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CUET सामान्य योग्यता के लिए सरलीकरण और सन्निकटन

सीखने में लगभग 10 मिनट · 71 प्रश्न

CUET के सरलीकरण वाले प्रश्न एक लंबे व्यंजक को बिना भूल एक संख्या में बदलने को कहते हैं, और सन्निकटन वाले प्रश्न समझदारी से पूर्णांकन करके भी सही विकल्प तक पहुँचने को। दोनों एक तय क्रम को पुरस्कृत करते हैं: BODMAS और कोष्ठक, भिन्न और आवर्ती दशमलव, घातांक के नियम, करणी, वर्ग के तेज़ सर्वसमिकाएँ और आसान पूर्णांकन-लक्ष्य। यह पाठ वह क्रम, उसके पीछे के नियम और अंक काटने वाले जाल देता है।

पाठ्यक्रम क्षेत्र
General Mental Ability, Numerical Ability
इस पृष्ठ पर · 9 भाग
  1. 01मूल विचार
  2. 02संक्रियाओं का क्रम
  3. 03भिन्न और दशमलव
  4. 04घात और मूल
  5. 05सन्निकटन
  6. 06परीक्षा शॉर्टकट
  7. 07आम गलतियाँ
  8. 08त्वरित पुनरावृत्ति
  9. 09अपनी समझ जाँचें

मूल विचार

सरलीकरण यह जाँचता है कि क्या आप एक लंबे व्यंजक को जल्दी और बिना भूल एक संख्या में बदल सकते हैं। सन्निकटन उलटा कौशल जाँचता है: समझदारी से पूर्णांकन करना और फिर भी सही विकल्प तक पहुँचना। दोनों चतुराई से ज़्यादा एक तय क्रम को पुरस्कृत करते हैं।

हल शुरू करने से पहले विकल्प देखिए। यदि वे दूर-दूर हैं, तो पूर्णांकन कर अनुमान लगाइए। यदि पास-पास हैं, तो सटीक हल कीजिए। और जब कोई व्यंजक उलझा दिखे, तो जाँचिए कि कहीं वह किसी मानक सर्वसमिका का छिपा रूप तो नहीं; इस अध्याय में अक्सर ऐसा ही होता है।

संक्रियाओं का क्रम

संक्रियाओं का सही क्रम (BODMAS) क्या है?

इस क्रम में चलिए: कोष्ठक, फिर "का", फिर भाग और गुणा, फिर जोड़ और घटाव। भाग और गुणा का दर्जा बराबर है और वे बाएँ से दाएँ किए जाते हैं, और जोड़ व घटाव भी।

चरणक्या करेंउदाहरण
Bकोष्ठक, सबसे भीतर वाला पहले(3+5)(3 + 5) 8 बन जाता है
O"का", जिसका मतलब गुणा है40 का 12\tfrac{1}{2} 20 है
D, Mभाग और गुणा, बाएँ से दाएँ30÷5×2=6×2=1230 \div 5 \times 2 = 6 \times 2 = 12
A, Sजोड़ और घटाव, बाएँ से दाएँ20−8+3=1520 - 8 + 3 = 15

उदाहरण 1 · BODMAS

90−6×8÷4+590 - 6 \times 8 \div 4 + 5 का मान ज्ञात कीजिए।

  1. गुणा और भाग, बाएँ से दाएँ: 6×8=486 \times 8 = 48, फिर 48÷4=1248 \div 4 = 12।

  2. जोड़ और घटाव, बाएँ से दाएँ: 90−12+5=8390 - 12 + 5 = 83।

उत्तर

83

केवल बाएँ से दाएँ चलने पर (90−6)×8÷4+5=173(90 - 6) \times 8 \div 4 + 5 = 173 आता है। वह गलत उत्तर लगभग हमेशा एक विकल्प होता है।

सावधान

भाग गुणा से पहले नहीं आता, और जोड़ घटाव से पहले नहीं आता। 30÷5×230 \div 5 \times 2 में बाएँ से दाएँ चलने पर 12 आता है, 30÷10=330 \div 10 = 3 नहीं।

नेस्टेड कोष्ठक कैसे हटाएँ?

कोष्ठक भीतर से बाहर की ओर हटाइए: पहले छोटे कोष्ठक, फिर मझले, फिर बड़े। हर कोष्ठक के भीतर पूरा BODMAS क्रम फिर भी लागू रहता है।

उदाहरण 2 · नेस्टेड कोष्ठक

5−[8−(6−9)]5 - [8 - (6 - 9)] को सरल कीजिए।

  1. सबसे भीतर: 6−9=−36 - 9 = -3।

  2. अगला: 8−(−3)=8+3=118 - (-3) = 8 + 3 = 11।

  3. अंत में: 5−11=−65 - 11 = -6।

उत्तर

−6

सावधान

कोष्ठक के आगे का ऋण चिह्न खोलते समय भीतर का हर चिह्न पलट देता है: 10−(4−7)=10−4+7=1310 - (4 - 7) = 10 - 4 + 7 = 13। इस अध्याय की ज़्यादातर चिह्न वाली भूलें यहीं होती हैं।

"का" भाग से पहले क्यों आता है?

"का" एक गुणा है जो अपने ठीक बाद वाली संख्या से बँधा होता है, इसलिए यह साधारण ÷ या × से ज़्यादा कसकर जुड़ता है। भिन्न और "का" के बाद वाली संख्या को एक पैकेज मानिए।

  • 360÷360 \div (48 का 14\tfrac{1}{4}) =360÷12=30= 360 \div 12 = 30, "का" पहले।
  • 360÷14×48=1440×48=69,120360 \div \tfrac{1}{4} \times 48 = 1440 \times 48 = 69{,}120 एक अलग व्यंजक है, क्योंकि × "का" नहीं है।

किसी समीकरण में लुप्त संख्या कैसे ज्ञात करें?

दोनों ओर जितना हो सके सरल कीजिए, फिर अज्ञात के आसपास की संक्रियाओं को उलटे क्रम में हटाइए। जोड़ को घटाव से हटाया जाता है, गुणा को भाग से, और इसी तरह।

उदाहरण 3 · लुप्त संख्या

यदि □×7+36÷4=72\square \times 7 + 36 \div 4 = 72, तो □\square ज्ञात कीजिए।

  1. ज्ञात हिस्सा सरल कीजिए: 36÷4=936 \div 4 = 9, इसलिए □×7+9=72\square \times 7 + 9 = 72।

  2. +9+9 हटाइए: □×7=63\square \times 7 = 63।

  3. ×7\times 7 हटाइए: □=9\square = 9।

उत्तर

9

जाँच: 9×7+9=729 \times 7 + 9 = 72। उत्तर वापस रखने में पाँच सेकंड लगते हैं और ज़्यादातर भूलें पकड़ी जाती हैं।

भिन्न और दशमलव

भिन्नों को जल्दी कैसे जोड़ें, घटाएँ, गुणा और भाग करें?

जोड़ने या घटाने के लिए हर भिन्न को हरों के LCM पर लिखिए। गुणा के लिए पहले काटिए, फिर अंश को अंश से और हर को हर से गुणा कीजिए। भाग के लिए दूसरी भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा कीजिए।

  • 23+14=812+312=1112\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{8}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{11}{12}।
  • 49×278=32\tfrac{4}{9} \times \tfrac{27}{8} = \tfrac{3}{2}, 4 को 8 से और 9 को 27 से काटने के बाद।
  • 710÷1415=710×1514=34\tfrac{7}{10} \div \tfrac{14}{15} = \tfrac{7}{10} \times \tfrac{15}{14} = \tfrac{3}{4}।

सावधान

गुणा या भाग से पहले मिश्र भिन्नों को विषम भिन्न बनाइए: 212×115=52×65=32\tfrac{1}{2} \times 1\tfrac{1}{5} = \tfrac{5}{2} \times \tfrac{6}{5} = 3, न कि 2×1+12×152 \times 1 + \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{5}। और भिन्नों को सीधे आर-पार कभी न जोड़िए: 12+13=56\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{6}, 25\tfrac{2}{5} नहीं।

उदाहरण 4 · बचे हुए का भिन्न

आशा के पास ₹1,200 हैं। वह उसका 13\tfrac{1}{3} ख़र्च करती है, और फिर बचे हुए का 14\tfrac{1}{4}। कितना बचता है?

  1. पहले ख़र्च के बाद 23\tfrac{2}{3} बचता है: 23×1,200=800\tfrac{2}{3} \times 1{,}200 = 800।

  2. फिर वह 800 का 14\tfrac{1}{4}, यानी 200, ख़र्च करती है, इसलिए 600 बचते हैं।

  3. एक चरण में: मूल राशि का 23×34=12\tfrac{2}{3} \times \tfrac{3}{4} = \tfrac{1}{2} बचता है।

उत्तर

₹600

भिन्नों की तुलना या उन्हें क्रम में कैसे लगाएँ?

वज्र-गुणन कीजिए। ab\tfrac{a}{b} की cd\tfrac{c}{d} से तुलना के लिए a×da \times d की b×cb \times c से तुलना कीजिए; जिस भिन्न का अंश बड़े गुणनफल में है, वह बड़ी है। क्या 57\tfrac{5}{7}, 710\tfrac{7}{10} से बड़ी है? 5×10=505 \times 10 = 50 और 7×7=497 \times 7 = 49, इसलिए हाँ, ज़रा-सी।

परीक्षा शॉर्टकट

  • अंश बराबर हों: छोटे हर वाली भिन्न बड़ी है, इसलिए 37\tfrac{3}{7}, 38\tfrac{3}{8} से आगे है।
  • 1 से एक कम वाली भिन्नें, जैसे 45\tfrac{4}{5}, 78\tfrac{7}{8} और 1011\tfrac{10}{11}: बड़ी संख्याओं वाली भिन्न 1 के ज़्यादा पास है, क्योंकि हर एक 1 में से 1 बटा उसका हर है।
  • बहुत पास के मान: दशमलव के तीन स्थान फ़ैसला कर देते हैं। 47≈0.571\tfrac{4}{7} \approx 0.571 और 59≈0.556\tfrac{5}{9} \approx 0.556।

आवर्ती दशमलव को भिन्न में कैसे बदलें?

शुद्ध आवर्ती दशमलव में दोहराने वाले खंड को उतने 9 पर रखिए जितने उसमें अंक हैं। मिश्र आवर्ती में पूरे अंक-समूह में से न दोहराने वाला हिस्सा घटाइए, और हर दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 और उसके बाद हर न दोहराने वाले अंक के लिए एक 0 से भाग दीजिए।

दशमलवनियमभिन्न
0.777…7 बटा 979\tfrac{7}{9}
0.3636…36 बटा 99411\tfrac{4}{11}
0.4666…, केवल 6 दोहराता है46−446 - 4 बटा 904290=715\tfrac{42}{90} = \tfrac{7}{15}
0.12525…, 25 दोहराता है125−1125 - 1 बटा 990124990=62495\tfrac{124}{990} = \tfrac{62}{495}

उदाहरण 5 · मिश्र आवर्ती दशमलव

0.1888… को, जहाँ केवल 8 दोहराता है, भिन्न के रूप में लिखिए।

  1. सभी अंक: 18। न दोहराने वाला हिस्सा: 1। अंतर: 18−1=1718 - 1 = 17।

  2. एक दोहराने वाला और एक न दोहराने वाला अंक 90 देते हैं।

  3. तो 0.1888…=17900.1888\ldots = \tfrac{17}{90}।

उत्तर
1790\tfrac{17}{90}

जाँच: 17÷90=0.1888…17 \div 90 = 0.1888\ldots

सावधान

मिश्र आवर्ती दशमलव कभी केवल 9 पर नहीं जाता: 0.3888…=35900.3888\ldots = \tfrac{35}{90}, 3899\tfrac{38}{99} नहीं। और जोड़ने से पहले बदलिए: 0.444…+0.555…=49+59=10.444\ldots + 0.555\ldots = \tfrac{4}{9} + \tfrac{5}{9} = 1, 0.99 नहीं।

घात और मूल

घातांक के नियम क्या हैं?

एक ही आधार के लिए, गुणा करने पर घातें जुड़ती हैं और भाग करने पर घटती हैं। घात की घात में घातें गुणा होती हैं।

नियमशब्दों मेंउदाहरण
am×an=am+na^m \times a^n = a^{m + n}गुणा: घातें जोड़िए34×32=363^4 \times 3^2 = 3^6
am÷an=am−na^m \div a^n = a^{m - n}भाग: घातें घटाइए57÷55=52=255^7 \div 5^5 = 5^2 = 25
(am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}घात की घात(23)2=26=64(2^3)^2 = 2^6 = 64
a0=1a^0 = 1कोई भी शून्येतर आधार70=17^0 = 1
a−n=1ana^{-n} = \tfrac{1}{a^n}ऋणात्मक घात: व्युत्क्रम2−3=182^{-3} = \tfrac{1}{8}
ap/q=(aq)pa^{p/q} = (\sqrt[q]{a})^pपहले मूल, फिर घात163/4=(164)3=23=816^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8

उदाहरण 6 · एक ही अभाज्य आधार

251.5×82/3÷2425^{1.5} \times 8^{2/3} \div 2^4 को सरल कीजिए।

  1. 25=5225 = 5^2, इसलिए 251.5=53=12525^{1.5} = 5^3 = 125।

  2. 8=238 = 2^3, इसलिए 82/3=22=48^{2/3} = 2^2 = 4।

  3. 125×4÷16=500÷16=31.25125 \times 4 \div 16 = 500 \div 16 = 31.25।

उत्तर

31.25

परीक्षा शॉर्टकट

हर आधार को एक ही अभाज्य की घात के रूप में लिखिए: 4=224 = 2^2, 8=238 = 2^3, 9=329 = 3^2, 27=3327 = 3^3, 125=53125 = 5^3, 243=35243 = 3^5। तब ऋणात्मक भिन्नात्मक घात तीन काम करती है: ऋण चिह्न भिन्न को पलटता है, हर मूल लेता है, और अंश घात चढ़ाता है। (1681)−3/4=(8116)3/4=(32)3=278(\tfrac{16}{81})^{-3/4} = (\tfrac{81}{16})^{3/4} = (\tfrac{3}{2})^3 = \tfrac{27}{8}।

करणी को सरल कैसे करें और हर का परिमेयकरण कैसे करें?

सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालिए: 72=36×2=62\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}। केवल सजातीय करणियाँ जुड़ती हैं: 62+8=62+22=826\sqrt{2} + \sqrt{8} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}। 1a−b\tfrac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को a+b\sqrt{a} + \sqrt{b} से गुणा कीजिए; हर a−ba - b बन जाता है।

उदाहरण 7 · परिमेयकरण

47+3\tfrac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} को सरल कीजिए।

  1. अंश और हर को 7−3\sqrt{7} - \sqrt{3} से गुणा कीजिए।

  2. हर 7−3=47 - 3 = 4 बन जाता है।

  3. तो भिन्न 4(7−3)4=7−3\tfrac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} - \sqrt{3} है।

उत्तर
7−3\sqrt{7} - \sqrt{3}

सावधान

a+b\sqrt{a} + \sqrt{b} कभी a+b\sqrt{a + b} नहीं होता: 9+16=3+4=7\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7, 25=5\sqrt{25} = 5 नहीं। और संयुग्मी हर a−ba - b है: (5)2−(3)2=2(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2, 8 नहीं।

कटते जाने वाले योग और नेस्टेड मूल

क्योंकि 1n+1+n=n+1−n\tfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}, ऐसे पदों का लंबा योग सिमट जाता है: लगभग सब कुछ कट जाता है, और केवल पहला और अंतिम मूल बचते हैं।

11+230\sqrt{11 + 2\sqrt{30}} ज्ञात करने के लिए (a+b)2=a+b+2ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} लीजिए। आपको a+b=11a + b = 11 और ab=30ab = 30 चाहिए, इसलिए a=6a = 6 और b=5b = 5, और मूल 6+5\sqrt{6} + \sqrt{5} है।

कौन-सी सर्वसमिकाएँ मानसिक गणना तेज़ बनाती हैं?

तीन सर्वसमिकाएँ ज़्यादातर काम करती हैं: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 और (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2। aa के लिए कोई गोल संख्या और bb के लिए छोटी संख्या लीजिए।

प्रश्नसर्वसमिकागणनाउत्तर
1042104^2(a+b)2(a + b)^210000+800+1610000 + 800 + 1610,816
97297^2(a−b)2(a - b)^210000−600+910000 - 600 + 99,409
995×1005995 \times 1005(a−b)(a+b)(a - b)(a + b)1000000−251000000 - 259,99,975
632−37263^2 - 37^2a2−b2a^2 - b^226×10026 \times 1002,600

छिपी हुई सर्वसमिकाएँ

  • a3+b3a2−ab+b2=a+b\tfrac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} = a + b और a3−b3a2+ab+b2=a−b\tfrac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = a - b।
  • (a+b)2−(a−b)2=4ab(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab और (a+b)2+(a−b)2=2(a2+b2)(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)।
  • 0.7×0.7−0.2×0.20.7−0.2\tfrac{0.7 \times 0.7 - 0.2 \times 0.2}{0.7 - 0.2}, a−ba - b पर a2−b2a^2 - b^2 है, इसलिए यह 0.7+0.2=0.90.7 + 0.2 = 0.9 है।

उदाहरण 8 · पैटर्न से वर्गमूल

1369\sqrt{1369} ज्ञात कीजिए।

  1. यह 9 पर ख़त्म होता है, इसलिए मूल 3 या 7 पर ख़त्म होगा।

  2. 352=122535^2 = 1225 और 402=160040^2 = 1600, और 1369, 1225 के ज़्यादा पास है, इसलिए 37 आज़माइए।

  3. 372=136937^2 = 1369।

उत्तर

37

मुख्य बात

30 तक के वर्ग और 15 तक के घन याद रखने लायक़ हैं। ये ऐसे मूलों को दो सेकंड का काम बना देते हैं।

सन्निकटन

किसी उत्तर का जल्दी सन्निकटन कैसे करें?

हर संख्या को ऐसे मान में पूर्णांकित कीजिए जिससे काम करना आसान हो, सरल कीजिए, और अपने अनुमान के सबसे पास का विकल्प चुनिए। आसान का मतलब गोल संख्या, पूर्ण वर्ग या घन, या ऐसा प्रतिशत जो सरल भिन्न हो।

आप देखेंसोचिए
24.9% या 25.1%14\tfrac{1}{4}
33.2%13\tfrac{1}{3}
12.48%18\tfrac{1}{8}
19.97%15\tfrac{1}{5}
399\sqrt{399}20, क्योंकि 202=40020^2 = 400
13303\sqrt[3]{1330}11, क्योंकि 113=133111^3 = 1331

उदाहरण 9 · आसान संख्याओं में पूर्णांकन

1,504 का 19.96% जमा 3598\sqrt{3598} लगभग कितना है?

  1. 1,504 का 19.96%, 1,500 के 20% के पास है, जो 300 है।

  2. 3,598, 3600=6023600 = 60^2 के पास है, इसलिए मूल लगभग 60 है।

  3. अनुमान: 300+60=360300 + 60 = 360।

उत्तर

लगभग 360

सटीक मान लगभग 360.2 है।

सावधान

पूर्णांकित संख्याओं पर भी BODMAS लागू है। और गुणनफल में एक संख्या को ऊपर और दूसरी को नीचे पूर्णांकित करने से भूलें आंशिक रूप से कट जाती हैं; दोनों को एक ही ओर पूर्णांकित करने से अनुमान खिसकता है, इसलिए पास-पास के फ़ैसले पर भरोसा करने से पहले देखिए कि विकल्प कितने दूर हैं।

परीक्षा शॉर्टकट

  • पहले विकल्प देखिए। दूर-दूर: अनुमान। पास-पास: सटीक हल।
  • ÷ से पहले "का"। भिन्न और "का" के बाद वाली संख्या को एक पैकेज मानिए।
  • एक ही अभाज्य आधार। 4, 8, 9, 27 और 125 को 2, 3 और 5 की घातों में लिखिए।
  • सर्वसमिका पहचानिए। a2−b2a^2 - b^2, (a±b)2(a \pm b)^2 और घन वाली सर्वसमिकाएँ उलझे दशमलवों में छिपी रहती हैं।
  • उत्तर वापस रखिए। पाँच सेकंड की जाँच ज़्यादातर भूलें पकड़ लेती है।

आम गलतियाँ

  • पहले आने वाले भाग से पहले गुणा करना। 48÷6×2=1648 \div 6 \times 2 = 16, 4 नहीं।
  • "का" को अनदेखा करना। 200÷200 \div (20 का 12\tfrac{1}{2}) =200÷10=20= 200 \div 10 = 20।
  • कोष्ठक खोलते समय चिह्न खोना। 7−(3−5)=7−3+5=97 - (3 - 5) = 7 - 3 + 5 = 9।
  • भिन्नों को सीधे आर-पार जोड़ना।
  • मिश्र आवर्ती दशमलव के लिए 99।
  • करणियों को एक मूल के नीचे जोड़ना।
  • संयुग्मी हर में a+ba + b।
  • बीच का पद छोड़ना। (x+5)2=x2+10x+25(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, x2+25x^2 + 25 नहीं।
  • a0a^0 और a−1a^{-1}। 60=16^0 = 1, 0 या 6 नहीं। 5−1=155^{-1} = \tfrac{1}{5}, −5 नहीं।
  • एक चरण पहले रुक जाना। कई विकल्प बीच के चरण का उत्तर होते हैं। दोबारा पढ़िए कि क्या पूछा गया है।

त्वरित पुनरावृत्ति

संक्रियाओं का क्रम

  • कोष्ठक, का, ÷ और × बाएँ से दाएँ, + और − बाएँ से दाएँ
  • कोष्ठक भीतर से बाहर। कोष्ठक से पहले का ऋण हर चिह्न पलटता है

भिन्न और दशमलव

  • LCM पर जोड़िए। व्युत्क्रम से गुणा कर भाग दीजिए
  • वज्र-गुणन से तुलना कीजिए
  • 0.ab‾=ab990.\overline{ab} = \tfrac{ab}{99}। मिश्र: (सभी − न दोहराने वाले) बटा 9 फिर 0

घातांक और करणी

  • aman=am+na^m a^n = a^{m + n}, (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}, a0=1a^0 = 1, a−n=1ana^{-n} = \tfrac{1}{a^n}
  • ap/qa^{p/q}: पहले मूल, फिर घात
  • संयुग्मी से परिमेयकरण: हर a−ba - b

सर्वसमिकाएँ और अनुमान

  • (a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2, a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
  • 25% है 14\tfrac{1}{4}, 12.5% है 18\tfrac{1}{8}, 20% है 15\tfrac{1}{5}
  • वर्गों और घनों तक पूर्णांकित कीजिए

सन्निकटन प्रश्नों के भीतर के प्रतिशत प्रतिशत में हल किए गए हैं, और अभाज्य गुणनखंड व विभाज्यता संख्या पद्धति में।

आगे · 08त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

71 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

यहाँ कुछ प्रश्न अभी केवल अंग्रेज़ी में हैं।

संक्रियाओं का क्रम (BODMAS)प्र1 / 71प्र1

संक्रियाओं का क्रम (BODMAS)

21 प्रश्न

प्रश्न 1

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Evaluate 18−3×4+24÷618 - 3 \times 4 + 24 \div 6.

प्रश्न 1 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 10

  1. Multiplication and division are done before addition and subtraction.

  2. 3×4=123 \times 4 = 12 and 24÷6=424 \div 6 = 4, so the expression becomes 18−12+418 - 12 + 4.

  3. Addition and subtraction are then worked from left to right: 18−12=618 - 12 = 6, then 6+4=106 + 4 = 10.

ध्यान देने योग्य

Working strictly left to right from the start gives ((18−3)×4+24)÷6=14((18-3) \times 4 + 24) \div 6 = 14. Doing the addition before the subtraction gives 2. Both are on offer.

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

36÷4×3−5+236 \div 4 \times 3 - 5 + 2 का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 2 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 24

  1. भाग और गुणा का दर्जा बराबर है, इसलिए बाएँ से दाएँ हल कीजिए: 36÷4=936 \div 4 = 9, फिर 9×3=279 \times 3 = 27।

  2. घटाना और जोड़ना भी बाएँ से दाएँ: 27−5=2227 - 5 = 22, फिर 22+2=2422 + 2 = 24।

ध्यान देने योग्य

पहले गुणा करने पर 36÷12=336 \div 12 = 3 और अंतिम उत्तर 0 आता है; 5+25 + 2 को एक साथ घटाने पर 20 आता है। दोनों ही बाएँ से दाएँ के नियम को तोड़ते हैं।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

7+5×(12−8)÷27 + 5 \times (12 - 8) \div 2 का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 3 के विकल्प

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उत्तरB · 17

  1. पहले कोष्ठक: 12−8=412 - 8 = 4।

  2. फिर गुणा और भाग बाएँ से दाएँ: 5×4=205 \times 4 = 20, 20÷2=1020 \div 2 = 10।

  3. अंत में 7+10=177 + 10 = 17।

ध्यान देने योग्य

पहले 7 और 5 जोड़ने पर 12×4÷2=2412 \times 4 \div 2 = 24 आता है; जोड़ तब तक रुकना चाहिए जब तक सारे गुणा और भाग पूरे न हो जाएँ।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मान ज्ञात कीजिए: 14\frac{1}{4} का 48+6×348 + 6 \times 3।

प्रश्न 4 के विकल्प

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उत्तरB · 30

  1. 'का' (of) का अर्थ गुणा है और यहाँ इसे बाकी संक्रियाओं से पहले किया जाता है: 14\frac{1}{4} का 48=1248 = 12।

  2. इसके बाद गुणा: 6×3=186 \times 3 = 18।

  3. फिर 12+18=3012 + 18 = 30।

ध्यान देने योग्य

पूरे 48+1848 + 18 का 14\frac{1}{4} लेने पर 16.5 आता है; 48+648 + 6 का 14\frac{1}{4} लेकर फिर 3 से गुणा करने पर 40.5 आता है; गुणा से पहले 12 और 6 जोड़ने पर 54 आता है। 'का' केवल अपने ठीक बाद वाली संख्या से जुड़ता है।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए: 45+□×3=8145 + \square \times 3 = 81।

प्रश्न 5 के विकल्प

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उत्तरA · 12

  1. गुणनफल □×3\square \times 3 को 45 में जोड़ा गया है, इसलिए □×3=81−45=36\square \times 3 = 81 - 45 = 36।

  2. अतः □=36÷3=12\square = 36 \div 3 = 12।

  3. जाँच: 45+12×3=45+36=8145 + 12 \times 3 = 45 + 36 = 81।

ध्यान देने योग्य

36 पर रुक जाने का अर्थ है कि 3 से अंतिम भाग करना भूल गए।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

64÷8÷2+3×264 \div 8 \div 2 + 3 \times 2 का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6 के विकल्प

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उत्तरA · 10

  1. भाग बाएँ से दाएँ: 64÷8=864 \div 8 = 8, फिर 8÷2=48 \div 2 = 4।

  2. गुणा: 3×2=63 \times 2 = 6।

  3. जोड़: 4+6=104 + 6 = 10।

ध्यान देने योग्य

पहले 8÷28 \div 2 करने पर 64÷4=1664 \div 4 = 16 और कुल 22 आता है। लगातार भाग हमेशा बाएँ से दाएँ किया जाता है।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

150−6×12÷3150 - 6 \times 12 \div 3 का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 7 के विकल्प

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उत्तरA · 126

  1. पहले गुणा और भाग, बाएँ से दाएँ: 6×12=726 \times 12 = 72, 72÷3=2472 \div 3 = 24।

  2. फिर 150−24=126150 - 24 = 126।

ध्यान देने योग्य

150 से शुरू करके केवल बाएँ से दाएँ हल करने पर 144×12÷3=576144 \times 12 \div 3 = 576 आता है, और 144 तो केवल पहला चरण 150−6150 - 6 है, जो क्रम से पहले कर लिया गया।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

3×[20−(4+2)×2]3 \times [20 - (4 + 2) \times 2] का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 8 के विकल्प

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उत्तरA · 24

  1. सबसे भीतरी कोष्ठक: 4+2=64 + 2 = 6।

  2. बड़े कोष्ठक के अंदर घटाने से पहले गुणा: 20−6×2=20−12=820 - 6 \times 2 = 20 - 12 = 8।

  3. अंत में 3×8=243 \times 8 = 24।

ध्यान देने योग्य

पहले 20−620 - 6 करने पर कोष्ठक के अंदर 14×2=2814 \times 2 = 28 और कुल मिलाकर 84 आता है।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

48÷[16−{3×(7−5)+2}]48 \div [16 - \{3 \times (7 - 5) + 2\}] को सरल कीजिए।

प्रश्न 9 के विकल्प

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उत्तरB · 6

  1. छोटा कोष्ठक: 7−5=27 - 5 = 2।

  2. मझला कोष्ठक: 3×2+2=83 \times 2 + 2 = 8।

  3. बड़ा कोष्ठक: 16−8=816 - 8 = 8।

  4. अंत में 48÷8=648 \div 8 = 6।

ध्यान देने योग्य

मझले कोष्ठक को 3×(2+2)=123 \times (2 + 2) = 12 पढ़ने पर 16−12=416 - 12 = 4 बचता है और अंतिम उत्तर 12 आता है। हर कोष्ठक के अंदर भी BODMAS लागू होता है।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मान ज्ञात कीजिए: 35\frac{3}{5} का 75−18÷3×2+475 - 18 \div 3 \times 2 + 4।

प्रश्न 10 के विकल्प

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उत्तरA · 37

  1. पहले 'का' (of): 35×75=45\frac{3}{5} \times 75 = 45।

  2. भाग और गुणा बाएँ से दाएँ: 18÷3=618 \div 3 = 6, 6×2=126 \times 2 = 12।

  3. फिर 45−12+4=3745 - 12 + 4 = 37।

ध्यान देने योग्य

पहले 3×23 \times 2 गुणा करने पर 18÷6=318 \div 6 = 3 और उत्तर 46 आता है; ×2\times 2 भूल जाने पर 43 आता है।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए: □÷6+14=5×7−3\square \div 6 + 14 = 5 \times 7 - 3।

प्रश्न 11 के विकल्प

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उत्तरC · 108

  1. दायाँ पक्ष: 5×7−3=35−3=325 \times 7 - 3 = 35 - 3 = 32।

  2. इसलिए □÷6=32−14=18\square \div 6 = 32 - 14 = 18।

  3. अतः □=18×6=108\square = 18 \times 6 = 108।

ध्यान देने योग्य

दाएँ पक्ष को 5×(7−3)=205 \times (7 - 3) = 20 पढ़ने पर 36 आता है; 14 घटाना भूल जाने पर 32×6=19232 \times 6 = 192 आता है; 18 पर रुकने से अंतिम चरण छूट जाता है।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

12+8×5−60÷(3×4)12 + 8 \times 5 - 60 \div (3 \times 4) का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 12 के विकल्प

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उत्तरB · 47

  1. कोष्ठक: 3×4=123 \times 4 = 12।

  2. गुणा और भाग: 8×5=408 \times 5 = 40 और 60÷12=560 \div 12 = 5।

  3. फिर 12+40−5=4712 + 40 - 5 = 47।

ध्यान देने योग्य

कोष्ठक को अनदेखा करने पर 60÷3×460 \div 3 \times 4 का मान 80 हो जाता है और उत्तर −28-28 आता है। कोष्ठक के कारण भाजक 12 है।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

2−[3−{4−(5−6)}]2 - [3 - \{4 - (5 - 6)\}] को सरल कीजिए।

प्रश्न 13 के विकल्प

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उत्तरC · 4

  1. सबसे भीतरी: 5−6=−15 - 6 = -1।

  2. मझला कोष्ठक: 4−(−1)=4+1=54 - (-1) = 4 + 1 = 5।

  3. बड़ा कोष्ठक: 3−5=−23 - 5 = -2।

  4. अंत में 2−(−2)=2+2=42 - (-2) = 2 + 2 = 4।

ध्यान देने योग्य

कोष्ठक के आगे का ऋण चिह्न उसके अंदर के हर चिह्न को उलट देता है। 4−(5−6)4 - (5 - 6) को 4−5−64 - 5 - 6 के रूप में खोलना ही वह चूक है जिससे −8-8 आता है।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मान ज्ञात कीजिए: 540÷13540 \div \frac{1}{3} का 3636।

प्रश्न 14 के विकल्प

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उत्तरC · 45

  1. 'का' (of) भाग से पहले किया जाता है: 13\frac{1}{3} का 36=1236 = 12।

  2. फिर 540÷12=45540 \div 12 = 45।

ध्यान देने योग्य

पहले भाग करने पर 540÷13=1620540 \div \frac{1}{3} = 1620, फिर 1620×36=583201620 \times 36 = 58320 आता है। BODMAS में O का अर्थ 'of' (का) है, जिसका दर्जा भाग से ऊपर है।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए: □×12−96÷8=84\square \times 12 - 96 \div 8 = 84।

प्रश्न 15 के विकल्प

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उत्तरC · 8

  1. पहले ज्ञात भाग को सरल कीजिए: 96÷8=1296 \div 8 = 12।

  2. इसलिए □×12−12=84\square \times 12 - 12 = 84, जिससे □×12=96\square \times 12 = 96 मिलता है।

  3. अतः □=96÷12=8\square = 96 \div 12 = 8।

ध्यान देने योग्य

12 को वापस जोड़ने के बजाय घटाने पर 72÷12=672 \div 12 = 6 आता है। घटाने को पलटने के लिए जोड़ा जाता है।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

0.5×18+36÷0.4−70.5 \times 18 + 36 \div 0.4 - 7 का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 16 के विकल्प

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उत्तरB · 92

  1. 0.5×18=90.5 \times 18 = 9।

  2. 36÷0.4=360÷4=9036 \div 0.4 = 360 \div 4 = 90।

  3. फिर 9+90−7=929 + 90 - 7 = 92।

ध्यान देने योग्य

1 से छोटी दशमलव संख्या से भाग देने पर संख्या बड़ी हो जाती है। 36÷0.4=936 \div 0.4 = 9 लिखने से 11 आता है।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

[(72−13)÷4]×[(18−6)÷3][(7^2 - 13) \div 4] \times [(18 - 6) \div 3] का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 17 के विकल्प

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उत्तरC · 36

  1. पहला कोष्ठक: 72=497^2 = 49, 49−13=3649 - 13 = 36, 36÷4=936 \div 4 = 9।

  2. दूसरा कोष्ठक: 18−6=1218 - 6 = 12, 12÷3=412 \div 3 = 4।

  3. गुणनफल: 9×4=369 \times 4 = 36।

ध्यान देने योग्य

727^2 को 7×2=147 \times 2 = 14 पढ़ने की चूक से 1 आता है। दोनों कोष्ठकों के बीच गुणा है, इसलिए उन्हें जोड़ना (13) भी गलत है।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रितिका BODMAS को अनदेखा करके 84−4×6+384 - 4 \times 6 + 3 को केवल बाएँ से दाएँ हल करती है। उसका उत्तर सही मान से कितना अलग है?

प्रश्न 18 के विकल्प

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उत्तरB · 420

  1. रितिका का तरीका: 84−4=8084 - 4 = 80, 80×6=48080 \times 6 = 480, 480+3=483480 + 3 = 483।

  2. सही तरीका: 84−24+3=6384 - 24 + 3 = 63।

  3. अंतर: 483−63=420483 - 63 = 420।

ध्यान देने योग्य

प्रश्न अंतर पूछ रहा है, दोनों में से कोई एक मान नहीं। 483 रितिका का उत्तर है और 63 सही मान है।

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

5+5×5−5÷55×5+5−5×5÷5\dfrac{5 + 5 \times 5 - 5 \div 5}{5 \times 5 + 5 - 5 \times 5 \div 5} को सरल कीजिए।

प्रश्न 19 के विकल्प

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उत्तरD · 2925\frac{29}{25}

  1. अंश: 5×5=255 \times 5 = 25 और 5÷5=15 \div 5 = 1, इसलिए 5+25−1=295 + 25 - 1 = 29।

  2. हर: 5×5=255 \times 5 = 25 और 5×5÷5=55 \times 5 \div 5 = 5, इसलिए 25+5−5=2525 + 5 - 5 = 25।

  3. मान =2925= \frac{29}{25}।

ध्यान देने योग्य

अंश में −5÷5- 5 \div 5 भूल जाने पर 3025=65\frac{30}{25} = \frac{6}{5} आता है; अंश को बाएँ से दाएँ हल करने पर 9 और 925\frac{9}{25} आता है।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए: 34\frac{3}{4} का □−25\square - \frac{2}{5} का 150=12×3+9150 = 12 \times 3 + 9।

प्रश्न 20 के विकल्प

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उत्तरC · 140

  1. दायाँ पक्ष: 12×3+9=36+9=4512 \times 3 + 9 = 36 + 9 = 45।

  2. 25\frac{2}{5} का 150=60150 = 60, इसलिए 34\frac{3}{4} का □=45+60=105\square = 45 + 60 = 105।

  3. □=105÷34=105×43=140\square = 105 \div \frac{3}{4} = 105 \times \frac{4}{3} = 140।

ध्यान देने योग्य

105 को 34\frac{3}{4} से भाग देने के बजाय गुणा करने पर 78.75 आता है। 105 पर रुकने से संख्या का 34\frac{3}{4} मिलता है, संख्या नहीं।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कोष्ठकों का एक जोड़ा कहाँ लगाया जाए कि 8+4×6−2÷2=288 + 4 \times 6 - 2 \div 2 = 28 हो जाए?

प्रश्न 21 के विकल्प

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उत्तरC · 8+4×(6−2÷2)8 + 4 \times (6 - 2 \div 2)

  1. (8+24−2)÷2=30÷2=15(8 + 24 - 2) \div 2 = 30 \div 2 = 15।

  2. 12×6−1=7112 \times 6 - 1 = 71।

  3. 8+4×4÷2=8+8=168 + 4 \times 4 \div 2 = 8 + 8 = 16।

  4. 8+4×(6−1)=8+4×5=288 + 4 \times (6 - 1) = 8 + 4 \times 5 = 28। यही स्थिति सही बैठती है।

ध्यान देने योग्य

कोष्ठक की हर स्थिति को BODMAS से पूरा हल करके जाँचिए। कोष्ठक 6−2÷26 - 2 \div 2 के अंदर भी भाग पहले होता है, जिससे 5 आता है, 2 नहीं।

भिन्न और दशमलव

18 प्रश्न

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

23+34−56\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{5}{6} को सरल कीजिए।

प्रश्न 22 के विकल्प

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उत्तरB · 712\frac{7}{12}

  1. 3, 4 और 6 का ल.स.प. (LCM) 12 है।

  2. 812+912−1012=8+9−1012=712\frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{10}{12} = \frac{8 + 9 - 10}{12} = \frac{7}{12}।

ध्यान देने योग्य

अंशों और हरों को सीधे जोड़ने-घटाने पर, 2+3−53+4−6\frac{2 + 3 - 5}{3 + 4 - 6}, 0 आता है। भिन्नों को केवल समान हर पर लाकर ही जोड़ा जाता है।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

0.36÷0.0120.36 \div 0.012 का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 23 के विकल्प

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उत्तरD · 30

  1. दशमलव हटाने के लिए दोनों संख्याओं को 1000 से गुणा कीजिए: 0.360.012=36012\frac{0.36}{0.012} = \frac{360}{12}।

  2. 360÷12=30360 \div 12 = 30।

ध्यान देने योग्य

दोनों संख्याओं में दशमलव बिंदु को बराबर स्थान खिसकाइए। 0.36 में दो स्थान पर 0.012 में तीन स्थान खिसकाने से 3 आता है।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

0.45‾0.\overline{45} को न्यूनतम पदों में भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए।

प्रश्न 24 के विकल्प

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उत्तरA · 511\frac{5}{11}

  1. दो अंक दोहराए जाते हैं, इसलिए 0.45‾=45990.\overline{45} = \frac{45}{99}।

  2. अंश और हर को 9 से भाग दीजिए: 4599=511\frac{45}{99} = \frac{5}{11}।

ध्यान देने योग्य

920\frac{9}{20} ठीक 0.45 है, जो वहीं रुक जाता है; 4190\frac{41}{90} का मान 0.45‾0.4\overline{5} है, जिसमें केवल 5 दोहराया जाता है।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1.2×0.05+0.41.2 \times 0.05 + 0.4 का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 25 के विकल्प

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उत्तरA · 0.46

  1. पहले गुणा: 12×5=6012 \times 5 = 60, और दशमलव के बाद कुल 1+2=31 + 2 = 3 अंक हैं, इसलिए 1.2×0.05=0.0601.2 \times 0.05 = 0.060।

  2. फिर 0.06+0.4=0.460.06 + 0.4 = 0.46।

ध्यान देने योग्य

पहले जोड़ने पर 1.2×0.45=0.541.2 \times 0.45 = 0.54 आता है; 1.2×0.051.2 \times 0.05 को 0.6 लिखने पर 1 आता है।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

312×1373\frac{1}{2} \times 1\frac{3}{7} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 26 के विकल्प

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उत्तरA · 5

  1. मिश्र भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलिए: 312=723\frac{1}{2} = \frac{7}{2} और 137=1071\frac{3}{7} = \frac{10}{7}।

  2. 72×107=7014=5\frac{7}{2} \times \frac{10}{7} = \frac{70}{14} = 5।

ध्यान देने योग्य

पूर्णांक भागों और भिन्न भागों को अलग-अलग गुणा करने पर, 3×1+12×373 \times 1 + \frac{1}{2} \times \frac{3}{7}, 33143\frac{3}{14} आता है, जो गलत है। मिश्र भिन्नों को हमेशा पहले बदलिए।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

56÷109\frac{5}{6} \div \frac{10}{9} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 27 के विकल्प

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उत्तरB · 34\frac{3}{4}

  1. किसी भिन्न से भाग देने का अर्थ है उसके व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करना: 56×910\frac{5}{6} \times \frac{9}{10}।

  2. =4560=34= \frac{45}{60} = \frac{3}{4}।

ध्यान देने योग्य

भिन्न को उलटे बिना गुणा करने पर 5054=2527\frac{50}{54} = \frac{25}{27} आता है; दूसरे के बजाय पहली भिन्न को उलटने पर 43\frac{4}{3} आता है।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

इन भिन्नों में सबसे बड़ी कौन-सी है: 35,58,711,914\frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \frac{7}{11}, \frac{9}{14}?

प्रश्न 28 के विकल्प

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उत्तरD · 914\frac{9}{14}

  1. दशमलव में: 35=0.6\frac{3}{5} = 0.6, 58=0.625\frac{5}{8} = 0.625, 711≈0.636\frac{7}{11} \approx 0.636, 914≈0.643\frac{9}{14} \approx 0.643।

  2. या सबसे निकट की दो भिन्नों की तुलना वज्र-गुणन (cross-multiplication) से कीजिए: 7×14=987 \times 14 = 98 और 9×11=999 \times 11 = 99, इसलिए 914>711\frac{9}{14} > \frac{7}{11}।

  3. सबसे बड़ी भिन्न 914\frac{9}{14} है।

ध्यान देने योग्य

ab\frac{a}{b} और cd\frac{c}{d} की तुलना के लिए a×da \times d की तुलना b×cb \times c से कीजिए; जिस भिन्न का वज्र-गुणनफल बड़ा है, वही भिन्न बड़ी है।

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

0.23‾0.2\overline{3} को न्यूनतम पदों में भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए।

प्रश्न 29 के विकल्प

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उत्तरD · 730\frac{7}{30}

  1. केवल 3 दोहराया जाता है। मिश्रित आवर्ती दशमलव के लिए: (सभी अंक − न दोहराए जाने वाले अंक) ÷ (हर दोहराए जाने वाले अंक के लिए एक 9, हर न दोहराए जाने वाले अंक के लिए एक 0)।

  2. 0.23‾=23−290=21900.2\overline{3} = \frac{23 - 2}{90} = \frac{21}{90}।

  3. सरल कीजिए: 2190=730\frac{21}{90} = \frac{7}{30}।

ध्यान देने योग्य

2399\frac{23}{99} का मान 0.23‾0.\overline{23} है, जिसमें दोनों अंक दोहराए जाते हैं, और 2199=733\frac{21}{99} = \frac{7}{33} में 90 की जगह 99 का प्रयोग हुआ है। जाँच: 7÷30=0.2333…7 \div 30 = 0.2333\ldots

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पानी की एक टंकी 38\frac{3}{8} भरी है। जोसेफ़ के 45 लीटर पानी डालने के बाद यह 34\frac{3}{4} भर जाती है। टंकी की धारिता कितनी है?

प्रश्न 30 के विकल्प

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उत्तरC · 120 लीटर

  1. 45 लीटर पानी से टंकी का 34−38=68−38=38\frac{3}{4} - \frac{3}{8} = \frac{6}{8} - \frac{3}{8} = \frac{3}{8} भाग भरा।

  2. धारिता =45÷38=45×83=120= 45 \div \frac{3}{8} = 45 \times \frac{8}{3} = 120 लीटर।

ध्यान देने योग्य

45 लीटर को टंकी का 34\frac{3}{4} मानने पर 60 लीटर आता है; 45 लीटर तो केवल 38\frac{3}{8} से 34\frac{3}{4} तक का बदलाव है।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

0.25×0.25−0.15×0.150.25−0.15\dfrac{0.25 \times 0.25 - 0.15 \times 0.15}{0.25 - 0.15} को सरल कीजिए।

प्रश्न 31 के विकल्प

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उत्तरC · 0.4

  1. अंश a2−b2a^2 - b^2 के रूप में है, जहाँ a=0.25a = 0.25, b=0.15b = 0.15, और a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)।

  2. (a−b)(a - b) को काटने पर a+b=0.25+0.15=0.4a + b = 0.25 + 0.15 = 0.4 बचता है।

ध्यान देने योग्य

सीधे हल करने पर: 0.0625−0.0225=0.040.0625 - 0.0225 = 0.04, और 0.04÷0.1=0.40.04 \div 0.1 = 0.4। अंश पर ही रुक जाने से 0.04 आता है।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

47,59\frac{4}{7}, \frac{5}{9} और 712\frac{7}{12} को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए।

प्रश्न 32 के विकल्प

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उत्तरB · 59<47<712\frac{5}{9} < \frac{4}{7} < \frac{7}{12}

  1. दशमलव में बदलिए: 47≈0.571\frac{4}{7} \approx 0.571, 59≈0.556\frac{5}{9} \approx 0.556, 712≈0.583\frac{7}{12} \approx 0.583।

  2. वज्र-गुणन से जाँचिए: 5×7=35<4×9=365 \times 7 = 35 < 4 \times 9 = 36, इसलिए 59<47\frac{5}{9} < \frac{4}{7}; 4×12=48<7×7=494 \times 12 = 48 < 7 \times 7 = 49, इसलिए 47<712\frac{4}{7} < \frac{7}{12}।

  3. आरोही क्रम: 59<47<712\frac{5}{9} < \frac{4}{7} < \frac{7}{12}।

ध्यान देने योग्य

यहाँ बड़े अंश का अर्थ बड़ी भिन्न नहीं है; तीनों मान एक-दूसरे से 0.03 के भीतर हैं, इसलिए ध्यान से तुलना कीजिए।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1+11+12+131 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3}}} को सरल कीजिए।

प्रश्न 33 के विकल्प

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उत्तरA · 1710\frac{17}{10}

  1. नीचे से शुरू कीजिए: 2+13=732 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}, इसलिए 17/3=37\frac{1}{7/3} = \frac{3}{7}।

  2. अगला स्तर: 1+37=1071 + \frac{3}{7} = \frac{10}{7}, इसलिए 110/7=710\frac{1}{10/7} = \frac{7}{10}।

  3. सबसे ऊपर: 1+710=17101 + \frac{7}{10} = \frac{17}{10}।

ध्यान देने योग्य

107\frac{10}{7} केवल बीच का स्तर है; उसका व्युत्क्रम लेना भूल जाने पर 1+107=1771 + \frac{10}{7} = \frac{17}{7} आता है।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

0.6‾+0.7‾0.\overline{6} + 0.\overline{7} को भिन्न के रूप में ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 34 के विकल्प

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उत्तरC · 139\frac{13}{9}

  1. 0.6‾=690.\overline{6} = \frac{6}{9} और 0.7‾=790.\overline{7} = \frac{7}{9}।

  2. योग =139=149= \frac{13}{9} = 1\frac{4}{9}।

ध्यान देने योग्य

सांत दशमलव की तरह जोड़ने पर, 0.6+0.7=1.3=13100.6 + 0.7 = 1.3 = \frac{13}{10}, आवर्ती भाग छूट जाता है। एक अंक दोहराए जाने का अर्थ है हर 9, न कि 99।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मीनाक्षी अपने मासिक वेतन का 14\frac{1}{4} भाग किराए पर और शेष राशि का 25\frac{2}{5} भाग भोजन पर ख़र्च करती है। उसके पास ₹12,600 बचते हैं। उसका मासिक वेतन कितना है?

प्रश्न 35 के विकल्प

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उत्तरB · ₹28,000

  1. किराए के बाद वेतन का 34\frac{3}{4} भाग बचता है।

  2. भोजन उसका 25\frac{2}{5} लेता है, इसलिए 34\frac{3}{4} का 35\frac{3}{5} बचता है: 35×34=920\frac{3}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{20}।

  3. वेतन का 920\frac{9}{20} = ₹12,600, इसलिए वेतन = 12600×20912600 \times \frac{20}{9} = ₹28,000।

ध्यान देने योग्य

25\frac{2}{5} भाग शेष राशि का है, वेतन का नहीं। 1 में से 14+25\frac{1}{4} + \frac{2}{5} घटाने पर 720\frac{7}{20} बचता है और ₹36,000 आता है।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

11×2+12×3+13×4+⋯+19×10\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{9 \times 10} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 36 के विकल्प

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उत्तरD · 910\frac{9}{10}

  1. हर पद को तोड़ा जा सकता है: 1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}।

  2. योग बन जाता है (1−12)+(12−13)+⋯+(19−110)\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right)।

  3. बीच के सभी पद कट जाते हैं और 1−110=9101 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} बचता है।

ध्यान देने योग्य

अंतिम पद 19×10\frac{1}{9 \times 10} है, इसलिए बचा हुआ पद 110\frac{1}{10} है, 19\frac{1}{9} नहीं (जिससे 89\frac{8}{9} आता)।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

0.12‾+0.12‾0.\overline{12} + 0.1\overline{2} को भिन्न के रूप में ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 37 के विकल्प

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उत्तरC · 241990\frac{241}{990}

  1. 0.12‾=1299=4330.\overline{12} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} (दोनों अंक दोहराए जाते हैं)।

  2. 0.12‾=12−190=11900.1\overline{2} = \frac{12 - 1}{90} = \frac{11}{90} (केवल 2 दोहराया जाता है)।

  3. 33 और 90 का ल.स.प. 990 है: 120990+121990=241990\frac{120}{990} + \frac{121}{990} = \frac{241}{990}।

ध्यान देने योग्य

दोनों दशमलव एक जैसे दिखते हैं पर अलग हैं: 0.121212…0.121212\ldots और 0.122222…0.122222\ldots। दोनों को 0.12‾0.\overline{12} मानने पर 833\frac{8}{33} आता है।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1316,1619,1922\frac{13}{16}, \frac{16}{19}, \frac{19}{22} और 2225\frac{22}{25} में दूसरी सबसे बड़ी भिन्न कौन-सी है?

प्रश्न 38 के विकल्प

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उत्तरC · 1922\frac{19}{22}

  1. हर भिन्न 1−3denominator1 - \frac{3}{\text{denominator}} के रूप में है: 1−316,1−319,1−322,1−3251 - \frac{3}{16}, 1 - \frac{3}{19}, 1 - \frac{3}{22}, 1 - \frac{3}{25}।

  2. हर जितना बड़ा होगा, घटाया जाने वाला भाग उतना ही छोटा होगा, इसलिए क्रम है 1316<1619<1922<2225\frac{13}{16} < \frac{16}{19} < \frac{19}{22} < \frac{22}{25}।

  3. दूसरी सबसे बड़ी भिन्न 1922\frac{19}{22} है।

ध्यान देने योग्य

जब अंश और हर में समान अंतर हो, तो बड़ी संख्याओं वाली भिन्न 1 के अधिक निकट होती है। जाल यह है कि प्रश्न दूसरी सबसे बड़ी पूछता है, पर छात्र सबसे बड़ी 2225\frac{22}{25} चुन लेते हैं।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

213−11223 of 114\dfrac{2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}}{\frac{2}{3} \text{ of } 1\frac{1}{4}} को सरल कीजिए। (यहाँ of का अर्थ 'का' है।)

प्रश्न 39 के विकल्प

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उत्तरA · 1

  1. अंश: 73−32=14−96=56\frac{7}{3} - \frac{3}{2} = \frac{14 - 9}{6} = \frac{5}{6}।

  2. हर: 23×54=1012=56\frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}।

  3. मान =56÷56=1= \frac{5}{6} \div \frac{5}{6} = 1।

ध्यान देने योग्य

'का' (of) का अर्थ गुणा है। इसके बजाय 23\frac{2}{3} को 1141\frac{1}{4} से भाग देने पर हर 815\frac{8}{15} और उत्तर 2516\frac{25}{16} हो जाता है; अंश को हर से गुणा करने पर 2536\frac{25}{36} आता है।

घात, मूल और करणी

18 प्रश्न

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

25×23÷262^5 \times 2^3 \div 2^6 को सरल कीजिए।

प्रश्न 40 के विकल्प

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उत्तरA · 4

  1. आधार समान है: गुणा करते समय घातें जोड़िए और भाग देते समय घटाइए।

  2. 25+3−6=22=42^{5 + 3 - 6} = 2^2 = 4।

ध्यान देने योग्य

भाग भूल जाने पर 28=2562^8 = 256 बचता है; घातों 5 और 3 को गुणा करने पर 215−6=29=5122^{15 - 6} = 2^9 = 512 आता है।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1444\sqrt{1444} ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 41 के विकल्प

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उत्तरD · 38

  1. संख्या का इकाई अंक 4 है, इसलिए इसके वर्गमूल का इकाई अंक 2 या 8 है।

  2. 352=122535^2 = 1225 और 402=160040^2 = 1600, इसलिए वर्गमूल 35 और 40 के बीच है, अर्थात उसका इकाई अंक 8 है: वह 38 है।

  3. जाँच: 382=144438^2 = 1444।

ध्यान देने योग्य

32 का इकाई अंक भी ऐसा है जिसके वर्ग का इकाई अंक 4 है, पर 322=102432^2 = 1024। वर्गमूल को हमेशा दो आसान वर्गों के बीच घेरिए।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

0.0002163\sqrt[3]{0.000216} ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 42 के विकल्प

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उत्तरC · 0.06

  1. इसे भिन्न के रूप में लिखिए: 0.000216=21610000000.000216 = \frac{216}{1000000}।

  2. 2163=6\sqrt[3]{216} = 6 और 10000003=100\sqrt[3]{1000000} = 100, इसलिए घनमूल 6100=0.06\frac{6}{100} = 0.06 है।

ध्यान देने योग्य

घनमूल लेने पर दशमलव के बाद के अंकों की संख्या 3 से भाग हो जाती है: छह अंक दो रह जाते हैं। जाँच: 0.063=0.0002160.06^3 = 0.000216।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सर्वसमिका (identity) का प्रयोग करके 1032103^2 ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 43 के विकल्प

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उत्तरC · 10609

  1. (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, जहाँ a=100a = 100, b=3b = 3।

  2. 10000+600+9=1060910000 + 600 + 9 = 10609।

ध्यान देने योग्य

(100+3)2(100 + 3)^2 का मान 1002+32=10009100^2 + 3^2 = 10009 नहीं है; बीच का पद 2ab=6002ab = 600 ही वह भाग है जिसे छात्र छोड़ देते हैं।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

(50+4−1)×8(5^0 + 4^{-1}) \times 8 का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 44 के विकल्प

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उत्तरA · 10

  1. किसी भी शून्येतर संख्या की घात 0 का मान 1 होता है, इसलिए 50=15^0 = 1।

  2. ऋणात्मक घात व्युत्क्रम होती है: 4−1=144^{-1} = \frac{1}{4}।

  3. (1+14)×8=54×8=10\left(1 + \frac{1}{4}\right) \times 8 = \frac{5}{4} \times 8 = 10।

ध्यान देने योग्य

4−14^{-1} को 4 पढ़ने पर (1+4)×8=40(1 + 4) \times 8 = 40 आता है; 505^0 को 5 पढ़ने पर 42 आता है।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

50+18\sqrt{50} + \sqrt{18} को सरल कीजिए।

प्रश्न 45 के विकल्प

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उत्तरD · 828\sqrt{2}

  1. 50=25×2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} और 18=9×2=32\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}।

  2. सजातीय करणियाँ (like surds) सजातीय पदों की तरह जुड़ती हैं: 52+32=825\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}।

ध्यान देने योग्य

a+b\sqrt{a} + \sqrt{b} का मान a+b\sqrt{a + b} नहीं होता: 68=217\sqrt{68} = 2\sqrt{17} लुभाने वाला गलत उत्तर है। गुणांकों 5 और 3 को गुणा करने पर 15215\sqrt{2} आता है।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सर्वसमिका का प्रयोग करके 998×1002998 \times 1002 ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 46 के विकल्प

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उत्तरA · 999,996

  1. इसे (1000−2)(1000+2)(1000 - 2)(1000 + 2) के रूप में लिखिए।

  2. (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2, इसलिए गुणनफल 1000000−4=9999961000000 - 4 = 999996 है।

ध्यान देने योग्य

उत्तर दस लाख से थोड़ा कम होना चाहिए, क्योंकि b2b^2 घटाया जाता है। 4 जोड़ने पर 1,000,004 आता है।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

(278)−23\left(\frac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 47 के विकल्प

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उत्तरC · 49\frac{4}{9}

  1. ऋण चिह्न भिन्न को उलट देता है: (827)23\left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{2}{3}}।

  2. घात के हर में 3 का अर्थ है घनमूल: 8273=23\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}।

  3. 2 का अर्थ है वर्ग: (23)2=49\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}।

ध्यान देने योग्य

ऋण चिह्न को अनदेखा करने पर 94\frac{9}{4} आता है; घनमूल के बाद रुक जाने पर 23\frac{2}{3} आता है।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

हर का परिमेयकरण (rationalisation) करके 65−2\frac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} को सरल कीजिए।

प्रश्न 48 के विकल्प

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उत्तरD · 2(5+2)2(\sqrt{5} + \sqrt{2})

  1. अंश और हर दोनों को संयुग्मी (conjugate) 5+2\sqrt{5} + \sqrt{2} से गुणा कीजिए।

  2. हर: (5)2−(2)2=5−2=3(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3।

  3. मान =6(5+2)3=2(5+2)= \frac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} = 2(\sqrt{5} + \sqrt{2})।

ध्यान देने योग्य

हर 5−25 - 2 बनता है, 5+25 + 2 नहीं; 7 लेने पर 6(5+2)7\frac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{7} आता है। उत्तर में ऋण चिह्न बनाए रखने का अर्थ है यह भूल जाना कि संयुग्मी उसे उलट देता है।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

9n+1×32n−181n\dfrac{9^{n + 1} \times 3^{2n - 1}}{81^{n}} को सरल कीजिए।

प्रश्न 49 के विकल्प

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उत्तरD · 3

  1. हर आधार को 3 की घात के रूप में लिखिए: 9n+1=32n+29^{n + 1} = 3^{2n + 2} और 81n=34n81^n = 3^{4n}।

  2. अंश: 32n+2×32n−1=34n+13^{2n + 2} \times 3^{2n - 1} = 3^{4n + 1}।

  3. भाग दीजिए: 34n+1−4n=31=33^{4n + 1 - 4n} = 3^1 = 3।

ध्यान देने योग्य

9n+19^{n + 1} को 32n+13^{2n + 1} लिखने पर (1 को दोगुना करना भूलकर) 30=13^0 = 1 आता है। पूरे घातांक को दोगुना कीजिए।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

0.0169×1.44\sqrt{0.0169} \times \sqrt{1.44} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 50 के विकल्प

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उत्तरA · 0.156

  1. 0.0169=0.13\sqrt{0.0169} = 0.13 क्योंकि 0.132=0.01690.13^2 = 0.0169।

  2. 1.44=1.2\sqrt{1.44} = 1.2।

  3. 0.13×1.2=0.1560.13 \times 1.2 = 0.156।

ध्यान देने योग्य

वर्गमूल लेने पर दशमलव के बाद के अंकों की संख्या आधी हो जाती है: 0.0169 में चार अंक हैं, इसलिए उसके वर्गमूल में दो होंगे। 0.0169\sqrt{0.0169} को 1.3 मानने पर 1.56 आता है।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सर्वसमिका का प्रयोग करके 472−53247^2 - 53^2 ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 51 के विकल्प

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उत्तरB · -600

  1. a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)।

  2. (47−53)(47+53)=(−6)(100)=−600(47 - 53)(47 + 53) = (-6)(100) = -600।

ध्यान देने योग्य

पहली संख्या छोटी है, इसलिए उत्तर ऋणात्मक है; 600 में चिह्न गलत है। −36-36 अंतर का वर्ग, (47−53)2=36(47 - 53)^2 = 36, लेकर ऋण चिह्न लगाने से आता है; वह एक अलग व्यंजक है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

(0.5)3+(0.3)3(0.5)2−0.5×0.3+(0.3)2\dfrac{(0.5)^3 + (0.3)^3}{(0.5)^2 - 0.5 \times 0.3 + (0.3)^2} को सरल कीजिए।

प्रश्न 52 के विकल्प

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उत्तरD · 0.8

  1. यह a3+b3a2−ab+b2\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} है, जहाँ a=0.5a = 0.5, b=0.3b = 0.3।

  2. चूँकि a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2), इसलिए भिन्न का मान a+ba + b है।

  3. 0.5+0.3=0.80.5 + 0.3 = 0.8।

ध्यान देने योग्य

सीधी जाँच: अंश 0.125+0.027=0.1520.125 + 0.027 = 0.152, हर 0.25−0.15+0.09=0.190.25 - 0.15 + 0.09 = 0.19, और 0.152÷0.19=0.80.152 \div 0.19 = 0.8। a−ba - b लेने पर 0.2 आता है; 0.34 बीच का पद छोड़ देने पर हर का मान है।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

(7+3)2−(7−3)2(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 को सरल कीजिए।

प्रश्न 53 के विकल्प

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उत्तरA · 4214\sqrt{21}

  1. (a+b)2−(a−b)2=4ab(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab।

  2. a=7a = \sqrt{7}, b=3b = \sqrt{3} लेने पर: 473=4214\sqrt{7}\sqrt{3} = 4\sqrt{21}।

  3. विस्तार करके जाँच: (10+221)−(10−221)=421(10 + 2\sqrt{21}) - (10 - 2\sqrt{21}) = 4\sqrt{21}।

ध्यान देने योग्य

वर्ग कटकर 0 नहीं बनते; 77 और 33 कट जाते हैं, पर बीच के पद जुड़ जाते हैं। 4ab4ab के बजाय 2ab2ab लेने पर 2212\sqrt{21} आता है।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

12+12+12+…\sqrt{12 + \sqrt{12 + \sqrt{12 + \dots}}} का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ यह क्रम अनंत तक चलता है।

प्रश्न 54 के विकल्प

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उत्तरA · 4

  1. मान लीजिए मान xx है। पहले मूल के अंदर 12 के बाद वाला भाग स्वयं xx है, इसलिए x=12+xx = \sqrt{12 + x}।

  2. वर्ग करने पर: x2=12+xx^2 = 12 + x, इसलिए x2−x−12=0x^2 - x - 12 = 0, अर्थात (x−4)(x+3)=0(x - 4)(x + 3) = 0।

  3. वर्गमूल धनात्मक होता है, इसलिए x=4x = 4।

ध्यान देने योग्य

23=122\sqrt{3} = \sqrt{12} केवल पहली परत है; हर अतिरिक्त परत मान को 4 की ओर बढ़ाती है। शॉर्टकट: N+N+…\sqrt{N + \sqrt{N + \dots}} के लिए N=n(n−1)N = n(n - 1) खोजिए; यहाँ 12=4×312 = 4 \times 3, इसलिए मान 4 है।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

12+1+13+2+14+3+⋯+116+15\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{16} + \sqrt{15}} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 55 के विकल्प

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उत्तरB · 3

  1. एक पद का परिमेयकरण कीजिए: 1n+1+n=n+1−n(n+1)−n=n+1−n\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(n + 1) - n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}।

  2. योग बन जाता है (2−1)+(3−2)+⋯+(16−15)(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{16} - \sqrt{15})।

  3. बीच के सभी पद कट जाते हैं और 16−1=4−1=3\sqrt{16} - 1 = 4 - 1 = 3 बचता है।

ध्यान देने योग्य

पहला पद 12+1\frac{1}{\sqrt{2} + 1} है, इसलिए बचा हुआ पद −1=−1-\sqrt{1} = -1 है। इसे भूल जाने पर 4 आता है; अंतिम पद को 15\sqrt{15} पर रोक देने से 15−1\sqrt{15} - 1 आता है।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

7+43\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} को सरल कीजिए।

प्रश्न 56 के विकल्प

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उत्तरD · 2+32 + \sqrt{3}

  1. ऐसा (a+b)2=a2+b+2ab(a + \sqrt{b})^2 = a^2 + b + 2a\sqrt{b} खोजिए जो 7+437 + 4\sqrt{3} के बराबर हो।

  2. 2ab=432a\sqrt{b} = 4\sqrt{3} से a=2a = 2, b=3b = 3 का संकेत मिलता है; तब a2+b=4+3=7a^2 + b = 4 + 3 = 7। यह मेल खाता है।

  3. इसलिए 7+43=2+3\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}।

ध्यान देने योग्य

हर विकल्प का वर्ग करके जाँचिए: (1+23)2=13+43(1 + 2\sqrt{3})^2 = 13 + 4\sqrt{3}, जिसमें करणी वाला भाग सही है पर पूर्णांक भाग गलत है।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

(243)0.8×(32)0.6(81)0.25\dfrac{(243)^{0.8} \times (32)^{0.6}}{(81)^{0.25}} का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 57 के विकल्प

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उत्तरD · 216

  1. 243=35243 = 3^5, इसलिए 2430.8=35×0.8=34=81243^{0.8} = 3^{5 \times 0.8} = 3^4 = 81।

  2. 32=2532 = 2^5, इसलिए 320.6=25×0.6=23=832^{0.6} = 2^{5 \times 0.6} = 2^3 = 8।

  3. 81=3481 = 3^4, इसलिए 810.25=31=381^{0.25} = 3^1 = 3।

  4. मान =81×83=216= \frac{81 \times 8}{3} = 216।

ध्यान देने योग्य

जब हर आधार किसी संख्या की पूर्ण घात हो, तो दशमलव घातें आसान हो जाती हैं: पाँच 3 का 0.8 भाग चार 3 है। 810.2581^{0.25} को वर्गमूल (9) मानने पर 72 आता है।

सन्निकटन

14 प्रश्न

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तेनज़िन का स्कूटर एक लीटर पेट्रोल में 49.87 km चलता है। 20.13 लीटर में यह लगभग कितनी दूरी तय कर सकता है?

प्रश्न 58 के विकल्प

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उत्तरB · 1000 km

  1. हर संख्या को निकटतम आसान मान तक पूर्णांकित कीजिए: 49.87≈5049.87 \approx 50 और 20.13≈2020.13 \approx 20।

  2. 50×20=100050 \times 20 = 1000 km।

ध्यान देने योग्य

एक संख्या को ऊपर और दूसरी को नीचे पूर्णांकित किया गया, इसलिए त्रुटियाँ कुछ हद तक एक-दूसरे को काट देती हैं। सटीक गुणनफल लगभग 1003.9 km है।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

7998÷39.97998 \div 39.9 लगभग किसके बराबर है?

प्रश्न 59 के विकल्प

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उत्तरC · 200

  1. 7998≈80007998 \approx 8000 और 39.9≈4039.9 \approx 40।

  2. 8000÷40=2008000 \div 40 = 200।

ध्यान देने योग्य

सटीक मान लगभग 200.45 है, इसलिए 200 ही एकमात्र निकट विकल्प है।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

624.8+14.93\sqrt{624.8} + 14.93 लगभग किसके बराबर है?

प्रश्न 60 के विकल्प

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उत्तरD · 40

  1. 624.8624.8, 625=252625 = 25^2 के बहुत निकट है, इसलिए 624.8≈25\sqrt{624.8} \approx 25।

  2. 14.93≈1514.93 \approx 15, इसलिए योग लगभग 25+15=4025 + 15 = 40 है।

ध्यान देने योग्य

मूल के अंदर की संख्या के निकटतम पूर्ण वर्ग को खोजिए। 25 केवल वर्गमूल है; 14.93 को अभी जोड़ना बाकी है।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक गाँव में 1,603 परिवार हैं, और उनमें से 24.97% के घरों की छत पर सौर पैनल लगे हैं। लगभग कितने परिवारों की छत पर सौर पैनल लगे हैं?

प्रश्न 61 के विकल्प

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उत्तरB · 400

  1. 24.97%≈25%=1424.97\% \approx 25\% = \frac{1}{4} और 1603≈16001603 \approx 1600।

  2. 14×1600=400\frac{1}{4} \times 1600 = 400।

ध्यान देने योग्य

यह जानने से कि 25% एक-चौथाई है, प्रतिशत एक ही भाग में बदल जाता है। 320, 1600 का 20% है।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

3.02×5.98+11.973.02 \times 5.98 + 11.97 लगभग किसके बराबर है?

प्रश्न 62 के विकल्प

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उत्तरC · 30

  1. 3.02≈33.02 \approx 3, 5.98≈65.98 \approx 6 और 11.97≈1211.97 \approx 12।

  2. पहले गुणा: 3×6=183 \times 6 = 18; फिर जोड़: 18+12=3018 + 12 = 30।

ध्यान देने योग्य

अनुमान लगाते समय भी BODMAS लागू होता है। 18 तो जोड़ से पहले का केवल गुणनफल है।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

15.02% of 399.8+33.1% of 150.315.02\% \text{ of } 399.8 + 33.1\% \text{ of } 150.3 लगभग किसके बराबर है? (यहाँ of का अर्थ 'का' है।)

प्रश्न 63 के विकल्प

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उत्तरB · 110

  1. 15%15\% का 400=60400 = 60।

  2. 33.1%≈3313%=1333.1\% \approx 33\frac{1}{3}\% = \frac{1}{3}, और 13\frac{1}{3} का 150=50150 = 50।

  3. योग ≈60+50=110\approx 60 + 50 = 110।

ध्यान देने योग्य

3313%33\frac{1}{3}\% को एक-तिहाई के रूप में पहचानिए। सटीक मान लगभग 109.8 है।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

23×899.7+4899\frac{2}{3} \times 899.7 + \sqrt{4899} लगभग किसके बराबर है?

प्रश्न 64 के विकल्प

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उत्तरD · 670

  1. पहले गुणा: 23×899.7≈23×900=600\frac{2}{3} \times 899.7 \approx \frac{2}{3} \times 900 = 600।

  2. 48994899, 4900=7024900 = 70^2 से थोड़ा कम है, इसलिए 4899≈70\sqrt{4899} \approx 70।

  3. योग ≈600+70=670\approx 600 + 70 = 670।

ध्यान देने योग्य

900 का दो-तिहाई 600 है क्योंकि 900, 3 से पूरा विभाजित होता है; पूर्णांकन के लिए ऐसे मान चुनिए जो आसानी से विभाजित हों। सटीक मान लगभग 669.8 है।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1248.7×15.940.1\dfrac{1248.7 \times 15.9}{40.1} लगभग किसके बराबर है?

प्रश्न 65 के विकल्प

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उत्तरB · 500

  1. पूर्णांकन: 1248.7≈12501248.7 \approx 1250, 15.9≈1615.9 \approx 16, 40.1≈4040.1 \approx 40।

  2. गुणा से पहले काटिए: 1250×1640=1250×0.4=500\frac{1250 \times 16}{40} = 1250 \times 0.4 = 500।

ध्यान देने योग्य

पहले काटने से (16 बटा 40=0.440 = 0.4) लंबा गुणा बच जाता है। सटीक मान लगभग 495 है।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

33703×4.02\sqrt[3]{3370} \times 4.02 लगभग किसके बराबर है?

प्रश्न 66 के विकल्प

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उत्तरD · 60

  1. 153=337515^3 = 3375, जो 3370 के बहुत निकट है, इसलिए 33703≈15\sqrt[3]{3370} \approx 15।

  2. 15×4=6015 \times 4 = 60।

ध्यान देने योग्य

203=800020^3 = 8000 तक के घन याद रखिए। 3370 का वर्गमूल लगभग 58 होगा, जो एक अलग संक्रिया है।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

11.992−7.02211.99^2 - 7.02^2 लगभग किसके बराबर है?

प्रश्न 67 के विकल्प

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उत्तरA · 95

  1. 11.99≈1211.99 \approx 12 और 7.02≈77.02 \approx 7।

  2. 122−72=144−49=9512^2 - 7^2 = 144 - 49 = 95। (या (12−7)(12+7)=5×19=95(12 - 7)(12 + 7) = 5 \times 19 = 95।)

ध्यान देने योग्य

अंतर का वर्ग, (12−7)2=25(12 - 7)^2 = 25, लेना एक आम चूक है; वर्गों का अंतर, अंतर का वर्ग नहीं होता। सटीक मान लगभग 94.5 है।

प्रश्न 68

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

(39.97% of 249.9)−4.982(39.97\% \text{ of } 249.9) - 4.98^2 लगभग किसके बराबर है? (यहाँ of का अर्थ 'का' है।)

प्रश्न 68 के विकल्प

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उत्तरA · 75

  1. 40%40\% का 250=100250 = 100।

  2. 4.982≈52=254.98^2 \approx 5^2 = 25।

  3. 100−25=75100 - 25 = 75।

ध्यान देने योग्य

कोष्ठक से स्पष्ट है कि प्रतिशत केवल 249.9 का लिया गया है; उसके बाद 4.9824.98^2 घटाया जाता है। सटीक मान लगभग 75.2 है।

प्रश्न 69

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

17.98% of 849.9+19359.02\dfrac{17.98\% \text{ of } 849.9 + \sqrt{1935}}{9.02} लगभग किसके बराबर है? (यहाँ of का अर्थ 'का' है।)

प्रश्न 69 के विकल्प

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उत्तरD · 22

  1. 18%18\% का 850=0.18×850=153850 = 0.18 \times 850 = 153।

  2. 442=193644^2 = 1936, इसलिए 1935≈44\sqrt{1935} \approx 44।

  3. अंश ≈153+44=197\approx 153 + 44 = 197; 9 से भाग दीजिए: 197÷9≈21.9197 \div 9 \approx 21.9, जो 22 के सबसे निकट है।

ध्यान देने योग्य

भाग की रेखा पूरे अंश पर है, इसलिए पहले जोड़िए और फिर एक बार भाग दीजिए। 17.98% को 18% और 849.9 को 850 करने से गुणा आसान रहता है। सटीक मान लगभग 21.8 है।

प्रश्न 70

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

6.993−3.0136.99^3 - 3.01^3 लगभग किसके बराबर है?

प्रश्न 70 के विकल्प

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उत्तरD · 316

  1. 6.99≈76.99 \approx 7 और 3.01≈33.01 \approx 3।

  2. 73=3437^3 = 343 और 33=273^3 = 27।

  3. 343−27=316343 - 27 = 316।

ध्यान देने योग्य

घन लेने से पूर्णांकन की त्रुटियाँ बढ़ जाती हैं: सटीक मान लगभग 314.3 है, जो फिर भी स्पष्ट रूप से 316 के सबसे निकट है। (7−3)3=64(7 - 3)^3 = 64 अंतर का घन है, घनों का अंतर नहीं।

प्रश्न 71

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

2600×12.022153\dfrac{\sqrt{2600} \times 12.02}{\sqrt[3]{215}} लगभग किसके बराबर है?

प्रश्न 71 के विकल्प

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उत्तरB · 102

  1. 26002600, 2601=5122601 = 51^2 के निकट है, इसलिए 2600≈51\sqrt{2600} \approx 51।

  2. 215215, 216=63216 = 6^3 के निकट है, इसलिए 2153≈6\sqrt[3]{215} \approx 6।

  3. 51×126=51×2=102\frac{51 \times 12}{6} = 51 \times 2 = 102।

ध्यान देने योग्य

2600\sqrt{2600} को 50 मानने पर ठीक 100 आता है, जो फिर भी 102 की ओर ही संकेत करता है क्योंकि विकल्पों में 20 का अंतर है। सटीक मान लगभग 102.3 है।

क्षेत्रों के नाम NTA के हैं। उनके भीतर के अध्याय EduFarming का अपना विभाजन हैं, NTA का नहीं।