CUET Applied Maths के लिए परिवर्तन की दर, सीमांत लागत और सीमांत आय

उत्तरC · $20 \pi$ cm²/s

1. $A = \pi r^{2}$, इसलिए $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$।

2. $= 2\pi \times 5 \times 2 = 20\pi$ cm²/s।

उत्तरB · $12 \pi$ cm²/cm

1. $\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^{2}) = 2\pi r$।

2. $r = 6$ पर: त्रिज्या के हर cm पर $12\pi$ cm²।

उत्तरC · 240 इकाई प्रति माह

1. दर $S'(t) = 200 + 10t$ है।

2. $t = 4$ पर: $200 + 40 = 240$ इकाई प्रति माह।

उत्तरC · ₹66

1. $R'(x) = 6x + 36$।

2. $R'(5) = 30 + 36 = 66$ रुपये प्रति इकाई।

उत्तरD · 12 cm/s

1. $P = 4a$, इसलिए $\frac{dP}{dt} = 4\frac{da}{dt}$।

2. $4 \times 3 = 12$ cm/s, वर्ग का आकार कुछ भी हो।

उत्तरB · $16 \pi$ cm³ प्रति cm

1. $\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = 4\pi r^2$।

2. $r = 2$ पर: $16\pi$ cm³ प्रति cm।

उत्तरC · 144 cm³/s

1. $V = a^{3}$, इसलिए $\frac{dV}{dt} = 3a^{2} \frac{da}{dt}$।

2. $= 3 \times 16 \times 3 = 144$ cm³/s।

उत्तरA · 30 व्यक्ति प्रति वर्ष

1. वृद्धि की दर $P'(t) = 20 + 2t$ है।

2. $P'(5) = 20 + 10 = 30$ व्यक्ति प्रति वर्ष।

उत्तरA · केवल I

1. I अवकलज का अर्थ ही है। सही।

2. II: शृंखला नियम गुणा करता है, $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dt}$। गलत।

उत्तरB · 1 cm/s

1. $A = \pi r^2$, इसलिए $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$।

2. $10\pi = 2\pi \times 5 \times \frac{dr}{dt}$, इसलिए $\frac{dr}{dt} = 1$ cm/s।

उत्तरD · $36 \pi$ cm³/s

1. $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, इसलिए $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}$।

2. $4\pi \times 9 \times 1 = 36\pi$ cm³/s।

उत्तरD · A गलत है, लेकिन R सही है।

1. R, $A = \pi r^2$ पर शृंखला नियम है। सही।

2. A गलत है: R के अनुसार $\frac{dA}{dt}$, $r$ के साथ बढ़ता है, इसलिए क्षेत्रफल और तेज़ी से बढ़ता है।

उत्तरA · $\frac{1}{3}$ cm/s

1. $V = a^3$, इसलिए $\frac{dV}{dt} = 3a^2\frac{da}{dt}$।

2. $9 = 3 \times 9 \times \frac{da}{dt}$, इसलिए $\frac{da}{dt} = \frac{1}{3}$ cm/s।

उत्तरA · $\frac{1}{\pi}$ cm/s

1. $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}$, इसलिए $100 = 4\pi(25)\frac{dr}{dt}$।

2. $\frac{dr}{dt} = \frac{100}{100\pi} = \frac{1}{\pi}$ cm/s।

उत्तरB · 40 cm²/s

1. $\frac{dS}{dt} = 8\pi r\frac{dr}{dt}$।

2. $r = 5$ पर, $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi}$: $8\pi(5)\left(\frac{1}{\pi}\right) = 40$ cm²/s।

उत्तरA · $\frac{1}{4 \pi}$ cm/s

1. $100 = 4\pi(100)\frac{dr}{dt}$।

2. $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4\pi}$ cm/s।

उत्तरD · यह घटती है, $\frac{1}{r^{2}}$ के अनुपात में

1. $\frac{dr}{dt} = \frac{100}{4\pi r^{2}}$।

2. वही 100 cm³ हर सेकंड बड़े पृष्ठ पर फैलता है, इसलिए त्रिज्या धीमे बढ़ती है, $\frac{1}{r^{2}}$ के अनुसार।

उत्तरB · ₹500

1. $R(40) = 1{,}800$ और $C(40) = 500 + 800 = 1{,}300$।

2. लाभ $= 1{,}800 - 1{,}300 = 500$ रुपये।

उत्तरD · 200 इकाइयाँ

1. लाभ-अलाभ बिंदु वह है जहाँ आय लागत के बराबर हो: $40x = 3{,}000 + 25x$।

2. $15x = 3{,}000$, इसलिए $x = 200$ इकाइयाँ।

उत्तरB · ₹800

1. निश्चित लागत वह है जो कुछ न बनाने पर भी देनी पड़े: $C(0)$।

2. $C(0) = 800$ रुपये।

उत्तरA · ₹750

1. लाभ $P(x) = R(x) - C(x) = 35x - 1{,}000$।

2. $P(50) = 1{,}750 - 1{,}000 = 750$ रुपये।

उत्तरB · 100 इकाइयाँ

1. सम-विच्छेद वहाँ है जहाँ $R(x) = C(x)$: $75x = 4{,}500 + 30x$।

2. $45x = 4{,}500$, इसलिए $x = 100$ इकाइयाँ।

उत्तरD · $- 2 x^{2} + 60 x$

1. आय = मूल्य × मात्रा: $R(x) = x(60 - 2x)$।

2. $R(x) = 60x - 2x^{2}$।

उत्तरB · ₹60

1. $C(20) = 800 + 200 + 200 = 1{,}200$ रुपये।

2. औसत लागत $= \frac{C(20)}{20} = \frac{1{,}200}{20} = 60$ रुपये प्रति इकाई।

उत्तरA · केवल I

1. I: $C(0)$ वह है जो शून्य उत्पादन पर भी देना पड़ता है, जैसे किराया। सही।

2. II: $C(x) = 2x^{2} + 10x + 200$ के लिए $x = 20$ पर औसत 60 है पर सीमांत लागत 90। गलत।

उत्तरA · ₹175

1. $R(15) = 15 \times 35 = 525$ और $C(15) = 150 + 200 = 350$।

2. लाभ $= 525 - 350 = 175$ रुपये।

उत्तरD · $60 - 2 x$

1. औसत आय $= \frac{R(x)}{x}$।

2. $\frac{60x - 2x^{2}}{x} = 60 - 2x$, जो एक इकाई का मूल्य है।

उत्तरD · $- 4 x^{2} + 100 x$

1. आय मूल्य गुणा मात्रा है: $R(x) = x \cdot p$।

2. $R(x) = x(100 - 4x) = 100x - 4x^{2}$।

उत्तरC · ₹72

1. औसत लागत $= \frac{C(x)}{x} = 3x + 12 + \frac{300}{x}$।

2. $x = 10$ पर: $30 + 12 + 30 = 72$ रुपये प्रति इकाई।

उत्तरB · केवल I, II और III

1. I, II और III लाभ, औसत लागत और सम-विच्छेद की परिभाषाएँ हैं।

2. IV गलत है: निश्चित लागत, जैसे किराया, उत्पादन कुछ भी हो, वही रहती है; परिवर्ती लागत बदलती है।

उत्तरC · ₹35

1. सीमांत लागत कुल लागत का अवकलज है: $MC = C'(x) = 3x^{2} - 12x + 20$।

2. $C'(5) = 75 - 60 + 20 = 35$ रुपये।

उत्तरA · A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

1. हर $x$ के लिए $C'(x) = 8$: हर अतिरिक्त इकाई ₹8 की है। A सही है।

2. R ही कारण है कि सीमांत लागत नहीं बदलती, इसलिए R, A की व्याख्या करता है।

उत्तरA · केवल I

1. I: $C'(x) = 7$, एक अचर। सही।

2. II: अचर का अवकलज 0 है, इसलिए निश्चित लागत कभी सीमांत लागत में नहीं आती। गलत।

उत्तरA · ₹60

1. सीमांत लागत $MC = C'(x) = 3 x^{2} - 6 x + 15$।

2. $x = 5$ पर: $60$ रुपये प्रति इकाई।

उत्तरC · ₹16

1. सीमांत लागत $MC = C'(x) = \frac{x}{5} + 6$।

2. $x = 50$ पर: $16$ रुपये प्रति इकाई।

उत्तरC · ₹31

1. $MC = 40 - 1.2x + 0.03x^{2}$।

2. $x = 10$ पर: $40 - 12 + 3 = 31$ रुपये।

उत्तरD · ₹85

1. $C(10) = 500 + 400 - 60 + 10 = 850$।

2. औसत लागत $= \frac{850}{10} = 85$ रुपये।

उत्तरD · एक और इकाई, $(x + 1)$वीं

1. $C'(x) \approx \frac{C(x + 1) - C(x)}{1}$, उत्पादन एक इकाई बढ़ने पर अतिरिक्त लागत।

2. इसलिए यह लगभग $(x + 1)$वीं इकाई की लागत है।

उत्तरC · ₹32

1. $C'(x) = 12 + 2x$, इसलिए $C'(10) = 32$।

2. ग्यारहवीं इकाई की लागत लगभग ₹32 है। (ठीक-ठीक, $C(11) - C(10) = 353 - 320 = 33$; सीमांत लागत तेज़ अनुमान है।)