प्रसामान्य बंटन CUET गणित के Section B2 में आता है, Applied Mathematics वाला सेक्शन, जिसे आप Section B1 की जगह Applied Mathematics चुनने पर हल करते हैं। CUET प्रश्न के लिए ज़रूरी सारणी के क्षेत्रफल स्वयं देता है, इसलिए वह यह परखता है कि आप किसी मान को z में बदलकर क्षेत्रफल ठीक से जोड़-घटा पाते हैं या नहीं। प्रसामान्य वक्र के आकार से लेकर मानक प्रसामान्य चर, वक्र के नीचे के क्षेत्रफल और 68, 95 और 99.7 प्रतिशत के नियम तक हर विचार यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।
एक बड़े विद्यालय की लड़कियों की ऊँचाइयाँ 160 cm के औसत के आसपास सिमटी हैं, बहुत छोटी या बहुत लंबी लड़कियाँ कम से कम होती जाती हैं। आलेखित करने पर वे एक घंटी बनाती हैं: प्रसामान्य वक्र। माप की त्रुटियाँ, बड़ी परीक्षा के अंक और मशीन से भरे पैकेटों के भार भी ऐसा ही करते हैं, इसीलिए यह एक बंटन इतना महत्वपूर्ण है।
यह घंटी के आकार का और अपने माध्य के परितः सममित है, जहाँ यह सबसे ऊँचा है, इसलिए माध्य, माध्यिका और बहुलक बराबर हैं। इसका फैलाव मानक विचलन तय करता है: बड़ा नीची, चौड़ी घंटी देता है। इसके नीचे कुल क्षेत्रफल 1 है, माध्य के हर ओर आधा, और इसकी पूँछें अक्ष के पास आती जाती हैं पर उसे छूती नहीं।
गिनता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन ऊपर या नीचे है। यह किसी भी प्रसामान्य चर को मानक प्रसामान्य चर में बदल देता है, जिसका माध्य 0 और मानक विचलन 1 है, इसलिए क्षेत्रफलों की एक ही सारणी हर प्रसामान्य बंटन के काम आती है।
उदाहरण 1 · ऊँचाई का z
ऊँचाइयाँ प्रसामान्य हैं, माध्य 160 cm और मानक विचलन 6 cm। 163 cm और 148 cm के लिए निकालिए।
।
: माध्य से दो मानक विचलन नीचे।
और ।
उलटे, । और क्योंकि इकाई-रहित है, यह अलग-अलग परीक्षाओं के अंकों की उचित तुलना करता है: जितना ऊँचा , अपने समूह की तुलना में उतने अच्छे अंक।
हर मान को में बदलिए, फिर ज़रूरी क्षेत्रफल 0 और के बीच के सारणी-क्षेत्रफल से बनाइए, दो तथ्यों के सहारे: वक्र 0 के परितः सममित है, और हर आधे का क्षेत्रफल 0.5 है। 0 के एक ही ओर के क्षेत्रफल घटते हैं; विपरीत ओर के जुड़ते हैं।
लगभग 68% क्षेत्रफल माध्य से एक मानक विचलन के भीतर, लगभग 95% दो के भीतर और लगभग 99.7% तीन के भीतर होता है।
उदाहरण 2 · 163 cm से छोटी
ऊँचाइयाँ प्रसामान्य हों, माध्य 160 cm और मानक विचलन 6 cm, तो कितना अनुपात लड़कियाँ 163 cm से छोटी हैं? लीजिए।
, इसलिए हमें चाहिए।
बायाँ आधा 0.5 है, और 0 से 0.5 के बीच 0.1915 और है: ।
0.6915, लगभग 69% लड़कियाँ।
सावधान
सारणी का क्षेत्रफल 0 से चलता है, बाएँ छोर से नहीं। , 0.5 घटा सारणी-क्षेत्रफल है, 1 घटा वह नहीं।
ऊपर की तरह प्रायिकता निकालिए, फिर प्रतिशत के लिए 100 से, या गिनती के लिए समूह के आकार से गुणा कीजिए। 68% नियम से लगभग 68% लड़कियाँ और cm के बीच लंबी हैं।
वक्र
z का उपयोग
Section B2 में आगे: समय के साथ बदलते आँकड़े, काल श्रेणी और प्रवृत्ति।
68 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-सा हर प्रसामान्य वक्र के लिए सही है?
उत्तरB · वह अपने माध्य के परितः सममित है
प्रसामान्य वक्र घंटी के आकार का और माध्य के परितः सममित है, इसलिए उसका माध्य, माध्यिका और बहुलक एक ही हैं।
उसकी पूँछें अक्ष के निकट आती जाती हैं पर उससे कभी नहीं मिलतीं।
ध्यान देने योग्य
तीन मानक विचलनों से आगे वक्र अक्ष के बहुत पास है, पर उसे कभी छूता नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
प्रसामान्य वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल क्या है?
उत्तरD ·
वक्र के नीचे का क्षेत्रफल कुल प्रायिकता है।
कुल प्रायिकता सदा 1 होती है, और जो भी हों।
ध्यान देने योग्य
0.5 माध्य के एक ओर का क्षेत्रफल है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।
I. प्रसामान्य बंटन एक सतत बंटन है।
II. प्रसामान्य वक्र अपने माध्य पर सबसे ऊँचा होता है।
उत्तरC · I और II दोनों
I: प्रसामान्य चर किसी अंतराल का कोई भी मान ले सकता है, जैसे ऊँचाई या भार। सही।
II: घंटी का शिखर माध्य पर है, जो बहुलक भी है। सही।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
माध्य 50 के साथ प्रसामान्य है। क्या है?
उत्तरC ·
प्रसामान्य वक्र अपने माध्य के परितः सममित है।
इसलिए ठीक आधा क्षेत्रफल माध्य से नीचे है: 0.5।
ध्यान देने योग्य
0 में 'माध्य से नीचे' को 'ठीक माध्य पर' समझ लिया, जिसकी प्रायिकता 0 है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
अभिकथन (A): हर प्रसामान्य बंटन के लिए ।
कारण (R): प्रसामान्य वक्र अपने माध्य के परितः सममित है।
उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।
R प्रसामान्य वक्र का परिभाषित गुण है। सही।
सममिति कुल क्षेत्रफल 1 को पर दो बराबर आधों में बाँटती है, इसलिए A, R के कारण सही है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
इनमें से कौन-से प्रसामान्य बंटन के लिए सही हैं?
I. उसके माध्य, माध्यिका और बहुलक बराबर होते हैं।
II. उसका वक्र क्षैतिज अक्ष को कभी नहीं छूता।
III. माध्य के बाईं ओर का क्षेत्रफल 0.5 है।
IV. उसका मानक विचलन ऋणात्मक हो सकता है।
उत्तरA · केवल I, II और III
सममिति माध्य, माध्यिका और बहुलक को साथ रखती है (I) और माध्य के हर ओर आधा क्षेत्रफल (III); पूँछें अक्ष के केवल पास आती हैं (II)।
IV गलत है: मानक विचलन फैलाव मापता है और कभी ऋणात्मक नहीं होता।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
चित्र में एक ही माध्य वाले दो प्रसामान्य वक्र, A और B, दिखाए गए हैं। कौन-सा कथन सही है?
उत्तरC · B का मानक विचलन बड़ा है
दोनों वक्रों के नीचे क्षेत्रफल 1 है, इसलिए चौड़ा वक्र नीचा होना चाहिए।
B नीचा और अधिक फैला है, इसलिए उसका मानक विचलन बड़ा है।
ध्यान देने योग्य
A ऊँचा है, पर ऊँचाई बताती है कि मान कितने सिमटे हैं: ऊँचे वक्र का फैलाव कम होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दो प्रसामान्य वक्रों, A और B, का मानक विचलन समान है। A का माध्य 40 और B का 60 है। कौन-सा कथन सही है?
उत्तरB · उनका आकार समान है, और B, A को 20 दाईं ओर खिसकाकर बनता है
मानक विचलन आकार तय करता है; बराबर मानक विचलन का अर्थ समान आकार।
माध्य स्थिति तय करता है: B का केंद्र A के केंद्र से 20 इकाई दाईं ओर है।
ध्यान देने योग्य
हर प्रसामान्य वक्र ठीक 1 क्षेत्रफल घेरता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
प्रसामान्य बंटन के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से सही हैं?
I. बड़ा मानक विचलन चपटा, चौड़ा वक्र देता है।
II. वक्र माध्य पर सबसे ऊँचा होता है।
III. वक्र दाईं ओर विषम (तिरछा) होता है।
IV. के ठीक एक मान के बराबर होने की प्रायिकता 0 है।
उत्तरD · केवल I, II और IV
I: कुल क्षेत्रफल 1 रहता है, इसलिए अधिक फैलाव का अर्थ नीची चोटी। II: चोटी माध्य पर है। IV: एक बिंदु की कोई चौड़ाई नहीं, इसलिए क्षेत्रफल नहीं।
III गलत है: प्रसामान्य वक्र सममित है, विषम नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक चर प्रसामान्य है, माध्य 60 और मानक विचलन 8। के लिए मानक प्रसामान्य चर क्या है?
उत्तरB ·
।
।
ध्यान देने योग्य
12 अंकों में माध्य से दूरी है; z उसे मानक विचलनों में गिनता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक चर माध्य 50 और मानक विचलन 4 के साथ प्रसामान्य है। के लिए मानक प्रसामान्य चर क्या है?
उत्तरB ·
।
।
ध्यान देने योग्य
-8 माध्य से दूरी इकाइयों में है, मानक विचलनों में नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक चर माध्य 65 और मानक विचलन 6 के साथ प्रसामान्य है। के लिए मानक प्रसामान्य चर क्या है?
उत्तरC ·
।
।
ध्यान देने योग्य
9 माध्य से दूरी इकाइयों में है, मानक विचलनों में नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक बोर्ड की गणित परीक्षा में अंक प्रसामान्य हैं, माध्य 60 और मानक विचलन 8; उसकी अंग्रेज़ी परीक्षा में प्रसामान्य हैं, माध्य 55 और मानक विचलन 10। अमन गणित में 76 और अंग्रेज़ी में 70 अंक पाता है। ( लीजिए।)
गणित में अमन का -स्कोर क्या है?
उत्तरC ·
।
।
ध्यान देने योग्य
1.5 अंग्रेज़ी का -स्कोर है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक बोर्ड की गणित परीक्षा में अंक प्रसामान्य हैं, माध्य 60 और मानक विचलन 8; उसकी अंग्रेज़ी परीक्षा में प्रसामान्य हैं, माध्य 55 और मानक विचलन 10। अमन गणित में 76 और अंग्रेज़ी में 70 अंक पाता है। ( लीजिए।)
गणित के किस अंक का -स्कोर है?
उत्तरA ·
।
।
ध्यान देने योग्य
72 में 12 अंक जोड़े; ऋणात्मक माध्य से नीचे होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक चर प्रसामान्य है, माध्य 50 और मानक विचलन 5। का कौन-सा मान देता है?
उत्तरA ·
।
।
ध्यान देने योग्य
56 में 6 घटाने के बजाय जोड़ा गया: ऋणात्मक z माध्य से नीचे होता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
मानक प्रसामान्य चर का माध्य और मानक विचलन क्या हैं?
उत्तरD · माध्य 0, मानक विचलन 1
माध्य को 0 पर खिसकाता है और फैलाव को 1 कर देता है।
इसलिए का माध्य 0 और मानक विचलन 1 है, जो भी हो।
ध्यान देने योग्य
और मूल चर के हैं, के नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
आशा ने एक परीक्षा में 72 अंक पाए, जिसके अंकों का माध्य 60 और मानक विचलन 8 है। रवि ने दूसरी परीक्षा में 80 अंक पाए, जिसका माध्य 70 और मानक विचलन 10 है। अपनी-अपनी कक्षा की तुलना में किसने बेहतर किया?
उत्तरB · आशा, बनाम 1
आशा: । रवि: ।
आशा अपनी कक्षा से 1.5 मानक विचलन ऊपर है, रवि केवल 1, इसलिए आशा ने बेहतर किया।
ध्यान देने योग्य
रवि के 80 अधिक अंक हैं, पर अलग-अलग परीक्षाओं के अंक मानकीकरण के बाद ही तुलनीय हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक चर माध्य 80 के साथ प्रसामान्य है, और पर है। मानक विचलन क्या है?
उत्तरC ·
।
।
ध्यान देने योग्य
18 में 12 को 1.5 से गुणा किया, भाग नहीं दिया।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक चर माध्य 120 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य है। का कौन-सा मान देता है?
उत्तरD ·
।
।
ध्यान देने योग्य
108 माध्य से 0.8 मानक विचलन नीचे जाता है; धनात्मक है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
माध्य और मानक विचलन के साथ प्रसामान्य है। इनमें से किसका बंटन मानक प्रसामान्य है?
उत्तरB ·
घटाने से माध्य 0 पर आता है; से भाग देने पर मानक विचलन 1 हो जाता है।
इसलिए का माध्य 0 और मानक विचलन 1 है।
ध्यान देने योग्य
का माध्य 0 है पर मानक विचलन ही रहता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
नेहा ने भौतिकी में 68 अंक पाए, जहाँ अंकों का माध्य 60 और मानक विचलन 5 है, और रसायन में 75, जहाँ माध्य 65 और मानक विचलन 8 है। दूसरों की तुलना में उसने किस विषय में बेहतर किया?
उत्तरD · भौतिकी, क्योंकि बनाम
भौतिकी: । रसायन: ।
अधिक बेहतर सापेक्ष अंक है: भौतिकी।
ध्यान देने योग्य
माध्य से 10 अंक ऊपर कम प्रभावशाली है जब अंक अधिक फैले हों, मानक विचलन 8 के साथ।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक बोर्ड की गणित परीक्षा में अंक प्रसामान्य हैं, माध्य 60 और मानक विचलन 8; उसकी अंग्रेज़ी परीक्षा में प्रसामान्य हैं, माध्य 55 और मानक विचलन 10। अमन गणित में 76 और अंग्रेज़ी में 70 अंक पाता है। ( लीजिए।)
अन्य परीक्षार्थियों की तुलना में अमन ने किस विषय में बेहतर किया?
उत्तरB · गणित: उसका -स्कोर 2 है, अंग्रेज़ी के 1.5 के मुकाबले
गणित: । अंग्रेज़ी: ।
ऊँचे -स्कोर का अर्थ बेहतर स्थिति, इसलिए गणित।
ध्यान देने योग्य
अलग माध्य और फैलाव वाली परीक्षाओं में कच्चे अंकों की तुलना नहीं हो सकती।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक बोर्ड की गणित परीक्षा में अंक प्रसामान्य हैं, माध्य 60 और मानक विचलन 8; उसकी अंग्रेज़ी परीक्षा में प्रसामान्य हैं, माध्य 55 और मानक विचलन 10। अमन गणित में 76 और अंग्रेज़ी में 70 अंक पाता है। ( लीजिए।)
कितने प्रतिशत परीक्षार्थी गणित में 52 से कम अंक पाते हैं?
उत्तरA · 15.87%
।
, इसलिए 15.87%।
ध्यान देने योग्य
84.13%, 52 या अधिक पाने वालों का हिस्सा है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक प्रसामान्य बंटन में का और का है। माध्य और मानक विचलन क्या हैं?
उत्तरD ·
और । घटाने पर: , इसलिए ।
तब ।
ध्यान देने योग्य
, 45 और 65 का मध्यबिंदु है, पर दोनों मान माध्य से बराबर दूर नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक प्रसामान्य बंटन में पर और पर है। माध्य और मानक विचलन क्या हैं?
उत्तरA · माध्य 50, मानक विचलन 10
और ।
घटाने पर: , इसलिए और ।
ध्यान देने योग्य
माध्य 55 तो 40 और 70 का मध्य है, जिसके लिए दोनों -मान एक-दूसरे के ऋण होने चाहिए।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
किसी प्रसामान्य बंटन का लगभग कितना प्रतिशत माध्य से एक मानक विचलन के भीतर होता है?
उत्तरB · 68%
माध्य से 1, 2 और 3 मानक विचलनों के भीतर के क्षेत्रफल लगभग 68%, 95% और 99.7% हैं।
इसलिए लगभग 68%, और के बीच है।
ध्यान देने योग्य
95% दो मानक विचलनों के भीतर का हिस्सा है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दिए हैं। क्या है?
उत्तरD ·
बाएँ आधे का क्षेत्रफल 0.5 है, और 0 से 0.8 के बीच 0.2881 है।
।
ध्यान देने योग्य
0.2881 केवल 0 से 0.8 तक का भाग है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दिए हैं। क्या है?
उत्तरC ·
सममिति से से 0 तक का क्षेत्रफल भी 0.475 है।
।
ध्यान देने योग्य
0.475 केवल 0 का एक ओर ढकता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
चित्र में मानक प्रसामान्य वक्र है, जिसमें से तक का क्षेत्रफल छायांकित है। दिया है। छायांकित क्षेत्रफल क्या है?
उत्तरB ·
सममिति से से 0 तक का क्षेत्रफल 0 से 2 तक के क्षेत्रफल के बराबर है।
इसलिए यह 0.4772 है।
ध्यान देने योग्य
0.0228 तो से आगे की पूँछ है, छायांकित भाग के बाहर।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
किसी प्रसामान्य बंटन का लगभग कितना प्रतिशत माध्य से 2 मानक विचलन से अधिक दूर है, किसी भी ओर?
उत्तरB · 5%
लगभग 95% माध्य से 2 मानक विचलनों के भीतर है।
इसलिए लगभग बाहर है, दोनों पूँछों में बँटा।
ध्यान देने योग्य
2.5% केवल एक पूँछ है; 'किसी भी ओर' दोनों गिनता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक शहर की 15 वर्ष की लड़कियों की ऊँचाई प्रसामान्य रूप से बंटित है, माध्य 150 cm और मानक विचलन 10 cm। (, , और लीजिए।)
शहर की 165 cm लंबी लड़की का -स्कोर क्या है?
उत्तरC ·
।
।
ध्यान देने योग्य
15 cm में माध्य से दूरी है, मानक विचलन से भाग देने से पहले।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
मानक प्रसामान्य चर के लिए । क्या है?
उत्तरC ·
सममिति से 0 के बाईं ओर का क्षेत्रफल 0.5 है।
।
ध्यान देने योग्य
0.4332 केवल 0 से 1.5 तक का भाग है; पूरा बायाँ आधा भी आता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
मानक प्रसामान्य चर के लिए । क्या है?
उत्तरA ·
0 के दाईं ओर का क्षेत्रफल 0.5 है, और उसमें से 0.4772, 0 और 2 के बीच है।
।
ध्यान देने योग्य
0.5228 में 1 से 0.4772 घटाया गया, पर 0.4772 को 0 से मापा गया है, बाएँ छोर से नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
चित्र में मानक प्रसामान्य वक्र है, जिसमें से तक का क्षेत्रफल छायांकित है। और दिए हैं। छायांकित क्षेत्रफल क्या है?
उत्तरC ·
छायांकित क्षेत्र 0 के दोनों ओर है: सममिति से से 0 तक का भाग 0 से 1 तक के भाग, 0.3413, के बराबर है।
छायांकित क्षेत्रफल ।
ध्यान देने योग्य
0.1359 में दोनों क्षेत्रफल घटाए गए, जो केवल तब सही है जब दोनों z-मान 0 के एक ही ओर हों।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दिया है। क्या है?
उत्तरA ·
सममिति से ।
।
ध्यान देने योग्य
0.8413 तो है, के बाईं ओर सब कुछ।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
चित्र में मानक प्रसामान्य वक्र है, जिसमें के दाईं ओर का क्षेत्रफल छायांकित है। दिया है। छायांकित क्षेत्रफल क्या है?
उत्तरB ·
पूरे दाएँ आधे का क्षेत्रफल 0.5 है, और उसमें से 0.4332, 0 और 1.5 के बीच है।
छायांकित पूँछ ।
ध्यान देने योग्य
0.4332 तो 0 और 1.5 के बीच का बिना छाया वाला भाग है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
और दिए हैं। क्या है?
उत्तरA ·
दोनों z-मान 0 के दाईं ओर हैं: बड़े क्षेत्रफल में से छोटा घटाइए।
।
ध्यान देने योग्य
0.6472 में क्षेत्रफल जोड़े, मानो z-मान 0 के विपरीत ओर हों।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
चित्र में मानक प्रसामान्य वक्र है, जिसमें के बाईं ओर का क्षेत्रफल छायांकित है। दिया है। छायांकित क्षेत्रफल क्या है?
उत्तरD ·
छायांकित क्षेत्रफल के बाईं ओर का सब कुछ है: बायाँ आधा, 0.5, और 0.3413।
।
ध्यान देने योग्य
0.3413 केवल 0 से 1 तक का भाग है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दिए हैं। क्या है?
उत्तरA ·
दाएँ आधे का क्षेत्रफल 0.5 है, जिसमें से 0.3849, 0 और 1.2 के बीच है।
।
ध्यान देने योग्य
0.6151 में 1 से 0.3849 घटाया, पर वह 0 से मापा गया है, बाएँ छोर से नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
और दिए हैं। क्या है?
उत्तरC ·
अंतराल 0 के दोनों ओर है: से 0 तक का भाग 0 से 0.6 तक के भाग, 0.2257, के बराबर है।
।
ध्यान देने योग्य
0.2384 में क्षेत्रफल घटाए, जो 0 के एक ही ओर के दो z-मानों के लिए है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक शहर की 15 वर्ष की लड़कियों की ऊँचाई प्रसामान्य रूप से बंटित है, माध्य 150 cm और मानक विचलन 10 cm। (, , और लीजिए।)
शहर की कितने प्रतिशत लड़कियाँ 145 cm से छोटी हैं?
उत्तरB · 30.85%
।
, इसलिए 30.85%।
ध्यान देने योग्य
19.15%, 145 cm और माध्य के बीच का हिस्सा है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक शहर की 15 वर्ष की लड़कियों की ऊँचाई प्रसामान्य रूप से बंटित है, माध्य 150 cm और मानक विचलन 10 cm। (, , और लीजिए।)
शहर की कितने प्रतिशत लड़कियों की ऊँचाई 140 cm और 165 cm के बीच है?
उत्तरD · 77.45%
140 cm पर और 165 cm पर , माध्य के विपरीत ओर।
, इसलिए 77.45%।
ध्यान देने योग्य
9.19% में क्षेत्रफल घटाए, जो तभी सही है जब दोनों मान माध्य की एक ही ओर हों।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दिए हैं। क्या है?
उत्तरB ·
सममिति से ।
।
ध्यान देने योग्य
0.8944 तो है; ऋण चिह्न मान को बाईं पूँछ में रखता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दिए हैं। क्या है?
उत्तरD ·
पूरा दायाँ आधा और से 0 तक का भाग है, जो 0.0987 के बराबर है।
।
ध्यान देने योग्य
0.4013 तो है, दूसरी ओर।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
और दिए हैं। क्या है?
उत्तरA ·
दोनों z-मान 0 के दाईं ओर हैं, इसलिए उनके बीच का क्षेत्रफल बड़े में से छोटा घटाकर मिलता है।
।
ध्यान देने योग्य
0.6247 में दोनों क्षेत्रफल जोड़े गए, जो 0 के विपरीत ओर के z-मानों के लिए है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक शहर की 15 वर्ष की लड़कियों की ऊँचाई प्रसामान्य रूप से बंटित है, माध्य 150 cm और मानक विचलन 10 cm। (, , और लीजिए।)
शहर की सबसे लंबी 2.5% लड़कियाँ किस ऊँचाई से ऊपर हैं?
उत्तरC · 169.6 cm
ऊपर के 2.5%, से ऊपर हैं, क्योंकि ।
cm।
ध्यान देने योग्य
130.4 cm सबसे छोटी 2.5% को अलग करता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
प्रतिक्रिया समय माध्य 72 ms और मानक विचलन 9 ms के साथ प्रसामान्य हैं। बीच के 68% लगभग किन दो समयों के बीच हैं?
उत्तरD · 63 ms और 81 ms
लगभग 68% माध्य से एक मानक विचलन के भीतर हैं।
और ।
ध्यान देने योग्य
54 से 90 ms हर ओर दो मानक विचलन है, लगभग 95%।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
डिलीवरी समय माध्य 30 मिनट और मानक विचलन 4 मिनट के साथ प्रसामान्य हैं। लगभग 95% डिलीवरी किन दो समयों के बीच होती हैं?
उत्तरA · 22 और 38 मिनट
लगभग 95% माध्य से दो मानक विचलनों के भीतर हैं।
और मिनट।
ध्यान देने योग्य
26 से 34 मिनट हर ओर एक मानक विचलन है, लगभग 68%।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक मशीन चीनी के पैकेट भरती है। भार प्रसामान्य रूप से बंटित हैं, माध्य 500 g और मानक विचलन 5 g। (, और लीजिए।)
चीनी के कितने प्रतिशत पैकेटों का भार 490 g से कम है?
उत्तरA · 2.28%
।
, इसलिए 2.28%।
ध्यान देने योग्य
4.56% में दोनों पूँछें गिनीं, हल्की और भारी।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक मशीन चीनी के पैकेट भरती है। भार प्रसामान्य रूप से बंटित हैं, माध्य 500 g और मानक विचलन 5 g। (, और लीजिए।)
चीनी के कितने प्रतिशत पैकेटों का भार 495 g और 505 g के बीच है?
उत्तरB · 68.26%
495 g और 505 g, और हैं।
, इसलिए 68.26%।
ध्यान देने योग्य
34.13% माध्य की केवल एक ओर है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक फ़ूड-डिलीवरी ऐप के डिलीवरी समय प्रसामान्य रूप से बंटित हैं, माध्य 40 मिनट और मानक विचलन 8 मिनट। (, , और लीजिए।)
ऐप की कितने प्रतिशत डिलीवरी में 46 मिनट से अधिक लगते हैं?
उत्तरB · 22.66%
।
, इसलिए 22.66%।
ध्यान देने योग्य
27.34%, 40 और 46 मिनट के बीच का हिस्सा है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक परीक्षा के अंक प्रसामान्य हैं, माध्य 60 और मानक विचलन 10। कितने प्रतिशत विद्यार्थी 75 से अधिक अंक पाते हैं? ( लीजिए।)
उत्तरA · 6.68%
।
, इसलिए 6.68% विद्यार्थी।
ध्यान देने योग्य
93.32%, 75 से कम अंक पाने वालों का हिस्सा है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक कस्बे के वयस्कों की ऊँचाई प्रसामान्य है, माध्य 160 cm और मानक विचलन 5 cm। कितने प्रतिशत 155 cm और 170 cm के बीच हैं? ( और लीजिए।)
उत्तरD · 81.85%
और ।
, इसलिए 81.85%।
ध्यान देने योग्य
68.26% तो है, जो 165 cm पर रुक जाता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
IQ अंक प्रसामान्य हैं, माध्य 100 और मानक विचलन 15। बीच के 95% अंक लगभग किन दो अंकों के बीच हैं?
उत्तरD · 70 और 130
लगभग 95% माध्य से दो मानक विचलनों के भीतर होता है।
: 70 से 130 तक।
ध्यान देने योग्य
85 से 115 हर ओर एक मानक विचलन है, लगभग 68%।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक समूह के भार माध्य 70 kg और मानक विचलन 8 kg के साथ प्रसामान्य हैं। कितने प्रतिशत का भार 62 kg से कम है? ( लीजिए।)
उत्तरA · 15.87%
।
, यानी 15.87%।
ध्यान देने योग्य
84.13% तो 62 kg से ऊपर का हिस्सा है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक परीक्षा के अंक माध्य 55 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य हैं। कितने प्रतिशत विद्यार्थी 75 से अधिक अंक पाते हैं? ( लीजिए।)
उत्तरA · 2.28%
।
, यानी 2.28%।
ध्यान देने योग्य
47.72% तो 55 और 75 के बीच का हिस्सा है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
अंक माध्य 500 और मानक विचलन 50 के साथ प्रसामान्य हैं। कितने प्रतिशत 450 और 600 के बीच अंक पाते हैं? ( और लीजिए।)
उत्तरC · 81.85%
450 से और 600 से ।
, यानी 81.85%।
ध्यान देने योग्य
13.59% में क्षेत्रफल घटाए; अंतराल माध्य के दोनों ओर है, इसलिए वे जुड़ते हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
दैनिक बिक्री माध्य 50 इकाई और मानक विचलन 4 के साथ प्रसामान्य है। किसी दिन की बिक्री 46 इकाई से अधिक होने की प्रायिकता क्या है? ( लीजिए।)
उत्तरD ·
।
।
ध्यान देने योग्य
0.1587, 46 इकाई से कम की संभावना है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक मशीन चीनी के पैकेट भरती है। भार प्रसामान्य रूप से बंटित हैं, माध्य 500 g और मानक विचलन 5 g। (, और लीजिए।)
20,000 चीनी के पैकेटों में से लगभग कितने का भार 490 g और 510 g के बीच है?
उत्तरD ·
490 g से 510 g, से है: ।
पैकेट।
ध्यान देने योग्य
912 उस सीमा के बाहर की संख्या है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक फ़ूड-डिलीवरी ऐप के डिलीवरी समय प्रसामान्य रूप से बंटित हैं, माध्य 40 मिनट और मानक विचलन 8 मिनट। (, , और लीजिए।)
ऐप की कितने प्रतिशत डिलीवरी में 36 से 56 मिनट लगते हैं?
उत्तरD · 66.87%
36 मिनट और 56 मिनट है।
, इसलिए 66.87%।
ध्यान देने योग्य
28.57% में दोनों क्षेत्रफल घटाए, हालाँकि मान माध्य के विपरीत ओर हैं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक फ़ूड-डिलीवरी ऐप के डिलीवरी समय प्रसामान्य रूप से बंटित हैं, माध्य 40 मिनट और मानक विचलन 8 मिनट। (, , और लीजिए।)
ऐप की 5,000 डिलीवरी में से लगभग कितनी में 46 मिनट से अधिक लगते हैं?
उत्तरA ·
22.66% डिलीवरी में 46 मिनट से अधिक लगते हैं।
।
ध्यान देने योग्य
1,367 में 27.34% लिया, 40 और 46 मिनट के बीच का हिस्सा।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक बैटरी का जीवन माध्य 1,000 घंटे और मानक विचलन 100 घंटे के साथ प्रसामान्य है। किसी बैटरी के 900 और 1,100 घंटे के बीच चलने की प्रायिकता क्या है? ( लीजिए।)
उत्तरC ·
900 और 1,100 से और ।
।
ध्यान देने योग्य
0.3413 केवल 1,000 से 1,100 घंटे ढकता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
10,000 विद्यार्थी एक परीक्षा देते हैं जिसके अंक प्रसामान्य हैं, माध्य 50 और मानक विचलन 10। लगभग कितने 40 से कम अंक पाते हैं? ( लीजिए।)
उत्तरC ·
, और ।
विद्यार्थी।
ध्यान देने योग्य
3,413, 40 और 50 के बीच की संख्या है, 40 से नीचे की नहीं।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक बल्ब का जीवनकाल प्रसामान्य है, माध्य 800 घंटे और मानक विचलन 40 घंटे। किसी बल्ब के 880 घंटे से अधिक चलने की प्रायिकता क्या है? ( लीजिए।)
उत्तरB ·
।
।
ध्यान देने योग्य
0.4772, 800 और 880 घंटे के बीच चलने की प्रायिकता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
अंक माध्य 65 और मानक विचलन 7 के साथ प्रसामान्य हैं। शीर्ष 2.28% विद्यार्थियों को A मिलता है। A के लिए न्यूनतम अंक क्या है? ( लीजिए।)
उत्तरC ·
2.28% की पूँछ का अर्थ , इसलिए ।
।
ध्यान देने योग्य
51 माध्य से 2 मानक विचलन नीचे जाता है: वह निचले 2.28% को चिह्नित करता है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
2,000 विद्यार्थी एक परीक्षा देते हैं जिसके अंक माध्य 60 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य हैं। लगभग कितने 78 से अधिक अंक पाते हैं? ( लीजिए।)
उत्तरB ·
, और ।
, लगभग 134 विद्यार्थी।
ध्यान देने योग्य
866 में 0.4332 लिया, जो 60 और 78 के बीच का हिस्सा है।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक मशीन चीनी के पैकेट भरती है। भार प्रसामान्य रूप से बंटित हैं, माध्य 500 g और मानक विचलन 5 g। (, और लीजिए।)
मशीन को ऐसे समायोजित किया जाता है कि मानक विचलन घटकर 4 g रह जाए, माध्य वही रहे। अब चीनी के कितने प्रतिशत पैकेटों का भार 490 g से कम है?
उत्तरA · 0.62%
।
, इसलिए 0.62%।
ध्यान देने योग्य
2.28% में पुराना मानक विचलन 5 g रखा।
हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।
एक फ़ूड-डिलीवरी ऐप के डिलीवरी समय प्रसामान्य रूप से बंटित हैं, माध्य 40 मिनट और मानक विचलन 8 मिनट। (, , और लीजिए।)
ऐप ऐसा डिलीवरी समय वादा करना चाहता है जिससे केवल 5% डिलीवरी अधिक लें। उसे कितने समय का वादा करना चाहिए?
उत्तरC · 53.16 मिनट
ऊपर के 5%, से ऊपर हैं, क्योंकि ।
मिनट।
ध्यान देने योग्य
55.68 मिनट में लिया, जो 2.5% ऊपर छोड़ता है।
NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।