CUET Applied Maths के लिए संख्यात्मक असमिकाएँ

उत्तरB · $-3a > -3b$

1. दोनों ओर किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमिका उलट जाती है: $a < b$ से $-3a > -3b$।

2. बाकी विफल हैं: $-3 < 1$ पर $9 > 1$; $a = -1$, $b = 1$ के व्युत्क्रम $-1$ और 1 हैं, क्रम वही; और 5 घटाने से $<$ बना रहता है।

उत्तरB · $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

1. धनात्मक संख्याओं के व्युत्क्रम लेने पर क्रम उलट जाता है: बड़ी संख्या का व्युत्क्रम छोटा होता है।

2. इसलिए $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$। बाकी सही तथ्यों को उलटते हैं: $a^{2} > b^{2}$, $-a < -b$, $a - b > 0$।

उत्तरC · $2 < xy < 15$

1. चारों सिरे धनात्मक हैं, इसलिए असमिकाओं का गुणा किया जा सकता है।

2. $2 \times 1 < xy < 5 \times 3$, यानी $2 < xy < 15$।

उत्तरC · $199 + 2x < 299$

1. $x$ GB के लिए प्लान A का खर्च $199 + 2x$ रुपये है।

2. प्लान B से सस्ता: $199 + 2x < 299$।

उत्तरB · $x < 50$

1. $199 + 2x < 299 \Rightarrow 2x < 100$।

2. $x < 50$ GB।

उत्तरD · केवल I, II और IV

1. कोई भी संख्या जोड़ने, या धनात्मक से गुणा करने पर दिशा बनी रहती है (I और II)। धनात्मक संख्याओं में बड़ी का व्युत्क्रम छोटा होता है (IV)।

2. III, $c < 0$ होने पर विफल है: $1 < 2$ पर $\frac{1}{-1} > \frac{2}{-1}$।

उत्तरA · $x^{2} > y^{2}$

1. दोनों ऋणात्मक हैं और $x$, 0 से अधिक दूर है, इसलिए $x^{2} > y^{2}$: उदाहरण के लिए $-3 < -2$ और $9 > 4$।

2. साथ ही $\frac{1}{-3} > \frac{1}{-2}$, और दो ऋणात्मकों का गुणनफल धनात्मक होता है।

उत्तरA · केवल I

1. I: एक ही दिशा की असमिकाएँ जोड़ी जा सकती हैं। सही।

2. II: $5 > 1$ और $4 > 0$, पर $5 - 4 = 1$, $1 - 0 = 1$ से अधिक नहीं। उन्हें घटाया नहीं जा सकता। गलत।

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

1. $-2$ से भाग देने पर $>$, $<$ बन जाता है: $x < \frac{6}{-2} = -3$। A सही है।

2. R ही प्रयुक्त नियम है, इसलिए R, A की व्याख्या करता है।

उत्तरD · $ab < 0$

1. ऋणात्मक गुणा धनात्मक ऋणात्मक होता है: $ab < 0$।

2. बाकी विफल हो सकते हैं: $a = -5$, $b = 1$ से $a^{2} > b^{2}$ और $a + b < 0$; और $\frac{1}{a} < 0 < \frac{1}{b}$ सदा।

उत्तरB · केवल II

1. I गलत है: $5 > 4$ और $10 > 1$, पर $5 - 10 = -5$, $4 - 1 = 3$ से कम है। असमिकाएँ जोड़ी जा सकती हैं, घटाई नहीं।

2. II सही है: $ac > bc > bd$, क्योंकि सभी संख्याएँ धनात्मक हैं।

उत्तरD · A गलत है, लेकिन R सही है।

1. R सही है: $x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3) > 0$ मूलों के बाहर।

2. A गलत है: $x = -4$ से $x^{2} = 16 > 9$, पर $x < 3$।

उत्तरA · केवल I, II और IV

1. 0 और 1 के बीच की संख्या $a$ से गुणा करने पर मान घटता है: $a^{2} < a$ और $a^{3} < a^{2}$। और $\sqrt{a} > a$, जैसे $\sqrt{0.25} = 0.5$।

2. III गलत है: $\frac{1}{a} > 1$, जैसे $\frac{1}{0.5} = 2$।

उत्तरA · $-1 < x - y < 4$

1. $-3 < -y < -1$। इसे $2 < x < 5$ में जोड़िए।

2. $2 - 3 < x - y < 5 - 1$, यानी $-1 < x - y < 4$।

उत्तरC · $xy < -2$

1. $x > 2 > 0$ और $-y > 1 > 0$, इसलिए गुणा करने पर $-xy > 2$।

2. यानी $xy < -2$। बाकी $x = 3$, $y = -5$ पर विफल हैं।

उत्तरD · प्लान A, ₹10 से

1. वह $1.5 \times 30 = 45$ GB उपयोग करती है, इसलिए प्लान A का खर्च $199 + 90 = 289$ रुपये है।

2. $45 < 50$: प्लान A सस्ता है, $299 - 289 = 10$ रुपये से।

उत्तरC · 40 GB

1. $199 + 2.5x < 299 \Rightarrow 2.5x < 100$।

2. $x < 40$ GB।

उत्तरB · $\frac{7}{9}$

1. देखिए हर एक 1 से कितनी दूर है: $\frac{2}{9}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{7}$ और $\frac{1}{3}$।

2. $\frac{2}{9} \approx 0.22$ सबसे छोटा अंतर है, इसलिए $\frac{7}{9}$ सबसे बड़ी है।

उत्तरB · $0.3$

1. $(0.3)^{2} = 0.09$।

2. 0 और 1 के बीच की संख्या का वर्ग उससे छोटा होता है, इसलिए $0.3 > 0.09$।

उत्तरA · दोनों बराबर हैं

1. 80 का 25% है $\frac{25 \times 80}{100} = 20$।

2. 25 का 80% है $\frac{80 \times 25}{100} = 20$: वही गुणनफल बटा 100।

उत्तरC · $\frac{4}{9}$

1. $\frac{3}{7} \approx 0.4286$ और $\frac{4}{9} = 0.4444\ldots$

2. इसलिए $\frac{4}{9}$ सबसे बड़ा है, 0.43, $\frac{3}{7}$ और 0.42 से आगे।

उत्तरB · $\frac{3}{5}$

1. दशमलव में: $\frac{3}{5} = 0.6$, $\frac{5}{8} = 0.625$, $\frac{7}{11} \approx 0.636$, $\frac{9}{14} \approx 0.643$।

2. सबसे छोटी $\frac{3}{5}$ है।

उत्तरB · $\frac{12}{13}$

1. तिर्यक गुणा: $12 \times 12 = 144$ और $11 \times 13 = 143$।

2. $144 > 143$, इसलिए $\frac{12}{13} > \frac{11}{12}$: हर एक 1 से $\frac{1}{13}$ और $\frac{1}{12}$ कम है।

उत्तरA · कम से कम 240

1. चार परीक्षाओं में कम से कम 60 औसत का अर्थ कम से कम $4 \times 60$ कुल।

2. कम से कम 240।

उत्तरB · $165 + x \ge 240$

1. उसके तीन अंकों का योग $62 + 48 + 55 = 165$ है।

2. $\frac{165 + x}{4} \ge 60 \Rightarrow 165 + x \ge 240$।

उत्तरC · $3^{20}$

1. हर एक को दसवीं घात में लिखिए: $2^{30} = 8^{10}$, $3^{20} = 9^{10}$, और $5^{10}$, $6^{10}$।

2. समान घात पर सबसे बड़ा आधार जीतता है: $9^{10} = 3^{20}$।

उत्तरD · $\sqrt{10} - \sqrt{9}$

1. ऊपर-नीचे $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}$ से गुणा करने पर $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$।

2. हर $\sqrt{10} + \sqrt{9}$, $\sqrt{11} + \sqrt{10}$ से छोटा है, इसलिए $\sqrt{10} - \sqrt{9}$ बड़ा है।

उत्तरC · $(0.7)^{2} < 0.7 < \sqrt{0.7}$

1. 0 और 1 के बीच की संख्या का वर्ग छोटा और वर्गमूल बड़ा होता है।

2. $(0.7)^{2} = 0.49$, और $\sqrt{0.7} \approx 0.84$।

उत्तरD · दोनों बराबर हैं

1. अंश और हर को $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ से गुणा कीजिए: हर $3 - 2 = 1$ बन जाता है।

2. इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$।

उत्तरB · $0.41$

1. $\frac{2}{5} = 0.4$ और $\frac{3}{7} \approx 0.4286$।

2. केवल 0.41 उनके बीच है; 0.43, $\frac{3}{7}$ से थोड़ा ऊपर है।

उत्तरD · $3^{20}$

1. दोनों को दसवीं घात में लिखिए: $2^{30} = (2^{3})^{10} = 8^{10}$ और $3^{20} = (3^{2})^{10} = 9^{10}$।

2. $9 > 8$, इसलिए $3^{20} > 2^{30}$।

उत्तरD · $75 \le x \le 100$

1. $165 + x \ge 240$ से $x \ge 75$; उसे $x \ge 40$ भी चाहिए, जो 75 से पहले ही पूरा है।

2. परीक्षा 100 अंकों की है, इसलिए $75 \le x \le 100$।

उत्तरC · $60$

1. पहली तीन का योग $70 + 72 + 38 = 180$, इसलिए $180 + x \ge 240$ से $x \ge 60$।

2. न्यूनतम ऐसा अंक 60 है, हालाँकि 38 के कारण सहपाठी पाठ्यक्रम में पहले ही अनुत्तीर्ण है।

उत्तरC · $\sqrt[6]{6} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$

1. हर एक को छठी घात तक उठाइए, जो धनात्मक संख्याओं का क्रम बनाए रखता है: $(\sqrt{2})^{6} = 8$, $(\sqrt[3]{3})^{6} = 9$, $(\sqrt[6]{6})^{6} = 6$।

2. $6 < 8 < 9$, इसलिए $\sqrt[6]{6} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$।

उत्तरA · $\sqrt{5} + \sqrt{3}$

1. दोनों धनात्मक हैं, इसलिए वर्गों की तुलना कीजिए: $8 + 2\sqrt{15}$ और $8 + 2\sqrt{12}$।

2. $\sqrt{15} > \sqrt{12}$, इसलिए $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ बड़ा है।

उत्तरD · $x > 4$

1. दोनों ओर 7 जोड़िए: $3x > 12$।

2. धनात्मक संख्या 3 से भाग दीजिए, जिससे दिशा बनी रहती है: $x > 4$।

उत्तरD · $x < 3$

1. 7 घटाइए: $-2x > -6$।

2. $-2$ से भाग देकर चिह्न उलटिए: $x < 3$।