CUET सामान्य योग्यता के लिए संख्या पद्धति

उत्तरA · $\sqrt{12}$

1. $\sqrt{49} = 7$, एक पूर्णांक है, इसलिए यह परिमेय (rational) है।

2. $\frac{22}{7}$ दो पूर्णांकों का अनुपात है, और $0.\overline{3} = \frac{1}{3}$; दोनों परिमेय हैं।

3. $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, और $\sqrt{3}$ को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए $\sqrt{12}$ अपरिमेय है।

उत्तरA · 5,994

1. अंक 6 हज़ार के स्थान पर है, इसलिए इसका स्थानीय मान 6,000 है।

2. इसका अंकित मान स्वयं अंक, अर्थात् 6 है।

3. अंतर = $6{,}000 - 6 = 5{,}994$

उत्तरB · 7

1. 31 से 59 तक की प्रत्येक विषम संख्या की जाँच करें जिसके अंत में 5 न हो।

2. अभाज्य संख्याएँ: 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59

3. अर्थात् 7 अभाज्य संख्याएँ।

उत्तरB · ₹325

1. वह पहली 25 प्राकृत संख्याओं के योग के बराबर बचत करता है।

2. योग = $\frac{n(n+1)}{2} = \frac{25 \times 26}{2} = 325$

3. कुल बचत = ₹325

उत्तरD · 15 और 28

1. दो संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं जब उनका एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 हो।

2. 14 और 21 में 7 उभयनिष्ठ है; 18 और 27 में 9; 22 और 33 में 11।

3. $15 = 3 \times 5$ और $28 = 2 \times 2 \times 7$ में कोई भी अभाज्य उभयनिष्ठ नहीं है, इसलिए 15 और 28 सह-अभाज्य हैं।

उत्तरD · 225

1. पंक्तियों में पहली 15 विषम संख्याएँ हैं: 1, 3, 5, …, 29

2. पहली n विषम संख्याओं का योग = $n^2 = 15^2 = 225$

उत्तरC · 5,900

1. 5 हज़ार के स्थान पर है, इसलिए इसका स्थानीय मान 5,000 है।

2. 9 सैकड़े के स्थान पर है, इसलिए इसका स्थानीय मान 900 है।

3. योग = $5{,}000 + 900 = 5{,}900$

उत्तरC · 2,550

1. सम संख्याएँ 2, 4, …, 100 पहली 50 सम संख्याएँ हैं।

2. पहली n सम संख्याओं का योग = $n(n+1) = 50 \times 51 = 2{,}550$

उत्तरB · 2,100

1. विषम संख्याएँ 41, 43, …, 99 हैं।

2. पदों की संख्या = $\frac{99 - 41}{2} + 1 = 30$

3. योग = पदों की संख्या × पहले और अंतिम पद का औसत = $30 \times \frac{41 + 99}{2} = 30 \times 70 = 2{,}100$

उत्तरB · 11

1. −7 और 5 के बीच (दोनों को छोड़कर) पूर्णांक −6, −5, …, 0, …, 4 हैं।

2. −6 से −1 तक 6 पूर्णांक, फिर 0, फिर 1 से 4 तक 4 पूर्णांक।

3. कुल = $6 + 1 + 4 = 11$

उत्तरB · $\frac{13}{20}$

1. दशमलव रूप में, $\frac{3}{5} = 0.6$ और $\frac{2}{3} \approx 0.667$

2. $\frac{1}{2} = 0.5$ और $\frac{4}{7} \approx 0.571$ बहुत छोटे हैं; $\frac{7}{10} = 0.7$ बहुत बड़ा है।

3. $\frac{13}{20} = 0.65$, 0.6 और 0.667 के बीच स्थित है।

उत्तरC · 51

1. माना संख्याएँ $x - 2$, x, $x + 2$ हैं; इनका योग $3x = 147$ है।

2. अतः $x = 49$, जो बीच की संख्या है।

3. सबसे बड़ी संख्या $49 + 2 = 51$ है।

उत्तरB · 3

1. दो अंकों की वे संख्याएँ जिनके अंकों का योग 10 है: 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91

2. सम संख्याएँ और 55 बाहर हो जाती हैं, बचती हैं 19, 37, 73, 91।

3. $91 = 7 \times 13$ भाज्य है, इसलिए अभाज्य संख्याएँ 19, 37 और 73 हैं: कुल 3 संख्याएँ।

उत्तरB · 20

1. हमें $\frac{n(n+1)}{2} = 210$ चाहिए, अर्थात् $n(n+1) = 420$

2. $20 \times 21 = 420$, इसलिए $n = 20$

उत्तरB · 3,775

1. 1 से 100 तक का योग = $\frac{100 \times 101}{2} = 5{,}050$

2. 1 से 50 तक का योग = $\frac{50 \times 51}{2} = 1{,}275$

3. 51 से 100 तक का योग = $5{,}050 - 1{,}275 = 3{,}775$

उत्तरA · $n^2 + n$

1. $n^2 + n = n(n + 1)$, दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है।

2. किन्हीं दो क्रमागत पूर्णांकों में से एक सम होता है, इसलिए गुणनफल सदैव सम होता है।

3. शेष व्यंजक किसी-न-किसी n के लिए विफल होते हैं: $n = 2$ पर $n^2 + 1 = 5$, $n = 2$ पर $3n + 1 = 7$, $n = 1$ पर $n^3 + 2 = 3$

उत्तरB · $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$

1. $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$, जो परिमेय है।

2. $(1 + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{2}$, अपरिमेय।

3. $\sqrt{3} + \sqrt{12} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$, अपरिमेय।

4. $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6}$, अपरिमेय।

उत्तरC · 1,406

1. पहली n विषम संख्याओं का योग = $n^2 = 1{,}369$, इसलिए $n = 37$

2. पहली n सम संख्याओं का योग = $n(n + 1) = 37 \times 38 = 1{,}406$

उत्तरA · 61,512

1. कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है जब उसके अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो।

2. $436 \div 8 = 54.5$, $620 \div 8 = 77.5$, $324 \div 8 = 40.5$ — ये पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं।

3. $512 \div 8 = 64$, इसलिए 61,512, 8 से विभाज्य है।

उत्तरD · 7,381

1. 11 का नियम: एकांतर अंकों के योगों का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए।

2. 7,381: $(7 + 8) - (3 + 1) = 15 - 4 = 11$, जो 11 का गुणज है।

3. 2,845 से $6 - 13 = -7$, 4,617 से $5 - 13 = -8$ और 6,473 से $13 - 7 = 6$ मिलता है।

उत्तरD · 5

1. कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 का गुणज हो।

2. $3 + 4 + 6 = 13$, और 9 का अगला गुणज 18 है।

3. अतः लुप्त अंक $18 - 13 = 5$ है।

उत्तरA · 4,326

1. 6 से विभाज्य होने का अर्थ है 2 और 3 दोनों से विभाज्य होना।

2. 4,326 सम है और इसके अंकों का योग 15 है, जो 3 का गुणज है — यह दोनों जाँचों में सफल है।

3. 5,331 विषम है; 6,442 (अंकों का योग 16) और 7,258 (अंकों का योग 22) 3 की जाँच में विफल हैं।

उत्तरC · 9

1. $13 \times 192 = 2{,}496$, इसलिए 2,500 को 13 से भाग देने पर शेषफल 4 बचता है।

2. अगले गुणज $13 \times 193 = 2{,}509$ तक पहुँचने के लिए उसे $13 - 4 = 9$ और चाहिए।

उत्तरD · 7,332

1. कोई संख्या 4 से विभाज्य होती है जब उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो।

2. 46, 18 और 10, 4 से विभाज्य नहीं हैं।

3. $32 = 4 \times 8$, इसलिए 7,332, 4 से विभाज्य है।

उत्तरC · 2

1. कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 3 का गुणज हो।

2. $7 + 4 + 5 = 16$; 3 का अगला गुणज 18 है।

3. सबसे छोटा अंक $18 - 16 = 2$ है।

उत्तरB · 8

1. Divide 3000 by 17 and look at the remainder rather than the quotient.

2. $17 \times 176 = 2992$, and $3000 - 2992 = 8$, so the remainder is 8.

3. Subtracting the remainder leaves an exact multiple: $3000 - 8 = 2992 = 17 \times 176$.

4. So 8 is the smallest number that works.

उत्तरD · 6

1. 12 से विभाज्य होने का अर्थ है 3 और 4 दोनों से विभाज्य होना।

2. 3 के लिए: $5 + 2 + A + 8 = 15 + A$, 3 का गुणज होना चाहिए, इसलिए $A = 0$, 3, 6 या 9

3. 4 के लिए: अंतिम दो अंक A8, 4 से विभाज्य होने चाहिए; 38 नहीं है, 68 है। (4 और 5 तो 3 की जाँच में ही विफल हो जाते हैं।)

4. अतः $A = 6$ $(5{,}268 = 12 \times 439)$

उत्तरA · 1,005

1. 15 से विभाज्य होने का अर्थ है 3 और 5 दोनों से विभाज्य होना।

2. संख्या के अंत में 0 या 5 होना चाहिए: 1,000 (अंकों का योग 1, 3 की जाँच में विफल), फिर 1,005 (अंकों का योग 6, सफल)।

3. $1{,}005 = 15 \times 67$

उत्तरB · 28

1. 100 के बाद 7 का पहला गुणज $105 = 7 \times 15$ है।

2. 300 से पहले 7 का अंतिम गुणज $294 = 7 \times 42$ है।

3. गिनती = $42 - 15 + 1 = 28$

उत्तरC · 8

1. 3 और 4 दोनों से विभाज्य होने का अर्थ है 12 से विभाज्य होना।

2. 12 के दो अंकों वाले गुणज: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96

3. अर्थात् 8 सीटें।

उत्तरD · 9

1. विषम स्थानों (पहला, तीसरा, पाँचवाँ) के अंक: $6 + 4 + 2 = 12$। सम स्थानों के अंक: $\square + 3$

2. अंतर $12 - (\square + 3) = 9 - \square$, 0 या 11 का गुणज होना चाहिए।

3. अतः $\square = 9$, जिससे $69{,}432 = 11 \times 6{,}312$ मिलता है।

उत्तरD · 99,992

1. 99,999 से शुरू करें और अंतिम तीन अंक देखें: 999

2. 999 से अधिक न होने वाला 8 का सबसे बड़ा गुणज 992 $(8 \times 124)$ है।

3. अतः उत्तर 99,992 है।

उत्तरC · 9

1. कोई संख्या 25 से विभाज्य होती है जब उसके अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 हों।

2. अंतिम दो अंक ☐5 हैं, इसलिए ये 25 या 75 होने चाहिए: $\square = 2$ या 7

3. संभावित अंकों का योग = $2 + 7 = 9$

उत्तरA · 2,358

1. 18 से विभाज्य होने का अर्थ है 2 और 9 दोनों से विभाज्य होना।

2. 2,358 सम है और इसके अंकों का योग 18 है, जो 9 का गुणज है — यह दोनों जाँचों में सफल है।

3. 3,465 के अंकों का योग 18 है पर यह विषम है; 4,326 (अंकों का योग 15) और 7,142 (अंकों का योग 14) 9 की जाँच में विफल हैं।

उत्तरA · 1,00,001

1. छह अंकों की सबसे छोटी संख्या 1,00,000 है; इसके एकांतर अंकों का अंतर $(1 + 0 + 0) - (0 + 0 + 0) = 1$ है।

2. 1,00,001 के अंक 1, 0, 0, 0, 0, 1 हैं: विषम स्थान $1 + 0 + 0 = 1$, सम स्थान $0 + 0 + 1 = 1$

3. अंतर 0 है, इसलिए 1,00,001, 11 से विभाज्य है (यह $11 \times 9{,}091$ के बराबर है)।

उत्तरA · 2

1. $72 = 8 \times 9$, और 8 तथा 9 सह-अभाज्य हैं, इसलिए संख्या को दोनों जाँचों में सफल होना चाहिए।

2. 9 के लिए: $4 + 7 + \square + 3 + 2 = 16 + \square$, 9 का गुणज होना चाहिए, इसलिए $\square = 2$

3. 8 के लिए: अंतिम तीन अंक $232 = 8 \times 29$ बनते हैं, जो सफल है।

4. अतः $\square = 2$, जिससे $47{,}232 = 72 \times 656$ मिलता है।

उत्तरD · 42,750

1. $45 = 5 \times 9$, इसलिए $B = 0$ या 5 होगा और अंकों का योग $11 + A + B$, 9 का गुणज होना चाहिए।

2. यदि $B = 0$: $11 + A = 18$ होना चाहिए, इसलिए $A = 7$, जिससे 42,750 मिलता है।

3. यदि $B = 5$: $16 + A = 18$ होना चाहिए, इसलिए $A = 2$, जिससे 42,255 मिलता है।

4. दोनों में बड़ी संख्या 42,750 है।

उत्तरC · 13

1. abc को दो बार लिखने पर abc × 1,000 + abc = abc × 1,001 मिलता है।

2. $1{,}001 = 7 \times 11 \times 13$

3. अतः ऐसी प्रत्येक संख्या 7, 11 और 13 से विभाज्य है; दिए गए विकल्पों में से 13।

उत्तरA · 80

1. 2 से विभाज्य: 100 संख्याएँ। 5 से विभाज्य: 40 संख्याएँ।

2. दोनों से (अर्थात् 10 से) विभाज्य: 20 संख्याएँ, जो ऊपर दो बार गिनी गई हैं।

3. 2 या 5 से विभाज्य = $100 + 40 - 20 = 120$

4. किसी से भी विभाज्य नहीं = $200 - 120 = 80$

उत्तरB · 3

1. 7 की घातों के इकाई अंक 4 के चक्र में दोहराते हैं: 7, 9, 3, 1

2. $23 \div 4$ का शेषफल 3 है।

3. अतः $7^{23}$ का इकाई अंक $7^3$ के इकाई अंक के समान, अर्थात् 3 है।

उत्तरD · 5

1. 9 से भाग देने पर शेषफल, अंकों के योग को 9 से भाग देने पर मिले शेषफल के बराबर होता है।

2. अंकों का योग = $8 + 3 + 4 + 2 + 1 + 5 = 23$

3. $23 = 9 \times 2 + 5$, इसलिए शेषफल 5 है।

उत्तरC · 6

1. केवल इकाई अंक मायने रखते हैं: $3 \times 7 \times 6$

2. $3 \times 7 = 21$, इकाई अंक 1

3. $1 \times 6 = 6$, इसलिए इकाई अंक 6 है।

उत्तरB · 6

1. योग का शेषफल, शेषफलों के योग के बराबर होता है (भाजक से घटाकर)।

2. $3 + 5 + 6 = 14$

3. $14 = 8 \times 1 + 6$, इसलिए शेषफल 6 है।