CUET Applied Maths के लिए प्रतिचयन, निष्कर्ष और t-परीक्षण

उत्तरB · शहर के सभी 20 लाख मतदाता

1. समष्टि वह पूरा समूह है जिसके बारे में प्रश्न है; प्रतिदर्श वह भाग है जिसका वास्तव में अध्ययन होता है।

2. यहाँ समष्टि सभी 20 लाख मतदाता हैं, और पूछे गए 500 प्रतिदर्श हैं।

उत्तरA · $20$

1. अंतराल $k = \frac{N}{n}$ है, समष्टि का आकार बटा प्रतिदर्श का आकार।

2. $k = \frac{600}{30} = 20$: यादृच्छिक आरंभ के बाद हर 20वाँ विद्यार्थी।

उत्तरA · केवल I

1. I सरल यादृच्छिक प्रतिचयन की परिभाषा है। सही।

2. II: केवल एक समूह से लिया गया बड़ा प्रतिदर्श पक्षपाती ही रहता है; आकार बुरी विधि को ठीक नहीं करता। गलत।

उत्तरA · केवल I

1. I: अधिक यादृच्छिक इकाइयाँ संयोग के अंतर औसत कर देती हैं। सही।

2. II: स्वयंसेवक स्वयं को चुनते हैं और प्रायः बाकी से भिन्न होते हैं, इसलिए ऐसा प्रतिदर्श पक्षपाती हो सकता है। गलत।

उत्तरC · 1 से 25

1. आरंभ पहले अंतराल में होना चाहिए, ताकि हर इकाई की संभावना समान हो।

2. इसलिए वह इकाइयों 1 से 25 में से यादृच्छया निकाला जाता है।

उत्तरD · जाँचे गए 50 बल्ब

1. समष्टि वह हर इकाई है जिसके बारे में जानना है: सभी 5,000 बल्ब।

2. प्रतिदर्श वह भाग है जिसका वास्तव में अध्ययन होता है: जाँचे गए 50 बल्ब।

उत्तरA · $30$

1. अंतराल $k = \frac{N}{n}$।

2. $k = \frac{1{,}200}{40} = 30$: यादृच्छिक आरंभ के बाद हर 30वाँ परिवार।

उत्तरB · सभी 300 विद्यार्थियों की सूची से लॉटरी द्वारा निकाले गए 20 नाम

1. सरल यादृच्छिक प्रतिदर्श में हर इकाई के चुने जाने की संभावना समान होती है।

2. पूरी सूची पर लॉटरी हर विद्यार्थी को समान संभावना देती है; बाकी जल्दी आने वालों, खिलाड़ियों या टॉपरों के पक्ष में हैं।

उत्तरD · विद्यालय के सभी 1,200 विद्यार्थी

1. समष्टि वह पूरा समूह है जिसके बारे में प्रश्न है।

2. वह अपने विद्यालय के 1,200 विद्यार्थियों के बारे में पूछती हैं।

उत्तरC · सभी 1,200 विद्यार्थियों का माध्य दैनिक स्क्रीन समय

1. प्राचल पूरी समष्टि का वर्णन करने वाला मान है।

2. पूरे विद्यालय का माध्य वही मान है; वह उसे अभी नहीं जानतीं।

उत्तरD · पहले 10 नामों में से यादृच्छिक आरंभ, फिर हर 10वाँ नाम

1. क्रमबद्ध प्रतिचयन पहली $k$ इकाइयों में से एक यादृच्छया चुनता है, फिर उसके बाद हर $k$वीं इकाई।

2. मिले डिब्बे से निकालना सरल यादृच्छिक प्रतिचयन है; अंतिम दो बिल्कुल यादृच्छिक नहीं।

उत्तरC · $67$

1. चुनी गई इकाइयाँ 7, $7 + 20$, $7 + 40$, $7 + 60$, … हैं।

2. चौथी $7 + 3 \times 20 = 67$ है।

उत्तरB · किसी जिम के सदस्य, शहर के वयस्कों के व्यायाम का अनुमान लगाने के लिए

1. प्रतिदर्श तब प्रतिनिधिक होता है जब समष्टि के हर भाग को उसमें आने का उचित अवसर मिले।

2. जिम के सदस्य अधिकांश वयस्कों से अधिक व्यायाम करते हैं, इसलिए वे शहर के व्यायाम को बढ़ा-चढ़ाकर दिखाएँगे: पक्षपाती प्रतिदर्श।

उत्तरC · $64$

1. चुनी गई इकाइयाँ 4, 19, 34, 49, 64, … हैं: $k$वीं, $4 + (k - 1) \times 15$ है।

2. पाँचवीं $4 + 4 \times 15 = 64$ है।

उत्तरD · किसी एक दोपहर शहर के पुस्तकालय में मिले विद्यार्थी

1. पक्षपाती प्रतिदर्श समष्टि के किसी भाग को व्यवस्थित रूप से अधिक या कम दर्शाता है।

2. पुस्तकालय में मिले विद्यार्थी औसत से अधिक पढ़ने वाले हो सकते हैं, इसलिए वह प्रतिदर्श पठन समय को बढ़ाकर दिखाता है।

उत्तरB · विद्यालय के माध्य स्क्रीन समय के अनुमान के रूप में

1. यादृच्छिक प्रतिदर्श का प्रतिदर्शज संगत प्राचल का अनुमान देता है।

2. दूसरा प्रतिदर्श थोड़ा भिन्न माध्य देगा, इसलिए 3.2 घंटे एक अनुमान है, सटीक मान नहीं।

उत्तरD · विद्यालय के कंप्यूटर क्लब के 60 सदस्य लेना

1. प्रतिदर्श अभिनत होता है जब कुछ विद्यार्थियों के चुने जाने की संभावना मापी जाने वाली चीज़ से जुड़े ढंग से अधिक हो।

2. कंप्यूटर क्लब के सदस्य संभवतः स्क्रीन पर अधिक समय बिताते हैं, इसलिए वे अनुमान ऊपर ले जाते।

उत्तरD · एक प्राचल

1. प्राचल पूरी समष्टि का वर्णन करता है; प्रतिदर्शज किसी प्रतिदर्श का।

2. हर विद्यार्थी शामिल है, इसलिए औसत एक प्राचल है।

उत्तरC · A-II, B-IV, C-I, D-III

1. यूनानी अक्षर प्राचलों के लिए हैं: समष्टि माध्य के लिए $\mu$, उसके मानक विचलन के लिए $\sigma$।

2. रोमन अक्षर प्रतिदर्शजों के लिए हैं: प्रतिदर्श माध्य के लिए $\bar{x}$, प्रतिदर्श मानक विचलन के लिए $s$।

उत्तरC · $2$

1. मानक त्रुटि $= \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$।

2. $\frac{20}{\sqrt{100}} = \frac{20}{10} = 2$।

उत्तरB · माध्य का प्रतिचयन बंटन

1. हर संभव प्रतिदर्श अपना माध्य देता है, और ये माध्य एक बंटन बनाते हैं।

2. वही माध्य का प्रतिचयन बंटन है, जो समष्टि को एक प्रतिदर्श से जोड़ता है।

उत्तरB · एक प्रतिदर्शज

1. प्रतिदर्शज प्रतिदर्श का वर्णन करता है; प्राचल पूरी समष्टि का।

2. यह माध्य 200 चुने गए परिवारों से आता है, इसलिए यह प्रतिदर्शज है।

उत्तरA · 900 चुने गए परिवारों का ₹1,850 का माध्य बिल

1. प्रतिदर्शज प्रतिदर्श से निकाला जाता है; प्राचल पूरी समष्टि का वर्णन करता है।

2. ₹1,850, 900 चुने गए परिवारों से आता है, इसलिए यह प्रतिदर्शज है।

उत्तरC · ₹10

1. मानक त्रुटि $= \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{300}{\sqrt{900}}$।

2. $\frac{300}{30} = 10$ रुपये।

उत्तरB · $2$

1. माध्य की मानक त्रुटि $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ है।

2. $\frac{12}{\sqrt{36}} = \frac{12}{6} = 2$।

उत्तरD · वह लगभग प्रसामान्य है, माध्य $\mu$ और मानक विचलन $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ के साथ

1. बड़े प्रतिदर्श के लिए प्रतिदर्श माध्य लगभग प्रसामान्य रूप से बँटा होता है, समष्टि का आकार जो भी हो।

2. उसका बंटन $\mu$ पर केंद्रित है, फैलाव $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ के साथ, जो समष्टि के फैलाव से कम है।

उत्तरA · केवल I

1. I: समष्टि माध्य एक ही है, पर हर प्रतिदर्श का अपना माध्य होता है। सही।

2. II: प्रतिदर्श माध्य केवल अनुमान है और प्रायः समष्टि माध्य से थोड़ा अलग होता है। गलत।

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

1. दोनों सही हैं: प्रतिदर्श समष्टि का केवल एक भाग है।

2. क्योंकि प्रतिदर्शज प्रतिदर्श-दर-प्रतिदर्श बदलता है, हाथ का एक प्रतिदर्श सच्चाई से ऊपर या नीचे हो सकता है; इसी से A सही है। R, A की व्याख्या करता है।

उत्तरD · $36$

1. $\frac{30}{\sqrt{n}} = 5$, इसलिए $\sqrt{n} = 6$।

2. $n = 36$।

उत्तरD · $H_0$ के अंतर्गत ऐसे परिणाम की संभावना 5% से कम है

1. सार्थकता परिणाम की तुलना उससे करती है जो $H_0$ के सही होने पर केवल संयोग से मिलता।

2. 5% पर परिणाम सार्थक है जब संयोग इतना चरम परिणाम 5% से कम बार देता।

उत्तरC · $2$

1. मानक त्रुटि $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ है: प्रतिदर्श आकार चार गुना करने पर यह $\sqrt{4} = 2$ से भाग होती है।

2. $\frac{4}{2} = 2$।

उत्तरA · लगभग प्रसामान्य, माध्य 80 और मानक त्रुटि 3

1. बड़े प्रतिदर्श के लिए $\bar{x}$ लगभग प्रसामान्य है, समष्टि के माध्य, 80, के साथ।

2. इसका फैलाव मानक त्रुटि $\frac{21}{\sqrt{49}} = 3$ है।

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

1. R सही है: प्रतिदर्शज प्रतिदर्श से निकाला जाता है।

2. अलग प्रतिदर्शों में अलग इकाइयाँ होती हैं, इसलिए $\bar{x}$ बदलता है: A, R के कारण सही है।

उत्तरB · ₹5

1. $\frac{300}{\sqrt{3{,}600}} = \frac{300}{60}$।

2. ₹5: चार गुना प्रतिदर्श से मानक त्रुटि आधी होती है।

उत्तरC · $4$

1. मानक त्रुटि $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ है, इसलिए वह $n$ के वर्गमूल के साथ घटती है।

2. उसे आधा करने के लिए $\sqrt{n}$ दोगुना होना चाहिए, इसलिए $n$ को 4 से गुणा करना होगा।

उत्तरA · ₹19.60

1. मानक त्रुटि ₹10 है।

2. $1.96 \times 10 = 19.6$ रुपये।

उत्तरB · $H_0: \mu = 500$

1. शून्य परिकल्पना कहती है कि कोई अंतर नहीं: समष्टि माध्य दावा किया गया मान है।

2. $H_0: \mu = 500$।

उत्तरC · $H_0$ अस्वीकार न करें

1. $H_0$ तभी अस्वीकार होती है जब $\lvert t \rvert$ क्रांतिक मान से बड़ा हो।

2. छोटे $\lvert t \rvert$ का अर्थ है आँकड़े $H_0$ से मेल खाते हैं: उसे अस्वीकार न करें।

उत्तरB · $H_0: \mu = 7$

1. शून्य परिकल्पना दावा बताती है, बिना अंतर के: समष्टि माध्य 7 के बराबर है।

2. इसलिए $H_0: \mu = 7$।

उत्तरC · $2$

1. $t = \frac{74 - 70}{10/\sqrt{25}} = \frac{4}{2}$।

2. $t = 2$।

उत्तरD · $H_1: \mu \ne 500$

1. दिशाहीन वैकल्पिक परिकल्पना किसी भी ओर अंतर की अनुमति देती है।

2. $H_1: \mu \ne 500$।

उत्तरC · $H_0: \bar{x} = 52$

1. परिकल्पना समष्टि के बारे में दावा है, इसलिए उसे $\mu$ जैसे प्राचल से लिखा जाता है।

2. $\bar{x} = 52$ तो प्रतिदर्श से पहले से ज्ञात है; परखने को कुछ नहीं।

उत्तरA · केवल I

1. I शून्य परिकल्पना का अर्थ है। सही।

2. II: परीक्षण शून्य परिकल्पना को केवल अस्वीकार कर सकता है या अस्वीकार करने में विफल हो सकता है; विफल होना प्रमाण नहीं। गलत।

उत्तरB · $H_0$ के वास्तव में सही होने पर भी उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता

1. सार्थकता स्तर वह जोखिम है जो हम सही शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने का स्वीकार करते हैं।

2. 5% पर, यदि $H_0$ सही हो, तो क्रांतिक मान जितना चरम परिणाम संयोग से 100 में केवल 5 बार होगा।

उत्तरD · $H_1: \mu < 300$

1. वैकल्पिक परिकल्पना वह बताती है जो शोधकर्ता को दावे के स्थान पर संदेह है।

2. '300 से कम' से एकपक्षीय $H_1: \mu < 300$ मिलता है।

उत्तरC · I और II दोनों

1. I: 'भिन्न' किसी भी दिशा में विचलन मानता है, दोनों पूँछें। सही।

2. II: एक दिशा का संदेह एक पूँछ लेता है। सही।

उत्तरB · केवल I, II और IV

1. I, II और IV बताते हैं कि परिकल्पनाएँ कैसे बनाई जाती हैं।

2. III गलत है: परीक्षण प्रायिकताओं से चलता है; 5% पर $H_0$ अस्वीकार करने पर भी त्रुटि की संभावना रहती है।

उत्तरA · $H_1: \mu > 40$

1. जाँच का आधार दावा $H_0: \mu = 40$ है।

2. आशा वृद्धि की है, इसलिए $H_1: \mu > 40$, एकपक्षीय परीक्षण।

उत्तरA · $H_0: \mu = 70,\ H_1: \mu > 70$

1. शून्य परिकल्पना '70 से बेहतर नहीं' की स्थिति है, $\mu = 70$।

2. 70 से अधिक का दावा वैकल्पिक है, $H_1: \mu > 70$, एक दक्षिण-पुच्छीय परीक्षण।

उत्तरB · $H_0$ अस्वीकार करें: $t = 2$, 1.711 से ऊपर है, इसलिए आँकड़े दावे का समर्थन करते हैं

1. दक्षिण-पुच्छीय परीक्षण $t$ की तुलना एक-पुच्छीय क्रांतिक मान 1.711 से करता है।

2. $2 > 1.711$: $H_0$ अस्वीकार करें और मानें कि माध्य 70 से ऊपर है।

उत्तरD · $H_0$ अस्वीकार न करें, क्योंकि $t = 2$, 2.064 से नीचे है

1. द्वि-पुच्छीय में 5% दोनों पूँछों में बँटता है, इसलिए क्रांतिक मान बढ़कर 2.064 हो जाता है।

2. $t = 2 < 2.064$: $H_0$ अस्वीकार न करें। पूँछों का चुनाव निर्णय बदल सकता है।

उत्तरC · $15$

1. एक-प्रतिदर्श t-परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि $n - 1$ होती है।

2. $16 - 1 = 15$।

उत्तरC · $2$

1. मानक त्रुटि $= \frac{s}{\sqrt{n}}$।

2. $\frac{14}{7} = 2$।

उत्तरB · $2.5$

1. $t$ अंतर बटा मानक त्रुटि है।

2. $\frac{3}{1.2} = 2.5$।