CUET सामान्य योग्यता परीक्षा के लिए संख्यात्मक योग्यता सूत्र-पत्रक

यह पृष्ठ परीक्षा से एक रात पहले पढ़ने के लिए है। प्रत्येक खंड एक अध्याय का संक्षिप्त रूप है; अध्याय के नोट्स में हल किए गए उदाहरण हैं, और प्रत्येक अध्याय के अपने अभ्यास प्रश्न हैं।

विभाज्यता के कौन-से नियम आपको कंठस्थ होने चाहिए?

कोई संख्या 2 से विभाज्य है यदि उसका अंतिम अंक सम है; 3 से, यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य है; 4 से, यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है; 5 से, यदि वह 0 या 5 पर समाप्त होती है; 8 से, यदि उसके अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य है; 9 से, यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य है; और 11 से, यदि एकांतर अंकों के योगों का अंतर 0 या 11 का गुणज है।

भाजक	परीक्षण
6	2 और 3 दोनों से विभाज्य
12	3 और 4 दोनों से विभाज्य
15	3 और 5 दोनों से विभाज्य
7, 11, 13	1001 = 7 × 11 × 13, अतः abcabc के रूप की छह अंकों की संख्या तीनों से विभाज्य होती है

समय बचाने वाले संख्याओं से जुड़े अन्य तथ्य:

• प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n + 1) ÷ 2।
• प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n²।
• प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग = n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6।
• घात का इकाई अंक: 2, 3, 7 और 8 की घातों के इकाई अंक हर 4 घातों के बाद दोहराते हैं; 4 और 9 के हर 2 के बाद; 0, 1, 5 और 6 के इकाई अंक कभी नहीं बदलते।
• N = p^a × q^b × r^c के गुणनखंडों की संख्या (a + 1)(b + 1)(c + 1) होती है।
• भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल।

संख्या पद्धति अध्याय देखें।

HCF और LCM में क्या संबंध है?

दो संख्याओं के लिए, महत्तम समापवर्तक (HCF) × लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) = दोनों संख्याओं का गुणनफल। HCF सदैव LCM को विभाजित करता है।

• भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM।
• भिन्नों का LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF।
• वह सबसे बड़ी संख्या जो a, b और c को विभाजित करने पर समान शेषफल छोड़े = (a − b), (b − c) और (a − c) का HCF।
• वह सबसे छोटी संख्या जो x, y और z में से प्रत्येक से विभाजित करने पर शेषफल r छोड़े = LCM(x, y, z) + r।
• एक साथ शुरू होने वाली घंटियाँ, बत्तियाँ या धावक अपने अंतरालों के LCM के बाद फिर से एक साथ मिलते हैं।
• ठीक-ठीक फिट होने वाली सबसे बड़ी टाइल या पात्र का माप = लंबाइयों या आयतनों का HCF।

HCF और LCM देखें।

किसी व्यंजक को किस क्रम में सरल करते हैं?

पहले कोष्ठक, फिर "का", फिर बाएँ से दाएँ भाग और गुणा, फिर बाएँ से दाएँ जोड़ और घटाव। "का" का अर्थ गुणा है, और इसे साधारण ÷ चिह्न से पहले किया जाता है।

बीजीय सर्वसमिकाएँ जो लंबी गणना को एक पंक्ति में बदल देती हैं:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• a² − b² = (a + b)(a − b)
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

सन्निकटन के लिए, प्रत्येक संख्या को ऐसी संख्या तक पूर्णांकित करें जिसके साथ गणना आसान हो, और अपने अनुमान के सबसे निकट वाला विकल्प चुनें; विकल्प प्रायः एक-दूसरे से काफ़ी दूर होते हैं। सरलीकरण और सन्निकटन देखें।

प्रतिशत के कौन-से सूत्र आपको चाहिए?

प्रतिशत परिवर्तन = (परिवर्तन ÷ मूल मान) × 100। आधार सदैव वह मान होता है जिससे आप शुरू करते हैं।

स्थिति	सूत्र
y का x%	x × y ÷ 100 (और y का x% = x का y%)
a% और b% के दो क्रमिक परिवर्तन	शुद्ध परिवर्तन = a + b + (a × b ÷ 100) %, कमी को ऋणात्मक लिखें
r% की वृद्धि को निरस्त करने वाली कमी	r ÷ (100 + r) × 100 %
मूल्य r% बढ़े, व्यय अपरिवर्तित: खपत में कमी	r ÷ (100 + r) × 100 %
जनसंख्या P, जो n वर्षों तक प्रति वर्ष r% बढ़ती है	P × (1 + r ÷ 100)ⁿ
A, B से r% अधिक है, तो B, A से कितना कम है	r ÷ (100 + r) × 100 %

याद रखने योग्य भिन्न–प्रतिशत युग्म: ½ = 50%, ⅓ = 33⅓%, ¼ = 25%, ⅕ = 20%, ⅙ = 16⅔%, ⅛ = 12.5%, 1/9 = 11 1/9 %, 1/11 = 9 1/11 %, 1/12 = 8⅓%। प्रतिशत देखें।

अनुपात और समानुपात के सूत्र कैसे काम करते हैं?

अनुपात a : b एक ही प्रकार की दो राशियों की तुलना करता है; दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा या भाग करने पर अनुपात नहीं बदलता। किसी राशि S को a : b के अनुपात में बाँटने पर भाग S × a ÷ (a + b) और S × b ÷ (a + b) होते हैं।

• यदि a : b और b : c दिए हों, तो उभयनिष्ठ पद को बराबर करें, फिर a : b : c पढ़ लें।
• समानुपात a : b = c : d में, बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है: a × d = b × c।
• a और b का मध्यानुपाती = √(ab)। a और b का तृतीयानुपाती = b² ÷ a। a, b और c का चतुर्थानुपाती = bc ÷ a।
• a : b और c : d का मिश्रित अनुपात = ac : bd।
• प्रत्यक्ष समानुपात: x ÷ y स्थिर रहता है। व्युत्क्रम समानुपात: x × y स्थिर रहता है।

अनुपात और समानुपात देखें।

औसत के सूत्र क्या हैं?

औसत = मानों का योग ÷ मानों की संख्या, अतः योग = औसत × संख्या। लगभग हर औसत का प्रश्न औसतों को वापस योग में बदलकर हल होता है।

• समूहों का भारित औसत = (n₁a₁ + n₂a₂) ÷ (n₁ + n₂)।
• क्रमागत संख्याओं का, या किसी भी समांतर श्रेढ़ी का, औसत = (प्रथम + अंतिम) ÷ 2।
• n मानों में एक नया मान जुड़ता है और औसत d बढ़ जाता है: नया मान = पुराना औसत + (n + 1) × d।
• एक मान बदला जाता है और n मानों का औसत d से बदल जाता है: नया मान − पुराना मान = n × d।
• दो समान दूरियों को x और y चाल से तय करने पर औसत चाल = 2xy ÷ (x + y), कभी भी (x + y) ÷ 2 नहीं।

औसत देखें।

एलिगेशन (alligation) का नियम कैसे काम करता है?

जब c₁ (सस्ती) और c₂ (महँगी) मूल्य वाली दो सामग्रियों को मिलाकर माध्य मूल्य m प्राप्त किया जाता है, तो उनकी मात्राएँ (c₂ − m) : (m − c₁) के अनुपात में होती हैं। यही नियम सांद्रता, औसत, चाल और लाभ प्रतिशत पर भी लागू होता है।

   सस्ती c₁            महँगी c₂
          \              /
           माध्य मूल्य m
          /              \
     c₂ − m            m − c₁
    (सस्ती)            (महँगी)

बार-बार प्रतिस्थापन: x लीटर शुद्ध द्रव वाले पात्र से y लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और यह n बार किया जाता है। शेष शुद्ध द्रव = x × (1 − y ÷ x)ⁿ। मिश्रण और एलिगेशन देखें।

लाभ, हानि और छूट के सूत्र क्या हैं?

लाभ या हानि सदैव क्रय मूल्य (CP) का प्रतिशत होती है; छूट सदैव अंकित मूल्य (MP) का प्रतिशत होती है। विक्रय मूल्य (SP) वह मूल्य है जिस पर वस्तु बेची जाती है।

राशि	सूत्र
लाभ %	(SP − CP) ÷ CP × 100
हानि %	(CP − SP) ÷ CP × 100
p% लाभ पर SP	CP × (100 + p) ÷ 100
l% हानि पर SP	CP × (100 − l) ÷ 100
छूट %	(MP − SP) ÷ MP × 100
a% और b% की क्रमिक छूटें	एकल छूट = a + b − (a × b ÷ 100) %
x खरीदें, y मुफ़्त पाएँ	प्राप्त वस्तुओं पर छूट = y ÷ (x + y) × 100 %
m% अधिक अंकित, फिर d% छूट	लाभ % = m − d − (m × d ÷ 100)

समान मूल्य पर बेची गई दो वस्तुएँ, एक x% लाभ पर और एक x% हानि पर, सदैव कुल x² ÷ 100 % की हानि देती हैं। जो बेईमान व्यापारी प्रत्येक 1,000 ग्राम का मूल्य लेकर केवल g ग्राम देता है, उसे (1000 − g) ÷ g × 100 % का लाभ होता है। लाभ, हानि और छूट देखें।

साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र क्या हैं?

साधारण ब्याज (SI) = P × R × T ÷ 100, जहाँ P मूलधन, R वार्षिक ब्याज दर और T वर्षों में समय है; मिश्रधन A = P + SI। चक्रवृद्धि ब्याज में मिश्रधन A = P × (1 + R ÷ 100)ᵀ होता है, और चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = A − P।

• अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि: दर के लिए R ÷ 2 और अवधियों की संख्या के लिए 2T लें। त्रैमासिक: R ÷ 4 और 4T।
• P पर R% की दर से 2 वर्षों के CI और SI का अंतर = P × (R ÷ 100)²।
• 3 वर्षों के लिए अंतर = P × (R ÷ 100)² × (3 + R ÷ 100)।
• 1 वर्ष के लिए, वार्षिक चक्रवृद्धि होने पर, CI और SI बराबर होते हैं।
• साधारण ब्याज पर कोई राशि T वर्षों में दोगुनी होती है जब R × T = 100।
• चक्रवृद्धि ब्याज पर जो राशि n वर्षों में दोगुनी होती है, वह 2n वर्षों में 4 गुनी और 3n वर्षों में 8 गुनी हो जाती है।

साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज देखें।

समय और कार्य के प्रश्न जल्दी कैसे हल करें?

यदि A किसी कार्य को a दिनों में पूरा करता है, तो A प्रतिदिन उसका 1 ÷ a भाग करता है। साथ काम करने पर दरें जुड़ती हैं: A और B मिलकर ab ÷ (a + b) दिनों में कार्य पूरा करते हैं।

• M₁ × D₁ × H₁ ÷ W₁ = M₂ × D₂ × H₂ ÷ W₂ (व्यक्ति, दिन, प्रतिदिन घंटे, कार्य)।
• दक्षता समय की व्युत्क्रम होती है: यदि A, B से दोगुना दक्ष है, तो A आधा समय लेता है।
• मज़दूरी किए गए कार्य के अनुपात में बाँटी जाती है, जो समान दिनों के लिए दक्षताओं का अनुपात होता है।
• LCM विधि: कुल कार्य को अलग-अलग समयों का LCM मान लें, ताकि प्रत्येक दर प्रतिदिन इकाइयों की एक पूर्ण संख्या हो।
• पाइप: भरने वाले पाइप की दर धनात्मक होती है, रिसाव या खाली करने वाले पाइप की दर ऋणात्मक। x घंटे में भरने वाला पाइप और y घंटे में खाली करने वाला पाइप (y, x से बड़ा) मिलकर टंकी को xy ÷ (y − x) घंटे में भरते हैं।

समय और कार्य देखें।

चाल, समय और दूरी के सूत्र क्या हैं?

दूरी = चाल × समय। km/h को m/s में बदलने के लिए 5 ÷ 18 से गुणा करें; m/s को km/h में बदलने के लिए 18 ÷ 5 से गुणा करें।

स्थिति	सूत्र
सापेक्ष चाल, एक ही दिशा में	चालों का अंतर
सापेक्ष चाल, विपरीत दिशाओं में	चालों का योग
रेलगाड़ी किसी खंभे या स्थिर खड़े व्यक्ति को पार करती है	समय = रेलगाड़ी की लंबाई ÷ रेलगाड़ी की चाल
रेलगाड़ी किसी प्लेटफ़ॉर्म या पुल को पार करती है	समय = (रेलगाड़ी की लंबाई + प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई) ÷ रेलगाड़ी की चाल
दो रेलगाड़ियाँ एक-दूसरे को पार करती हैं	समय = (लंबाइयों का योग) ÷ सापेक्ष चाल
धारा के अनुकूल चाल	नाव की चाल + धारा की चाल
धारा के प्रतिकूल चाल	नाव की चाल − धारा की चाल
शांत जल में चाल	(अनुकूल + प्रतिकूल) ÷ 2
धारा की चाल	(अनुकूल − प्रतिकूल) ÷ 2

यदि समान दूरी के लिए चालों का अनुपात a : b है, तो समयों का अनुपात b : a होता है। समय, चाल और दूरी देखें।

आयु और संख्याओं के प्रश्न कैसे बनाएँ?

किसी एक अज्ञात को, प्रायः सबसे छोटे व्यक्ति की वर्तमान आयु या छोटी संख्या को, x मानें, और प्रश्न के प्रत्येक वाक्य को x में एक समीकरण के रूप में लिखें। दो व्यक्तियों की आयु का अंतर समय के साथ कभी नहीं बदलता।

• "n वर्ष पहले" का अर्थ है हर वर्तमान आयु में से n घटाना; "n वर्ष बाद" का अर्थ है हर आयु में n जोड़ना।
• यदि अभी दो आयुओं का अनुपात a : b है, तो आयुओं को ax और bx लिखें।
• दहाई का अंक x और इकाई का अंक y वाली दो अंकों की संख्या 10x + y होती है; अंक उलटने पर यह 10y + x होती है। दोनों में 9 × (x − y) का अंतर होता है।
• क्रमागत पूर्णांक: x, x + 1, x + 2। क्रमागत विषम या सम संख्याएँ: x, x + 2, x + 4।
• जिन दो संख्याओं का योग S और अंतर D है, वे (S + D) ÷ 2 और (S − D) ÷ 2 हैं।

आयु और संख्याओं पर प्रश्न देखें।

संख्यात्मक योग्यता में कौन-सी गलतियाँ सबसे अधिक अंक गँवाती हैं?

अधिकांश अंक कठिन गणना से नहीं, बल्कि गलत आधार या गलत इकाई लेने से कटते हैं।

1. प्रतिशत परिवर्तन को पुराने मान के बजाय नए मान से भाग देना।
2. छूट को अंकित मूल्य के बजाय क्रय मूल्य पर लेना।
3. औसत चाल को दो चालों का साधारण औसत मान लेना।
4. एक ही सूत्र में km/h और m/s को मिला देना।
5. प्लेटफ़ॉर्म पार करते समय रेलगाड़ी की अपनी लंबाई भूल जाना।
6. क्रमिक परिवर्तनों को सीधे जोड़ देना (20% फिर 10% का अर्थ 32% है, 30% नहीं)।
7. अर्धवार्षिक ब्याज को वार्षिक दर पर निकालना।
8. "n वर्ष बाद" वाले आयु-अनुपात को वर्तमान आयुओं पर लागू करना।
9. "का" को उससे पहले आने वाले भाग के बाद करना।
10. इतना मोटा सन्निकटन करना कि दो विकल्प उपयुक्त लगने लगें।