CUET गणित के लिए सप्रतिबंध प्रायिकता और बेज़ प्रमेय

Q: सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है?

B के घटित होने पर A की प्रायिकता P(A B) = (P(A B))/(P(B)), P(B) > 0. B का ज्ञान प्रतिदर्श समष्टि को B तक सीमित कर देता है। उसके भीतर सामान्य नियम लागू रहते हैं: P(A' B) = 1 - P(A B) ।

Q: दो घटनाओं के साथ घटने की प्रायिकता कैसे निकालते हैं?

P(A B) = P(A) P(B A) । बिना प्रतिस्थापन चयन में दूसरी प्रायिकता पहले चयन से बदली स्थिति के बाद निकाली जाती है।

Q: दो घटनाएँ कब स्वतंत्र होती हैं?

जब एक को जानने से दूसरी का अवसर न बदले: P(A B) = P(A) P(B), या P(A B) = P(A) । स्वतंत्र घटनाओं में कम से कम एक के घटने की प्रायिकता 1 - P(A')P(B') है।

Q: कई स्थितियों के माध्यम से प्रायिकता कैसे निकालते हैं?

यदि E₁, E₂,, Eₙ परस्पर अपवर्जी हैं और मिलकर प्रतिदर्श समष्टि को ढकती हैं, तो P(A) = P(E₁)P(A E₁) + P(E₂)P(A E₂) + + P(Eₙ)P(A Eₙ).

Q: बेज़ प्रमेय क्या निकालता है?

परिणाम दिए होने पर किसी स्थिति की प्रायिकता: P(Eᵢ A) = (P(Eᵢ)P(A Eᵢ))/(Σⱼ P(Eⱼ)P(A Eⱼ)). हर A की संपूर्ण प्रायिकता है।

सीखने में लगभग 5 मिनट · 125 प्रश्न

CUET गणित का Section A सरल प्रायिकता पूछता है; Section B1 पूछता है कि कुछ पहले से ज्ञात हो तो क्या बदलता है। सप्रतिबंध प्रायिकता, स्वतंत्र घटनाएँ, संपूर्ण प्रायिकता और बेज़ प्रमेय से हर प्रश्नपत्र में तीन-चार प्रश्न आते हैं, और हर एक एक छोटे सूत्र पर चलता है। सप्रतिबंध प्रायिकता और गुणन प्रमेय से लेकर स्वतंत्र घटनाओं, संपूर्ण प्रायिकता प्रमेय और बेज़ प्रमेय तक, हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र: Section B1: Mathematics

इस पृष्ठ पर · 11 भाग

01कुछ ज्ञात होने पर प्रायिकता
02सप्रतिबंध प्रायिकता
03गुणन प्रमेय
04स्वतंत्र घटनाएँ
05संपूर्ण प्रायिकता प्रमेय
06बेज़ प्रमेय
07CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
08परीक्षा के लिए शॉर्टकट
09आम भूलें
10त्वरित पुनरावृत्ति
11अपनी समझ जाँचें

कुछ ज्ञात होने पर प्रायिकता

एक कॉलेज में 60% विद्यार्थी बस से आते हैं और 40% पैदल। बस वालों में से दसवाँ भाग और पैदल वालों में से बीसवाँ भाग देर से पहुँचता है। एक विद्यार्थी देर से आता है। उसके बस से आने की कितनी संभावना है? विद्यार्थी के देर से आने का ज्ञान संभावनाएँ बदल देता है, और यह अध्याय ठीक इसी के बारे में है: कुछ ज्ञात होने के बाद प्रायिकता।

सप्रतिबंध प्रायिकता

सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है?

$B$ के घटित होने पर $A$ की प्रायिकता

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0.

$B$ का ज्ञान प्रतिदर्श समष्टि को $B$ तक सीमित कर देता है। उसके भीतर सामान्य नियम लागू रहते हैं: $P(A' \mid B) = 1 - P(A \mid B)$ ।

उदाहरण 1 · शर्त के भीतर गिनती

एक पासा फेंका जाता है। दिया गया है कि संख्या विषम है, उसके अभाज्य होने की प्रायिकता क्या है?

विषम परिणाम $1, 3, 5$ हैं।
इनमें 3 और 5 अभाज्य हैं।

उत्तर

\frac{2}{3}

सावधान

$P(A \mid B)$ और $P(B \mid A)$ एक ही $P(A \cap B)$ को भिन्न संख्याओं से भाग देते हैं। ध्यान से पढ़िए कि कौन-सी घटना दी गई है।

गुणन प्रमेय

दो घटनाओं के साथ घटने की प्रायिकता कैसे निकालते हैं?

$P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A)$ । बिना प्रतिस्थापन चयन में दूसरी प्रायिकता पहले चयन से बदली स्थिति के बाद निकाली जाती है।

उदाहरण 2 · दो बादशाह

52 पत्तों की गड्डी से बिना प्रतिस्थापन दो पत्ते निकाले जाते हैं। दोनों के बादशाह होने की प्रायिकता क्या है?

माना $K_1$ , $K_2$ पहले और दूसरे पत्ते के बादशाह होने की घटनाएँ हैं: $P(K_1) = \frac{4}{52}$ ; फिर 51 पत्तों में 3 बादशाह बचते हैं।
$\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{221}$ ।

उत्तर

\frac{1}{221}

स्वतंत्र घटनाएँ

दो घटनाएँ कब स्वतंत्र होती हैं?

जब एक को जानने से दूसरी का अवसर न बदले: $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ , या $P(A \mid B) = P(A)$ । स्वतंत्र घटनाओं में कम से कम एक के घटने की प्रायिकता $1 - P(A')P(B')$ है।

मुख्य बात

परस्पर अपवर्जी और स्वतंत्र विपरीत हैं, साथी नहीं। यदि $A$ और $B$ साथ नहीं घट सकतीं और दोनों की प्रायिकता धनात्मक है, तो एक को जानना दूसरी को असंभव कर देता है, इसलिए वे स्वतंत्र नहीं।

संपूर्ण प्रायिकता प्रमेय

कई स्थितियों के माध्यम से प्रायिकता कैसे निकालते हैं?

यदि $E_1, E_2, \ldots, E_n$ परस्पर अपवर्जी हैं और मिलकर प्रतिदर्श समष्टि को ढकती हैं, तो

P(A) = P(E_1)P(A \mid E_1) + P(E_2)P(A \mid E_2) + \cdots + P(E_n)P(A \mid E_n).

उदाहरण 3 · देर से आने वाले विद्यार्थी

60% बस से (10% देर से) और 40% पैदल (5% देर से) के साथ, कितने भाग विद्यार्थी देर से आते हैं?

$0.6 \times 0.1 + 0.4 \times 0.05$ ।
$0.06 + 0.02 = 0.08$ ।

उत्तर

बेज़ प्रमेय

बेज़ प्रमेय क्या निकालता है?

परिणाम दिए होने पर किसी स्थिति की प्रायिकता:

P(E_i \mid A) = \frac{P(E_i)P(A \mid E_i)}{\sum_j P(E_j)P(A \mid E_j)}.

हर $A$ की संपूर्ण प्रायिकता है।

उदाहरण 4 · देर से आया विद्यार्थी

एक विद्यार्थी देर से आता है। उसके बस से आने की प्रायिकता क्या है?

माना $B$ बस से आना और $L$ देर से आना है: $P(B \cap L) = 0.06$ और $P(L) = 0.08$ ।
$\frac{0.06}{0.08} = \frac{3}{4}$ ।

उत्तर

\frac{3}{4}

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

सप्रतिबंध प्रायिकता: दी गई प्रायिकताओं से, या किसी शर्त के भीतर पासों, सिक्कों और पत्तों की गिनती से।
गुणन प्रमेय: बिना प्रतिस्थापन, एक के बाद एक चयन।
स्वतंत्रता: उसकी जाँच, या "दोनों", "कोई नहीं" और "कम से कम एक" के लिए उसका उपयोग।
संपूर्ण प्रायिकता और बेज़: गेंदों के थैले, मशीनें और उनके दोष, परीक्षण और उनकी त्रुटियाँ।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

$B$ दिया हो: केवल $B$ के भीतर गिनिए।
स्वतंत्र घटनाओं में कम से कम एक: $1 -$ सभी विफलताओं की प्रायिकताओं का गुणनफल।
बेज़: परिणाम की संपूर्ण प्रायिकता में उस स्थिति का हिस्सा।
दुर्लभ स्थिति और अपूर्ण परीक्षण: अधिकतर धनात्मक परिणाम झूठी चेतावनी होते हैं।

आम भूलें

$P(A \mid B)$ और $P(B \mid A)$ को अदल-बदल देना।
प्रश्न बिना प्रतिस्थापन चयन का हो तब पत्ता या गेंद वापस रख देना।
परस्पर अपवर्जी घटनाओं को स्वतंत्र मानना।
स्थितियों को उनकी प्रायिकताओं से भारित करने के बजाय उनका साधारण औसत लेना।

त्वरित पुनरावृत्ति

सप्रतिबंध

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
$P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)$

स्वतंत्र

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$
कम से कम एक: $1 - P(A')P(B')$

बेज़

$P(A) = \sum P(E_i)P(A \mid E_i)$
$P(E_i \mid A) = \frac{P(E_i)P(A \mid E_i)}{P(A)}$

Section B1 के सभी सूत्र एक पेज पर: Mathematics (B1) का सूत्र पत्रक।

आगे · 10त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

125 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

सप्रतिबंध प्रायिकताप्र1 / 125प्र1

सप्रतिबंध प्रायिकता

29 प्रश्न

प्रश्न 1

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = \frac{3}{5}$ , $P(B) = \frac{1}{2}$ और $P(A \cap B) = \frac{3}{10}$ । $P(A \mid B)$ क्या है?

\frac{3}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{3}{5}$

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , और $P(A' \mid B) = 1 - P(A \mid B)$ ।
$P(A \mid B) = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{5}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{10}$ स्वयं $P(A \cap B)$ है, $P(B)$ से भाग देने से पहले।

प्रश्न 2

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो पासे फेंके जाते हैं। दिया गया है कि योग 8 है, दोनों पर एक ही संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{5}$

योग 8: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ , 5 परिणाम।
केवल $(4, 4)$ जोड़ा है: $\frac{1}{5}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{6}$ बिना शर्त जोड़े का अवसर है; योग 8 ज्ञात होने से परिणाम 5 रह जाते हैं।

प्रश्न 3

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = \frac{7}{13}$ , $P(B) = \frac{9}{13}$ और $P(A \cap B) = \frac{4}{13}$ । $P(B \mid A)$ क्या है?

\frac{4}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{4}{7}$

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , और $P(A' \mid B) = 1 - P(A \mid B)$ ।
$P(B \mid A) = \frac{\frac{4}{13}}{\frac{7}{13}} = \frac{4}{7}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{4}{9}$ , $P(A \mid B)$ है; $A$ दिया हो तो $P(A)$ से भाग दीजिए।

प्रश्न 4

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य पासे फेंके जाते हैं। $E$ : योग 9 है। $F$ : कम से कम एक पासे पर 5 है।

$P(E)$ क्या है?

\frac{1}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{9}$

योग 9: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ ।
$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{12}$ में $(4, 5)$ और $(5, 4)$ को एक परिणाम गिना, और $(3, 6)$ , $(6, 3)$ को भी एक।

प्रश्न 5

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक परिवार में दो बच्चे हैं। दिया गया है कि कम से कम एक लड़का है, दोनों के लड़के होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{3}$

कम से कम एक लड़का: $BB, BG, GB$ , 3 समसंभाव्य परिणाम।
केवल $BB$ में दो लड़के हैं: $\frac{1}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2}$ में इसे दूसरे बच्चे के लड़का होने का अवसर माना, पर "कम से कम एक" यह नहीं बताता कि कौन-सा बच्चा।

प्रश्न 6

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक न्याय्य पासा फेंका जाता है। दिया गया है कि संख्या विषम है, उसके अभाज्य होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{3}$

विषम: 1, 3, 5।
इनमें 3 और 5 अभाज्य हैं (1 नहीं): $\frac{2}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

1 में 1 को अभाज्य गिना; अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं।

प्रश्न 7

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A \mid C) = 0.5$ , $P(B \mid C) = 0.4$ और $P(A \cap B \mid C) = 0.2$ । $P(A \cup B \mid C)$ क्या है?

0.3

सही उत्तरआपका उत्तर

0.7

सही उत्तरआपका उत्तर

0.8

सही उत्तरआपका उत्तर

0.9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.7$

$C$ दिया हो तो योग नियम सामान्य रूप से लागू होता है: $P(A \cup B \mid C) = P(A \mid C) + P(B \mid C) - P(A \cap B \mid C)$ ।
$0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$ ।

ध्यान देने योग्य

0.9 में दोनों सप्रतिबंध प्रायिकताएँ जोड़ दीं और इस तरह साझा भाग $A \cap B$ दो बार गिना।

प्रश्न 8

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो पासे फेंके जाते हैं। दिया गया है कि उन पर भिन्न संख्याएँ हैं, योग 6 होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{2}{15}$

भिन्न संख्याएँ: $36 - 6 = 30$ परिणाम।
भिन्न संख्याओं के साथ योग 6: $(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2)$ , इसलिए $\frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{36}$ में शर्त अनदेखी की: $(3, 3)$ को रखा और सभी 36 परिणामों से भाग दिया।

प्रश्न 9

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

60 विद्यार्थियों के एक समूह में 36 लड़कियाँ और 24 लड़के हैं। लड़कियों में से 20 भौतिकी पढ़ती हैं; लड़कों में से 8 भौतिकी पढ़ते हैं। समूह से यादृच्छिक रूप से एक विद्यार्थी चुना जाता है।

दिया गया है कि विद्यार्थी लड़की है, उसके भौतिकी पढ़ने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{5}{9}$

लड़की दी गई हो तो केवल 36 लड़कियाँ गिनी जाती हैं।
उनमें से 20 भौतिकी पढ़ती हैं: $\frac{20}{36} = \frac{5}{9}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3} = \frac{20}{60}$ में सभी 60 विद्यार्थियों से भाग दिया; यह भौतिकी पढ़ने वाली लड़की चुनने का अवसर है।

प्रश्न 10

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दिया गया है कि विद्यार्थी भौतिकी पढ़ता है, उसके लड़की होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{5}{7}$

भौतिकी के विद्यार्थी: $20 + 8 = 28$ ।
उनमें से 20 लड़कियाँ हैं: $\frac{20}{28} = \frac{5}{7}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{9}$ किसी लड़की के भौतिकी पढ़ने का अवसर है, उलटी शर्त।

प्रश्न 11

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. जब भी $P(A) > 0$ , $P(A \mid A) = 1$ ।

II. किन्हीं दो घटनाओं के लिए $P(A \mid B) = P(B \mid A)$ ।

केवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIसही उत्तरआपका उत्तरI और II दोनोंसही उत्तरआपका उत्तरन I, न IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: $\frac{P(A \cap A)}{P(A)} = 1$ । सही।
II गलत है: दोनों एक ही $P(A \cap B)$ को भिन्न संख्याओं, $P(B)$ और $P(A)$ , से भाग देते हैं।

ध्यान देने योग्य

शर्त अदल-बदलने से हर बदल जाता है।

प्रश्न 12

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = \frac{2}{5}$ , $P(B) = \frac{1}{4}$ और $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$ । $P(A' \mid B)$ क्या है?

\frac{1}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{3}{5}$

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , और $P(A' \mid B) = 1 - P(A \mid B)$ ।
$P(A' \mid B) = 1 - \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{4}} = \frac{3}{5}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{5}$ , $P(A \mid B)$ है; $B$ के भीतर पूरक $1 - \frac{2}{5}$ है।

प्रश्न 13

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीन न्याय्य सिक्के उछाले जाते हैं। दिया गया है कि कम से कम एक पर चित है, ठीक दो पर चित आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{2}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{3}{7}$

कम से कम एक चित: $TTT$ के सिवा सभी 8 परिणाम, यानी 7।
ठीक दो चित: $HHT, HTH, THH$ : $\frac{3}{7}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{8}$ में शर्त अनदेखी की और सभी 8 परिणामों से भाग दिया।

प्रश्न 14

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो पासे फेंके जाते हैं। दिया गया है कि पहले पासे पर 4 है, योग 8 से अधिक होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{18}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{3}$

पहले पासे पर 4 हो, तो योग 8 से अधिक के लिए दूसरा 5 या 6 हो।
6 में से 2 परिणाम: $\frac{1}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{18}$ पहला पासा जाने बिना 8 से अधिक योग का अवसर है।

प्रश्न 15

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $P(A' \mid B) = 1 - P(A \mid B)$ ।

कारण (R): $P(A \mid B) + P(A' \mid B) = P(S \mid B) = 1$ , क्योंकि $A$ और $A'$ असंयुक्त हैं और मिलकर $S$ बनाती हैं।

A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।सही उत्तरआपका उत्तरA और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।सही उत्तरआपका उत्तरA सही है, लेकिन R गलत है।सही उत्तरआपका उत्तरA गलत है, लेकिन R सही है।सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

A, $P(B) > 0$ वाली किसी भी $B$ के लिए सही है।
R सही है और ठीक यही कारण है: इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर A मिलता है।

प्रश्न 16

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = 0.6$ , $P(B) = 0.4$ और $P(A \cup B) = 0.7$ । $P(A \mid B)$ क्या है?

0.3

सही उत्तरआपका उत्तर

0.5

सही उत्तरआपका उत्तर

0.6

सही उत्तरआपका उत्तर

0.75

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $0.75$

$P(A \cap B) = 0.6 + 0.4 - 0.7 = 0.3$ ।
$P(A \mid B) = \frac{0.3}{0.4} = 0.75$ ।

ध्यान देने योग्य

0.5, $P(B \mid A) = \frac{0.3}{0.6}$ है, गलत घटना से भाग दिया।

प्रश्न 17

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1 से 20 तक से एक संख्या यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। दिया गया है कि वह सम है, उसके 4 से विभाज्य होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{2}$

सम संख्याएँ: 10।
4 से विभाज्य: 4, 8, 12, 16, 20, इसलिए $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{4}$ में सभी 20 संख्याओं से भाग दिया; शर्त के बाद केवल 10 सम संख्याएँ बचती हैं।

प्रश्न 18

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

40 की कक्षा में 25 क्रिकेट खेलते हैं, 20 फ़ुटबॉल और 10 दोनों। यादृच्छिक रूप से एक फ़ुटबॉल खिलाड़ी चुना जाता है। उसके क्रिकेट भी खेलने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{2}$

फ़ुटबॉल दिया हो तो केवल उसके 20 खिलाड़ी गिने जाते हैं।
उनमें से 10 क्रिकेट खेलते हैं: $\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{5} = \frac{10}{25}$ किसी क्रिकेटर के फ़ुटबॉल खेलने का अवसर है, उलटी शर्त।

प्रश्न 19

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य पासे फेंके जाते हैं। $E$ : योग 9 है। $F$ : कम से कम एक पासे पर 5 है।

$P(E \mid F)$ क्या है?

\frac{1}{18}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{11}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{11}$

$F$ के 11 परिणाम: पहले पासे पर 5 वाले 6, दूसरे पर 5 वाले 6, दो बार गिने $(5, 5)$ को घटाकर।
इनमें $(4, 5)$ और $(5, 4)$ का योग 9 है: $\frac{2}{11}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$ में $F$ गिनते समय $(5, 5)$ को दो बार गिना।

प्रश्न 20

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य पासे फेंके जाते हैं। $E$ : योग 9 है। $F$ : कम से कम एक पासे पर 5 है।

$P(F \mid E)$ क्या है?

\frac{2}{11}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{11}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{2}$

$E$ दिया हो तो केवल उसके 4 परिणाम बचते हैं।
उनमें से दो, $(4, 5)$ और $(5, 4)$ , पर 5 है: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{11}$ , $P(E \mid F)$ है, उलटी शर्त।

प्रश्न 21

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. जब भी $P(B) > 0$ , $P(A \mid B) \ge P(A \cap B)$ ।

II. यदि $P(A) > 0$ , $P(B) > 0$ और $P(A \mid B) = P(A)$ , तो $P(B \mid A) = P(B)$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · I और II दोनों

I: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , और $P(B) \le 1$ से भाग देने पर कोई संख्या छोटी नहीं होती। सही।
II: $P(A \mid B) = P(A)$ से $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ मिलता है; $P(A)$ से भाग देने पर $P(B \mid A) = P(B)$ । सही।

ध्यान देने योग्य

यदि $B$ जानने से $A$ का अवसर नहीं बदलता, तो $A$ जानने से $B$ का अवसर भी नहीं बदलता।

प्रश्न 22

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) > 0$ और $P(B) > 0$ वाली घटनाओं $A$ और $B$ के लिए निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. यदि $A \subset B$ , तो $P(B \mid A) = 1$ ।

II. यदि $A \subset B$ , तो $P(A \mid B) = \frac{P(A)}{P(B)}$ ।

III. यदि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं, तो $P(A \mid B) = 0$ ।

IV. ऐसी किन्हीं दो घटनाओं के लिए $P(A \mid B) \ge P(A)$ ।

केवल I, II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरI, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I, II और III

I: $A \cap B = A$ , इसलिए $P(B \mid A) = \frac{P(A)}{P(A)} = 1$ । II: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)}{P(B)}$ । III: $P(A \cap B) = 0$ , इसलिए $P(A \mid B) = 0$ ।
IV गलत है: परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए $P(A \mid B) = 0$ , जो $P(A)$ से कम है।

ध्यान देने योग्य

शर्त किसी प्रायिकता को बढ़ा भी सकती है और घटा भी।

प्रश्न 23

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से यादृच्छिक रूप से एक पत्ता निकाला जाता है। दिया गया है कि वह बादशाह या पान का पत्ता है, उसके पान का बादशाह होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{17}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{16}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{16}$

बादशाह या पान: $4 + 13 - 1 = 16$ पत्ते, पान का बादशाह एक बार गिनकर।
16 में से केवल एक पान का बादशाह है: $\frac{1}{16}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{17}$ में पान का बादशाह दो बार गिना, एक बार बादशाहों में और एक बार पानों में।

प्रश्न 24

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो पासे फेंके जाते हैं। दिया गया है कि दोनों संख्याओं का गुणनफल सम है, उनके योग के सम होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{3}$

गुणनफल केवल तब विषम होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों, यानी 9 परिणामों में, इसलिए वह $36 - 9 = 27$ में सम है।
सम गुणनफल के साथ सम योग के लिए दोनों संख्याएँ सम हों: 9 परिणाम, इसलिए $\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2}$ बिना शर्त सम योग का अवसर है; सम गुणनफल विषम–विषम वाले 9 परिणाम हटा देता है, और उन सभी का योग सम है।

प्रश्न 25

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दिया गया है कि विद्यार्थी भौतिकी नहीं पढ़ता, उसके लड़की होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{4}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{2}$

भौतिकी नहीं: $36 - 20 = 16$ लड़कियाँ और $24 - 8 = 16$ लड़के, कुल 32 विद्यार्थी।
32 में से 16 लड़कियाँ हैं: $\frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{4}{9} = \frac{16}{36}$ किसी लड़की के भौतिकी न पढ़ने का अवसर है; यहाँ शर्त भौतिकी न पढ़ना है, इसलिए 32 से भाग दीजिए।

प्रश्न 26

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य पासे फेंके जाते हैं। $E$ : योग 9 है। $F$ : कम से कम एक पासे पर 5 है।

क्या $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं?

नहीं:

P(E \cap F) = \frac{1}{18}

पर

P(E)\,P(F) = \frac{11}{324}

सही उत्तरआपका उत्तरहाँ: दोनों पासे एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से फेंके जाते हैंसही उत्तरआपका उत्तरनहीं: वे परस्पर अपवर्जी हैं, इसलिए साथ नहीं घट सकतींसही उत्तरआपका उत्तरहाँ:

P(E \mid F) = P(E) = \frac{1}{9}

, इसलिए

F

जानने से कुछ नहीं बदलतासही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · नहीं: $P(E \cap F) = \frac{1}{18}$ पर $P(E)\,P(F) = \frac{11}{324}$

$P(E \cap F) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ ।
$P(E)\,P(F) = \frac{1}{9} \times \frac{11}{36} = \frac{11}{324} \ne \frac{1}{18}$ : स्वतंत्र नहीं।

ध्यान देने योग्य

वे $(4, 5)$ और $(5, 4)$ साझा करती हैं, इसलिए अपवर्जी नहीं; और $P(E \mid F) = \frac{2}{11} \ne \frac{1}{9}$ ।

प्रश्न 27

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = 0.5$ , $P(B) = 0.3$ और $P(A \cap B) = 0.2$ । $P(A' \mid B')$ क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{4}{7}$

$P(A \cup B) = 0.5 + 0.3 - 0.2 = 0.6$ , इसलिए $P(A' \cap B') = 1 - 0.6 = 0.4$ ।
$P(B') = 1 - 0.3 = 0.7$ , और $P(A' \mid B') = \frac{0.4}{0.7} = \frac{4}{7}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3} = 1 - \frac{0.2}{0.3}$ तो $P(A' \mid B)$ है: इसमें $A$ का पूरक लिया पर शर्त $B$ ही रखी।

प्रश्न 28

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A \mid B) = \frac{1}{2}$ , $P(B \mid A) = \frac{2}{3}$ और $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ । $P(A \cup B)$ क्या है?

\frac{5}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{5}{12}$

$P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \mid B)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$ और $P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B \mid A)} = \frac{1/6}{2/3} = \frac{1}{4}$ ।
$P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{7}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{3}$ में साझा भाग दो बार रह गया; $P(A \cap B)$ को एक बार घटाना होता है।

प्रश्न 29

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दिया गया है कि विद्यार्थी भौतिकी पढ़ता है या लड़का है, उसके लड़की होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{5}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{11}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{5}{11}$

भौतिकी या लड़का: $28 + 24 - 8 = 44$ विद्यार्थी, भौतिकी पढ़ने वाले 8 लड़कों को एक बार गिनकर।
इनमें लड़कियाँ वे 20 हैं जो भौतिकी पढ़ती हैं: $\frac{20}{44} = \frac{5}{11}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{13} = \frac{20}{52}$ में भौतिकी पढ़ने वाले 8 लड़के दो बार गिने।

प्रायिकता का गुणन प्रमेय

23 प्रश्न

प्रश्न 30

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक थैले में 7 लाल और 5 काली गेंदें हैं। बिना प्रतिस्थापन के एक के बाद एक दो गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{7}{22}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{49}{144}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{13}{22}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{7}{22}$

माना $R_1$ , $R_2$ पहले और दूसरे चयन में लाल हैं: $P(R_1) = \frac{7}{12}$ , और 11 में से 6 लाल बचने पर $P(R_2 \mid R_1) = \frac{6}{11}$ ।
$\frac{7}{12} \times \frac{6}{11} = \frac{7}{22}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{49}{144}$ में पहली गेंद वापस रखी; बिना प्रतिस्थापन दूसरे चयन में 11 गेंदें होती हैं।

प्रश्न 31

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कक्षा में 40% विद्यार्थी गणित लेते हैं, और उनमें से 25% जीव विज्ञान भी लेते हैं। यादृच्छिक रूप से चुने गए विद्यार्थी के दोनों लेने की प्रायिकता क्या है?

0.1

सही उत्तरआपका उत्तर

0.15

सही उत्तरआपका उत्तर

0.625

सही उत्तरआपका उत्तर

0.65

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0.1$

$P(M) = 0.4$ और $P(B \mid M) = 0.25$ ।
$P(M \cap B) = 0.4 \times 0.25 = 0.1$ ।

ध्यान देने योग्य

0.15 में घटाया, $0.4 - 0.25$ ; "उनमें से 25%" का अर्थ 40% का एक भाग है।

प्रश्न 32

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक डिब्बे में 6 सफ़ेद और 4 काले कंचे हैं। बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक दो कंचे निकाले जाते हैं। दोनों के सफ़ेद होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9}{25}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{3}$

पहला सफ़ेद: $\frac{6}{10}$ ; फिर 9 में से 5 सफ़ेद: $\frac{5}{9}$ ।
$\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{1}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{9}{25} = \left(\frac{3}{5}\right)^{2}$ में पहला कंचा वापस रखा।

प्रश्न 33

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A \cap B) = 0.12$ और $P(B \mid A) = 0.3$ । $P(A)$ क्या है?

0.036

सही उत्तरआपका उत्तर

0.18

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.42

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $0.4$

$P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A)$ , इसलिए $P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B \mid A)}$ ।
$\frac{0.12}{0.3} = 0.4$ ।

ध्यान देने योग्य

0.036 में गुणा किया, $0.12 \times 0.3$ ; प्रमेय के गुणनफल को उलटने के लिए भाग दीजिए।

प्रश्न 34

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

5 चाबियों में से केवल एक ताला खोलती है। चाबियाँ यादृच्छिक क्रम में एक-एक करके आज़माई जाती हैं, और विफल चाबी अलग रख दी जाती है। पहले तीन प्रयासों के भीतर ताला खुलने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{61}{125}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{3}{5}$

तीन प्रयासों तक ताला बंद रहने की प्रायिकता $\frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{5}$ है।
इसलिए तीन प्रयासों के भीतर उसके खुलने की प्रायिकता $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{61}{125} = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^{3}$ में हर विफल चाबी वापस रखी, मानो वही चाबी फिर आज़माई जा सके।

प्रश्न 35

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = 0.7$ और $P(B \mid A) = 0.4$ । $P(A \cap B')$ क्या है?

0.28

सही उत्तरआपका उत्तर

0.3

सही उत्तरआपका उत्तर

0.42

सही उत्तरआपका उत्तर

0.6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $0.42$

$A$ दिया हो तो $P(B' \mid A) = 1 - 0.4 = 0.6$ ।
$P(A \cap B') = P(A)\,P(B' \mid A) = 0.7 \times 0.6 = 0.42$ ।

ध्यान देने योग्य

0.28 तो $P(A \cap B) = 0.7 \times 0.4$ है, जहाँ $B'$ माँगा था वहाँ $B$ लिया।

प्रश्न 36

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक दो पत्ते निकाले जाते हैं। उनके एक ही सूट (हुकुम, पान, ईंट या चिड़ी) के होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{17}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{17}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{13}{51}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{4}{17}$

पहला पत्ता कोई भी हो सकता है; बचे 51 पत्तों में से 12 उसी सूट के हैं।
$1 \times \frac{12}{51} = \frac{4}{17}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{4}$ में पहला पत्ता वापस रखा; बिना प्रतिस्थापन 51 में उसके सूट के केवल 12 पत्ते बचते हैं।

प्रश्न 37

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = 0.8$ और $P(B \mid A) = 0.5$ । $P(A \cap B)$ क्या है?

0.3

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.5

सही उत्तरआपका उत्तर

0.625

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.4$

गुणन प्रमेय: $P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A)$ ।
$0.8 \times 0.5 = 0.4$ ।

ध्यान देने योग्य

0.625 में भाग दिया, $\frac{0.5}{0.8}$ ; प्रमेय गुणा करता है।

प्रश्न 38

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की गड्डी से बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक तीन पत्ते निकाले जाते हैं। तीनों के इक्के होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{5525}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2197}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{52}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{5525}$

$\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{2}{50}$ , हर चयन के बाद एक इक्का और एक पत्ता कम।
$= \frac{24}{132600} = \frac{1}{5525}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2197} = \left(\frac{1}{13}\right)^{3}$ में हर पत्ता अगले चयन से पहले वापस रखा।

प्रश्न 39

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की गड्डी से बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक दो पत्ते निकाले जाते हैं। पहले के बादशाह और दूसरे के बेगम होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{2652}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{663}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{169}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{663}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{4}{663}$

$P(K_1) = \frac{4}{52}$ ; बचे 51 पत्तों में सभी 4 बेगम अब भी हैं: $P(Q_2 \mid K_1) = \frac{4}{51}$ ।
$\frac{4}{52} \times \frac{4}{51} = \frac{4}{663}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{169} = \frac{4}{52} \times \frac{4}{52}$ में दूसरे चयन से पहले बादशाह वापस रखा।

प्रश्न 40

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक उम्मीदवार किसी चयन का पहला चरण 0.8 प्रायिकता से पार करता है। उसे पार करने के बाद वह दूसरा चरण 0.6 प्रायिकता से पार करता है, और दोनों पार करने के बाद तीसरा चरण 0.75 प्रायिकता से। उम्मीदवार के पहले दो चरण पार करने और तीसरा पार न करने की प्रायिकता क्या है?

0.12

सही उत्तरआपका उत्तर

0.25

सही उत्तरआपका उत्तर

0.36

सही उत्तरआपका उत्तर

0.48

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0.12$

पहले दो चरण पार होने के बाद तीसरा चरण $1 - 0.75 = 0.25$ प्रायिकता से छूटता है।
$0.8 \times 0.6 \times 0.25 = 0.12$ ।

ध्यान देने योग्य

0.25 पहले दो चरण पार होने के बाद तीसरा छूटने का अवसर है; उम्मीदवार को पहले उन्हें $0.8 \times 0.6$ प्रायिकता से पार करना होता है।

प्रश्न 41

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक टोकरी में 10 आम हैं, जिनमें से 3 खराब हैं। बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक तीन आम निकाले जाते हैं। उनमें से कम से कम एक के खराब होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{120}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{24}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{657}{1000}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{17}{24}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{17}{24}$

कोई खराब नहीं: $\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{7}{24}$ ।
कम से कम एक खराब: $1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{657}{1000} = 1 - \left(\frac{7}{10}\right)^{3}$ में अगला आम निकालने से पहले हर आम वापस रखा।

प्रश्न 42

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक प्रश्नोत्तरी में 50% प्रतियोगी पहले प्रश्न का सही उत्तर देते हैं, और उनमें से 60% दूसरे का भी सही उत्तर देते हैं। कुल मिलाकर 12% प्रतियोगी तीनों प्रश्नों के सही उत्तर देते हैं। पहले दो प्रश्नों के सही उत्तर देने वाले प्रतियोगी के तीसरे का भी सही उत्तर देने की प्रायिकता क्या है?

0.2

सही उत्तरआपका उत्तर

0.24

सही उत्तरआपका उत्तर

0.3

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $0.4$

माना $Q_1, Q_2, Q_3$ तीनों प्रश्नों के सही उत्तर हैं: $P(Q_1 \cap Q_2) = 0.5 \times 0.6 = 0.3$ , और $P(Q_1 \cap Q_2 \cap Q_3) = 0.12$ ।
$P(Q_3 \mid Q_1 \cap Q_2) = \frac{0.12}{0.3} = 0.4$ ।

ध्यान देने योग्य

0.24 में 0.12 को केवल 0.5 से, यानी पहले उत्तर के अवसर से, भाग दिया; शर्त पहले दोनों उत्तर हैं, जिनकी प्रायिकता 0.3 है।

प्रश्न 43

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

12 वस्तुओं के एक डिब्बे में 4 दोषपूर्ण हैं। वस्तुओं की यादृच्छिक क्रम में, बिना प्रतिस्थापन, एक-एक करके जाँच की जाती है। पहली दोषपूर्ण वस्तु के तीसरी जाँच में मिलने की प्रायिकता क्या है?

\frac{4}{27}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{28}{165}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{14}{33}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{28}{165}$

पहली दो वस्तुएँ अच्छी और तीसरी दोषपूर्ण होनी चाहिए: $\frac{8}{12} \times \frac{7}{11} \times \frac{4}{10}$ ।
$= \frac{224}{1320} = \frac{28}{165}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{4}{27} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times \frac{1}{3}$ में जाँचों के बीच डिब्बा अपरिवर्तित माना, पर जाँची गई वस्तु वापस नहीं रखी जाती।

प्रश्न 44

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): 4 लाल और 4 नीली गेंदों वाले थैले से बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक दो गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।

कारण (R): $P(E) > 0$ वाली किन्हीं घटनाओं $E$ और $F$ के लिए $P(E \cap F) = P(E)\,P(F \mid E)$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · A गलत है, लेकिन R सही है।

R गुणन प्रमेय है: सही।
इसके अनुसार दोनों के लाल होने की प्रायिकता $\frac{4}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{3}{14}$ है, $\frac{1}{4}$ नहीं: A गलत है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ में दूसरे चयन से पहले पहली गेंद वापस रखी।

प्रश्न 45

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक थैले में 3 लाल और 2 काली गेंदें हैं। बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक दो गेंदें निकाली जाती हैं। निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. दोनों के लाल होने की प्रायिकता $\frac{3}{10}$ है।

II. दिया गया है कि पहली गेंद लाल है, दूसरी के लाल होने की प्रायिकता $\frac{3}{5}$ है।

III. दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता $\frac{3}{5}$ है।

IV. पहले लाल फिर काली, और पहले काली फिर लाल, समसंभाव्य हैं।

केवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IVसही उत्तरआपका उत्तरI, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I, III और IV

I: $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ । III: $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$ । IV: $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$ ।
II गलत है: एक लाल गेंद के बाद 4 में से 2 लाल गेंदें बचती हैं, इसलिए अवसर $\frac{1}{2}$ है।

ध्यान देने योग्य

पहली गेंद देखे बिना दूसरी के लाल होने का अवसर पहली जितना ही है; पहली के लाल होने का पता चलने पर अवसर घट जाता है।

प्रश्न 46

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक डिब्बे में 5 अच्छे और 3 खराब बल्ब हैं। बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक दो बल्ब निकाले जाते हैं। ठीक एक के खराब होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{15}{56}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{15}{32}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{15}{28}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{15}{28}$

पहले अच्छा फिर खराब: $\frac{5}{8} \times \frac{3}{7}$ ; पहले खराब फिर अच्छा: $\frac{3}{8} \times \frac{5}{7}$ ।
$\frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{15}{28}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{15}{56}$ में केवल एक क्रम गिना; खराब बल्ब पहले या दूसरे आ सकता है।

प्रश्न 47

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक थैले में 3 लाल, 2 नीले और 5 हरे मनके हैं। बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक तीन मनके निकाले जाते हैं। पहले लाल, फिर नीला, फिर हरा, इसी क्रम में आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{3}{100}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{24}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{24}$

लाल के लिए $\frac{3}{10}$ , फिर नीले के लिए $\frac{2}{9}$ , फिर हरे के लिए $\frac{5}{8}$ ।
$\frac{3 \times 2 \times 5}{10 \times 9 \times 8} = \frac{30}{720} = \frac{1}{24}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{4}$ में तीनों रंग 6 में से किसी भी क्रम में माने; प्रश्न एक क्रम तय करता है।

प्रश्न 48

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक थैले में 4 लाल और 6 काली गेंदें हैं। बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक दो गेंदें निकाली जाती हैं। दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{2}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{5}$

पहली गेंद के अनुसार बाँटिए: $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} + \frac{6}{10} \times \frac{4}{9}$ ।
$\frac{12 + 24}{90} = \frac{2}{5}$ , पहली गेंद के समान।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3}$ में मान लिया कि पहली गेंद लाल थी; वह काली भी हो सकती थी।

प्रश्न 49

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक तीन पत्ते निकाले जाते हैं। तीनों पत्तों के तीन भिन्न सूटों (हुकुम, पान, ईंट, चिड़ी में से) के होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{169}{2550}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{169}{425}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{13}{17}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{169}{425}$

पहला पत्ता कोई भी हो सकता है; दूसरा उसके सूट से भिन्न हो, $\frac{39}{51}$ ; तीसरा निकले दोनों सूटों से भिन्न हो, $\frac{26}{50}$ ।
$\frac{39}{51} \times \frac{26}{50} = \frac{13}{17} \times \frac{13}{25} = \frac{169}{425}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{8} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{4}$ में हर पत्ता वापस रखा, मानो गड्डी में हर सूट के 13 पत्ते बने रहें।

प्रश्न 50

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक थैले में 2 लाल और 3 सफ़ेद गेंदें हैं। A और B बारी-बारी से, बिना प्रतिस्थापन, एक-एक गेंद निकालते हैं, और पहले A निकालता है; जो पहले लाल गेंद निकाले वह जीतता है। A के जीतने की प्रायिकता क्या है?

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{3}{5}$

A पहले चयन में $\frac{2}{5}$ प्रायिकता से जीतता है, या दो सफ़ेद गेंदों के बाद तीसरे चयन में $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{5}$ प्रायिकता से।
केवल 3 सफ़ेद गेंदें होने से चौथे चयन तक लाल गेंद आ जाती है, इसलिए A का पाँचवाँ चयन नहीं आता: $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{8}$ में हर गेंद वापस रखी, मानो खेल अनंत तक चल सके; यहाँ सफ़ेद गेंदें समाप्त हो जाती हैं।

प्रश्न 51

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पेटी में 5 लाल और 3 हरे सेब हैं। बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक तीन सेब निकाले जाते हैं। उनके रंगों के बारी-बारी से आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{5}{56}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{28}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{15}{64}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{15}{56}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{15}{56}$

लाल, हरा, लाल: $\frac{5}{8} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{60}{336}$ ; हरा, लाल, हरा: $\frac{3}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{30}{336}$ ।
$\frac{60 + 30}{336} = \frac{90}{336} = \frac{15}{56}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{28} = \frac{60}{336}$ में केवल लाल, हरा, लाल गिना; हरा, लाल, हरा भी बारी-बारी से है।

प्रश्न 52

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक दो पत्ते निकाले जाते हैं। पहले पत्ते के पान का और दूसरे के इक्का होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{68}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{221}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{52}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{51}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{52}$

पहले पत्ते के अनुसार बाँटिए। पहले पान का इक्का: $\frac{1}{52} \times \frac{3}{51}$ ; पहले कोई दूसरा पान: $\frac{12}{52} \times \frac{4}{51}$ ।
$\frac{3 + 48}{2652} = \frac{51}{2652} = \frac{1}{52}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{51} = \frac{13}{52} \times \frac{4}{51}$ में गड्डी में सभी 4 इक्के माने, पर पहला पान स्वयं पान का इक्का हो सकता है।

स्वतंत्र घटनाएँ

25 प्रश्न

प्रश्न 53

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक प्रश्न दो विद्यार्थियों को दिया जाता है, जो उसे स्वतंत्र रूप से $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{3}$ प्रायिकता से हल करते हैं। प्रश्न के हल होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{3}$

प्रश्न केवल तब अनसुलझा रहता है जब दोनों विफल हों: $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ ।
$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{6}$ में दोनों अवसर जोड़े, दोनों के हल करने वाली स्थिति दो बार गिनी।

प्रश्न 54

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, $P(A) = \frac{1}{4}$ और $P(B) = \frac{2}{5}$ । दोनों में से किसी के न घटने की प्रायिकता क्या है?

\frac{9}{20}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{11}{20}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{9}{20}$

$A'$ और $B'$ भी स्वतंत्र हैं: $P(A' \cap B') = \frac{3}{4} \times \frac{3}{5}$ ।
$= \frac{9}{20}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{11}{20}$ कम से कम एक के घटने का अवसर है, $1 - \frac{9}{20}$ ।

प्रश्न 55

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सिक्का उछाला जाता है और एक पासा फेंका जाता है। सिक्के पर चित और पासे पर 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{6}$

सिक्का और पासा एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करते: चित की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है, और 4 से बड़ी संख्या 5 या 6 है, जिसकी प्रायिकता $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ में जोड़ा; दो स्वतंत्र घटनाओं के साथ घटने के लिए गुणा कीजिए।

प्रश्न 56

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, $P(A) = 0.35$ और $P(B) = 0.6$ । $P(A' \mid B)$ क्या है?

0.35

सही उत्तरआपका उत्तर

0.39

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.65

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $0.65$

$A'$ और $B$ भी स्वतंत्र हैं, इसलिए $B$ जानने से कुछ नहीं बदलता: $P(A' \mid B) = P(A')$ ।
$P(A') = 1 - 0.35 = 0.65$ ।

ध्यान देने योग्य

0.35 तो $P(A \mid B) = P(A)$ है; प्रश्न पूरक पूछता है।

प्रश्न 57

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा तीन बार फेंका जाता है। कम से कम एक बार छह आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{216}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{91}{216}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{125}{216}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{91}{216}$

फेंकें स्वतंत्र हैं, इसलिए तीनों में छह न आने की प्रायिकता $\left(\frac{5}{6}\right)^{3} = \frac{125}{216}$ है।
$1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2} = 3 \times \frac{1}{6}$ में तीनों अवसर जोड़े, जिससे दो या तीन छह वाली स्थितियाँ एक से अधिक बार गिनी गईं।

प्रश्न 58

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, तो $A'$ और $B'$ भी।

II. धनात्मक प्रायिकताओं वाली दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं।

III. यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, $P(A \mid B) = P(A)$ ।

IV. यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ ।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II, III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I, III और IV

I, III और IV स्वतंत्र घटनाओं के लिए सही हैं।
II गलत है: परस्पर अपवर्जी का अर्थ $P(A \cap B) = 0$ , पर $P(A)\,P(B) > 0$ ।

ध्यान देने योग्य

अपवर्जी घटनाएँ पूरी तरह आश्रित हैं: एक घटे तो दूसरी नहीं घट सकती।

प्रश्न 59

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, $P(A) = 0.3$ और $P(B) = 0.4$ । $P(A \cup B)$ क्या है?

0.12

सही उत्तरआपका उत्तर

0.42

सही उत्तरआपका उत्तर

0.58

सही उत्तरआपका उत्तर

0.7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $0.58$

स्वतंत्र: $P(A \cap B) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$ ।
$P(A \cup B) = 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58$ ।

ध्यान देने योग्य

0.7 में घटनाओं को परस्पर अपवर्जी माना; स्वतंत्र घटनाएँ साथ घट सकती हैं।

प्रश्न 60

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, तो $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ।

II. धनात्मक प्रायिकताओं वाली स्वतंत्र घटनाएँ साथ नहीं घट सकतीं।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · न I, न II

I: उस सूत्र के लिए $P(A \cap B) = 0$ चाहिए; स्वतंत्रता से $P(A \cap B) = P(A)P(B) > 0$ । गलत।
II: $P(A \cap B) = P(A)P(B) > 0$ , इसलिए वे साथ घट सकती हैं। गलत।

प्रश्न 61

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीन निशानेबाज़ स्वतंत्र रूप से $\frac{4}{5}$ , $\frac{5}{6}$ और $\frac{1}{2}$ प्रायिकता से लक्ष्य भेदते हैं। तीनों के लक्ष्य भेदने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{60}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{32}{45}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{59}{60}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{3}$

स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा कीजिए।
$\frac{4}{5} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{60}$ तीनों के चूकने का अवसर है।

प्रश्न 62

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, $P(A) = 0.6$ और $P(B) = 0.25$ । $P(A \cap B')$ क्या है?

0.15

सही उत्तरआपका उत्तर

0.35

सही उत्तरआपका उत्तर

0.45

सही उत्तरआपका उत्तर

0.75

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $0.45$

$A$ और $B'$ भी स्वतंत्र हैं, और $P(B') = 0.75$ ।
$0.6 \times 0.75 = 0.45$ ।

ध्यान देने योग्य

0.15, $P(A \cap B)$ है, पूरक के स्थान पर स्वयं $B$ लिया।

प्रश्न 63

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, $P(A) = 0.3$ और $P(B) = 0.6$ । उनमें से ठीक एक के घटने की प्रायिकता क्या है?

0.18

सही उत्तरआपका उत्तर

0.54

सही उत्तरआपका उत्तर

0.72

सही उत्तरआपका उत्तर

0.9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.54$

केवल $A$ : $0.3 \times 0.4 = 0.12$ ; केवल $B$ : $0.7 \times 0.6 = 0.42$ ।
$0.12 + 0.42 = 0.54$ ।

ध्यान देने योग्य

0.72 कम से कम एक है, $1 - 0.7 \times 0.4$ , जिसमें दोनों का घटना भी गिना जाता है।

प्रश्न 64

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. 1 से 10 तक की संख्याओं में से यादृच्छिक रूप से एक संख्या चुनी जाती है। घटनाएँ $E$ : संख्या सम है, और $M$ : संख्या 3 का गुणज है, स्वतंत्र हैं।

II. 1 से 12 तक की संख्याओं में से यादृच्छिक रूप से एक संख्या चुनी जाती है। घटनाएँ $E$ : संख्या सम है, और $M$ : संख्या 3 का गुणज है, स्वतंत्र हैं।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल II

I: $P(E) = \frac{1}{2}$ , $P(M) = \frac{3}{10}$ और $E \cap M = \{6\}$ : $\frac{1}{10} \ne \frac{1}{2} \times \frac{3}{10}$ । गलत।
II: $P(E) = \frac{1}{2}$ , $P(M) = \frac{1}{3}$ और $E \cap M = \{6, 12\}$ : $\frac{2}{12} = \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ । सही।

ध्यान देने योग्य

स्वतंत्रता संख्याओं का तथ्य है, घटनाओं के वर्णन का नहीं: वही दो घटनाएँ 1 से 12 पर स्वतंत्र हैं, पर 1 से 10 पर नहीं।

प्रश्न 65

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, $P(A \cap B) = 0.12$ और $P(A' \cap B) = 0.28$ । $P(A)$ क्या है?

0.12

सही उत्तरआपका उत्तर

0.3

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.3$

$B$ दो भागों $A \cap B$ और $A' \cap B$ में बँटती है: $P(B) = 0.12 + 0.28 = 0.4$ ।
स्वतंत्रता से $P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$ ।

ध्यान देने योग्य

0.4 तो $P(B)$ है, दोनों भागों का योग, $P(A)$ नहीं।

प्रश्न 66

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, $P(A) = 0.4$ और $P(B) = 0.7$ । $P(A' \cup B')$ क्या है?

0.18

सही उत्तरआपका उत्तर

0.28

सही उत्तरआपका उत्तर

0.72

सही उत्तरआपका उत्तर

0.82

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $0.72$

$A' \cup B'$ , $A \cap B$ का पूरक है: दोनों एक साथ नहीं घटतीं।
$1 - 0.4 \times 0.7 = 1 - 0.28 = 0.72$ ।

ध्यान देने योग्य

0.18 तो $P(A' \cap B') = 0.6 \times 0.3$ है, दोनों में से कोई न घटे; $A' \cup B'$ का अर्थ है अधिक से अधिक एक घटे।

प्रश्न 67

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = 0.4$ , $P(B) = 0.5$ और $P(A \cup B) = 0.7$ । निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

II. $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं।

III. $P(A' \cap B) = 0.3$ ।

IV. $P(A \mid B) = 0.5$ ।

केवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I और III

$P(A \cap B) = 0.4 + 0.5 - 0.7 = 0.2 = 0.4 \times 0.5$ : I सही है, और II गलत है क्योंकि $P(A \cap B) \ne 0$ ।
III: $0.5 - 0.2 = 0.3$ , सही। IV: $\frac{0.2}{0.5} = 0.4$ , गलत।

ध्यान देने योग्य

IV में $P(A \mid B)$ के स्थान पर $P(B)$ लिया; स्वतंत्र घटनाओं के लिए $P(A \mid B) = P(A) = 0.4$ ।

प्रश्न 68

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से यादृच्छिक रूप से एक पत्ता निकाला जाता है। घटनाओं का निम्नलिखित में से कौन-सा युग्म स्वतंत्र है?

पत्ता हुकुम का है; पत्ता इक्का हैसही उत्तरआपका उत्तरपत्ता हुकुम का है; पत्ता काला हैसही उत्तरआपका उत्तरपत्ता बादशाह है; पत्ता इक्का हैसही उत्तरआपका उत्तरपत्ता पान का है; पत्ता लाल इक्का हैसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · पत्ता हुकुम का है; पत्ता इक्का है

हुकुम और इक्का: केवल हुकुम का इक्का दोनों है, $\frac{1}{52}$ , और $\frac{13}{52} \times \frac{4}{52} = \frac{1}{52}$ : स्वतंत्र।
शेष विफल हैं: हुकुम और काला $\frac{13}{52} \ne \frac{13}{52} \times \frac{26}{52}$ देते हैं; बादशाह और इक्का साथ नहीं घट सकते; पान और लाल इक्का $\frac{1}{52} \ne \frac{13}{52} \times \frac{2}{52}$ देते हैं।

ध्यान देने योग्य

हर हुकुम का पत्ता काला है, इसलिए पत्ता हुकुम का है यह जानने पर वह निश्चित रूप से काला है: अवसर $\frac{1}{2}$ से 1 हो जाता है।

प्रश्न 69

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं, $P(E) = \frac{1}{3}$ और $P(F) = \frac{3}{5}$ । सूची I की हर प्रायिकता को सूची II में उसके मान से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $P(E \cap F')$	I. $\frac{11}{15}$
B. $P(E' \cap F)$	II. $\frac{2}{15}$
C. $P(E \cup F)$	III. $\frac{1}{3}$
D. $P(E \mid F')$	IV. $\frac{2}{5}$

A-II, B-IV, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-II, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-II, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A-II, B-IV, C-I, D-III

$P(E \cap F') = \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$ और $P(E' \cap F) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ ।
$P(E \cup F) = \frac{1}{3} + \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{11}{15}$ ; $E$ और $F'$ स्वतंत्र हैं, इसलिए $P(E \mid F') = P(E) = \frac{1}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

स्वतंत्र घटनाओं के पूरक भी स्वतंत्र होते हैं, इसलिए हर भाग $P(E)$ या $P(E')$ और $P(F)$ या $P(F')$ का गुणनफल है।

प्रश्न 70

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): यदि $P(E) = 0.3$ , $P(F) = 0.4$ और $P(E \cup F) = 0.7$ , तो $E$ और $F$ स्वतंत्र नहीं हैं।

कारण (R): यदि $P(E \cup F) = P(E) + P(F)$ , तो $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · A सही है, लेकिन R गलत है।

$P(E \cap F) = 0.3 + 0.4 - 0.7 = 0$ , जबकि $P(E)\,P(F) = 0.12$ : A सही है।
R गलत है: $P(E \cup F) = P(E) + P(F)$ का अर्थ $P(E \cap F) = 0$ है, यानी घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं, और धनात्मक प्रायिकताओं के साथ यह स्वतंत्रता को असंभव बनाता है।

ध्यान देने योग्य

धनात्मक प्रायिकताओं वाली अपवर्जी घटनाएँ कभी स्वतंत्र नहीं होतीं: एक घटे तो दूसरी नहीं घट सकती।

प्रश्न 71

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो पासे फेंके जाते हैं। $A$ : पहले पासे पर सम संख्या। $B$ : योग 7। क्या $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं?

नहीं: वे साथ घट सकती हैंसही उत्तरआपका उत्तरहाँ:

P(A \cap B) = \frac{1}{12} = P(A)\,P(B)

सही उत्तरआपका उत्तरनहीं: योग पहले पासे पर निर्भर हैसही उत्तरआपका उत्तरहाँ: वे परस्पर अपवर्जी हैंसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · हाँ: $P(A \cap B) = \frac{1}{12} = P(A)\,P(B)$

$P(A) = \frac{1}{2}$ , $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ , और $A \cap B = \{(2, 5), (4, 3), (6, 1)\}$ , इसलिए $P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ ।
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ : स्वतंत्र।

ध्यान देने योग्य

पहला पासा कुछ भी दिखाए, दूसरे का ठीक एक मान 7 बनाता है, इसलिए $A$ जानने से $B$ का अवसर नहीं बदलता।

प्रश्न 72

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, $P(A) = \frac{1}{2}$ और $P(A \cup B) = \frac{3}{5}$ । $P(B)$ क्या है?

\frac{1}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{5}$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ : $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + p - \frac{p}{2}$ ।
$\frac{p}{2} = \frac{1}{10}$ , इसलिए $p = \frac{1}{5}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{10} = \frac{3}{5} - \frac{1}{2}$ में घटनाओं को परस्पर अपवर्जी माना।

प्रश्न 73

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीन न्याय्य सिक्के उछाले जाते हैं। $E$ : पहले सिक्के पर चित। $F$ : ठीक दो सिक्कों पर चित। क्या $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं?

हाँ: तीनों सिक्के एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से उछाले जाते हैंसही उत्तरआपका उत्तरहाँ:

P(E \cap F) = P(E)\,P(F) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{16}

सही उत्तरआपका उत्तरनहीं: वे परस्पर अपवर्जी हैं, इसलिए साथ नहीं घट सकतींसही उत्तरआपका उत्तरनहीं:

P(E \cap F) = \frac{1}{4}

पर

P(E)\,P(F) = \frac{3}{16}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · नहीं: $P(E \cap F) = \frac{1}{4}$ पर $P(E)\,P(F) = \frac{3}{16}$

$P(E) = \frac{1}{2}$ और $P(F) = \frac{3}{8}$ ( $HHT, HTH, THH$ )।
$E \cap F = \{HHT, HTH\}$ : $\frac{2}{8} = \frac{1}{4} \ne \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}$ । स्वतंत्र नहीं।

ध्यान देने योग्य

स्वतंत्र उछालों से घटनाओं का हर युग्म स्वतंत्र नहीं होता: पहले पर चित जानने से ठीक दो चित का अवसर $\frac{3}{8}$ से $\frac{1}{2}$ हो जाता है।

प्रश्न 74

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ , $P(A' \cap B') = \frac{1}{3}$ और $P(A) > P(B)$ । $P(A)$ क्या है?

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{2}$

$p = P(A)$ और $q = P(B)$ लेने पर: $pq = \frac{1}{6}$ और $(1 - p)(1 - q) = 1 - (p + q) + pq = \frac{1}{3}$ , इसलिए $p + q = \frac{5}{6}$ ।
$p$ और $q$ समीकरण $t^{2} - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$ के मूल हैं, यानी $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{3}$ ; बड़ा मूल $P(A) = \frac{1}{2}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3}$ छोटा मूल है, यानी $P(B)$ ; प्रश्न में $P(A) > P(B)$ दिया है।

प्रश्न 75

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक प्रश्नोत्तरी में तीन प्रतियोगी एक ही प्रश्न का उत्तर स्वतंत्र रूप से देते हैं; उनके सही उत्तर देने की प्रायिकताएँ $\frac{4}{5}$ , $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{4}$ हैं। उनमें से ठीक एक के सही उत्तर देने की प्रायिकता क्या है?

\frac{3}{40}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{37}{40}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{5}$

केवल पहला: $\frac{4}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{40}$ ; केवल दूसरा: $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{40}$ ; केवल तीसरा: $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{40}$ ।
$\frac{12 + 3 + 1}{40} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{37}{40} = 1 - \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}$ कम से कम एक सही उत्तर है, जिसमें दो या तीन सही उत्तर भी गिने जाते हैं।

प्रश्न 76

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो तीरंदाज़ एक लक्ष्य पर स्वतंत्र रूप से निशाना लगाते हैं और उसे 0.6 और 0.3 प्रायिकता से भेदते हैं। दोनों एक-एक बार निशाना लगाते हैं, और लक्ष्य ठीक एक बार भिदता है। पहले तीरंदाज़ के लक्ष्य भेदने की प्रायिकता क्या है?

\frac{21}{50}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{7}{9}$

केवल पहला भेदे: $0.6 \times 0.7 = 0.42$ ; केवल दूसरा: $0.4 \times 0.3 = 0.12$ ; इसलिए ठीक एक बार भिदने की प्रायिकता $0.54$ है।
$\frac{0.42}{0.54} = \frac{7}{9}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{5} = 0.6$ परिणाम जानने से पहले पहले तीरंदाज़ का अवसर है; एक ही बार भिदना बेहतर तीरंदाज़ को और अधिक संभावित बनाता है।

प्रश्न 77

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक मशीन तब चलती है जब उसकी मोटर काम करे और उसके दो पंखों में से कम से कम एक काम करे। मोटर और दोनों पंखे स्वतंत्र रूप से क्रमशः 0.9, 0.8 और 0.7 प्रायिकता से काम करते हैं। मशीन के चलने की प्रायिकता क्या है?

0.504

सही उत्तरआपका उत्तर

0.846

सही उत्तरआपका उत्तर

0.94

सही उत्तरआपका उत्तर

0.994

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.846$

दोनों पंखे $0.2 \times 0.3 = 0.06$ प्रायिकता से विफल होते हैं, इसलिए कम से कम एक के काम करने की प्रायिकता $0.94$ है।
मोटर को भी काम करना है: $0.9 \times 0.94 = 0.846$ ।

ध्यान देने योग्य

0.504 तो $0.9 \times 0.8 \times 0.7$ है, जिसमें दोनों पंखे चाहिए, जबकि एक पर्याप्त है।

संपूर्ण प्रायिकता प्रमेय

22 प्रश्न

प्रश्न 78

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सिक्का उछाला जाता है। चित आने पर कलश A (2 लाल, 3 नीली) से गेंद निकाली जाती है; पट आने पर कलश B (4 लाल, 1 नीली) से। गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{6}{25}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{3}{5}$

$P(R) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}$ ।
$\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{5}$ में केवल कलश A लिया, मानो सिक्का सदा चित दिखाता हो।

प्रश्न 79

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

थैले I में 3 लाल और 2 काली गेंदें हैं; थैले II में 2 लाल और 3 काली गेंदें। थैले I से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकालकर, उसका रंग देखे बिना, थैले II में डाल दी जाती है। फिर थैले II से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है।

यदि डाली गई गेंद लाल थी, तो थैले II से निकाली गई गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{3}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{2}$

एक लाल गेंद डालने के बाद थैले II में 3 लाल और 3 काली गेंदें हैं।
$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{5}$ में थैला II पहले जैसा लिया, उसमें डाली गई गेंद भूल गए।

प्रश्न 80

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक थैले में तीन सिक्के हैं: एक न्याय्य सिक्का, एक सिक्का जिसके दोनों ओर चित है, और एक सिक्का जो $\frac{1}{4}$ प्रायिकता से चित दिखाता है। यादृच्छिक रूप से एक सिक्का चुनकर उछाला जाता है। चित आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{7}{12}$

हर सिक्का $\frac{1}{3}$ प्रायिकता से चुना जाता है, और सिक्के क्रमशः $\frac{1}{2}$ , 1 और $\frac{1}{4}$ प्रायिकता से चित दिखाते हैं।
$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{3} \times \frac{7}{4} = \frac{7}{12}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{12}$ में दोनों ओर चित वाले सिक्के को आधी बार ही चित दिया; वह हर बार चित दिखाता है।

प्रश्न 81

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$E_1$ , $E_2$ , $E_3$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, प्रत्येक की प्रायिकता धनात्मक है, और वे मिलकर प्रतिदर्श समष्टि बनाती हैं; $A$ कोई भी घटना है। दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $P(A)$ , $P(A \mid E_1)$ , $P(A \mid E_2)$ और $P(A \mid E_3)$ में सबसे बड़ी से बड़ी नहीं हो सकती।

II. संपूर्ण प्रायिकता प्रमेय केवल तब लागू होता है जब $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3)$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: $P(A) = \sum P(E_i)P(A \mid E_i)$ , $P(A \mid E_i)$ का भारित औसत है, जिसके भारों का योग 1 है, इसलिए यह उनमें सबसे छोटी और सबसे बड़ी के बीच रहती है। सही।
II: भार $P(E_i)$ कोई भी धनात्मक संख्याएँ हो सकती हैं जिनका योग 1 हो। गलत।

ध्यान देने योग्य

प्रमेय को विभाजन चाहिए, बराबर भार नहीं; असमान भार ही तो वह सँभालता है।

प्रश्न 82

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

थैले I में 3 लाल और 4 काली गेंदें हैं; थैले II में 5 लाल और 4 काली। यादृच्छिक रूप से एक थैला चुनकर उससे एक गेंद निकाली जाती है। गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{8}{63}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{31}{63}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{31}{63}$

$P(R) = P(\text{I})P(R \mid \text{I}) + P(\text{II})P(R \mid \text{II}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}$ ।
$\frac{3}{14} + \frac{5}{18} = \frac{27 + 35}{126} = \frac{31}{63}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2}$ , 16 में से 8 लाल गेंदें, में दोनों थैलों की गेंदें मिला दीं, पर थैलों में गेंदों की संख्या भिन्न है और हर थैले के चुने जाने का अवसर बराबर है।

प्रश्न 83

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा फेंका जाता है। यदि उस पर 1 या 2 आए, तो थैले A (3 लाल, 2 सफ़ेद) से गेंद निकाली जाती है; अन्यथा थैले B (1 लाल, 4 सफ़ेद) से। गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{3}$

$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , $P(B) = \frac{2}{3}$ ।
$P(R) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{3 + 2}{15} = \frac{1}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{5}$ में दोनों थैलों को बराबर भार दिया; पासा थैला B दोगुनी बार चुनता है।

प्रश्न 84

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक विद्यालय में 35% विद्यार्थी छात्रावास में रहते हैं और 65% दिवा-छात्र हैं। छात्रावास के 40% और दिवा-छात्रों के 20% विद्यार्थी A पाते हैं। यादृच्छिक रूप से चुने गए विद्यार्थी के A पाने की प्रायिकता क्या है?

0.27

सही उत्तरआपका उत्तर

0.3

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0.27$

$0.35 \times 0.4 + 0.65 \times 0.2$ ।
$0.14 + 0.13 = 0.27$ ।

ध्यान देने योग्य

0.3 में 40% और 20% का औसत लिया, मानो दोनों समूह बराबर हों।

प्रश्न 85

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

डिब्बे 1 में 3 सोने और 1 चाँदी का सिक्का है, डिब्बे 2 में 1 सोने और 3 चाँदी के, और डिब्बे 3 में 2 सोने और 2 चाँदी के। यादृच्छिक रूप से एक डिब्बा चुनकर उससे एक सिक्का निकाला जाता है। सिक्के के सोने का होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{2}$

हर डिब्बे की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ : $\frac{1}{3}\left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4}\right)$ ।
$\frac{1}{3} \times \frac{6}{4} = \frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3}$ किसी एक डिब्बे को चुनने का अवसर है, सोना निकालने का नहीं।

प्रश्न 86

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कारखाने की दिन की पाली 70% उत्पादन बनाती है जिसमें 1% दोषपूर्ण होते हैं; रात की पाली शेष बनाती है जिसमें 4% दोषपूर्ण। यादृच्छिक रूप से चुनी गई वस्तु के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता क्या है?

0.012

सही उत्तरआपका उत्तर

0.019

सही उत्तरआपका उत्तर

0.025

सही उत्तरआपका उत्तर

0.05

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.019$

$0.7 \times 0.01 + 0.3 \times 0.04$ ।
$0.007 + 0.012 = 0.019$ ।

ध्यान देने योग्य

0.025 में 1% और 4% का औसत लिया; दिन की पाली आधे से अधिक वस्तुएँ बनाती है।

प्रश्न 87

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = 0.5$ , $P(B \mid A) = 0.4$ और $P(B \mid A') = 0.2$ । $P(B)$ क्या है?

0.3

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.5

सही उत्तरआपका उत्तर

0.6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0.3$

$A$ और $A'$ प्रतिदर्श समष्टि को बाँटती हैं: $P(B) = P(A)P(B \mid A) + P(A')P(B \mid A')$ ।
$0.5 \times 0.4 + 0.5 \times 0.2 = 0.3$ ।

ध्यान देने योग्य

0.6 में दोनों सप्रतिबंध प्रायिकताएँ $P(A)$ और $P(A')$ से भारित किए बिना जोड़ीं।

प्रश्न 88

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(A) = 0.4$ , $P(B \mid A) = 0.7$ और $P(B) = 0.46$ । $P(B \mid A')$ क्या है?

0.18

सही उत्तरआपका उत्तर

0.3

सही उत्तरआपका उत्तर

0.45

सही उत्तरआपका उत्तर

0.54

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.3$

$P(B) = P(A)P(B \mid A) + P(A')P(B \mid A')$ , इसलिए $0.46 = 0.4 \times 0.7 + 0.6x$ ।
$0.6x = 0.46 - 0.28 = 0.18$ , इसलिए $x = 0.3$ ।

ध्यान देने योग्य

0.18 तो $P(A' \cap B)$ है; इसे अभी $P(A') = 0.6$ से भाग देना है।

प्रश्न 89

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

डाली गई गेंद और निकाली गई गेंद के एक ही रंग की होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{4}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{12}{25}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{17}{30}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{17}{30}$

दोनों लाल: $\frac{3}{5} \times \frac{3}{6} = \frac{9}{30}$ ; दोनों काली: काली गेंद डालने के बाद थैले II में 6 में से 4 काली गेंदें हैं, इसलिए $\frac{2}{5} \times \frac{4}{6} = \frac{8}{30}$ ।
$\frac{9}{30} + \frac{8}{30} = \frac{17}{30}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{12}{25} = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{5}$ में थैले II से पहले जैसा मानकर निकाला, डाली गई गेंद के बिना।

प्रश्न 90

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा फेंका जाता है। यदि उस पर 1 आए, तो कलश I (2 सफ़ेद, 3 काली) से एक गेंद निकाली जाती है; यदि 2 या 3 आए, तो कलश II (4 सफ़ेद, 1 काली) से; अन्यथा कलश III (3 सफ़ेद, 2 काली) से। गेंद के सफ़ेद होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{3}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{17}{30}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{19}{30}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{19}{30}$

$P(\text{I}) = \frac{1}{6}$ , $P(\text{II}) = \frac{2}{6}$ और $P(\text{III}) = \frac{3}{6}$ ।
$P(W) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{5} + \frac{2}{6} \times \frac{4}{5} + \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{2 + 8 + 9}{30} = \frac{19}{30}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{5}$ में तीनों कलशों को बराबर भार दिया; पासा कलश III को कलश I से तीन गुना बार चुनता है।

प्रश्न 91

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

थैले II से निकाली गई गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{3}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{13}{30}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{13}{30}$

डाली गई गेंद के अनुसार बाँटिए: $P(R) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{6} + \frac{2}{5} \times \frac{2}{6}$ ।
$\frac{9}{30} + \frac{4}{30} = \frac{13}{30}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{5}$ गेंद डालने से पहले थैले II में लाल का हिस्सा है; डाली गई गेंद उसे बदल देती है।

प्रश्न 92

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता खो जाता है। फिर बचे हुए 51 पत्तों से यादृच्छिक रूप से एक पत्ता निकाला जाता है। उसके पान का होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{17}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{17}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{13}{51}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{4}$

खोए पत्ते के अनुसार बाँटिए: $\frac{13}{52}$ प्रायिकता से पान, तब 12 पान बचते हैं; $\frac{39}{52}$ प्रायिकता से पान नहीं, तब 13 बचते हैं।
$\frac{13}{52} \times \frac{12}{51} + \frac{39}{52} \times \frac{13}{51} = \frac{156 + 507}{2652} = \frac{1}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{4}{17} = \frac{12}{51}$ में मान लिया कि खोया पत्ता पान था, जो दो स्थितियों में से केवल एक है।

प्रश्न 93

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक नगर में 25% दिन बरसात वाले होते हैं। एक बस बरसात वाले 60% दिनों में देर से चलती है, और अन्य दिनों में से 80% में समय पर। यादृच्छिक रूप से चुने गए दिन बस के देर से चलने की प्रायिकता क्या है?

0.15

सही उत्तरआपका उत्तर

0.3

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.75

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.3$

अन्य दिनों में बस $1 - 0.8 = 0.2$ प्रायिकता से देर से चलती है।
$0.25 \times 0.6 + 0.75 \times 0.2 = 0.15 + 0.15 = 0.3$ ।

ध्यान देने योग्य

0.75 में अन्य दिनों के लिए 80% को देर का अवसर माना, जबकि 80% समय पर चलने का अवसर है।

प्रश्न 94

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

थैले I में 3 लाल और 2 नीली गेंदें हैं; थैले II में 3 लाल और 1 नीली गेंद। यादृच्छिक रूप से एक थैला चुनकर उससे बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक दो गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{369}{800}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{27}{40}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{2}{5}$

थैले I से दोनों लाल: $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ ; थैले II से: $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$ ।
$\frac{1}{2} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{20} + \frac{5}{20} = \frac{2}{5}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{369}{800} = \frac{1}{2}\left(\frac{9}{25} + \frac{9}{16}\right)$ में दूसरे चयन से पहले पहली गेंद वापस रखी।

प्रश्न 95

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मशीनें A, B और C किसी कारखाने के 50%, 30% और 20% बोल्ट बनाती हैं, और उनके 1%, 2% और 3% बोल्ट खराब होते हैं। यादृच्छिक रूप से चुने बोल्ट के खराब होने की प्रायिकता क्या है?

0.01

सही उत्तरआपका उत्तर

0.017

सही उत्तरआपका उत्तर

0.02

सही उत्तरआपका उत्तर

0.06

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.017$

$0.5 \times 0.01 + 0.3 \times 0.02 + 0.2 \times 0.03$ ।
$0.005 + 0.006 + 0.006 = 0.017$ ।

ध्यान देने योग्य

0.02 में तीनों दोष दरों का औसत लिया, मानो हर मशीन एक-तिहाई बोल्ट बनाती हो।

प्रश्न 96

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

थैले II से निकाली गई गेंद लाल है। डाली गई गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{4}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{9}{13}$

माना $E_1$ : डाली गई गेंद लाल है, और $R$ : निकाली गई गेंद लाल है। $P(E_1)\,P(R \mid E_1) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{30}$ , और $P(R) = \frac{13}{30}$ ।
$P(E_1 \mid R) = \frac{9/30}{13/30} = \frac{9}{13}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{5}$ निकाली गई गेंद देखने से पहले डाली गई गेंद के लाल होने का अवसर है; लाल गेंद निकलने से यह अधिक संभावित हो जाता है।

प्रश्न 97

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक थैले में 4 लाल और 3 काली गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकालकर उसी रंग की 2 और गेंदों के साथ थैले में वापस डाल दी जाती है। फिर दूसरी गेंद निकाली जाती है। दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{8}{21}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{4}{7}$

पहली लाल, $\frac{4}{7}$ प्रायिकता से: तब थैले में 9 में से 6 लाल गेंदें हैं। पहली काली, $\frac{3}{7}$ प्रायिकता से: 9 में से 4 लाल।
$\frac{4}{7} \times \frac{6}{9} + \frac{3}{7} \times \frac{4}{9} = \frac{24 + 12}{63} = \frac{4}{7}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$ में मान लिया कि पहली गेंद लाल थी; वह $\frac{3}{7}$ प्रायिकता से काली होती है।

प्रश्न 98

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक दुकान के बीज दो उत्पादकों, X और Y, से आते हैं। X के 80% और Y के 30% बीज अंकुरित होते हैं, और दुकान के सभी बीजों में से 50% अंकुरित होते हैं। यादृच्छिक रूप से चुने गए बीज के X से आने की प्रायिकता क्या है?

0.2

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.6

सही उत्तरआपका उत्तर

0.625

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.4$

$p = P(X)$ लेने पर संपूर्ण प्रायिकता से $0.8p + 0.3(1 - p) = 0.5$ ।
$0.5p = 0.2$ , इसलिए $p = 0.4$ ।

ध्यान देने योग्य

0.625 तो $\frac{0.5}{0.8}$ है, जिसमें Y के बीज छोड़ दिए, जबकि वे भी अंकुरित होते हैं।

प्रश्न 99

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

थैले I में 4 सफ़ेद और 2 काली गेंदें हैं; थैले II में 2 सफ़ेद और 4 काली गेंदें। थैले I से यादृच्छिक रूप से दो गेंदें निकालकर थैले II में डाल दी जाती हैं। फिर थैले II से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है। उसके सफ़ेद होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{5}{12}$

डाली गई दोनों गेंदें सफ़ेद, एक-एक रंग की, या दोनों काली होती हैं, क्रमशः $\frac{6}{15}$ , $\frac{8}{15}$ और $\frac{1}{15}$ प्रायिकता से; तब थैले II में 8 में से 4, 3 या 2 सफ़ेद गेंदें होती हैं।
$\frac{6}{15} \times \frac{4}{8} + \frac{8}{15} \times \frac{3}{8} + \frac{1}{15} \times \frac{2}{8} = \frac{24 + 24 + 2}{120} = \frac{5}{12}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ में थैला II दो गेंदें डालने से पहले जैसा लिया।

बेज़ प्रमेय

26 प्रश्न

प्रश्न 100

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक दुकान अपने 70% अंडे फ़ार्म P से और 30% फ़ार्म Q से लेती है। P के 5% अंडे टूटे होते हैं; Q के 10%। यादृच्छिक रूप से एक अंडा चुना जाता है।

अंडे के फ़ार्म Q से होने और टूटे होने की प्रायिकता क्या है?

0.03

सही उत्तरआपका उत्तर

0.1

सही उत्तरआपका उत्तर

0.13

सही उत्तरआपका उत्तर

0.3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0.03$

$P(Q \cap C) = P(Q)\,P(C \mid Q)$ ।
$0.3 \times 0.1 = 0.03$ ।

ध्यान देने योग्य

0.1, $P(C \mid Q)$ है, Q के अंडों के भीतर की दर, सभी अंडों का हिस्सा नहीं।

प्रश्न 101

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

डिब्बे I में 3 लाल और 7 सफ़ेद गेंदें हैं; डिब्बे II में 6 लाल और 4 सफ़ेद गेंदें। यादृच्छिक रूप से एक डिब्बा चुना जाता है और उससे निकाली गई गेंद लाल है। उसके डिब्बे I से आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{3}{20}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{3}$

$P(R) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{6}{10} = \frac{9}{20}$ ।
$P(\text{I} \mid R) = \frac{3/20}{9/20} = \frac{1}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{10}$ तो $P(R \mid \text{I})$ है, डिब्बे I से लाल का अवसर, उलटी शर्त।

प्रश्न 102

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(E) = 0.2$ , $P(A \mid E) = 0.5$ और $P(A) = 0.25$ । $P(E \mid A)$ क्या है?

0.1

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.5

सही उत्तरआपका उत्तर

0.8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.4$

$P(E \mid A) = \frac{P(E)\,P(A \mid E)}{P(A)}$ ।
$\frac{0.2 \times 0.5}{0.25} = \frac{0.1}{0.25} = 0.4$ ।

ध्यान देने योग्य

0.1 तो $P(E \cap A)$ है, यानी अंश, $P(A)$ से भाग देने से पहले।

प्रश्न 103

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सिक्का A न्याय्य है; सिक्के B के दोनों ओर चित है। यादृच्छिक रूप से एक सिक्का चुनकर उछाला जाता है, और चित आता है। उसके सिक्का B होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{2}{3}$

$P(H) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times 1 = \frac{3}{4}$ ।
$P(B \mid H) = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2}$ में चित को अनदेखा किया; सिक्का B हर बार चित दिखाता है, इसलिए चित उसकी ओर इशारा करता है।

प्रश्न 104

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. बेज़ प्रमेय $P(A \mid E_i)$ निकालता है जब $P(E_i \mid A)$ ज्ञात हों।

II. $A$ देखने के बाद की प्रायिकता $P(E_i \mid A)$ , $P(E_i)$ से अधिक हो सकती है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल II

I: यह उलटा है; बेज़ प्रमेय ज्ञात $P(A \mid E_i)$ को $P(E_i \mid A)$ में बदलता है। गलत।
II: ऊपर चित ने सिक्के B को $\frac{1}{2}$ से $\frac{2}{3}$ कर दिया। सही।

प्रश्न 105

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अंडे के टूटे होने की प्रायिकता क्या है?

0.035

सही उत्तरआपका उत्तर

0.065

सही उत्तरआपका उत्तर

0.075

सही उत्तरआपका उत्तर

0.15

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.065$

$P(C) = 0.7 \times 0.05 + 0.3 \times 0.1$ ।
$0.035 + 0.03 = 0.065$ ।

ध्यान देने योग्य

0.075 में 5% और 10% का औसत लिया, मानो दोनों फ़ार्म बराबर अंडे भेजते हों।

प्रश्न 106

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): बेज़ प्रमेय में घटनाएँ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ परस्पर अपवर्जी होनी चाहिए और मिलकर प्रतिदर्श समष्टि को ढकें।

कारण (R): बेज़ प्रमेय का हर $P(A) = \sum P(E_i)\,P(A \mid E_i)$ है, और संपूर्ण प्रायिकता प्रमेय यह योग केवल तब देता है जब $E_i$ परस्पर अपवर्जी हों और प्रतिदर्श समष्टि को ढकें।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

A सही है: $E_i$ एक विभाजन बनाती हैं।
R सही है और A की व्याख्या करता है: विभाजन ही बेज़ प्रमेय के हर को $A$ की संपूर्ण प्रायिकता बनाता है।

प्रश्न 107

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीन थैलों में से हर एक में 5 गेंदें हैं: थैले I में 2 सफ़ेद, थैले II में 3 सफ़ेद और थैले III में 4 सफ़ेद हैं, शेष काली हैं। यादृच्छिक रूप से एक थैला चुना जाता है और उससे निकाली गई गेंद सफ़ेद है। उसके थैले III से आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{4}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{4}{9}$

$P(W) = \frac{1}{3}\left(\frac{2}{5} + \frac{3}{5} + \frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}$ ।
$P(\text{III} \mid W) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{9}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3}$ गेंद देखने से पहले थैले III का अवसर है; सफ़ेद गेंद सबसे अधिक सफ़ेद गेंदों वाले थैले की ओर इशारा करती है।

प्रश्न 108

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$P(E) = 0.4$ , $P(A \mid E) = 0.5$ और $P(A \mid E') = 0.2$ । $P(E \mid A)$ क्या है?

0.2

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.5

सही उत्तरआपका उत्तर

0.625

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $0.625$

$P(A) = 0.4 \times 0.5 + 0.6 \times 0.2 = 0.2 + 0.12 = 0.32$ ।
$P(E \mid A) = \frac{0.2}{0.32} = 0.625$ ।

ध्यान देने योग्य

0.5 तो $P(A \mid E)$ है, उलटी दिशा की सप्रतिबंध प्रायिकता।

प्रश्न 109

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कूरियर राजमार्ग, शहर की सड़क या पहाड़ी सड़क को क्रमशः $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{6}$ प्रायिकता से चुनता है। पार्सल राजमार्ग पर $\frac{1}{10}$ , शहर की सड़क पर $\frac{1}{5}$ और पहाड़ी सड़क पर $\frac{1}{2}$ प्रायिकता से देर से पहुँचता है। एक पार्सल देर से पहुँचा। उसके पहाड़ी सड़क से जाने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{5}{12}$

$P(D) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{3 + 4 + 5}{60} = \frac{1}{5}$ ।
पहाड़ी सड़क का हिस्सा: $\frac{1/12}{1/5} = \frac{5}{12}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{6}$ देरी का पता चलने से पहले पहाड़ी सड़क का अवसर है; देरी वहीं सबसे अधिक होती है।

प्रश्न 110

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

थैले I में 3 लाल और 1 काली गेंद है; थैले II में 2 लाल और 2 काली गेंदें। यादृच्छिक रूप से एक थैला चुनकर उससे एक गेंद निकाली जाती है; $R$ गेंद के लाल होने की घटना है। निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $P(\text{I} \mid R) = \frac{3}{5}$ ।

II. $P(\text{I} \mid R) + P(\text{II} \mid R) = 1$ ।

III. $P(\text{I} \mid R) + P(\text{I} \mid R') = 1$ ।

IV. $P(\text{II} \mid R') = \frac{2}{3}$ ।

केवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरI, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II, III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I, II और IV

$P(R) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{4} = \frac{5}{8}$ , इसलिए $P(\text{I} \mid R) = \frac{3/8}{5/8} = \frac{3}{5}$ ; $P(R') = \frac{3}{8}$ , इसलिए $P(\text{II} \mid R') = \frac{2/8}{3/8} = \frac{2}{3}$ । I और IV सही हैं।
II सही है: $R$ दिया हो तो गेंद ठीक एक थैले से आई है। III गलत है: $P(\text{I} \mid R') = \frac{1}{3}$ , और $\frac{3}{5} + \frac{1}{3} = \frac{14}{15}$ ।

ध्यान देने योग्य

एक ही शर्त के अंतर्गत दोनों थैलों के अवसरों का योग 1 होता है; दो भिन्न शर्तों के अंतर्गत एक ही थैले के अवसरों का नहीं।

प्रश्न 111

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

प्रिंटर $X$ , $Y$ और $Z$ किसी कार्यालय के 30%, 45% और 25% पृष्ठ छापते हैं, और उनके क्रमशः 2%, 4% और 6% पृष्ठ धुँधले होते हैं। यादृच्छिक रूप से एक पृष्ठ चुना जाता है, और $S$ उसके धुँधले होने की घटना है। सूची I की हर प्रायिकता को सूची II में उसके मान से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $P(S)$	I. $\frac{2}{13}$
B. $P(X \mid S)$	II. $\frac{5}{13}$
C. $P(Y \mid S)$	III. $0.039$
D. $P(Z \mid S)$	IV. $\frac{6}{13}$

A-III, B-I, C-IV, D-IIसही उत्तरआपका उत्तरA-III, B-IV, C-I, D-IIसही उत्तरआपका उत्तरA-III, B-I, C-II, D-IVसही उत्तरआपका उत्तरA-III, B-II, C-IV, D-Iसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A-III, B-I, C-IV, D-II

$P(S) = 0.3 \times 0.02 + 0.45 \times 0.04 + 0.25 \times 0.06 = 0.006 + 0.018 + 0.015 = 0.039$ ।
$P(X \mid S) = \frac{6}{39} = \frac{2}{13}$ , $P(Y \mid S) = \frac{18}{39} = \frac{6}{13}$ और $P(Z \mid S) = \frac{15}{39} = \frac{5}{13}$ ।

ध्यान देने योग्य

तीनों प्रिंटरों के अवसरों का योग 1 है, क्योंकि धुँधला पृष्ठ ठीक एक प्रिंटर से आया है।

प्रश्न 112

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): थैले I में 1 लाल और 4 काली गेंदें हैं, और थैले II में 3 लाल और 2 काली गेंदें। यादृच्छिक रूप से एक थैला चुना जाता है और उससे एक लाल गेंद निकलती है। तब थैले II के चुने जाने की संभावना थैले I की तीन गुनी है।

कारण (R): जब $P(\text{I}) = P(\text{II})$ , तब $\frac{P(\text{II} \mid R)}{P(\text{I} \mid R)} = \frac{P(R \mid \text{II})}{P(R \mid \text{I})}$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

R: बेज़ प्रमेय से दोनों प्रायिकताओं का हर एक ही $P(R)$ है, और बराबर $P(\text{I})$ और $P(\text{II})$ कट जाते हैं, $P(R \mid \text{II})$ और $P(R \mid \text{I})$ का अनुपात बचता है। सही।
A: वह अनुपात $\frac{3/5}{1/5} = 3$ है। सही, और R ही इसका कारण है।

ध्यान देने योग्य

जब थैलों के चुने जाने के अवसर बराबर हों, तो लाल गेंद के बाद हर थैले का अवसर उसके लाल देने के अवसर के अनुपात में होता है।

प्रश्न 113

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

थैले I में 3 लाल और 4 काली गेंदें हैं; थैले II में 5 लाल और 4 काली। यादृच्छिक रूप से एक थैला चुना जाता है और उससे निकली गेंद लाल है। इसके थैले II से आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{35}{62}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{35}{62}$

$P(\text{II} \mid R) = \frac{P(\text{II})P(R \mid \text{II})}{P(R)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}}{\frac{31}{63}}$ ।
$\frac{5}{18} \times \frac{63}{31} = \frac{35}{62}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{9}$ तो $P(R \mid \text{II})$ है, उलटी दिशा का अवसर।

प्रश्न 114

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मशीनें A, B और C किसी कारखाने के 50%, 30% और 20% बोल्ट बनाती हैं, और उनके 1%, 2% और 3% बोल्ट खराब होते हैं। यादृच्छिक रूप से चुना एक बोल्ट खराब है। इसके मशीन C से बनने की प्रायिकता क्या है?

\frac{3}{100}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{6}{17}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{6}{17}$

$P(C \mid F) = \frac{0.2 \times 0.03}{0.017} = \frac{0.006}{0.017}$ ।
$= \frac{6}{17}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{5}$ सभी बोल्टों में C का हिस्सा है; खराब बोल्टों में उसका हिस्सा अधिक है, क्योंकि उसकी दोष दर सबसे अधिक है।

प्रश्न 115

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक स्थिति 1% लोगों में होती है। एक परीक्षण उसे उन 90% में पकड़ता है जिनमें वह है, और जिनमें नहीं है उनमें से 10% में गलती से दिखाता है। एक व्यक्ति का परीक्षण धनात्मक आता है। उसमें वह स्थिति होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{9}{1000}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{9}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{12}$

माना $D$ स्थिति होना है और $T$ धनात्मक परीक्षण: $P(T) = 0.01 \times 0.9 + 0.99 \times 0.1 = 0.009 + 0.099 = 0.108$ ।
$P(D \mid T) = \frac{0.009}{0.108} = \frac{1}{12}$ ।

ध्यान देने योग्य

0.9 स्थिति वाले व्यक्ति के धनात्मक परीक्षण का अवसर है, धनात्मक परीक्षण के बाद स्थिति होने का नहीं।

प्रश्न 116

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा फेंका जाता है। यदि उस पर 1 या 2 आए, तो थैले A (3 लाल, 2 सफ़ेद) से गेंद निकाली जाती है; अन्यथा थैले B (1 लाल, 4 सफ़ेद) से। निकाली गई गेंद लाल है। उसके थैले A से आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{3}{5}$

$P(R) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{3}$ ।
$P(A \mid R) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{3}{5}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3}$ गेंद देखने से पहले थैले A का अवसर है; लाल गेंद थैले A को अधिक संभावित बनाती है।

प्रश्न 117

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मशीन $M_1$ किसी कारखाने के 60% पेन बनाती है और मशीन $M_2$ शेष; $M_1$ के 2% और $M_2$ के 3% पेन दोषपूर्ण हैं। यादृच्छिक रूप से चुना गया पेन दोषपूर्ण है। उसे $M_2$ ने बनाया हो, इसकी प्रायिकता क्या है?

0.03

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.5

सही उत्तरआपका उत्तर

0.6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $0.5$

$P(D) = 0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.03 = 0.012 + 0.012 = 0.024$ ।
$P(M_2 \mid D) = \frac{0.012}{0.024} = 0.5$ ।

ध्यान देने योग्य

0.4 सभी पेनों में $M_2$ का हिस्सा है; उसकी अधिक दोष दर दोषपूर्ण पेनों में उसका हिस्सा आधा कर देती है।

प्रश्न 118

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

हर प्रश्न में 5 विकल्पों वाली परीक्षा में एक विद्यार्थी $\frac{3}{5}$ प्रायिकता से उत्तर जानता है और अन्यथा अनुमान लगाता है। विद्यार्थी एक प्रश्न का सही उत्तर देता है। उसके उत्तर जानने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{17}{25}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{15}{17}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{15}{17}$

माना $K$ उत्तर जानना है और $C$ सही उत्तर देना: $P(C) = \frac{3}{5} \times 1 + \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{17}{25}$ ।
$P(K \mid C) = \frac{3/5}{17/25} = \frac{15}{17}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{17}{25}$ सही उत्तर का अवसर है, यानी हर, स्वयं उत्तर नहीं।

प्रश्न 119

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

डिब्बे I में 2 सफ़ेद और 3 काली गेंदें हैं; डिब्बे II में 4 सफ़ेद और 1 काली। यादृच्छिक रूप से एक डिब्बा चुना जाता है और उससे निकाली गई गेंद सफ़ेद है। उसके डिब्बे II से आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{2}{3}$

$P(W) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$ ।
$P(\text{II} \mid W) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{5}$ , $P(W)$ है, सफ़ेद का कुल अवसर; बेज़ प्रमेय उससे भाग देता है।

प्रश्न 120

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अंडा टूटा है। उसके फ़ार्म Q से आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{6}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{6}{13}$

$P(Q \mid C) = \frac{P(Q \cap C)}{P(C)} = \frac{0.03}{0.065}$ ।
$= \frac{30}{65} = \frac{6}{13}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{7}{13}$ उसके फ़ार्म P से आने का अवसर है।

प्रश्न 121

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अंडा टूटा नहीं है। उसके फ़ार्म P से आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{54}{187}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{133}{187}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{19}{20}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{133}{187}$

$P(C') = 1 - 0.065 = 0.935$ , और $P(P \cap C') = 0.7 \times 0.95 = 0.665$ ।
$P(P \mid C') = \frac{0.665}{0.935} = \frac{133}{187}$ ।

ध्यान देने योग्य

0.95, $P(C' \mid P)$ है, उलटी सप्रतिबंध प्रायिकता; उत्तर P के 0.7 हिस्से से थोड़ा ही अधिक है।

प्रश्न 122

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा फेंका जाता है। यदि उस पर 1 आए, तो कलश I (2 सफ़ेद, 3 काली) से एक गेंद निकाली जाती है; यदि 2 या 3 आए, तो कलश II (4 सफ़ेद, 1 काली) से; अन्यथा कलश III (3 सफ़ेद, 2 काली) से। निकाली गई गेंद सफ़ेद है। उसके कलश II से आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{8}{19}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{8}{19}$

$P(W) = \frac{19}{30}$ , और $P(\text{II})\,P(W \mid \text{II}) = \frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{30}$ ।
$P(\text{II} \mid W) = \frac{8/30}{19/30} = \frac{8}{19}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ गेंद देखने से पहले कलश II का अवसर है; कलश II सबसे अधिक बार सफ़ेद देता है, इसलिए सफ़ेद गेंद इसे बढ़ा देती है।

प्रश्न 123

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक निरीक्षक के पास आने वाली 20% वस्तुएँ दोषपूर्ण होती हैं। निरीक्षक 90% दोषपूर्ण वस्तुओं को चिह्नित करता है, और 5% अच्छी वस्तुओं को भी गलती से चिह्नित कर देता है। एक वस्तु चिह्नित नहीं हुई। उसके दोषपूर्ण होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{39}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{39}{50}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{39}$

चिह्नित नहीं: दोषपूर्ण $0.2 \times 0.1 = 0.02$ और अच्छी $0.8 \times 0.95 = 0.76$ , कुल $0.78$ ।
$\frac{0.02}{0.78} = \frac{1}{39}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{10}$ किसी दोषपूर्ण वस्तु के छूट जाने का अवसर है, चिह्नित न हुई वस्तु के दोषपूर्ण होने का नहीं।

प्रश्न 124

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

थैले I में 3 लाल और 2 नीली गेंदें हैं; थैले II में 3 लाल और 1 नीली गेंद। यादृच्छिक रूप से एक थैला चुनकर उससे बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक दो गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों लाल हैं। थैले II के चुने जाने की प्रायिकता क्या है?

\frac{3}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{5}{8}$

$P(RR \mid \text{I}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ और $P(RR \mid \text{II}) = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$ , इसलिए $P(RR) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5}$ ।
$P(\text{II} \mid RR) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}{\frac{2}{5}} = \frac{5}{8}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{5}{9}$ एक लाल गेंद के बाद का उत्तर है; दूसरी लाल गेंद, जो थैले II से अधिक संभावित है, अवसर और बढ़ा देती है।

प्रश्न 125

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक थैले में 3 न्याय्य सिक्के और 1 ऐसा सिक्का है जिसके दोनों ओर चित है। यादृच्छिक रूप से एक सिक्का चुनकर दो बार उछाला जाता है, और दोनों बार चित आता है। उसके दोनों ओर चित वाला सिक्का होने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{4}{7}$

न्याय्य सिक्के से दो चित $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ प्रायिकता से आते हैं और दोनों ओर चित वाले सिक्के से प्रायिकता 1 से, इसलिए $P(HH) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \times 1 = \frac{7}{16}$ ।
$\frac{1/4}{7/16} = \frac{4}{7}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{2}{5}$ एक चित के बाद का उत्तर है; दूसरा चित दोनों ओर चित वाले सिक्के को और अधिक संभावित बनाता है।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।