CUET Applied Maths के लिए द्विपद और प्वासों बंटन

उत्तरB · एक सिक्के को 10 बार उछालकर हर बार चित या पट लिखना

1. बर्नूली परीक्षण निश्चित संख्या के स्वतंत्र परीक्षण होते हैं, हर एक के दो परिणाम और सफलता की एक-सी प्रायिकता।

2. सिक्का इन सब पर खरा है। बिना वापस रखे निकालने से हर बार प्रायिकता बदलती है; 'छक्का आने तक' में संख्या निश्चित नहीं; ऊँचाई दो-तरफ़ा परिणाम नहीं।

उत्तरA · केवल I

1. I बर्नूली परीक्षणों की एक शर्त है। सही।

2. II: बिना वापस रखे हर निकासी से थैले में बचा बदल जाता है, इसलिए सफलता की प्रायिकता बदलती है। गलत।

उत्तरC · $n = 8,\ p = \frac{1}{5}$

1. 8 प्रश्नों में से हर एक एक परीक्षण है: $n = 8$।

2. अनुमान के सही होने की प्रायिकता $\frac{1}{5}$: $p = \frac{1}{5}$।

उत्तरB · $n = 10,\ p = \frac{1}{6}$

1. जोड़े की हर फेंक एक परीक्षण है: $n = 10$।

2. युग्मक 36 में से 6 परिणामों में आता है: $p = \frac{1}{6}$।

उत्तरD · $n = 6,\ p = \frac{1}{3}$

1. $n$ परीक्षणों की संख्या है: 6 फेंक।

2. सफलता 5 या 6 है, छह में से दो फलक: $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।

उत्तरD · 6 लाल और 4 नीली गेंदों के थैले से बिना वापस रखे एक-एक कर 4 गेंदें निकालकर लाल है या नहीं, लिखना

1. बर्नूली परीक्षणों में हर परीक्षण पर सफलता की प्रायिकता समान और स्वतंत्र होनी चाहिए।

2. बिना वापसी के हर निकासी के बाद लाल की संभावना बदलती है ($\frac{6}{10}$, फिर $\frac{5}{9}$ या $\frac{6}{9}$), इसलिए वे बर्नूली परीक्षण नहीं।

उत्तरD · केवल I, II और IV

1. बर्नूली परीक्षण संख्या में परिमित, स्वतंत्र होते हैं, और हर एक के ठीक दो परिणाम होते हैं।

2. III शर्त का उलटा है: सफलता की प्रायिकता हर परीक्षण पर वही, $p$, रहनी चाहिए।

उत्तरC · $\frac{3}{8}$

1. $P(X = 2) = {}^{4}C_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 6 \times \frac{1}{16}$।

2. $= \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।

उत्तरC · $\frac{5}{16}$

1. $P(X = 3) = {}^{6}C_3\left(\frac{1}{2}\right)^{6}$।

2. $= \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$।

उत्तरA · $\frac{81}{256}$

1. $P(X = 4) = \left(\frac{3}{4}\right)^{4}$।

2. $= \frac{81}{256}$।

उत्तरB · $\frac{243}{1024}$

1. हर उत्तर स्वतंत्र रूप से $\frac{3}{4}$ प्रायिकता से गलत है।

2. $\left(\frac{3}{4}\right)^{5} = \frac{243}{1{,}024}$।

उत्तरB · $\frac{91}{216}$

1. 'कम से कम एक' 'एक भी नहीं' का पूरक है। कोई छक्का न आने की प्रायिकता $\left(\frac{5}{6}\right)^{3} = \frac{125}{216}$ है।

2. इसलिए कम से कम एक छक्के की प्रायिकता $1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$ है।

उत्तरC · $0.59049$

1. हर बल्ब 0.9 प्रायिकता से ठीक है, स्वतंत्र रूप से।

2. एक भी ख़राब न होने की प्रायिकता $(0.9)^{5} = 0.59049$ है।

उत्तरA · ${}^{7}C_{3}\,(0.4)^{3}(0.6)^{4}$

1. $P(X = r) = {}^{n}C_{r}\,p^{r}q^{n - r}$, जहाँ $q = 1 - p = 0.6$।

2. $r = 3$ के लिए: ${}^{7}C_{3}\,(0.4)^{3}(0.6)^{4}$।

उत्तरA · $\frac{1}{1024}$

1. हर अनुमान $\frac{1}{4}$ प्रायिकता से सही है, स्वतंत्र रूप से।

2. $P(X = 5) = \left(\frac{1}{4}\right)^{5} = \frac{1}{1{,}024}$।

उत्तरC · $\frac{25}{216}$

1. $P(X = 2) = {}^{4}C_2\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$।

2. $= 6 \times \frac{25}{1{,}296} = \frac{25}{216}$।

उत्तरA · $1 - q^{n}$

1. कोई सफलता न होने का एकमात्र तरीका हर बार विफल होना है: $q^{n}$।

2. इसलिए कम से कम एक सफलता की प्रायिकता $1 - q^{n}$ है।

उत्तरC · $\frac{64}{125}$

1. हर बीज स्वतंत्र रूप से प्रायिकता 0.8 से अंकुरित होता है।

2. $0.8^{3} = 0.512$, जो $\frac{64}{125}$ है।

उत्तरD · $\frac{3}{16}$

1. अधिक से अधिक एक चित: $P(0) + P(1) = \frac{1}{32} + \frac{5}{32}$।

2. $= \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$।

उत्तरB · $\frac{11}{16}$

1. पूरक: $1 - P(0) - P(1) = 1 - \frac{1}{16} - \frac{4}{16}$।

2. $= \frac{11}{16}$।

उत्तरD · $\frac{405}{1024}$

1. $P(X = 1) = {}^{5}C_{1}\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^{4}$।

2. $5 \times \frac{1}{4} \times \frac{81}{256} = \frac{405}{1{,}024}$।

उत्तरC · $\frac{781}{1024}$

1. $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$।

2. $1 - \frac{243}{1{,}024} = \frac{781}{1{,}024}$।

उत्तरC · $\frac{15}{16}$

1. $n = 5$, $p = \frac{1}{4}$, $q = \frac{3}{4}$।

2. प्रसरण $= npq = 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{15}{16}$।

उत्तरB · $\frac{671}{1296}$

1. 'कम से कम एक छक्का', 'कोई छक्का नहीं' का पूरक है: $1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{4}$।

2. $= 1 - \frac{625}{1{,}296} = \frac{671}{1{,}296}$।

उत्तरD · $\frac{441}{1000}$

1. $P(X = 2) = {}^{3}C_2(0.7)^{2}(0.3)$।

2. $= 3 \times 0.49 \times 0.3 = 0.441$।

उत्तरD · $\frac{3}{16}$

1. कम से कम 4 का अर्थ है 4 या 5: $2^{5} = 32$ परिणामों में से ${}^{5}C_{4} + {}^{5}C_{5} = 5 + 1 = 6$।

2. $P = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$।

उत्तरC · $6$

1. द्विपद बंटन का माध्य $np$ है।

2. $20 \times 0.3 = 6$।

उत्तरB · $20$

1. माध्य $= np$।

2. $50 \times 0.4 = 20$।

उत्तरC · $5$

1. छक्कों की संख्या $n = 30$, $p = \frac{1}{6}$ वाली द्विपद है।

2. माध्य $= np = 5$।

उत्तरD · $2.4$

1. माध्य $= np$।

2. $4 \times 0.6 = 2.4$।

उत्तरA · $0.96$

1. प्रसरण $= npq = 4 \times 0.6 \times 0.4$।

2. $0.96$।

उत्तरC · $0.1296$

1. $P(X = 4) = 0.6^{4}$।

2. $0.1296$।

उत्तरB · $n = 20,\ p = 0.4$

1. $\frac{npq}{np} = q = \frac{4.8}{8} = 0.6$, इसलिए $p = 0.4$।

2. $n = \frac{8}{0.4} = 20$।

उत्तरB · $4$

1. प्रसरण $= npq = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$।

2. मानक विचलन $= \sqrt{16} = 4$।

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

1. माध्य 5 के साथ प्रसरण 6 के लिए $q = \frac{6}{5} > 1$ चाहिए, जो कोई प्रायिकता नहीं हो सकती। A सही है।

2. R ठीक यही कारण है, इसलिए R, A की व्याख्या करता है।

उत्तरD · A-II, B-IV, C-I, D-III

1. द्विपद: माध्य $np = 5$, प्रसरण $npq = 10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5$।

2. प्वासों: प्रसरण $\lambda = 4$ के बराबर; $\lambda = 9$ पर मानक विचलन $\sqrt{9} = 3$।

उत्तरA · $\frac{40}{3}$

1. प्रसरण $= npq = 60 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}$।

2. $= \frac{40}{3}$।

उत्तरB · $4$

1. $npq = 16p(1 - p)$, और $p(1 - p)$, $p = \frac{1}{2}$ पर अधिकतम है, जहाँ यह $\frac{1}{4}$ है।

2. अधिकतम प्रसरण $= 16 \times \frac{1}{4} = 4$।

उत्तरC · $\frac{2}{3}$

1. $np = 3npq$, इसलिए $q = \frac{1}{3}$।

2. $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।