वक्र $y = \operatorname{cosec}^{-1} x$ के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. यह बिंदु $\left(-1, -\frac{\pi}{2}\right)$ से होकर जाता है।

II. यह बिंदु $\left(2, \frac{\pi}{3}\right)$ से होकर जाता है।

III. $[1, \infty)$ पर $x$ बढ़ने पर यह घटता है।

IV. $(-\infty, -1]$ पर $x$ बढ़ने पर यह घटता है।

हल

1. 01

   $\operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, इसलिए I सही है; $\operatorname{cosec} \frac{\pi}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$, न कि 2, इसलिए II गलत है।

2. 02

   $\operatorname{cosec}^{-1} x = \sin^{-1} \frac{1}{x}$: हर भाग पर $x$ बढ़ने पर $\frac{1}{x}$ घटता है और $\sin^{-1}$ वही क्रम रखता है, इसलिए वक्र घटता है, $\frac{\pi}{2}$ से 0 की ओर और 0 के पास से $-\frac{\pi}{2}$ तक। III और IV सही हैं।