$k$ के किस मान के लिए दिक्-अनुपात $2, -1, 2$ और $1, 1, k$ वाली रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है?

हल

1. 01

   $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\lvert 2 - 1 + 2k \rvert}{3\sqrt{2 + k^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, इसलिए $2(1 + 2k)^{2} = 9(2 + k^{2})$।

2. 02

   $8k^{2} + 8k + 2 = 9k^{2} + 18$ से $k^{2} - 8k + 16 = 0$, अर्थात $(k - 4)^{2} = 0$, इसलिए $k = 4$।