, 1 और 1,−1,21, -1, 2; b1⃗×b2⃗=3i^−j^−2k^\vec{b_1} \times \vec{b_2} = 3\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}।

  2. (a2⃗−a1⃗)⋅(b1⃗×b2⃗)=3+1+4=8(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = 3 + 1 + 4 = 8, इसलिए d=814d = \frac{8}{\sqrt{14}}।

ध्यान देने योग्य

47=814\frac{4}{7} = \frac{8}{14} में लंबाई के बजाय ∣b1⃗×b2⃗∣2\lvert \vec{b_1} \times \vec{b_2} \rvert^{2} से भाग दिया।

प्रश्न 113

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो रेखाएँ L1:r⃗=(i^+2k^)+λ(i^+2j^−k^)L_1: \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) और L2:r⃗=(j^−k^)+μ(2i^+j^+k^)L_2: \vec{r} = (\hat{j} - \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) हैं।

L1L_1 और L2L_2 के बीच न्यूनतम दूरी क्या है?

प्रश्न 113 के विकल्प

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उत्तरB · 33\frac{\sqrt{3}}{3}

  1. ∣b1⃗×b2⃗∣=9+9+9=33\lvert \vec{b_1} \times \vec{b_2} \rvert = \sqrt{9 + 9 + 9} = 3\sqrt{3}।

  2. d=333=13d = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}।

ध्यान देने योग्य

19\frac{1}{9} में ∣b1⃗×b2⃗∣2=27\lvert \vec{b_1} \times \vec{b_2} \rvert^{2} = 27 से भाग दिया, उसकी लंबाई से नहीं।

प्रश्न 114

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

kk के किस मान के लिए रेखाएँ x−21=y+12=z−3−1\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{-1} और x−42=y−k1=z−11\frac{x - 4}{2} = \frac{y - k}{1} = \frac{z - 1}{1} प्रतिच्छेद करती हैं?

प्रश्न 114 के विकल्प

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उत्तरC · 33

  1. रेखाएँ समांतर नहीं हैं, इसलिए वे ठीक तब मिलती हैं जब (a⃗2−a⃗1)⋅(b⃗1×b⃗2)=0(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = 0।

  2. a⃗2−a⃗1=2i^+(k+1)j^−2k^\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = 2\hat{i} + (k + 1)\hat{j} - 2\hat{k} और b⃗1×b⃗2=3i^−3j^−3k^\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = 3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}।

  3. 6−3(k+1)+6=9−3k=06 - 3(k + 1) + 6 = 9 - 3k = 0, इसलिए k=3k = 3।

ध्यान देने योग्य

−3-3 में y−ky - k को ऐसे पढ़ा मानो बिंदु का yy-निर्देशांक −k-k हो।

प्रश्न 115

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

L1:r⃗=(i^−k^)+λ(2i^+2j^+k^)L_1: \vec{r} = (\hat{i} - \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) और L2:r⃗=(2j^+3k^)+μ(i^−2j^+2k^)L_2: \vec{r} = (2\hat{j} + 3\hat{k}) + \mu(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) के लिए निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. L1L_1 और L2L_2 लंब हैं।

II. L1L_1 और L2L_2 प्रतिच्छेद करती हैं।

III. L1L_1 और L2L_2 के बीच न्यूनतम दूरी 4 है।

IV. b⃗1×b⃗2=6i^+3j^−6k^\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}।

प्रश्न 115 के विकल्प

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उत्तरA · केवल I और III

  1. b⃗1⋅b⃗2=2−4+2=0\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = 2 - 4 + 2 = 0, इसलिए I सही है; b⃗1×b⃗2=6i^−3j^−6k^\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = 6\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}, इसलिए IV गलत है।

  2. (a⃗2−a⃗1)⋅(b⃗1×b⃗2)=(−i^+2j^+4k^)⋅(6i^−3j^−6k^)=−36≠0(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (-\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (6\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}) = -36 \ne 0: रेखाएँ नहीं मिलतीं, इसलिए II गलत है, और d=369=4d = \frac{36}{9} = 4, इसलिए III सही है।

ध्यान देने योग्य

लंब रेखाओं का मिलना आवश्यक नहीं: II गलत है, जैसा दूरी 4 दिखाती है।

प्रश्न 116

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं r⃗=(i^+2j^−k^)+λ(2i^−j^+2k^)\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) और r⃗=(3i^−j^+k^)+μ(−4i^+2j^−4k^)\vec{r} = (3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \mu(-4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) के बीच की दूरी क्या है?

प्रश्न 116 के विकल्प

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उत्तरB · 423\frac{4 \sqrt{2}}{3}

  1. −4i^+2j^−4k^=−2(2i^−j^+2k^)-4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k} = -2(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}): रेखाएँ समांतर हैं, इसलिए एक ही दिशा b⃗=2i^−j^+2k^\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} लीजिए, ∣b⃗∣=3\lvert \vec{b} \rvert = 3।

  2. b⃗×(a⃗2−a⃗1)=(2i^−j^+2k^)×(2i^−3j^+2k^)=4i^−4k^\vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \times (2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) = 4\hat{i} - 4\hat{k}, लंबाई 424\sqrt{2}।

  3. d=423d = \frac{4\sqrt{2}}{3}।

ध्यान देने योग्य

823\frac{8\sqrt{2}}{3} में −4i^+2j^−4k^-4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k} से सदिश गुणनफल लिया पर 2i^−j^+2k^2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} की लंबाई से भाग दिया।

प्रश्न 117

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

A(1,−1,0)A(1, -1, 0) और B(2,1,2)B(2, 1, 2) से होकर जाने वाली रेखा तथा C(3,0,1)C(3, 0, 1) और D(5,1,−1)D(5, 1, -1) से होकर जाने वाली रेखा के बीच न्यूनतम दूरी क्या है?

प्रश्न 117 के विकल्प

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उत्तरB · 11

  1. b⃗1=AB→=i^+2j^+2k^\vec{b}_1 = \overrightarrow{AB} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} और b⃗2=CD→=2i^+j^−2k^\vec{b}_2 = \overrightarrow{CD} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}; b⃗1×b⃗2=−6i^+6j^−3k^\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = -6\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}, लंबाई 9।

  2. AC→=2i^+j^+k^\overrightarrow{AC} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, इसलिए d=∣−12+6−3∣9=1d = \frac{\lvert -12 + 6 - 3 \rvert}{9} = 1।

ध्यान देने योग्य

9 केवल अंश है; उसे अभी ∣b⃗1×b⃗2∣\lvert \vec{b}_1 \times \vec{b}_2 \rvert से भाग देना है।

प्रश्न 118

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखा r⃗=(3i^−j^+2k^)+λ(2i^+j^−k^)\vec{r} = (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) और zz-अक्ष के बीच न्यूनतम दूरी क्या है?

प्रश्न 118 के विकल्प

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उत्तरB · 5\sqrt{5}

  1. zz-अक्ष r⃗=μk^\vec{r} = \mu\hat{k} है, इसलिए b⃗1×b⃗2=(2i^+j^−k^)×k^=i^−2j^\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \times \hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j}, लंबाई 5\sqrt{5}।

  2. a⃗2−a⃗1=−3i^+j^−2k^\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}, इसलिए d=∣−3−2∣5=55=5d = \frac{\lvert -3 - 2 \rvert}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}।

ध्यान देने योग्य

5 केवल अंश है; 5\sqrt{5} से भाग देने पर 5\sqrt{5} मिलता है।

प्रश्न 119

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं r⃗=i^+λ(2i^+2j^+k^)\vec{r} = \hat{i} + \lambda(2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) और r⃗=(i^+pk^)+μ(2i^−j^−2k^)\vec{r} = (\hat{i} + p\hat{k}) + \mu(2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) के बीच न्यूनतम दूरी 2 है, जहाँ p>0p > 0। pp क्या है?

प्रश्न 119 के विकल्प

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उत्तरC · 33

  1. b⃗1×b⃗2=−3i^+6j^−6k^\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = -3\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}, लंबाई 9, और a⃗2−a⃗1=pk^\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = p\hat{k}।

  2. d=∣−6p∣9=2p3=2d = \frac{\lvert -6p \rvert}{9} = \frac{2p}{3} = 2, इसलिए p=3p = 3।

ध्यान देने योग्य

13\frac{1}{3} में अंश 6p6p को 9 से भाग दिए बिना 2 के बराबर रखा।

प्रश्न 120

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाओं r⃗=(1+t)i^+(3−2t)j^+2tk^\vec{r} = (1 + t)\hat{i} + (3 - 2t)\hat{j} + 2t\hat{k} और r⃗=(2s−1)i^+2sj^+(s+2)k^\vec{r} = (2s - 1)\hat{i} + 2s\hat{j} + (s + 2)\hat{k} के बीच न्यूनतम दूरी क्या है?

प्रश्न 120 के विकल्प

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उत्तरC · 53\frac{5}{3}

  1. हर एक को बिंदु और दिशा में बाँटिए: r⃗=(i^+3j^)+t(i^−2j^+2k^)\vec{r} = (\hat{i} + 3\hat{j}) + t(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) और r⃗=(−i^+2k^)+s(2i^+2j^+k^)\vec{r} = (-\hat{i} + 2\hat{k}) + s(2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})।

  2. b⃗1×b⃗2=−6i^+3j^+6k^\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = -6\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}, लंबाई 9, और a⃗2−a⃗1=−2i^−3j^+2k^\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}।

  3. d=∣12−9+12∣9=159=53d = \frac{\lvert 12 - 9 + 12 \rvert}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}।

ध्यान देने योग्य

57\frac{5}{7} में अचर भागों को दिशाएँ और प्राचलों के गुणांकों को बिंदु मान लिया।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।