CUET Applied Maths के लिए यादृच्छिक चर, प्रत्याशा और प्रसरण

Q: यादृच्छिक चर का प्रत्याशित मान क्या है?

प्रत्याशित मान, या माध्य, E(X) = Σ x P(X = x) है: हर मान अपनी प्रायिकता से भारित। यह बहुत सी आवृत्तियों का दीर्घकालिक औसत है, और ज़रूरी नहीं कि यह ऐसा मान हो जो X वास्तव में ले सके।

Q: प्रसरण और मानक विचलन कैसे निकालते हैं?

प्रसरण माध्य के आसपास फैलाव मापता है: Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2, जहाँ E(X^2) = Σ x^2 P(X = x) । मानक विचलन उसका वर्गमूल है। प्रसरण कभी ऋणात्मक नहीं होता।

सीखने में लगभग 5 मिनट · 68 प्रश्न

यादृच्छिक चर CUET गणित के Section B2 में आते हैं, Applied Mathematics वाला सेक्शन, जिसे आप Section B1 की जगह Applied Mathematics चुनने पर हल करते हैं। ये प्रायिकता बंटन वाली इकाई की शुरुआत हैं, और द्विपद, प्वासों और प्रसामान्य बंटन के अध्याय यहीं सीखी प्रत्याशा और प्रसरण पर टिके हैं। विविक्त और सतत चर तथा प्रायिकता बंटन से लेकर प्रत्याशित मान, प्रसरण और मानक विचलन तक हर विचार यहाँ सीखिए, हल किए गए उदाहरणों, समय बचाने वाले शॉर्टकट और CUET के जालों के साथ, फिर CUET के अपने प्रारूपों में मुफ़्त प्रश्नों का अभ्यास कीजिए, हर प्रश्न पूरे हल के साथ।

पाठ्यक्रम क्षेत्र: Section B2: Applied Mathematics

इस पृष्ठ पर · 9 भाग

01यादृच्छिक चर
02प्रायिकता बंटन
03गणितीय प्रत्याशा
04प्रसरण और मानक विचलन
05CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है
06परीक्षा के लिए शॉर्टकट
07आम भूलें
08त्वरित पुनरावृत्ति
09अपनी समझ जाँचें

यादृच्छिक चर

एक मेले में एक स्टॉल पासे की दो फेंकों में हर छक्के पर इनाम देता है। स्टॉल वाले को इससे मतलब नहीं कि कौन-से फलक आए, केवल इससे कि कितने छक्के: 0, 1 या 2। हर परिणाम को ऐसी संख्या देना संयोग को ऐसी चीज़ बना देता है जिसका औसत लिया जा सके, और यही इस अध्याय का विषय है।

यादृच्छिक चर क्या है?

यादृच्छिक चर एक नियम है जो किसी यादृच्छिक प्रयोग के हर परिणाम को एक वास्तविक संख्या देता है, जैसे दो फेंकों में छक्कों की संख्या। यदि उसके मान सूचीबद्ध और गिने जा सकें, जैसे 0, 1, 2, तो वह विविक्त है; यदि वह किसी अंतराल का कोई भी मान ले सके, जैसे ऊँचाई या समय, तो सतत।

सावधान

जो मान मापा जाता है, जैसे भार या समय, वह सतत है भले ही उसे दो दशमलव तक ही लिखा जाए। जो मान गिना जाता है, जैसे कॉलें या चित, वह विविक्त है।

प्रायिकता बंटन

प्रायिकता बंटन क्या है?

यह यादृच्छिक चर के हर संभव मान को उसकी प्रायिकता के साथ सूचीबद्ध करता है। हर प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है, और प्रायिकताओं का योग 1 होता है, जिससे बंटन में कोई अज्ञात अचर निकाला जाता है।

उदाहरण 1 · स्टॉल का बंटन

$X$ एक न्याय्य पासे की दो फेंकों में छक्कों की संख्या है। इसका बंटन निकालिए।

कोई छक्का नहीं: $\left(\frac{5}{6}\right)^{2} = \frac{25}{36}$ । दो छक्के: $\left(\frac{1}{6}\right)^{2} = \frac{1}{36}$ ।
एक छक्का, किसी भी फेंक में: $2 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{10}{36}$ ।

उत्तर

$P(X = 0) = \frac{25}{36}$ , $P(X = 1) = \frac{10}{36}$ , $P(X = 2) = \frac{1}{36}$ ; इनका योग 1 है।

गणितीय प्रत्याशा

यादृच्छिक चर का प्रत्याशित मान क्या है?

प्रत्याशित मान, या माध्य, $E(X) = \sum x\,P(X = x)$ है: हर मान अपनी प्रायिकता से भारित। यह बहुत सी आवृत्तियों का दीर्घकालिक औसत है, और ज़रूरी नहीं कि यह ऐसा मान हो जो $X$ वास्तव में ले सके।

स्टॉल के लिए $E(X) = 0 \times \frac{25}{36} + 1 \times \frac{10}{36} + 2 \times \frac{1}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ : औसतन एक खिलाड़ी प्रति खेल एक-तिहाई छक्का फेंकता है। यदि हर छक्के पर ₹30 मिलें और एक खेल ₹12 का हो, तो स्टॉल प्रति खेल $12 - 30 \times \frac{1}{3} = 2$ रुपये लाभ की अपेक्षा करता है।

मुख्य बात

प्रत्याशा रैखिक है: $E(aX + b) = aE(X) + b$ , और योग की प्रत्याशा प्रत्याशाओं का योग है।

प्रसरण और मानक विचलन

प्रसरण और मानक विचलन कैसे निकालते हैं?

प्रसरण माध्य के आसपास फैलाव मापता है: $\text{Var}(X) = E(X^{2}) - [E(X)]^{2}$ , जहाँ $E(X^{2}) = \sum x^{2}\,P(X = x)$ । मानक विचलन उसका वर्गमूल है। प्रसरण कभी ऋणात्मक नहीं होता।

उदाहरण 2 · स्टॉल का प्रसरण

दो फेंकों में छक्कों की संख्या का प्रसरण निकालिए।

$E(X^{2}) = 0 \times \frac{25}{36} + 1 \times \frac{10}{36} + 4 \times \frac{1}{36} = \frac{14}{36}$ ।
$\text{Var}(X) = \frac{14}{36} - \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{14}{36} - \frac{4}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ ।

उत्तर

$\text{Var}(X) = \frac{5}{18}$ , और मानक विचलन $\sqrt{\frac{5}{18}}$ है।

अचर जोड़ने से हर मान और माध्य साथ खिसकते हैं, इसलिए प्रसरण नहीं बदलता; $a$ से गुणा करने पर प्रसरण $a^{2}$ से गुणा होता है: $\text{Var}(aX + b) = a^{2}\,\text{Var}(X)$ ।

CUET इस अध्याय से कैसे पूछता है

यादृच्छिक चर: विविक्त या सतत, चर कौन-से मान ले सकता है।
बंटन: अचर $k$ , तालिका या सूत्र से प्रायिकता, कौन-सी तालिका मान्य बंटन है।
प्रत्याशा: तालिका से माध्य, प्रत्याशित लाभ या लागत, $E(aX + b)$ ।
प्रसरण: तालिका से, मानक विचलन, $\text{Var}(aX + b)$ , सही या गलत कथन।

परीक्षा के लिए शॉर्टकट

प्रायिकताओं का योग 1: पहले $k$ निकालिए।
$E(X) = \sum xp$ ; $\text{Var}(X) = \sum x^{2}p - (\sum xp)^{2}$ ।
$E(aX + b) = aE(X) + b$ ; $\text{Var}(aX + b) = a^{2}\text{Var}(X)$ ।
मानक विचलन = प्रसरण का वर्गमूल, $X$ की इकाई में।

आम भूलें

प्रायिकताओं के बिना मानों का औसत लेना।
$E(X^{2})$ को प्रसरण बताना।
मानक विचलन पूछे जाने पर प्रसरण देना।
प्रसरण को $a^{2}$ के बजाय $a$ से गुणा करना, या $+b$ से उसे बदलना।

त्वरित पुनरावृत्ति

बंटन

विविक्त: गिना हुआ; सतत: मापा हुआ
$0 \le p \le 1$ , $\sum p = 1$

माध्य और फैलाव

$E(X) = \sum xp$
$\text{Var}(X) = E(X^{2}) - [E(X)]^{2}$ , मानक विचलन = उसका मूल

Section B2 में आगे: सफलताएँ गिनना, द्विपद और प्वासों बंटन के साथ।

आगे · 08त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

68 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

यादृच्छिक चरप्र1 / 68प्र1

यादृच्छिक चर

13 प्रश्न

प्रश्न 1

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा विविक्त यादृच्छिक चर है?

यादृच्छया चुने गए विद्यार्थी की ऊँचाईसही उत्तरआपका उत्तरएक सिक्के के 5 उछालों में चितों की संख्यासही उत्तरआपका उत्तरकिसी धावक का 100 m में लगा समयसही उत्तरआपका उत्तरडाकघर में किसी पार्सल का भारसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · एक सिक्के के 5 उछालों में चितों की संख्या

विविक्त यादृच्छिक चर अलग-अलग, गिनने योग्य मान लेता है; सतत चर किसी अंतराल का कोई भी मान ले सकता है।
चितों की संख्या केवल 0, 1, 2, 3, 4 या 5 हो सकती है। ऊँचाई, समय और भार मापे जाते हैं, और किसी परिसर का कोई भी मान ले सकते हैं।

ध्यान देने योग्य

समय कुछ दशमलव तक लिखा जाता है, पर बीच का कोई भी मान ले सकता है: वह सतत है।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो सिक्के उछाले जाते हैं, और $X$ चितों की संख्या है। $X$ कौन-से मान ले सकता है?

1, 2

सही उत्तरआपका उत्तर

0, 1, 2, 3, 4

सही उत्तरआपका उत्तर

HH, HT, TH, TT

सही उत्तरआपका उत्तर

0, 1, 2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $0, 1, 2$

परिणाम $HH, HT, TH, TT$ हैं, जिनमें 2, 1, 1 और 0 चित हैं।
इसलिए $X$ के मान 0, 1 और 2 हैं।

ध्यान देने योग्य

$HH, HT, TH, TT$ परिणाम हैं; यादृच्छिक चर हर एक से जुड़ी संख्या है।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यादृच्छिक चर किसी यादृच्छिक प्रयोग के हर परिणाम को एक वास्तविक संख्या देता है।

II. किसी दुकान पर एक घंटे में आने वाली टेलीफ़ोन कॉलों की संख्या एक सतत यादृच्छिक चर है।

केवल Iसही उत्तरआपका उत्तरकेवल IIसही उत्तरआपका उत्तरI और II दोनोंसही उत्तरआपका उत्तरन I, न IIसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I यादृच्छिक चर की परिभाषा है। सही।
II: कॉलें गिनी जाती हैं, 0, 1, 2, …, इसलिए चर विविक्त है। गलत।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इनमें से कौन-सा संतत यादृच्छिक चर है?

10 उछालों में चितों की संख्यासही उत्तरआपका उत्तरयादृच्छया चुने गए विद्यार्थी की ऊँचाईसही उत्तरआपका उत्तरएक घंटे में द्वार से गुज़रने वाली कारों की संख्यासही उत्तरआपका उत्तरपासे पर आया अंकसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · यादृच्छया चुने गए विद्यार्थी की ऊँचाई

संतत यादृच्छिक चर किसी अंतराल का कोई भी मान ले सकता है; विविक्त चर अलग-अलग, गिनने योग्य मान लेता है।
ऊँचाई 162.4 cm या 162.43 cm या बीच में कुछ भी हो सकती है; बाकी गिनतियाँ हैं।

ध्यान देने योग्य

कारों की संख्या की कोई निश्चित ऊपरी सीमा नहीं, फिर भी वह पूर्ण संख्याओं में गिनी जाती है: विविक्त।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो पासे फेंके जाते हैं, और $X$ संख्याओं का योग है। $X$ कितने भिन्न मान ले सकता है?

6

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $11$

योग $1 + 1 = 2$ से $6 + 6 = 12$ तक जाता है, और बीच की हर पूर्ण संख्या आती है।
2, 3, …, 12: 11 मान।

ध्यान देने योग्य

36 परिणाम गिनता है; कई परिणामों का योग एक ही है।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. यादृच्छिक चर किसी प्रयोग के हर परिणाम को एक वास्तविक संख्या देता है।

II. दो भिन्न परिणाम यादृच्छिक चर का एक ही मान कभी नहीं दे सकते।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I यादृच्छिक चर की परिभाषा है। सही।
II गलत है: $HT$ और $TH$ दोनों 'एक चित' देते हैं।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चार न्याय्य सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं, और $X$ दिखने वाले पटों की संख्या है।

चार उछालों में ठीक 2 पट आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{3}{8}$

16 समसंभाव्य परिणामों में से $^{4}C_{2} = 6$ में ठीक 2 पट हैं।
$\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{5}$ में 5 मानों को समसंभाव्य माना; 2 पट अधिक तरीकों से आ सकते हैं।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चार न्याय्य सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं, और $X$ दिखने वाले पटों की संख्या है।

पटों की संख्या $X$ कितने अलग-अलग मान ले सकती है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

5

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $5$

0, 1, 2, 3 या 4 पट हो सकते हैं।
यानी 5 मान।

ध्यान देने योग्य

16 परिणामों की गिनती है, जैसे HTHT; कई परिणाम $X$ का एक ही मान देते हैं।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो पासे फेंके जाते हैं, और $X$ दोनों संख्याओं में बड़ी है (बराबर हों तो कोई भी)। $X$ कितने अलग-अलग मान ले सकता है?

6

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

36

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $6$

बड़ी संख्या 1 (केवल (1, 1) से) से 6 तक हो सकती है।
इसलिए $X$ के 6 मान 1, 2, 3, 4, 5, 6 हैं।

ध्यान देने योग्य

36 परिणामों की गिनती है; कई परिणामों का $X$ का मान एक ही है।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीन सिक्के उछाले जाते हैं, और $X$ पटों की संख्या घटा चितों की संख्या है। $X$ कौन-से मान ले सकता है?

0, 1, 2, 3

सही उत्तरआपका उत्तर

-3, -1, 1, 3

सही उत्तरआपका उत्तर

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

सही उत्तरआपका उत्तर

-1, 0, 1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $-3, -1, 1, 3$

$t$ पट हों तो चित $3 - t$ हैं, इसलिए $X = t - (3 - t) = 2t - 3$ ।
$t = 0, 1, 2, 3$ के लिए: $X = -3, -1, 1, 3$ ।

ध्यान देने योग्य

0 जैसे सम मान असंभव हैं: 3 सिक्कों में पट और चित बराबर नहीं हो सकते।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

10 बल्बों के एक डिब्बे से, जिनमें 2 ख़राब हैं, 3 बल्ब चुने जाते हैं। $X$ चुने गए ख़राब बल्बों की संख्या है। $X$ कौन-से मान ले सकता है?

0, 1, 2, 3

सही उत्तरआपका उत्तर

1, 2

सही उत्तरआपका उत्तर

1, 2, 3

सही उत्तरआपका उत्तर

0, 1, 2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $0, 1, 2$

अधिक से अधिक 3 बल्ब चुने जाते हैं, पर ख़राब केवल 2 हैं।
इसलिए $X$ 0, 1 या 2 हो सकता है।

ध्यान देने योग्य

3 असंभव है: चुनने के लिए 3 ख़राब बल्ब हैं ही नहीं।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चार न्याय्य सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं, और $X$ दिखने वाले पटों की संख्या है।

चार उछालों में कम से कम एक पट आने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{16}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{15}{16}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{15}{16}$

कोई पट न आने का एकमात्र तरीका HHHH है, प्रायिकता $\frac{1}{16}$ ।
$1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{16}$ एक भी पट न आने का अवसर है।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चार न्याय्य सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं, और $X$ दिखने वाले पटों की संख्या है।

चार उछालों में पटों की संख्या का प्रसरण क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $1$

$E(X) = 2$ , और $E(X^{2}) = \frac{0 + 4 + 24 + 36 + 16}{16} = 5$ ।
$\text{Var}(X) = 5 - 2^{2} = 1$ ।

ध्यान देने योग्य

5 तो $E(X^{2})$ है; प्रसरण में $2^{2}$ घटाया जाता है।

प्रायिकता बंटन

17 प्रश्न

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक यादृच्छिक चर $X$ मान 0, 1, 2 और 3 क्रमशः प्रायिकताओं $k$ , $3k$ , $4k$ और $2k$ के साथ लेता है। $k$ क्या है?

0.05

सही उत्तरआपका उत्तर

0.1

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

0.25

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.1$

किसी बंटन की प्रायिकताओं का योग 1 होता है: $k + 3k + 4k + 2k = 10k = 1$ ।
इसलिए $k = 0.1$ ।

ध्यान देने योग्य

0.25 में मानों की संख्या 4 से भाग दिया गया, मानो वे समसंभाव्य हों।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सिक्का चार बार उछाला जाता है, और $X$ चितों की संख्या है। $P(X = 1)$ क्या है?

\frac{1}{16}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{4}$

$2^{4} = 16$ समसंभाव्य परिणाम हैं।
ठीक एक चित: $HTTT, THTT, TTHT, TTTH$ , 4 परिणाम, इसलिए $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{5}$ में 0 से 4 तक के 5 संभव मानों को समसंभाव्य माना; वे नहीं हैं।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$X$ , 0, 1, 2 और 3 मान 0.1, 0.3, 0.4 और 0.2 प्रायिकताओं के साथ लेता है। $P(X \le 2)$ क्या है?

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.6

सही उत्तरआपका उत्तर

0.7

सही उत्तरआपका उत्तर

0.8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $0.8$

$P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)$ ।
$0.1 + 0.3 + 0.4 = 0.8$ , या $1 - P(3) = 1 - 0.2$ ।

ध्यान देने योग्य

0.4 केवल $P(X = 2)$ है।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x = 0, 1, 2, 3$ के लिए $P(X = x) = k(x + 1)$ , और अन्यथा 0। $k$ क्या है?

- \frac{9}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{10}$

प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए: $k(1 + 2 + 3 + 4) = 10k = 1$ ।
$k = \frac{1}{10}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{6}$ में $0 + 1 + 2 + 3$ जोड़ा, $k(x + 1)$ की जगह $kx$ लेकर।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कार शोरूम प्रतिदिन $X$ कारें बेचता है, जहाँ $X$ मान 0, 1, 2, 3 और 4 लेता है, प्रायिकताओं $k$ , $2k$ , $3k$ , $2k$ और $2k$ के साथ।

शोरूम की दैनिक बिक्री के लिए $k$ का मान क्या है?

0.05

सही उत्तरआपका उत्तर

0.1

सही उत्तरआपका उत्तर

0.125

सही उत्तरआपका उत्तर

0.2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.1$

प्रायिकताओं का योग 1 है: $k + 2k + 3k + 2k + 2k = 10k = 1$ ।
$k = 0.1$ ।

ध्यान देने योग्य

0.2 तो $P(X = 1) = 2k$ है, स्वयं $k$ नहीं।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी दिन शोरूम के कम से कम 3 कारें बेचने की प्रायिकता क्या है?

0.2

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.6

सही उत्तरआपका उत्तर

0.7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.4$

$P(X \ge 3) = P(3) + P(4) = 2k + 2k$ ।
$0.2 + 0.2 = 0.4$ ।

ध्यान देने योग्य

0.2 ठीक 3 कारें है; 'कम से कम 3' में 4 भी आता है।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है, और $X$ चितों की संख्या है। $P(X = 2)$ क्या है?

\frac{1}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{3}{8}$

8 समसंभाव्य परिणामों में से $HHT$ , $HTH$ और $THH$ में ठीक दो चित हैं।
$P(X = 2) = \frac{3}{8}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{4}$ में चार मानों 0, 1, 2, 3 को समसंभाव्य माना गया।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x = 1, 2, 3, 4$ के लिए $P(X = x) = kx$ , अन्यथा 0। $P(X \ge 3)$ क्या है?

\frac{3}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{7}{10}$

$k(1 + 2 + 3 + 4) = 10k = 1$ , इसलिए $k = \frac{1}{10}$ ।
$P(X \ge 3) = P(3) + P(4) = \frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{10}$ केवल $P(X = 3)$ है; 'कम से कम 3' में 4 भी आता है।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$X$ मान 1, 2 और 3 लेता है। इनमें से कौन-सा उसका प्रायिकता बंटन हो सकता है?

P(X = x) = \frac{x}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

P(X = x) = \frac{x - 2}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

P(X = x) = \frac{x}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

P(X = x) = \frac{1}{x}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $P(X = x) = \frac{x}{6}$

बंटन में हर प्रायिकता 0 से 1 तक और कुल योग 1 होना चाहिए।
$\frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = 1$ । बाकी का योग 2 है, या $x = 1$ पर $-\frac{1}{2}$ है, या योग $\frac{11}{6}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{x - 2}{2}$ का योग $-\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 0$ है, और उसमें एक ऋणात्मक मान है।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$X$ , 0, 1, 2, 3 और 4 मान 0.1, 0.2, 0.3, 0.25 और 0.15 प्रायिकताओं के साथ लेता है। $P(1 < X \le 3)$ क्या है?

0.3

सही उत्तरआपका उत्तर

0.55

सही उत्तरआपका उत्तर

0.7

सही उत्तरआपका उत्तर

0.75

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.55$

$1 < X \le 3$ का अर्थ है $X = 2$ या $X = 3$ ।
$0.3 + 0.25 = 0.55$ ।

ध्यान देने योग्य

0.75 में $X = 1$ भी शामिल किया; 1 से पहले का चिह्न सख़्त है।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

10 बल्बों में से, जिनमें 3 ख़राब हैं, 2 बल्ब एक साथ निकाले जाते हैं। $X$ निकाले गए ख़राब बल्बों की संख्या है। $P(X = 0)$ क्या है?

\frac{7}{30}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{15}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{49}{100}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{7}{15}$

दोनों बल्ब 7 अच्छे बल्बों में से हों: ${}^{10}C_2 = 45$ में से ${}^{7}C_2 = 21$ तरीके।
$P(X = 0) = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$ ।

ध्यान देने योग्य

0.49 तो $0.7 \times 0.7$ है, जो पहले बल्ब को वापस रखना मानता है।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शोरूम प्रतिदिन कितनी कारें बेचने की अपेक्षा करता है?

\frac{6}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

1.56

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

2.2

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $2.2$

$E(X) = 0(0.1) + 1(0.2) + 2(0.3) + 3(0.2) + 4(0.2)$ ।
$0 + 0.2 + 0.6 + 0.6 + 0.8 = 2.2$ ।

ध्यान देने योग्य

2 तो 0 से 4 का मध्य मान है; भार माध्य को उससे ऊपर खींचते हैं।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

3 बच्चों वाले परिवारों में हर जन्म पर लड़का और लड़की समसंभाव्य हैं। $X$ लड़कियों की संख्या है। $P(X \ge 2)$ क्या है?

\frac{1}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{1}{2}$

$P(X = 2) = \frac{3}{8}$ (GGB, GBG, BGG) और $P(X = 3) = \frac{1}{8}$ ।
$P(X \ge 2) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{3}{8}$ केवल $P(X = 2)$ है; 'कम से कम 2' में 3 लड़कियाँ भी शामिल हैं।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की गड्डी से बिना वापस रखे एक के बाद एक दो पत्ते निकाले जाते हैं, और $X$ निकले इक्कों की संख्या है। $P(X = 1)$ क्या है?

\frac{16}{221}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{24}{169}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{32}{221}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{32}{221}$

एक इक्का पहले या दूसरे आ सकता है: इक्का फिर गैर-इक्का के लिए $\frac{4}{52} \times \frac{48}{51}$ , और गैर-इक्का फिर इक्का के लिए $\frac{48}{52} \times \frac{4}{51}$ ।
$P(X = 1) = 2 \times \frac{4 \times 48}{52 \times 51} = \frac{32}{221}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{16}{221}$ में केवल पहले इक्का आने को गिना गया।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शोरूम की दैनिक बिक्री का प्रसरण क्या है?

1.56

सही उत्तरआपका उत्तर

2.2

सही उत्तरआपका उत्तर

4.84

सही उत्तरआपका उत्तर

6.4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $1.56$

$E(X^{2}) = 0 + 0.2 + 1.2 + 1.8 + 3.2 = 6.4$ ।
$\text{Var}(X) = 6.4 - 2.2^{2} = 6.4 - 4.84 = 1.56$ ।

ध्यान देने योग्य

6.4 तो $E(X^{2})$ है, माध्य का वर्ग घटाने से पहले।

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$X$ , 0 से 7 तक के मान $0, k, 2k, 2k, 3k, k^{2}, 2k^{2}, 7k^{2} + k$ प्रायिकताओं के साथ लेता है। $k$ क्या है?

\frac{1}{20}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{10}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $\frac{1}{10}$

प्रायिकताओं का योग 1: $10k^{2} + 9k = 1$ , यानी $(10k - 1)(k + 1) = 0$ ।
प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए $k = \frac{1}{10}$ , $-1$ नहीं।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{9}$ में $k^{2}$ वाले पद छोड़कर $9k = 1$ हल किया।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

52 पत्तों की गड्डी से बिना वापस रखे एक के बाद एक दो पत्ते निकाले जाते हैं, और $X$ निकाले गए चित्र वाले पत्तों (बादशाह, बेगम और गुलाम) की संख्या है। $P(X = 1)$ क्या है?

\frac{40}{221}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{3}{13}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{60}{169}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{80}{221}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{80}{221}$

गड्डी में 12 चित्र वाले पत्ते हैं। पहले चित्र वाला फिर नहीं: $\frac{12}{52} \times \frac{40}{51}$ ; पहले नहीं फिर चित्र वाला: $\frac{40}{52} \times \frac{12}{51}$ ।
मिलकर: $2 \times \frac{12 \times 40}{52 \times 51} = \frac{80}{221}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{40}{221}$ केवल 'पहले चित्र वाला' गिनता है; वह दूसरा भी आ सकता है।

गणितीय प्रत्याशा

23 प्रश्न

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$X$ मान 0, 1 और 2 क्रमशः प्रायिकताओं 0.3, 0.5 और 0.2 के साथ लेता है। $E(X)$ क्या है?

0.5

सही उत्तरआपका उत्तर

0.9

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

1.3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.9$

$E(X) = \sum x\,P(X = x) = 0 \times 0.3 + 1 \times 0.5 + 2 \times 0.2$ ।
$= 0.5 + 0.4 = 0.9$ ।

ध्यान देने योग्य

1 तो 0, 1 और 2 का सीधा औसत है, प्रायिकताओं को अनदेखा करके।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक न्याय्य पासा फेंका जाता है। उसके अंक का प्रत्याशित मान क्या है?

\frac{7}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

3.5

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3.5$

हर फलक की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है: $E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6}$ ।
$= 3.5$ , एक ऐसा मान जो पासा कभी नहीं दिखाता: प्रत्याशा लंबे समय का औसत है।

ध्यान देने योग्य

3 में ऐसा मान अपेक्षित किया गया जो पासा दिखा सकता है, पर औसत 3 और 4 के बीच आता है।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$E(X) = 5$ । $E(3X - 4)$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

19

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $11$

$E(aX + b) = aE(X) + b$ ।
$3 \times 5 - 4 = 11$ ।

ध्यान देने योग्य

15 में $-4$ भूल गए; अचर माध्य को खिसकाता है।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक न्याय्य पासा 12 बार फेंका जाता है। छक्कों की प्रत्याशित संख्या क्या है?

2

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $2$

हर फेंक में छक्के की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।
12 फेंकों में: $12 \times \frac{1}{6} = 2$ ।

ध्यान देने योग्य

6 सबसे बड़ा फलक है, छक्कों की प्रत्याशित संख्या नहीं।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$X$ , 1, 2, 3 और 4 मान 0.1, 0.2, 0.3 और 0.4 प्रायिकताओं के साथ लेता है। $E(X)$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2.5

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

4

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3$

$E(X) = \sum x\,P(X = x)$ ।
$0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

2.5 में मानों का ऐसे औसत लिया मानो वे समसंभाव्य हों।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक मेले में खिलाड़ी एक न्याय्य पासा एक बार फेंकता है। 6 आने पर ₹30 मिलते हैं, 5 आने पर ₹12, और कोई अन्य संख्या आने पर ₹6 का नुकसान होता है। माना $X$ खिलाड़ी की रुपये में जीत है।

पासे के खेल में खिलाड़ी के पैसे गँवाने की प्रायिकता क्या है?

\frac{1}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{4}{9}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{2}{3}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{2}{3}$

खिलाड़ी 1, 2, 3 या 4 पर हारता है: छह में से चार फलक।
$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2}$ में केवल 1, 2 और 3 को हार गिना; 4 पर भी हार है।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बीमाकर्ता ₹2,000 के प्रीमियम पर एक वर्ष की पॉलिसी बेचता है। यदि वर्ष में धारक की दुर्घटना होती है, जिसकी प्रायिकता 0.005 है, तो बीमाकर्ता ₹1,00,000 देता है।

बीमाकर्ता एक पॉलिसी पर कितना भुगतान करने की अपेक्षा करता है?

₹500सही उत्तरआपका उत्तर₹2,000सही उत्तरआपका उत्तर₹5,000सही उत्तरआपका उत्तर₹1,00,000सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · ₹500

प्रत्याशित भुगतान $= 0.005 \times 1{,}00{,}000$ ।
₹500।

ध्यान देने योग्य

₹5,000 में 0.005 को 0.05 पढ़ा।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक खेल में आप 0.2 प्रायिकता से ₹10 जीतते हैं और 0.8 प्रायिकता से ₹2 हारते हैं। प्रति खेल आपका प्रत्याशित लाभ क्या है?

₹0.40सही उत्तरआपका उत्तर₹2सही उत्तरआपका उत्तर₹3.60सही उत्तरआपका उत्तर₹8सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · ₹0.40

$E = 10 \times 0.2 + (-2) \times 0.8 = 2 - 1.6$ ।
$= 0.4$ रुपये प्रति खेल: एक छोटा प्रत्याशित लाभ।

ध्यान देने योग्य

₹2 में जीत गिनी और हार भूल गए; हार ऋण चिह्न के साथ आती है।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बीमा कंपनी वर्ष भर में फ़ोन चोरी होने पर ₹50,000 देती है, और इसकी संभावना 0.01 है। प्रति फ़ोन बीमा कंपनी का प्रत्याशित भुगतान क्या है?

₹50सही उत्तरआपका उत्तर₹500सही उत्तरआपका उत्तर₹5,000सही उत्तरआपका उत्तर₹49,500सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · ₹500

भुगतान 0.01 प्रायिकता से ₹50,000 और अन्यथा ₹0 है।
$E = 50{,}000 \times 0.01 = 500$ रुपये; इससे ऊँचा प्रीमियम जोखिम को ढकता है।

ध्यान देने योग्य

₹5,000 में 0.01 को 10% माना गया; यह 1% है।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$E(X) = 3$ । $E(2X + 5)$ क्या है?

6

सही उत्तरआपका उत्तर

8

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

16

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $11$

प्रत्याशा रैखिक है: $E(aX + b) = aE(X) + b$ ।
$E(2X + 5) = 2 \times 3 + 5 = 11$ ।

ध्यान देने योग्य

6 में माध्य दोगुना किया पर $+5$ छोड़ दिया।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$x = 1, 2, 3, 4$ के लिए $P(X = x) = \frac{x}{10}$ । $E(X)$ क्या है?

1

सही उत्तरआपका उत्तर

2.5

सही उत्तरआपका उत्तर

3

सही उत्तरआपका उत्तर

10

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $3$

$E(X) = \sum x \cdot \frac{x}{10} = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{10}$ ।
$= \frac{30}{10} = 3$ ।

ध्यान देने योग्य

1 प्रायिकताओं का योग है, जो सदा 1 होता है।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक दुकान 50 दिनों में हर दिन लौटाई गई वस्तुओं की संख्या $x$ दर्ज करती है: 10 दिन 0, 25 दिन 1, 10 दिन 2 और 5 दिन 3। इन बारंबारताओं से प्रतिदिन लौटाई गई वस्तुओं की प्रत्याशित संख्या क्या है?

1.2

सही उत्तरआपका उत्तर

1.5

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{11}{5}

सही उत्तरआपका उत्तर

15

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $1.2$

प्रत्याशा बारंबारता बंटन का समांतर माध्य है: $\frac{\sum fx}{\sum f}$ ।
$\frac{0 + 25 + 20 + 15}{50} = \frac{60}{50} = 1.2$ ।

ध्यान देने योग्य

1.5 में मान 0 से 3 का औसत बिना बारंबारताओं के लिया।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पासा फेंका जाता है। सम संख्या आने पर आप उतने रुपये जीतते हैं, और विषम आने पर ₹2 हारते हैं। प्रति फेंक आपका प्रत्याशित लाभ क्या है?

₹1सही उत्तरआपका उत्तर₹2सही उत्तरआपका उत्तर₹3सही उत्तरआपका उत्तर₹4सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · ₹1

लाभ: ₹2, ₹4, ₹6 हर एक प्रायिकता $\frac{1}{6}$ से, और $-2$ प्रायिकता $\frac{1}{2}$ से।
$E = \frac{2 + 4 + 6}{6} - 2 \times \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1$ रुपया।

ध्यान देने योग्य

₹2 में जीत तो गिनी पर विषम संख्याओं पर प्रत्याशित हानि नहीं।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक लॉटरी में 1,000 टिकट ₹10 प्रति टिकट बिकते हैं। एक टिकट ₹5,000 और दो टिकट ₹1,000 प्रति टिकट जीतते हैं। एक टिकट ख़रीदने पर प्रत्याशित शुद्ध लाभ क्या है?

₹−10सही उत्तरआपका उत्तर₹−4सही उत्तरआपका उत्तर₹−3सही उत्तरआपका उत्तर₹7सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · ₹−3

प्रत्याशित जीत: $\frac{5{,}000 + 2 \times 1{,}000}{1{,}000} = 7$ रुपये।
₹10 का टिकट घटाकर: $7 - 10 = -3$ रुपये, औसतन ₹3 की हानि।

ध्यान देने योग्य

₹7 टिकट का मूल्य चुकाने से पहले का प्रत्याशित इनाम है।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक खेल में खिलाड़ी की प्रत्याशित जीत कितनी है?

₹3सही उत्तरआपका उत्तर₹4सही उत्तरआपका उत्तर₹7सही उत्तरआपका उत्तर₹12सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरA · ₹3

$E(X) = 30\left(\frac{1}{6}\right) + 12\left(\frac{1}{6}\right) - 6\left(\frac{4}{6}\right)$ ।
$5 + 2 - 4 = 3$ रुपये।

ध्यान देने योग्य

₹7 में हानियाँ छूट गईं।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मेला अब हर खेल के ₹5 लेता है, पुरस्कार वही रहते हैं। खिलाड़ी प्रति खेल कितना गँवाने की अपेक्षा करता है?

₹2सही उत्तरआपका उत्तर₹3सही उत्तरआपका उत्तर₹5सही उत्तरआपका उत्तर₹8सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · ₹2

शुल्क से पहले प्रत्याशित जीत: ₹3।
₹5 देने के बाद: $3 - 5 = -2$ , ₹2 की प्रत्याशित हानि।

ध्यान देने योग्य

₹8 में शुल्क को ₹3 में जोड़ा, उसमें से ₹3 घटाने के बजाय।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पॉलिसी पर बीमाकर्ता का प्रत्याशित लाभ कितना है?

₹500सही उत्तरआपका उत्तर₹1,490सही उत्तरआपका उत्तर₹1,500सही उत्तरआपका उत्तर₹2,000सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरC · ₹1,500

बीमाकर्ता 0.995 प्रायिकता से ₹2,000 रखता है और 0.005 प्रायिकता से $1{,}00{,}000 - 2{,}000 = 98{,}000$ गँवाता है।
$2{,}000(0.995) - 98{,}000(0.005) = 1{,}990 - 490 = 1{,}500$ रुपये।

ध्यान देने योग्य

₹1,490 में भूल गए कि दुर्घटना वाले वर्ष में भी प्रीमियम रहता है, पूरा ₹1,00,000 घटा दिया।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बीमाकर्ता ऐसी 4,000 पॉलिसियाँ बेचता है। वह कुल कितने लाभ की अपेक्षा करता है?

₹59,60,000सही उत्तरआपका उत्तर₹60,00,000सही उत्तरआपका उत्तर₹60,00,001सही उत्तरआपका उत्तर₹80,00,000सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · ₹60,00,000

प्रत्याशाएँ जुड़ती हैं: $4{,}000 \times 1{,}500$ ।
₹60,00,000।

ध्यान देने योग्य

₹80,00,000 केवल प्रीमियम है, किसी दावे से पहले।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कौन-सा प्रीमियम पॉलिसी पर बीमाकर्ता का प्रत्याशित लाभ ठीक शून्य कर देगा?

₹500सही उत्तरआपका उत्तर₹1,000सही उत्तरआपका उत्तर₹1,500सही उत्तरआपका उत्तर₹5,000सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · ₹500

प्रीमियम $P$ के साथ प्रत्याशित लाभ $P - 0.005 \times 1{,}00{,}000 = P - 500$ है।
$P = 500$ रुपये पर शून्य, उचित प्रीमियम।

ध्यान देने योग्य

₹1,500, ₹2,000 के प्रीमियम पर प्रत्याशित लाभ है, कोई प्रीमियम नहीं।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य पासे फेंके जाते हैं। दोनों संख्याओं के योग का प्रत्याशित मान क्या है?

3.5

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

6.5

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $7$

योग की प्रत्याशा प्रत्याशाओं का योग होती है।
हर पासे का प्रत्याशित मान 3.5 है, इसलिए योग का $3.5 + 3.5 = 7$ ।

ध्यान देने योग्य

6.5 में संभावित योग 2 से 12 का सीधा औसत लिया गया; 7 सबसे अधिक संभावित योग भी है।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो पासे फेंके जाते हैं, और $X$ दोनों संख्याओं में बड़ी है (बराबर हों तो कोई भी)। $P(X = k) = \frac{2k - 1}{36}$ । $E(X)$ क्या है?

\frac{91}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{125}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{161}{36}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $\frac{161}{36}$

$E(X) = \frac{1 \times 1 + 2 \times 3 + 3 \times 5 + 4 \times 7 + 5 \times 9 + 6 \times 11}{36}$ ।
$= \frac{161}{36} \approx 4.47$ ।

ध्यान देने योग्य

3.5 एक पासे का माध्य है; दो में बड़ी संख्या अधिक होने की संभावना है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$X$ , 1, 2 और 3 मान 0.2, $p$ और $0.8 - p$ प्रायिकताओं के साथ लेता है। यदि $E(X) = 2.2$ , तो $p$ क्या है?

0.2

सही उत्तरआपका उत्तर

0.4

सही उत्तरआपका उत्तर

0.6

सही उत्तरआपका उत्तर

0.8

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $0.4$

$E(X) = 0.2 + 2p + 3(0.8 - p) = 2.6 - p$ ।
$2.6 - p = 2.2$ , इसलिए $p = 0.4$ (और $P(X = 3) = 0.4$ )।

ध्यान देने योग्य

जाँच: $0.2 + 0.8 + 1.2 = 2.2$ ।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शुल्क के बिना, पासे के खेल में खिलाड़ी की जीत $X$ का प्रसरण क्या है?

9

सही उत्तरआपका उत्तर

188

सही उत्तरआपका उत्तर

189

सही उत्तरआपका उत्तर

198

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $189$

$E(X^{2}) = \frac{900 + 144 + 4(36)}{6} = \frac{1{,}188}{6} = 198$ ।
$\text{Var}(X) = 198 - 3^{2} = 189$ ।

ध्यान देने योग्य

207 में माध्य का वर्ग घटाने के बजाय जोड़ा।

प्रसरण और मानक विचलन

15 प्रश्न

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक यादृच्छिक चर का प्रसरण 2.25 है। उसका मानक विचलन क्या है?

1.125

सही उत्तरआपका उत्तर

1.5

सही उत्तरआपका उत्तर

2.25

सही उत्तरआपका उत्तर

5.0625

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $1.5$

मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल है।
$\sqrt{2.25} = 1.5$ ।

ध्यान देने योग्य

1.125 में प्रसरण को आधा किया, वर्गमूल नहीं लिया।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\text{Var}(X) = 3$ । $\text{Var}(2X + 7)$ क्या है?

6

सही उत्तरआपका उत्तर

11

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $12$

$\text{Var}(aX + b) = a^{2}\,\text{Var}(X)$ : अचर $b$ मानों को नहीं फैलाता।
$2^{2} \times 3 = 12$ ।

ध्यान देने योग्य

6 में $2^{2}$ के बजाय 2 से गुणा किया; 13 में 7 भी जोड़ा, वह भी गलत।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सिक्का एक बार उछाला जाता है, और चित पर $X = 1$ तथा पट पर $X = 0$ । $\text{Var}(X)$ क्या है?

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{5}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $\frac{1}{4}$

$E(X) = \frac{1}{2}$ और $E(X^{2}) = \frac{1}{2}$ ।
$\text{Var}(X) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2}$ माध्य है; प्रसरण $pq = \frac{1}{4}$ है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$X$ मान 0, 1 और 2 क्रमशः प्रायिकताओं 0.3, 0.5 और 0.2 के साथ लेता है। $\text{Var}(X)$ क्या है?

0.49

सही उत्तरआपका उत्तर

0.7

सही उत्तरआपका उत्तर

0.9

सही उत्तरआपका उत्तर

1.3

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · $0.49$

$E(X) = 0.9$ और $E(X^{2}) = 0 \times 0.3 + 1 \times 0.5 + 4 \times 0.2 = 1.3$ ।
$\text{Var}(X) = E(X^{2}) - [E(X)]^{2} = 1.3 - 0.81 = 0.49$ ।

ध्यान देने योग्य

1.3 तो $E(X^{2})$ है; माध्य का वर्ग अभी घटाना बाकी है।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$X$ मान $-1$ , 0 और 1 क्रमशः प्रायिकताओं $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{4}$ के साथ लेता है। $X$ का मानक विचलन क्या है?

0

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{\sqrt{2}}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{\sqrt{2}}{2}$

$E(X) = -\frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4} = 0$ और $E(X^{2}) = \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ ।
$\text{Var}(X) = \frac{1}{2}$ , इसलिए मानक विचलन $\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

ध्यान देने योग्य

$\frac{1}{2}$ प्रसरण है; मानक विचलन उसका वर्गमूल है।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\text{Var}(X) = 4$ । $\text{Var}(3X - 2)$ क्या है?

10

सही उत्तरआपका उत्तर

12

सही उत्तरआपका उत्तर

34

सही उत्तरआपका उत्तर

36

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $36$

$\text{Var}(aX + b) = a^{2}\,\text{Var}(X)$ : अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता, और गुणक वर्ग होकर बाहर आता है।
$\text{Var}(3X - 2) = 9 \times 4 = 36$ ।

ध्यान देने योग्य

12 में $3^{2} = 9$ के बजाय 3 से गुणा किया गया।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दोनों कथन पढ़िए और सही विकल्प चुनिए।

I. $\text{Var}(X) = E(X^{2}) - [E(X)]^{2}$ ।

II. किसी यादृच्छिक चर का प्रसरण ऋणात्मक हो सकता है जब उसका माध्य ऋणात्मक हो।

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · केवल I

I प्रसरण का छोटा सूत्र है। सही।
II: प्रसरण वर्गित विचलनों का औसत है, इसलिए माध्य जो भी हो, वह कभी ऋणात्मक नहीं होता। गलत।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभिकथन (A): $X$ के हर मान में 10 जोड़ने पर उसका प्रसरण नहीं बदलता।

कारण (R): अचर जोड़ने से हर मान और माध्य समान मात्रा से खिसकते हैं, इसलिए माध्य से विचलन वही रहते हैं।

A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।सही उत्तरआपका उत्तरA और R दोनों सही हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है।सही उत्तरआपका उत्तरA सही है, लेकिन R गलत है।सही उत्तरआपका उत्तरA गलत है, लेकिन R सही है।सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

$\text{Var}(X + 10) = \text{Var}(X)$ । A सही है।
R कारण बताता है: प्रसरण केवल विचलनों $x - \mu$ से बनता है, और वे नहीं बदलते। R, A की व्याख्या करता है।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$X$ का मानक विचलन 2 है। $-3X$ का मानक विचलन क्या है?

-6

सही उत्तरआपका उत्तर

6

सही उत्तरआपका उत्तर

18

सही उत्तरआपका उत्तर

36

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · $6$

$\text{Var}(-3X) = 9\,\text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$ ।
मानक विचलन $= \sqrt{36} = 6$ : यह $\lvert -3 \rvert = 3$ से गुणा होता है।

ध्यान देने योग्य

मानक विचलन कभी ऋणात्मक नहीं होता; 36 प्रसरण है।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$\text{Var}(X) = 4$ और $E(X) = 3$ । $E(X^{2})$ क्या है?

5

सही उत्तरआपका उत्तर

7

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

13

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · $13$

$\text{Var}(X) = E(X^{2}) - [E(X)]^{2}$ ।
$E(X^{2}) = 4 + 9 = 13$ ।

ध्यान देने योग्य

9 केवल $[E(X)]^{2}$ है; प्रसरण जोड़ना है।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

$X$ , 1, 2 और 3 मान 0.25, 0.5 और 0.25 प्रायिकताओं के साथ लेता है। $\text{Var}(X)$ क्या है?

0.5

सही उत्तरआपका उत्तर

2

सही उत्तरआपका उत्तर

2.5

सही उत्तरआपका उत्तर

4.5

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरA · $0.5$

$E(X) = 0.25 + 1 + 0.75 = 2$ और $E(X^{2}) = 0.25 + 2 + 2.25 = 4.5$ ।
$\text{Var}(X) = 4.5 - 2^{2} = 0.5$ ।

ध्यान देने योग्य

4.5 तो $E(X^{2})$ है; माध्य का वर्ग घटाना है।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

I. हर यादृच्छिक चर के लिए $\text{Var}(X) \ge 0$ ।

II. अचर $c$ के लिए $\text{Var}(X + c) = \text{Var}(X)$ ।

III. अचर $c$ के लिए $\text{Var}(cX) = c\,\text{Var}(X)$ ।

IV. मानक विचलन $X$ की ही इकाइयों में होता है।

I, II, III और IV सभीसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I और IIसही उत्तरआपका उत्तरकेवल II और IVसही उत्तरआपका उत्तरकेवल I, II और IVसही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · केवल I, II और IV

I: प्रसरण वर्गों का औसत है। II: हर मान खिसकाने से फैलाव नहीं बदलता। IV: वर्गमूल इकाइयों के वर्ग को उलट देता है।
III गलत है: $\text{Var}(cX) = c^{2}\,\text{Var}(X)$ ।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक विक्रेता किसी दिन प्रायिकता 0.3 से ₹10 कमाता है और प्रायिकता 0.7 से कुछ नहीं। दिन की कमाई का प्रसरण (रुपये² में) क्या है?

3

सही उत्तरआपका उत्तर

9

सही उत्तरआपका उत्तर

21

सही उत्तरआपका उत्तर

30

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरC · $21$

$E = 10 \times 0.3 = 3$ और $E(X^{2}) = 100 \times 0.3 = 30$ ।
$\text{Var} = 30 - 9 = 21$ ।

ध्यान देने योग्य

30 तो $E(X^{2})$ है और 9 माध्य का वर्ग।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सिक्का दो बार उछाला जाता है, और $X$ चितों की संख्या है। $\text{Var}(X)$ क्या है?

\frac{1}{8}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{4}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{1}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

1

सही उत्तरआपका उत्तर

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · $\frac{1}{2}$

$P(0) = \frac{1}{4}$ , $P(1) = \frac{1}{2}$ , $P(2) = \frac{1}{4}$ , इसलिए $E(X) = 1$ और $E(X^{2}) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ ।
$\text{Var}(X) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ ।

ध्यान देने योग्य

1 माध्य है, और $\frac{3}{2}$ , $E(X^{2})$ है।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक न्याय्य पासा फेंका जाता है। उसके अंक का प्रसरण क्या है?

\frac{35}{12}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{7}{2}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{35}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

\frac{91}{6}

सही उत्तरआपका उत्तर

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उत्तरA · $\frac{35}{12}$

$E(X) = \frac{7}{2}$ और $E(X^{2}) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$ ।
$\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$ ।

ध्यान देने योग्य

$\frac{91}{6}$ तो माध्य का वर्ग घटाने से पहले का $E(X^{2})$ है।

NTA के Mathematics / Applied Mathematics सिलेबस में तीन सेक्शन हैं: Section A1, जिसे हर उम्मीदवार हल करता है, फिर Section B1 (Mathematics) या Section B2 (Applied Mathematics), जिनमें से उम्मीदवार एक हल करता है। हर सेक्शन में यूनिट और विषय दिए हैं, अध्याय नहीं, इसलिए यहाँ के अध्याय हमारे हैं। जो विषय दोनों B सेक्शन में हैं और Section A में भी, उसके प्रश्न एक ही जगह, Section A में हैं।