एक रेखा किसी घन के चारों मुख्य विकर्णों से कोण $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ बनाती है। $\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\beta + \cos^{2}\gamma + \cos^{2}\delta$ क्या है?

हल

1. 01

   किनारों को अक्षों के अनुदिश लेने पर मुख्य विकर्णों के दिक्-अनुपात $1, 1, 1$, $-1, 1, 1$, $1, -1, 1$ और $1, 1, -1$ हैं, हर एक की लंबाई $\sqrt{3}$।

2. 02

   दिक्-कोसाइन $l, m, n$ वाली रेखा के लिए: $\cos \alpha = \frac{\lvert l + m + n \rvert}{\sqrt{3}}$, और इसी प्रकार बाकी।

3. 03

   चारों वर्गों का योग $\frac{4(l^{2} + m^{2} + n^{2})}{3} = \frac{4}{3}$ है।