CUET सामान्य योग्यता के लिए रैखिक और द्विघात समीकरण

Q: रैखिक समीकरण-युग्म का कब एक हल, कब कोई हल नहीं और कब अनंत हल होते हैं?

गुणांकों के अनुपातों की तुलना कीजिए। यदि x और y के अनुपात अलग हैं, तो रेखाएँ एक बार काटती हैं। यदि वे बराबर हैं पर अचर पदों का अनुपात अलग है, तो रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। यदि तीनों अनुपात बराबर हैं, तो दोनों समीकरण एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं।

Q: गुणनखंड विधि से द्विघात समीकरण को कैसे हल करें?

समीकरण को ax^2 + bx + c = 0 के रूप में लिखिए। बीच वाले पद को ऐसे दो भागों में तोड़िए जिनका गुणनफल a × c और योग b हो। जोड़ियों में गुणनखंड कीजिए, फिर हर गुणनखंड को शून्य के बराबर रखिए।

Q: द्विघाती सूत्र का उपयोग कैसे करें?

गुणांक a, b और c नीचे के सूत्र में रखिए। इसका उपयोग तब कीजिए जब समीकरण के गुणनखंड आसानी से न बनें, या बीच के पद का बँटवारा जल्दी न दिखे।

Q: मूलों से द्विघात समीकरण कैसे बनाएँ?

यदि मूल p और q हैं, तो समीकरण x^2 - (p + q)x + pq = 0 है। मूल 4 और -7 के लिए योग -3 और गुणनफल -28 है, इसलिए समीकरण x^2 + 3x - 28 = 0 है।

Q: विविक्तकर मूलों के बारे में क्या बताता है?

विविक्तकर D = b^2 - 4ac हल करने से पहले ही बता देता है कि द्विघात समीकरण के कितने वास्तविक मूल हैं। D धनात्मक हो तो दो अलग वास्तविक मूल, शून्य हो तो दो बराबर मूल, और ऋणात्मक हो तो कोई वास्तविक मूल नहीं।

Q: बिना हल किए मूलों का योग और गुणनफल कैसे ज्ञात करें?

मूल α और β वाले ax^2 + bx + c = 0 के लिए, मूलों का योग -b/a और गुणनफल c/a है। मूलों वाले कई दूसरे व्यंजक केवल इन्हीं दो संख्याओं से बन जाते हैं।

सीखने में लगभग 15 मिनट · 66 प्रश्न

CUET में समीकरणों के प्रश्न कक्षा 9–10 का बीजगणित हैं, जो तेज़ी से हल करने के लिए पूछे जाते हैं। चारों विकल्प आम चूकों से बने होते हैं: पीछे छूटा चिह्न, आधा खुला कोष्ठक, या गलत अज्ञात को उत्तर मान लेना। यह पाठ एक और दो चरों वाले रैखिक समीकरण, युग्म का हल कब नहीं होता, शाब्दिक प्रश्न, गुणनखंड और सूत्र से द्विघात समीकरण, और विविक्तकर तथा मूलों के योग और गुणनफल से मिलने वाली जानकारी सिखाता है।

पाठ्यक्रम क्षेत्र: Reasoning

इस पृष्ठ पर · 10 भाग

01मूल विचार
02एक चर वाले रैखिक समीकरण
03रैखिक समीकरण-युग्म
04शाब्दिक प्रश्न
05द्विघात समीकरण
06मूल और उनकी प्रकृति
07परीक्षा के शॉर्टकट
08आम गलतियाँ
09त्वरित पुनरावृत्ति
10अपनी समझ जाँचें

मूल विचार

समीकरण एक तराज़ू है। एक पलड़े पर जो भी कीजिए, वही पूरे दूसरे पलड़े पर कीजिए, और संतुलन बना रहता है। इस अध्याय की हर विधि इसी नियम से अज्ञात को अकेला करने का एक तरीका है।

ज़्यादातर अंक दो जगह कटते हैं। एक, पदों को इधर-उधर ले जाते समय छोटी-सी चूक। दूसरा, पूछे गए प्रश्न से अलग प्रश्न का उत्तर देना, जैसे प्रश्न $x + y$ माँगे और आप $x$ दे दें। अंत में पाँच सेकंड की जाँच दोनों को पकड़ लेती है: उत्तर को मूल समीकरण में रखिए, और प्रश्न दोबारा पढ़िए।

एक चर वाले रैखिक समीकरण

एक चर वाले रैखिक समीकरण को कैसे हल करें?

चर वाले सभी पद एक ओर और सभी संख्याएँ दूसरी ओर ले जाइए, फिर चर के गुणांक से भाग दीजिए। जब कोई पद बराबर के चिह्न के पार जाता है, तो उसका चिह्न बदल जाता है।

काम का एक भरोसेमंद क्रम:

हरों के ल.स. से हर पद को गुणा करके भिन्न हटाइए।
कोष्ठक खोलिए, हर कोष्ठक के आगे के चिह्न पर ध्यान रखते हुए।
चर वाले पद एक ओर और संख्याएँ दूसरी ओर इकट्ठा कीजिए।
गुणांक से भाग दीजिए।
उत्तर को मूल समीकरण में रखकर जाँचिए।

उदाहरण 1 · पद इकट्ठा करना

$7x - 4 = 2x + 21$ को हल कीजिए।

$2x$ को बाईं ओर और $-4$ को दाईं ओर ले जाइए, दोनों के चिह्न बदलते हुए: $7x - 2x = 21 + 4$ ।
सरल कीजिए: $5x = 25$ , अतः $x = 5$ ।

उत्तर

x = 5

जाँच: $7 \times 5 - 4 = 31$ और $2 \times 5 + 21 = 31$ ।

सावधान

पद के बराबर के चिह्न के पार जाने पर उसका चिह्न न बदलना इस अध्याय की सबसे आम गलती है। इससे बनने वाला गलत उत्तर लगभग हमेशा विकल्पों में होता है।

चिह्न की गलती के बिना भिन्न और कोष्ठक कैसे हटाएँ?

दोनों ओर के हर पद को सभी हरों के ल.स. से गुणा कीजिए, और खोलने से पहले हर अंश को कोष्ठक में रखिए। किसी भिन्न के आगे का ऋण चिह्न उसके पूरे अंश पर लगता है।

उदाहरण 2 · भिन्न

$\dfrac{x + 2}{3} - \dfrac{x - 4}{5} = 2$ को हल कीजिए।

3 और 5 का ल.स. 15 है। दाईं ओर के 2 समेत हर पद को 15 से गुणा कीजिए: $5(x + 2) - 3(x - 4) = 30$ ।
कोष्ठक खोलिए। ऋण चिह्न दूसरे कोष्ठक के दोनों पदों से गुणा होता है: $5x + 10 - 3x + 12 = 30$ ।
सरल कीजिए: $2x + 22 = 30$ , अतः $2x = 8$ और $x = 4$ ।

उत्तर

x = 4

जाँच: $\tfrac{6}{3} - \tfrac{0}{5} = 2$ ।

सावधान

यहाँ दो चूकें आकर्षक गलत उत्तर देती हैं। एक, केवल भिन्नों को 15 से गुणा करना और 2 को 2 ही रहने देना। दूसरी, $-3(x - 4)$ को $-3x + 12$ की जगह $-3x - 12$ लिखना।

परीक्षा शॉर्टकट

दशमलव हों तो हर पद को 10 या 100 से गुणा कीजिए। $0.3x + 0.5 = 0.1x + 1.7$ को 10 से गुणा करने पर $3x + 5 = x + 17$ मिलता है, अतः $x = 6$ ।

रैखिक समीकरण-युग्म

दो चरों वाले रैखिक समीकरण-युग्म को कैसे हल करें?

जब किसी चर का गुणांक दोनों समीकरणों में बराबर हो, या आसानी से बराबर किया जा सके, तो विलोपन विधि लगाइए। जब कोई समीकरण पहले से किसी चर को अकेला दे रहा हो, जैसे $y = 3x - 1$ , तो प्रतिस्थापन विधि लगाइए। दोनों तरह से अंत में एक चर वाला एक समीकरण बचता है।

उदाहरण 3 · विलोपन

$3x + 2y = 16$ और $5x - 2y = 16$ को हल कीजिए।

$y$ वाले पद $+2y$ और $-2y$ हैं, इसलिए दोनों समीकरण जोड़ने से $y$ हट जाता है: $8x = 32$ , अतः $x = 4$ ।
पहले समीकरण में $x = 4$ रखिए: $12 + 2y = 16$ , अतः $y = 2$ ।

उत्तर

$x = 4$ और $y = 2$

दूसरे समीकरण में जाँच: $20 - 4 = 16$ ।

उदाहरण 4 · प्रतिस्थापन

$y = 3x - 1$ और $2x + 3y = 19$ को हल कीजिए।

दूसरे समीकरण में $y$ की जगह $3x - 1$ रखिए: $2x + 3(3x - 1) = 19$ ।
खोलकर हल कीजिए: $2x + 9x - 3 = 19$ , अतः $11x = 22$ और $x = 2$ ।
तब $y = 3 \times 2 - 1 = 5$ ।

उत्तर

$x = 2$ और $y = 5$

जाँच: $4 + 15 = 19$ ।

परीक्षा शॉर्टकट

जब गुणांक आपस में जगह बदल लें, तो जोड़िए और घटाइए। $5x + 3y = 29$ और $3x + 5y = 27$ को जोड़ने पर $8(x + y) = 56$ , अतः $x + y = 7$ । घटाने पर $2(x - y) = 2$ , अतः $x - y = 1$ । तब $x = 4$ और $y = 3$ ।

आम रूपांतर: योग और अंतर दिए हों

यदि $x + y = S$ और $x - y = D$ , तो $x = \tfrac{S + D}{2}$ और $y = \tfrac{S - D}{2}$ । कोई भी संख्या निकाले बिना सीधे $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = SD$ भी लिख सकते हैं।

यही विचार व्युत्क्रमों पर भी चलता है। यदि $\tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{y} = \tfrac{5}{6}$ और $\tfrac{1}{x} - \tfrac{1}{y} = \tfrac{1}{6}$ , तो $\tfrac{1}{x}$ और $\tfrac{1}{y}$ को ही अज्ञात मानिए: $\tfrac{1}{x} = \tfrac{1}{2}$ और $\tfrac{1}{y} = \tfrac{1}{3}$ , अतः $x = 2$ और $y = 3$ ।

रैखिक समीकरण-युग्म का कब एक हल, कब कोई हल नहीं और कब अनंत हल होते हैं?

गुणांकों के अनुपातों की तुलना कीजिए। यदि $x$ और $y$ के अनुपात अलग हैं, तो रेखाएँ एक बार काटती हैं। यदि वे बराबर हैं पर अचर पदों का अनुपात अलग है, तो रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। यदि तीनों अनुपात बराबर हैं, तो दोनों समीकरण एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं।

$a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के लिए:

शर्त	रेखाएँ	हल
$\tfrac{a_1}{a_2} \ne \tfrac{b_1}{b_2}$	एक बिंदु पर काटती हैं	ठीक एक
$\tfrac{a_1}{a_2} = \tfrac{b_1}{b_2} \ne \tfrac{c_1}{c_2}$	समांतर, कभी नहीं मिलतीं	कोई नहीं
$\tfrac{a_1}{a_2} = \tfrac{b_1}{b_2} = \tfrac{c_1}{c_2}$	एक ही रेखा	अनंत

उदाहरण 5 · कोई हल नहीं

$k$ के किस मान के लिए $kx + 6y = 5$ और $2x + 3y = 7$ का कोई हल नहीं है?

रेखाएँ समांतर तब होंगी जब $\tfrac{k}{2} = \tfrac{6}{3} = 2$ , अतः $k = 4$ ।
अचर पद जाँचिए: $\tfrac{5}{7} \ne 2$ , इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं, एक ही रेखा नहीं।

उत्तर

k = 4

सावधान

पहले दो अनुपातों से $k$ निकालने के बाद तीसरा अनुपात अवश्य जाँचिए। यदि वह भी मेल खाए, तो रेखाएँ संपाती हैं और उत्तर अनंत हल है, कोई हल नहीं नहीं। और "ठीक एक हल" का अर्थ है $k$ का हर वह मान, सिवाय उसके जो पहले दो अनुपात बराबर कर दे।

यह क्यों काम करता है

हर समीकरण एक सरल रेखा है, और हल वह बिंदु है जो दोनों रेखाओं पर हो। $x$ और $y$ के बराबर अनुपात का अर्थ है दोनों रेखाओं की ढाल समान है। समान ढाल वाली दो रेखाएँ या तो कभी नहीं मिलतीं या एक-दूसरे पर पड़ी होती हैं, और अचर पदों का अनुपात बताता है कि कौन-सी स्थिति है।

शाब्दिक प्रश्न

शाब्दिक प्रश्न को समीकरण में कैसे बदलें?

अज्ञात को साफ़-साफ़ नाम दीजिए, बाकी हर राशि उसी के पदों में लिखिए, और वाक्य का एक-एक वाक्यांश बदलिए। फिर हल कीजिए, और उत्तर को केवल समीकरण से नहीं, कहानी से भी जाँचिए।

वाक्यांश	बीजगणित
किसी संख्या से 5 अधिक	$x + 5$
किसी संख्या के चार गुने से 5 कम	$4x - 5$
₹50 के नोटों से दुगुने ₹10 के नोट	₹50 के नोट $= n$ , ₹10 के नोट $= 2n$
दो अंकों की संख्या, दहाई का अंक $t$ , इकाई का अंक $u$	$10t + u$
वही संख्या, अंक उलटकर	$10u + t$
यदि A, B को 5 दे तो दोनों बराबर	$A - 5 = B + 5$

सिक्कों, नोटों और टिकटों वाले प्रश्न हमेशा दो तथ्य देते हैं: कुल कितनी चीज़ें हैं, और उनका कुल मूल्य कितना है। एक ही अक्षर लें तो दूसरी गिनती उसी के पदों में लिखिए।

उदाहरण 6 · सिक्के

एक डिब्बे में 25 सिक्के हैं, सब ₹1 और ₹5 के, जिनका कुल मूल्य ₹69 है। ₹5 के कितने सिक्के हैं?

मान लीजिए ₹5 के $f$ सिक्के हैं। तब ₹1 के $25 - f$ सिक्के हैं।
मूल्य का समीकरण लिखिए: $5f + (25 - f) = 69$ , अतः $4f = 44$ ।
हल कीजिए: $f = 11$ ।

उत्तर

₹5 के 11 सिक्के।

जाँच: $11 \times 5 + 14 \times 1 = 55 + 14 = 69$ ।

उदाहरण 7 · निश्चित शुल्क और दर

एक प्लंबर एक निश्चित बुलावा-शुल्क और प्रति घंटा एक निश्चित राशि लेता है। 3 घंटे का काम ₹1,150 का और 7 घंटे का काम ₹2,150 का पड़ता है। बुलावा-शुल्क कितना है?

हर काम के लिए शुल्क $+$ दर $\times$ घंटे लिखिए: $F + 3r = 1150$ और $F + 7r = 2150$ ।
दूसरे में से पहला घटाइए। शुल्क कट जाता है: $4r = 1000$ , अतः $r = 250$ ।
$r = 250$ वापस रखिए: $F = 1150 - 750 = 400$ ।

उत्तर

₹400

जाँच: $400 + 7 \times 250 = 2150$ ।

परीक्षा शॉर्टकट

लेन-देन वाले प्रश्न में 5 के लेन-देन से दोनों के बीच का अंतर 10 बदलता है। "यदि A, B को 5 दे तो दोनों बराबर हो जाएँ" बताता है कि A के पास B से 10 अधिक हैं।

सावधान

भिन्न वाले प्रश्न में, बदलाव के बाद वाली भिन्न प्रायः विकल्पों में छपी होती है। उत्तर में मूल भिन्न दीजिए, वही पूछी गई है।

आम रूपांतर: अंक

दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है, और अंक उलटने पर संख्या 27 बढ़ जाती है। संख्या ज्ञात कीजिए।

इसे $10t + u$ लिखिए। तब $t + u = 9$ , और $(10u + t) - (10t + u) = 27$ , जो सरल होकर $9(u - t) = 27$ बनता है, अतः $u - t = 3$ । दोनों समीकरण जोड़ने पर $2u = 12$ , अतः $u = 6$ और $t = 3$ । संख्या 36 है, और $63 - 36 = 27$ ।

आयु वाली पहेलियों के लिए देखिए आयु और संख्या संबंधी प्रश्न।

द्विघात समीकरण

गुणनखंड विधि से द्विघात समीकरण को कैसे हल करें?

समीकरण को $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में लिखिए। बीच वाले पद को ऐसे दो भागों में तोड़िए जिनका गुणनफल $a \times c$ और योग $b$ हो। जोड़ियों में गुणनखंड कीजिए, फिर हर गुणनखंड को शून्य के बराबर रखिए।

उदाहरण 8 · बीच का पद तोड़ना

$3x^2 + 10x - 8 = 0$ को हल कीजिए।

$a \times c = 3 \times (-8) = -24$ । गुणनफल $-24$ और योग 10 वाली दो संख्याएँ 12 और $-2$ हैं।
तोड़कर जोड़ियों में गुणनखंड कीजिए: $3x^2 + 12x - 2x - 8 = 3x(x + 4) - 2(x + 4) = (3x - 2)(x + 4)$ ।
हर गुणनखंड को शून्य रखिए: $x = \tfrac{2}{3}$ या $x = -4$ ।

उत्तर

$x = \tfrac{2}{3}$ या $x = -4$

दोनों मूल बचाने वाले तीन नियम

पहले दाईं ओर शून्य लाइए। $(x - 1)(x + 2) = 4$ में हर कोष्ठक को 4 के बराबर नहीं रख सकते। खोलिए और 4 को इस पार लाइए।
$x$ वाले व्यंजक से कभी भाग मत दीजिए। $x^2 = 6x$ को $x$ से भाग देने पर केवल $x = 6$ मिलता है और $x = 0$ छूट जाता है। इसके बजाय गुणनखंड कीजिए: $x(x - 6) = 0$ ।
वर्गमूल के दो चिह्न होते हैं। $x^2 = 25$ का अर्थ है $x = 5$ या $x = -5$ ।

द्विघाती सूत्र का उपयोग कैसे करें?

गुणांक $a$ , $b$ और $c$ नीचे के सूत्र में रखिए। इसका उपयोग तब कीजिए जब समीकरण के गुणनखंड आसानी से न बनें, या बीच के पद का बँटवारा जल्दी न दिखे।

द्विघाती सूत्र, ax² + bx + c = 0 के लिए

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

उदाहरण 9 · सूत्र का उपयोग

$x^2 - 6x + 4 = 0$ को हल कीजिए।

यहाँ $a = 1$ , $b = -6$ और $c = 4$ । अतः $b^2 - 4ac = 36 - 16 = 20$ ।
मान रखिए: $x = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2}$ ।
सरल कीजिए: $x = 3 \pm \sqrt{5}$ ।

उत्तर

$x = 3 + \sqrt{5}$ या $x = 3 - \sqrt{5}$

सावधान

$2a$ पूरे अंश को भाग देता है, केवल वर्गमूल को नहीं। जब $b$ ऋणात्मक हो, तो $-b$ धनात्मक होता है। और जब $a$ और $c$ के चिह्न विपरीत हों, तो $-4ac$ जोड़ बन जाता है।

मूलों से द्विघात समीकरण कैसे बनाएँ?

यदि मूल $p$ और $q$ हैं, तो समीकरण $x^2 - (p + q)x + pq = 0$ है। मूल 4 और $-7$ के लिए योग $-3$ और गुणनफल $-28$ है, इसलिए समीकरण $x^2 + 3x - 28 = 0$ है।

परीक्षा शॉर्टकट

$ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों के व्युत्क्रम जिस समीकरण के मूल हों, उसके लिए गुणांक उलट दीजिए: $cx^2 + bx + a = 0$ ।

उदाहरण 10 · द्विघात वाला शाब्दिक प्रश्न

एक साइकिल सवार स्थिर चाल से 60 km जाती है। यदि वह 5 km/h तेज़ चलती, तो यात्रा में 1 घंटा कम लगता। उसकी चाल क्या है?

मान लीजिए चाल $v$ km/h है। समय = दूरी ÷ चाल, इसलिए $\dfrac{60}{v} - \dfrac{60}{v + 5} = 1$ ।
$v(v + 5)$ से गुणा कीजिए: $60(v + 5) - 60v = v(v + 5)$ , अतः $300 = v^2 + 5v$ ।
व्यवस्थित करके गुणनखंड कीजिए: $v^2 + 5v - 300 = 0$ , यानी $(v + 20)(v - 15) = 0$ ।
चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए $v = -20$ छोड़ दीजिए।

उत्तर

15 km/h

जाँच: 15 km/h पर 60 km में 4 घंटे लगते हैं और 20 km/h पर 3 घंटे।

सावधान

मूल को तभी छोड़िए जब वह कहानी में असंभव हो, जैसे ऋणात्मक लंबाई या आधा व्यक्ति। आदतन ऋणात्मक मूल छोड़ने से पहले उसे जाँच लीजिए।

मूल और उनकी प्रकृति

विविक्तकर मूलों के बारे में क्या बताता है?

विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ हल करने से पहले ही बता देता है कि द्विघात समीकरण के कितने वास्तविक मूल हैं। $D$ धनात्मक हो तो दो अलग वास्तविक मूल, शून्य हो तो दो बराबर मूल, और ऋणात्मक हो तो कोई वास्तविक मूल नहीं।

विविक्तकर	मूल
$D > 0$	दो भिन्न वास्तविक मूल ( $D$ पूर्ण वर्ग हो तो परिमेय)
$D = 0$	दो बराबर वास्तविक मूल, प्रत्येक $-\tfrac{b}{2a}$
$D < 0$	कोई वास्तविक मूल नहीं

उदाहरण 11 · बराबर मूल

$k$ के किन मानों के लिए $4x^2 + kx + 25 = 0$ के मूल बराबर हैं?

बराबर मूलों के लिए $D = 0$ : $k^2 - 4 \times 4 \times 25 = 0$ ।
अतः $k^2 = 400$ , जिससे $k = 20$ या $k = -20$ ।

उत्तर

$k = 20$ या $k = -20$

जब तक प्रश्न चिह्न पर रोक न लगाए, दोनों मान्य हैं।

सावधान

"वास्तविक मूल" का अर्थ है $D \ge 0$ । "भिन्न वास्तविक मूल" का अर्थ है $D > 0$ , सख़्ती से। "कोई वास्तविक मूल नहीं" का अर्थ है $D < 0$ । सख़्त और गैर-सख़्त असमिकाओं को आपस में मिलाना ही दो विकल्पों के बीच का अंतर होता है।

बिना हल किए मूलों का योग और गुणनफल कैसे ज्ञात करें?

मूल $\alpha$ और $\beta$ वाले $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए, मूलों का योग $-\tfrac{b}{a}$ और गुणनफल $\tfrac{c}{a}$ है। मूलों वाले कई दूसरे व्यंजक केवल इन्हीं दो संख्याओं से बन जाते हैं।

मूलों का योग और गुणनफल

\alpha + \beta = -\frac{b}{a} \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}

व्यंजक	योग और गुणनफल के पदों में
$\alpha^2 + \beta^2$	$(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
$(\alpha - \beta)^2$	$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$
$\tfrac{1}{\alpha} + \tfrac{1}{\beta}$	$\tfrac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$
$\tfrac{\alpha}{\beta} + \tfrac{\beta}{\alpha}$	$\tfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$

उदाहरण 12 · मूलों के वर्गों का योग

$x^2 - 8x + 13 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। $\alpha^2 + \beta^2$ ज्ञात कीजिए।

योग: $\alpha + \beta = 8$ । गुणनफल: $\alpha\beta = 13$ ।
सर्वसमिका लगाइए: $\alpha^2 + \beta^2 = 8^2 - 2 \times 13 = 64 - 26 = 38$ ।

उत्तर

आम रूपांतर: मूलों में दिया गया संबंध

यदि एक मूल दूसरे का तीन गुना है, तो उन्हें $r$ और $3r$ कहिए। $x^2 - 12x + k = 0$ के लिए योग से $4r = 12$ , अतः $r = 3$ , और गुणनफल से $k = 3 \times 9 = 27$ । जाँच: $x^2 - 12x + 27 = (x - 3)(x - 9)$ ।

यदि मूलों का अंतर $d$ है, तो योग और गुणनफल के साथ $(\alpha - \beta)^2 = d^2$ लगाइए।

परीक्षा के शॉर्टकट

विकल्प आज़माइए। एक चर वाले प्रश्न में हर विकल्प को समीकरण में रखकर देखना प्रायः हल करने से तेज़ होता है।
युग्म को दोनों समीकरण संतुष्ट करने चाहिए। कई गलत विकल्प केवल एक को संतुष्ट करते हैं।
मूल जाँचने के लिए योग और गुणनफल लगाइए। विकल्प का युग्म तभी सही है जब उसका योग भी सही हो और गुणनफल भी।
गुणांक आपस में बदले हों: जोड़िए, फिर घटाइए। $x + y$ और $x - y$ एक साथ मिल जाते हैं।
निश्चित शुल्क और दर: दोनों बिल घटाइए। निश्चित शुल्क कट जाता है और दर बचती है।

आम गलतियाँ

बराबर के चिह्न के पार जाने पर पद का चिह्न न बदलना।
ऋण चिह्न को कोष्ठक के केवल पहले पद पर लगाना। $-2(x - 3)$ का अर्थ $-2x + 6$ है।
केवल एक ओर के भिन्न हटाना। दोनों ओर के हर पद को ल.स. से गुणा कीजिए।
गलत अज्ञात को उत्तर देना। दोबारा पढ़िए कि प्रश्न क्या माँग रहा है।
तीसरा अनुपात न जाँचना। $x$ और $y$ के बराबर अनुपात का अर्थ कोई हल नहीं तभी है जब अचर पदों का अनुपात अलग हो।
$x$ या किसी कोष्ठक से भाग देना। एक मूल खो जाता है।
दाईं ओर शून्य होने से पहले गुणनखंड करना।
मूलों के सूत्रों के ऋण चिह्न छोड़ देना। मूलों का योग $-\tfrac{b}{a}$ है, और मूलों से बना समीकरण $x^2 - (\text{योग})x + \text{गुणनफल} = 0$ है।
द्विघाती सूत्र में $2a$ की जगह $a$ से भाग देना।
ऋणात्मक मान खो देना। $k^2 = 144$ से $k = \pm 12$ मिलता है।
जहाँ बराबरी की छूट हो वहाँ सख़्त असमिका लगाना। वास्तविक मूलों में $D = 0$ शामिल है। भिन्न वास्तविक मूलों में नहीं।

त्वरित पुनरावृत्ति

रैखिक समीकरण

एक चर: भिन्न हटाइए, कोष्ठक खोलिए, पद इकट्ठा कीजिए, भाग दीजिए, जाँचिए
बराबर के चिह्न के पार जाने पर पद का चिह्न बदलता है
युग्म: गुणांक मेल खाएँ तो विलोपन, कोई चर अकेला हो तो प्रतिस्थापन

कितने हल?

$\tfrac{a_1}{a_2} \ne \tfrac{b_1}{b_2}$ : ठीक एक
$\tfrac{a_1}{a_2} = \tfrac{b_1}{b_2} \ne \tfrac{c_1}{c_2}$ : कोई नहीं
तीनों अनुपात बराबर: अनंत

शाब्दिक प्रश्न

सिक्के और टिकट: एक गिनती का समीकरण और एक मूल्य का समीकरण
निश्चित शुल्क और दर: दोनों योग घटाइए
अंक: संख्या $10t + u$ , उलटी संख्या $10u + t$

द्विघात समीकरण

गुणनखंड: $b$ को ऐसे दो भागों में तोड़िए जिनका गुणनफल $ac$ हो
सूत्र: $x = \tfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
मूल $p$ और $q$ से: $x^2 - (p + q)x + pq = 0$
व्युत्क्रम मूल: गुणांक उलट दीजिए

मूल

$D > 0$ : दो भिन्न वास्तविक मूल। $D = 0$ : बराबर मूल। $D < 0$ : कोई वास्तविक मूल नहीं
$\alpha + \beta = -\tfrac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \tfrac{c}{a}$
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

जाल

कोई हल नहीं कहने से पहले तीसरा अनुपात जाँचिए
$x$ से कभी भाग मत दीजिए: गुणनखंड कीजिए
वर्गमूल से दो चिह्न, और मूल तभी छोड़िए जब कहानी उसे असंभव बनाए

ये विधियाँ आयु और संख्या संबंधी प्रश्न, समय और कार्य और समय, चाल और दूरी में फिर काम आती हैं।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

66 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

यहाँ कुछ प्रश्न अभी केवल अंग्रेज़ी में हैं।

एक चर वाले रैखिक समीकरणप्र1 / 66प्र1

एक चर वाले रैखिक समीकरण

12 प्रश्न

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एक चर वाले रैखिक समीकरण

प्रश्न 1

प्रश्न 2

प्रश्न 3

प्रश्न 4

प्रश्न 5

प्रश्न 6

प्रश्न 7

प्रश्न 8

प्रश्न 9

प्रश्न 10

प्रश्न 11

प्रश्न 12

दो चर वाले रैखिक समीकरण-युग्म

प्रश्न 13

प्रश्न 14

प्रश्न 15

प्रश्न 16

प्रश्न 17

प्रश्न 18

प्रश्न 19

प्रश्न 20

प्रश्न 21

प्रश्न 22

प्रश्न 23

प्रश्न 24

प्रश्न 25

प्रश्न 26

प्रश्न 27

शब्द-प्रश्नों से समीकरण

प्रश्न 28

प्रश्न 29

प्रश्न 30

प्रश्न 31

प्रश्न 32

प्रश्न 33

प्रश्न 34

प्रश्न 35

प्रश्न 36

प्रश्न 37

प्रश्न 38

प्रश्न 39

प्रश्न 40

प्रश्न 41

प्रश्न 42

द्विघात समीकरण

प्रश्न 43

प्रश्न 44

प्रश्न 45

प्रश्न 46

प्रश्न 47

प्रश्न 48

प्रश्न 49

प्रश्न 50

प्रश्न 51

प्रश्न 52

प्रश्न 53

प्रश्न 54

प्रश्न 55

मूल और उनकी प्रकृति

प्रश्न 56

प्रश्न 57

प्रश्न 58

प्रश्न 59

प्रश्न 60

प्रश्न 61

प्रश्न 62

प्रश्न 63

प्रश्न 64

प्रश्न 65

प्रश्न 66