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CUET सामान्य योग्यता के लिए म.स. और ल.स. (HCF और LCM)

सीखने में लगभग 20 मिनट · 63 प्रश्न

CUET म.स. और ल.स. सीधे भी पूछता है और घंटियों, टाइलों और शेषफल वाले शाब्दिक प्रश्नों में छिपाकर भी। गणना छोटी होती है; असली कौशल यह पहचानना है कि प्रश्न दोनों में से कौन-सा माँग रहा है। यह पाठ दोनों विचार, दोनों विधियाँ, म.स. × ल.स. का नियम, भिन्न और दशमलव, और शाब्दिक प्रश्नों का हर आम ढाँचा सिखाता है।

पाठ्यक्रम क्षेत्र
General Mental Ability, Numerical Ability
इस पृष्ठ पर · 9 भाग
  1. 01मूल विचार
  2. 02म.स. और ल.स. ज्ञात करना
  3. 03म.स. और ल.स. का संबंध
  4. 04भिन्न और दशमलव
  5. 05शाब्दिक प्रश्न
  6. 06परीक्षा के शॉर्टकट
  7. 07आम गलतियाँ
  8. 08त्वरित पुनरावृत्ति
  9. 09अपनी समझ जाँचें

मूल विचार

म.स. और ल.स. के ज़्यादातर प्रश्न एक ही निर्णय पर टिके होते हैं। क्या प्रश्न वह सबसे बड़ी संख्या माँग रहा है जो दी गई सभी संख्याओं में पूरी-पूरी समा जाए, या वह सबसे छोटी संख्या जिसमें सभी संख्याएँ पूरी-पूरी समा जाएँ? यह तय होते ही गणना कुछ सेकंड का काम है।

म.स. (HCF) क्या है?

दो या अधिक संख्याओं का म.स. (महत्तम समापवर्तक, highest common factor) वह सबसे बड़ी संख्या है जो उनमें से हर एक को पूरा-पूरा विभाजित करती है। इसे GCD (greatest common divisor) भी कहते हैं।

20 के गुणनखंड 1, 2, 4, 5, 10 और 20 हैं। 30 के गुणनखंड 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 और 30 हैं। दोनों में 1, 2, 5 और 10 उभयनिष्ठ हैं, और इनमें सबसे बड़ा 10 है:

म.स.(20,30)=10\text{म.स.}(20, 30) = 10

ल.स. (LCM) क्या है?

दो या अधिक संख्याओं का ल.स. (लघुत्तम समापवर्त्य, least common multiple) वह सबसे छोटी संख्या है जिसे उनमें से हर एक पूरा-पूरा विभाजित करती है।

20 के गुणज 20, 40, 60, 80 आदि हैं। 30 के गुणज 30, 60, 90 आदि हैं। पहला उभयनिष्ठ गुणज 60 है:

ल.स.(20,30)=60\text{ल.स.}(20, 30) = 60

म.स. और ल.स. में क्या अंतर है?

म.स. वह सबसे बड़ी संख्या है जो सभी दी गई संख्याओं को विभाजित करती है। ल.स. वह सबसे छोटी संख्या है जिसे सभी दी गई संख्याएँ विभाजित करती हैं। इसलिए म.स. कभी सबसे छोटी संख्या से बड़ा नहीं हो सकता, और ल.स. कभी सबसे बड़ी संख्या से छोटा नहीं हो सकता।

म.स.ल.स.
अर्थसबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंडसबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज
आकारअधिक से अधिक सबसे छोटी संख्या जितनाकम से कम सबसे बड़ी संख्या जितना
20 और 30 के लिए1060
अभाज्य गुणनखंडों सेउभयनिष्ठ अभाज्य, सबसे छोटी घातसभी अभाज्य, सबसे बड़ी घात
शाब्दिक प्रश्नों मेंसबसे बड़े बराबर हिस्सों में काटनाचीज़ों के फिर से एक साथ होने की प्रतीक्षा

पाँच सेकंड की जाँच

उत्तर चिह्नित करने से पहले दो बातें जाँचिए। म.स. को हर दी गई संख्या को विभाजित करना चाहिए, और हर दी गई संख्या को ल.स. को विभाजित करना चाहिए। किसी संख्या से बड़ा "म.स." या किसी संख्या से छोटा "ल.स." गलत है।

म.स. और ल.स. ज्ञात करना

दो विधियाँ जानने लायक हैं। अभाज्य गुणनखंडन से म.स. और ल.स. दोनों एक साथ मिलते हैं, और यह CUET की ज़्यादातर संख्याओं के लिए ठीक है। भाग विधि केवल म.स. देती है, पर जब संख्याएँ बड़ी हों या उनके गुणनखंड कठिन हों तो यह कहीं तेज़ है। बहुत छोटी संख्याओं के लिए ऊपर की तरह गुणनखंड या गुणज लिख लेना काफ़ी है।

अभाज्य गुणनखंडन से म.स. और ल.स. कैसे ज्ञात करें?

हर संख्या को अभाज्य संख्याओं की घातों के गुणनफल के रूप में लिखिए। म.स. के लिए केवल वे अभाज्य लीजिए जो हर संख्या में हों, प्रत्येक अपनी सबसे छोटी घात पर। ल.स. के लिए किसी भी संख्या में आने वाला हर अभाज्य लीजिए, प्रत्येक अपनी सबसे बड़ी घात पर।

उदाहरण 1 · अभाज्य गुणनखंडन

84, 126 और 210 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए।

  1. हर संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखिए।

    84=22×3×7126=2×32×7210=2×3×5×7\begin{aligned} 84 &= 2^2 \times 3 \times 7 \\ 126 &= 2 \times 3^2 \times 7 \\ 210 &= 2 \times 3 \times 5 \times 7 \end{aligned}

  2. म.स. के लिए, तीनों संख्याओं में आने वाले अभाज्य 2, 3 और 7 हैं। हर एक की सबसे छोटी घात लीजिए: म.स.=2×3×7=42\text{म.स.} = 2 \times 3 \times 7 = 42।

  3. ल.स. के लिए, हर अभाज्य को उसकी सबसे बड़ी घात पर लीजिए: ल.स.=22×32×5×7=1260\text{ल.स.} = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 1260।

उत्तर

म.स.=42\text{म.स.} = 42 और ल.स.=1260\text{ल.स.} = 1260

सावधान

अभाज्य 5 केवल एक संख्या में आता है। वह म.स. से बाहर रहता है, पर ल.स. में उसे अवश्य लेना है।

भाग विधि से म.स. कैसे ज्ञात करते हैं?

बड़ी संख्या को छोटी से भाग दीजिए। फिर पिछले भाजक को शेषफल से भाग दीजिए, और तब तक यही करते रहिए जब तक शेषफल 0 न हो जाए। आपके द्वारा प्रयुक्त अंतिम भाजक ही म.स. है। इसे यूक्लिड की विधि कहते हैं।

उदाहरण 2 · भाग विधि

1183 और 1729 का म.स. ज्ञात कीजिए।

  1. 1729 को 1183 से भाग दीजिए: 1729=1×1183+5461729 = 1 \times 1183 + 546।

  2. पुराने भाजक 1183 को शेषफल 546 से भाग दीजिए: 1183=2×546+911183 = 2 \times 546 + 91।

  3. 546 को 91 से भाग दीजिए: 546=6×91+0546 = 6 \times 91 + 0। शेषफल 0 है, इसलिए रुकिए।

उत्तर
म.स.(1183,1729)=91\text{म.स.}(1183, 1729) = 91

जाँच: 1183=91×131183 = 91 \times 13 और 1729=91×191729 = 91 \times 19।

परीक्षा शॉर्टकट

तीन संख्याओं के लिए, पहले किन्हीं दो का म.स. ज्ञात कीजिए, फिर उस परिणाम और तीसरी संख्या का म.स.।

यह क्यों काम करता है

मान लीजिए a=qb+ra = qb + r। जो संख्या aa और bb दोनों को विभाजित करती है, वह r=a−qbr = a - qb को भी विभाजित करती है। इसी तरह जो संख्या bb और rr दोनों को विभाजित करती है, वह aa को भी विभाजित करती है। इसलिए म.स.(a,b)=म.स.(b,r)\text{म.स.}(a, b) = \text{म.स.}(b, r)। हर चरण में म.स. वही रहता है और संख्याएँ छोटी होती जाती हैं। जब शेषफल 0 होता है, तो अंतिम भाजक अपने से पहले वाली संख्या को पूरा-पूरा विभाजित करता है, इसलिए वही म.स. है।

म.स. और ल.स. का संबंध

म.स. और ल.स. में क्या संबंध है?

किन्हीं दो संख्याओं के लिए, म.स. और ल.स. का गुणनफल उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। इन चार राशियों में से कोई भी तीन ज्ञात हों, तो चौथी ज्ञात की जा सकती है।

गुणनफल का नियम, दो संख्याओं के लिए

म.स.(a,b)×ल.स.(a,b)=a×b\text{म.स.}(a, b) \times \text{ल.स.}(a, b) = a \times b

उदाहरण 3 · अज्ञात संख्या ज्ञात करना

दो संख्याओं का म.स. 14 है, उनका ल.स. 420 है, और एक संख्या 70 है। दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

  1. ज्ञात मान नियम में रखिए: 14×420=70×दूसरी संख्या14 \times 420 = 70 \times \text{दूसरी संख्या}।

  2. हल कीजिए: दूसरी संख्या=14×42070=588070=84\text{दूसरी संख्या} = \dfrac{14 \times 420}{70} = \dfrac{5880}{70} = 84।

उत्तर

दूसरी संख्या 84 है।

जाँच: म.स.(70,84)=14\text{म.स.}(70, 84) = 14 और ल.स.(70,84)=420\text{ल.स.}(70, 84) = 420।

इस नियम से दो उपयोगी तथ्य निकलते हैं:

  • म.स. सदा ल.स. को विभाजित करता है। दोनों संख्याएँ म.स. की गुणज हैं, इसलिए उनका हर उभयनिष्ठ गुणज भी म.स. का गुणज है। इसलिए "म.स. 12, ल.स. 100" असंभव है, क्योंकि 100, 12 का गुणज नहीं है।
  • सह-अभाज्य संख्याओं (म.स. = 1) का ल.स. उनका गुणनफल होता है। जैसे, ल.स.(8,15)=120\text{ल.स.}(8, 15) = 120।

सावधान

यह नियम ठीक दो संख्याओं के लिए काम करता है। तीन संख्याओं के लिए म.स. × ल.स. सामान्यतः उनके गुणनफल के बराबर नहीं होता।

यह क्यों काम करता है

मान लीजिए म.स. hh है, और संख्याएँ a=hpa = hp और b=hqb = hq हैं, जहाँ pp और qq सह-अभाज्य हैं। तब ल.स.=hpq\text{ल.स.} = hpq, इसलिए म.स.×ल.स.=h×hpq=hp×hq=a×b\text{म.स.} \times \text{ल.स.} = h \times hpq = hp \times hq = a \times b।

म.स. दिया हो तो दो संख्याएँ कैसे ज्ञात करें?

यदि म.स. hh है, तो संख्याओं को hphp और hqhq लिखिए, जहाँ pp और qq में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है (वे सह-अभाज्य हैं)। फिर प्रश्न में दी गई बाकी जानकारी को pp और qq पर एक शर्त में बदलिए।

उदाहरण 4 · युग्म गिनना

दो संख्याओं का म.स. 9 है और उनका योग 108 है। ऐसे कितने युग्म हैं?

  1. संख्याओं को 9p9p और 9q9q लिखिए। तब 9p+9q=1089p + 9q = 108, अतः p+q=12p + q = 12।

  2. योग 12 वाले युग्म लिखिए: (1, 11), (2, 10), (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6)।

  3. केवल सह-अभाज्य युग्म रखिए: (1, 11) और (5, 7)।

उत्तर

2 युग्म: (9, 99) और (45, 63)।

सावधान

(18, 90) का योग भी 108 है, पर उसका म.स. 18 है, 9 नहीं। इसीलिए pp और qq का सह-अभाज्य होना ज़रूरी है।

आम रूपांतर: अनुपात में संख्याएँ

यदि दो संख्याएँ 4 : 9 के अनुपात में हैं और उनका म.स. 6 है, तो संख्याएँ 6×4=246 \times 4 = 24 और 6×9=546 \times 9 = 54 हैं, और ल.स.=6×4×9=216\text{ल.स.} = 6 \times 4 \times 9 = 216। यह शॉर्टकट इसलिए चलता है क्योंकि 4 और 9 सह-अभाज्य हैं।

तीन पदों वाले अनुपात में पदों को जोड़ियों में जाँचिए। म.स. hh वाले अनुपात 2 : 3 : 4 में, 2 और 4 का एक गुणनखंड उभयनिष्ठ है। इसलिए ल.स. h×ल.स.(2,3,4)=12hh \times \text{ल.स.}(2, 3, 4) = 12h है, 24h24h नहीं।

भिन्न और दशमलव

भिन्नों का म.स. और ल.स. कैसे ज्ञात करें?

पहले हर भिन्न को उसके न्यूनतम रूप में लाइए। भिन्नों का म.स. अंशों का म.स. बटा हरों का ल.स. होता है। भिन्नों का ल.स. अंशों का ल.स. बटा हरों का म.स. होता है।

न्यूनतम रूप में भिन्न

म.स.=अंशों का म.स.हरों का ल.स.\text{म.स.} = \frac{\text{अंशों का म.स.}}{\text{हरों का ल.स.}}
ल.स.=अंशों का ल.स.हरों का म.स.\text{ल.स.} = \frac{\text{अंशों का ल.स.}}{\text{हरों का म.स.}}

उदाहरण 5 · भिन्न

25\tfrac{2}{5}, 67\tfrac{6}{7} और 815\tfrac{8}{15} का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए।

  1. अंश 2, 6 और 8 हैं। इनका म.स. 2 और ल.स. 24 है।

  2. हर 5, 7 और 15 हैं। इनका म.स. 1 और ल.स. 105 है।

  3. सूत्र लगाइए: म.स.=2105\text{म.स.} = \dfrac{2}{105} और ल.स.=241=24\text{ल.स.} = \dfrac{24}{1} = 24।

उत्तर

म.स.=2105\text{म.स.} = \tfrac{2}{105} और ल.स.=24\text{ल.स.} = 24

जाँच के लिए: 24÷67=2824 \div \tfrac{6}{7} = 28, एक पूर्ण संख्या, इसलिए 24 सचमुच 67\tfrac{6}{7} का गुणज है। भिन्नों का म.स. सबसे छोटी भिन्न से बड़ा नहीं होना चाहिए, और ल.स. सबसे बड़ी भिन्न से छोटा नहीं।

सावधान

दोनों सूत्र एक-दूसरे के दर्पण-प्रतिबिंब हैं, और हरों वाले भाग को आपस में बदल देना सबसे आम गलती है। म.स. में हरों का ल.स. लगता है। ल.स. में हरों का म.स. लगता है।

दशमलव संख्याओं का म.स. और ल.स. कैसे ज्ञात करें?

हर संख्या में दशमलव के बाद अंकों की संख्या बराबर कीजिए और दशमलव बिंदु हटा दीजिए। फिर पूर्ण संख्याओं का म.स. या ल.स. ज्ञात कीजिए और उतने ही दशमलव स्थान वापस लगाइए।

उदाहरण 6 · दशमलव

0.8, 1.2 और 0.28 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए।

  1. हर संख्या को दो दशमलव स्थानों तक लिखिए: 0.80, 1.20 और 0.28। फिर 80, 120 और 28 के साथ काम कीजिए।

  2. म.स.(80,120,28)=4\text{म.स.}(80, 120, 28) = 4, अतः म.स. 0.04 है।

  3. ल.स.(80,120,28)=1680\text{ल.स.}(80, 120, 28) = 1680, अतः ल.स. 16.80, यानी 16.8 है।

उत्तर

म.स. = 0.04 और ल.स. = 16.8

सावधान

दशमलव स्थान बराबर करने वाला चरण छोड़ देने पर आप 8, 12 और 28 के साथ काम करने लगते हैं, जिससे उत्तर गलत आता है।

शाब्दिक प्रश्न

कैसे पहचानें कि शाब्दिक प्रश्न में म.स. चाहिए या ल.स.?

देखिए कि प्रश्न कर क्या रहा है। यदि चीज़ों को सबसे बड़े संभव बराबर हिस्सों में बाँटना है, तो म.स. चाहिए। यदि बार-बार होने वाली चीज़ों के एक साथ होने की प्रतीक्षा है, या वह सबसे छोटी मात्रा चाहिए जिसे हर माप विभाजित करे, तो ल.स. चाहिए।

प्रश्न में संकेतउपयोगक्यों
सबसे बड़ी टाइल, बर्तन, रस्सी का टुकड़ा या समूह का आकारम.स.टुकड़ा हर मात्रा में पूरा-पूरा समाना चाहिए
सबसे कम टाइलें, डिब्बे या पंक्तियाँपहले म.स., फिर भागसबसे बड़ा टुकड़ा सबसे कम टुकड़े देता है
घंटियाँ, बत्तियाँ या धावक फिर एक साथल.स.हर चक्र का मेल होना चाहिए
सबसे छोटी लंबाई, मात्रा या समूह जो ठीक-ठीक बँट जाएल.स.हर माप को उसे विभाजित करना चाहिए
शेषफल के साथ विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्याम.स.पहले शेषफल हटाइए
शेषफल के साथ विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्याल.स.फिर शेषफल जोड़िए या समायोजित कीजिए

उदाहरण 7 · एक साथ बजती घंटियाँ

तीन सायरन हर 20, 30 और 45 मिनट पर बजते हैं। वे सुबह 10:00 बजे एक साथ बजते हैं। अगली बार वे एक साथ कब बजेंगे?

  1. वे ल.स.(20,30,45)=180\text{ल.स.}(20, 30, 45) = 180 मिनट बाद फिर एक साथ बजेंगे।

  2. 180 मिनट यानी सुबह 10:00 के 3 घंटे बाद।

उत्तर

दोपहर 1:00 बजे।

उदाहरण 8 · सबसे कम टाइलें

एक कमरा 5.4 m × 4.2 m का है। फ़र्श को ठीक-ठीक ढकने के लिए कम से कम कितनी एक जैसी वर्गाकार टाइलें लगेंगी?

  1. सेंटीमीटर में बदलिए: 540 cm × 420 cm।

  2. सबसे कम टाइलों का अर्थ है सबसे बड़ी टाइल: म.स.(540,420)=60\text{म.स.}(540, 420) = 60 cm।

  3. गिनिए: 54060×42060=9×7=63\dfrac{540}{60} \times \dfrac{420}{60} = 9 \times 7 = 63।

उत्तर

63 टाइलें, हर एक 60 cm × 60 cm की।

परीक्षा शॉर्टकट

गोल पथ पर दौड़ते धावकों के लिए, पहले हर धावक का एक चक्कर का समय (पथ की लंबाई ÷ चाल) निकालिए। इन समयों का ल.स. वह समय है जब वे अगली बार एक साथ आरंभ बिंदु पर होंगे।

दिया गया शेषफल छोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या कैसे ज्ञात करें?

भाजकों के ल.स. से शुरू कीजिए। यदि हर भाग में शेषफल समान है, तो उसे जोड़िए। यदि हर भाजक और उसके शेषफल का अंतर समान है, तो वह अंतर घटाइए।

स्थितिउत्तरउदाहरण
हर बार समान शेषफल rr (उत्तर rr से बड़ा)ल.स. + r+\ r10, 14 और 35 से भाग देने पर 3 बचे: 70+3=7370 + 3 = 73
भाजक − शेषफल हर बार समान kkल.स. − k-\ k6, 10 और 14 से भाग देने पर 4, 8 और 12 बचें: 210−2=208210 - 2 = 208
समान शेषफल, साथ में एक और शर्तल.स.×n+r\text{ल.स.} \times n + r, जहाँ n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \ldots रखकर देखेंनीचे उदाहरण 9

उदाहरण 9 · एक अतिरिक्त शर्त के साथ शेषफल

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 4, 5 और 6 से भाग देने पर 2 शेष बचे, और जो 7 से विभाज्य भी हो।

  1. ल.स.(4,5,6)=60\text{ल.स.}(4, 5, 6) = 60, इसलिए संख्या 60n+260n + 2 के रूप की है।

  2. nn के मान रखकर देखिए। n=1n = 1 पर 62 और n=2n = 2 पर 122 मिलता है। दोनों 7 से विभाज्य नहीं हैं।

  3. n=3n = 3 पर 182=7×26182 = 7 \times 26 मिलता है, जो शर्त पूरी करता है।

उत्तर

182

n ज्ञात करने का तेज़ तरीका

60 को 7 से भाग देने पर 4 शेष बचता है। इसलिए 60n+260n + 2 ठीक तब 7 से विभाज्य है जब 4n+24n + 2 हो। 4n+24n + 2 को 7 का गुणज बनाने वाला सबसे छोटा nn 3 है।

आम रूपांतर: n अंकों की सबसे बड़ी या सबसे छोटी संख्या

छोर वाली संख्या (चार अंकों की सबसे बड़ी के लिए 9999, सबसे छोटी के लिए 1000) को ल.स. से भाग दीजिए, और उसके ठीक नीचे वाला ल.स. का गुणज लीजिए। यदि प्रश्न शेषफल देता है तो उसे जोड़िए। यदि अब अंकों की संख्या गलत हो, तो एक ल.स. ऊपर या नीचे जाइए।

उदाहरण के लिए, 12 से भाग देने पर 5 शेष छोड़ने वाली चार अंकों की सबसे छोटी संख्या: 1000 से ठीक नीचे 12 का गुणज 996 है, और 996+5=1001996 + 5 = 1001, जिसमें पहले से चार अंक हैं। पहले 1008 पर जाने से 1013 मिलता, जो बहुत बड़ा है।

दिए गए शेषफल छोड़ते हुए विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या कैसे ज्ञात करें?

हर संख्या में से उसका शेषफल घटाइए, फिर परिणामों का म.स. लीजिए। यदि प्रश्न केवल इतना कहे कि शेषफल हर बार समान है और उसका मान न बताए, तो संख्याओं के आपसी अंतरों का म.स. लीजिए।

उदाहरण 10 · अलग-अलग शेषफल

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1657 और 2037 को भाग देने पर क्रमशः 6 और 5 शेष बचें।

  1. शेषफल हटाइए: 1657−6=16511657 - 6 = 1651 और 2037−5=20322037 - 5 = 2032।

  2. म.स. ज्ञात कीजिए: 1651=127×131651 = 127 \times 13 और 2032=127×162032 = 127 \times 16। 13 और 16 सह-अभाज्य हैं, इसलिए म.स.=127\text{म.स.} = 127।

  3. जाँचिए कि भाजक दोनों शेषफलों से बड़ा है। 127, 6 और 5 दोनों से बड़ा है, इसलिए उत्तर मान्य है।

उत्तर

127

सावधान

शेषफल सदा भाजक से छोटा होता है। यदि म.स. किसी शेषफल से बड़ा न आए, तो कोई संख्या शर्त पूरी नहीं करती: हर मान्य भाजक उस म.स. को विभाजित करता है, इसलिए कोई भी उससे बड़ा नहीं हो सकता।

उदाहरण 11 · समान, अज्ञात शेषफल

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 158, 318 और 578 को भाग देने पर हर बार समान शेषफल बचे।

  1. संख्याओं के अंतर लीजिए: 318−158=160318 - 158 = 160, 578−318=260578 - 318 = 260 और 578−158=420578 - 158 = 420।

  2. म.स. ज्ञात कीजिए: म.स.(160,260,420)=20\text{म.स.}(160, 260, 420) = 20।

उत्तर

20

जाँच: 20 से भाग देने पर तीनों संख्याएँ 18 शेष छोड़ती हैं।

परीक्षा के शॉर्टकट

  • पहले विकल्प जाँचिए। म.स. वाले प्रश्न में हर वह विकल्प काट दीजिए जो सभी संख्याओं को विभाजित नहीं करता। ल.स. वाले प्रश्न में हर वह विकल्प काट दीजिए जो सभी संख्याओं से विभाज्य नहीं है। प्रायः एक ही विकल्प बचता है।
  • म.स. अंतर को विभाजित करता है। दो संख्याओं का म.स. उनके अंतर को भी विभाजित करता है। जैसे, म.स.(391,408)\text{म.स.}(391, 408) को 408−391=17408 - 391 = 17 को विभाजित करना ही होगा। 17 अभाज्य है और 391=17×23391 = 17 \times 23, इसलिए उत्तर 17 है।
  • क्रमागत संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं। इसलिए उनका ल.स. सीधे उनका गुणनफल है: ल.स.(15,16)=240\text{ल.स.}(15, 16) = 240।
  • उभयनिष्ठ गुणज गिनना। NN तक की वे संख्याएँ जो aa और bb दोनों से विभाज्य हैं, गिनती में N÷ल.स.(a,b)N \div \text{ल.स.}(a, b) हैं, नीचे की ओर पूर्णांकित।
  • गुणज वाला सबसे छोटा पूर्ण वर्ग। ल.स. ज्ञात कीजिए, फिर उसके गुणनखंडन में विषम घात पर आने वाले हर अभाज्य से उसे गुणा कीजिए।

आम गलतियाँ

  • ल.स. की जगह गुणनफल लेना। ल.स.(12,18)\text{ल.स.}(12, 18) 36 है, 216 नहीं। गुणनफल में उभयनिष्ठ गुणनखंड दो बार गिना जाता है।
  • ऐसे उभयनिष्ठ गुणनखंड पर रुक जाना जो सबसे बड़ा नहीं है। 12, 48 और 72 दोनों को विभाजित करता है, पर म.स. 24 है।
  • शेषफल उलटी दिशा में लगाना। "… से भाग देने पर 4 बचता है" का अर्थ है ल.स. में 4 जोड़ना। "5 बढ़ाने पर विभाज्य हो जाती है" का अर्थ है 5 घटाना।
  • इकाइयाँ मिलाना। पहले सब कुछ एक ही इकाई में बदलिए। जैसे, 6 m 24 cm = 624 cm।
  • संयोग गिनने में एक का अंतर। हर 4 मिनट पर एक साथ बदलने वाली बत्तियाँ अगले 60 मिनट में 15 बार मिलती हैं, या आरंभ को गिनें तो 16 बार। पढ़िए कि आरंभ गिना जाना है या नहीं।
  • कैलेंडर के दिन लापरवाही से गिनना। 1 मार्च के 60 दिन बाद 1 मई नहीं है। हर महीने के वास्तविक दिन गिनिए।
  • ऐसे युग्म जो सह-अभाज्य नहीं हैं। संख्याओं को hphp और hqhq लिखते समय जाँचिए कि pp और qq में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।
  • तीन संख्याओं पर म.स. × ल.स. = गुणनफल लगाना। यह केवल दो संख्याओं के लिए काम करता है।

त्वरित पुनरावृत्ति

परिभाषाएँ

  • म.स.: वह सबसे बड़ी संख्या जो सभी दी गई संख्याओं को विभाजित करे। यह अधिक से अधिक सबसे छोटी संख्या जितना होता है।
  • ल.स.: वह सबसे छोटी संख्या जिसे सभी दी गई संख्याएँ विभाजित करें। यह कम से कम सबसे बड़ी संख्या जितना होता है।

विधियाँ

  • अभाज्य गुणनखंडन: म.स. के लिए उभयनिष्ठ अभाज्य, सबसे छोटी घात पर। ल.स. के लिए सभी अभाज्य, सबसे बड़ी घात पर।
  • भाग विधि (यूक्लिड): शेषफल से तब तक भाग दीजिए जब तक शेषफल 0 न हो। अंतिम भाजक म.स. है।

सूत्र

  • दो संख्याएँ: म.स.×ल.स.=a×b\text{म.स.} \times \text{ल.स.} = a \times b
  • भिन्नों का म.स.: अंशों का म.स. ÷ हरों का ल.स.
  • भिन्नों का ल.स.: अंशों का ल.स. ÷ हरों का म.स.
  • म.स. दिया हो: संख्याएँ hphp और hqhq, जहाँ pp और qq सह-अभाज्य

म.स. या ल.स.?

  • सबसे बड़े बराबर हिस्सों में बाँटना, या सबसे कम टुकड़े: म.स.
  • चीज़ों का फिर से एक साथ होना, या वह सबसे छोटी मात्रा जिसे हर माप विभाजित करे: ल.स.

शेषफल

  • सबसे छोटी संख्या, समान शेषफल rr: ल.स. + r+\ r
  • सबसे छोटी संख्या, जब भाजक − शेषफल हर बार समान kk हो: ल.स. − k-\ k
  • सबसे बड़ा भाजक: शेषफल घटाइए, फिर म.स. लीजिए। उत्तर हर शेषफल से बड़ा होना चाहिए।
  • सबसे बड़ा भाजक, समान अज्ञात शेषफल: अंतरों का म.स.

जाल

  • ल.स. गुणनफल नहीं है, जब तक संख्याएँ सह-अभाज्य न हों
  • दशमलव स्थान बराबर कीजिए, और मात्राएँ एक ही इकाई में लाइए
  • म.स. × ल.स. = गुणनफल केवल दो संख्याओं के लिए

यह विषय संख्या पद्धति (गुणनखंड, अभाज्य संख्याएँ और विभाज्यता) और अनुपात और समानुपात से गहराई से जुड़ा है।

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63 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

यहाँ कुछ प्रश्न अभी केवल अंग्रेज़ी में हैं।

म.स. और ल.स. निकालनाप्र1 / 63प्र1

म.स. और ल.स. निकालना

30 प्रश्न

प्रश्न 1

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What is the least common multiple of 12, 18 and 24?

प्रश्न 1 के विकल्प

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उत्तरB · 72

  1. Write each number as a product of prime factors: 12=22×312 = 2^2 \times 3, 18=2×3218 = 2 \times 3^2 and 24=23×324 = 2^3 \times 3.

  2. The LCM takes the highest power of each prime that appears anywhere: 232^3 from 24 and 323^2 from 18.

  3. So the LCM is 23×32=8×9=722^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72.

  4. Check: 72÷12=672 \div 12 = 6, 72÷18=472 \div 18 = 4 and 72÷24=372 \div 24 = 3, all whole numbers.

ध्यान देने योग्य

144 and 216 are common multiples too, but the question asks for the least one. Multiplying the numbers together always gives a common multiple and almost never the smallest.

प्रश्न 2

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What is the highest common factor of 84 and 126?

प्रश्न 2 के विकल्प

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उत्तरC · 42

  1. Factorise both: 84=22×3×784 = 2^2 \times 3 \times 7 and 126=2×32×7126 = 2 \times 3^2 \times 7.

  2. The HCF takes the lowest power of each prime that appears in both: 212^1, 313^1 and 717^1.

  3. So the HCF is 2×3×7=422 \times 3 \times 7 = 42.

  4. Check: 84÷42=284 \div 42 = 2 and 126÷42=3126 \div 42 = 3, and 2 and 3 share no factor, which confirms nothing larger will divide both.

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अभाज्य गुणनखंडन (prime factorisation) की सहायता से 72 और 108 का म.स. (HCF) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 3 के विकल्प

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उत्तरD · 36

  1. 72=23×3272 = 2^3 \times 3^2 और 108=22×33108 = 2^2 \times 3^3।

  2. म.स. में प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य संख्या की सबसे छोटी घात ली जाती है: 22×322^2 \times 3^2।

  3. म.स. = 4×9=364 \times 9 = 36।

ध्यान देने योग्य

12, 18 और 24 उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं, पर महत्तम नहीं: इनमें से प्रत्येक में 2 या 3 की एक घात कम है। 216 तो ल.स. (LCM) होगा।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

45 और 60 का ल.स. (LCM) क्या है?

प्रश्न 4 के विकल्प

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उत्तरA · 180

  1. 45=32×545 = 3^2 \times 5 और 60=22×3×560 = 2^2 \times 3 \times 5।

  2. ल.स. में प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात ली जाती है: 22×32×52^2 \times 3^2 \times 5।

  3. ल.स. = 4×9×5=1804 \times 9 \times 5 = 180।

ध्यान देने योग्य

360 और 540 उभयनिष्ठ गुणज हैं, पर लघुत्तम नहीं। 2,700 केवल गुणनफल 45×6045 \times 60 है, जिसमें उभयनिष्ठ गुणनखंड 15 दो बार गिना गया है।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो संख्याओं का गुणनफल 2,160 है और उनका म.स. (HCF) 12 है। उनका ल.स. (LCM) क्या है?

प्रश्न 5 के विकल्प

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उत्तरC · 180

  1. किन्हीं भी दो संख्याओं के लिए, म.स. × ल.स. = संख्याओं का गुणनफल।

  2. ल.स. = 216012=180\frac{2160}{12} = 180।

ध्यान देने योग्य

25,920 तब आता है जब 12 से भाग देने के स्थान पर गुणा कर दिया जाए।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो संख्याओं का म.स. (HCF) 16 और ल.स. (LCM) 480 है। यदि इनमें से एक संख्या 96 है, तो दूसरी संख्या क्या है?

प्रश्न 6 के विकल्प

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उत्तरB · 80

  1. म.स. × ल.स. = दोनों संख्याओं का गुणनफल, इसलिए 16×480=9616 \times 480 = 96 × दूसरी संख्या।

  2. दूसरी संख्या = 16×48096=768096=80\frac{16 \times 480}{96} = \frac{7680}{96} = 80।

  3. जाँच: म.स.(96, 80) = 16 और ल.स.(96, 80) = 480।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

0.6, 1.5 और 0.9 का ल.स. (LCM) क्या है?

प्रश्न 7 के विकल्प

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उत्तरD · 9

  1. तीनों में एक-एक दशमलव स्थान है, इसलिए 6, 15 और 9 के साथ काम कीजिए।

  2. ल.स.(6, 15, 9) = 2×32×5=902 \times 3^2 \times 5 = 90।

  3. एक दशमलव स्थान वापस लगाइए: 9.0, अर्थात् 9।

ध्यान देने योग्य

4.5 केवल 0.9 और 1.5 का ल.स. है (यह 0.6 का गुणज नहीं है)। 0.3 म.स. (HCF) है, और दशमलव बिंदु वापस न लगाने पर 90 आता है।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो संख्याएँ 5:75 : 7 के अनुपात में हैं और उनका म.स. (HCF) 9 है। उनका ल.स. (LCM) क्या है?

प्रश्न 8 के विकल्प

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उत्तरC · 315

  1. चूँकि 5 और 7 में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, संख्याएँ 5×9=455 \times 9 = 45 और 7×9=637 \times 9 = 63 हैं।

  2. ल.स. = म.स. × 5×7=9×35=3155 \times 7 = 9 \times 35 = 315।

ध्यान देने योग्य

2,835 गुणनफल 45×6345 \times 63 है; 108 दोनों का योग है।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो सह-अभाज्य (co-prime) संख्याओं का गुणनफल 391 है। उनका ल.स. (LCM) क्या है?

प्रश्न 9 के विकल्प

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उत्तरD · 391

  1. सह-अभाज्य संख्याओं का म.स. (HCF⁡)=1(\operatorname{HCF}) = 1 होता है।

  2. ल.स. = गुणनफल ÷ म.स. = 391÷1=391391 \div 1 = 391।

ध्यान देने योग्य

1 उनका म.स. है, ल.स. नहीं। (391=17×23391 = 17 \times 23।)

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

24×32×52^4 \times 3^2 \times 5, 22×33×72^2 \times 3^3 \times 7 और 23×3×522^3 \times 3 \times 5^2 का म.स. (HCF) क्या है?

प्रश्न 10 के विकल्प

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उत्तरB · 12

  1. केवल 2 और 3 तीनों संख्याओं में आते हैं।

  2. सबसे छोटी घातें: 222^2 और 313^1।

  3. म.स. = 4×3=124 \times 3 = 12।

ध्यान देने योग्य

5 दूसरी संख्या में नहीं है, इसलिए वह म.स. में नहीं आ सकता; इससे 60 कट जाता है।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

23×322^3 \times 3^2, 22×33×52^2 \times 3^3 \times 5 और 2×522 \times 5^2 का ल.स. (LCM) क्या है?

प्रश्न 11 के विकल्प

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उत्तरD · 5,400

  1. आने वाली प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लीजिए: 232^3, 333^3, 525^2।

  2. ल.स. = 8×27×25=5,4008 \times 27 \times 25 = 5{,}400।

ध्यान देने योग्य

1,080 में 525^2 के स्थान पर 515^1 लिया गया है; 2,700 में 232^3 के स्थान पर 222^2 लिया गया है। ल.स. में हर अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात चाहिए।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो संख्याओं का म.स. (HCF) 11 और ल.स. (LCM) 693 है। यदि एक संख्या 77 है, तो दूसरी संख्या क्या है?

प्रश्न 12 के विकल्प

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उत्तरC · 99

  1. दूसरी संख्या = HCF×LCMgiven number=11×69377\frac{\text{HCF} \times \text{LCM}}{\text{given number}} = \frac{11 \times 693}{77}, अर्थात् (म.स. × ल.स.) ÷ दी गई संख्या।

  2. = 762377=99\frac{7623}{77} = 99।

ध्यान देने योग्य

63=693÷1163 = 693 \div 11 तो ल.स. ÷ म.स. है, दूसरी संख्या नहीं।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो संख्याओं का म.स. (HCF) 8 है। निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या उनका ल.स. (LCM) नहीं हो सकती?

प्रश्न 13 के विकल्प

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उत्तरB · 60

  1. दो संख्याओं का म.स. सदैव उनके ल.स. को विभाजित करता है।

  2. 48, 72 और 96 सभी 8 के गुणज हैं।

  3. 60÷8=7.560 \div 8 = 7.5, इसलिए 60 ल.स. नहीं हो सकता।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से संख्याओं का कौन-सा युग्म सह-अभाज्य (co-prime) है?

प्रश्न 14 के विकल्प

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उत्तरD · 77 और 136

  1. सह-अभाज्य का अर्थ है म.स. (HCF⁡)=1(\operatorname{HCF}) = 1।

  2. 91 और 143 में 13 उभयनिष्ठ है; 84 और 119 में 7; 65 और 117 में 13।

  3. 77=7×1177 = 7 \times 11 और 136=23×17136 = 2^3 \times 17 में कोई अभाज्य संख्या उभयनिष्ठ नहीं है, इसलिए ये सह-अभाज्य हैं।

ध्यान देने योग्य

दो विषम संख्याओं में भी उभयनिष्ठ गुणनखंड हो सकता है, जैसे 91 और 143 में (दोनों 13 के गुणज हैं)।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

भाग विधि (division method) से 1,001 और 1,547 का म.स. (HCF) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 15 के विकल्प

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उत्तरD · 91

  1. 1547=1×1001+5461547 = 1 \times 1001 + 546।

  2. 1001=1×546+4551001 = 1 \times 546 + 455।

  3. 546=1×455+91546 = 1 \times 455 + 91, और 455=5×91+0455 = 5 \times 91 + 0।

  4. अंतिम शून्येतर शेषफल ही म.स. है: 91।

ध्यान देने योग्य

1001=7×11×131001 = 7 \times 11 \times 13 और 1547=7×13×171547 = 7 \times 13 \times 17, इसलिए उभयनिष्ठ भाग 7×13=917 \times 13 = 91 है। 7 या 13 पर रुक जाने से दूसरी उभयनिष्ठ अभाज्य संख्या छूट जाती है।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

भिन्नों 49\frac{4}{9}, 1021\frac{10}{21} और 815\frac{8}{15} का म.स. (HCF) क्या है?

प्रश्न 16 के विकल्प

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उत्तरC · 2315\frac{2}{315}

  1. भिन्नों का म.स. = HCF of numeratorsLCM of denominators\frac{\text{HCF of numerators}}{\text{LCM of denominators}}, अर्थात् अंशों का म.स. ÷ हरों का ल.स. (LCM)।

  2. म.स.(4, 10, 8) = 2।

  3. ल.स.(9, 21, 15) = 32×5×7=3153^2 \times 5 \times 7 = 315।

  4. म.स. = 2315\frac{2}{315}।

ध्यान देने योग्य

403\frac{40}{3} ल.स. है (अंशों का ल.स. ÷ हरों का म.स.)। म.स. निकालते समय हरों का म.स. लेने पर 23\frac{2}{3} आता है, जो 49\frac{4}{9} का गुणनखंड नहीं है।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

34\frac{3}{4}, 56\frac{5}{6} और 910\frac{9}{10} का ल.स. (LCM) क्या है?

प्रश्न 17 के विकल्प

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उत्तरC · 452\frac{45}{2}

  1. भिन्नों का ल.स. = LCM of numeratorsHCF of denominators\frac{\text{LCM of numerators}}{\text{HCF of denominators}}, अर्थात् अंशों का ल.स. ÷ हरों का म.स. (HCF)।

  2. ल.स.(3, 5, 9) = 45।

  3. म.स.(4, 6, 10) = 2।

  4. ल.स. = 452\frac{45}{2}।

ध्यान देने योग्य

452\frac{45}{2} को प्रत्येक भिन्न से भाग देने पर पूर्ण संख्या आती है: 30, 27 और 25। 38=45÷120\frac{3}{8} = 45 \div 120 (ल.स. ÷ ल.स.) है, जो स्वयं भिन्नों से भी छोटा है, इसलिए यह उभयनिष्ठ गुणज नहीं हो सकता।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1.2, 0.36 और 2.4 का म.स. (HCF) क्या है?

प्रश्न 18 के विकल्प

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उत्तरB · 0.12

  1. दशमलव स्थान बराबर कीजिए: 1.20, 0.36, 2.40।

  2. दशमलव बिंदु हटाइए: 120, 36, 240। इनका म.स. 12 है।

  3. दो दशमलव स्थान वापस लगाइए: म.स. = 0.12।

ध्यान देने योग्य

दशमलव स्थान बराबर किए बिना 12, 36 और 24 का म.स. लेने पर 1.2 आता है, जो 0.36 को विभाजित नहीं करता। 7.2 ल.स. (LCM) है।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो संख्याएँ 3:83 : 8 के अनुपात में हैं और उनका ल.स. (LCM) 432 है। दोनों संख्याओं का योग क्या है?

प्रश्न 19 के विकल्प

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उत्तरC · 198

  1. मान लीजिए संख्याएँ 3k और 8k हैं, जहाँ k उनका म.स. (HCF) है।

  2. चूँकि 3 और 8 सह-अभाज्य हैं, ल.स. = 3×8×k=24k=4323 \times 8 \times k = 24k = 432, अतः k=18k = 18।

  3. संख्याएँ 54 और 144 हैं। योग = 54+144=19854 + 144 = 198।

ध्यान देने योग्य

90 दोनों का अंतर है, योग नहीं; 144 केवल बड़ी संख्या है।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीन संख्याएँ 2:3:42 : 3 : 4 के अनुपात में हैं और उनका म.स. (HCF) 12 है। उनका ल.स. (LCM) क्या है?

प्रश्न 20 के विकल्प

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उत्तरC · 144

  1. संख्याएँ 24, 36 और 48 हैं।

  2. 24=23×324 = 2^3 \times 3, 36=22×3236 = 2^2 \times 3^2, 48=24×348 = 2^4 \times 3।

  3. ल.स. = 24×32=1442^4 \times 3^2 = 144।

ध्यान देने योग्य

288=12×2×3×4288 = 12 \times 2 \times 3 \times 4 से आता है, पर 2 और 4 सह-अभाज्य नहीं हैं, इसलिए यहाँ म.स. × (अनुपात के पदों का गुणनफल) वाला शॉर्टकट गलत है। सही गुणक ल.स.(2, 3, 4) = 12 है।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निम्नलिखित में से कौन-सा युग्म दो संख्याओं का म.स. (HCF) और ल.स. (LCM) नहीं हो सकता?

प्रश्न 21 के विकल्प

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उत्तरA · म.स. 18, ल.स. 390

  1. म.स. सदैव ल.स. को पूर्णतः विभाजित करता है।

  2. 84÷12=784 \div 12 = 7, 225÷15=15225 \div 15 = 15, 96÷8=1296 \div 8 = 12: ये सभी पूर्ण संख्याएँ हैं।

  3. 390÷18≈21.67390 \div 18 \approx 21.67, जो पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए म.स. 18 और ल.स. 390 असंभव है।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

12, 15 और 20 से पूर्णतः विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है?

प्रश्न 22 के विकल्प

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उत्तरA · 9,960

  1. 12, 15 और 20 से विभाज्य संख्या ल.स. (LCM) (12, 15, 20) = 60 का गुणज होती है।

  2. 9999÷60=1669999 \div 60 = 166, शेषफल 39।

  3. सबसे बड़ा गुणज = 9999−39=9,9609999 - 39 = 9{,}960।

ध्यान देने योग्य

9,980 केवल 20 से, 9,990 केवल 15 से और 9,996 केवल 12 से विभाज्य है। संख्या को तीनों का गुणज होना चाहिए, अर्थात् ल.स. 60 का।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

भाग विधि (division method) से 2,664 और 4,440 का म.स. (HCF) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 23 के विकल्प

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उत्तरD · 888

  1. 4440=1×2664+17764440 = 1 \times 2664 + 1776।

  2. 2664=1×1776+8882664 = 1 \times 1776 + 888।

  3. 1776=2×888+01776 = 2 \times 888 + 0।

  4. अंतिम शून्येतर शेषफल 888 है।

ध्यान देने योग्य

444 और 222 भी दोनों संख्याओं को विभाजित करते हैं, पर वे उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं, महत्तम नहीं।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

391, 667 और 1,219 का म.स. (HCF) क्या है?

प्रश्न 24 के विकल्प

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उत्तरD · 23

  1. 391=17×23391 = 17 \times 23।

  2. 667=23×29667 = 23 \times 29।

  3. 1219=23×531219 = 23 \times 53।

  4. तीनों में उभयनिष्ठ एकमात्र अभाज्य संख्या 23 है।

ध्यान देने योग्य

17 केवल 391 को विभाजित करता है, और 13 इनमें से किसी को नहीं। जब कोई छोटी अभाज्य संख्या तीनों को विभाजित नहीं करती, तो 1 उत्तर देने का मन करता है, पर इनमें बड़ी अभाज्य संख्या 23 उभयनिष्ठ है।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है जो 1 से 10 तक की प्रत्येक पूर्ण संख्या से पूर्णतः विभाज्य हो?

प्रश्न 25 के विकल्प

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उत्तरD · 2,520

  1. हमें ल.स. (LCM) (1, 2, …, 10) चाहिए।

  2. 10 तक की अभाज्य संख्याओं की सबसे बड़ी घातें: 23=82^3 = 8, 32=93^2 = 9, 5, 7।

  3. ल.स. = 8×9×5×7=2,5208 \times 9 \times 5 \times 7 = 2{,}520।

ध्यान देने योग्य

840, 1 से 8 तक का ल.स. है और 9 से विभाज्य नहीं है। 1,260 में 222^2 लिया गया है और यह 8 से विभाज्य नहीं है।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो संख्याओं का म.स. (HCF) 13 है और उनका गुणनफल 2,028 है। ऐसी संख्याओं के कितने भिन्न युग्म संभव हैं?

प्रश्न 26 के विकल्प

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उत्तरB · 2

  1. संख्याओं को 13a और 13b लिखिए, जहाँ a और b सह-अभाज्य हैं।

  2. 13a×13b=202813a \times 13b = 2028, अतः ab = 2028÷169=122028 \div 169 = 12।

  3. गुणनफल 12 वाले सह-अभाज्य युग्म: (1, 12) और (3, 4)। युग्म (2, 6) मान्य नहीं है, क्योंकि म.स.(2, 6) = 2।

  4. अतः 2 युग्म: (13, 156) और (39, 52)।

ध्यान देने योग्य

(2, 6) को गिन लेने पर उत्तर 3 आता है, पर 26 और 78 का म.स. 26 है, 13 नहीं।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो संख्याओं का योग 144 है और उनका म.स. (HCF) 24 है। ऐसी संख्याओं के कितने युग्म हैं?

प्रश्न 27 के विकल्प

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उत्तरB · 1

  1. संख्याओं को 24a और 24b लिखिए, जहाँ a और b सह-अभाज्य हैं।

  2. 24(a+b)=14424(a + b) = 144, अतः a+b=6a + b = 6।

  3. योग 6 वाले युग्म: (1, 5), (2, 4), (3, 3)। इनमें केवल (1, 5) सह-अभाज्य है।

  4. अतः ठीक 1 युग्म है: 24 और 120।

ध्यान देने योग्य

(48, 96) का योग 144 है पर उनका म.स. 48 है, और (72, 72) का म.स. 72 है, इसलिए ये नहीं गिने जाते।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो संख्याओं का ल.स. (LCM) उनके म.स. (HCF) का 14 गुना है, और म.स. तथा ल.स. का योग 600 है। यदि एक संख्या 280 है, तो दूसरी संख्या क्या है?

प्रश्न 28 के विकल्प

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उत्तरB · 80

  1. मान लीजिए म.स. = h, तो ल.स. = 14h।

  2. h+14h=600h + 14h = 600, अतः h=40h = 40 और ल.स. = 560।

  3. दूसरी संख्या = 40×560280=80\frac{40 \times 560}{280} = 80।

  4. जाँच: म.स.(280, 80) = 40 और ल.स.(280, 80) = 560।

ध्यान देने योग्य

40 और 560 क्रमशः म.स. और ल.स. हैं, अज्ञात संख्या नहीं।

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो संख्याओं का म.स. (HCF) 6 और ल.स. (LCM) 180 है। ऐसे कितने युग्म हैं जिनमें दोनों संख्याएँ दो अंकों वाली हों?

प्रश्न 29 के विकल्प

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उत्तरC · 3

  1. संख्याओं को 6a और 6b लिखिए, जहाँ a, b सह-अभाज्य हैं; तब 6ab=1806ab = 180, अतः ab = 30।

  2. गुणनफल 30 वाले सह-अभाज्य युग्म: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6)।

  3. संख्याएँ: (6, 180), (12, 90), (18, 60), (30, 36)।

  4. केवल (6, 180) में ऐसी संख्या है जो दो अंकों वाली नहीं है, इसलिए 3 युग्म बचते हैं।

ध्यान देने योग्य

4 में हर मान्य युग्म गिन लिया गया है और दो अंकों वाली शर्त भुला दी गई है।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो संख्याओं का म.स. (HCF) 5 और ल.स. (LCM) 300 है। यदि दोनों संख्याओं का योग 85 है, तो उनका अंतर क्या है?

प्रश्न 30 के विकल्प

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उत्तरA · 35

  1. गुणनफल = म.स. × ल.स. = 5×300=1,5005 \times 300 = 1{,}500।

  2. संख्याएँ 5a और 5b हैं, जहाँ a+b=17a + b = 17 और ab = 60 (सह-अभाज्य)।

  3. a और b के मान 5 और 12 हैं, इसलिए संख्याएँ 25 और 60 हैं।

  4. अंतर = 60−25=3560 - 25 = 35।

ध्यान देने योग्य

60 बड़ी संख्या है और 85 योग; 295 = ल.स. − म.स. है। जाँच: म.स.(25, 60) = 5 और ल.स.(25, 60) = 300। तेज़ तरीका: (x−y)2=(x+y)2−4xy=7225−6000=1225(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 7225 - 6000 = 1225, अतः अंतर 35 है।

म.स. और ल.स. के शाब्दिक प्रश्न

33 प्रश्न

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक मंदिर की तीन घंटियाँ क्रमशः 9, 12 और 15 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। वे 8:00 am पर एक साथ बजती हैं। वे अगली बार एक साथ कब बजेंगी?

प्रश्न 31 के विकल्प

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उत्तरA · 11:00 am

  1. वे ल.स. (LCM) (9, 12, 15) मिनट के बाद फिर एक साथ बजेंगी।

  2. ल.स. = 22×32×5=1802^2 \times 3^2 \times 5 = 180 मिनट = 3 घंटे।

  3. 8:00 am + 3 घंटे = 11:00 am।

ध्यान देने योग्य

8:36 am, 8:45 am और 9:00 am केवल दो-दो घंटियों के ल.स. (36, 45 और 60 मिनट) से आते हैं।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक वृत्ताकार पथ पर इशान, दीपिका और तेनज़िन एक चक्कर पूरा करने में क्रमशः 36 s, 48 s और 60 s लेते हैं। वे आरंभ-रेखा से एक साथ चलना शुरू करते हैं। कितने समय बाद तीनों पहली बार फिर से एक साथ आरंभ-रेखा पर होंगे?

प्रश्न 32 के विकल्प

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उत्तरD · 12 मिनट

  1. वे ल.स. (LCM) (36, 48, 60) सेकंड के बाद आरंभ-रेखा पर मिलेंगे।

  2. 36=22×3236 = 2^2 \times 3^2, 48=24×348 = 2^4 \times 3, 60=22×3×560 = 2^2 \times 3 \times 5।

  3. ल.स. = 24×32×5=7202^4 \times 3^2 \times 5 = 720 s=12s = 12 मिनट।

ध्यान देने योग्य

2 मिनट 24 सेकंड, 3 मिनट और 4 मिनट तीन में से केवल दो धावकों के ल.स. हैं।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है जिसे 12, 16 और 18 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 5 शेष बचता है?

प्रश्न 33 के विकल्प

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उत्तरA · 149

  1. ल.स. (LCM) (12, 16, 18) = 24×32=1442^4 \times 3^2 = 144।

  2. उभयनिष्ठ शेषफल जोड़िए: 144+5=149144 + 5 = 149।

ध्यान देने योग्य

293 और 437 भी 5 शेष छोड़ती हैं, पर वे सबसे छोटी नहीं हैं। 3,461 में ल.स. के स्थान पर गुणनफल 12×16×1812 \times 16 \times 18 लिया गया है।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक डेयरी में तीन टंकियाँ हैं जिनमें 403 L, 434 L और 465 L दूध है। उस सबसे बड़े डिब्बे की धारिता क्या है जिससे प्रत्येक टंकी का दूध पूरे-पूरे भरावों में ठीक-ठीक मापा जा सके?

प्रश्न 34 के विकल्प

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उत्तरB · 31 L

  1. डिब्बे को तीनों मात्राओं को विभाजित करना चाहिए, इसलिए म.स. (HCF) (403, 434, 465) ज्ञात कीजिए।

  2. 403=13×31403 = 13 \times 31, 434=14×31434 = 14 \times 31, 465=15×31465 = 15 \times 31।

  3. म.स. = 31 L।

ध्यान देने योग्य

62 और 93, 31 के गुणज हैं, पर 62 न तो 403 को विभाजित करता है न 465 को, और 93 न तो 403 को विभाजित करता है न 434 को।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रस्सी की वह सबसे छोटी लंबाई क्या है जिसे 15 cm के, या 25 cm के, या 40 cm के पूरे टुकड़ों में ठीक-ठीक काटा जा सके और कुछ भी न बचे?

प्रश्न 35 के विकल्प

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उत्तरC · 6 m

  1. लंबाई 15, 25 और 40 का उभयनिष्ठ गुणज होनी चाहिए।

  2. ल.स. (LCM) (15, 25, 40) = 23×3×52=6002^3 \times 3 \times 5^2 = 600 cm।

  3. 600 cm = 6 m।

ध्यान देने योग्य

150 m गुणनफल 15×25×40=15,00015 \times 25 \times 40 = 15{,}000 cm है; 1.2 m और 2 m केवल दो लंबाइयों के लिए ठीक बैठते हैं।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

16, 24 और 40 से पूर्णतः विभाज्य पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या कौन-सी है?

प्रश्न 36 के विकल्प

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उत्तरB · 10,080

  1. संख्या ल.स. (LCM) (16, 24, 40) = 240 का गुणज होनी चाहिए।

  2. 10000÷240=4110000 \div 240 = 41, शेषफल 160, इसलिए अगला गुणज 42×24042 \times 240 है।

  3. 42×240=10,08042 \times 240 = 10{,}080।

ध्यान देने योग्य

10,240, 16 और 40 से विभाज्य है पर 24 से नहीं। 10,320, 240 का गुणज है, पर सबसे छोटा नहीं।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

गुरप्रीत 18 cm ऊँचे डिब्बों का एक ढेर और 24 cm ऊँचे डिब्बों का दूसरा ढेर लगाता है। वह न्यूनतम ऊँचाई क्या है जिस पर दोनों ढेर ठीक बराबर हो सकते हैं?

प्रश्न 37 के विकल्प

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उत्तरA · 72 cm

  1. प्रत्येक ढेर की ऊँचाई उसके डिब्बे की ऊँचाई का गुणज होती है।

  2. न्यूनतम समान ऊँचाई = ल.स. (LCM) (18, 24) = 72 cm।

ध्यान देने योग्य

144 cm और 216 cm पर भी ढेर बराबर होते हैं, पर वे न्यूनतम नहीं हैं। 432 cm गुणनफल 18×2418 \times 24 है।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो प्रकाश-स्तंभ क्रमशः हर 40 सेकंड और हर 50 सेकंड पर चमकते हैं। वे 9:00 pm पर एक साथ चमकते हैं। कितने समय बाद वे अगली बार एक साथ चमकेंगे?

प्रश्न 38 के विकल्प

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उत्तरC · 3 मिनट 20 सेकंड

  1. वे ल.स. (LCM) (40, 50) = 200 सेकंड बाद एक साथ चमकेंगे।

  2. 200 s=3s = 3 मिनट 20 सेकंड।

ध्यान देने योग्य

33 मिनट 20 सेकंड गुणनफल 40×50=2,00040 \times 50 = 2{,}000 s है; 1 मिनट 30 सेकंड अंतरालों को जोड़ने से आता है।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कोच खिलाड़ियों का ऐसा समूह चाहता है जिसे 8 की, 12 की या 20 की टीमों में ठीक-ठीक बाँटा जा सके। समूह का न्यूनतम संभव आकार क्या है?

प्रश्न 39 के विकल्प

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उत्तरD · 120

  1. समूह का आकार 8, 12 और 20 का उभयनिष्ठ गुणज होना चाहिए।

  2. ल.स. (LCM) = 23×3×5=1202^3 \times 3 \times 5 = 120।

ध्यान देने योग्य

24, 8 और 12 के लिए ठीक है पर 20 के लिए नहीं; 40, 8 और 20 के लिए पर 12 के लिए नहीं; 60, 12 और 20 के लिए पर 8 के लिए नहीं।

प्रश्न 40

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What is the smallest number which, when divided by 6, 8 and 15, leaves a remainder of 2 in each case?

प्रश्न 40 के विकल्प

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उत्तरC · 122

  1. A number that leaves the same remainder 2 under all three divisors is 2 more than a common multiple of all three.

  2. So find the LCM first: 6=2×36 = 2 \times 3, 8=238 = 2^3, 15=3×515 = 3 \times 5, giving LCM=23×3×5=120\mathrm{LCM} = 2^3 \times 3 \times 5 = 120.

  3. The smallest such number is therefore 120+2=122120 + 2 = 122.

  4. Check: 122=6×20+2=8×15+2=15×8+2122 = 6 \times 20 + 2 = 8 \times 15 + 2 = 15 \times 8 + 2.

ध्यान देने योग्य

The 120 on offer is the LCM itself, which leaves remainder 0, not 2.

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक हॉल का फ़र्श 6.24 m×4.32m \times 4.32 m का है। इसे एक जैसी वर्गाकार टाइलों से ढकना है और किसी टाइल को काटना नहीं है। ऐसी सबसे बड़ी टाइल की भुजा कितनी होगी?

प्रश्न 41 के विकल्प

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उत्तरC · 48 cm

  1. cm में बदलिए: 624 cm और 432 cm।

  2. टाइल की भुजा दोनों को विभाजित करनी चाहिए, इसलिए म.स. (HCF) (624, 432) लीजिए।

  3. 624=24×3×13624 = 2^4 \times 3 \times 13, 432=24×33432 = 2^4 \times 3^3, अतः म.स. = 24×3=482^4 \times 3 = 48 cm।

ध्यान देने योग्य

72 cm, 432 को विभाजित करता है पर 624 को नहीं; 24 cm की टाइल फ़िट होती है पर सबसे बड़ी नहीं है।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 8, 12 और 15 से भाग देने पर क्रमशः 5, 9 और 12 शेष बचते हैं।

प्रश्न 42 के विकल्प

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उत्तरB · 117

  1. हर बार भाजक − शेषफल समान है: 8−5=12−9=15−12=38 - 5 = 12 - 9 = 15 - 12 = 3।

  2. अतः संख्या 8, 12 और 15 के किसी उभयनिष्ठ गुणज से 3 कम है।

  3. ल.स. (LCM) (8, 12, 15) = 120, अतः सबसे छोटी संख्या 120−3=117120 - 3 = 117 है।

  4. जाँच: 117=8×14+5=12×9+9=15×7+12117 = 8 \times 14 + 5 = 12 \times 9 + 9 = 15 \times 7 + 12।

ध्यान देने योग्य

123 में 3 का अंतर घटाने के स्थान पर जोड़ दिया गया है।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वह सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है जिससे 398, 436 और 542 को भाग देने पर क्रमशः 7, 11 और 15 शेष बचते हैं?

प्रश्न 43 के विकल्प

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उत्तरA · 17

  1. प्रत्येक शेषफल घटाइए: 398−7=391398 - 7 = 391, 436−11=425436 - 11 = 425, 542−15=527542 - 15 = 527।

  2. अभीष्ट संख्या म.स. (HCF) (391, 425, 527) है।

  3. 391=17×23391 = 17 \times 23, 425=17×25425 = 17 \times 25, 527=17×31527 = 17 \times 31, अतः म.स. 17 है।

ध्यान देने योग्य

23 केवल 391 को, 25 केवल 425 को और 31 केवल 527 को विभाजित करता है। शेषफल हटाने के बाद उत्तर को तीनों संख्याओं को विभाजित करना चाहिए।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक विद्यालय में 336 लड़के और 252 लड़कियाँ हैं। उन्हें पंक्तियों में इस प्रकार खड़ा करना है कि हर पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या समान हो और हर पंक्ति में केवल लड़के या केवल लड़कियाँ हों। पंक्तियों की न्यूनतम संभव संख्या क्या है?

प्रश्न 44 के विकल्प

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उत्तरA · 7

  1. सबसे कम पंक्तियों का अर्थ है प्रति पंक्ति सबसे अधिक विद्यार्थी: म.स. (HCF) (336, 252) = 84।

  2. लड़कों की पंक्तियाँ = 336÷84=4336 \div 84 = 4; लड़कियों की पंक्तियाँ = 252÷84=3252 \div 84 = 3।

  3. कुल पंक्तियाँ = 4+3=74 + 3 = 7।

ध्यान देने योग्य

84 प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या है, पंक्तियों की संख्या नहीं; 12 में लड़कों की 4 पंक्तियों और लड़कियों की 3 पंक्तियों को जोड़ने के स्थान पर गुणा किया गया है। 588 विद्यार्थियों की कुल संख्या है।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सड़क पर तीन ट्रैफ़िक सिग्नल क्रमशः हर 48 s, 72 s और 108 s पर बदलते हैं। वे सभी 7:00:00 am पर एक साथ बदलते हैं। वे अगली बार किस समय एक साथ बदलेंगे?

प्रश्न 45 के विकल्प

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उत्तरA · 7:07:12 am

  1. वे ल.स. (LCM) (48, 72, 108) सेकंड के बाद एक साथ बदलेंगे।

  2. 48=24×348 = 2^4 \times 3, 72=23×3272 = 2^3 \times 3^2, 108=22×33108 = 2^2 \times 3^3, अतः ल.स. = 24×33=4322^4 \times 3^3 = 432 s।

  3. 432 s=7s = 7 मिनट 12 सेकंड, इसलिए समय 7:07:12 am होगा।

ध्यान देने योग्य

7:02:24 am में ल.स.(48, 72) = 144 s और 7:03:36 am में ल.स.(72, 108) = 216 s लिया गया है, जिसमें एक सिग्नल छूट गया है।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

12 cm × 18 cm माप की आयताकार टाइलों को एक ही दिशा में साथ-साथ रखकर एक वर्ग बनाया जाता है। कम-से-कम कितनी टाइलें चाहिए?

प्रश्न 46 के विकल्प

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उत्तरC · 6

  1. वर्ग की भुजा 12 और 18 दोनों का गुणज होनी चाहिए: ल.स. (LCM⁡)=36(\operatorname{LCM}) = 36 cm।

  2. एक भुजा के अनुदिश टाइलें = 36÷12=336 \div 12 = 3; दूसरी भुजा के अनुदिश = 36÷18=236 \div 18 = 2।

  3. टाइलों की संख्या = 3×2=63 \times 2 = 6।

ध्यान देने योग्य

36 वर्ग की भुजा (cm में) है, टाइलों की संख्या नहीं।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है जिसमें 7 जोड़ने पर वह 18, 24 और 30 से पूर्णतः विभाज्य हो जाती है?

प्रश्न 47 के विकल्प

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उत्तरA · 353

  1. संख्या + 7 एक उभयनिष्ठ गुणज होना चाहिए; सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज ल.स. (LCM) (18, 24, 30) = 360 है।

  2. संख्या = 360−7=353360 - 7 = 353।

ध्यान देने योग्य

367 में 7 घटाने के स्थान पर जोड़ा गया है; 713 में दूसरा उभयनिष्ठ गुणज 720 लिया गया है।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

600 m के एक वृत्ताकार पथ पर रिया 5 m/s से और करण 4 m/s से दौड़ते हैं। वे आरंभ-बिंदु से एक साथ चलकर एक ही दिशा में दौड़ते हैं। कितने समय बाद वे पहली बार फिर से आरंभ-बिंदु पर एक साथ होंगे?

प्रश्न 48 के विकल्प

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उत्तरD · 10 मिनट

  1. एक चक्कर का समय: रिया 600÷5=120600 \div 5 = 120 s, करण 600÷4=150600 \div 4 = 150 s।

  2. वे ल.स. (LCM) (120, 150) = 600 s बाद आरंभ-बिंदु पर एक साथ होंगे।

  3. 600 s=10s = 10 मिनट।

ध्यान देने योग्य

5 घंटे चक्करों के समयों को गुणा करने (120×150=18,000120 \times 150 = 18{,}000 s) से आते हैं; 4 मिनट 30 सेकंड उन्हें जोड़ने से आते हैं।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक फल-विक्रेता के पास 405 आम, 675 संतरे और 540 सेब हैं। वह उन्हें डिब्बों में इस प्रकार पैक करती है कि हर डिब्बे में केवल एक ही प्रकार का फल हो और हर डिब्बे में फलों की संख्या समान हो। उसे कम-से-कम कितने डिब्बे चाहिए?

प्रश्न 49 के विकल्प

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उत्तरB · 12

  1. सबसे कम डिब्बों का अर्थ है प्रति डिब्बा सबसे अधिक फल: म.स. (HCF) (405, 675, 540)।

  2. 405=34×5405 = 3^4 \times 5, 675=33×52675 = 3^3 \times 5^2, 540=22×33×5540 = 2^2 \times 3^3 \times 5, अतः म.स. = 33×5=1353^3 \times 5 = 135।

  3. डिब्बे = 405÷135+675÷135+540÷135=3+5+4=12405 \div 135 + 675 \div 135 + 540 \div 135 = 3 + 5 + 4 = 12।

ध्यान देने योग्य

135 प्रति डिब्बा फलों की संख्या है, डिब्बों की संख्या नहीं। प्रति डिब्बा 45 फल लेने पर 36 डिब्बे आते हैं, जो न्यूनतम नहीं है।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीन रिबन 3.6 m, 4.8 m और 7.2 m लंबे हैं। उन्हें समान लंबाई के, यथासंभव सबसे लंबे, टुकड़ों में इस प्रकार काटा जाता है कि कोई रिबन न बचे। कुल कितने टुकड़े प्राप्त होंगे?

प्रश्न 50 के विकल्प

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उत्तरA · 13

  1. cm में: 360, 480, 720। सबसे लंबा टुकड़ा = म.स. (HCF) (360, 480, 720) = 120 cm।

  2. टुकड़े = 360÷120+480÷120+720÷120=3+4+6360 \div 120 + 480 \div 120 + 720 \div 120 = 3 + 4 + 6।

  3. कुल = 13 टुकड़े।

ध्यान देने योग्य

26, 39 और 52 क्रमशः 60 cm, 40 cm और 30 cm के टुकड़ों से आते हैं, जिनमें भी कुछ व्यर्थ नहीं जाता, पर वे सबसे लंबे नहीं हैं।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वह सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है जिससे 245 और 1,029 को भाग देने पर प्रत्येक दशा में 5 शेष बचता है?

प्रश्न 51 के विकल्प

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उत्तरA · 16

  1. शेषफल हटाइए: 245−5=240245 - 5 = 240 और 1029−5=10241029 - 5 = 1024।

  2. 240=24×3×5240 = 2^4 \times 3 \times 5 और 1024=2101024 = 2^{10}।

  3. म.स. (HCF) = 24=162^4 = 16, जो आवश्यकतानुसार शेषफल 5 से बड़ा है।

ध्यान देने योग्य

32, 1024 को विभाजित करता है पर 240 को नहीं; 48 और 80, 240 को विभाजित करते हैं पर 1024 को नहीं।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

आपस में फँसे दो गियरों में 24 और 36 दाँते हैं। प्रत्येक गियर के एक दाँते पर निशान लगाया गया है, और दोनों निशान वाले दाँते एक-दूसरे को छू रहे हैं। निशान वाले दाँते पहली बार फिर से एक-दूसरे को छुएँ, इससे पहले छोटे गियर को कितने पूरे चक्कर लगाने होंगे?

प्रश्न 52 के विकल्प

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उत्तरB · 3

  1. ल.स. (LCM) (24, 36) = 72 दाँतों के गुज़रने के बाद निशान फिर मिलते हैं।

  2. छोटे गियर के चक्कर = 72÷24=372 \div 24 = 3।

ध्यान देने योग्य

72 गुज़रने वाले दाँतों की संख्या है, चक्करों की नहीं। बड़ा गियर 72÷36=272 \div 36 = 2 चक्कर लगाता है।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पेंसिलें 12 के पैक में और रबड़ 18 के पैक में बिकते हैं। फ़ातिमा को ठीक उतनी ही पेंसिलें चाहिए जितने रबड़। उसे कुल कम-से-कम कितने पैक खरीदने होंगे?

प्रश्न 53 के विकल्प

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उत्तरA · 5

  1. प्रत्येक वस्तु की संख्या 12 और 18 का उभयनिष्ठ गुणज होनी चाहिए; सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज ल.स. (LCM⁡)=36(\operatorname{LCM}) = 36 है।

  2. पेंसिल के पैक = 36÷12=336 \div 12 = 3; रबड़ के पैक = 36÷18=236 \div 18 = 2।

  3. कुल पैक = 3+2=53 + 2 = 5।

ध्यान देने योग्य

36 पेंसिलों (और रबड़ों) की संख्या है, पैकों की नहीं। 30=12+1830 = 12 + 18 है, और 216=12×18216 = 12 \times 18।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक हॉल की कुर्सियों को 9 की, 12 की या 16 की पंक्तियों में लगाने पर हर बार 4 कुर्सियाँ बच जाती हैं। हॉल में 400 और 500 के बीच कुर्सियाँ हैं। कुर्सियाँ कितनी हैं?

प्रश्न 54 के विकल्प

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उत्तरD · 436

  1. कुर्सियों की संख्या ल.स. (LCM) (9, 12, 16) = 144 के किसी गुणज से 4 अधिक है।

  2. संभावित संख्याएँ: 148, 292, 436, 580, …

  3. 400 और 500 के बीच केवल 436 है।

ध्यान देने योग्य

148 और 292 शेषफल वाला नियम पूरा करती हैं पर 400 से कम हैं। 432 स्वयं 144 का गुणज है, इसमें बची हुई 4 कुर्सियाँ नहीं जोड़ी गईं।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीन अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है जिसे 6, 9 और 12 से भाग देने पर 2 शेष बचता है?

प्रश्न 55 के विकल्प

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उत्तरA · 974

  1. संख्या ल.स. (LCM) (6, 9, 12) = 36 के किसी गुणज से 2 अधिक है।

  2. 999÷36=27999 \div 36 = 27, शेषफल 27, इसलिए तीन अंकों का सबसे बड़ा गुणज 36×27=97236 \times 27 = 972 है।

  3. संख्या = 972+2=974972 + 2 = 974।

ध्यान देने योग्य

986 को 9 से भाग देने पर 5 बचता है, 992 को 12 से भाग देने पर 8 बचता है, और 998 को 9 से भाग देने पर 8 बचता है। इनमें से प्रत्येक केवल कुछ ही जाँचें पास करती है।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक लकी ड्रॉ में टिकटों पर 1 से 500 तक संख्याएँ हैं। जिस भी टिकट की संख्या 6 और 15 दोनों से विभाज्य है, उसे पुरस्कार मिलता है। कितने टिकटों को पुरस्कार मिलेगा?

प्रश्न 56 के विकल्प

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उत्तरB · 16

  1. 6 और 15 दोनों से विभाज्य का अर्थ है ल.स. (LCM) (6, 15) = 30 से विभाज्य।

  2. 500 तक 30 के गुणज: 500÷30=16500 \div 30 = 16, शेषफल 20।

  3. अतः 16 टिकटों को पुरस्कार मिलेगा।

ध्यान देने योग्य

5 तब आता है जब ल.स. 30 के स्थान पर 6×15=906 \times 15 = 90 लिया जाए; 83 केवल 6 के गुणजों की गिनती है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक आँगन 18 m 72 cm लंबा और 13 m 20 cm चौड़ा है। किसी टाइल को काटे बिना इसे पूरी तरह ढकने के लिए एक जैसी कम-से-कम कितनी वर्गाकार टाइलें चाहिए?

प्रश्न 57 के विकल्प

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उत्तरC · 4,290

  1. सबसे कम टाइलों का अर्थ है सबसे बड़ी टाइल। cm में बदलिए: 1872 cm और 1320 cm।

  2. 1872=24×32×131872 = 2^4 \times 3^2 \times 13 और 1320=23×3×5×111320 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 11, अतः म.स. (HCF) = 23×3=242^3 \times 3 = 24 cm।

  3. लंबाई के अनुदिश टाइलें = 1872÷24=781872 \div 24 = 78; चौड़ाई के अनुदिश = 1320÷24=551320 \div 24 = 55।

  4. टाइलों की संख्या = 78×55=4,29078 \times 55 = 4{,}290।

ध्यान देने योग्य

12 cm की टाइल (एक उभयनिष्ठ गुणनखंड, पर महत्तम नहीं) लेने पर 17,160 टाइलें आती हैं, जो न्यूनतम नहीं है।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

वह सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है जिससे 1,031, 1,751 और 2,759 को भाग देने पर प्रत्येक दशा में समान शेषफल बचता है?

प्रश्न 58 के विकल्प

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उत्तरD · 144

  1. यदि प्रत्येक समान शेषफल छोड़ती है, तो उनके अंतर भाजक के पूर्ण गुणज होते हैं।

  2. अंतर: 1751−1031=7201751 - 1031 = 720, 2759−1751=10082759 - 1751 = 1008, 2759−1031=17282759 - 1031 = 1728।

  3. म.स. (HCF) (720, 1008, 1728) = 144 (720=144×5720 = 144 \times 5, 1008=144×71008 = 144 \times 7, 1728=144×121728 = 144 \times 12)।

  4. जाँच: 144 से भाग देने पर प्रत्येक संख्या 23 शेष छोड़ती है।

ध्यान देने योग्य

36, 48 और 72 तीनों अंतरों को विभाजित करते हैं, पर वे सबसे बड़े नहीं हैं। शेषफल अज्ञात है, इसलिए संख्याओं के स्थान पर उनके अंतरों के साथ काम कीजिए।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक संख्या को 6, 9 और 15 में से किसी से भी भाग देने पर 4 शेष बचता है, और वह 11 से पूर्णतः विभाज्य है। ऐसी सबसे छोटी संख्या कौन-सी है?

प्रश्न 59 के विकल्प

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उत्तरC · 814

  1. ल.स. (LCM) (6, 9, 15) = 90, इसलिए संख्या 90k+490k + 4 के रूप की है।

  2. k=1k = 1, 2, 3, … रखकर देखिए: 94, 184, 274, 364, 454, 544, 634, 724, 814, …

  3. इनमें 11 से विभाज्य पहली संख्या 814=11×74814 = 11 \times 74 है (k=9)(k = 9)।

  4. जाँच: 814=90×9+4814 = 90 \times 9 + 4, इसलिए 6, 9 या 15 से भाग देने पर यह 4 शेष छोड़ती है।

ध्यान देने योग्य

94 शेषफल वाली शर्त पूरी करती है, पर 94÷1194 \div 11 पूर्ण संख्या नहीं है। शॉर्टकट: 90 को 11 से भाग देने पर 2 शेष बचता है, इसलिए 2k+42k + 4 को 11 का गुणज होना चाहिए, जो पहली बार k=9k = 9 पर होता है।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चार अलार्म क्रमशः हर 6, 8, 10 और 12 सेकंड पर बीप करते हैं। आरंभ में वे एक साथ बीप करते हैं। अगले 30 मिनट में, 30वें मिनट के क्षण को सम्मिलित करते हुए और आरंभ वाली बीप को न गिनते हुए, वे कितनी बार और एक साथ बीप करेंगे?

प्रश्न 60 के विकल्प

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उत्तरB · 15

  1. वे हर ल.स. (LCM) (6, 8, 10, 12) = 120 s=2s = 2 मिनट पर एक साथ बीप करते हैं।

  2. 30 मिनट में: आरंभ के बाद 30÷2=1530 \div 2 = 15 संयुक्त बीप (अंतिम बीप ठीक 30वें मिनट पर)।

ध्यान देने योग्य

16 में आरंभ वाली बीप भी गिन ली गई है, जिसे प्रश्न में छोड़ना है; 14 में ठीक 30वें मिनट वाली संयुक्त बीप छूट गई है, जिसे प्रश्न में गिनना है।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक डिपो से तीन बसें क्रमशः हर 15, 20 और 25 मिनट पर छूटती हैं। वे 6:00 am पर एक साथ छूटती हैं। 6:00 am से 9:00 pm तक, 6:00 am और 9:00 pm दोनों को गिनते हुए, वे कितनी बार एक साथ छूटेंगी?

प्रश्न 61 के विकल्प

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उत्तरB · 4

  1. वे हर ल.स. (LCM) (15, 20, 25) = 300 मिनट = 5 घंटे पर एक साथ छूटती हैं।

  2. संयुक्त प्रस्थान: 6:00 am, 11:00 am, 4:00 pm, 9:00 pm।

  3. अर्थात् 4 बार।

ध्यान देने योग्य

15 घंटे ÷ 5 घंटे = 3 अंतरालों की गिनती है, प्रस्थानों की नहीं; दोनों छोर सम्मिलित हैं, इसलिए 1 जोड़िए।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

नेहा हर 4 दिन पर, राकेश हर 6 दिन पर और सलमा हर 10 दिन पर पुस्तकालय जाते हैं। तीनों 1 मार्च को पुस्तकालय गए थे। अगली बार तीनों किस तारीख को एक ही दिन पुस्तकालय जाएँगे?

प्रश्न 62 के विकल्प

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उत्तरA · 30 अप्रैल

  1. वे ल.स. (LCM) (4, 6, 10) = 60 दिन बाद फिर मिलेंगे।

  2. मार्च में 31 दिन होते हैं, इसलिए 1 मार्च के 30 दिन बाद 31 मार्च है।

  3. 30 दिन और जोड़ने पर 30 अप्रैल आता है।

ध्यान देने योग्य

1 मई तब आता है जब हर महीने को 30 दिन का मान लिया जाए; 1 मार्च के 60 दिन बाद 30 अप्रैल है।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक विद्यालय के विद्यार्थियों को 6 की, 8 की या 10 की पंक्तियों में ठीक-ठीक खड़ा किया जा सकता है। विद्यार्थियों की संख्या एक पूर्ण वर्ग भी है। विद्यार्थियों की न्यूनतम संभव संख्या क्या है?

प्रश्न 63 के विकल्प

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उत्तरD · 3,600

  1. संख्या LCM(6,8,10)=120=23×3×5\text{LCM}(6, 8, 10) = 120 = 2^3 \times 3 \times 5 का गुणज है।

  2. पूर्ण वर्ग के लिए हर अभाज्य संख्या की घात सम होनी चाहिए: इसे 24×32×522^4 \times 3^2 \times 5^2 तक बढ़ाइए।

  3. यह 120×30=3,600=602120 \times 30 = 3{,}600 = 60^2 है।

ध्यान देने योग्य

480=120×4480 = 120 \times 4 में एक वर्ग संख्या से गुणा किया गया है, जिससे विषम घातें कभी ठीक नहीं होतीं; 1,200 में 3 की घात अब भी विषम है।

क्षेत्रों के नाम NTA के हैं। उनके भीतर के अध्याय EduFarming का अपना विभाजन हैं, NTA का नहीं।