परवलय $x^{2} = 8y$ और रेखा $y = 2$ से घिरे क्षेत्र के लिए, निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. रेखा परवलय से $(-4, 2)$ और $(4, 2)$ पर मिलती है।

II. इसका क्षेत्रफल $2\int_0^{4} \left(2 - \frac{x^{2}}{8}\right)dx$ है।

III. इसका क्षेत्रफल $\frac{32}{3}$ वर्ग इकाई है।

IV. इसका क्षेत्रफल $\int_0^{2} \sqrt{8y}\,dy$ है।

हल

1. 01

   I: $x^{2} = 16$, इसलिए $x = \pm 4$। II और III: रेखा परवलय के ऊपर है और क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है, इसलिए क्षेत्रफल $2\int_0^{4} \left(2 - \frac{x^{2}}{8}\right)dx = 2\left(8 - \frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3}$ है।

2. 02

   IV: क्षैतिज पट्टी $-\sqrt{8y}$ से $\sqrt{8y}$ तक है, इसलिए उसकी लंबाई $2\sqrt{8y}$ है; $\int_0^{2} \sqrt{8y}\,dy = \frac{16}{3}$ केवल आधा क्षेत्रफल है। गलत।