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CUET सामान्य योग्यता के लिए माध्य, माध्यक और बहुलक

सीखने में लगभग 15 मिनट · 67 प्रश्न

CUET के माध्य, माध्यक और बहुलक के प्रश्न कक्षा 9–10 की सांख्यिकी पर चलते हैं: किसी सूची के तीनों केंद्रीय मान, उनके बीच का आनुभविक संबंध, वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य, माध्यक और बहुलक, आँकड़े बदलने पर हर माप कैसे बदलता है, और परिसर। गणना हल्की है। अंक तब कटते हैं जब सूची क्रम में नहीं लगाई जाती, कोई बारंबारता छूट जाती है, या यह मान लिया जाता है कि कोई माप बदल गया जबकि वह नहीं बदला। यह पाठ हर बात को उदाहरणों और साथ के जालों के साथ समझाता है।

पाठ्यक्रम क्षेत्र
Reasoning
इस पृष्ठ पर · 10 भाग
  1. 01मूल विचार
  2. 02तीन केंद्रीय मान
  3. 03आनुभविक संबंध
  4. 04वर्गीकृत आँकड़े
  5. 05जब आँकड़े बदलें
  6. 06परिसर और फैलाव
  7. 07परीक्षा शॉर्टकट
  8. 08आम गलतियाँ
  9. 09त्वरित पुनरावृत्ति
  10. 10अपनी समझ जाँचें

मूल विचार

माध्य, माध्यक और बहुलक एक ही प्रश्न के तीन उत्तर हैं: कोई सामान्य मान क्या है? माध्य कुल योग को बराबर बाँटता है। माध्यक बीच वाला मान है। बहुलक वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है।

दो आदतें ज़्यादातर प्रश्न सुलझा देती हैं। बीच का मान ढूँढ़ने से पहले आँकड़ों को क्रम में लगाइए। और योग में सोचिए: माध्य एक योग को गिनती से भाग देने पर मिलता है, इसलिए आँकड़ों में कोई भी बदलाव पहले योग में बदलाव है।

तीन केंद्रीय मान

माध्य, माध्यक और बहुलक क्या हैं?

माध्य सभी मानों का योग है, जिसे मानों की संख्या से भाग दिया गया हो। माध्यक आँकड़ों को क्रम में लगाने के बाद बीच वाला मान है। बहुलक वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है।

मापकैसे ज्ञात करेंक्या हर मान का उपयोग होता है?
माध्ययोग ÷ मानों की संख्याहाँ
माध्यकक्रमबद्ध सूची का बीच वाला माननहीं, केवल बीच वाले का
बहुलकसबसे अधिक बार आने वाला माननहीं, केवल गिनतियों का

उदाहरण 1 · एक सूची से तीनों

एक साइकिल चालक ने सात दिनों में 22, 17, 30, 17, 26, 19 और 23 km साइकिल चलाई। माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।

  1. माध्य: (22+17+30+17+26+19+23)÷7=154÷7=22(22 + 17 + 30 + 17 + 26 + 19 + 23) \div 7 = 154 \div 7 = 22 km।

  2. क्रम में: 17, 17, 19, 22, 23, 26, 30। 7 मान होने पर माध्यक चौथा मान है, 22 km।

  3. बहुलक 17 km है, एकमात्र मान जो दोहराया गया है।

उत्तर

माध्य 22 km, माध्यक 22 km, बहुलक 17 km

मानों की संख्या सम होने पर माध्यक कैसे ज्ञात करें?

मानों को क्रम में लगाइए और बीच वाले दोनों मानों का औसत लीजिए। nn मान हों और nn सम हो, तो ये n2\tfrac{n}{2}वाँ और (n2+1)(\tfrac{n}{2} + 1)वाँ मान हैं। nn विषम हो, तो माध्यक अकेला n+12\tfrac{n + 1}{2}वाँ मान है।

उदाहरण 2 · सम संख्या

छह चचेरे भाई-बहनों की आयु 14, 9, 21, 16, 11 और 18 वर्ष है। माध्यक आयु ज्ञात कीजिए।

  1. क्रम में: 9, 11, 14, 16, 18, 21।

  2. बीच वाले दो मान तीसरे और चौथे हैं, 14 और 16।

  3. माध्यक: (14+16)÷2=15(14 + 16) \div 2 = 15।

उत्तर

15

किसी की आयु 15 नहीं है। सम संख्या में माध्यक का किसी एक मान के बराबर होना ज़रूरी नहीं।

सावधान

पहले क्रम में लगाइए। छपी हुई सूची का बीच वाला मान लगभग हमेशा एक गलत विकल्प होता है।

क्या किसी आँकड़ा-समूह के एक से अधिक बहुलक हो सकते हैं, या कोई बहुलक नहीं?

हाँ। यदि दो मान सबसे अधिक गिनती पर बराबर हों, तो आँकड़े द्विबहुलकी हैं और दोनों बहुलक हैं। यदि हर मान एक ही बार आए, तो कोई बहुलक नहीं है।

  • 4, 6, 6, 8, 9, 9 के दो बहुलक हैं, 6 और 9।
  • 3, 5, 8, 12 का कोई बहुलक नहीं है।
  • पहली सूची में एक और 9 बराबरी तोड़ देता है, और 9 अकेला बहुलक बन जाता है।

मुख्य बात

बहुलक ही एकमात्र केंद्रीय मान है जो श्रेणियों पर चलता है, जैसे सबसे आम कमीज़ का साइज़ या रक्त-समूह, जहाँ मानों को जोड़ने का कोई अर्थ नहीं।

कौन-सा केंद्रीय मान कब लें?

जब कोई चरम मान न हो और हर मान गिना जाना चाहिए, तब माध्य लीजिए। जब एक-दो चरम मान माध्य को सामान्य मान से दूर खींच लें, तब माध्यक लीजिए। सबसे आम वस्तु या श्रेणियों के लिए बहुलक लीजिए।

  • ऐसा दफ़्तर जहाँ मालिक बाक़ी किसी से दस गुना कमाता है: माध्यक एक सामान्य कर्मचारी को दर्शाता है।
  • जूते की दुकान जिसे तय करना है कि कौन-सा साइज़ सबसे ज़्यादा रखे: बहुलक।
  • ऐसी कक्षा के अंक जिसमें कोई चरम मान नहीं: माध्य।

आनुभविक संबंध

माध्य, माध्यक और बहुलक के बीच आनुभविक संबंध क्या है?

मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए बहुलक, माध्यक के तीन गुने में से माध्य का दो गुना घटाने पर मिलता है। तीनों में से कोई दो दिए हों, तो यह तीसरा देता है।

आनुभविक संबंध

बहुलक=3×माध्यक−2×माध्य\text{बहुलक} = 3 \times \text{माध्यक} - 2 \times \text{माध्य}

यही संबंध हर माप के लिए हल करने पर: माध्य=3×माध्यक−बहुलक2\text{माध्य} = \tfrac{3 \times \text{माध्यक} - \text{बहुलक}}{2} और माध्यक=बहुलक+2×माध्य3\text{माध्यक} = \tfrac{\text{बहुलक} + 2 \times \text{माध्य}}{3}।

उदाहरण 3 · माध्य और माध्यक से बहुलक

परीक्षा के अंकों के एक समूह का माध्य 61 और माध्यक 58 है। बहुलक का अनुमान लगाइए।

  1. बहुलक =3×58−2×61=174−122=52= 3 \times 58 - 2 \times 61 = 174 - 122 = 52।

  2. माध्यक वाले सूत्र से जाँच: (52+2×61)÷3=174÷3=58(52 + 2 \times 61) \div 3 = 174 \div 3 = 58। मेल खाता है।

उत्तर

52

सावधान

3 माध्यक के साथ जाता है और 2 माध्य के साथ। इन्हें उलटने से एक रखा हुआ गलत विकल्प मिलता है। माध्यक बहुलक और माध्य के बीच रहता है, माध्य से बहुलक की ओर एक-तिहाई दूरी पर, इसलिए उसका भार बड़ा है।

वर्गीकृत आँकड़े

बारंबारता सारणी का माध्य कैसे ज्ञात करें?

हर मान को उसकी बारंबारता से गुणा कीजिए, गुणनफलों को जोड़िए, और कुल बारंबारता से भाग दीजिए। 10–20 जैसे वर्गों के लिए मान के रूप में वर्ग चिह्न, यानी मध्य-बिंदु 15, लीजिए।

बारंबारता सारणी का माध्य

xˉ=∑fx∑f\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f}

उदाहरण 4 · बारंबारता सारणी

पच्चीस परिवारों से पूछा गया कि उनके पास कितने फ़ोन हैं। माध्य ज्ञात कीजिए।

फ़ोन xxपरिवार fffxfx
144
2918
3721
4520
योग2563

  1. ∑fx=4+18+21+20=63\sum fx = 4 + 18 + 21 + 20 = 63 और ∑f=25\sum f = 25।

  2. माध्य: 63÷25=2.5263 \div 25 = 2.52।

उत्तर

2.52 फ़ोन

सावधान

∑f\sum f से, यानी परिवारों की संख्या से, भाग दीजिए, पंक्तियों की संख्या 4 से नहीं। और मान 1, 2, 3, 4 का औसत उनकी बारंबारताओं के बिना कभी न लीजिए।

जब वर्ग चिह्न बड़े हों, तो पाठ्यपुस्तकें दो शॉर्टकट लेती हैं। दोनों ठीक वही उत्तर देते हैं जो प्रत्यक्ष विधि देती है।

विधिसूत्रकब लें
प्रत्यक्षxˉ=∑fx∑f\bar{x} = \tfrac{\sum fx}{\sum f}वर्ग चिह्न छोटे हों
कल्पित माध्यxˉ=a+∑fd∑f\bar{x} = a + \tfrac{\sum fd}{\sum f}, जहाँ d=x−ad = x - aवर्ग चिह्न बड़े हों
पग-विचलनxˉ=a+∑fu∑f×h\bar{x} = a + \tfrac{\sum fu}{\sum f} \times h, जहाँ u=x−ahu = \tfrac{x - a}{h}वर्ग-माप hh बराबर हों
एक और उदाहरण: पग-विचलन विधि

वर्ग 100–120, 120–140, 140–160, 160–180 और 180–200 की बारंबारताएँ 5, 8, 12, 10 और 5 हैं, इसलिए ∑f=40\sum f = 40। a=150a = 150, बीच का वर्ग चिह्न, और h=20h = 20 लीजिए। तब uu के मान −2, −1, 0, 1, 2 हैं, और ∑fu=−10−8+0+10+10=2\sum fu = -10 - 8 + 0 + 10 + 10 = 2। माध्य 150+240×20=151150 + \tfrac{2}{40} \times 20 = 151 है। प्रत्यक्ष विधि भी यही देती है: ∑fx=6040\sum fx = 6040, और 6040÷40=1516040 \div 40 = 151।

आख़िरी ×h\times h भूलने पर 150.05 आता है, जो एक आम गलत विकल्प है।

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक और बहुलक वर्ग कैसे ज्ञात करें?

संचयी बारंबारता का स्तंभ जोड़िए और n2\tfrac{n}{2} निकालिए। माध्यक वर्ग वह पहला वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता n2\tfrac{n}{2} से अधिक है। बहुलक वर्ग सीधे सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग है। फिर एक सूत्र माध्यक या बहुलक को उसके वर्ग के भीतर रखता है।

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक और बहुलक

माध्यक=l+n2−cff×hबहुलक=l+f1−f02f1−f0−f2×h\text{माध्यक} = l + \frac{\tfrac{n}{2} - cf}{f} \times h \qquad \text{बहुलक} = l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h

माध्यक के लिए ll माध्यक वर्ग की निम्न सीमा है, cfcf उससे पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता, और ff उसकी अपनी बारंबारता। बहुलक के लिए ll बहुलक वर्ग की निम्न सीमा है, f1f_1 उसकी बारंबारता, और f0f_0 व f2f_2 उससे पहले और बाद वाले वर्गों की बारंबारताएँ। दोनों में hh वर्ग-माप है।

उदाहरण 5 · वर्गीकृत माध्यक और बहुलक

60 लोगों ने बस स्टॉप पर जितने मिनट प्रतीक्षा की, वह नीचे दिया है। माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।

समयबारंबारतासंचयी बारंबारता
0–599
5–101423
10–152043
15–201154
20–25660

  1. n2=30\tfrac{n}{2} = 30। 30 से अधिक पहली संचयी बारंबारता 43 है, इसलिए माध्यक वर्ग 10–15 है, जिसमें l=10l = 10, cf=23cf = 23, f=20f = 20 और h=5h = 5।

  2. माध्यक: 10+30−2320×5=10+1.75=11.7510 + \tfrac{30 - 23}{20} \times 5 = 10 + 1.75 = 11.75 मिनट।

  3. सबसे अधिक बारंबारता 20 है, इसलिए बहुलक वर्ग भी 10–15 है, जिसमें f1=20f_1 = 20, f0=14f_0 = 14 और f2=11f_2 = 11।

  4. बहुलक: 10+20−1440−14−11×5=10+615×5=1210 + \tfrac{20 - 14}{40 - 14 - 11} \times 5 = 10 + \tfrac{6}{15} \times 5 = 12 मिनट।

उत्तर

माध्यक 11.75 मिनट, बहुलक 12 मिनट

दोनों 10–15 वर्ग के भीतर हैं, जैसा वर्गीकृत माध्यक और बहुलक के लिए ज़रूरी है।

सावधान

माध्यक सूत्र का cfcf माध्यक वर्ग से पहले वाले वर्ग का है, माध्यक वर्ग का अपना नहीं। और बहुलक वर्ग का मध्य-बिंदु, यहाँ 12.5, बहुलक नहीं है।

परीक्षा शॉर्टकट

"से कम" वाली सारणी संचयी बारंबारताएँ देती है। ff लेने से पहले पड़ोसी प्रविष्टियों को घटाकर हर वर्ग की अपनी बारंबारता निकालिए। "से अधिक" वाली सारणी ऊपर से गिनती है, इसलिए उलटी ओर घटाइए।

जब आँकड़े बदलें

जब हर मान एक ही तरह बदले, तो माध्य, माध्यक और बहुलक का क्या होता है?

तीनों केंद्रीय मान ठीक उसी तरह बदलते हैं जैसे मान। परिसर केवल तब बदलता है जब मानों को गुणा या भाग किया जाए, क्योंकि कोई स्थिरांक जोड़ने से सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान बराबर खिसकते हैं।

हर मान में बदलावमाध्य, माध्यक, बहुलकपरिसर
kk जोड़ेंहर एक +k+ kअपरिवर्तित
kk से गुणा, kk धनात्मकहर एक ×k\times k×k\times k
p%p\% बढ़ाएँहर एक ×(1+p100)\times (1 + \tfrac{p}{100})×(1+p100)\times (1 + \tfrac{p}{100})
kk से गुणा, फिर cc जोड़ेंहर एक ×k\times k, फिर +c+ cकेवल ×k\times k

उदाहरण 6 · इकाई बदलना

तापमान के पाठ्यांकों का माध्यक 30 °C और परिसर 8 °C है। F=1.8C+32F = 1.8C + 32 से °F में माध्यक और परिसर ज्ञात कीजिए।

  1. माध्यक: 1.8×30+32=861.8 \times 30 + 32 = 86 °F।

  2. परिसर: 1.8×8=14.41.8 \times 8 = 14.4 °F। +32+ 32 हर पाठ्यांक को बराबर खिसकाता है, इसलिए परिसर को नहीं छूता।

उत्तर

माध्यक 86 °F, परिसर 14.4 °F

जब केवल एक मान जोड़ा, हटाया या सुधारा जाए, तब क्या होता है?

हर माप को अलग-अलग देखिए। माध्य लगभग हमेशा बदलता है, और उसे निकालने का सबसे आसान रास्ता योग है। माध्यक केवल तब बदलता है जब क्रमबद्ध सूची का बीच खिसके। बहुलक केवल तब बदलता है जब दोहराए गए मानों की गिनतियाँ बदलें। परिसर केवल तब बदलता है जब सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान बदले।

उदाहरण 7 · गलत पढ़े गए मान का सुधार

10 मानों का माध्य 45 निकाला गया। बाद में पता चला कि 62 को 26 पढ़ लिया गया था। सही माध्य ज्ञात कीजिए।

  1. गलत योग 10×45=45010 \times 45 = 450 है।

  2. सही योग 450−26+62=486450 - 26 + 62 = 486 है।

  3. सही माध्य 486÷10=48.6486 \div 10 = 48.6 है।

उत्तर

48.6

योग 10 मानों पर 36 बढ़ा, इसलिए माध्य 3.6 बढ़ा।

उदाहरण 8 · एक मान जोड़ने से माध्यक खिसकता है

सूची 5, 8, 11, 13, 20 का माध्यक 11 है। इसमें मान 3 जोड़ा जाता है। नया माध्यक ज्ञात कीजिए।

  1. नई क्रमबद्ध सूची 3, 5, 8, 11, 13, 20 है, जिसमें छह मान हैं।

  2. माध्यक: (8+11)÷2=9.5(8 + 11) \div 2 = 9.5।

उत्तर

9.5

मुख्य बात

सबसे बड़े मान को बढ़ाने, या सबसे छोटे को घटाने से माध्यक अपनी जगह रहता है, बदलाव कितना भी बड़ा हो। इससे माध्य और परिसर खिसकते हैं। इसीलिए माध्यक चरम मानों से अप्रभावित रहता है और माध्य नहीं।

परीक्षा शॉर्टकट

जब गिनती वही रहे, तो माध्य उतना बदलता है जितना योग का बदलाव गिनती से भाग देने पर आता है। 12 मानों में 30 की जगह 6 रखने से योग 24 और माध्य 2 घटता है।

परिसर और फैलाव

परिसर क्या है और यह क्या बताता है?

परिसर सबसे बड़े मान में से सबसे छोटा मान घटाने पर मिलता है। यह फैलाव मापता है: छोटा परिसर मतलब मान पास-पास हैं, और बड़ा परिसर मतलब वे बिखरे हुए हैं।

उदाहरण 9 · माध्य एक, फैलाव अलग

दो दुकानों ने पाँच दिनों में इतने तरबूज़ बेचे। उनकी तुलना कीजिए।

  • दुकान A: 38, 40, 41, 43, 43।
  • दुकान B: 20, 35, 44, 50, 56।

  1. दोनों के योग 205 हैं, इसलिए दोनों के माध्य 205÷5=41205 \div 5 = 41 हैं।

  2. A का परिसर: 43−38=543 - 38 = 5। B का परिसर: 56−20=3656 - 20 = 36।

उत्तर

माध्य बराबर, पर दुकान A की बिक्री कहीं अधिक स्थिर है

अकेला केंद्रीय मान किसी आँकड़ा-समूह का पूरा वर्णन कभी नहीं करता।

परिसर के तीन जाल

  • ऋणात्मक मानों के साथ ध्यान से घटाइए: −3 से 7 तक परिसर 7−(−3)=107 - (-3) = 10 है।
  • दो सूचियाँ मिलाने पर परिसर कुल सबसे बड़े में से कुल सबसे छोटा है, दोनों परिसरों का योग नहीं।
  • यदि कोई अज्ञात मान नया सबसे बड़ा या नया सबसे छोटा बन सकता है, तो दोनों स्थितियाँ जाँचिए। दो उत्तर हो सकते हैं।

परीक्षा शॉर्टकट

  • योग में सोचिए। योग = माध्य × गिनती। "कोई मान जोड़ा, हटाया या सुधारा गया" वाला हर प्रश्न योग में बदलाव है।
  • हर मान में एक-सा बदलाव। केंद्रीय मान उसके साथ चलते हैं। परिसर किसी भी जोड़ को अनदेखा करता है।
  • आनुभविक संबंध। बहुलक =3×= 3 \times माध्यक −2×- 2 \times माध्य, 3 माध्यक के साथ।
  • समझदारी की जाँच। माध्यक सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच रहता है। वर्गीकृत माध्यक अपने माध्यक वर्ग के भीतर रहता है। माध्य सबसे बड़े मान से कभी अधिक नहीं होता।

आम गलतियाँ

  • क्रम में न लगाना। छपी सूची का बीच वाला मान एक रखा हुआ विकल्प है।
  • सम संख्या में एक ही बीच वाला मान। बीच वाले दोनों मानों का औसत लीजिए।
  • बारंबारताएँ अनदेखी करना। बारंबारता सारणी का माध्य ∑fx÷∑f\sum fx \div \sum f है।
  • पंक्तियों की संख्या से भाग देना। कुल बारंबारता से भाग दीजिए।
  • गलत cfcf। माध्यक वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता लीजिए।
  • वर्ग चिह्न को बहुलक मानना। सूत्र लगाइए।
  • आनुभविक संबंध उलटना। यह 3×3 \times माध्यक है, 3×3 \times माध्य नहीं।
  • खिसकाने से परिसर बदलना। हर मान में एक ही संख्या जोड़ने से परिसर कभी नहीं बदलता।
  • मान लेना कि माध्यक खिसक गया। सबसे ऊपर वाले मान का सुधार उसे नहीं छूता।
  • माध्यकों का औसत। दो मिली सूचियों का माध्यक उनके माध्यकों का औसत नहीं है। मिलाइए, क्रम में लगाइए और फिर गिनिए।

त्वरित पुनरावृत्ति

तीन केंद्रीय मान

  • माध्य = योग ÷ गिनती
  • माध्यक: क्रम में लगाइए, फिर बीच वाला मान, या बीच वाले दो मानों का औसत
  • बहुलक: सबसे अधिक बार आने वाला मान। दो हो सकते हैं, या एक भी नहीं
  • चरम मान हों: माध्यक लीजिए

आनुभविक संबंध

  • बहुलक =3×= 3 \times माध्यक −2×- 2 \times माध्य
  • माध्यक बहुलक और माध्य के बीच रहता है

वर्गीकृत आँकड़े

  • माध्य =∑fx÷∑f= \sum fx \div \sum f, xx के रूप में वर्ग चिह्न
  • माध्यक =l+n/2−cff×h= l + \tfrac{n/2 - cf}{f} \times h, cfcf पहले वाले वर्ग का
  • बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h= l + \tfrac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h

बदलते आँकड़े

  • सब में kk जोड़ें: केंद्रीय मान +k+ k, परिसर अपरिवर्तित
  • सब को kk से गुणा: केंद्रीय मान और परिसर ×k\times k
  • एक मान बदले: योग से काम लीजिए

परिसर

  • सबसे बड़ा − सबसे छोटा
  • मिली सूचियाँ: कुल सबसे बड़ा − कुल सबसे छोटा

योग, भारित औसत और "औसत 2 बढ़ जाता है" वाले प्रश्न औसत में हल किए गए हैं, और सारणियों व चार्टों से मान पढ़ना आँकड़ों की व्याख्या में।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

67 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

यहाँ कुछ प्रश्न अभी केवल अंग्रेज़ी में हैं।

माध्य, माध्यक और बहुलकप्र1 / 67प्र1

माध्य, माध्यक और बहुलक

18 प्रश्न

प्रश्न 1

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

काव्या ने छह दिनों तक प्रतिदिन वीणा के अभ्यास के मिनट लिखे: 35, 50, 40, 25, 45 और 45। प्रतिदिन अभ्यास का माध्य (mean) समय कितने मिनट है?

प्रश्न 1 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 40

  1. कुल समय = 35+50+40+25+45+45=24035 + 50 + 40 + 25 + 45 + 45 = 240 मिनट।

  2. माध्य = 2406=40\frac{240}{6} = 40 मिनट।

ध्यान देने योग्य

42.5 माध्यक है और 45 बहुलक है। 48 तब आता है जब कुल को 6 दिनों के बजाय 5 से भाग दिया जाता है।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक नर्सरी की क्यारी में सात पौधों की ऊँचाइयाँ (cm में) 34, 27, 41, 30, 38, 29 और 45 हैं। माध्यक (median) ऊँचाई क्या है?

प्रश्न 2 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 34 cm

  1. आरोही क्रम में लिखें: 27, 29, 30, 34, 38, 41, 45।

  2. कुल 7 मान हैं, इसलिए माध्यक चौथा मान है: 34 cm।

ध्यान देने योग्य

30 cm क्रम में लगाने से पहले, लिखी गई सूची की बीच वाली प्रविष्टि है। 36 cm सबसे छोटी और सबसे बड़ी ऊँचाई का औसत है, और 18 cm परिसर है।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक हॉकी क्लब ने अपने पिछले आठ मैचों में 3, 1, 4, 2, 6, 2, 5 और 0 गोल किए। प्रति मैच गोलों की संख्या का माध्यक (median) क्या है?

प्रश्न 3 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 2.5

  1. क्रम में: 0, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6।

  2. 8 मान होने पर माध्यक चौथे और पाँचवें मान का औसत होता है।

  3. माध्यक = 2+32=2.5\frac{2 + 3}{2} = 2.5।

ध्यान देने योग्य

सम संख्या में मान होने पर कोई एक बीच का मान नहीं होता; दोनों बीच वाले मानों का औसत लेना पड़ता है। 2 बहुलक है, 2.875 माध्य है, और 3 केवल पाँचवाँ मान है।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक जूते की दुकान पर एक घंटे में बिके जूतों के साइज़ 7, 8, 6, 8, 9, 7, 8, 10, 8 और 7 थे। जूते के साइज़ का बहुलक (mode) क्या है?

प्रश्न 4 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 8

  1. हर साइज़ को गिनें: 6 एक बार, 7 तीन बार, 8 चार बार, 9 एक बार, 10 एक बार।

  2. साइज़ 8 सबसे अधिक बार आता है, इसलिए बहुलक 8 है।

ध्यान देने योग्य

4 यह बताता है कि साइज़ 8 कितनी बार बिका, यह स्वयं साइज़ नहीं है। 7.8 माध्य है, जो यहाँ कोई वास्तविक जूते का साइज़ भी नहीं है; दुकान साइज़ के अनुसार माल रखती है, इसलिए यहाँ बहुलक ही उपयोगी माप है।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सड़क किनारे की एक चाय की दुकान ने दस घंटों में हर घंटे बिके कपों को गिना: 14, 18, 14, 20, 18, 16, 14, 18, 22 और 12। इन संख्याओं का बहुलक (mode) क्या है?

प्रश्न 5 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 14 और 18 दोनों

  1. गिनती: 14 तीन बार, 18 तीन बार, और बाकी हर मान एक बार आता है।

  2. दो मानों की बारंबारता सबसे अधिक और बराबर है, इसलिए आँकड़े द्विबहुलकी (bimodal) हैं: बहुलक 14 और 18 हैं।

ध्यान देने योग्य

किसी सूची में एक से अधिक बहुलक हो सकते हैं। 17 माध्यक है, बहुलक नहीं।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अंजलि ने 100 m दौड़ के पाँच प्रयास 13.4 s, 13.9 s, 13.1 s, 14.2 s और 13.4 s में पूरे किए। उसका माध्य (mean) समय क्या था?

प्रश्न 6 के विकल्प

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उत्तरB · 13.6 s

  1. कुल = 13.4+13.9+13.1+14.2+13.4=68.013.4 + 13.9 + 13.1 + 14.2 + 13.4 = 68.0 s।

  2. माध्य = 68.05=13.6\frac{68.0}{5} = 13.6 s।

ध्यान देने योग्य

13.4 s माध्यक भी है और बहुलक भी। 13.65 s केवल सबसे तेज़ और सबसे धीमी दौड़ का औसत है, और 17 s कुल को 4 से भाग देने पर आता है।

प्रश्न 7

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Find the median of the following observations: 7, 9, 12, 9, 14, 16, 9, 20.

प्रश्न 7 के विकल्प

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उत्तरB · 10.5

  1. Arrange the values in order first: 7, 9, 9, 9, 12, 14, 16, 20.

  2. There are 8 observations, an even number, so the median is the mean of the 4th and 5th values.

  3. Those are 9 and 12, so the median is 9+122=10.5\frac{9 + 12}{2} = 10.5.

ध्यान देने योग्य

The 9 on offer is the mode, the value that appears most often, and the 12 is the mean, 968=12\frac{96}{8} = 12. All three are measures of central tendency and all three are different here, which is exactly why the question names one.

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दैनिक तापमानों के एक मध्यम रूप से विषम (moderately skewed) बंटन में माध्य (mean) 34.5 °C और माध्यक (median) 36 °C है। तीनों केंद्रीय मानों के बीच के आनुभविक संबंध (empirical relation) का उपयोग करके बहुलक (mode) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 8 के विकल्प

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उत्तरC · 39 °C

  1. आनुभविक संबंध: बहुलक = 3 × माध्यक − 2 × माध्य।

  2. बहुलक = 3×36−2×34.5=108−69=393 \times 36 - 2 \times 34.5 = 108 - 69 = 39 °C।

ध्यान देने योग्य

भूमिकाएँ उलट देने पर (3 × माध्य − 2 × माध्यक) 31.5 °C आता है। 37.5 °C, 2 × माध्यक − माध्य है, और 70.5 °C केवल दिए गए दोनों मानों का योग है।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक टाउनशिप के हर अपार्टमेंट ब्लॉक में फ़्लैटों की संख्या के सर्वेक्षण में बहुलक (mode) 52 फ़्लैट और माध्यक (median) 48 फ़्लैट है। आनुभविक संबंध को सही मानते हुए, प्रति ब्लॉक फ़्लैटों की माध्य (mean) संख्या क्या है?

प्रश्न 9 के विकल्प

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उत्तरA · 46

  1. बहुलक = 3 माध्यक − 2 माध्य, अतः 2 माध्य = 3 माध्यक − बहुलक।

  2. 2 माध्य = 3×48−52=923 \times 48 - 52 = 92।

  3. माध्य = 922=46\frac{92}{2} = 46।

ध्यान देने योग्य

92 में आधा करना भूल गए हैं। 54 माध्यक और बहुलक को आपस में बदल देने से आता है, (3×52−48)÷2(3 \times 52 - 48) \div 2। 50 केवल दिए गए दोनों मानों का औसत है।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पर्वतीय स्थल पर छह दिनों में दर्ज वर्षा (mm में) 16, 5, xx, 20, 9 और 12 थी। छह दिनों की माध्य (mean) वर्षा 12 mm थी। माध्यक (median) वर्षा कितनी थी?

प्रश्न 10 के विकल्प

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उत्तरB · 11 mm

  1. कुल = 6×12=726 \times 12 = 72, और ज्ञात मानों का योग 62 है, अतः x=10x = 10।

  2. क्रम में: 5, 9, 10, 12, 16, 20।

  3. माध्यक = 10+122=11\frac{10 + 12}{2} = 11 mm।

ध्यान देने योग्य

10 mm, x का मान है, माध्यक नहीं। 15 mm बिना क्रम में लगाई सूची की बीच वाली दो प्रविष्टियों (10 और 20) का औसत है। 12 mm माध्य है।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

हिंदी की एक परीक्षा में आठ विद्यार्थियों के अंक, आरोही क्रम में, 42, 47, 51, xx, x+4x + 4, 63, 68 और 71 हैं। माध्यक (median) अंक 56 है। xx क्या है?

प्रश्न 11 के विकल्प

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उत्तरC · 54

  1. 8 मान होने पर माध्यक चौथे और पाँचवें मान का औसत है: x+(x+4)2=56\frac{x + (x + 4)}{2} = 56।

  2. अतः 2x+4=1122x + 4 = 112, जिससे 2x=1082x = 108 और x=54x = 54।

  3. जाँच: सूची 42, 47, 51, 54, 58, 63, 68, 71 अब भी क्रम में है।

ध्यान देने योग्य

56 में x को ही माध्यक मान लिया गया है, और 52 में x+4=56x + 4 = 56 रखा गया है। 26 तब आता है जब 2x+4=562x + 4 = 56 लिखा जाता है, यानी माध्यक को दोगुना करना भूल जाते हैं।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक हेल्पलाइन पर फ़ोन कॉलों की अवधि का बहुलक (mode) 27 सेकंड और माध्य (mean) 30 सेकंड है। आनुभविक संबंध का उपयोग करके माध्यक (median) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 12 के विकल्प

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उत्तरD · 29 सेकंड

  1. बहुलक = 3 माध्यक − 2 माध्य, अतः 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य।

  2. 3 माध्यक = 27+60=8727 + 60 = 87, अतः माध्यक = 29 सेकंड।

ध्यान देने योग्य

28 सेकंड भार उलट देने से आता है, (2×27+30)÷3(2 \times 27 + 30) \div 3। 28.5 सेकंड बहुलक और माध्य का साधारण औसत है। मध्यम रूप से विषम आँकड़ों में माध्यक, बहुलक और माध्य के बीच होता है, माध्य से एक-तिहाई दूरी पर।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक छोटा डिज़ाइन स्टूडियो अपने छह कर्मचारियों को ये मासिक वेतन (₹ हज़ार में) देता है: 18, 20, 22, 24, 26 और 190। कौन-सा माप किसी सामान्य कर्मचारी के वेतन को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है, और उसका मान क्या है?

प्रश्न 13 के विकल्प

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उत्तरD · माध्यक, ₹23 हज़ार

  1. माध्य (mean) = 300÷6300 \div 6 = ₹50 हज़ार, पर छह में से पाँच लोग ₹27 हज़ार से कम कमाते हैं।

  2. एक बहुत बड़ा वेतन माध्य को ऊपर खींच लेता है; माध्यक (median) पर उसका कोई असर नहीं पड़ता।

  3. माध्यक = तीसरे और चौथे मान का औसत = (22+24)÷2(22 + 24) \div 2 = ₹23 हज़ार।

ध्यान देने योग्य

कोई चरम मान माध्य को अपनी ओर खींचता है। ₹22 हज़ार केवल तीसरा मान है; छह मान होने पर तीसरे और चौथे मान का औसत लेते हैं।

प्रश्न 14

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक संख्या-खेल के लिए शिक्षक बोर्ड पर पहली दस अभाज्य संख्याएँ लिखते हैं और कक्षा से उनका बीच का मान पूछते हैं। इन दस अभाज्य संख्याओं का माध्यक (median) क्या है?

प्रश्न 14 के विकल्प

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उत्तरB · 12

  1. पहली दस अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 हैं (1 अभाज्य नहीं है)।

  2. माध्यक पाँचवें और छठे मान का औसत है: 11+132=12\frac{11 + 13}{2} = 12।

ध्यान देने योग्य

12.9 माध्य है। सूची 1 से शुरू करने पर हर स्थान खिसक जाता है और माध्यक 11 आता है।

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

ट्रेनों की देरी के एक मध्यम रूप से विषम (moderately skewed) बंटन में माध्य (mean), बहुलक (mode) से 18 मिनट अधिक है। माध्य, माध्यक (median) से कितने मिनट अधिक है?

प्रश्न 15 के विकल्प

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उत्तरA · 6 मिनट

  1. बहुलक = 3 माध्यक − 2 माध्य से: माध्य − बहुलक = 3(माध्य − माध्यक)।

  2. अतः माध्य − माध्यक = 183=6\frac{18}{3} = 6 मिनट।

ध्यान देने योग्य

12 मिनट, माध्यक − बहुलक है, यानी अंतर का दूसरा भाग। 54 मिनट भाग देने के बजाय 3 से गुणा करने पर आता है, और 9 मिनट केवल अंतर को आधा करता है।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पाँच धनात्मक पूर्ण संख्याओं का माध्य (mean) 10, माध्यक (median) 8 और एकमात्र बहुलक (mode) 6 है। इनमें से सबसे बड़ी संख्या का अधिकतम संभव मान क्या है?

प्रश्न 16 के विकल्प

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उत्तरB · 21

  1. इन्हें क्रम में a, b, 8, d, e लिखें। इनका योग 5×10=505 \times 10 = 50 है।

  2. 6 कम से कम दो बार आना चाहिए और यह माध्यक से छोटा है, अतः a=b=6a = b = 6। तब d+e=50−20=30d + e = 50 - 20 = 30।

  3. d का मान 8 नहीं हो सकता (तब 8 भी 6 के बराबर बार आकर बहुलक बन जाएगा) और d, e के बराबर भी नहीं हो सकता (फिर बराबरी), इसलिए d का न्यूनतम मान 9 है।

  4. अतः e का अधिकतम संभव मान 30−9=2130 - 9 = 21 है।

ध्यान देने योग्य

22 के लिए d=8d = 8 चाहिए, जिससे 8 दो बार आता है और एकमात्र बहुलक की शर्त टूट जाती है। 30 में d को पूरी तरह अनदेखा कर दिया गया है।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पठन क्लब के सात सदस्यों द्वारा एक महीने में पढ़ी गई पुस्तकों की संख्या 3, 5, 7, 7, xx, 9 और 10 है, और इन आँकड़ों के लिए माध्य (mean), बहुलक (mode) के बराबर है। xx क्या है?

प्रश्न 17 के विकल्प

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उत्तरC · 8

  1. यदि xx का मान 3, 5, 9 या 10 हो तो दो बहुलक बन जाएँगे, इसलिए एकमात्र बहुलक 7 है।

  2. माध्य = 7 का अर्थ है कि कुल योग 7×7=497 \times 7 = 49 है।

  3. बाकी छह मानों का योग 41 है, अतः x=49−41=8x = 49 - 41 = 8।

  4. जाँच: 8 से कोई बराबरी नहीं बनती, इसलिए बहुलक 7 ही रहता है।

ध्यान देने योग्य

7 यह मान लेता है कि x स्वयं बहुलक होना चाहिए। 1 तब आता है जब 7 के बजाय 6 से भाग दिया जाता है, और 49 आवश्यक कुल योग है, x नहीं।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक फूलवाले ने छह दिनों में 11, 25, 16, 30, 19 और xx गुलदस्ते बेचे। छह दिनों की बिक्री का माध्यक (median) 20 था। xx क्या है?

प्रश्न 18 के विकल्प

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उत्तरD · 21

  1. x के बिना क्रम में मान 11, 16, 19, 25, 30 हैं।

  2. 20 का माध्यक 19 और 25 के बीच है, इसलिए x को चौथे मान के रूप में इन दोनों के बीच होना चाहिए।

  3. 19+x2=20\frac{19 + x}{2} = 20, अतः x=21x = 21।

  4. जाँच: यदि x, 19 से कम होता तो माध्यक अधिकतम 19 होता; यदि 25 से अधिक होता तो माध्यक 22 होता।

ध्यान देने योग्य

20 यह मान लेता है कि x माध्यक के बराबर है। 15 में x को 19 के बजाय 25 के साथ जोड़ा गया है, और 19 केवल तीसरे मान को दोहराता है।

बारंबारता सारणी

16 प्रश्न

प्रश्न 19

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक स्वास्थ्य कार्यकर्ता ने एक गाँव के 50 परिवारों में से प्रत्येक में बच्चों की संख्या दर्ज की।

बच्चों की संख्यापरिवारों की संख्या
06
114
218
38
44

गाँव के सर्वेक्षण के आधार पर, प्रति परिवार बच्चों की माध्य (mean) संख्या क्या है?

प्रश्न 19 के विकल्प

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उत्तरA · 1.8

  1. प्रत्येक मान को उसकी बारंबारता से गुणा करें: 0+14+36+24+16=900 + 14 + 36 + 24 + 16 = 90।

  2. कुल परिवार = 6+14+18+8+4=506 + 14 + 18 + 8 + 4 = 50।

  3. माध्य = 9050=1.8\frac{90}{50} = 1.8।

ध्यान देने योग्य

2, मानों 0 से 4 का साधारण औसत है, जिसमें यह अनदेखा किया गया है कि प्रत्येक मान वाले कितने परिवार हैं। 3.6 में 90 को आधे परिवारों, यानी 25, से भाग दिया गया है, और 18 में 90 को 50 परिवारों के बजाय 5 पंक्तियों से भाग दिया गया है।

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक स्वास्थ्य कार्यकर्ता ने एक गाँव के 50 परिवारों में से प्रत्येक में बच्चों की संख्या दर्ज की।

बच्चों की संख्यापरिवारों की संख्या
06
114
218
38
44

गाँव के सर्वेक्षण के आधार पर, प्रति परिवार बच्चों की संख्या का माध्यक (median) क्या है?

प्रश्न 20 के विकल्प

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उत्तरC · 2

  1. 50 परिवार होने पर माध्यक 25वें और 26वें मान का औसत है।

  2. संचयी बारंबारताएँ (cumulative frequencies): 6 (0 बच्चे), 20 (1 तक), 38 (2 तक)।

  3. 25वाँ और 26वाँ दोनों परिवार '2 बच्चे' वाली पंक्ति में आते हैं, इसलिए माध्यक 2 है।

ध्यान देने योग्य

18 सबसे बड़ी बारंबारता है, बच्चों की संख्या नहीं। 1.8 माध्य है।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक विद्यालय ने दर्ज किया कि एक शाम 50 विद्यार्थियों ने गृहकार्य पर कितना समय लगाया।

समय (मिनट)विद्यार्थियों की संख्या
0–207
20–4011
40–6016
60–8010
80–1006

गृहकार्य-समय वाली सारणी में माध्यक (median) किस वर्ग में है?

प्रश्न 21 के विकल्प

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उत्तरB · 40–60

  1. n=50n = 50, अतः n÷2=25n \div 2 = 25।

  2. संचयी बारंबारताएँ (cumulative frequencies): 7, 18, 34, 44, 50।

  3. 25 तक पहुँचने वाली पहली संचयी बारंबारता 34 है, जो वर्ग 40–60 की है।

ध्यान देने योग्य

माध्यक वर्ग संचयी बारंबारता से ज्ञात किया जाता है, न कि बीच वाली पंक्ति या सबसे अधिक बारंबारता वाली पंक्ति चुनकर (यहाँ ये संयोग से एक ही हैं, पर प्रायः ऐसा नहीं होता)।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

आयु (वर्ष)आगंतुकों की संख्या
10–208
20–3015
30–4019
40–5022
50–609
60–704

एक सुबह एक विज्ञान संग्रहालय में आए 77 आगंतुकों की आयु नीचे वर्गीकृत की गई है। बहुलक वर्ग (modal class) क्या है?

प्रश्न 22 के विकल्प

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उत्तरC · 40–50

  1. बहुलक वर्ग वह वर्ग है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक है।

  2. सबसे बड़ी बारंबारता 22 है, जो वर्ग 40–50 की है।

ध्यान देने योग्य

30–40 माध्यक वर्ग है (n÷2=38.5n \div 2 = 38.5 इसी में आता है), बहुलक वर्ग नहीं। बहुलक वर्ग केवल इस पर निर्भर करता है कि कौन-सी बारंबारता सबसे बड़ी है।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दूरी (km)राइडरों की संख्या
0–103
10–205
20–308
30–404

एक सुबह 20 डिलीवरी राइडरों द्वारा तय की गई दूरियाँ नीचे वर्गीकृत की गई हैं। वर्ग-चिह्नों (class marks) का उपयोग करके माध्य (mean) दूरी ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 23 के विकल्प

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उत्तरC · 21.5 km

  1. वर्ग-चिह्न: 5, 15, 25, 35।

  2. ∑fx=15+75+200+140=430\sum fx = 15 + 75 + 200 + 140 = 430।

  3. माध्य = 43020=21.5\frac{430}{20} = 21.5 km।

ध्यान देने योग्य

16.5 km में निम्न वर्ग-सीमाएँ और 26.5 km में उच्च वर्ग-सीमाएँ ली गई हैं। 20 km बारंबारताओं के बिना चारों वर्ग-चिह्नों का औसत है।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेटिंगभोजन करने वालों की संख्या
12
23
35
46
54

बीस ग्राहकों ने एक नए रेस्तराँ को 1 से 5 के पैमाने पर रेटिंग दी। माध्य (mean) रेटिंग क्या है?

प्रश्न 24 के विकल्प

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उत्तरB · 3.35

  1. ∑fx=2+6+15+24+20=67\sum fx = 2 + 6 + 15 + 24 + 20 = 67।

  2. माध्य = 6720=3.35\frac{67}{20} = 3.35।

ध्यान देने योग्य

3, बारंबारताओं को अनदेखा करके पाँचों संभावित रेटिंगों का औसत है। 3.5 माध्यक है और 4 बहुलक।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अंकविद्यार्थियों की संख्या
0–104
10–207
20–3012
30–405
40–502

एक विज्ञान प्रश्नोत्तरी में 30 विद्यार्थियों के अंक (50 में से) नीचे वर्गीकृत किए गए हैं। वर्ग-चिह्नों (class marks) का उपयोग करके माध्य (mean) अंक ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 25 के विकल्प

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उत्तरA · 23

  1. वर्ग-चिह्न: 5, 15, 25, 35, 45।

  2. ∑fx=4×5+7×15+12×25+5×35+2×45=20+105+300+175+90=690\sum fx = 4 \times 5 + 7 \times 15 + 12 \times 25 + 5 \times 35 + 2 \times 45 = 20 + 105 + 300 + 175 + 90 = 690।

  3. माध्य = 69030=23\frac{690}{30} = 23।

ध्यान देने योग्य

25 बारंबारताओं को अनदेखा करके वर्ग-चिह्नों का औसत है। 28 में वर्ग-चिह्नों के बजाय उच्च वर्ग-सीमाएँ ली गई हैं, और 138 में 30 विद्यार्थियों के बजाय 5 वर्गों से भाग दिया गया है।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दैनिक मज़दूरी (₹)श्रमिकों की संख्या
200–2405
240–2807
280–32015
320–3608
360–4005

40 खेतिहर श्रमिकों की दैनिक मज़दूरी नीचे वर्गीकृत की गई है। कल्पित माध्य (assumed mean) ₹300 लेकर माध्य दैनिक मज़दूरी ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 26 के विकल्प

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उत्तरC · ₹301

  1. वर्ग-चिह्न: 220, 260, 300, 340, 380। 300 से विचलन d: −80, −40, 0, 40, 80।

  2. ∑fd=5(−80)+7(−40)+0+8(40)+5(80)=−400−280+320+400=40\sum fd = 5(-80) + 7(-40) + 0 + 8(40) + 5(80) = -400 - 280 + 320 + 400 = 40।

  3. माध्य = 300+4040=301300 + \frac{40}{40} = 301।

ध्यान देने योग्य

₹299 संशोधन को जोड़ने के बजाय घटाने से आता है। ₹300 में संशोधन पूरी तरह भुला दिया गया है, और ₹302 में Σfd को 40 के बजाय 20 से भाग दिया गया है।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक वनस्पतिशास्त्री 40 पौधों की ऊँचाइयों को 10 cm चौड़ाई वाले वर्गों में बाँटती है और कल्पित माध्य a=45a = 45 cm लेकर पग-विचलन विधि (step-deviation method) का उपयोग करती है। उसे ∑fu=−12\sum f u = -12 मिलता है, जहाँ u=x−4510u = \frac{x - 45}{10} है। माध्य (mean) ऊँचाई क्या है?

प्रश्न 27 के विकल्प

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उत्तरA · 42 cm

  1. माध्य = a+∑fu∑f×ha + \frac{\sum fu}{\sum f} \times h।

  2. माध्य = 45+−1240×10=45−3=4245 + \frac{-12}{40} \times 10 = 45 - 3 = 42 cm।

ध्यान देने योग्य

44.7 cm में वर्ग-चौड़ाई 10 से गुणा करना भूल गए हैं। 48 cm में ऋण चिह्न छोड़ दिया गया है, और 57 cm में 40 से भाग दिए और 10 से गुणा किए बिना कल्पित माध्य में 12 जोड़ दिया गया है।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक विद्यालय ने दर्ज किया कि एक शाम 50 विद्यार्थियों ने गृहकार्य पर कितना समय लगाया।

समय (मिनट)विद्यार्थियों की संख्या
0–207
20–4011
40–6016
60–8010
80–1006

गृहकार्य-समय वाली सारणी के आधार पर, गृहकार्य पर लगाए गए समय का माध्यक (median) क्या है?

प्रश्न 28 के विकल्प

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उत्तरD · 48.75 मिनट

  1. माध्यक वर्ग 40–60: l=40l = 40, cf=18cf = 18, f=16f = 16, h=20h = 20, n2=25\frac{n}{2} = 25।

  2. माध्यक = l+n2−cff×h=40+25−1816×20l + \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \times h = 40 + \frac{25 - 18}{16} \times 20।

  3. =40+14016=40+8.75=48.75= 40 + \frac{140}{16} = 40 + 8.75 = 48.75 मिनट।

ध्यान देने योग्य

28.75 मिनट में cf के रूप में 34 लिया गया है, जो माध्यक वर्ग को शामिल करके वहाँ तक की संचयी बारंबारता है। 44.375 मिनट में वर्ग-चौड़ाई 20 के बजाय h=10h = 10 लिया गया है, और 40 मिनट केवल निम्न सीमा है।

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

खपत की गई यूनिटेंपरिवारों की संख्या
60–806
80–10010
100–12020
120–14014
140–16010

एक आवासीय सोसाइटी के 60 परिवारों की मासिक बिजली खपत नीचे वर्गीकृत की गई है। खपत का बहुलक (mode) क्या है?

प्रश्न 29 के विकल्प

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उत्तरD · 112.5 यूनिट

  1. बहुलक वर्ग 100–120: l=100l = 100, f1=20f_1 = 20, f0=10f_0 = 10, f2=14f_2 = 14, h=20h = 20।

  2. बहुलक = l+f1−f02f1−f0−f2×h=100+1040−24×20l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h = 100 + \frac{10}{40 - 24} \times 20।

  3. =100+1016×20=100+12.5=112.5= 100 + \frac{10}{16} \times 20 = 100 + 12.5 = 112.5 यूनिट।

ध्यान देने योग्य

110 यूनिट बहुलक वर्ग का वर्ग-चिह्न है, बहुलक नहीं। 106.25 यूनिट में h=10h = 10 लिया गया है, और 100 यूनिट निम्न सीमा पर ही रुक जाता है।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कॉलर का साइज़ (cm)कमीज़ों की संख्या
363
389
408
4214
446

एक दर्ज़ी ने एक महीने में सिली गई 40 कमीज़ों के कॉलर के साइज़ (cm में) दर्ज किए। कॉलर साइज़ का माध्यक (median) क्या है?

प्रश्न 30 के विकल्प

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उत्तरC · 41 cm

  1. 40 कमीज़ें होने पर माध्यक 20वें और 21वें साइज़ का औसत है।

  2. संचयी बारंबारताएँ (cumulative frequencies): 3, 12, 20, 34, 40।

  3. 20वीं कमीज़ का साइज़ 40 है (cf ठीक 20 पर पहुँचती है) और 21वीं का साइज़ 42 है।

  4. माध्यक = 40+422=41\frac{40 + 42}{2} = 41 cm।

ध्यान देने योग्य

40 cm केवल 20वाँ मान लेता है। जब संचयी बारंबारता ठीक n÷2n \div 2 पर पहुँचती है, तो अगला मान अगली पंक्ति का होता है। 42 cm बहुलक है और 40.55 cm माध्य है।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सारणी में एक क्लिनिक पर 40 रोगियों के प्रतीक्षा-समय का 'से कम' प्रकार का संचयी बारंबारता बंटन दिया गया है।

प्रतीक्षा-समय (मिनट)रोगियों की संख्या
10 से कम4
20 से कम11
30 से कम23
40 से कम34
50 से कम40

क्लिनिक की प्रतीक्षा-समय सारणी में माध्यक वर्ग (median class) की बारंबारता (frequency) क्या है?

प्रश्न 31 के विकल्प

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उत्तरB · 12

  1. n=40n = 40, अतः n÷2=20n \div 2 = 20। 20 तक पहुँचने वाली पहली संचयी बारंबारता 23 है, जो '30 से कम' की है, इसलिए माध्यक वर्ग 20–30 है।

  2. इसकी बारंबारता 23−11=1223 - 11 = 12 है।

ध्यान देने योग्य

23 संचयी बारंबारता है, वर्ग की अपनी बारंबारता नहीं। 20, n÷2n \div 2 है, और 11 माध्यक वर्ग से पहले की संचयी बारंबारता है।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जेब-खर्च (₹)विद्यार्थियों की संख्या
0–205
20–408
40–60pp
60–8012
80–1007

विद्यार्थियों के एक समूह का साप्ताहिक जेब-खर्च (₹ में) नीचे दिखाया गया है, जिसमें एक बारंबारता लुप्त है। माध्य (mean) साप्ताहिक जेब-खर्च ₹54 है। pp क्या है?

प्रश्न 32 के विकल्प

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उत्तरA · 8

  1. वर्ग-चिह्न: 10, 30, 50, 70, 90।

  2. ∑fx=50+240+50p+840+630=1760+50p\sum fx = 50 + 240 + 50p + 840 + 630 = 1760 + 50p, और ∑f=32\sum f = 32 + p।

  3. 1760+50p32+p=54\frac{1760 + 50p}{32 + p} = 54, अतः 1760+50p=1728+54p1760 + 50p = 1728 + 54p।

  4. 4p=324p = 32, जिससे p=8p = 8।

ध्यान देने योग्य

32, 4 से भाग देने से पहले का 4p है, और यह बाकी बारंबारताओं का योग भी है। 40, p ज्ञात होने के बाद विद्यार्थियों की कुल संख्या है, स्वयं p नहीं।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

सारणी में एक क्लिनिक पर 40 रोगियों के प्रतीक्षा-समय का 'से कम' प्रकार का संचयी बारंबारता बंटन दिया गया है।

प्रतीक्षा-समय (मिनट)रोगियों की संख्या
10 से कम4
20 से कम11
30 से कम23
40 से कम34
50 से कम40

क्लिनिक की प्रतीक्षा-समय सारणी के आधार पर, प्रतीक्षा-समय का माध्यक (median) क्या है?

प्रश्न 33 के विकल्प

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उत्तरD · 27.5 मिनट

  1. माध्यक वर्ग 20–30 है (n÷2=20n \div 2 = 20 से)। इसकी बारंबारता 23−11=1223 - 11 = 12 है, और इससे पहले की cf 11 है।

  2. माध्यक = 20+20−1112×1020 + \frac{20 - 11}{12} \times 10।

  3. =20+7.5=27.5= 20 + 7.5 = 27.5 मिनट।

ध्यान देने योग्य

17.5 मिनट में cf के रूप में 23 लिया गया है, जो माध्यक वर्ग के अंत तक की संचयी बारंबारता है। 25 मिनट वर्ग-चिह्न है और 20 मिनट निम्न सीमा।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

लंबाई (mm)पत्तियों की संख्या
0–106
10–20xx
20–3018
30–4012
40–50yy

सारणी में प्रकृति-भ्रमण के दौरान एकत्र की गई 50 पत्तियों की लंबाइयाँ दिखाई गई हैं, जिनमें दो बारंबारताएँ xx और yy लुप्त हैं। माध्यक (median) लंबाई 25 mm है। xx क्या है?

प्रश्न 34 के विकल्प

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उत्तरC · 10

  1. कुल: 6+x+18+12+y=506 + x + 18 + 12 + y = 50, अतः x+y=14x + y = 14।

  2. n÷2=25n \div 2 = 25 वर्ग 20–30 में आता है, जिससे पहले की cf =6+x= 6 + x, f=18f = 18, h=10h = 10।

  3. 25=20+25−(6+x)18×1025 = 20 + \frac{25 - (6 + x)}{18} \times 10, अतः 19−x18×10=5\frac{19 - x}{18} \times 10 = 5।

  4. 19−x=919 - x = 9, जिससे x=10x = 10 (और y=4y = 4)।

ध्यान देने योग्य

9, 19−x19 - x का मान है, जो उत्तर से एक चरण पहले आता है। 4, y है, और 16 माध्यक वर्ग से पहले की संचयी बारंबारता 6+x6 + x है।

मान बदलने पर

17 प्रश्न

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

प्रयोगशाला का एक थर्मामीटर 2 °C अधिक पढ़ता पाया गया। इससे ली गई 12 रीडिंगों का माध्य (mean) 31.4 °C था। सुधारी गई रीडिंगों का माध्य क्या है?

प्रश्न 35 के विकल्प

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उत्तरB · 29.4 °C

  1. हर रीडिंग में से 2 घटाने पर माध्य में से भी 2 घट जाता है।

  2. सुधारा गया माध्य = 31.4−2=29.431.4 - 2 = 29.4 °C।

ध्यान देने योग्य

33.4 °C त्रुटि को हटाने के बजाय जोड़ देता है। 7.4 °C सभी 12 रीडिंगों की कुल त्रुटि (24 °C) को कुल योग के बजाय माध्य में से घटा देता है।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कुछ फ़्लैटों के मासिक इंटरनेट बिलों का माध्यक (median) ₹840 है। यदि हर बिल 5% बढ़ जाए, तो नया माध्यक बिल क्या होगा?

प्रश्न 36 के विकल्प

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उत्तरD · ₹882

  1. हर बिल को 5% बढ़ाने का अर्थ है हर बिल को 1.05 से गुणा करना, और इससे उनका क्रम नहीं बदलता।

  2. इसलिए माध्यक भी 1.05 से गुणा हो जाता है: 840×1.05840 \times 1.05 = ₹882।

ध्यान देने योग्य

₹845 में 5% के बजाय ₹5 जोड़ा गया है, और ₹798 में 5% घटाया गया है। जब हर मान को एक ही अनुपात में बदला जाता है तो माध्यक भी बदलता है।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पाँच दोस्तों की माध्य (mean) ऊँचाई 152 cm है। एक फ़ोटो के लिए उनमें से हर कोई 3 cm ऊँची सीढ़ी पर खड़ा होता है। अब फ़र्श से मापी गई उनकी माध्य ऊँचाई क्या है?

प्रश्न 37 के विकल्प

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उत्तरD · 155 cm

  1. हर ऊँचाई 3 cm बढ़ती है, इसलिए माध्य भी 3 cm बढ़ता है।

  2. नया माध्य = 152+3=155152 + 3 = 155 cm।

ध्यान देने योग्य

152.6 cm में एक ही 3 cm को पाँचों लोगों में बाँट दिया गया है। हर व्यक्ति 3 cm ऊँचा हुआ, इसलिए माध्य पूरे 3 cm बढ़ता है।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

डार्ट्स के एक खेल में जोसफ़ के अंक 7, 9, 7, 8, 9, 10, 9 और 7 थे। उसके अगले थ्रो में 7 अंक आए। सभी नौ अंकों का बहुलक (mode) क्या है?

प्रश्न 38 के विकल्प

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उत्तरA · 7

  1. अंतिम थ्रो से पहले 7 और 9 दोनों तीन-तीन बार आए थे, इसलिए दो बहुलक थे।

  2. नए 7 से 7 चार बार आता है, इसलिए अब केवल 7 ही बहुलक है।

ध्यान देने योग्य

7 और 9 नौवें थ्रो से पहले का उत्तर था। एक अतिरिक्त मान दो बहुलकों की बराबरी तोड़ सकता है।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सप्ताह में चेन्नई का दोपहर का माध्य (mean) तापमान 25 °C था। डिग्री फ़ारेनहाइट में यह माध्य क्या है? (F=95C+32F = \frac{9}{5}C + 32 का उपयोग करें।)

प्रश्न 39 के विकल्प

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उत्तरC · 77 °F

  1. हर रीडिंग एक ही नियम F=95C+32F = \frac{9}{5}C + 32 से बदली जाती है, इसलिए माध्य भी इसी तरह बदलता है।

  2. माध्य = 95×25+32=45+32=77\frac{9}{5} \times 25 + 32 = 45 + 32 = 77 °F।

ध्यान देने योग्य

45 °F में + 32 भुला दिया गया है, और 57 °F में 9/59/5 से गुणा करना भुला दिया गया है। 102.6 °F में गुणा करने से पहले 32 जोड़ दिया गया है।

प्रश्न 40

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The mean of 8 observations is 12. If one observation of value 20 is replaced by 4, what is the new mean?

प्रश्न 40 के विकल्प

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उत्तरA · 10

  1. The eight observations currently total 8×12=968 \times 12 = 96.

  2. Replacing 20 by 4 reduces the total by 16, giving 96−16=8096 - 16 = 80.

  3. The count has not changed, so the new mean is 80÷8=1080 \div 8 = 10.

ध्यान देने योग्य

The total dropped by 16 spread over 8 observations, so the mean dropped by 16÷8=216 \div 8 = 2. That shortcut works whenever the number of observations stays the same.

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कूरियर काउंटर पर पार्सलों का बहुलक (mode) भार 2.5 kg है। हर पार्सल का भार ग्राम में बदला जाता है और फिर हर पार्सल में 50 g पैकिंग जोड़ी जाती है। नया बहुलक भार क्या है?

प्रश्न 41 के विकल्प

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उत्तरC · 2550 g

  1. kg को g में बदलने पर हर भार 1000 से गुणा होता है: बहुलक 2,500 g हो जाता है।

  2. हर पार्सल में 50 g जोड़ने पर बहुलक में भी 50 g जुड़ जाता है: 2,550 g।

ध्यान देने योग्य

2,500 g में पैकिंग भुला दी गई है। 52,500 g में इकाई बदलने से पहले 50 जोड़ दिया गया है (2.5+50=52.52.5 + 50 = 52.5 kg), और 2.55 g में इकाई बदले बिना केवल संख्या बदल दी गई है।

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बॉलिंग लीग के सात खिलाड़ियों ने 41, 45, 52, 58, 60, 67 और 73 अंक बनाए। फिर एक आठवाँ खिलाड़ी जुड़ता है और 49 अंक बनाता है। सभी आठ खिलाड़ियों के अंकों का माध्यक (median) क्या है?

प्रश्न 42 के विकल्प

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उत्तरA · 55

  1. नए अंक सहित क्रम में: 41, 45, 49, 52, 58, 60, 67, 73।

  2. 8 मान होने पर माध्यक चौथे और पाँचवें मान का औसत है: 52+582=55\frac{52 + 58}{2} = 55।

ध्यान देने योग्य

58 पुराना माध्यक है। 59, 58 और 60 का औसत है, जो तब मिलता जब नया अंक बीच से ऊपर होता। 56 में 52 को 60 के साथ जोड़ा गया है।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

100 m की एक दौड़ में नौ धावकों के समय (सेकंड में) 12.8, 13.1, 13.3, 13.5, 13.6, 13.9, 14.0, 14.4 और 15.2 थे। 15.2 s समय वाले धावक को बाद में अयोग्य घोषित कर दिया गया। बचे हुए आठ समयों का माध्यक (median) क्या है?

प्रश्न 43 के विकल्प

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उत्तरA · 13.55 s

  1. आठ समय बचते हैं: 12.8, 13.1, 13.3, 13.5, 13.6, 13.9, 14.0, 14.4।

  2. माध्यक = चौथे और पाँचवें मान का औसत = 13.5+13.62=13.55\frac{13.5 + 13.6}{2} = 13.55 s।

ध्यान देने योग्य

13.6 s पुराना माध्यक है। 13.75 s तब मिलता है जब सबसे धीमे के बजाय सबसे तेज़ समय हटा दिया जाए।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक प्रॉपर्टी एजेंट ने सात फ़्लैटों के मासिक किराए (₹ में) 9,500; 11,200; 10,800; 12,600; 18,000; 13,400 और 9,900 लिखे। प्रविष्टि ₹18,000 वास्तव में ₹8,100 की टाइपिंग त्रुटि थी। सही माध्यक (median) किराया क्या है?

प्रश्न 44 के विकल्प

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उत्तरB · ₹10,800

  1. सही सूची क्रम में: 8,100; 9,500; 9,900; 10,800; 11,200; 12,600; 13,400।

  2. माध्यक चौथा मान है: ₹10,800।

ध्यान देने योग्य

₹11,200 गलत सूची का माध्यक है। किसी मान को सूची के ऊपरी छोर से निचले छोर पर ले जाने से हर स्थान खिसक जाता है, इसलिए केवल एक प्रविष्टि सुधारने पर भी माध्यक बदल जाता है।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

11 विद्यार्थियों की एक कक्षा में सबसे अधिक अंक 95 के बजाय 59 दर्ज हो गए। 59 के रूप में भी ये सबसे अधिक अंक थे, और 59 केवल एक ही बार था। कक्षा में सबसे आम अंक 48 था, जो तीन विद्यार्थियों ने प्राप्त किया। अंक सुधारने पर कौन-से माप बदलते हैं?

प्रश्न 45 के विकल्प

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उत्तरB · माध्य और परिसर बदलते हैं; माध्यक और बहुलक नहीं बदलते

  1. सबसे बड़े मान को बढ़ाने से हर अंक अपने स्थान पर ही रहता है, इसलिए माध्यक (median) (छठा मान) नहीं बदलता।

  2. बहुलक (mode) दोहराए गए मानों पर निर्भर करता है; 59 एक ही बार आया था, इसलिए बहुलक पर कोई असर नहीं पड़ता।

  3. कुल योग 36 बढ़ता है, इसलिए माध्य (mean) 36÷1136 \div 11 बढ़ता है, और परिसर (range) 36 बढ़ता है।

ध्यान देने योग्य

किसी चरम मान को बदलने से माध्य और परिसर बदलते हैं, पर माध्यक और बहुलक नहीं, बशर्ते बीच के मानों का क्रम न बदले।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बोल्टों के एक समूह की लंबाइयों का माध्यक (median) 14 mm और बहुलक (mode) 12 mm है। हर लंबाई को आधा किया जाता है और फिर उसमें 3 mm जोड़ा जाता है। नया माध्यक और बहुलक क्या हैं?

प्रश्न 46 के विकल्प

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उत्तरA · माध्यक 10 mm, बहुलक 9 mm

  1. आधा करना और 3 जोड़ना हर मान पर लागू होता है, इसलिए क्रम बना रहता है और हर केंद्रीय माप इसी नियम से बदलता है।

  2. नया माध्यक = 14÷2+3=1014 \div 2 + 3 = 10 mm।

  3. नया बहुलक = 12÷2+3=912 \div 2 + 3 = 9 mm।

ध्यान देने योग्य

आधा करने से पहले 3 जोड़ने पर 8.5 और 7.5 मिलते हैं। बहुलक ठीक माध्यक की तरह ही बदलता है; यह 12 पर नहीं रुका रहता।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

टीम रेड के पाँच धावकों ने एक ट्रेल पूरी करने में 12, 15, 19, 22 और 30 मिनट लिए, और टीम ब्लू के चार धावकों ने 14, 17, 25 और 28 मिनट लिए। यदि दोनों टीमों के समय एक ही सूची में रखे जाएँ, तो माध्यक (median) समय क्या है?

प्रश्न 47 के विकल्प

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उत्तरB · 19 मिनट

  1. संयुक्त सूची क्रम में: 12, 14, 15, 17, 19, 22, 25, 28, 30।

  2. कुल 9 समय हैं, इसलिए माध्यक पाँचवाँ मान है: 19 मिनट।

ध्यान देने योग्य

20 मिनट दोनों टीमों के माध्यकों (19 और 21) का औसत है, और 21 मिनट केवल टीम ब्लू का माध्यक है; माध्यक इस तरह नहीं जुड़ते। 17 मिनट चौथा मान है, जो नौ मानों के बीच से एक स्थान पीछे है। सूचियों को मिलाएँ और बीच का मान फिर से ज्ञात करें।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पाँच भिन्न-भिन्न पूर्ण संख्याओं का माध्यक (median) 20 है। जब इनमें से सबसे बड़ी संख्या को दोगुना किया जाता है, तो इनका माध्य (mean) 6 बढ़ जाता है। सबसे बड़ी संख्या क्या है?

प्रश्न 48 के विकल्प

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उत्तरC · 30

  1. सबसे बड़ी संख्या L को दोगुना करने पर कुल योग में L जुड़ जाता है।

  2. माध्य L÷5=6L \div 5 = 6 बढ़ता है, अतः L=30L = 30।

  3. माध्यक की आवश्यकता नहीं है; यह केवल बताता है कि L, 20 से बड़ा है, जिसे 30 संतुष्ट करता है।

ध्यान देने योग्य

60 दोगुना किया गया मान है, मूल मान नहीं। 6 माध्य में हुई वृद्धि है, और 15, 30 को फिर से आधा करता है।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक प्रश्नोत्तरी में 8 प्रतियोगियों के अंकों का माध्य (mean) 30 था। दो देर से आए प्रतियोगी जुड़े, जिनमें से एक ने दूसरे से दोगुने अंक बनाए, और सभी 10 प्रतियोगियों का माध्य 36 हो गया। अधिक अंक पाने वाले देर से आए प्रतियोगी ने कितने अंक बनाए?

प्रश्न 49 के विकल्प

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उत्तरD · 80

  1. पुराना कुल = 8×30=2408 \times 30 = 240। नया कुल = 10×36=36010 \times 36 = 360।

  2. दोनों देर से आए प्रतियोगियों ने मिलकर 360−240=120360 - 240 = 120 अंक बनाए: x+2x=120x + 2x = 120, अतः x=40x = 40।

  3. अधिक अंक = 2×40=802 \times 40 = 80।

ध्यान देने योग्य

40 कम अंक है। 60 में 'दोगुने' की शर्त को अनदेखा करके 120 को बराबर बाँट दिया गया है। 56 में नए कुल के लिए 36 को 10 के बजाय 9 से गुणा किया गया है।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

10 प्रेक्षणों का माध्य (mean) 50 है। पहले 4 प्रेक्षणों में से प्रत्येक को 5 बढ़ाया जाता है और बाकी 6 में से प्रत्येक को 4 घटाया जाता है। नया माध्य क्या है?

प्रश्न 50 के विकल्प

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उत्तरA · 49.6

  1. कुल योग में परिवर्तन = 4×5−6×4=20−24=−44 \times 5 - 6 \times 4 = 20 - 24 = -4।

  2. माध्य में परिवर्तन = −410=−0.4\frac{-4}{10} = -0.4।

  3. नया माध्य = 50−0.4=49.650 - 0.4 = 49.6।

ध्यान देने योग्य

50.5 दोनों परिवर्तनों (+5 और −4) का औसत है, मानो दोनों समूह बराबर आकार के हों। 51 में 5 जोड़ा और 4 घटाया गया है, दोनों एक-एक बार। समूहों के आकार 4 और 6 हैं, इसलिए हर परिवर्तन को उसके समूह के आकार से भार दें।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

आमों के पाँच डिब्बों में अलग-अलग संख्या में फल हैं, जिनका माध्यक (median) 18 फल है। 30 आमों वाला एक छठा डिब्बा, जो सबसे बड़ा है, जोड़ा जाता है, और छह डिब्बों का माध्यक 20 हो जाता है। मूल पाँच डिब्बों को सबसे कम से सबसे अधिक के क्रम में रखने पर 4वें स्थान वाले डिब्बे में कितने आम हैं?

प्रश्न 51 के विकल्प

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उत्तरB · 22

  1. क्रम में पाँच डिब्बे a, b, 18, d, e हैं, जहाँ d, 18 से बड़ा है।

  2. 30 वाला नया डिब्बा अंत में आता है, इसलिए छह डिब्बे क्रम में a, b, 18, d, e, 30 हैं।

  3. नया माध्यक तीसरे और चौथे मान का औसत है: 18+d2=20\frac{18 + d}{2} = 20, अतः d=22d = 22।

ध्यान देने योग्य

20 में नए माध्यक को ही डिब्बा मान लिया गया है। 24, 18 और 30 का औसत है, मानो नया डिब्बा बीच में हो।

परिसर और फैलाव

16 प्रश्न

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

लद्दाख के एक गाँव में एक सप्ताह के न्यूनतम तापमान (°C में) −2, 3, 5, −4, 1, 6 और 0 थे। इन तापमानों का परिसर (range) क्या है?

प्रश्न 52 के विकल्प

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उत्तरD · 10 °C

  1. अधिकतम = 6 °C, न्यूनतम = −4 °C।

  2. परिसर = 6−(−4)=106 - (-4) = 10 °C।

ध्यान देने योग्य

2 °C में −4 को 4 मानकर घटाया गया है। 8 °C में पहली रीडिंग −2 को न्यूनतम मान लिया गया है। ऋणात्मक संख्या घटाने का अर्थ है जोड़ना।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक स्टेशनरी की दुकान में नोटबुकों के मूल्यों का परिसर (range) ₹40 है। फिर दुकानदार हर मूल्य 20% घटा देता है। मूल्यों का नया परिसर क्या है?

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उत्तरC · ₹32

  1. 20% की कटौती हर मूल्य को, जिसमें सबसे अधिक और सबसे कम मूल्य भी शामिल हैं, 0.8 से गुणा कर देती है।

  2. नया परिसर = 0.8×400.8 \times 40 = ₹32।

ध्यान देने योग्य

₹40 तब सही होता जब हर मूल्य में प्रतिशत के बजाय रुपयों की एक समान राशि घटाई जाती। ₹8 परिसर का केवल 20% है, और ₹20 में 20 रुपये घटाए गए हैं।

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक डिलीवरी वैन में सबसे हल्के पार्सल का भार 1.8 kg है, और पार्सलों के भारों का परिसर (range) 4.5 kg है। सबसे भारी पार्सल कितना भारी है?

प्रश्न 54 के विकल्प

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उत्तरD · 6.3 kg

  1. परिसर = सबसे भारी − सबसे हल्का, अतः सबसे भारी = सबसे हल्का + परिसर।

  2. सबसे भारी = 1.8+4.5=6.31.8 + 4.5 = 6.3 kg।

ध्यान देने योग्य

2.7 kg में जोड़ने के बजाय घटाया गया है, और 3.15 kg दिए गए दोनों मानों का औसत है। 4.5 kg स्वयं परिसर है।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

छह दस-मिनट के अंतरालों में एक टोल बूथ से गुज़री कारों की संख्या 12, 45, 33, 8, 29 और 41 थी। परिसर (range) क्या है?

प्रश्न 55 के विकल्प

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उत्तरC · 37

  1. सबसे बड़ा = 45, सबसे छोटा = 8।

  2. परिसर = 45−8=3745 - 8 = 37।

ध्यान देने योग्य

33 में सबसे छोटे मान के बजाय पहला मान 12 घटाया गया है। 26.5, 8 और 45 का मध्य-बिंदु है, परिसर नहीं।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक ही बार में जन्मे छह पिल्लों के भार 3.2 kg, 4.1 kg, 2.8 kg, 5.0 kg, 3.9 kg और 4.4 kg हैं। उनके भारों का परिसर (range) क्या है?

प्रश्न 56 के विकल्प

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उत्तरC · 2.2 kg

  1. सबसे भारी = 5.0 kg, सबसे हल्का = 2.8 kg।

  2. परिसर = 5.0−2.8=2.25.0 - 2.8 = 2.2 kg।

ध्यान देने योग्य

1.8 kg में सूची के पहले भार 3.2 kg को सबसे हल्का मान लिया गया है। 0.6 kg में दो सबसे बड़े भारों को घटाया गया है। 5 kg सबसे अधिक भार है, परिसर नहीं।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पुस्तकालय अपनी अलमारियों की हर पुस्तक की निर्गम-अवधि (पुस्तक रखने की अवधि) में 7 दिन जोड़ देता है। निर्गम-अवधियों के इन मापों में से कौन-सा अपरिवर्तित रहता है?

प्रश्न 57 के विकल्प

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उत्तरD · परिसर

  1. हर मान में 7 जोड़ने पर माध्य (mean), माध्यक (median) और बहुलक (mode) तीनों में 7 जुड़ जाता है।

  2. सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान दोनों 7 बढ़ते हैं, इसलिए उनका अंतर, यानी परिसर (range), नहीं बदलता।

ध्यान देने योग्य

सभी मानों को खिसकाने से हर केंद्रीय माप खिसक जाता है, पर आँकड़ों का फैलाव नहीं बदलता।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पाँच मैचों में हरप्रीत ने 42, 48, 45, 51 और 44 रन बनाए, और नंदिनी ने 30, 62, 38, 55 और 45 रन बनाए। दोनों का माध्य (mean) बराबर है। परिसर (range) के आधार पर कौन अधिक स्थिर (consistent) बल्लेबाज़ है?

प्रश्न 58 के विकल्प

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उत्तरA · हरप्रीत, 9 रन के परिसर के साथ

  1. दोनों के माध्य 230÷5=46230 \div 5 = 46 रन हैं।

  2. हरप्रीत का परिसर = 51−42=951 - 42 = 9; नंदिनी का परिसर = 62−30=3262 - 30 = 32।

  3. छोटे परिसर का अर्थ है कि अंक एक-दूसरे के अधिक निकट हैं, इसलिए हरप्रीत अधिक स्थिर है।

ध्यान देने योग्य

बराबर माध्य फैलाव के बारे में कुछ नहीं बताते; एक ही माध्य वाले दो समूहों की स्थिरता में बहुत अंतर हो सकता है।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक दर्ज़िन के पास रिबनों का एक बंडल है जिनकी लंबाइयों का परिसर (range) 18 cm है। वह हर रिबन को तीन गुना लंबा बनाती है, फिर गाँठ के लिए हर नए रिबन में से 5 cm काट देती है। तैयार लंबाइयों का परिसर क्या है?

प्रश्न 59 के विकल्प

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उत्तरD · 54 cm

  1. हर मान को 3 से गुणा करने पर परिसर भी 3 से गुणा हो जाता है: 54 cm।

  2. हर मान में से 5 घटाने से परिसर नहीं बदलता।

ध्यान देने योग्य

49 cm में परिसर में से भी 5 घटा दिया गया है। सभी मानों को खिसकाने से सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान बराबर मात्रा से बदलते हैं, इसलिए उनका अंतर वही रहता है।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक मेले में स्टॉल P पर आए आगंतुकों की आयु का परिसर (range) 20 वर्ष है और सबसे छोटे की आयु 15 वर्ष है। स्टॉल Q पर आयु का परिसर 16 वर्ष है और सबसे छोटे की आयु 22 वर्ष है। इन सभी आगंतुकों की आयु को एक साथ लेने पर परिसर क्या है?

प्रश्न 60 के विकल्प

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उत्तरA · 23 वर्ष

  1. स्टॉल P: 15 से 35 वर्ष। स्टॉल Q: 22 से 38 वर्ष।

  2. एक साथ लेने पर सबसे छोटा 15 और सबसे बड़ा 38 वर्ष का है।

  3. संयुक्त परिसर = 38−15=2338 - 15 = 23 वर्ष।

ध्यान देने योग्य

36 वर्ष दोनों परिसरों का योग है, जो तभी सही है जब दोनों समूह एक-दूसरे पर न चढ़ें और ठीक एक-दूसरे से सटे हों। संयुक्त परिसर के लिए पूरे समूह के चरम मान चाहिए। 38 वर्ष सबसे अधिक आयु है, परिसर नहीं।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मार्च में एक मौसम केंद्र पर दर्ज सुबह के तापमानों का परिसर (range) 12 °C था, और न्यूनतम रीडिंग 18 °C थी। बाद में 33 °C की एक रीडिंग जोड़ी गई। नया परिसर क्या है?

प्रश्न 61 के विकल्प

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उत्तरB · 15 °C

  1. नई रीडिंग से पहले अधिकतम 18+12=3018 + 12 = 30 °C था।

  2. अब 33 °C अधिकतम है और 18 °C अब भी न्यूनतम है।

  3. नया परिसर = 33−18=1533 - 18 = 15 °C।

ध्यान देने योग्य

21 °C में नई रीडिंग में से पुराना परिसर घटाया गया है। 45 °C में पुराने परिसर में 33 जोड़ा गया है, और 12 °C में नए अधिकतम मान को अनदेखा किया गया है।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कक्षा-परीक्षा में अंक 22 से 91 तक थे। शिक्षक ने केवल 40 से कम अंक पाने वाले विद्यार्थियों को 5 कृपांक (grace marks) दिए। अंकों का नया परिसर (range) क्या है?

प्रश्न 62 के विकल्प

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उत्तरB · 64

  1. सबसे कम अंक 22 बढ़कर 27 हो जाता है। सबसे अधिक अंक 91 में कोई बदलाव नहीं होता।

  2. नया परिसर = 91−27=6491 - 27 = 64।

ध्यान देने योग्य

69 यह मान लेता है कि परिसर पर कोई असर नहीं पड़ता, जो तभी सही है जब हर विद्यार्थी को कृपांक मिलें। 74 में परिसर में 5 जोड़ा गया है, और 59 में 5 दो बार घटाया गया है।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कारख़ाने में सबसे कम दैनिक मज़दूरी ₹420 और सबसे अधिक ₹780 है। हर मज़दूरी को 10% बढ़ाया जाता है और फिर ₹20 का बोनस जोड़ा जाता है। दैनिक मज़दूरी का नया परिसर (range) क्या है?

प्रश्न 63 के विकल्प

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उत्तरD · ₹396

  1. पुराना परिसर 780−420780 - 420 = ₹360 है।

  2. 10% की वृद्धि परिसर को 1.1 से गुणा कर देती है: ₹396।

  3. ₹20 का बोनस सबके लिए समान है, इसलिए इससे परिसर नहीं बदलता।

ध्यान देने योग्य

₹380 में बोनस को परिसर में जोड़ दिया गया है। ₹360 में प्रतिशत वृद्धि को अनदेखा किया गया है, और ₹36 परिसर में हुई केवल वृद्धि है।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

पाँच पूर्ण संख्याओं का माध्य (mean) 20, माध्यक (median) 21 और परिसर (range) 12 है। सबसे बड़ी संख्या का अधिकतम संभव मान क्या है?

प्रश्न 64 के विकल्प

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उत्तरB · 27

  1. क्रम में: a, b, 21, d, e, जहाँ e=a+12e = a + 12 और कुल योग 100 है।

  2. अतः a+b+d+(a+12)=79a + b + d + (a + 12) = 79, यानी 2a+b+d=672a + b + d = 67।

  3. e को बड़ा करने के लिए a को बड़ा करें। b और d के न्यूनतम मान a और 21 हो सकते हैं: 2a+a+21≤672a + a + 21 \le 67 से a ≤ 15।

  4. a=15a = 15 लेने पर: b=15b = 15, d=22d = 22, e=27e = 27। जाँच: 15+15+21+22+27=10015 + 15 + 21 + 22 + 27 = 100।

ध्यान देने योग्य

33 केवल 21+1221 + 12 है, जिसमें कुल योग को अनदेखा किया गया है। 28 के लिए a=16a = 16 चाहिए, जिससे 3×16+21=693 \times 16 + 21 = 69 हो जाता है, जो 67 से अधिक है।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दस भिन्न-भिन्न संख्याओं के एक समूह में सबसे छोटी संख्या को 5 घटाया जाता है और सबसे बड़ी संख्या को 5 बढ़ाया जाता है। माध्य (mean), माध्यक (median) और परिसर (range) पर क्या प्रभाव पड़ता है?

प्रश्न 65 के विकल्प

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उत्तरA · माध्य और माध्यक वही रहते हैं; परिसर 10 बढ़ जाता है

  1. कुल योग में परिवर्तन −5+5=0-5 + 5 = 0 है, इसलिए माध्य नहीं बदलता।

  2. सबसे छोटी संख्या अब भी सबसे छोटी और सबसे बड़ी अब भी सबसे बड़ी है, इसलिए पाँचवाँ और छठा मान, और माध्यक, नहीं बदलते।

  3. परिसर = (सबसे बड़ी + 5) − (सबसे छोटी − 5) = पुराना परिसर + 10।

ध्यान देने योग्य

परिसर दोनों छोरों से बढ़ता है, इसलिए यह 5 नहीं, 10 बढ़ता है।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक दुकान ने पाँच बरसाती दिनों में 14, 22, 9, xx और 30 छाते बेचे। इस बिक्री का परिसर (range) 25 है। xx क्या हो सकता है?

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उत्तरC · 5 या 34

  1. x के बिना मान 9 से 30 तक हैं, यानी परिसर 21, इसलिए x को नया चरम मान होना चाहिए।

  2. यदि x नया सबसे छोटा मान है: 30−x=2530 - x = 25, अतः x=5x = 5।

  3. यदि x नया सबसे बड़ा मान है: x−9=25x - 9 = 25, अतः x=34x = 34।

  4. दोनों स्थितियाँ सही हैं, इसलिए x का मान 5 या 34 है।

ध्यान देने योग्य

पहली स्थिति पर ही रुक जाने से केवल एक उत्तर मिलता है। 25 परिसर है, x का संभव मान नहीं: x=25x = 25 लेने पर परिसर 21 ही रहता है।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

संख्याओं 2x2x, x+3x + 3, 17, 11, x−2x - 2, 20 और 9 का परिसर (range) 25 है, जहाँ xx एक धनात्मक पूर्ण संख्या है। xx क्या है?

प्रश्न 67 के विकल्प

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उत्तरA · 17

  1. यदि x−2x - 2 सबसे छोटा होता, तो सबसे बड़ा मान कम से कम 20 होता और परिसर 20−(x−2)=22−x20 - (x - 2) = 22 - x होता, और 22−x=2522 - x = 25 से x=−3x = -3 मिलता है, जो असंभव है। इसलिए 9 सबसे छोटा है।

  2. तब सबसे बड़ा मान 9+25=349 + 25 = 34 है। सबसे बड़ा व्यंजक 2x2x है, अतः 2x=342x = 34 और x=17x = 17।

  3. जाँच: 34, 20, 17, 11, 15, 20, 9 का परिसर 34−9=2534 - 9 = 25 है।

ध्यान देने योग्य

23 में x−2x - 2 को सबसे छोटा और 2x2x को सबसे बड़ा मान लिया गया है। 31 में x+3x + 3 को सबसे बड़ा मान लिया गया है। 34, 2x2x का मान है, xx का नहीं।

क्षेत्रों के नाम NTA के हैं। उनके भीतर के अध्याय EduFarming का अपना विभाजन हैं, NTA का नहीं।