CUET Applied Maths के लिए मॉड्यूलो अंकगणित और सर्वांगसमता

Q: a mod n का क्या अर्थ है?

a mod n वह शेषफल है जो पूर्णांक a को धनात्मक पूर्णांक n से भाग देने पर बचता है। यह सदा 0, 1, 2,, n - 1 में से एक होता है, a ऋणात्मक हो तब भी।

Q: मॉड्यूलो n में जोड़ते या गुणा कैसे करते हैं?

पहले हर संख्या को मॉड्यूलो n में घटाइए, फिर शेषफलों को जोड़िए, घटाइए या गुणा कीजिए, और परिणाम को एक बार फिर घटाइए। उत्तर पूरी संख्याओं से काम करने जैसा ही आता है, और कहीं जल्दी।

Q: a ≡ b (mod n) का क्या अर्थ है?

a ≡ b (mod n), जिसे "मॉड्यूलो n में a, b के सर्वांगसम है" पढ़ते हैं, का अर्थ है कि n, a - b को विभाजित करता है। यानी n से भाग देने पर a और b एक ही शेषफल छोड़ते हैं।

Q: रैखिक सर्वांगसमता कैसे हल करते हैं?

ax ≡ b (mod n) हल करने के लिए मॉड्यूलो n में a का गुणनात्मक प्रतिलोम खोजिए, वह संख्या जिससे a को गुणा करने पर 1 मिले, और दोनों ओर उससे गुणा कीजिए। छोटे n के लिए x = 0, 1,, n - 1 आज़माना भी उतना ही तेज़ है।

Q: शेष-वर्ग क्या होता है?

मॉड्यूलो n में शेष-वर्ग [r] उन सभी पूर्णांकों का समुच्चय है जो n से भाग देने पर शेषफल r छोड़ते हैं। ये ठीक n होते हैं, [0], [1],, [n - 1]; इनमें कोई सदस्य साझा नहीं होता और मिलकर इनमें हर पूर्णांक आता है।

सीखने में लगभग 5 मिनट · 97 प्रश्न

मॉड्यूलो अंकगणित CUET गणित के Section B2 की शुरुआत है, Applied Mathematics वाला सेक्शन, जिसे आप Section B1 की जगह Applied Mathematics चुनने पर हल करते हैं। इसके प्रश्न छोटे और सटीक होते हैं, इसलिए नियम साफ़ हों तो ये जल्दी मिलने वाले अंक हैं। शेषफल और mod संक्रिया से लेकर मॉड्यूलर योग, अंतर और गुणन, सर्वांगसमता मॉड्यूलो n, सर्वांगसमताएँ हल करने और शेष-वर्गों तक हर नियम यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र: Section B2: Applied Mathematics

इस पृष्ठ पर · 10 भाग

01मॉड्यूलो संक्रिया
02मॉड्यूलर योग, अंतर और गुणन
03सर्वांगसमता मॉड्यूलो n
04सर्वांगसमता से हल
05शेष-वर्ग
06CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
07परीक्षा के लिए शॉर्टकट
08आम भूलें
09त्वरित पुनरावृत्ति
10अपनी समझ जाँचें

मॉड्यूलो संक्रिया

एक दुकान की साप्ताहिक सेल सोमवार को शुरू होती है। 45 दिन बाद कौन-सा दिन होगा? कैलेंडर पर 45 दिन कोई नहीं गिनता: दिन हर 7 में दोहराते हैं, इसलिए केवल 45 को 7 से भाग देने का शेषफल मायने रखता है। वही शेषफल पूरा मॉड्यूलो अंकगणित है, और अध्याय के अंत तक हम इससे कहीं कठिन प्रश्नों के उत्तर देंगे।

a mod n का क्या अर्थ है?

$a \bmod n$ वह शेषफल है जो पूर्णांक $a$ को धनात्मक पूर्णांक $n$ से भाग देने पर बचता है। यह सदा $0, 1, 2, \dots, n - 1$ में से एक होता है, $a$ ऋणात्मक हो तब भी।

उदाहरण 1 · धनात्मक और ऋणात्मक के शेषफल

$53 \bmod 7$ और $(-17) \bmod 5$ निकालिए।

$53 = 7 \times 7 + 4$ , इसलिए $53 \bmod 7 = 4$ ।
$-17$ के लिए उससे ठीक नीचे का 5 का गुणज लीजिए: $-17 = 5 \times (-4) + 3$ ।

उत्तर

$53 \bmod 7 = 4$ और $(-17) \bmod 5 = 3$ ।

दुकान पर लौटें: $45 = 7 \times 6 + 3$ , इसलिए 45 दिन बाद सोमवार से 3 दिन आगे, यानी गुरुवार।

सावधान

शेषफल कभी ऋणात्मक नहीं होता। $(-17) \bmod 5$ , $-2$ नहीं है: $-17$ से नीचे के 5 के गुणज, $-20$ , तक जाइए और ऊपर गिनिए।

मॉड्यूलर योग, अंतर और गुणन

मॉड्यूलो n में जोड़ते या गुणा कैसे करते हैं?

पहले हर संख्या को मॉड्यूलो $n$ में घटाइए, फिर शेषफलों को जोड़िए, घटाइए या गुणा कीजिए, और परिणाम को एक बार फिर घटाइए। उत्तर पूरी संख्याओं से काम करने जैसा ही आता है, और कहीं जल्दी।

उदाहरण 2 · पहले घटाना

$(46 + 38) \bmod 7$ और $(46 \times 38) \bmod 7$ निकालिए।

$46 \bmod 7 = 4$ और $38 \bmod 7 = 3$ ।
योग: $4 + 3 = 7$ , और $7 \bmod 7 = 0$ । गुणनफल: $4 \times 3 = 12$ , और $12 \bmod 7 = 5$ ।

उत्तर

$(46 + 38) \bmod 7 = 0$ और $(46 \times 38) \bmod 7 = 5$ ।

घातें भी ऐसे ही चलती हैं: कोई छोटी घात खोजिए जो शेषफल 1 दे, बाकी दोहराता है। $3^{2} = 9 \equiv 1 \pmod{8}$ , इसलिए 3 की हर सम घात 8 से भाग देने पर 1 छोड़ती है, और $3^{10} \bmod 8 = 1$ ।

मुख्य बात

किसी संख्या का अंतिम अंक उसका मॉड्यूलो 10 शेषफल है। $3, 3^{2}, 3^{3}, 3^{4}$ के अंतिम अंक 3, 9, 7, 1 हैं और फिर दोहराते हैं, इसलिए $3^{22}$ , जहाँ $22 = 4 \times 5 + 2$ , का अंतिम अंक 9 है।

सर्वांगसमता मॉड्यूलो n

a ≡ b (mod n) का क्या अर्थ है?

$a \equiv b \pmod{n}$ , जिसे "मॉड्यूलो $n$ में $a$ , $b$ के सर्वांगसम है" पढ़ते हैं, का अर्थ है कि $n$ , $a - b$ को विभाजित करता है। यानी $n$ से भाग देने पर $a$ और $b$ एक ही शेषफल छोड़ते हैं।

इसलिए $29 \equiv 5 \pmod{8}$ , क्योंकि $29 - 5 = 24 = 8 \times 3$ , और दोनों शेषफल 5 छोड़ते हैं।

जोड़ने, घटाने, गुणा करने और घात लेने में सर्वांगसमताएँ समीकरणों जैसा व्यवहार करती हैं: यदि $a \equiv b \pmod{n}$ , तो मॉड्यूलो $n$ में $a + c \equiv b + c$ , $ac \equiv bc$ और $a^{k} \equiv b^{k}$ ।

सावधान

भाग देना अलग है। $2 \times 4 \equiv 2 \times 1 \pmod{6}$ , क्योंकि दोनों ओर शेषफल 2 है, पर $4 \not\equiv 1 \pmod{6}$ । कोई गुणनखंड तभी काटिए जब उसका $n$ से कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।

सर्वांगसमता से हल

रैखिक सर्वांगसमता कैसे हल करते हैं?

$ax \equiv b \pmod{n}$ हल करने के लिए मॉड्यूलो $n$ में $a$ का गुणनात्मक प्रतिलोम खोजिए, वह संख्या जिससे $a$ को गुणा करने पर 1 मिले, और दोनों ओर उससे गुणा कीजिए। छोटे $n$ के लिए $x = 0, 1, \dots, n - 1$ आज़माना भी उतना ही तेज़ है।

उदाहरण 3 · रैखिक सर्वांगसमता

$2x \equiv 3 \pmod{5}$ हल कीजिए।

मॉड्यूलो 5 में 2 का प्रतिलोम 3 है, क्योंकि $2 \times 3 = 6 \equiv 1$ ।
दोनों ओर 3 से गुणा कीजिए: $x \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$ । जाँच: $2 \times 4 = 8 \equiv 3$ ।

उत्तर

$x \equiv 4 \pmod{5}$ : $x = 4, 9, 14, \dots$

$ax \equiv b \pmod{n}$ का हल ठीक तब होता है जब $\gcd(a, n)$ , $b$ को विभाजित करे, और तब $0, 1, \dots, n - 1$ में उसके $\gcd(a, n)$ हल होते हैं। इसलिए $4x \equiv 2 \pmod{6}$ के दो हल हैं, $x = 2$ और $x = 5$ , जबकि $4x \equiv 3 \pmod{6}$ का कोई हल नहीं।

शेष-वर्ग

शेष-वर्ग क्या होता है?

मॉड्यूलो $n$ में शेष-वर्ग $[r]$ उन सभी पूर्णांकों का समुच्चय है जो $n$ से भाग देने पर शेषफल $r$ छोड़ते हैं। ये ठीक $n$ होते हैं, $[0], [1], \dots, [n - 1]$ ; इनमें कोई सदस्य साझा नहीं होता और मिलकर इनमें हर पूर्णांक आता है।

उदाहरण के लिए, मॉड्यूलो 5 में $[2] = \{\dots, -8, -3, 2, 7, 12, \dots\}$ । ये पाँच वर्ग $\mathbb{Z}_5$ बनाते हैं, जहाँ वर्गों को उनके सदस्यों से जोड़ा और गुणा किया जाता है: $[3] + [4] = [7] = [2]$ और $[3] \times [4] = [12] = [2]$ ।

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

mod संक्रिया: शेषफल, ऋणात्मक संख्या का शेषफल, घड़ी या कैलेंडर के प्रश्न।
मॉड्यूलर अंकगणित: मॉड्यूलो $n$ में योग, अंतर या गुणनफल, किसी घात का शेषफल, अंतिम अंक।
सर्वांगसमता: कौन-सी सर्वांगसमता सही है, कौन-सा मापांक काम करता है, कौन-से गुणधर्म सदा सही हैं।
हल और वर्ग: रैखिक सर्वांगसमता, प्रतिलोम, कितने हल, कौन-सी संख्याएँ एक वर्ग में हैं।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

जोड़ने, घटाने या गुणा करने से पहले हर संख्या घटाइए।
घात के लिए वह पहली घात खोजिए जो 1 दे, फिर घातांक का शेषफल लीजिए।
अंतिम अंक = मॉड्यूलो 10 शेषफल; घातों के अंतिम अंक अधिकतम 4 के चक्र में दोहराते हैं।
$a \equiv b \pmod{n}$ : जाँचिए कि $n$ , $a - b$ को विभाजित करता है।
$ax \equiv b \pmod{n}$ हल योग्य ⇔ $\gcd(a, n)$ , $b$ को विभाजित करे।

आम भूलें

ऋणात्मक शेषफल देना, या शेषफल की जगह भागफल देना।
12 मॉड्यूलो 7 जैसे अंतिम उत्तर को घटाना भूल जाना।
ऐसा गुणनखंड काटना जिसका मापांक से उभयनिष्ठ गुणनखंड हो।
योज्य प्रतिलोम (योग 0) और गुणनात्मक प्रतिलोम (गुणनफल 1) में गड़बड़।

त्वरित पुनरावृत्ति

mod और अंकगणित

$a \bmod n$ : शेषफल, $0$ से $n - 1$
घटाइए, फिर जोड़िए, घटाइए, गुणा कीजिए; घातें दोहराती हैं

सर्वांगसमता

$a \equiv b \pmod{n}$ ⇔ $n$ , $a - b$ को विभाजित करे
$ax \equiv b$ के लिए $\gcd(a, n)$ को $b$ विभाजित करना चाहिए
$n$ शेष-वर्ग, असंयुक्त, हर पूर्णांक को ढकते हुए

Section B2 में आगे: अलग-अलग मूल्यों की मात्राएँ मिलाना, एलीगेशन और मिश्रण में।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

97 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

मॉड्यूलो संक्रियाप्र1 / 97प्र1

मॉड्यूलो संक्रिया

21 प्रश्न

प्रश्न 1

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$47 \bmod 6$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $5$

$a \bmod n$ वह शेषफल है जो $a$ को $n$ से भाग देने पर बचता है।
$47 = 6 \times 7 + 5$ , इसलिए $47 \bmod 6 = 5$ ।

ध्यान देने योग्य

7 भागफल है, शेषफल नहीं।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

12 घंटे वाली घड़ी 9 बजा रही है। 50 घंटे बाद वह कौन-सा घंटा दिखाएगी?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $11$

घंटा हर 12 घंटे में दोहराता है, इसलिए मॉड्यूलो 12 में काम कीजिए।
$9 + 50 = 59$ और $59 = 12 \times 4 + 11$ , इसलिए घड़ी 11 दिखाएगी।

ध्यान देने योग्य

2 केवल $50 \bmod 12$ है; घड़ी 9 से शुरू हुई थी, यह भूल गए।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

आज बुधवार है। आज से 100 दिन बाद सप्ताह का कौन-सा दिन होगा?

शनिवारसही उत्तरआपका उत्तरशुक्रवारसही उत्तरआपका उत्तरगुरुवारसही उत्तरआपका उत्तरबुधवारसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · शुक्रवार

दिन हर 7 में दोहराते हैं, इसलिए केवल $100 \bmod 7$ मायने रखता है: $100 = 7 \times 14 + 2$ ।
बुधवार से दो दिन बाद शुक्रवार है।

ध्यान देने योग्य

शनिवार 3 दिन आगे गिनता है, मानो 100 का शेष 3 हो।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

24 घंटे वाली घड़ी पर 15:00 बजे हैं। 100 घंटे बाद वह कौन-सा घंटा दिखाएगी?

4

सही उत्तरआपका उत्तर

19

सही उत्तरआपका उत्तर

20

सही उत्तरआपका उत्तर

21

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $19$

24 घंटे वाली घड़ी मॉड्यूलो 24 में चलती है: $15 + 100 = 115$ ।
$115 = 24 \times 4 + 19$ , इसलिए वह 19:00 दिखाएगी।

ध्यान देने योग्य

4 तो $100 \bmod 24$ है; घड़ी 15:00 से शुरू हुई थी, यह भूल गए।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x \bmod 6 = 4$ । $(x + 5) \bmod 6$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $3$

$x = 6q + 4$ , इसलिए $x + 5 = 6q + 9 = 6(q + 1) + 3$ ।
शेषफल 3 है।

ध्यान देने योग्य

9 मॉड्यूलो 6 का शेषफल नहीं; इसे घटाइए: $9 = 6 + 3$ ।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $0 \bmod 5 = 0$ ।

II. यदि $a \bmod n = 0$ , तो $n$ , $a$ को विभाजित करता है।

केवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIसही उत्तरआपका उत्तरI और II दोनोंसही उत्तरआपका उत्तरन I, न IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · I और II दोनों

I: $0 = 5 \times 0 + 0$ । सही।
II: शेषफल 0 का अर्थ है $a = nq$ , $n$ का गुणज। सही।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$125 \bmod 9$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $8$

9 से भाग देकर शेषफल रखिए, जो $0, 1, \dots, 8$ में से एक होना चाहिए।
$125 = 9 \times (13) + 8$ , इसलिए उत्तर 8 है।

ध्यान देने योग्य

13 भागफल है, शेषफल नहीं।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कारख़ाना चौबीसों घंटे चलता है। एक मशीन की हर 30 घंटे पर सर्विस होती है, पहली सर्विस सोमवार को 06:00 बजे। पालियाँ 06:00 से 14:00, 14:00 से 22:00 और 22:00 से 06:00 तक चलती हैं।

दूसरी सर्विस दिन के किस समय होती है?

06:00सही उत्तरआपका उत्तर18:00सही उत्तरआपका उत्तर00:00सही उत्तरआपका उत्तर12:00सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 12:00

दिन का समय मॉड्यूलो 24 में चलता है: $6 + 30 = 36$ , और $36 = 24 + 12$ ।
इसलिए दूसरी सर्विस मंगलवार को 12:00 बजे है।

ध्यान देने योग्य

06:00 में 30 के बजाय 24 घंटे जोड़े।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(-23) \bmod 5$ क्या है?

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

-2

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $2$

मॉड्यूलो 5 का शेषफल सदा 0, 1, 2, 3 और 4 में से एक होता है, भाज्य ऋणात्मक हो तब भी।
$-23 = 5 \times (-5) + 2$ , इसलिए $(-23) \bmod 5 = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

−3 में 23 का शेषफल लेकर चिह्न वापस लगाया गया, पर शेषफल ऋणात्मक नहीं हो सकता।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी संख्या $a$ को 8 से भाग देने पर शेषफल 5 बचता है। इनमें से $a$ कौन-सी हो सकती है?

37

सही उत्तरआपका उत्तर

43

सही उत्तरआपका उत्तर

50

सही उत्तरआपका उत्तर

59

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $37$

$a \bmod 8 = 5$ का अर्थ है $a = 8q + 5$ : 5, 13, 21, 29, 37, 45, …
$37 = 8 \times 4 + 5$ । बाकी 3, 2 और 3 शेष छोड़ती हैं।

ध्यान देने योग्य

43, 38 से 5 अधिक है, पर 38, 8 का गुणज नहीं है।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. $a \bmod n$ सदा $0, 1, \dots, n - 1$ में से एक होता है।

II. $(-1) \bmod n = n - 1$ ।

III. हर पूर्णांक $a$ के लिए $(-a) \bmod n = a \bmod n$ ।

IV. $a \bmod n = 0$ ठीक तब जब $n$ , $a$ को विभाजित करे।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I, II और IV

I शेषफल की परिभाषा है, और IV कहता है कि शेषफल 0 है। II के लिए, $-1 = n \times (-1) + (n - 1)$ ।
III गलत है: $3 \bmod 5 = 3$ पर $(-3) \bmod 5 = 2$ ।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$-38$ को 7 से भाग देने पर भागफल $q$ और शेषफल $r$ मिलते हैं, जहाँ $0 \le r < 7$ । $q$ और $r$ क्या हैं?

q = -6,\ r = 4

सही उत्तरआपका उत्तर

q = -5,\ r = -3

सही उत्तरआपका उत्तर

q = -5,\ r = 3

सही उत्तरआपका उत्तर

q = 6,\ r = 4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $q = -6,\ r = 4$

$-38$ से ठीक नीचे का 7 का गुणज लीजिए: $7 \times (-6) = -42$ ।
$-38 = 7 \times (-6) + 4$ , इसलिए $q = -6$ और $r = 4$ ।

ध्यान देने योग्य

$q = -5,\ r = -3$ से $-38$ बनता तो है, पर उसका शेषफल $0 \le r < 7$ तोड़ता है।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सूची I के हर व्यंजक को सूची II में उसके मान से मिलाइए।

सूची I	सूची II
A. $25 \bmod 7$	I. $2$
B. $36 \bmod 9$	II. $4$
C. $(-10) \bmod 6$	III. $1$
D. $100 \bmod 11$	IV. $0$

A-IV, B-II, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तरA-II, B-IV, C-I, D-IIIसही उत्तरआपका उत्तरA-IV, B-II, C-III, D-Iसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · A-II, B-IV, C-I, D-III

$25 = 7 \times 3 + 4$ और $36 = 9 \times 4 + 0$ ।
$-10 = 6 \times (-2) + 2$ और $100 = 11 \times 9 + 1$ ।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक ट्रेन 24 घंटे वाली घड़ी के अनुसार 22:00 बजे चलती है, और यात्रा 39 घंटे की है। वह किस घंटे पहुँचेगी?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

14

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $13$

24 घंटे वाली घड़ी मॉड्यूलो 24 में चलती है: $22 + 39 = 61$ ।
$61 = 24 \times 2 + 13$ , इसलिए वह दो दिन बाद 13:00 बजे पहुँचेगी।

ध्यान देने योग्य

15 तो $39 \bmod 24$ है, केवल यात्रा की अवधि।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$1{,}000 \bmod 13$ क्या है?

12

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

14

सही उत्तरआपका उत्तर

76

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $12$

13 से भाग देकर शेषफल रखिए, जो $0, 1, \dots, 12$ में से एक होना चाहिए।
$1{,}000 = 13 \times (76) + 12$ , इसलिए उत्तर 12 है।

ध्यान देने योग्य

76 भागफल है, $1000 \div 13$ का पूर्णांक भाग।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1 जनवरी 2027 शुक्रवार है। 1 मार्च 2027 सप्ताह के किस दिन पड़ेगा?

मंगलवारसही उत्तरआपका उत्तररविवारसही उत्तरआपका उत्तरबुधवारसही उत्तरआपका उत्तरसोमवारसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · सोमवार

जनवरी में 31 दिन हैं और फ़रवरी 2027 में 28, इसलिए 1 मार्च 59 दिन बाद है।
$59 \bmod 7 = 3$ : शुक्रवार के तीन दिन बाद सोमवार है।

ध्यान देने योग्य

फ़रवरी को 29 दिन गिनने से मंगलवार आता है; 2027 अधिवर्ष नहीं है।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(-50) \bmod 7$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $6$

7 से भाग देकर शेषफल रखिए, जो $0, 1, \dots, 6$ में से एक होना चाहिए।
$-50 = 7 \times (-8) + 6$ , इसलिए उत्तर 6 है।

ध्यान देने योग्य

1 तो $50 \bmod 7$ है; $-50$ के लिए शेषफल $7 - 1 = 6$ है।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

आज मंगलवार है। 45 दिन पहले सप्ताह का कौन-सा दिन था?

शनिवारसही उत्तरआपका उत्तरशुक्रवारसही उत्तरआपका उत्तरबुधवारसही उत्तरआपका उत्तररविवारसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · शनिवार

$45 = 7 \times 6 + 3$ , इसलिए 45 दिन पीछे जाना 3 दिन पीछे जाने जैसा है।
मंगलवार से तीन दिन पहले शनिवार है।

ध्यान देने योग्य

शुक्रवार 3 दिन आगे गिनता है; प्रश्न पीछे जाता है।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पाँचवीं सर्विस कब है?

शनिवार को 06:00 बजेसही उत्तरआपका उत्तरशनिवार को 12:00 बजेसही उत्तरआपका उत्तरशुक्रवार को 06:00 बजेसही उत्तरआपका उत्तररविवार को 06:00 बजेसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · शनिवार को 06:00 बजे

पाँचवीं सर्विस पहली के $4 \times 30 = 120$ घंटे बाद आती है।
$120 = 24 \times 5$ : ठीक 5 दिन बाद, 06:00 बजे, यानी शनिवार 06:00 बजे।

ध्यान देने योग्य

शनिवार 12:00 में 30 घंटे के 5 अंतराल गिने; पहली से पाँचवीं सर्विस तक केवल 4 हैं।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कितने घंटे बाद सर्विस फिर 06:00 बजे पड़ती है?

54

सही उत्तरआपका उत्तर

60

सही उत्तरआपका उत्तर

120

सही उत्तरआपका उत्तर

720

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $120$

सर्विस 06:00 बजे तब पड़ती है जब बीते घंटे 30 और 24 दोनों के गुणज हों।
$\text{LCM}(30, 24) = 120$ घंटे।

ध्यान देने योग्य

720 तो $30 \times 24$ है, एक साझा गुणज पर न्यूनतम नहीं।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीसरी सर्विस किस पाली में पड़ती है?

06:00 से 14:00सही उत्तरआपका उत्तर14:00 से 22:00सही उत्तरआपका उत्तर22:00 से 06:00सही उत्तरआपका उत्तरदो पालियों के बीच, ठीक बदलाव परसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 14:00 से 22:00

तीसरी सर्विस पहली के $2 \times 30 = 60$ घंटे बाद है: $6 + 60 = 66$ , और $66 = 24 \times 2 + 18$ ।
बुधवार 18:00, 14:00 से 22:00 वाली पाली में है।

मॉड्यूलर योग, अंतर और गुणन

23 प्रश्न

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(58 + 37) \bmod 9$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $5$

पहले हर संख्या घटाइए: $58 \bmod 9 = 4$ और $37 \bmod 9 = 1$ ।
$(4 + 1) \bmod 9 = 5$ । जाँच: $95 = 9 \times 10 + 5$ ।

ध्यान देने योग्य

4 केवल 58 का शेषफल है।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(23 \times 19) \bmod 5$ क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $2$

$23 \bmod 5 = 3$ और $19 \bmod 5 = 4$ , इसलिए शेषफलों को गुणा कीजिए: $3 \times 4 = 12$ ।
$12 \bmod 5 = 2$ । जाँच: $437 = 5 \times 87 + 2$ ।

ध्यान देने योग्य

12 शेषफलों का गुणनफल है, मॉड्यूलो 5 में घटाने से पहले।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$11^{50}$ को 10 से भाग देने पर शेषफल क्या है?

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $1$

$11 \equiv 1 \pmod{10}$ ।
इसलिए $11^{50} \equiv 1^{50} = 1$ : 11 की हर घात 1 पर समाप्त होती है।

ध्यान देने योग्य

0 में 11 को 10 का गुणज मान लिया।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(89 + 76) \bmod 11$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0$

$89 \bmod 11 = 1$ और $76 \bmod 11 = 10$ ।
$(1 + 10) \bmod 11 = 0$ । जाँच: $165 = 11 \times 15$ ।

ध्यान देने योग्य

11 मॉड्यूलो 11 का शेषफल नहीं; यह $11 \equiv 0$ है।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक दुकान हर उत्पाद को 5 अंकों का कोड देती है। पहले चार अंक उत्पाद बताते हैं, और पाँचवाँ, जाँच अंक, पहले चार अंकों का योग मॉड्यूलो 10 है।

जिस उत्पाद के पहले चार अंक 4728 हैं, उसका जाँच अंक क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

21

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $1$

$4 + 7 + 2 + 8 = 21$ ।
$21 \bmod 10 = 1$ ।

ध्यान देने योग्य

21 तो स्वयं योग है; एक अंक चाहिए, 10 से उसका शेषफल।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(17 - 30) \bmod 8$ क्या है?

-5

सही उत्तरआपका उत्तर

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3$

$17 - 30 = -13$ , और $-13 = 8 \times (-2) + 3$ ।
इसलिए $(17 - 30) \bmod 8 = 3$ । या पहले घटाइए: $(1 - 6) \bmod 8 = (-5) \bmod 8 = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

5 तो $13 \bmod 8$ है: ऋण चिह्न छोड़ दिया गया।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$7^{35}$ का अंतिम अंक क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $3$

अंतिम अंक मॉड्यूलो 10 का शेषफल है। $7, 7^{2}, 7^{3}, 7^{4}$ के अंतिम अंक 7, 9, 3, 1 हैं, फिर वे दोहराते हैं।
$35 = 4 \times 8 + 3$ , इसलिए $7^{35}$ का अंत $7^{3} = 343$ जैसा है: 3।

ध्यान देने योग्य

9, $7^{2}$ का अंतिम अंक है, चक्र में दूसरा, तीसरा नहीं।

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मॉड्यूलो 12 में 5 का योज्य प्रतिलोम क्या है, $0, 1, \dots, 11$ में से एक के रूप में?

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $7$

$a$ का योज्य प्रतिलोम वह संख्या $b$ है जिसके लिए $a + b \equiv 0 \pmod{12}$ ।
$5 + 7 = 12 \equiv 0$ , इसलिए यह 7 है।

ध्यान देने योग्य

5 तो स्वयं संख्या है: $5 + 5 = 10$ , 12 का गुणज नहीं।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $(45 \times 46) \bmod 9 = 0$ ।

कारण (R): 45, 9 का गुणज है।

A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।सही उत्तरआपका उत्तरA और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।सही उत्तरआपका उत्तरA सही है, लेकिन R गलत है।सही उत्तरआपका उत्तरA गलत है, लेकिन R सही है।सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

$45 \equiv 0 \pmod{9}$ , इसलिए $45 \times 46 \equiv 0 \times 46 = 0$ ।
दोनों सही हैं, और R ही कारण है कि गुणनफल कोई शेष नहीं छोड़ता।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(15^{2} + 26) \bmod 4$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $3$

वर्ग करने से पहले घटाइए: $15 \equiv 3$ , इसलिए $15^{2} \equiv 9 \equiv 1 \pmod{4}$ ; और $26 \equiv 2$ ।
$1 + 2 = 3$ । जाँच: $225 + 26 = 251 = 4 \times 62 + 3$ ।

ध्यान देने योग्य

1 केवल $15^{2} \bmod 4$ है, 26 छूट गया।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$5^{100}$ को 4 से भाग देने पर शेषफल क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $1$

$5 = 4 + 1$ , इसलिए $5 \equiv 1 \pmod{4}$ ।
तब $5^{100} \equiv 1^{100} = 1 \pmod{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

0 के लिए 4 को $5^{100}$ विभाजित करना होता, पर $5^{100}$ विषम है।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(123 \times 45) \bmod 7$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $5$

पहले घटाइए: $123 \bmod 7 = 4$ और $45 \bmod 7 = 3$ ।
$(4 \times 3) \bmod 7 = 12 \bmod 7 = 5$ ।

ध्यान देने योग्य

12 में शेषफलों का गुणा तो हुआ पर गुणनफल घटाया नहीं गया।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(40 - 73) \bmod 6$ क्या है?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $3$

$40 - 73 = -33$ , और $-33 = 6 \times (-6) + 3$ ।
इसलिए शेषफल 3 है।

ध्यान देने योग्य

$-3$ शेषफल नहीं; 6 जोड़कर 3 पाइए।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$3^{2026}$ का अंतिम अंक क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $9$

3 की घातों के अंतिम अंक 4 के चक्र में दोहराते हैं: 3, 9, 7, 1।
$2026 \bmod 4 = 2$ , इसलिए अंतिम अंक चक्र का दूसरा, 9 है।

ध्यान देने योग्य

7 चक्र का तीसरा है: $2026 = 4 \times 506 + 2$ , $+ 3$ नहीं।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$(101 \times 102 \times 103) \bmod 100$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

306

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $6$

$101 \equiv 1$ , $102 \equiv 2$ , $103 \equiv 3 \pmod{100}$ ।
$1 \times 2 \times 3 = 6$ ।

ध्यान देने योग्य

306 तो $101 + 102 + 103$ है, योग, जो घटाया भी नहीं गया।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा कोड मान्य है?

35917

सही उत्तरआपका उत्तर

35908

सही उत्तरआपका उत्तर

36918

सही उत्तरआपका उत्तर

35918

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $35918$

हर कोड के पहले चार अंक जोड़कर 10 से शेषफल की तुलना अंतिम अंक से कीजिए।
$3 + 5 + 9 + 1 = 18$ , जिसका अंतिम अंक 8 है: 35918 सही है। बाकी 7 के सामने 8, 8 के सामने 7 और 8 के सामने 9 देते हैं।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कोड 2, 9, 6, $x$ , 3 पढ़ा जाता है, चौथा अंक धुँधला है। $x$ क्या है?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $6$

$2 + 9 + 6 + x \equiv 3 \pmod{10}$ , यानी $17 + x \equiv 3$ ।
$x \equiv 3 - 17 = -14 \equiv 6$ , और केवल अंक 6 सही बैठता है।

ध्यान देने योग्य

4 में $-14$ का ऋण चिह्न छोड़कर अंतिम अंक लिया।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$2^{20} \bmod 7$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $4$

$2^{3} = 8 \equiv 1 \pmod{7}$ , इसलिए 2 की घातें हर 3 में दोहराती हैं।
$2^{20} = (2^{3})^{6} \times 2^{2} \equiv 1 \times 4 = 4 \pmod{7}$ ।

ध्यान देने योग्य

1, $2^{18}$ के लिए सही होता; 20, 3 के गुणज से 2 अधिक है।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$1 + 2 + 3 + \dots + 20$ को 7 से भाग देने पर शेषफल क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0$

योग $\frac{20 \times 21}{2} = 210$ है।
$210 = 7 \times 30$ , इसलिए शेषफल 0 है।

ध्यान देने योग्य

6 तो $20 \bmod 7$ है, केवल अंतिम पद।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\left(2^{10} + 3^{5}\right) \bmod 7$ क्या है?

-1

सही उत्तरआपका उत्तर

0

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0$

$2^{3} = 8 \equiv 1$ , इसलिए $2^{10} = (2^{3})^{3} \cdot 2 \equiv 2$ । और $3^{5} = 243 = 7 \times 34 + 5$ , इसलिए $3^{5} \equiv 5$ ।
$2 + 5 = 7 \equiv 0$ ।

ध्यान देने योग्य

2 और 5 दोनों भागों के शेषफल हैं; उनका योग भी घटाना है।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$7^{100}$ को 5 से भाग देने पर शेषफल क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $1$

$7 \equiv 2 \pmod{5}$ , और $2^{4} = 16 \equiv 1 \pmod{5}$ ।
$7^{100} \equiv 2^{100} = (2^{4})^{25} \equiv 1$ ।

ध्यान देने योग्य

2 में आधार घटाया पर घात भूल गए।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$1! + 2! + 3! + \dots + 100!$ को 5 से भाग देने पर शेषफल क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $3$

$5!$ से आगे हर क्रमगुणित में गुणनखंड 5 है, इसलिए वह शेषफल 0 छोड़ता है।
$1 + 2 + 6 + 24 = 33$ , और $33 \bmod 5 = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

0 मान लेता है कि हर पद 5 का गुणज है; पहले चार नहीं हैं।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

यह जाँच अंक कौन-सी भूल नहीं पकड़ सकता?

पहले चार में से एक अंक गलत लिखनासही उत्तरआपका उत्तरपहले चार में से दो अंकों की अदला-बदलीसही उत्तरआपका उत्तरपहले चार में से किसी अंक में 1 जोड़ देनासही उत्तरआपका उत्तरजाँच अंक गलत लिखनासही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · पहले चार में से दो अंकों की अदला-बदली

अदला-बदली से पहले चार अंकों का योग नहीं बदलता, इसलिए जाँच अंक अब भी मेल खाता है।
एक अंक बदलने से योग 1 से 9 तक बदलता है, जिससे उसका अंतिम अंक सदा बदलता है।

ध्यान देने योग्य

इसीलिए कई वास्तविक कोड अंकों को अलग-अलग भार देते हैं, ताकि अदला-बदली से योग बदले।

सर्वांगसमता मॉड्यूलो n

16 प्रश्न

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$a \equiv b \pmod{n}$ का क्या अर्थ है?

n

a + b

को विभाजित करता हैसही उत्तरआपका उत्तर

n

a

और

b

दोनों को विभाजित करता हैसही उत्तरआपका उत्तर

n

a - b

को विभाजित करता हैसही उत्तरआपका उत्तर

a

को

b

से भाग देने पर

n

बचता हैसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $n$ , $a - b$ को विभाजित करता है

$a$ , मॉड्यूलो $n$ में $b$ के सर्वांगसम है जब उनका अंतर $n$ का गुणज हो।
उदाहरण के लिए, $17 \equiv 2 \pmod{5}$ क्योंकि $17 - 2 = 15$ ।

ध्यान देने योग्य

$n$ का $a$ या $b$ को विभाजित करना ज़रूरी नहीं: 5 न 17 को विभाजित करता है न 2 को।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सी सर्वांगसमता सही है?

45 \equiv 7 \pmod{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

38 \equiv 3 \pmod{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

26 \equiv 4 \pmod{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

-8 \equiv 5 \pmod{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $38 \equiv 3 \pmod{7}$

देखिए कि मापांक अंतर को विभाजित करता है या नहीं।
$38 - 3 = 35 = 7 \times 5$ । बाकी से 38, 22 और $-13$ मिलते हैं, जिन्हें 4 और 6 विभाजित नहीं करते।

ध्यान देने योग्य

$-8 \equiv 5 \pmod{6}$ गलत है: $-8 - 5 = -13$ ।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सी संख्या मॉड्यूलो 7 में 100 के सर्वांगसम है?

13

सही उत्तरआपका उत्तर

16

सही उत्तरआपका उत्तर

17

सही उत्तरआपका उत्तर

20

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $16$

$100 = 7 \times 14 + 2$ , इसलिए ऐसी संख्या चाहिए जो शेषफल 2 छोड़े।
$16 = 7 \times 2 + 2$ । बाकी 3, 6 और 6 छोड़ती हैं।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$n$ के इनमें से किस मान के लिए $47 \equiv 5 \pmod{n}$ ?

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $6$

$47 \equiv 5 \pmod{n}$ का अर्थ है $n$ , $47 - 5 = 42$ को विभाजित करता है।
5, 6, 8 और 9 में से केवल 6, 42 को विभाजित करता है।

ध्यान देने योग्य

5 प्रश्न का शेषफल है, कोई काम करने वाला मापांक नहीं।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$a \equiv b \pmod{n}$ है और $c$ एक पूर्णांक है। इनमें से कौन-से सदा सही हैं?

I. $a + c \equiv b + c \pmod{n}$

II. $ac \equiv bc \pmod{n}$

III. $a \equiv b \pmod{2n}$

IV. $a^{2} \equiv b^{2} \pmod{n}$

केवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरI, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I, II और IV

जोड़ना, गुणा करना और घात लेना सर्वांगसमता बनाए रखते हैं: यदि $n$ , $a - b$ को विभाजित करता है, तो वह $(a - b)c$ और $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ को भी विभाजित करता है।
III गलत है: $1 \equiv 4 \pmod{3}$ , पर 6, $4 - 1 = 3$ को विभाजित नहीं करता।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x \equiv 4 \pmod{9}$ । $5x \bmod 9$ क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

20

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $2$

सर्वांगसमता को पूरा गुणा किया जा सकता है: $5x \equiv 5 \times 4 = 20 \pmod{9}$ ।
$20 = 9 \times 2 + 2$ , इसलिए $5x \bmod 9 = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

20 मॉड्यूलो 9 में सही है पर 9 से छोटे शेषफल तक घटाया नहीं गया।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $1000 \equiv -1 \pmod{7}$ ।

कारण (R): 7, 1001 को विभाजित करता है।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

$1000 - (-1) = 1001 = 7 \times 143$ ।
इसलिए दोनों सही हैं, और R ही कारण है कि A सही है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $a \equiv b \pmod{n}$ ठीक तब जब $a$ और $b$ , $n$ से भाग देने पर एक ही शेषफल छोड़ें।

II. यदि $a \equiv b \pmod{n}$ , तो $a \equiv b \pmod{2n}$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I: यदि $a = nq_1 + r$ और $b = nq_2 + r$ , तो $a - b = n(q_1 - q_2)$ , और उलटा भी सही है। सही।
II: $1 \equiv 4 \pmod{3}$ , पर $4 - 1 = 3$ , 6 का गुणज नहीं। गलत।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$a \equiv 2 \pmod{6}$ और $b \equiv 5 \pmod{6}$ । $(a - b) \bmod 6$ क्या है?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $3$

$a - b \equiv 2 - 5 = -3 \pmod{6}$ ।
$-3 + 6 = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

$-3$ को 6 जोड़कर $0, \dots, 5$ में लाना होगा।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$4{,}567{,}891 \bmod 9$ क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $4$

$10 \equiv 1 \pmod{9}$ , इसलिए 10 की हर घात $\equiv 1$ है, और संख्या अपने अंकों के योग के सर्वांगसम है।
$4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 = 40$ , और $40 \bmod 9 = 4$ ।

ध्यान देने योग्य

1 अंतिम अंक है, जो 10 का शेषफल देता है, 9 का नहीं।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सी सर्वांगसमता सही नहीं है?

38 \equiv 3 \pmod{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

50 \equiv 2 \pmod{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

29 \equiv 5 \pmod{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

41 \equiv 6 \pmod{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $41 \equiv 6 \pmod{8}$

$a \equiv b \pmod{n}$ ठीक तब जब $n$ , $a - b$ को विभाजित करे।
$41 - 6 = 35$ , 8 का गुणज नहीं। बाकी 35, 48 और 24 देते हैं, जो 7, 8 और 6 के गुणज हैं।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कितने पूर्णांकों $n > 1$ के लिए $23 \equiv 8 \pmod{n}$ ?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3$

$n$ को $23 - 8 = 15$ को विभाजित करना चाहिए।
15 के 1 से बड़े भाजक 3, 5 और 15 हैं: तीन मान।

ध्यान देने योग्य

4 में 1 भी गिना गया, पर प्रश्न $n > 1$ पूछता है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. यदि $a \equiv b \pmod{n}$ , तो $a^{2} \equiv b^{2} \pmod{n}$ ।

II. यदि $ac \equiv bc \pmod{n}$ , तो सदा $a \equiv b \pmod{n}$ ।

III. यदि $a \equiv b \pmod{n}$ , तो $b \equiv a \pmod{n}$ ।

IV. यदि $a \equiv b$ और $b \equiv c \pmod{n}$ , तो $a \equiv c \pmod{n}$ ।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल III और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · केवल I, III और IV

I: सर्वांगसमताओं का गुणा किया जा सकता है। III और IV: सर्वांगसमता सममित और संक्रामक है।
II गलत है: $2 \times 3 \equiv 4 \times 3 \pmod{6}$ (दोनों $\equiv 0$ ), पर $2 \not\equiv 4 \pmod{6}$ ।

ध्यान देने योग्य

$c$ काटना तभी सुरक्षित है जब $c$ और $n$ में कोई साझा गुणनखंड न हो।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x \equiv 3 \pmod{7}$ । $(x^{2} + 1) \bmod 7$ क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $3$

$x$ की जगह 3 रखिए: $x^{2} + 1 \equiv 9 + 1 = 10$ ।
$10 \bmod 7 = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

10 सही है पर घटाया नहीं गया: मॉड्यूलो 7 का शेषफल 7 से कम होता है।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $2^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ ।

कारण (R): $2^{5} = 32 \equiv -1 \pmod{11}$ ।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

R: $32 = 33 - 1$ , और $11 \mid 33$ । सही।
R का वर्ग: $2^{10} = (2^{5})^{2} \equiv (-1)^{2} = 1$ , इसलिए A सही है और R से निकलता है।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$a \equiv 3 \pmod{5}$ और $b \equiv 4 \pmod{5}$ । $(a^{2} + 2b) \bmod 5$ क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

17

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $2$

$a$ और $b$ की जगह उनके शेषफल रखिए: $a^{2} + 2b \equiv 3^{2} + 2 \times 4 = 17 \pmod{5}$ ।
$17 = 5 \times 3 + 2$ , इसलिए उत्तर 2 है।

ध्यान देने योग्य

7 में कोई वर्ग नहीं: $3 + 4 = 7$ में शेषफल जोड़े गए।

सर्वांगसमता से हल

20 प्रश्न

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x + 7 \equiv 3 \pmod{10}$ वाला सबसे छोटा धनात्मक $x$ क्या है?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $6$

दोनों ओर से 7 घटाइए: $x \equiv 3 - 7 = -4 \pmod{10}$ ।
$-4 + 10 = 6$ । जाँच: $6 + 7 = 13 \equiv 3$ ।

ध्यान देने योग्य

4 में $-4$ का चिह्न छूटा; $4 + 7 = 11 \equiv 1$ ।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी संख्या को 4 से गुणा करने पर 7 से भाग देने पर शेषफल 1 बचता है। ऐसी सबसे छोटी धनात्मक संख्या क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $2$

चाहिए $4x \equiv 1 \pmod{7}$ ।
$4 \times 2 = 8 = 7 + 1$ , इसलिए $x = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

1 से $4 \times 1 = 4$ , जो 4 छोड़ता है, 1 नहीं।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x + 9 \equiv 4 \pmod{12}$ वाला सबसे छोटा धनात्मक $x$ क्या है?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $7$

9 घटाइए: $x \equiv 4 - 9 = -5 \pmod{12}$ ।
$-5 + 12 = 7$ । जाँच: $7 + 9 = 16 \equiv 4$ ।

ध्यान देने योग्य

5 में $-5$ का चिह्न छूटा: $5 + 9 = 14 \equiv 2$ ।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

गणतंत्र दिवस, 26 जनवरी 2027, मंगलवार को पड़ता है। एक विद्यालय अपना वार्षिक दिवस 15 मार्च 2027 को और खेल दिवस गणतंत्र दिवस के 100 दिन बाद मनाता है। 2027 अधिवर्ष नहीं है।

वार्षिक दिवस गणतंत्र दिवस के कितने दिन बाद है?

47

सही उत्तरआपका उत्तर

48

सही उत्तरआपका उत्तर

49

सही उत्तरआपका उत्तर

50

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $48$

26 जनवरी से: जनवरी के 5 और दिन, फ़रवरी के 28 और मार्च के 15।
$5 + 28 + 15 = 48$ दिन।

ध्यान देने योग्य

49 में 26 जनवरी स्वयं गिना; गिनती अगले दिन से शुरू होती है।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

खेल दिवस सप्ताह के किस दिन है?

गुरुवारसही उत्तरआपका उत्तरमंगलवारसही उत्तरआपका उत्तरशुक्रवारसही उत्तरआपका उत्तररविवारसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · गुरुवार

$100 = 7 \times 14 + 2$ ।
मंगलवार के दो दिन बाद: गुरुवार।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$3x \equiv 4 \pmod{7}$ वाला सबसे छोटा धनात्मक $x$ क्या है?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $6$

$x = 1, 2, \dots, 6$ आज़माइए: $3x$ , 7 से भाग देने पर 3, 6, 2, 5, 1, 4 छोड़ता है।
$x = 6$ से $18 = 7 \times 2 + 4$ ।

ध्यान देने योग्य

4 दाईं ओर की संख्या की नकल है; $3 \times 4 = 12 \equiv 5$ ।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मॉड्यूलो 9 में 4 का गुणनात्मक प्रतिलोम क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $7$

4 का प्रतिलोम वह $x$ है जिसके लिए $4x \equiv 1 \pmod{9}$ ।
$4 \times 7 = 28 = 9 \times 3 + 1$ , इसलिए प्रतिलोम 7 है।

ध्यान देने योग्य

5 योज्य प्रतिलोम है: $4 + 5 = 9 \equiv 0$ , 1 नहीं।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से किस सर्वांगसमता का कोई हल नहीं है?

5x \equiv 3 \pmod{7}

सही उत्तरआपका उत्तर

6x \equiv 4 \pmod{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

4x \equiv 6 \pmod{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

3x \equiv 6 \pmod{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $6x \equiv 4 \pmod{9}$

$ax \equiv b \pmod{n}$ का हल ठीक तब होता है जब $\gcd(a, n)$ , $b$ को विभाजित करे।
$\gcd(6, 9) = 3$ , 4 को विभाजित नहीं करता, इसलिए $6x \equiv 4 \pmod{9}$ का कोई हल नहीं: $6x$ केवल 0, 3 या 6 छोड़ता है।

ध्यान देने योग्य

$4x \equiv 6 \pmod{10}$ के हल हैं: $x = 4$ से $16 \equiv 6$ ।

प्रश्न 69

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

15 अगस्त 2026 शनिवार है। 15 अगस्त 2027 सप्ताह के किस दिन पड़ेगा?

सोमवारसही उत्तरआपका उत्तरशनिवारसही उत्तरआपका उत्तररविवारसही उत्तरआपका उत्तरशुक्रवारसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · रविवार

बीच में 365 दिन हैं, क्योंकि बीच में कोई 29 फ़रवरी नहीं आती, और $365 = 7 \times 52 + 1$ , इसलिए $365 \equiv 1 \pmod{7}$ ।
इसलिए दिन एक आगे खिसकता है: रविवार।

ध्यान देने योग्य

सोमवार 366 दिन गिनता है, पर 2027 लीप वर्ष नहीं है।

प्रश्न 70

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$0, 1, \dots, 9$ में से कौन-सी संख्याएँ $2x \equiv 4 \pmod{10}$ को संतुष्ट करती हैं?

केवल 2सही उत्तरआपका उत्तर2 और 4सही उत्तरआपका उत्तरकेवल 7सही उत्तरआपका उत्तर2 और 7सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 2 और 7

$2x$ का अंतिम अंक 4 होना चाहिए, इसलिए 9 तक के $x$ के लिए $2x$ , 4 या 14 है।
इससे $x = 2$ और $x = 7$ मिलते हैं: दो हल, जैसा $\gcd(2, 10) = 2$ बताता है।

ध्यान देने योग्य

दोनों ओर 2 से भाग देने पर केवल $x = 2$ मिलता है; सर्वांगसमता में भाग देने पर मापांक भी 5 हो जाता है, और $x \equiv 2 \pmod{5}$ के 10 से छोटे दो मान हैं।

प्रश्न 71

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कुर्सियाँ हर पंक्ति में 3 लगाने पर 2 बचती हैं, और हर पंक्ति में 5 लगाने पर 3। कुर्सियों की न्यूनतम संख्या क्या है?

5

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

23

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $8$

चाहिए $x \equiv 2 \pmod{3}$ और $x \equiv 3 \pmod{5}$ ।
$\equiv 3 \pmod{5}$ वाली संख्याएँ: 3, 8, 13, … इनमें 3 से भाग पर पहली 2 छोड़ने वाली 8 है।

ध्यान देने योग्य

23 भी चलती है पर न्यूनतम नहीं; हल हर 15 पर दोहराते हैं।

प्रश्न 72

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मॉड्यूलो 10 में 7 का गुणनात्मक प्रतिलोम क्या है?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $3$

चाहिए $7x \equiv 1 \pmod{10}$ : 7 का ऐसा गुणज जो 1 पर समाप्त हो।
$7 \times 3 = 21$ , इसलिए प्रतिलोम 3 है।

ध्यान देने योग्य

9 से $7 \times 9 = 63 \equiv 3$ , 1 नहीं।

प्रश्न 73

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से किस सर्वांगसमता का कोई हल नहीं है?

6x \equiv 3 \pmod{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

2x \equiv 5 \pmod{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

4x \equiv 6 \pmod{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

6x \equiv 4 \pmod{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $6x \equiv 4 \pmod{9}$

$ax \equiv b \pmod{n}$ का हल ठीक तब है जब $\gcd(a, n)$ , $b$ को विभाजित करे।
$\gcd(6, 9) = 3$ , 4 को विभाजित नहीं करता। बाकी: 3, 3 को विभाजित करता है; $\gcd(2, 9) = 1$ ; $\gcd(4, 10) = 2$ , 6 को विभाजित करता है।

प्रश्न 74

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1 मार्च 2027 सोमवार है। 1 मार्च 2028 सप्ताह के किस दिन पड़ेगा?

मंगलवारसही उत्तरआपका उत्तरसोमवारसही उत्तरआपका उत्तरगुरुवारसही उत्तरआपका उत्तरबुधवारसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · बुधवार

1 मार्च 2027 से 1 मार्च 2028 तक 366 दिन हैं, क्योंकि बीच में 29 फ़रवरी 2028 आता है।
$366 \bmod 7 = 2$ , इसलिए दिन दो स्थान आगे जाता है: बुधवार।

ध्यान देने योग्य

सामान्य वर्ष में एक दिन का खिसकाव सही है; इस अवधि में 29 फ़रवरी आता है।

प्रश्न 75

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$5x \equiv 3 \pmod{8}$ वाला सबसे छोटा धनात्मक $x$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $7$

मॉड्यूलो 8 में 5 का प्रतिलोम 5 है, क्योंकि $5 \times 5 = 25 \equiv 1$ ।
दोनों ओर 5 से गुणा: $x \equiv 15 \equiv 7$ । जाँच: $5 \times 7 = 35 = 32 + 3$ ।

ध्यान देने योग्य

3 दाईं ओर की नकल है; $5 \times 3 = 15 \equiv 7$ , 3 नहीं।

प्रश्न 76

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वार्षिक दिवस सप्ताह के किस दिन है?

रविवारसही उत्तरआपका उत्तरशनिवारसही उत्तरआपका उत्तरबुधवारसही उत्तरआपका उत्तरसोमवारसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · सोमवार

$48 = 7 \times 6 + 6$ , इसलिए 48 दिन बाद सप्ताह में 6 दिन आगे है।
मंगलवार के छह दिन बाद सोमवार है।

ध्यान देने योग्य

उससे एक दिन पहले वाला उत्तर 26 जनवरी को भी 48 दिनों में गिनता है; पूरे सप्ताह कुछ नहीं बदलते, केवल शेषफल 6 मायने रखता है।

प्रश्न 77

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

गणतंत्र दिवस 2028 सप्ताह के किस दिन पड़ेगा?

मंगलवारसही उत्तरआपका उत्तरबुधवारसही उत्तरआपका उत्तरगुरुवारसही उत्तरआपका उत्तरसोमवारसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · बुधवार

26 जनवरी 2027 से 26 जनवरी 2028 तक 365 दिन हैं: 29 फ़रवरी 2028 बाद में आता है।
$365 = 7 \times 52 + 1$ : एक दिन आगे, बुधवार।

ध्यान देने योग्य

दो दिन के खिसकाव के लिए 29 फ़रवरी दोनों तिथियों के बीच होना चाहिए; वह 26 जनवरी 2028 के बाद आता है।

प्रश्न 78

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x = 0, 1, \dots, 11$ में $4x \equiv 8 \pmod{12}$ के कितने हल हैं?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $4$

$\gcd(4, 12) = 4$ , और 4, 8 को विभाजित करता है, इसलिए मॉड्यूलो 12 में ठीक 4 हल हैं।
वे $x = 2, 5, 8, 11$ हैं: हर एक से $4x$ = 8, 20, 32 या 44, सभी $\equiv 8$ ।

ध्यान देने योग्य

1 तब सही होता जब मॉड्यूलो 12 में 4 का प्रतिलोम होता, पर 4 और 12 में गुणनखंड 4 साझा है।

प्रश्न 79

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक टोकरी के अंडे चार-चार गिनने पर 3 बचते हैं, और पाँच-पाँच गिनने पर 4। टोकरी में कम से कम कितने अंडे हो सकते हैं?

15

सही उत्तरआपका उत्तर

19

सही उत्तरआपका उत्तर

23

सही उत्तरआपका उत्तर

24

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $19$

$x \equiv 3 \pmod{4}$ और $x \equiv 4 \pmod{5}$ दोनों कहते हैं $x \equiv -1$ : एक अंडा और हो तो पूरे चौके और पूरे पंजे बनें।
इसलिए $x + 1$ , 20 का गुणज है, और सबसे छोटा $x = 19$ है।

ध्यान देने योग्य

23 चार-चार में 3 छोड़ता है पर पाँच-पाँच में भी 3।

प्रश्न 80

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x = 0, 1, \dots, 17$ में $6x \equiv 12 \pmod{18}$ के कितने हल हैं?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $6$

$\gcd(6, 18) = 6$ , 12 को विभाजित करता है, इसलिए मॉड्यूलो 18 में ठीक 6 हल हैं।
6 से भाग देकर: $x \equiv 2 \pmod{3}$ , इसलिए $x = 2, 5, 8, 11, 14, 17$ ।

ध्यान देने योग्य

1 तब की गिनती है जब $\gcd(a, n) = 1$ ; यहाँ यह 6 है।

शेष-वर्ग

17 प्रश्न

प्रश्न 81

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मॉड्यूलो 8 में कितने शेष-वर्ग होते हैं?

4

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $8$

हर पूर्णांक 8 से भाग देने पर $0, 1, \dots, 7$ में से एक शेषफल छोड़ता है।
हर शेषफल एक वर्ग है, $[0], [1], \dots, [7]$ : 8 वर्ग।

ध्यान देने योग्य

7 में 8 के गुणजों का वर्ग $[0]$ छूट गया।

प्रश्न 82

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\mathbb{Z}_6$ में, यानी मॉड्यूलो 6 के शेष-वर्गों में, $[4] + [5]$ क्या है?

[9]

सही उत्तरआपका उत्तर

[1]

सही उत्तरआपका उत्तर

[2]

सही उत्तरआपका उत्तर

[3]

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $[3]$

प्रतिनिधियों को जोड़कर घटाइए: $4 + 5 = 9$ ।
$9 \bmod 6 = 3$ , इसलिए $[4] + [5] = [3]$ ।

ध्यान देने योग्य

$[9]$ वही वर्ग है जो $[3]$ , पर 0 से 5 के प्रतिनिधि से नहीं लिखा गया।

प्रश्न 83

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\mathbb{Z}_9$ में $[4] \times [7]$ क्या है?

[2]

सही उत्तरआपका उत्तर

[1]

सही उत्तरआपका उत्तर

[28]

सही उत्तरआपका उत्तर

[3]

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $[1]$

$[4] \times [7] = [28]$ ।
$28 = 9 \times 3 + 1$ , इसलिए यह $[1]$ है।

ध्यान देने योग्य

$[2]$ तो $11 \bmod 9$ है: इसमें वर्ग जोड़े गए, गुणा नहीं।

प्रश्न 84

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$[0]$ से $[9]$ तक लिखे वर्गों वाले $\mathbb{Z}_{10}$ में $[3]$ का योज्य प्रतिलोम कौन-सा वर्ग है?

[3]

सही उत्तरआपका उत्तर

[1]

सही उत्तरआपका उत्तर

[9]

सही उत्तरआपका उत्तर

[7]

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $[7]$

$[a]$ का योज्य प्रतिलोम वह वर्ग है जिसे जोड़ने पर $[0]$ मिले।
$[3] + [7] = [10] = [0]$ ।

ध्यान देने योग्य

$[1]$ गुणनात्मक सोच है; योज्य प्रतिलोम को जोड़कर $[0]$ देना चाहिए: $[3] + [1] = [4]$ ।

प्रश्न 85

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\mathbb{Z}_8$ में, यानी $[0]$ से $[7]$ तक लिखे मॉड्यूलो 8 के शेष-वर्गों में, $[5] + [6]$ क्या है?

[1]

सही उत्तरआपका उत्तर

[2]

सही उत्तरआपका उत्तर

[3]

सही उत्तरआपका उत्तर

[5]

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $[3]$

$[a] + [b] = [a + b]$ , मॉड्यूलो 8 में घटाकर।
$5 + 6 = 11 \equiv 3$ , इसलिए योग $[3]$ है।

ध्यान देने योग्य

जोड़िए, फिर योग 8 या अधिक हो तो 8 घटाइए: $11 - 8 = 3$ ।

प्रश्न 86

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक विद्यालय अपने 60 विद्यार्थियों को 1 से 60 तक क्रमांक देता है और हर एक को क्रमांक को 5 से भाग देने पर बचे शेषफल से सदन देता है: शेषफल 1 लाल, 2 नीला, 3 हरा, 4 पीला और 0 सफ़ेद।

क्रमांक 47 किस सदन में है?

हरासही उत्तरआपका उत्तरलालसही उत्तरआपका उत्तरसफ़ेदसही उत्तरआपका उत्तरनीलासही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · नीला

$47 = 5 \times 9 + 2$ ।
शेषफल 2: नीला।

प्रश्न 87

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

हरे सदन में कितने विद्यार्थी हैं?

11

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $12$

हरे सदन में 3, 8, 13, …, 58 हैं: 60 तक की संख्याएँ $5k + 3$ ।
$k = 0$ से 11: 12 विद्यार्थी।

ध्यान देने योग्य

हर 5 सदनों को ठीक $\frac{60}{5} = 12$ मिलते हैं, क्योंकि 60, 5 का गुणज है।

प्रश्न 88

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सी संख्या मॉड्यूलो 5 में 17 वाले शेष-वर्ग में है?

-3

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

14

सही उत्तरआपका उत्तर

21

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $-3$

17 का शेषफल 2 है, इसलिए उसका वर्ग $[2] = \{\dots, -8, -3, 2, 7, 12, 17, \dots\}$ है।
$-3 = 5 \times (-1) + 2$ , इसलिए $-3$ इसमें है। 8, 21 और 14 क्रमशः 3, 1 और 4 छोड़ते हैं।

ध्यान देने योग्य

$-3$ , 17 से दूर दिखता है, पर $17 - (-3) = 20$ , 5 का गुणज है।

प्रश्न 89

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मॉड्यूलो 7 में शेष-वर्ग $[3]$ कौन-सा समुच्चय है?

\{3, 10, 17, 24, \dots\}

सही उत्तरआपका उत्तर

\{\dots, -11, -4, 3, 10, 17, \dots\}

सही उत्तरआपका उत्तर

\{0, 3, 6, 9, \dots\}

सही उत्तरआपका उत्तर

\{\dots, -10, -3, 4, 11, \dots\}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\{\dots, -11, -4, 3, 10, 17, \dots\}$

$[3]$ हर वह पूर्णांक है जो 7 से भाग देने पर 3 छोड़े: हर पूर्णांक $k$ के लिए $7k + 3$ , ऋणात्मक भी।
$k = -2, -1, 0, 1, 2$ से $-11, -4, 3, 10, 17$ मिलते हैं।

ध्यान देने योग्य

$\{3, 10, 17, 24, \dots\}$ 3 पर रुक जाता है और $-4$ व $-11$ छोड़ देता है।

प्रश्न 90

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. मॉड्यूलो $n$ के दो अलग-अलग शेष-वर्गों में कोई पूर्णांक साझा नहीं होता।

II. हर पूर्णांक मॉड्यूलो $n$ के किसी एक शेष-वर्ग में होता है।

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उत्तरC · I और II दोनों

किसी पूर्णांक का $n$ से भाग देने पर ठीक एक शेषफल होता है, इसलिए वह ठीक एक वर्ग में है: I सही है।
और उसका कोई शेषफल होता ही है, इसलिए वह किसी वर्ग में है: II सही है। मिलकर वर्ग पूर्णांकों को $n$ भागों में बाँटते हैं।

प्रश्न 91

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\mathbb{Z}_7$ में $[3] \times [5]$ क्या है?

[15]

सही उत्तरआपका उत्तर

[1]

सही उत्तरआपका उत्तर

[8]

सही उत्तरआपका उत्तर

[2]

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरB · $[1]$

प्रतिनिधियों को गुणा कीजिए: $3 \times 5 = 15$ ।
$15 = 7 \times 2 + 1$ , इसलिए $[3] \times [5] = [1]$ : मॉड्यूलो 7 में 5, 3 का प्रतिलोम है।

ध्यान देने योग्य

$[8]$ में प्रतिनिधियों को गुणा करने के बजाय जोड़ा गया।

प्रश्न 92

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $\mathbb{Z}_5$ में $[0]$ के अलावा हर वर्ग का गुणनात्मक प्रतिलोम है।

II. $\mathbb{Z}_6$ में $[2] \times [3] = [0]$ ।

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उत्तरC · I और II दोनों

I: 5 अभाज्य है, इसलिए 1, 2, 3, 4 का उससे कोई साझा गुणनखंड नहीं; प्रतिलोम $[1], [3], [2], [4]$ हैं। सही।
II: $2 \times 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6}$ । सही: दो शून्येतर वर्गों का गुणनफल $[0]$ हो सकता है।

प्रश्न 93

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सी संख्या मॉड्यूलो 6 में शेष-वर्ग $[2]$ की है?

21

सही उत्तरआपका उत्तर

27

सही उत्तरआपका उत्तर

38

सही उत्तरआपका उत्तर

40

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरC · $38$

मॉड्यूलो 6 में $[2]$ है $\{\dots, -4, 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, \dots\}$ : संख्याएँ $6k + 2$ ।
$38 = 6 \times 6 + 2$ । 40, 21 और 27 क्रमशः 4, 3 और 3 छोड़ती हैं।

प्रश्न 94

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

क्रमांकों का कौन-सा युग्म एक ही सदन में है?

23 और 38सही उत्तरआपका उत्तर14 और 41सही उत्तरआपका उत्तर25 और 52सही उत्तरआपका उत्तर17 और 36सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरA · 23 और 38

दो संख्याएँ एक सदन में तब हैं जब वे मॉड्यूलो 5 में सर्वांगसम हों, यानी उनका अंतर 5 का गुणज हो।
$38 - 23 = 15$ : दोनों हरे हैं। बाकी अंतर 27, 27 और 19 हैं।

ध्यान देने योग्य

14 और 41 में वही अंक हैं, पर $41 - 14 = 27$ , 5 का गुणज नहीं।

प्रश्न 95

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक नीले और एक पीले सदन का विद्यार्थी अपने क्रमांक जोड़ते हैं। योग किस सदन से मेल खाता है?

नीलासही उत्तरआपका उत्तरपीलासही उत्तरआपका उत्तरलालसही उत्तरआपका उत्तरसफ़ेदसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · लाल

मॉड्यूलो 5 के वर्गों में: $[2] + [4] = [6] = [1]$ ।
शेषफल 1 लाल है, क्रमांक कुछ भी हों।

ध्यान देने योग्य

योग किसी भी युग्म से जाँचा जा सकता है, जैसे $2 + 4 = 6$ या $7 + 9 = 16$ : दोनों 1 छोड़ते हैं।

प्रश्न 96

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\mathbb{Z}_{10}$ के किस वर्ग का कोई गुणनात्मक प्रतिलोम नहीं है?

[3]

सही उत्तरआपका उत्तर

[7]

सही उत्तरआपका उत्तर

[9]

सही उत्तरआपका उत्तर

[4]

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $[4]$

मॉड्यूलो 10 में $[a]$ का प्रतिलोम ठीक तब होता है जब $a$ और 10 का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।
4 और 10 में गुणनखंड 2 साझा है, इसलिए $4x$ सदा सम है और कभी $\equiv 1$ नहीं। बाकी: $3 \times 7 = 21$ , $7 \times 3 = 21$ , $9 \times 9 = 81$ , सभी $\equiv 1$ ।

ध्यान देने योग्य

$[9]$ स्वयं अपना प्रतिलोम है, क्योंकि $81 \equiv 1 \pmod{10}$ ।

प्रश्न 97

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\mathbb{Z}_{12}$ के कितने वर्गों का गुणनात्मक प्रतिलोम है?

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $4$

$[a]$ का मॉड्यूलो 12 में प्रतिलोम ठीक तब है जब $\gcd(a, 12) = 1$ ।
वे $[1], [5], [7], [11]$ हैं: 4 वर्ग (हर एक अपना ही प्रतिलोम)।

ध्यान देने योग्य

11 हर शून्येतर वर्ग गिनता है, पर $[2]$ , $[3]$ , $[4]$ आदि का 12 से साझा गुणनखंड है।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।