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CUET सामान्य योग्यता के लिए मिश्रण और एलिगेशन

सीखने में लगभग 10 मिनट · 60 प्रश्न

मिश्रण के प्रश्न चावल, चाय, दूध और अम्ल के बारे में लगते हैं, पर वे एक विचार पर हैं: मिश्रण का मान उसके घटकों का भारित औसत है। एलिगेशन भार ज्ञात करने का तेज़ तरीक़ा है, और बार-बार का प्रतिस्थापन एक ही भिन्न से बार-बार गुणा करना है। यह पाठ एलिगेशन नियम, औसत मूल्य, विलयन और पानी, औसत, लाभ और चाल, लाभ पर बेचा गया मिश्रण, प्रतिस्थापन, और मिश्रणों को मिलाना हल किए गए उदाहरणों और जालों के साथ समेटता है।

पाठ्यक्रम क्षेत्र
General Mental Ability, Numerical Ability
इस पृष्ठ पर · 8 भाग
  1. 01मूल विचार
  2. 02एलिगेशन का नियम
  3. 03विलयन और सांद्रता
  4. 04प्रतिस्थापन
  5. 05परीक्षा शॉर्टकट
  6. 06आम गलतियाँ
  7. 07त्वरित पुनरावृत्ति
  8. 08अपनी समझ जाँचें

मूल विचार

मिश्रण का मान, चाहे प्रति kg मूल्य हो या प्रतिशत में सांद्रता, उसके घटकों का भारित औसत है, हर घटक कितना डाला गया उससे भारित। इस अध्याय का हर प्रश्न इसी एक विचार को अलग ओर से देखना है।

यदि मात्राएँ पता हैं और मिश्रण का मान चाहिए, तो गुणा कीजिए, जोड़िए और भाग दीजिए। यदि मिश्रण का मान पता है और मात्राएँ चाहिए, तो एलिगेशन लगाइए। और यदि द्रव बार-बार निकालकर बदला जाए, तो हर बार बचे भिन्न से गुणा कीजिए।

एलिगेशन का नियम

एलिगेशन का नियम क्या है?

यह वह अनुपात देता है जिसमें दो घटक मिलाकर कोई औसत मान पाया जाए। सस्ते मान cc, महँगे मान dd और उनके बीच के औसत mm के साथ, सस्ता भाग और महँगा भाग (d−m):(m−c)(d - m) : (m - c) हैं।

एलिगेशन

सस्ता:महँगा=(d−m):(m−c)\text{सस्ता} : \text{महँगा} = (d - m) : (m - c)
एलिगेशन का क्रॉस: सस्ता मान c ऊपर बाईं ओर, महँगा मान d ऊपर दाईं ओर, औसत m बीच में। अंतर d घटा m, c के नीचे है, और m घटा c, d के नीचे।
हर घटक का हिस्सा दूसरी ओर का अंतर है: सस्ते को d − m मिलता है, महँगे को m − c।

सावधान

दोनों अंतरों को उलट देना सबसे आम भूल है। ख़ुद से कहिए: सस्ते को महँगे वाली ओर का अंतर मिलता है। और औसत cc और dd के बीच होना चाहिए; यदि नहीं है, तो मूल्य में कोई लाभ या हानि छिपी है, या कुछ गलत हुआ है।

एलिगेशन काम क्यों करता है?

औसत के आसपास लाभ और हानि बराबर होने चाहिए। cc मूल्य पर xx kg और dd मूल्य पर yy kg मिलाकर mm मूल्य पाने का मतलब x(m−c)=y(d−m)x(m - c) = y(d - m) है, जो पुनर्व्यवस्थित होकर x:y=(d−m):(m−c)x : y = (d - m) : (m - c) बनता है।

मुख्य बात

यह संतुलन एक तेज़ जाँच देता है: औसत उस घटक के पास रहता है जो ज़्यादा है। ₹42 और ₹54 के बीच ₹46 का औसत ₹42 के कहीं ज़्यादा पास है, इसलिए ₹42 वाला चावल ज़्यादा होना चाहिए।

मिलाने का अनुपात दिया हो, तो औसत मूल्य कैसे ज्ञात करें?

हर मूल्य को उसकी मात्रा से गुणा कीजिए, जोड़िए, और कुल मात्रा से भाग दीजिए। यह उलटा एलिगेशन है, और इसमें क्रॉस की ज़रूरत नहीं।

उदाहरण 1 · औसत मूल्य

पूजा ₹35 प्रति kg का 4 kg चावल ₹50 प्रति kg के 6 kg के साथ मिलाती है। मिश्रण का मूल्य ज्ञात कीजिए।

  1. लागत: 4×35+6×50=140+300=4404 \times 35 + 6 \times 50 = 140 + 300 = 440।

  2. औसत मूल्य: 440÷10=44440 \div 10 = 44।

उत्तर

₹44 प्रति kg

35 और 50 का सीधा औसत 42.5 है, जो केवल बराबर मात्राओं के लिए सही है, और आम तौर पर विकल्पों में होता है।

विलयन और सांद्रता

दो विलयनों का अनुपात ज्ञात करने के लिए एलिगेशन कैसे लगाएँ?

हर विलयन की सांद्रता, यानी उसमें अम्ल, चीनी, दूध या अल्कोहल का प्रतिशत, ठीक मूल्य की तरह लीजिए। दोनों सांद्रताएँ दो मान हैं, और लक्ष्य सांद्रता औसत है।

उदाहरण 2 · दो शरबत

25% शरबत पाने के लिए 15% चीनी वाले शरबत और 45% वाले शरबत को किस अनुपात में मिलाएँ?

  1. 15% भाग और 45% भाग: (45−25):(25−15)=20:10=2:1(45 - 25) : (25 - 15) = 20 : 10 = 2 : 1।

  2. जाँच: 15% के 2 लीटर और 45% के 1 लीटर में 3 लीटर में 0.3+0.45=0.750.3 + 0.45 = 0.75 लीटर चीनी है, जो 25% है।

उत्तर
2:12 : 1
घटकलेने वाला मान
शुद्ध पानी, मूल्य वाले प्रश्न में₹0 प्रति लीटर
शुद्ध पानी, सांद्रता वाले प्रश्न में0%
शुद्ध अम्ल, दूध या रस100%

उदाहरण 3 · पानी से पतला करना

40% नमक के 30 लीटर विलयन को 25% बनाने के लिए कितना पानी मिलाना होगा?

  1. विलयन और पानी: (25−0):(40−25)=25:15=5:3(25 - 0) : (40 - 25) = 25 : 15 = 5 : 3।

  2. 5 भाग 30 लीटर हैं, इसलिए 1 भाग 6 लीटर है और पानी 3×6=183 \times 6 = 18 लीटर है।

  3. जाँच: 48 लीटर में 12 लीटर नमक 25% है।

उत्तर

18 लीटर

क्या एलिगेशन औसत, लाभ प्रतिशत और चाल पर लग सकता है?

हाँ। यह किसी भी भारित औसत पर चलता है: औसत अंक, वेतन, ब्याज दरें, लाभ प्रतिशत, चाल। एकमात्र प्रश्न यह है कि भार क्या हैं, क्योंकि मिलने वाला अनुपात हमेशा उन्हीं भारों का होता है।

स्थितिदो मानमिलने वाला अनुपात किसका है
कक्षा का औसतलड़कों और लड़कियों के औसतलड़कों और लड़कियों की संख्या
माल के हिस्सों पर लाभदोनों लाभ प्रतिशतहर हिस्से का क्रय मूल्य
दो ऋणों पर ब्याजदोनों दरेंदोनों उधार दी गई राशियाँ
औसत चालदोनों चालेंदोनों समय, दूरियाँ नहीं

उदाहरण 4 · दो ऋण

रफ़ीक़ ₹20,000 को 6% और 11% साधारण ब्याज पर दो भागों में उधार देता है और एक वर्ष में ₹1,600 कमाता है। उसने 6% पर कितना दिया?

  1. औसत दर: 1,60020,000×100=8%\tfrac{1{,}600}{20{,}000} \times 100 = 8\%।

  2. 6% भाग और 11% भाग: (11−8):(8−6)=3:2(11 - 8) : (8 - 6) = 3 : 2।

  3. 6% पर राशि: 35×20,000=12,000\tfrac{3}{5} \times 20{,}000 = 12{,}000।

उत्तर

₹12,000

जाँच: 720+880=1,600720 + 880 = 1{,}600।

हानि और चाल

  • हानि ऋणात्मक लाभ है। कुछ माल 4% हानि पर और बाक़ी 12% लाभ पर बिके, तो मान −4 और +12 हैं, इसलिए −4 से +6 के औसत तक का अंतर 10 है, 2 नहीं।
  • चाल समय देती है, क्योंकि औसत चाल कुल दूरी बटा कुल समय है। 40 और 70 से 50 km/h का औसत मतलब 40 पर समय और 70 पर समय (70−50):(50−40)=2:1(70 - 50) : (50 - 40) = 2 : 1 है। दूरी के लिए हर समय को उसकी चाल से गुणा कीजिए।

लाभ पर बेचे गए मिश्रण को कैसे सँभालें?

पहले विक्रय मूल्य को मिश्रण के क्रय मूल्य में बदलिए, फिर क्रय मूल्यों पर एलिगेशन लगाइए। लाभ क्रय मूल्य पर होता है, इसलिए 1+लाभ1001 + \tfrac{\text{लाभ}}{100} से भाग दीजिए, 1−लाभ1001 - \tfrac{\text{लाभ}}{100} से कभी गुणा नहीं।

उदाहरण 5 · लाभ पर मिश्रण बेचना

एक दुकानदार ₹80 और ₹110 प्रति kg की दालें मिलाकर मिश्रण ₹108 प्रति kg पर बेचता है, और 20% लाभ कमाता है। मिलाने का अनुपात ज्ञात कीजिए।

  1. मिश्रण की लागत: 108÷1.2=90108 \div 1.2 = 90 रुपये प्रति kg।

  2. सस्ता और महँगा: (110−90):(90−80)=20:10=2:1(110 - 90) : (90 - 80) = 20 : 10 = 2 : 1।

उत्तर
2:12 : 1

परीक्षा शॉर्टकट

जो ग्वाला मुफ़्त का पानी मिलाकर दूध के क्रय मूल्य पर बेचता है, वह पानी बटा दूध, प्रतिशत में, कमाता है। दूध और पानी 5:15 : 1 में हों, तो वह 20% कमाता है, क्योंकि वह 5 लीटर का पैसा देता है और 6 बेचता है।

प्रतिस्थापन

बार-बार निकालने और बदलने का सूत्र क्या है?

यदि किसी बर्तन में VV लीटर शुद्ध द्रव है, और हर बार xx लीटर निकालकर पानी भरा जाए, तो nn बार के बाद बचा द्रव V(1−xV)nV(1 - \tfrac{x}{V})^n है। हर बार जितना भी द्रव है, उसका वही भिन्न बचता है।

प्रतिस्थापन

बचा द्रव=V(1−xV)n\text{बचा द्रव} = V\left(1 - \frac{x}{V}\right)^n

उदाहरण 6 · तीन प्रतिस्थापन

50 लीटर का डिब्बा दूध से भरा है। 5 लीटर निकालकर पानी भरा जाता है, कुल तीन बार। कितना दूध बचा?

  1. हर बार बचा भिन्न: 45÷50=0.945 \div 50 = 0.9।

  2. बचा दूध: 50×0.93=50×0.729=36.4550 \times 0.9^3 = 50 \times 0.729 = 36.45 लीटर।

उत्तर

36.45 लीटर दूध, और 13.55 लीटर पानी

तीन बार 5 लीटर घटाने पर 35 लीटर आता है, जो गलत है: पहली बार के बाद जो निकलता है उसमें कुछ पानी भी होता है।

परीक्षा शॉर्टकट

  • सूत्र शुरुआती मिश्रण पर भी चलता है: इसे उस घटक पर लगाइए जो निकाला जाता है और वापस नहीं डाला जाता। 3:13 : 1 में 40 लीटर दूध-पानी में 30 लीटर दूध है, और 10 लीटर के दो प्रतिस्थापनों के बाद दूध 30×0.752=16.87530 \times 0.75^2 = 16.875 लीटर है।
  • अंतिम अनुपात से पीछे जाते समय, पूरे में दूध का भिन्न, न कि दूध और पानी का अनुपात, (1−xV)n(1 - \tfrac{x}{V})^n के बराबर है।

पानी की जगह दूसरे विलयन से बदलने पर क्या होता है?

शुद्ध घटक को चरण-दर-चरण देखिए: उसका हिस्सा निकालिए, फिर नए विलयन का हिस्सा जोड़िए। कोई एक घात वाला सूत्र नहीं है।

उदाहरण 7 · तेज़ अम्ल से भरना

30% अम्ल वाली 50 लीटर की टंकी में से 10 लीटर निकालकर 90% अम्ल वाला विलयन भरा जाता है। नई सांद्रता ज्ञात कीजिए।

  1. शुरू में अम्ल: 15 लीटर। 10 लीटर के साथ निकला: 3 लीटर। जोड़ा गया: 9 लीटर।

  2. अब अम्ल: 50 लीटर में 15−3+9=2115 - 3 + 9 = 21 लीटर।

उत्तर

42%

भारित औसत से जाँच: टंकी में पुराना और नया विलयन 40:1040 : 10 में है, और (4×30+1×90)÷5=42(4 \times 30 + 1 \times 90) \div 5 = 42।

पानी या एक घटक मिलाकर अनुपात कैसे बदलें?

जो घटक नहीं मिलाया जा रहा, उसे स्थिर रखिए और उसके आसपास कुल फिर से बनाइए। पानी मिलाने या उड़ने पर घुला पदार्थ स्थिर रहता है; दूध-पानी में दूध मिलाने पर पानी स्थिर रहता है।

  • 7:27 : 2 में 36 लीटर दूध-पानी में 28 लीटर दूध और 8 पानी है। 7:47 : 4 के लिए दूध 28 ही रहता है, इसलिए पानी 16 होना चाहिए: 8 लीटर मिलाइए।
  • वाष्पन से गाढ़ा करने के लिए नया कुल = घुला पदार्थ ÷ नई सांद्रता, और कुल में गिरावट उड़ा हुआ पानी है।

अलग अनुपात वाले दो मिश्रणों को कैसे मिलाएँ?

हर मिश्रण को हर घटक की असली मात्राओं में बदलिए, जोड़िए, और सरल कीजिए। अनुपात के पद कभी न जोड़िए, जब तक दोनों मिश्रणों का कुल बराबर न हो।

परीक्षा शॉर्टकट

किसी लक्ष्य के लिए मिलाने का अनुपात निकालने के लिए, एक घटक को हर पूरे के भिन्न के रूप में लिखिए और भिन्नों पर एलिगेशन लगाइए। दूध और पानी 1:11 : 1 में 12\tfrac{1}{2} दूध है और 5:15 : 1 में 56\tfrac{5}{6}। 3:13 : 1, यानी 34\tfrac{3}{4}, के लिए पहला और दूसरा (56−34):(34−12)=112:14=1:3(\tfrac{5}{6} - \tfrac{3}{4}) : (\tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{2}) = \tfrac{1}{12} : \tfrac{1}{4} = 1 : 3 है।

परीक्षा शॉर्टकट

  • क्रॉस, फिर जाँच। औसत बड़े हिस्से के पास रहता है।
  • पानी 0 है। शुद्ध घुला पदार्थ 100% है।
  • पहले लाभ। विक्रय मूल्य ÷ (1 + लाभ) मिश्रण की लागत देता है।
  • प्रतिस्थापन गुणा करता है। हर बार (1−xV)(1 - \tfrac{x}{V}) बचाइए।
  • उत्तर वापस रखिए। औसत फिर से निकालिए; दस सेकंड लगते हैं।

आम गलतियाँ

  • एलिगेशन अनुपात उलटना।
  • असमान मात्राओं के लिए सीधा औसत।
  • गलत आधार पर लाभ। विक्रय मूल्य ÷ 1.25 लागत देता है; × 0.75 नहीं।
  • प्रतिस्थापन में घटाना। दो बार 10 लीटर निकालने से 20 लीटर दूध नहीं निकलता।
  • बारी गलत गिनना। "बदला गया, और फिर दो बार दोहराया गया" तीन बारी है।
  • गलत राशि का उत्तर। मिलाया गया पानी, नया कुल नहीं; महँगा भाग, सस्ता नहीं।
  • पानी या शुद्ध अम्ल डालने पर जुड़ा आयतन भूलना।
  • भिन्न की जगह अनुपात। 3:13 : 1 दूध-पानी में 34\tfrac{3}{4} दूध है।
  • चाल के लिए दूरियाँ। एलिगेशन अनुपात समयों का है।
  • हानि का चिह्न खोना।

त्वरित पुनरावृत्ति

एलिगेशन

  • सस्ता : महँगा =(d−m):(m−c)= (d - m) : (m - c)
  • औसत बड़े हिस्से के पास
  • पानी 0, शुद्ध 100%

औसत मान

  • cx+dyx+y\tfrac{cx + dy}{x + y}
  • सीधा औसत केवल बराबर मात्राओं के लिए

भार

  • औसत: संख्याएँ। लाभ: क्रय मूल्य
  • ऋण: राशियाँ। चाल: समय

प्रतिस्थापन

  • बचा =V(1−xV)n= V(1 - \tfrac{x}{V})^n
  • दूसरा विलयन: शुद्ध भाग चरण-दर-चरण
  • अनुपात बदलना: दूसरा घटक स्थिर रखिए

यही भारित औसत का विचार औसत और अनुपात और समानुपात में चलता है, और क्रय व विक्रय मूल्य लाभ, हानि और छूट में।

आगे · 07त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

60 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

एलीगेशन का नियमप्र1 / 60प्र1

एलीगेशन का नियम

34 प्रश्न

प्रश्न 1

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

काव्या की किराने की दुकान पर ₹42 प्रति kg वाले चावल को ₹54 प्रति kg वाले चावल के साथ इस प्रकार मिलाया जाता है कि मिश्रण का मूल्य ₹46 प्रति kg हो। दोनों को किस अनुपात (सस्ता : महँगा) में मिलाना होगा?

प्रश्न 1 के विकल्प

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उत्तरD · 2:12 : 1

  1. सस्ते का भाग = महँगे का मूल्य − माध्य = 54−46=854 - 46 = 8.

  2. महँगे का भाग = माध्य − सस्ते का मूल्य = 46−42=446 - 42 = 4.

  3. सस्ता : महँगा = 8:4=2:18 : 4 = 2 : 1.

ध्यान देने योग्य

महँगे पक्ष का अंतर सस्ती किस्म का भाग होता है। इन्हें उलट देने पर 1:21 : 2 आता है, जो आम भूल है।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तेनज़िन दो चाय, एक ₹180 प्रति kg और दूसरी ₹240 प्रति kg, को 2:12 : 1 के अनुपात में मिलाता है। मिश्रण का प्रति kg मूल्य क्या है?

प्रश्न 2 के विकल्प

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उत्तरB · ₹200

  1. 3 kg का मूल्य = 2×180+1×240=6002 \times 180 + 1 \times 240 = 600 रुपये।

  2. प्रति kg मूल्य = 6003=200\frac{600}{3} = 200 रुपये।

ध्यान देने योग्य

₹210 साधारण औसत है, जो 2:12 : 1 के अनुपात की उपेक्षा करता है; ₹220 में भार 2 गलत मूल्य के साथ जोड़ दिया गया है।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक मिठाई की दुकान ₹38 प्रति kg वाली 3 kg चीनी को ₹46 प्रति kg वाली 5 kg चीनी के साथ मिलाती है। मिश्रण का प्रति kg मूल्य क्या है?

प्रश्न 3 के विकल्प

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उत्तरC · ₹43

  1. कुल लागत = 3×38+5×46=114+230=3443 \times 38 + 5 \times 46 = 114 + 230 = 344 रुपये।

  2. प्रति kg मूल्य = 3448=43\frac{344}{8} = 43 रुपये।

ध्यान देने योग्य

₹42, 38 और 46 का साधारण औसत है; यह केवल बराबर मात्राओं के लिए सही होता। मात्राओं को आपस में बदल देने पर ₹41 आता है।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक प्रयोगशाला सहायक के पास 20% अम्ल विलयन और 50% अम्ल विलयन है। 30% अम्ल विलयन प्राप्त करने के लिए इन्हें किस अनुपात में मिलाना चाहिए?

प्रश्न 4 के विकल्प

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उत्तरA · 2:12 : 1

  1. 20% वाला भाग : 50% वाला भाग = (50−30):(30−20)(50 - 30) : (30 - 20).

  2. = 20:10=2:120 : 10 = 2 : 1.

ध्यान देने योग्य

माध्य 30%, 20% के अधिक निकट है, इसलिए 20% विलयन अधिक चाहिए। इसी जाँच से 1:21 : 2 गलत सिद्ध होता है।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कक्षा परीक्षा में लड़कों के औसत अंक 62 और लड़कियों के औसत अंक 74 रहे। पूरी कक्षा का औसत 70 अंक रहा। लड़कों और लड़कियों का अनुपात क्या है?

प्रश्न 5 के विकल्प

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उत्तरD · 1:21 : 2

  1. लड़के : लड़कियाँ = (74−70):(70−62)(74 - 70) : (70 - 62).

  2. = 4:8=1:24 : 8 = 1 : 2.

ध्यान देने योग्य

कक्षा का औसत लड़कियों के औसत के अधिक निकट है, इसलिए लड़कियाँ अधिक होनी चाहिए। 2:12 : 1 उलटा अनुपात है।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

₹30 प्रति kg वाली कितने kg दाल को ₹45 प्रति kg वाली 12 kg दाल के साथ मिलाया जाए कि मिश्रण का मूल्य ₹36 प्रति kg हो?

प्रश्न 6 के विकल्प

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उत्तरC · 18 kg

  1. सस्ती : महँगी = (45−36):(36−30)=9:6=3:2(45 - 36) : (36 - 30) = 9 : 6 = 3 : 2.

  2. 2 भाग = 12 kg, इसलिए 1 भाग = 6 kg.

  3. सस्ती दाल = 3×6=183 \times 6 = 18 kg.

ध्यान देने योग्य

अनुपात को उलटकर 2:32 : 3 लेने पर 8 kg आता है।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक जौहरी 70% सोने और 85% सोने वाली दो मिश्रधातुओं को भार के अनुसार 1:21 : 2 के अनुपात में एक साथ पिघलाता है। नई मिश्रधातु में कितने प्रतिशत सोना है?

प्रश्न 7 के विकल्प

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उत्तरC · 80%

  1. 3 इकाइयों में सोना = 1×70%+2×85%=70+170=2401 \times 70\% + 2 \times 85\% = 70 + 170 = 240 (प्रतिशत-इकाइयाँ)।

  2. सोने का प्रतिशत = 2403=80%\frac{240}{3} = 80\%.

ध्यान देने योग्य

77.5% साधारण औसत है; 75% में बड़ा भार 70% वाली मिश्रधातु के साथ जोड़ दिया गया है।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मीनाक्षी 25% आम-गूदे वाले 10 लीटर पेय को 40% आम-गूदे वाले 15 लीटर पेय के साथ मिलाती है। मिश्रण में आम-गूदे का प्रतिशत क्या है?

प्रश्न 8 के विकल्प

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उत्तरC · 34%

  1. गूदा = 0.25×10+0.40×15=2.5+6=8.50.25 \times 10 + 0.40 \times 15 = 2.5 + 6 = 8.5 लीटर।

  2. प्रतिशत = 8.525×100=34%\frac{8.5}{25} \times 100 = 34\%.

ध्यान देने योग्य

32.5%, 25% और 40% का साधारण औसत है; 31% में दोनों आयतन आपस में बदल दिए गए हैं।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक दूधवाला ₹60 प्रति लीटर की दर से दूध खरीदता है। वह किस अनुपात (पानी : दूध) में पानी मिलाए, जिसकी कोई कीमत नहीं है, कि मिश्रण उसे ₹48 प्रति लीटर पड़े?

प्रश्न 9 के विकल्प

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उत्तरB · 1:41 : 4

  1. पानी को ₹0 प्रति लीटर मूल्य वाला द्रव मानें।

  2. पानी : दूध = (60−48):(48−0)=12:48(60 - 48) : (48 - 0) = 12 : 48.

  3. = 1:41 : 4.

ध्यान देने योग्य

4:14 : 1 उलटा अनुपात है — इससे मिश्रण में अधिकतर पानी हो जाएगा।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

गुरप्रीत ₹900 प्रति kg वाले 2 kg काजू को दूसरी किस्म के 3 kg काजू के साथ मिलाती है। मिश्रण का मूल्य ₹1,080 प्रति kg है। दूसरी किस्म का प्रति kg मूल्य क्या है?

प्रश्न 10 के विकल्प

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उत्तरC · ₹1,200

  1. 5 kg मिश्रण का मूल्य = 5×1080=54005 \times 1080 = 5400 रुपये।

  2. 2 kg का मूल्य = 2×900=18002 \times 900 = 1800 रुपये।

  3. दूसरी किस्म: 5400−18003=1200\frac{5400 - 1800}{3} = 1200 रुपये प्रति kg.

ध्यान देने योग्य

माध्य को साधारण औसत मान लेने पर दूसरा मूल्य 2×1,080−9002 \times 1{,}080 - 900 अर्थात ₹1,260 आता है।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक खेल छात्रावास में 30 विद्यार्थियों का औसत भार 48 kg और 20 विद्यार्थियों का औसत भार 58 kg है। सभी 50 विद्यार्थियों का औसत भार क्या है?

प्रश्न 11 के विकल्प

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उत्तरB · 52 kg

  1. कुल भार = 30×48+20×58=1440+1160=260030 \times 48 + 20 \times 58 = 1440 + 1160 = 2600 kg.

  2. औसत = 260050=52\frac{2600}{50} = 52 kg.

ध्यान देने योग्य

53 kg, 48 और 58 का साधारण औसत है, जो इस बात की उपेक्षा करता है कि दोनों समूहों का आकार अलग है।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कैफ़े ₹800 प्रति kg वाली कॉफ़ी बीन्स को ₹500 प्रति kg वाली बीन्स के साथ मिलाकर ₹620 प्रति kg मूल्य का मिश्रण बनाता है। ₹800 वाली बीन्स और ₹500 वाली बीन्स का अनुपात क्या है?

प्रश्न 12 के विकल्प

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उत्तरB · 2:32 : 3

  1. ₹800 वाली बीन्स : ₹500 वाली बीन्स = (620−500):(800−620)(620 - 500) : (800 - 620).

  2. = 120:180=2:3120 : 180 = 2 : 3.

ध्यान देने योग्य

3:23 : 2 उलटा अनुपात है। माध्य ₹620, ₹500 के अधिक निकट है, इसलिए ₹500 वाली बीन्स अधिक हैं।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अर्जुन 50 kg चावल बेचता है, उसका कुछ भाग 10% लाभ पर और शेष 25% लाभ पर। कुल मिलाकर उसे 16% लाभ होता है। उसने कितने kg चावल 10% लाभ पर बेचा?

प्रश्न 13 के विकल्प

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उत्तरC · 30 kg

  1. लाभ प्रतिशतों को मूल्यों की तरह लें: 16% के माध्य के दोनों ओर 10% और 25%.

  2. 10% वाला भाग : 25% वाला भाग = (25−16):(16−10)=9:6=3:2(25 - 16) : (16 - 10) = 9 : 6 = 3 : 2.

  3. 10% पर बेची गई मात्रा = 35×50=30\frac{3}{5} \times 50 = 30 kg.

ध्यान देने योग्य

20 kg वह मात्रा है जो 25% पर बेची गई — अनुपात उलटने पर यही आता है।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

फ़ातिमा ₹120 प्रति kg और ₹150 प्रति kg वाली दो चाय मिलाती है। वह मिश्रण को ₹165 प्रति kg पर बेचकर 25% लाभ कमाती है। उसने इन्हें किस अनुपात (सस्ती : महँगी) में मिलाया?

प्रश्न 14 के विकल्प

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उत्तरD · 3:23 : 2

  1. मिश्रण का क्रय मूल्य = 1651.25=132\frac{165}{1.25} = 132 रुपये प्रति kg.

  2. सस्ती : महँगी = (150−132):(132−120)=18:12(150 - 132) : (132 - 120) = 18 : 12.

  3. = 3:23 : 2.

ध्यान देने योग्य

आम भूल लागत को ₹165 का 75% (₹123.75) मान लेना है — लाभ लागत पर होता है, इसलिए 1.25 से भाग दें। इस भूल से 7:17 : 1 आता है।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक डेयरी के पास 20 लीटर मिश्रण है जिसमें 60% दूध है। 90% दूध वाला कितने लीटर मिश्रण मिलाया जाए कि 80% दूध वाला मिश्रण बन जाए?

प्रश्न 15 के विकल्प

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उत्तरD · 40 लीटर

  1. 60%:90%=(90−80):(80−60)=10:20=1:260\% : 90\% = (90 - 80) : (80 - 60) = 10 : 20 = 1 : 2.

  2. अतः 90% वाला मिश्रण, 60% वाले मिश्रण का दोगुना होना चाहिए।

  3. आवश्यक मात्रा = 2×20=402 \times 20 = 40 लीटर।

ध्यान देने योग्य

अनुपात उलटने पर 10 लीटर आता है। जाँच: दूध = 12+36=4812 + 36 = 48, कुल 60 लीटर में = 80%.

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कंपनी में 120 कर्मचारी हैं जिनका औसत मासिक वेतन ₹30,000 है। प्रबंधकों का औसत ₹50,000 और अन्य सभी कर्मचारियों का औसत ₹25,000 है। प्रबंधक कितने हैं?

प्रश्न 16 के विकल्प

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उत्तरA · 24

  1. प्रबंधक : अन्य = (30,000−25,000):(50,000−30,000)=5,000:20,000=1:4(30{,}000 - 25{,}000) : (50{,}000 - 30{,}000) = 5{,}000 : 20{,}000 = 1 : 4.

  2. कुल भाग = 1+4=51 + 4 = 5.

  3. प्रबंधक = 15×120=24\frac{1}{5} \times 120 = 24.

ध्यान देने योग्य

120 का एक-चौथाई लेने पर 30 आता है — 1:41 : 4 के अनुपात का अर्थ है पाँच में से एक भाग। 96 अन्य कर्मचारियों की संख्या है।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

ललरेम्सियामी ₹12,000 दो भागों में उधार देती है, एक भाग 8% वार्षिक साधारण ब्याज पर और दूसरा 12% वार्षिक पर। एक वर्ष में उसका कुल ब्याज ₹1,140 है। उसने 8% पर कितनी राशि उधार दी?

प्रश्न 17 के विकल्प

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उत्तरD · ₹7,500

  1. औसत दर = 114012000×100=9.5%\frac{1140}{12000} \times 100 = 9.5\%.

  2. 8% वाला भाग : 12% वाला भाग = (12−9.5):(9.5−8)=2.5:1.5=5:3(12 - 9.5) : (9.5 - 8) = 2.5 : 1.5 = 5 : 3.

  3. 8% पर राशि = 58×12000=7500\frac{5}{8} \times 12000 = 7500 रुपये।

ध्यान देने योग्य

₹4,500, 12% पर दी गई राशि है (उलटा अनुपात)। जाँच: 7,500 का 8%+4,5008\% + 4{,}500 का 12%=600+54012\% = 600 + 540 = ₹1,140.

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मिश्रधातु P में ताँबा और जस्ता 3:13 : 1 के अनुपात में हैं; मिश्रधातु Q में ये 1:31 : 3 के अनुपात में हैं। P और Q को किस अनुपात में पिघलाकर मिलाया जाए कि ताँबा और जस्ता 5:35 : 3 के अनुपात वाली मिश्रधातु बने?

प्रश्न 18 के विकल्प

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उत्तरD · 3:13 : 1

  1. ताँबे का भाग: P = 34=75%\frac{3}{4} = 75\%, Q = 14=25%\frac{1}{4} = 25\%, लक्ष्य = 58=62.5%\frac{5}{8} = 62.5\%.

  2. P:Q=(62.5−25):(75−62.5)=37.5:12.5P : Q = (62.5 - 25) : (75 - 62.5) = 37.5 : 12.5.

  3. = 3:13 : 1.

ध्यान देने योग्य

एलीगेशन प्रत्येक मिश्रण में किसी एक घटक के भाग (fraction) पर लागू होता है, स्वयं अनुपातों पर नहीं। पहले प्रत्येक अनुपात को पूरे के भाग में बदलें।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जोसेफ़ ₹640 प्रति kg और ₹800 प्रति kg वाले बादामों को 5:35 : 3 के अनुपात में मिलाकर मिश्रण को ₹840 प्रति kg पर बेचता है। उसका लाभ प्रतिशत क्या है?

प्रश्न 19 के विकल्प

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उत्तरC · 20%

  1. 8 kg का मूल्य = 5×640+3×800=3200+2400=56005 \times 640 + 3 \times 800 = 3200 + 2400 = 5600 रुपये, अर्थात ₹700 प्रति kg.

  2. प्रति kg लाभ = 840−700840 - 700 = ₹140.

  3. लाभ % = 140700×100=20%\frac{140}{700} \times 100 = 20\%.

ध्यान देने योग्य

16⅔% में लाभ को विक्रय मूल्य से भाग दिया गया है; लाभ % सदैव क्रय मूल्य पर होता है।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक दुकान में ₹150 प्रति लीटर वाला 30 लीटर सरसों का तेल है। ₹190 प्रति लीटर वाला कितने लीटर मूँगफली का तेल इसमें मिलाया जाए कि मिश्रण ₹166 प्रति लीटर पड़े?

प्रश्न 20 के विकल्प

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उत्तरB · 20 लीटर

  1. सरसों : मूँगफली = (190−166):(166−150)=24:16=3:2(190 - 166) : (166 - 150) = 24 : 16 = 3 : 2.

  2. 3 भाग = 30 लीटर, इसलिए 1 भाग = 10 लीटर।

  3. मूँगफली का तेल = 2×10=202 \times 10 = 20 लीटर।

ध्यान देने योग्य

अनुपात को उलटकर 2:32 : 3 लेने पर 45 लीटर आता है।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कोचिंग बैच के 45 विद्यार्थियों का एक मॉक टेस्ट में औसत 64 अंक रहा। लड़कों का औसत 60 और लड़कियों का औसत 69 रहा। बैच में कितनी लड़कियाँ हैं?

प्रश्न 21 के विकल्प

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उत्तरA · 20

  1. लड़के : लड़कियाँ = (69−64):(64−60)=5:4(69 - 64) : (64 - 60) = 5 : 4.

  2. कुल भाग = 9, इसलिए 1 भाग = 45÷9=545 \div 9 = 5 विद्यार्थी।

  3. लड़कियाँ = 4×5=204 \times 5 = 20.

ध्यान देने योग्य

25 लड़कों की संख्या है। जाँच: 25×60+20×69=1,500+1,380=2,880=45×6425 \times 60 + 20 \times 69 = 1{,}500 + 1{,}380 = 2{,}880 = 45 \times 64.

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

35% अम्ल वाले 24 लीटर विलयन में कितने लीटर पानी मिलाया जाए कि वह 21% अम्ल विलयन बन जाए?

प्रश्न 22 के विकल्प

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उत्तरB · 16 लीटर

  1. पानी 0% अम्ल वाला विलयन है।

  2. विलयन : पानी = (21−0):(35−21)=21:14=3:2(21 - 0) : (35 - 21) = 21 : 14 = 3 : 2.

  3. 3 भाग = 24 लीटर, इसलिए पानी = 2×8=162 \times 8 = 16 लीटर।

ध्यान देने योग्य

40 लीटर अंतिम आयतन है, मिलाया गया पानी नहीं। जाँच: अम्ल = 0.35×24=8.40.35 \times 24 = 8.4 लीटर, और 8.4÷40=21%8.4 \div 40 = 21\%.

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रमेश ₹54 प्रति लीटर की दर से दूध खरीदता है, उसमें दूध : पानी = 4:14 : 1 के अनुपात में पानी मिलाता है, और मिश्रण को ₹54 प्रति लीटर से 10% अधिक पर बेचता है। उसका लाभ प्रतिशत क्या है?

प्रश्न 23 के विकल्प

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उत्तरD · 37.5%

  1. 5 लीटर मिश्रण का मूल्य = 4 लीटर दूध का मूल्य = 4×54=2164 \times 54 = 216 रुपये, अर्थात ₹43.20 प्रति लीटर।

  2. विक्रय मूल्य = 1.1×54=59.401.1 \times 54 = 59.40 रुपये प्रति लीटर।

  3. लाभ % = 59.40−43.2043.20×100=16.2043.20×100=37.5%\frac{59.40 - 43.20}{43.20} \times 100 = \frac{16.20}{43.20} \times 100 = 37.5\%.

ध्यान देने योग्य

लाभ गुणा होते हैं, जुड़ते नहीं: 1.25 (मुफ़्त पानी से) × 1.1 (अधिक मूल्य से) = 1.375. 25%+10%25\% + 10\% जोड़ने पर लुभावना 35% आता है, और मिश्रण में पानी के 20% हिस्से में 10% जोड़ने पर 30% आता है।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सुनार के पास 22-कैरेट सोना और 18-कैरेट सोना है। वह 60 g 21-कैरेट सोना बनाना चाहती है। उसे कितने ग्राम 18-कैरेट सोना लेना चाहिए?

प्रश्न 24 के विकल्प

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उत्तरA · 15 g

  1. 22-कैरेट : 18-कैरेट = (21−18):(22−21)=3:1(21 - 18) : (22 - 21) = 3 : 1.

  2. 18-कैरेट सोना = 14×60=15\frac{1}{4} \times 60 = 15 g.

ध्यान देने योग्य

45 g, 22-कैरेट वाला भाग है। लक्ष्य 21, 22 के बहुत निकट है, इसलिए मिश्रण का अधिकांश भाग 22-कैरेट होना चाहिए।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दीपा 40% चीनी वाली 15 लीटर चाशनी को दूसरी चाशनी के 10 लीटर के साथ मिलाती है। मिश्रण में 34% चीनी है। दूसरी चाशनी में चीनी का प्रतिशत क्या है?

प्रश्न 25 के विकल्प

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उत्तरB · 25%

  1. मिश्रण में चीनी = 0.34×25=8.50.34 \times 25 = 8.5 लीटर।

  2. पहली चाशनी से चीनी = 0.40×15=60.40 \times 15 = 6 लीटर।

  3. दूसरी चाशनी: 8.5−610=0.25\frac{8.5 - 6}{10} = 0.25, अर्थात 25%.

ध्यान देने योग्य

28% यह मान लेता है कि 34% दोनों सांद्रताओं का साधारण औसत है; परंतु आयतन असमान हैं। 10% में 2.5 लीटर चीनी को 10 के बजाय 25 लीटर से भाग दिया गया है।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक किराना स्टोर ₹30, ₹36 और ₹45 प्रति kg वाली चावल की तीन किस्मों को 2:3:12 : 3 : 1 के अनुपात में मिलाता है। मिश्रण का प्रति kg मूल्य क्या है?

प्रश्न 26 के विकल्प

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उत्तरA · ₹35.50

  1. 6 kg का मूल्य = 2×30+3×36+1×45=60+108+45=2132 \times 30 + 3 \times 36 + 1 \times 45 = 60 + 108 + 45 = 213 रुपये।

  2. प्रति kg मूल्य = 2136=35.50\frac{213}{6} = 35.50 रुपये।

ध्यान देने योग्य

₹37 तीनों मूल्यों का साधारण औसत है। ₹38 में भार 2 और 1 गलत मूल्यों के साथ जोड़ दिए गए हैं।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शालिनी ने एक फ़ोन और एक टैबलेट कुल ₹8,000 में खरीदे। उसने फ़ोन 10% हानि पर और टैबलेट 15% लाभ पर बेचा, और कुल मिलाकर उसे 5% लाभ हुआ। फ़ोन उसे कितने का पड़ा था?

प्रश्न 27 के विकल्प

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उत्तरB · ₹3,200

  1. हानि को −10% लिखें और +5% के दोनों ओर −10% और +15% पर एलीगेशन लगाएँ।

  2. फ़ोन : टैबलेट = (15−5)(15 - 5) : (5−(−10))=10:15=2:3(5 - (-10)) = 10 : 15 = 2 : 3.

  3. फ़ोन = 25×8000=3200\frac{2}{5} \times 8000 = 3200 रुपये।

ध्यान देने योग्य

जाँच: 3,200 का −10%=−320-10\% = -320 और 4,800 का +15% = +720, शुद्ध +400=8,000400 = 8{,}000 का 5%. ₹4,800 टैबलेट का मूल्य है।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक दूधवाला ₹56 प्रति लीटर की दर से शुद्ध दूध खरीदता है। वह उसमें पानी मिलाकर मिश्रण ₹60 प्रति लीटर पर बेचता है और 25% लाभ कमाता है। मिश्रण में पानी : दूध का अनुपात क्या है?

प्रश्न 28 के विकल्प

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उत्तरC · 1:61 : 6

  1. मिश्रण का क्रय मूल्य = 601.25=48\frac{60}{1.25} = 48 रुपये प्रति लीटर।

  2. पानी का मूल्य ₹0 है। पानी : दूध = (56−48):(48−0)=8:48(56 - 48) : (48 - 0) = 8 : 48.

  3. = 1:61 : 6.

ध्यान देने योग्य

1:41 : 4 गलत रूप से मान लेता है कि मिश्रण के आयतन का 25% पानी है। 11:4511 : 45 तब आता है जब 1.25 से भाग देने के बजाय लागत को विक्रय मूल्य का 75% (₹45) मान लिया जाए। 1:71 : 7 में ₹8 के अंतर की तुलना ₹48 के बजाय ₹56 से की गई है।

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

हरीश के पास 30% अम्ल वाला 36 लीटर विलयन है। सांद्रता को 40% तक बढ़ाने के लिए उसे कितने लीटर शुद्ध अम्ल मिलाना होगा?

प्रश्न 29 के विकल्प

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उत्तरC · 6 लीटर

  1. शुद्ध अम्ल 100% विलयन है।

  2. विलयन : शुद्ध अम्ल = (100−40):(40−30)=60:10=6:1(100 - 40) : (40 - 30) = 60 : 10 = 6 : 1.

  3. शुद्ध अम्ल = 366=6\frac{36}{6} = 6 लीटर।

ध्यान देने योग्य

शुद्ध अम्ल मिलाने से कुल आयतन भी बढ़ता है। 3.6 लीटर केवल 36 का 10% है; 4 लीटर मिलाए गए अम्ल को अंतिम आयतन का 10% मान लेता है और भूल जाता है कि पुराना अम्ल भी 40% में गिना जाता है। जाँच: (10.8+6)÷42=40%(10.8 + 6) \div 42 = 40\%.

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वेंकट 80 kg प्याज़ बेचता है। कुछ प्याज़ वह 5% हानि पर बेचता है (वे नरम पड़ने लगे थे) और शेष 15% लाभ पर। कुल मिलाकर उसे 9% लाभ होता है। उसने कितने kg प्याज़ हानि पर बेचे?

प्रश्न 30 के विकल्प

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उत्तरA · 24 kg

  1. हानि को −5% लिखें, और +9% के दोनों ओर −5% और +15% पर एलीगेशन लगाएँ।

  2. हानि वाला भाग : लाभ वाला भाग = (15−9)(15 - 9) : (9−(−5))=6:14=3:7(9 - (-5)) = 6 : 14 = 3 : 7.

  3. हानि पर बेची गई मात्रा = 310×80=24\frac{3}{10} \times 80 = 24 kg.

ध्यान देने योग्य

−5% के स्थान पर +5% लेने से 6:46 : 4 और गलत उत्तर 48 kg आता है। 56 kg लाभ पर बेची गई मात्रा है।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कॉलेज क्विज़ में लड़कों का औसत 68 अंक और लड़कियों का औसत 78 अंक रहा; कुल औसत 72 रहा। लड़कियों से लड़के 12 अधिक थे। क्विज़ में कितने विद्यार्थियों ने भाग लिया?

प्रश्न 31 के विकल्प

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उत्तरD · 60

  1. लड़के : लड़कियाँ = (78−72):(72−68)=6:4=3:2(78 - 72) : (72 - 68) = 6 : 4 = 3 : 2.

  2. 3−2=13 - 2 = 1 भाग का अंतर 12 विद्यार्थी है।

  3. कुल = 5×12=605 \times 12 = 60 विद्यार्थी (36 लड़के और 24 लड़कियाँ)।

ध्यान देने योग्य

36 और 24 क्रमशः लड़कों और लड़कियों की अलग-अलग संख्याएँ हैं। जाँच: 36×68+24×78=2,448+1,872=4,320=60×7236 \times 68 + 24 \times 78 = 2{,}448 + 1{,}872 = 4{,}320 = 60 \times 72.

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जब दो चाय 3:23 : 2 के अनुपात में मिलाई जाती हैं, तो मिश्रण ₹176 प्रति kg पड़ता है। जब इन्हें 2:32 : 3 के अनुपात में मिलाया जाता है, तो मिश्रण ₹184 प्रति kg पड़ता है। सस्ती चाय का प्रति kg मूल्य क्या है?

प्रश्न 32 के विकल्प

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उत्तरA · ₹160

  1. मान लें मूल्य aa (सस्ती) और bb हैं। तब 3a+2b=5×176=8803a + 2b = 5 \times 176 = 880 और 2a+3b=5×184=9202a + 3b = 5 \times 184 = 920.

  2. जोड़ने पर: 5a+5b=18005a + 5b = 1800, अतः a+b=360a + b = 360.

  3. घटाने पर: a−b=−40a - b = -40.

  4. अतः a=160a = 160 और b=200b = 200; सस्ती चाय ₹160 प्रति kg की है।

ध्यान देने योग्य

₹180 दोनों मिश्रण-मूल्यों का औसत है — यह दोनों चायों के औसत के बराबर है, सस्ती चाय के मूल्य के नहीं। ₹176 केवल पहले मिश्रण का मूल्य है।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बस 6 घंटे में 330 km की दूरी तय करती है। वह कुछ दूरी 40 km/h से और शेष 60 km/h से चलती है। वह कितने km की दूरी 40 km/h से तय करती है?

प्रश्न 33 के विकल्प

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उत्तरA · 60 km

  1. औसत चाल = 3306=55\frac{330}{6} = 55 km/h.

  2. 40 पर समय : 60 पर समय = (60−55):(55−40)=5:15=1:3(60 - 55) : (55 - 40) = 5 : 15 = 1 : 3.

  3. 40 km/h पर समय = 14×6=1.5\frac{1}{4} \times 6 = 1.5 घंटे।

  4. दूरी = 40×1.5=6040 \times 1.5 = 60 km.

ध्यान देने योग्य

चालों पर एलीगेशन से समयों का अनुपात मिलता है, क्योंकि औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय। 1:31 : 3 को दूरी पर लगाने से गलत 82.5 km आता है; 90 km में 1.5 घंटे के लिए 60 km/h ले लिया गया है।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक टंकी में 40% चीनी का विलयन है। उसमें से कुछ निकालकर उतनी ही मात्रा में 16% चीनी का विलयन डाल दिया जाता है। अब टंकी में 25% का विलयन है। विलयन का कितना भाग बदला गया?

प्रश्न 34 के विकल्प

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उत्तरD · 5/85/8

  1. बदलने के बाद टंकी में पुराने 40% विलयन और नए 16% विलयन का मिश्रण है, जिसका औसत 25% है।

  2. पुराना : नया = (25−16):(40−25)=9:15=3:5(25 - 16) : (40 - 25) = 9 : 15 = 3 : 5.

  3. बदला गया भाग = 53+5=58\frac{5}{3 + 5} = \frac{5}{8}.

ध्यान देने योग्य

3/83/8 वह भाग है जो बचा रहा, और 3/53/5 पुराना : नया अनुपात है जिसे भिन्न की तरह पढ़ लिया गया। जाँच: 3/8×40+5/8×16=15+10=253/8 \times 40 + 5/8 \times 16 = 15 + 10 = 25.

मिश्रण और प्रतिस्थापन

26 प्रश्न

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक डिब्बे में 50 लीटर शुद्ध दूध है। किरण उसमें से 10 लीटर निकालकर 10 लीटर पानी डाल देती है। अब डिब्बे में दूध और पानी का अनुपात क्या है?

प्रश्न 35 के विकल्प

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उत्तरC · 4:14 : 1

  1. बचा दूध = 50−10=4050 - 10 = 40 लीटर।

  2. पानी = 10 लीटर (जितना डाला गया)।

  3. दूध : पानी = 40:10=4:140 : 10 = 4 : 1.

ध्यान देने योग्य

5:15 : 1 में मूल 50 लीटर की तुलना 10 लीटर पानी से की गई है, यह भूलकर कि 10 लीटर दूध बाहर निकल गया।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दूध और पानी के 60 लीटर मिश्रण में दूध और पानी 7:37 : 3 के अनुपात में हैं। कितना पानी मिलाया जाए कि अनुपात 7:57 : 5 हो जाए?

प्रश्न 36 के विकल्प

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उत्तरA · 12 लीटर

  1. दूध = 710×60=42\frac{7}{10} \times 60 = 42 लीटर; पानी = 18 लीटर।

  2. दूध नहीं बदलता, इसलिए नए अनुपात में 7 भाग = 42 लीटर और 1 भाग = 6 लीटर।

  3. नया पानी = 5×6=305 \times 6 = 30 लीटर, इसलिए 30−18=1230 - 18 = 12 लीटर मिलाएँ।

ध्यान देने योग्य

30 लीटर पानी की नई कुल मात्रा है, मिलाई जाने वाली मात्रा नहीं। 18 लीटर पहले से मौजूद पानी है।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

नेहा के पास 20% नमक वाला 30 लीटर विलयन है। नमक की सांद्रता 12% तक घटाने के लिए उसे कितना पानी मिलाना होगा?

प्रश्न 37 के विकल्प

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उत्तरD · 20 लीटर

  1. नमक = 0.20×30=60.20 \times 30 = 6 लीटर, और पानी मिलाने से यह नहीं बदलता।

  2. 6 लीटर को 12% बनाने के लिए कुल मात्रा 60.12=50\frac{6}{0.12} = 50 लीटर होनी चाहिए।

  3. मिलाया जाने वाला पानी = 50−30=2050 - 30 = 20 लीटर।

ध्यान देने योग्य

नमक को स्थिर रखें और नई कुल मात्रा ज्ञात करें। 8 लीटर केवल प्रतिशतों को घटाता है (20−12)(20 - 12), जिसका यहाँ कोई अर्थ नहीं है।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक जग में दूध–पानी का 45 लीटर मिश्रण 7:27 : 2 के अनुपात में है। आशा उसमें 5 लीटर पानी मिलाती है। नए मिश्रण का कितना प्रतिशत पानी है?

प्रश्न 38 के विकल्प

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उत्तरB · 30%

  1. आरंभ में पानी = 29×45=10\frac{2}{9} \times 45 = 10 लीटर।

  2. मिलाने के बाद: पानी = 15 लीटर, कुल = 50 लीटर।

  3. पानी % = 1550×100=30%\frac{15}{50} \times 100 = 30\%.

ध्यान देने योग्य

33⅓% में 15 को पुरानी कुल मात्रा 45 लीटर से भाग दिया गया है; मिलाया गया पानी कुल मात्रा को भी बढ़ाता है।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक टंकी में 64 लीटर शुद्ध दूध है। उसमें से 16 लीटर निकालकर उतना ही पानी डाल दिया जाता है। यह क्रिया एक बार और की जाती है। टंकी में कितना दूध बचा है?

प्रश्न 39 के विकल्प

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उत्तरC · 36 लीटर

  1. प्रत्येक क्रिया के बाद दूध का 64−1664=34\frac{64 - 16}{64} = \frac{3}{4} भाग बचता है।

  2. दो क्रियाओं के बाद: 64×(34)2=64×916=3664 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 64 \times \frac{9}{16} = 36 लीटर।

ध्यान देने योग्य

32 लीटर गलत रूप से दो बार 16 लीटर दूध घटाता है; दूसरी बार निकाले गए 16 लीटर में केवल तीन-चौथाई दूध होता है।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक 40 लीटर मिश्रण में 25% पानी है और शेष दूध। कितना दूध मिलाया जाए कि मिश्रण में पानी केवल 20% रह जाए?

प्रश्न 40 के विकल्प

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उत्तरA · 10 लीटर

  1. पानी = 0.25×40=100.25 \times 40 = 10 लीटर, और यह नहीं बदलता।

  2. 10 लीटर को 20% बनाने के लिए कुल मात्रा 100.20=50\frac{10}{0.20} = 50 लीटर होनी चाहिए।

  3. मिलाया जाने वाला दूध = 50−40=1050 - 40 = 10 लीटर।

ध्यान देने योग्य

50 लीटर नई कुल मात्रा है, और 40 लीटर अंतिम मिश्रण में दूध है — इनमें से कोई भी मिलाई गई मात्रा नहीं है।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक 56 लीटर मिश्रण में दूध और पानी 5:25 : 2 के अनुपात में हैं। अनुपात 3:13 : 1 करने के लिए कितना दूध मिलाना होगा?

प्रश्न 41 के विकल्प

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उत्तरA · 8 लीटर

  1. दूध = 57×56=40\frac{5}{7} \times 56 = 40 लीटर; पानी = 16 लीटर।

  2. पानी 16 ही रहता है, इसलिए दूध 3×16=483 \times 16 = 48 लीटर होना चाहिए।

  3. मिलाया जाने वाला दूध = 48−40=848 - 40 = 8 लीटर।

ध्यान देने योग्य

48 लीटर अंत में आवश्यक दूध है, मिलाया जाने वाला दूध नहीं।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक ट्रे में 40 kg खारा पानी है जिसमें 5% नमक है। खारे पानी में 8% नमक होने के लिए कितने kg पानी वाष्पित होना चाहिए?

प्रश्न 42 के विकल्प

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उत्तरA · 15 kg

  1. नमक = 0.05×40=20.05 \times 40 = 2 kg, जो वही रहता है।

  2. 2 kg को 8% बनाने के लिए कुल मात्रा 20.08=25\frac{2}{0.08} = 25 kg होनी चाहिए।

  3. वाष्पित पानी = 40−25=1540 - 25 = 15 kg.

ध्यान देने योग्य

25 kg वह है जो बचता है, न कि जो वाष्पित होता है। 64 kg में 40 को 8÷58 \div 5 से गुणा किया गया है — यह विचार पानी मिलाने के लिए सही है, यहाँ उलटा है।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बीकर में 60% अम्ल वाला 20 लीटर विलयन है। उसमें से 5 लीटर निकालकर पानी डाल दिया जाता है। अब अम्ल की सांद्रता क्या है?

प्रश्न 43 के विकल्प

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उत्तरB · 45%

  1. आरंभ में अम्ल = 0.60×20=120.60 \times 20 = 12 लीटर।

  2. 20 में से 5 लीटर निकालने पर अम्ल का 14\frac{1}{4} भाग निकल जाता है, और 12×34=912 \times \frac{3}{4} = 9 लीटर बचता है।

  3. आयतन फिर से 20 लीटर हो जाता है, इसलिए सांद्रता = 920=45%\frac{9}{20} = 45\%.

ध्यान देने योग्य

48% में कुछ निकाले बिना पानी मिला दिया गया है (12÷25)(12 \div 25)। 55% केवल 60 में से 5 घटाता है।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बर्तन में 40 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार 4 लीटर निकालकर उतना ही पानी डाल दिया जाता है। ऐसी दो क्रियाओं के बाद कितना दूध बचता है?

प्रश्न 44 के विकल्प

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उत्तरC · 32.4 लीटर

  1. प्रत्येक क्रिया के बाद दूध का 40−440=910\frac{40 - 4}{40} = \frac{9}{10} भाग बचता है।

  2. दो क्रियाओं के बाद: 40×(910)2=40×0.81=32.440 \times \left(\frac{9}{10}\right)^2 = 40 \times 0.81 = 32.4 लीटर।

ध्यान देने योग्य

32 लीटर दो बार 4 लीटर दूध घटाता है; 29.16 लीटर तीन क्रियाओं के बाद का परिणाम है।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक ड्रम में 80 लीटर शुद्ध नारियल तेल है। 8 लीटर निकालकर उसकी जगह सस्ता तेल डाला जाता है, और यह कुल तीन बार किया जाता है। ड्रम में कितना नारियल तेल बचा है?

प्रश्न 45 के विकल्प

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उत्तरB · 58.32 लीटर

  1. प्रत्येक क्रिया के बाद नारियल तेल का 80−880=0.9\frac{80 - 8}{80} = 0.9 भाग बचता है।

  2. तीन क्रियाओं के बाद: 80×0.93=80×0.729=58.3280 \times 0.9^3 = 80 \times 0.729 = 58.32 लीटर।

ध्यान देने योग्य

56 लीटर तीन बार 8 लीटर घटाता है, यह भूलकर कि बाद में निकाले गए तेल में कुछ सस्ता तेल भी होता है। 64.8 लीटर दो क्रियाओं पर ही रुक जाता है।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पात्र में 60 लीटर शुद्ध दूध भरा है। 12 लीटर निकालकर उतना ही पानी डाल दिया जाता है, और फिर यह एक बार दोहराया जाता है। अब दूध और पानी का अनुपात क्या है?

प्रश्न 46 के विकल्प

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उत्तरD · 16:916 : 9

  1. प्रत्येक क्रिया के बाद दूध का 4860=45\frac{48}{60} = \frac{4}{5} भाग बचता है।

  2. दूध = 60×(45)2=38.460 \times \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 38.4 लीटर; पानी = 60−38.4=21.660 - 38.4 = 21.6 लीटर।

  3. दूध : पानी = 38.4:21.6=384:216=16:938.4 : 21.6 = 384 : 216 = 16 : 9.

ध्यान देने योग्य

शॉर्टकट: दूध का भाग = (4/5)(4/5)² = 16/2516/25, इसलिए दूध : पानी = 16:(25−16)=16:916 : (25 - 16) = 16 : 9. 3:23 : 2 दो बार 12 लीटर दूध घटाने से आता है; 4:14 : 1 एक क्रिया के बाद का अनुपात है।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जार P में दूध और पानी 5:35 : 3 के अनुपात में हैं, और जार Q में 7:17 : 1 के अनुपात में। P और Q की सामग्री को किस अनुपात में मिलाया जाए कि दूध और पानी 2:12 : 1 के अनुपात में हों?

प्रश्न 47 के विकल्प

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उत्तरC · 5:15 : 1

  1. दूध के भाग: P = 58\frac{5}{8}, Q = 78\frac{7}{8}, लक्ष्य = 23\frac{2}{3}.

  2. P:Q=(78−23):(23−58)=524:124P : Q = \left(\frac{7}{8} - \frac{2}{3}\right) : \left(\frac{2}{3} - \frac{5}{8}\right) = \frac{5}{24} : \frac{1}{24}.

  3. = 5:15 : 1.

ध्यान देने योग्य

एलीगेशन लगाने से पहले हर मिश्रण को पूरे मिश्रण में दूध के भाग के रूप में लिखें। 1:51 : 5 उलटा अनुपात है; लक्ष्य 2/32/3, P के 5/85/8 के बहुत निकट है।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पात्र शुद्ध दूध से भरा है। 9 लीटर निकालकर उतना ही पानी डाल दिया जाता है, और यह क्रिया एक बार दोहराई जाती है। अब दूध और पानी 16:916 : 9 के अनुपात में हैं। पात्र की धारिता क्या है?

प्रश्न 48 के विकल्प

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उत्तरD · 45 लीटर

  1. अब दूध का भाग = 1616+9=1625\frac{16}{16 + 9} = \frac{16}{25}.

  2. अतः (1−9C)2=1625\left(1 - \frac{9}{C}\right)^2 = \frac{16}{25}, जिससे 1−9C=451 - \frac{9}{C} = \frac{4}{5}.

  3. 9C=15\frac{9}{C} = \frac{1}{5}, अतः C=45C = 45 लीटर।

ध्यान देने योग्य

16/2516/25 का वर्गमूल लें, 16:916 : 9 का नहीं — सूत्र में दूध को पूरे के भाग के रूप में लिया जाता है। 4:34 : 3 लेने पर 21 लीटर आता है।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक 90 लीटर के डिब्बे में दूध और पानी 7:27 : 2 के अनुपात में हैं। प्रिया उसमें से 18 लीटर मिश्रण निकालकर 18 लीटर पानी डाल देती है। दूध और पानी का नया अनुपात क्या है?

प्रश्न 49 के विकल्प

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उत्तरB · 28:1728 : 17

  1. आरंभ में: दूध = 70 लीटर, पानी = 20 लीटर।

  2. निकाले गए 18 लीटर 7:27 : 2 के अनुपात में हैं: दूध 14 लीटर, पानी 4 लीटर।

  3. बचा: दूध 56, पानी 16. 18 लीटर पानी डालने के बाद: दूध 56, पानी 34.

  4. दूध : पानी = 56:34=28:1756 : 34 = 28 : 17.

ध्यान देने योग्य

26:1926 : 19 निकाले गए 18 लीटर को शुद्ध दूध मान लेता है; 28:1928 : 19 यह भूल जाता है कि 4 लीटर पानी भी डिब्बे से निकल गया।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रसायनज्ञ 2:32 : 3 के अनुपात में अम्ल और पानी वाले 12 लीटर विलयन को 4:14 : 1 के अनुपात में अम्ल और पानी वाले 8 लीटर विलयन में डालता है। संयुक्त विलयन का कितना प्रतिशत अम्ल है?

प्रश्न 50 के विकल्प

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उत्तरB · 56%

  1. पहले से अम्ल = 25×12=4.8\frac{2}{5} \times 12 = 4.8 लीटर।

  2. दूसरे से अम्ल = 45×8=6.4\frac{4}{5} \times 8 = 6.4 लीटर।

  3. अम्ल % = 4.8+6.420×100=11.220×100=56%\frac{4.8 + 6.4}{20} \times 100 = \frac{11.2}{20} \times 100 = 56\%.

ध्यान देने योग्य

60%, 40% और 80% का औसत है, जो केवल बराबर आयतनों के लिए सही है। 64% में आयतन आपस में बदल दिए गए हैं; 44% पानी का प्रतिशत है।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मोहन के पास 12 लीटर हैंड सैनिटाइज़र है जिसमें 75% अल्कोहल है। अल्कोहल को 60% तक घटाने के लिए उसे कितना पानी मिलाना चाहिए?

प्रश्न 51 के विकल्प

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उत्तरB · 3 लीटर

  1. अल्कोहल = 0.75×12=90.75 \times 12 = 9 लीटर, जो स्थिर रहता है।

  2. 9 लीटर को 60% बनाने के लिए कुल मात्रा 90.60=15\frac{9}{0.60} = 15 लीटर होनी चाहिए।

  3. मिलाया जाने वाला पानी = 15−12=315 - 12 = 3 लीटर।

ध्यान देने योग्य

1.8 लीटर, 12 लीटर का 15% (75−60)(75 - 60) है, जबकि तनुकरण ऐसे नहीं होता। 15 लीटर अंतिम आयतन है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक टंकी में 40% अम्ल वाला 60 लीटर विलयन है। 15 लीटर निकालकर उसकी जगह 80% अम्ल वाला 15 लीटर विलयन डाला जाता है। अब विलयन की सांद्रता क्या है?

प्रश्न 52 के विकल्प

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उत्तरC · 50%

  1. आरंभ में अम्ल = 0.40×60=240.40 \times 60 = 24 लीटर।

  2. निकाला गया: 0.40×15=60.40 \times 15 = 6 लीटर अम्ल; डाला गया: 0.80×15=120.80 \times 15 = 12 लीटर।

  3. अब अम्ल = 24−6+12=3024 - 6 + 12 = 30 लीटर, 60 लीटर में, अर्थात 50%.

ध्यान देने योग्य

48% में पहले 15 लीटर निकाले बिना 80% विलयन मिला दिया गया है। 60%, 40% और 80% का साधारण औसत है, और 30% डाले गए द्रव को पानी मान लेता है।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक डिब्बे में 40 लीटर शुद्ध जूस है। कुछ जूस निकालकर उतना ही पानी डाल दिया जाता है, और यही क्रिया उतनी ही मात्रा से दोहराई जाती है। अब डिब्बे में 25.6 लीटर जूस है। हर बार कितने लीटर निकाले गए?

प्रश्न 53 के विकल्प

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उत्तरA · 8 लीटर

  1. 40×(1−x40)2=25.640 \times \left(1 - \frac{x}{40}\right)^2 = 25.6, अतः (1−x40)2=0.64\left(1 - \frac{x}{40}\right)^2 = 0.64.

  2. 1−x40=0.81 - \frac{x}{40} = 0.8, अतः x40=0.2\frac{x}{40} = 0.2.

  3. x=0.2×40=8x = 0.2 \times 40 = 8 लीटर।

ध्यान देने योग्य

14.4 लीटर कुल घटा हुआ जूस है (40−25.6)(40 - 25.6), मानो केवल एक ही क्रिया हुई हो। 12.8 लीटर में वर्गमूल लेने के बजाय 25.6 को आधा कर दिया गया है।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक 50 लीटर मिश्रण में दूध और पानी 3:23 : 2 के अनुपात में हैं। गलती से उसमें 10 लीटर पानी मिला दिया जाता है। अनुपात फिर से 3:23 : 2 करने के लिए अब कितना दूध मिलाना होगा?

प्रश्न 54 के विकल्प

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उत्तरA · 15 लीटर

  1. आरंभ में: दूध 30 लीटर, पानी 20 लीटर। गलती के बाद: पानी 30 लीटर।

  2. 3:23 : 2 के लिए दूध 32×30=45\frac{3}{2} \times 30 = 45 लीटर होना चाहिए।

  3. मिलाया जाने वाला दूध = 45−30=1545 - 30 = 15 लीटर।

ध्यान देने योग्य

45 लीटर आवश्यक कुल दूध है, मिलाई जाने वाली मात्रा नहीं। 10 लीटर दूध मिलाने से 10 लीटर पानी का प्रभाव समाप्त नहीं होता, क्योंकि अनुपात 1:11 : 1 नहीं है।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सुनीता 3:13 : 1 के अनुपात वाले दूध–पानी के 20 लीटर मिश्रण और 3:23 : 2 के अनुपात वाले दूध–पानी के 30 लीटर मिश्रण को एक बड़े बर्तन में डालती है। बर्तन में दूध और पानी का अनुपात क्या है?

प्रश्न 55 के विकल्प

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उत्तरA · 33:1733 : 17

  1. पहला मिश्रण: दूध = 34×20=15\frac{3}{4} \times 20 = 15, पानी = 5 लीटर।

  2. दूसरा मिश्रण: दूध = 35×30=18\frac{3}{5} \times 30 = 18, पानी = 12 लीटर।

  3. कुल: दूध 33, पानी 17, अतः दूध : पानी = 33:1733 : 17.

ध्यान देने योग्य

2:12 : 1 अनुपात के पदों को जोड़ देता है (3+3:1+2)(3 + 3 : 1 + 2), जिससे आयतनों की उपेक्षा होती है। 69:3169 : 31 में दोनों आयतन आपस में बदल दिए गए हैं।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक 60 लीटर मिश्रण में दूध और पानी 4:14 : 1 के अनुपात में हैं। मिश्रण का कितने लीटर निकालकर पानी से बदला जाए कि दूध और पानी 1:11 : 1 के अनुपात में हो जाएँ?

प्रश्न 56 के विकल्प

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उत्तरD · 22.5 लीटर

  1. अभी दूध = 48 लीटर। 60 लीटर में 1:11 : 1 के लिए दूध घटकर 30 लीटर होना चाहिए।

  2. xx लीटर निकालने पर दूध का x60\frac{x}{60} भाग निकलता है: 48(1−x60)=3048\left(1 - \frac{x}{60}\right) = 30.

  3. 1−x60=581 - \frac{x}{60} = \frac{5}{8}, अतः x=60×38=22.5x = 60 \times \frac{3}{8} = 22.5 लीटर।

ध्यान देने योग्य

18 लीटर (48−30)(48 - 30) यह मान लेता है कि निकाला गया द्रव शुद्ध दूध है; उसमें चार-पाँचवाँ भाग ही दूध है, इसलिए अधिक निकालना होगा। जाँच: 22.5 लीटर के साथ 18 लीटर दूध निकलता है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक ड्रम में 125 लीटर शुद्ध दूध है। 25 लीटर निकालकर उतना ही पानी डाल दिया जाता है; यह कुल तीन बार किया जाता है। दूध और पानी का अंतिम अनुपात क्या है?

प्रश्न 57 के विकल्प

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उत्तरD · 64:6164 : 61

  1. प्रत्येक क्रिया के बाद दूध का 125−25125=45\frac{125 - 25}{125} = \frac{4}{5} भाग बचता है।

  2. तीन क्रियाओं के बाद दूध = 125×(45)3=125×64125=64125 \times \left(\frac{4}{5}\right)^3 = 125 \times \frac{64}{125} = 64 लीटर।

  3. पानी = 125−64=61125 - 64 = 61 लीटर, अतः दूध : पानी = 64:6164 : 61.

ध्यान देने योग्य

2:32 : 3 तीन बार 25 लीटर दूध घटाने से आता है (50 लीटर बचता है)। 16:916 : 9 केवल दो क्रियाओं के बाद का अनुपात है।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक 32 लीटर का डिब्बा शुद्ध जूस से भरा है। हर बार 8 लीटर निकालकर उतना ही पानी डाल दिया जाता है। कम-से-कम कितनी ऐसी क्रियाओं के बाद डिब्बे में जूस आधे से कम रह जाता है?

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उत्तरB · 3

  1. प्रत्येक क्रिया के बाद जूस का 34\frac{3}{4} भाग बचता है।

  2. 1 क्रिया के बाद: 24 लीटर; 2 के बाद: 18 लीटर — अब भी 32 के आधे (16 लीटर) से अधिक।

  3. 3 क्रियाओं के बाद: 18×34=13.518 \times \frac{3}{4} = 13.5 लीटर, जो 16 से कम है।

ध्यान देने योग्य

दो क्रियाएँ तभी उत्तर होतीं जब हर बार 8 लीटर शुद्ध जूस निकलता (32−16=16)(32 - 16 = 16)। पहली क्रिया के बाद निकाले गए 8 लीटर में कुछ पानी भी होता है।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मिश्रण A में दूध और पानी 3:13 : 1 के अनुपात में हैं और मिश्रण B में 1:11 : 1 के अनुपात में। B के 18 लीटर के साथ A के कितने लीटर मिलाए जाएँ कि दूध और पानी 2:12 : 1 के अनुपात वाला मिश्रण बने?

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उत्तरD · 36 लीटर

  1. दूध के भाग: A = 34\frac{3}{4}, B = 12\frac{1}{2}, लक्ष्य = 23\frac{2}{3}.

  2. A:B=(23−12):(34−23)=16:112=2:1A : B = \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{2}\right) : \left(\frac{3}{4} - \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} : \frac{1}{12} = 2 : 1.

  3. A = 2×18=362 \times 18 = 36 लीटर।

ध्यान देने योग्य

अनुपात उलटने पर 9 लीटर आता है। जाँच: दूध = 27+9=3627 + 9 = 36, पानी = 9+9=189 + 9 = 18, और 36:18=2:136 : 18 = 2 : 1.

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक 40 लीटर के डिब्बे में दूध और पानी 3:13 : 1 के अनुपात में हैं। अनिल 8 लीटर निकालकर उतना ही पानी डाल देता है, फिर यही एक बार और करता है। अब डिब्बे का कितना प्रतिशत पानी है?

प्रश्न 60 के विकल्प

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उत्तरC · 52%

  1. आरंभ में दूध = 34×40=30\frac{3}{4} \times 40 = 30 लीटर।

  2. प्रत्येक क्रिया के बाद दूध का 40−840=45\frac{40 - 8}{40} = \frac{4}{5} भाग बचता है।

  3. बचा दूध = 30×(45)2=19.230 \times \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 19.2 लीटर, अतः पानी = 40−19.2=20.840 - 19.2 = 20.8 लीटर।

  4. पानी % = 20.840×100=52%\frac{20.8}{40} \times 100 = 52\%.

ध्यान देने योग्य

डिब्बे में आरंभ में शुद्ध दूध न होने पर भी सूत्र दूध पर लागू होता है। 48% दूध का प्रतिशत है; 40% केवल एक क्रिया के बाद का पानी है; 55% हर बार 6 लीटर दूध घटाता है।

क्षेत्रों के नाम NTA के हैं। उनके भीतर के अध्याय EduFarming का अपना विभाजन हैं, NTA का नहीं।