माना हर वास्तविक x के लिए y = cos^-1((1 - x^2)/(1 + x^2))। निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं? I. x ≥ 0 के लिए y = 2tan^-1 x। II. हर x ≠ 0 के लिए dy/dx = 2/(1 + x^2)। III. x < 0 के लिए dy/dx = -2/(1 + x^2)। IV. x = 0 पर y अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 52

कठिनमौलिक प्रश्न

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

माना हर वास्तविक $x$ के लिए $y = \cos^{-1}\left(\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}\right)$ । निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
I. $x \ge 0$ के लिए $y = 2\tan^{-1} x$ ।
II. हर $x \ne 0$ के लिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + x^{2}}$ ।
III. $x < 0$ के लिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{1 + x^{2}}$ ।
IV. $x = 0$ पर $y$ अवकलनीय नहीं है।

केवल I, III और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तर

उत्तर और हल देखें

सहीसही नहींउत्तर A

सही उत्तर: A

$x = \tan\theta$ रखिए: $\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}} = \cos 2\theta$ । $x \ge 0$ के लिए $2\theta$ , $[0, \pi)$ में है, इसलिए $y = 2\tan^{-1} x$ ; $x < 0$ के लिए $2\theta$ , $(-\pi, 0)$ में है, इसलिए $y = -2\tan^{-1} x$ ।
इसलिए I और III सही हैं और II गलत है। 0 पर दाईं ओर से ढाल 2 और बाईं ओर से $-2$ है, इसलिए IV सही है।

ध्यान देने योग्य

II में 0 के दोनों ओर $y = 2\tan^{-1} x$ लिया; $x < 0$ के लिए फलन $-2\tan^{-1} x$ है।

शृंखला नियम, लघुगणकीय अवकलन और परिवर्तन की दर से दस प्रश्न, अपनी गति से।