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CUET सामान्य योग्यता के लिए रेखाएँ, त्रिभुज और वृत्त

सीखने में लगभग 15 मिनट · 67 प्रश्न

CUET की ज्यामिति कक्षा 8–10 के तथ्यों पर चलती है: रेखाओं और समांतर रेखाओं पर कोण, त्रिभुज का कोण योग, समरूपता और पाइथागोरस, बहुभुज के कोण और वृत्त की छह प्रमेय। कोई उपपत्ति नहीं लिखनी होती। अंक तब कटते हैं जब गलत नियम चुना जाए, जैसे 180° का योग बनाने वाले दो कोणों को बराबर मान लेना। यह पाठ हर नियम को आकृति या हल किए गए उदाहरण के साथ, और उससे जुड़े जालों के साथ सिखाता है।

पाठ्यक्रम क्षेत्र
Reasoning
इस पृष्ठ पर · 10 भाग
  1. 01मूल विचार
  2. 02रेखाएँ और कोण
  3. 03त्रिभुज
  4. 04समरूपता और पाइथागोरस
  5. 05चतुर्भुज और बहुभुज
  6. 06वृत्त
  7. 07परीक्षा के शॉर्टकट
  8. 08आम गलतियाँ
  9. 09त्वरित पुनरावृत्ति
  10. 10अपनी समझ जाँचें

मूल विचार

CUET का हर ज्यामिति प्रश्न एक या दो मानक तथ्यों से हल होता है। कौशल सही तथ्य चुनने में है, और सबसे आम गलत चुनाव "बराबर" को "योग 180°" से मिला देना है।

दो आदतें ज़्यादातर गलतियाँ रोक देती हैं। पहली, गणना से पहले शब्दों से आकृति बना लीजिए, क्योंकि रेखा की गलत ओर बना एक बिंदु उत्तर बदल देता है। दूसरी, कोणों के नाम ध्यान से पढ़िए: ∠ABC\angle ABC में बीच का अक्षर B शीर्ष है, और कोण किरणों BA और BC के बीच होता है।

रेखाएँ और कोण

पूरक, संपूरक और शीर्षाभिमुख कोण क्या होते हैं?

दो कोण पूरक होते हैं यदि उनका योग 90° हो, और संपूरक यदि उनका योग 180° हो। जब दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो आमने-सामने के कोण शीर्षाभिमुख होते हैं और सदा बराबर होते हैं।

  • xx का पूरक 90∘−x90^\circ - x है, और संपूरक 180∘−x180^\circ - x।
  • सरल रेखा पर बने कोणों का योग 180° होता है। किसी बिंदु के चारों ओर के कोणों का योग 360° होता है।
  • किसी कोण का संपूरक उसके पूरक से सदा 90° अधिक होता है।

उदाहरण 1 · पूरक और संपूरक

किसी कोण का संपूरक उसके पूरक का चार गुना है। कोण ज्ञात कीजिए।

  1. शर्त लिखिए: 180−x=4(90−x)180 - x = 4(90 - x)।

  2. खोलकर हल कीजिए: 180−x=360−4x180 - x = 360 - 4x, अतः 3x=1803x = 180 और x=60x = 60।

उत्तर

60°

जाँच: संपूरक 120° है, पूरक 30° है, और 120=4×30120 = 4 \times 30।

जब एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो कौन-से कोण बराबर होते हैं?

संगत कोण बराबर होते हैं, और एकांतर कोण बराबर होते हैं। तिर्यक रेखा के एक ही ओर, रेखाओं के बीच बने दो अंतः कोणों का योग 180° होता है। तीनों तथ्यों के लिए रेखाओं का समांतर होना ज़रूरी है।

दो समांतर रेखाएँ l और m, जिन्हें एक तिरछी तिर्यक रेखा काटती है। हर कटान बिंदु पर दोनों न्यून कोण x और दोनों अधिक कोण y से अंकित हैं।
हर कटान बिंदु पर कोण केवल दो माप के होते हैं। हर न्यून कोण x है, हर अधिक कोण y है, और x + y = 180°।
कोणों का जोड़ास्थितिनियम
संगत कोणहर कटान बिंदु पर एक ही स्थिति मेंबराबर
एकांतर कोणरेखाओं के बीच, तिर्यक रेखा के विपरीत ओर (Z आकृति)बराबर
एक ही ओर के अंतः कोणरेखाओं के बीच, तिर्यक रेखा के एक ही ओर (C आकृति)योग 180°

परीक्षा शॉर्टकट

नामों की ज़रूरत कम ही पड़ती है। आकृति के कोई भी दो न्यून कोण बराबर हैं, कोई भी दो अधिक कोण बराबर हैं, और एक न्यून और एक अधिक कोण का योग 180° है।

उदाहरण 2 · एक ही ओर के अंतः कोण

दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक ही ओर के दो अंतः कोण (3x+20)∘(3x + 20)^\circ और (2x+10)∘(2x + 10)^\circ हैं। दोनों कोण ज्ञात कीजिए।

  1. एक ही ओर के अंतः कोणों का योग 180° है: (3x+20)+(2x+10)=180(3x + 20) + (2x + 10) = 180।

  2. हल कीजिए: 5x+30=1805x + 30 = 180, अतः x=30x = 30।

  3. xx वापस रखिए: 3×30+20=1103 \times 30 + 20 = 110 और 2×30+10=702 \times 30 + 10 = 70।

उत्तर

110° और 70°

सावधान

प्रश्न कोण माँगता है, और 30 केवल xx है। xx का मान लगभग हमेशा विकल्पों में होता है।

आम रूपांतर: दो समांतर रेखाओं के बीच एक बिंदु

मान लीजिए AB, CD के समांतर है, और उनके बीच एक बिंदु E को B और D से मिलाया गया है। यदि B और D पर दिए कोण दोनों E की ओर खुलते हैं, तो ∠BED\angle BED उनका योग है। यदि दोनों E से दूर खुलते हैं, यानी दोनों अधिक कोण हैं, तो तीनों कोणों का योग 360° होता है।

दोनों स्थितियों में भरोसेमंद तरीका है E से होकर बाकी दोनों के समांतर एक तीसरी रेखा खींचना और दो बार एकांतर कोण लगाना।

त्रिभुज

त्रिभुज के कोणों के नियम क्या हैं?

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। एक भुजा बढ़ाने से बना बहिष्कोण अपने सामने के दोनों अंतः कोणों के योग के बराबर होता है। समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं, और समबाहु त्रिभुज में हर कोण 60° होता है।

त्रिभुज ABC, जिसकी भुजा BC को C से आगे D तक बढ़ाया गया है। A और B पर अंतः कोण a और b से अंकित हैं, और बहिष्कोण ACD को a + b से अंकित किया गया है।
C पर बहिष्कोण सामने के दोनों अंतः कोणों के योग के बराबर है।

उदाहरण 3 · बहिष्कोण

त्रिभुज KLM में भुजा LM को M से आगे N तक बढ़ाया गया है, और ∠KMN=128∘\angle KMN = 128^\circ। यदि ∠K=∠L\angle K = \angle L, तो ∠K\angle K ज्ञात कीजिए।

  1. बहिष्कोण सामने के दोनों अंतः कोणों के बराबर है: ∠K+∠L=128∘\angle K + \angle L = 128^\circ।

  2. दोनों कोण बराबर हैं, अतः ∠K=128∘÷2=64∘\angle K = 128^\circ \div 2 = 64^\circ।

उत्तर
∠K=64∘\angle K = 64^\circ

जाँच: ∠KML=180∘−128∘=52∘\angle KML = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ, और 64+64+52=18064 + 64 + 52 = 180।

समद्विभाजकों के तीन परिणाम

  • ∠B\angle B और ∠C\angle C के समद्विभाजक 90∘+12∠A90^\circ + \tfrac{1}{2}\angle A के कोण पर मिलते हैं।
  • B और C पर बहिष्कोणों के समद्विभाजक 90∘−12∠A90^\circ - \tfrac{1}{2}\angle A के कोण पर मिलते हैं।
  • A से खींचे गए शीर्षलंब और कोण-समद्विभाजक के बीच का कोण 12(∠B−∠C)\tfrac{1}{2}(\angle B - \angle C) है, बड़ा कोण पहले लेकर।
पहला परिणाम क्यों सही है

त्रिभुज BIC में B और C पर के कोण ∠B\angle B और ∠C\angle C के आधे हैं। इसलिए ∠BIC=180∘−12(∠B+∠C)\angle BIC = 180^\circ - \tfrac{1}{2}(\angle B + \angle C)। चूँकि ∠B+∠C=180∘−∠A\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A, यह 180∘−90∘+12∠A=90∘+12∠A180^\circ - 90^\circ + \tfrac{1}{2}\angle A = 90^\circ + \tfrac{1}{2}\angle A बनता है।

त्रिभुज की भुजाओं और कोणों में क्या संबंध है?

सबसे लंबी भुजा सबसे बड़े कोण के सामने होती है, और सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे कोण के सामने। किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए। इसे त्रिभुज असमिका कहते हैं।

इसलिए यदि दो भुजाएँ aa और bb हैं, और aa बड़ी है, तो तीसरी भुजा a−ba - b और a+ba + b के बीच होती है, दोनों छोर छोड़कर। 9 cm और 4 cm की भुजाओं के साथ तीसरी भुजा 5 cm से अधिक और 13 cm से कम है। पूरे सेंटीमीटरों में यह 6 से 12 तक हो सकती है, यानी 7 लंबाइयाँ।

सावधान

असमिका सख़्त है। 2, 9 और 11 cm की छड़ें त्रिभुज नहीं बनातीं: वे सीधी लेट जाती हैं, क्योंकि 2+92 + 9 केवल 11 के बराबर है।

दो त्रिभुज कब सर्वांगसम होते हैं, और कब केवल समरूप?

दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यानी आकार और माप दोनों में एक जैसे, यदि वे SSS, SAS, ASA, AAS या RHS (समकोण, कर्ण, भुजा) से मेल खाएँ। वे समरूप होते हैं, यानी आकार एक जैसा पर माप कोई भी, यदि उनके कोण मेल खाएँ (AA) या सभी भुजाएँ एक ही अनुपात में हों।

सावधान

तीन बराबर कोण (AAA) केवल समरूपता सिद्ध करते हैं, सर्वांगसमता कभी नहीं। SSA, यानी दो भुजाएँ और ऐसा कोण जो उनके बीच न हो, भी मान्य कसौटी नहीं है।

समरूपता और पाइथागोरस

समरूप त्रिभुजों में अनुपात कैसे काम करते हैं?

समरूप त्रिभुजों में हर लंबाई एक ही गुणक kk से बदलती है: भुजाएँ, शीर्षलंब, माध्यिकाएँ और परिमाप। क्षेत्रफल k2k^2 से बदलते हैं। यदि भुजाएँ 2:32 : 3 के अनुपात में हैं, तो क्षेत्रफल 4:94 : 9 के अनुपात में हैं। यदि क्षेत्रफल 16:4916 : 49 हैं, तो भुजाएँ 4:74 : 7 हैं।

यदि BC के समांतर एक रेखा AB को D पर और AC को E पर काटे, तो वह दोनों भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है, और छोटा त्रिभुज ADE, ABC के समरूप होता है। इसे आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय कहते हैं।

त्रिभुज ABC, जिसमें BC के समांतर रेखा DE खींची गई है; D भुजा AB पर और E भुजा AC पर है। ऊपर का छोटा त्रिभुज ADE छायांकित है।
DE, BC के समांतर है, इसलिए AD : DB = AE : EC, और त्रिभुज ADE, त्रिभुज ABC की छोटी प्रति है।

उदाहरण 4 · समांतर रेखा के नीचे के भाग का क्षेत्रफल

त्रिभुज ABC में DE, BC के समांतर है, D भुजा AB पर और E भुजा AC पर है। AD=3AD = 3 cm और DB=5DB = 5 cm है। त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल और भाग DBCE के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।

  1. गुणक पूरी भुजा से लिया जाता है: AD:AB=3:8AD : AB = 3 : 8।

  2. क्षेत्रफल वर्ग से बदलते हैं: त्रिभुज ADE : त्रिभुज ABC =9:64= 9 : 64।

  3. भाग DBCE बचा हुआ हिस्सा है: 64−9=5564 - 9 = 55 भाग।

उत्तर
9:559 : 55

सावधान

DE जैसी लंबाइयों का गुणक AD:ABAD : AB है, AD:DBAD : DB नहीं। और 9:649 : 64 छोटे त्रिभुज की तुलना पूरे त्रिभुज से करता है, रेखा के नीचे वाले भाग से नहीं।

परीक्षा शॉर्टकट

परछाइयाँ भी समरूप त्रिभुज हैं। किसी भी क्षण धूप में खड़ी हर सीधी वस्तु के लिए ऊँचाई ÷ परछाई एक समान होता है।

पाइथागोरस प्रमेय क्या है, और कौन-से त्रिक याद होने चाहिए?

समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग बाकी दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सदा सबसे लंबी होती है।

पाइथागोरस प्रमेय

कर्ण2=भुजा12+भुजा22\text{कर्ण}^2 = \text{भुजा}_1^2 + \text{भुजा}_2^2

ये त्रिक और उनके गुणज याद हों तो वर्गमूल की मेहनत बचती है:

त्रिकआम गुणज
3, 4, 56, 8, 10 · 9, 12, 15 · 15, 20, 25
5, 12, 1310, 24, 26
8, 15, 1716, 30, 34
7, 24, 2514, 48, 50
20, 21, 29—
9, 40, 41—

उदाहरण 5 · तिरछी लंबाई से ऊँचाई

पतंग की डोर 50 m तक छोड़ी गई है, और पतंग डोर पकड़े बच्चे से 14 m दूर के एक बिंदु के ठीक ऊपर है। पतंग कितनी ऊँचाई पर है?

  1. डोर कर्ण है: ऊँचाई=502−142\text{ऊँचाई} = \sqrt{50^2 - 14^2}।

  2. गणना कीजिए: 2500−196=2304=48\sqrt{2500 - 196} = \sqrt{2304} = 48।

उत्तर

48 m

यह 7, 24, 25 त्रिक का दुगुना है।

आम रूपांतर: कर्ण पर शीर्षलंब

यदि समकोण से कर्ण पर शीर्षलंब खींचा जाए:

  • शीर्षलंब == भुजा ×\times भुजा ÷ कर्ण;
  • हर भुजा का वर्ग == कर्ण ×\times उस भुजा के पास वाला कर्ण का भाग;
  • कर्ण पर माध्यिका कर्ण की आधी होती है।

भुजाएँ 6 और 8 हों तो कर्ण 10 है, शीर्षलंब 48÷10=4.848 \div 10 = 4.8 है, और माध्यिका 5 है।

चतुर्भुज और बहुभुज

समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, आयत और समलंब के मुख्य गुण क्या हैं?

समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं, सम्मुख कोण बराबर होते हैं, आसन्न कोणों का योग 180° होता है, और विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। विशेष आकृतियाँ और तथ्य जोड़ती हैं।

आकृतिअतिरिक्त तथ्य
आयतसभी कोण 90°। विकर्ण बराबर
समचतुर्भुजसभी भुजाएँ बराबर। विकर्ण 90° पर मिलते हैं और कोणों को समद्विभाजित करते हैं
वर्गऊपर के सभी गुण
समलंबसमांतर भुजाओं का एक जोड़ा। हर तिरछी भुजा पर बने दोनों कोणों का योग 180°
पतंगबराबर आसन्न भुजाओं के दो जोड़े। विकर्ण 90° पर मिलते हैं

परीक्षा शॉर्टकट

समचतुर्भुज में हर विकर्ण का आधा और एक भुजा मिलकर समकोण त्रिभुज बनाते हैं, इसलिए भुजा2=(d12)2+(d22)2\text{भुजा}^2 = (\tfrac{d_1}{2})^2 + (\tfrac{d_2}{2})^2। 16 और 30 के विकर्णों से भुजा 17 मिलती है।

मुख्य बात

समांतर चतुर्भुज में किसी कोण का समद्विभाजक एक समद्विबाहु त्रिभुज काटता है, क्योंकि एकांतर कोण आधे कोण के बराबर होता है।

बहुभुज के कोण कैसे ज्ञात करें और उसके विकर्ण कैसे गिनें?

nn भुजाओं वाले बहुभुज के अंतः कोणों का योग (n−2)×180∘(n - 2) \times 180^\circ होता है, और बहिष्कोणों का योग सदा 360° होता है। सम बहुभुज में हर बहिष्कोण 360∘÷n360^\circ \div n है, और हर अंतः कोण 180° में से उसे घटाकर मिलता है। बहुभुज में n(n−3)2\tfrac{n(n - 3)}{2} विकर्ण होते हैं।

भुजाएँकोण योगप्रत्येक कोण (सम)प्रत्येक बहिष्कोणविकर्ण
5540°108°72°5
6720°120°60°9
81080°135°45°20
91260°140°40°27
101440°144°36°35
121800°150°30°54

उदाहरण 6 · कोण की शर्त से भुजाएँ

किसी सम बहुभुज का हर बहिष्कोण उसके हर अंतः कोण का पाँचवाँ भाग है। उसकी कितनी भुजाएँ हैं?

  1. अंतः कोण =5×= 5 \times बहिष्कोण, और अंतः कोण ++ बहिष्कोण =180∘= 180^\circ। अतः 6×6 \times बहिष्कोण =180∘= 180^\circ।

  2. हर बहिष्कोण 30° है, अतः n=360÷30=12n = 360 \div 30 = 12।

उत्तर

12 भुजाएँ

परीक्षा शॉर्टकट

अंतः कोण से nn निकालने के लिए उसे 180° में से घटाइए और 360° को परिणाम से भाग दीजिए। 156° के लिए: 180−156=24180 - 156 = 24, और 360÷24=15360 \div 24 = 15 भुजाएँ। यह (n−2)×180=156n(n - 2) \times 180 = 156n हल करने से कहीं तेज़ है।

वृत्त

वृत्त की कौन-सी प्रमेय चाहिए?

CUET के लिए छह तथ्य काफ़ी हैं:

  • केंद्र पर बना कोण उसी चाप पर परिधि पर बने कोण का दुगुना होता है।
  • एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं।
  • अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है।
  • चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
  • स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है।
  • किसी बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर लंबाई की होती हैं।
केंद्र O वाला एक वृत्त। बिंदु P और Q वृत्त के निचले भाग पर हैं और R ऊपर है। केंद्र पर कोण POQ को 2θ से और R पर कोण PRQ को θ से अंकित किया गया है।
दोनों कोण चाप PQ पर बने हैं, इसलिए केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दुगुना है।

उदाहरण 7 · कौन-सा चाप?

किसी वृत्त का चाप PQ केंद्र पर 110° का कोण बनाता है। दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर, और लघु चाप के किसी बिंदु पर वह कितना कोण बनाता है?

  1. दीर्घ चाप का बिंदु चाप PQ पर बना कोण देखता है, इसलिए केंद्र के कोण का आधा: 110∘÷2=55∘110^\circ \div 2 = 55^\circ।

  2. लघु चाप का बिंदु दूसरे चाप पर बना कोण देखता है, जिसका केंद्र पर कोण 360∘−110∘=250∘360^\circ - 110^\circ = 250^\circ है। इसलिए वह 250∘÷2=125∘250^\circ \div 2 = 125^\circ देखता है।

उत्तर

दीर्घ चाप पर 55°, लघु चाप पर 125°।

दोनों का योग 180° है, क्योंकि मिलकर ये बिंदु एक चक्रीय चतुर्भुज बनाते हैं।

उदाहरण 8 · चक्रीय चतुर्भुज

बिंदु A, B, C और D इसी क्रम में एक वृत्त पर हैं। ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ और ∠CAD=55∘\angle CAD = 55^\circ है। ∠BCD\angle BCD ज्ञात कीजिए।

  1. चतुर्भुज में A पर कोण ∠BAD=30∘+55∘=85∘\angle BAD = 30^\circ + 55^\circ = 85^\circ है।

  2. ABCD चक्रीय है, इसलिए सम्मुख कोणों का योग 180° है: ∠BCD=180∘−85∘=95∘\angle BCD = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ।

उत्तर
∠BCD=95∘\angle BCD = 95^\circ

स्पर्श रेखाओं के तथ्य

  • केंद्र O वाले वृत्त पर P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB हों, तो कोण OAP और OBP दोनों 90° हैं, इसलिए ∠AOB+∠APB=180∘\angle AOB + \angle APB = 180^\circ।
  • यदि किसी चतुर्भुज की चारों भुजाएँ उसके अंदर के वृत्त को स्पर्श करें, तो हर कोने से स्पर्श रेखाएँ बराबर हैं, इसलिए AB+CD=BC+DAAB + CD = BC + DA।

जीवा या स्पर्श रेखा की लंबाई कैसे ज्ञात करें?

समकोण त्रिभुज लगाइए। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उसे समद्विभाजित करता है, इसलिए आधी जीवा, केंद्र से दूरी और त्रिज्या एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। बिंदु P से स्पर्श रेखा के लिए स्पर्श रेखा, त्रिज्या और रेखा OP भी एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

केंद्र O वाला एक वृत्त और एक जीवा AB। O से एक बिंदुकित लंब जीवा के मध्य-बिंदु M पर मिलता है। दूरी OM को d, आधी जीवा MB को c, और त्रिज्या OB को r से अंकित किया गया है।
केंद्र से डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है: c² + d² = r², जहाँ c आधी जीवा है।

उदाहरण 9 · जीवा से त्रिज्या

40 cm लंबी एक जीवा वृत्त के केंद्र से 21 cm दूर है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

  1. आधी जीवा 20 cm है।

  2. पाइथागोरस लगाइए: r=202+212=400+441=841=29r = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29।

उत्तर

29 cm

यह 20, 21, 29 त्रिक है।

परीक्षा शॉर्टकट

P से स्पर्श रेखा के लिए: स्पर्श रेखा2+r2=OP2\text{स्पर्श रेखा}^2 + r^2 = OP^2। 5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 13 cm दूर के बिंदु से स्पर्श रेखाएँ 12 cm की हैं।

सावधान

दो समांतर जीवाओं के लिए, यदि वे केंद्र के विपरीत ओर हों तो केंद्र से उनकी दूरियाँ जोड़िए, और एक ही ओर हों तो घटाइए। और याद रखिए कि समकोण त्रिभुज आधी जीवा देता है: अंत में दुगुना कीजिए।

परीक्षा के शॉर्टकट

  • कोणों के दो माप। समांतर रेखाओं में हर न्यून कोण बराबर है और हर अधिक कोण उसका संपूरक है।
  • पहले बहिष्कोण। यह तीसरा कोण निकाले बिना एक ही चरण में दो कोणों का योग दे देता है।
  • कोण से बहुभुज। n=360÷(180−अंतः कोण)n = 360 \div (180 - \text{अंतः कोण})।
  • त्रिक याद कीजिए। 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 और 20-21-29, अपने गुणजों के साथ।
  • क्षेत्रफल के लिए वर्ग, लंबाई के लिए वर्गमूल। समरूप आकृतियों में लंबाई kk से और क्षेत्रफल k2k^2 से बदलते हैं।

आम गलतियाँ

  • बराबर या संपूरक? एकांतर और संगत कोण बराबर हैं। एक ही ओर के अंतः कोणों का, और चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° है।
  • पूरक या संपूरक? 90° या 180°। शब्द दो बार पढ़िए।
  • xx को उत्तर देना। xx निकालने के बाद उसे वापस रखकर कोण निकालिए।
  • पूरी भुजा या उसका भाग? समानुपातिकता प्रमेय में लंबाइयाँ AD:ABAD : AB से बदलती हैं, AD:DBAD : DB से नहीं।
  • क्षेत्रफल का अनुपात लंबाई पर लगाना। लंबाई के अनुपात का वर्ग क्षेत्रफल देता है, और क्षेत्रफल के अनुपात का वर्गमूल लंबाई।
  • आधी जीवा या पूरी जीवा? समकोण त्रिभुज आधी जीवा देता है।
  • माध्यिका या शीर्षलंब? समकोण त्रिभुज में कर्ण का आधा माध्यिका है। शीर्षलंब, यानी भुजा × भुजा ÷ कर्ण, छोटा होता है।
  • कौन-सा चाप? लघु चाप का बिंदु 180° में से दीर्घ चाप से दिखने वाला कोण घटाकर मिलने वाला कोण देखता है।
  • भुजाएँ दुगुनी करना। nn दुगुना करने से कोण योग दुगुना नहीं होता, क्योंकि (n−2)×180∘(n - 2) \times 180^\circ का − 2 दुगुना नहीं होता।
  • सख़्त असमिका। बाकी दोनों के योग के बराबर तीसरी भुजा सीधी रेखा देती है, त्रिभुज नहीं।

त्वरित पुनरावृत्ति

रेखाएँ

  • पूरक: 90°। संपूरक: 180°। शीर्षाभिमुख: बराबर
  • समांतर रेखाएँ: संगत और एकांतर कोण बराबर, एक ही ओर के अंतः कोणों का योग 180°

त्रिभुज

  • कोण योग 180°। बहिष्कोण = सामने के दोनों अंतः कोणों का योग
  • सबसे लंबी भुजा सबसे बड़े कोण के सामने
  • तीसरी भुजा a−ba - b और a+ba + b के बीच, छोर छोड़कर
  • सर्वांगसमता: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS। AAA नहीं, SSA नहीं

समरूपता और पाइथागोरस

  • लंबाई kk से, क्षेत्रफल k2k^2 से
  • एक भुजा के समांतर रेखा बाकी दोनों को एक ही अनुपात में बाँटती है
  • कर्ण2=भुजा12+भुजा22\text{कर्ण}^2 = \text{भुजा}_1^2 + \text{भुजा}_2^2

बहुभुज

  • कोण योग (n−2)×180∘(n - 2) \times 180^\circ। बहिष्कोणों का योग 360°
  • सम बहुभुज: हर बहिष्कोण 360∘÷n360^\circ \div n
  • विकर्ण: n(n−3)2\tfrac{n(n - 3)}{2}

वृत्त

  • केंद्र पर कोण = उसी चाप पर परिधि के कोण का 2 गुना
  • अर्धवृत्त में कोण: 90°। चक्रीय चतुर्भुज: सम्मुख कोणों का योग 180°
  • स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है। एक बिंदु से स्पर्श रेखाएँ बराबर
  • जीवा: (आधी जीवा)2+d2=r2(\text{आधी जीवा})^2 + d^2 = r^2

अनुपात अनुपात और समानुपात में, और क्षेत्रफल तथा आयतन क्षेत्रमिति में फिर आते हैं।

आगे · 09त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

67 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

यहाँ कुछ प्रश्न अभी केवल अंग्रेज़ी में हैं।

रेखाएँ और कोणप्र1 / 67प्र1

रेखाएँ और कोण

13 प्रश्न

प्रश्न 1

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो कोण पूरक (complementary) हैं, और उनमें से एक कोण दूसरे से 18° अधिक है। छोटा कोण कितना है?

प्रश्न 1 के विकल्प

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उत्तरA · 36°

  1. पूरक कोणों का योग 90° होता है।

  2. माना छोटा कोण xx है। तब x+(x+18∘)=90∘x + (x + 18^\circ) = 90^\circ, अतः 2x=72∘2x = 72^\circ और x=36∘x = 36^\circ।

ध्यान देने योग्य

54° बड़ा कोण है, और 81° तब आता है जब 90° के स्थान पर 180° (संपूरक) लिया जाए।

प्रश्न 2

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कोण अपने संपूरक कोण (supplement) से 38° कम है। वह कोण कितना है?

प्रश्न 2 के विकल्प

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उत्तरB · 71°

  1. माना कोण xx है। इसका संपूरक 180∘−x180^\circ - x है।

  2. x=(180∘−x)−38∘x = (180^\circ - x) - 38^\circ, अतः 2x=142∘2x = 142^\circ और x=71∘x = 71^\circ।

  3. जाँच: संपूरक 109° है, और 109∘−71∘=38∘109^\circ - 71^\circ = 38^\circ।

ध्यान देने योग्य

109° स्वयं संपूरक कोण है, और 26° तब आता है जब 180° के स्थान पर 90° (पूरक) लिया जाए।

प्रश्न 3

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर एक-दूसरे को काटती हैं। ∠AOC=(3x+10)∘\angle AOC = (3x + 10)^\circ और ∠BOD=(5x−30)∘\angle BOD = (5x - 30)^\circ है। ∠BOC\angle BOC कितना है?

प्रश्न 3 के विकल्प

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उत्तरD · 110°

  1. ∠AOC\angle AOC और ∠BOD\angle BOD शीर्षाभिमुख कोण (vertically opposite angles) हैं, इसलिए बराबर हैं: 3x+10=5x−303x + 10 = 5x - 30, जिससे x=20x = 20।

  2. अतः ∠AOC=3×20+10=70∘\angle AOC = 3 \times 20 + 10 = 70^\circ।

  3. ∠BOC\angle BOC सरल रेखा AB पर ∠AOC\angle AOC के बगल में है, इसलिए ∠BOC=180∘−70∘=110∘\angle BOC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ।

ध्यान देने योग्य

70° कोण ∠AOC\angle AOC है, ∠BOC\angle BOC नहीं। 85° और 95° तब आते हैं जब दोनों शीर्षाभिमुख कोणों को गलती से संपूरक मान लिया जाए (8x−20=180)(8x - 20 = 180)।

प्रश्न 4

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समांतर रेखाएँ l और m एक तिर्यक रेखा (transversal) द्वारा काटी जाती हैं। तिर्यक रेखा के एक ही ओर के दो अंतः कोणों में से एक 64° है। दूसरा कोण कितना है?

प्रश्न 4 के विकल्प

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उत्तरC · 116°

  1. जब रेखाएँ समांतर हों, तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों (co-interior angles) का योग 180° होता है।

  2. दूसरा कोण = 180∘−64∘=116∘180^\circ - 64^\circ = 116^\circ।

ध्यान देने योग्य

एक ही ओर के अंतः कोण संपूरक होते हैं, बराबर नहीं। 64° एकांतर या संगत कोणों के लिए सही होता।

प्रश्न 5

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाएँ p और q समांतर हैं, और एक तिर्यक रेखा (transversal) दोनों को काटती है। दो संगत कोण (corresponding angles) (2x+15)∘(2x + 15)^\circ और (3x−20)∘(3x - 20)^\circ के हैं। इनमें से प्रत्येक कोण का माप कितना है?

प्रश्न 5 के विकल्प

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उत्तरB · 85°

  1. समांतर रेखाओं के संगत कोण बराबर होते हैं: 2x+15=3x−202x + 15 = 3x - 20।

  2. अतः x=35x = 35।

  3. प्रत्येक कोण = 2×35+15=85∘2 \times 35 + 15 = 85^\circ।

ध्यान देने योग्य

35 तो xx का मान है, कोण नहीं। 89° तब आता है जब दोनों कोणों का योग गलती से 180° मान लिया जाए।

प्रश्न 6

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी कोण का संपूरक (supplement) उसके पूरक (complement) का पाँच गुना है। वह कोण कितना है?

प्रश्न 6 के विकल्प

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उत्तरC · 67.5°

  1. माना कोण xx है। संपूरक = 180∘−x180^\circ - x, पूरक = 90∘−x90^\circ - x।

  2. 180−x=5(90−x)=450−5x180 - x = 5(90 - x) = 450 - 5x।

  3. 4x=2704x = 270, अतः x=67.5∘x = 67.5^\circ।

ध्यान देने योग्य

22.5° उत्तर का पूरक है और 112.5° उसका संपूरक। जाँच: 112.5=5×22.5112.5 = 5 \times 22.5।

प्रश्न 7

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाएँ AB और CD समांतर हैं; AB ऊपर है और CD नीचे, A बिंदु B के बाएँ है और C बिंदु D के बाएँ। एक बिंदु E दोनों रेखाओं के बीच में, B और D दोनों के बाएँ स्थित है, और इसे B से तथा D से मिलाया गया है। यदि ∠ABE=40∘\angle ABE = 40^\circ और ∠CDE=55∘\angle CDE = 55^\circ है, तो ∠BED\angle BED कितना है?

प्रश्न 7 के विकल्प

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उत्तरC · 95°

  1. E से होकर AB के (और इसलिए CD के भी) समांतर एक रेखा खींचिए। यह ∠BED\angle BED को दो भागों में बाँटती है।

  2. ऊपरी भाग = ∠ABE=40∘\angle ABE = 40^\circ (एकांतर कोण)।

  3. निचला भाग = ∠CDE=55∘\angle CDE = 55^\circ (एकांतर कोण)।

  4. ∠BED=40∘+55∘=95∘\angle BED = 40^\circ + 55^\circ = 95^\circ।

ध्यान देने योग्य

जब बिंदु समांतर रेखाओं के बीच हो और दिए गए कोण उसकी ओर खुलते हों, तो उस बिंदु पर बना कोण दोनों कोणों का योग होता है। 265° बिंदु E पर बना प्रतिवर्ती कोण (reflex angle) है।

प्रश्न 8

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो समांतर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा (transversal) द्वारा काटी जाती हैं। तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों में से एक 124° है। इन दोनों अंतः कोणों (co-interior angles) के समद्विभाजक बिंदु P पर मिलते हैं। P पर समद्विभाजकों के बीच का कोण कितना है?

प्रश्न 8 के विकल्प

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उत्तरB · 90°

  1. दोनों अंतः कोण 124° और 180∘−124∘=56∘180^\circ - 124^\circ = 56^\circ हैं।

  2. इनके आधे 62° और 28° हैं।

  3. ये आधे कोण P पर बने त्रिभुज के दो कोण हैं, इसलिए P पर कोण = 180∘−62∘−28∘=90∘180^\circ - 62^\circ - 28^\circ = 90^\circ।

ध्यान देने योग्य

यह कोण हमेशा 90° होता है: पूरे कोणों का योग 180° है, इसलिए उनके आधों का योग हमेशा 90° होता है।

प्रश्न 9

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

XOY एक सरल रेखा है। इसके एक ही ओर किरणें OP और OQ इस प्रकार खींची गई हैं कि ∠XOP\angle XOP, ∠POQ\angle POQ और ∠QOY\angle QOY का अनुपात 3:4:53 : 4 : 5 है। ∠XOP\angle XOP कितना है?

प्रश्न 9 के विकल्प

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उत्तरA · 45°

  1. तीनों कोण मिलकर ऋजु कोण XOY=180∘XOY = 180^\circ बनाते हैं।

  2. कुल भाग = 3+4+5=123 + 4 + 5 = 12, अतः एक भाग = 180∘÷12=15∘180^\circ \div 12 = 15^\circ।

  3. ∠XOP=3×15∘=45∘\angle XOP = 3 \times 15^\circ = 45^\circ।

ध्यान देने योग्य

60° और 75° क्रमशः ∠POQ\angle POQ और ∠QOY\angle QOY हैं। 90° तब आता है जब 180° के स्थान पर 360° को बाँटा जाए।

प्रश्न 10

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो समांतर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा (transversal) द्वारा काटी जाती हैं। तिर्यक रेखा के एक ही ओर के दो अंतः कोणों में से एक, दूसरे के दोगुने से 30° कम है। इन दोनों में से बड़ा कोण कितना है?

प्रश्न 10 के विकल्प

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उत्तरD · 110°

  1. समांतर रेखाओं के बीच एक ही ओर के अंतः कोणों का योग 180° होता है।

  2. माना छोटा कोण xx है; बड़ा कोण 2x−302x - 30 है। अतः x+2x−30=180x + 2x - 30 = 180, जिससे x=70x = 70।

  3. बड़ा कोण = 2×70−30=110∘2 \times 70 - 30 = 110^\circ।

ध्यान देने योग्य

70° छोटा कोण है। 30° दोनों कोणों को बराबर मानने से आता है, और 50° उनका योग 90° मानने से।

प्रश्न 11

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी कोण के पूरक और उसी कोण के संपूरक का योग 130° है। वह कोण कितना है?

प्रश्न 11 के विकल्प

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उत्तरA · 70°

  1. पूरक + संपूरक = (90∘−x)+(180∘−x)=270∘−2x(90^\circ - x) + (180^\circ - x) = 270^\circ - 2x।

  2. 270−2x=130270 - 2x = 130, अतः 2x=1402x = 140 और x=70∘x = 70^\circ।

  3. जाँच: पूरक 20°, संपूरक 110°, योग 130°।

ध्यान देने योग्य

140° तो 2x2x है; इसे आधा करना याद रखें। 110° उत्तर का संपूरक है।

प्रश्न 12

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रेखाएँ AB और CD समांतर हैं; AB ऊपर है और CD नीचे, A बिंदु B के बाएँ है और C बिंदु D के बाएँ। एक बिंदु E दोनों रेखाओं के बीच में, B और D दोनों के दाएँ स्थित है, और इसे B से तथा D से मिलाया गया है। यदि ∠ABE=150∘\angle ABE = 150^\circ और ∠CDE=140∘\angle CDE = 140^\circ है, तो ∠BED\angle BED (180° से कम वाला कोण) कितना है?

प्रश्न 12 के विकल्प

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उत्तरB · 70°

  1. चूँकि E दाईं ओर है, ∠ABE\angle ABE को BA (जो बाईं ओर है) से घूमकर BE तक मापा जाता है, इसलिए BE और AB के दाएँ भाग के बीच का कोण 180∘−150∘=30∘180^\circ - 150^\circ = 30^\circ है।

  2. इसी प्रकार D पर, DE और CD के दाएँ भाग के बीच का कोण 180∘−140∘=40∘180^\circ - 140^\circ = 40^\circ है।

  3. E से होकर AB के समांतर एक रेखा खींचिए। एकांतर कोणों से, ∠BED=30∘+40∘=70∘\angle BED = 30^\circ + 40^\circ = 70^\circ।

  4. दूसरे तरीके से, ∠BED=360∘−150∘−140∘=70∘\angle BED = 360^\circ - 150^\circ - 140^\circ = 70^\circ।

ध्यान देने योग्य

'दोनों कोण जोड़ो' वाला नियम तभी काम करता है जब कोण E की ओर खुलते हों। यहाँ वे E से दूर की ओर खुलते हैं, इसलिए तीनों कोणों का योग 360° होता है। 290° दोनों दिए गए कोणों का योग है, ∠BED\angle BED नहीं।

प्रश्न 13

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

AOB एक सरल रेखा है। किरणें OP और OQ, AB के एक ही ओर हैं, जहाँ ∠AOP=40∘\angle AOP = 40^\circ और ∠BOQ=70∘\angle BOQ = 70^\circ है। किरण OR, ∠POQ\angle POQ को समद्विभाजित करती है। ∠AOR\angle AOR कितना है?

प्रश्न 13 के विकल्प

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उत्तरC · 75°

  1. तीनों कोण ∠AOP\angle AOP, ∠POQ\angle POQ, ∠QOB\angle QOB मिलकर ऋजु कोण बनाते हैं: ∠POQ=180∘−40∘−70∘=70∘\angle POQ = 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ।

  2. OR इसे समद्विभाजित करती है, इसलिए ∠POR=35∘\angle POR = 35^\circ।

  3. ∠AOR=∠AOP+∠POR=40∘+35∘=75∘\angle AOR = \angle AOP + \angle POR = 40^\circ + 35^\circ = 75^\circ।

ध्यान देने योग्य

35° केवल ∠POR\angle POR है, और 105° कोण ∠BOR\angle BOR (70∘+35∘)(70^\circ + 35^\circ) है। जाँच: 75∘+105∘=180∘75^\circ + 105^\circ = 180^\circ।

त्रिभुज

15 प्रश्न

प्रश्न 14

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The three angles of a triangle are in the ratio 2:3:42 : 3 : 4. What is the largest angle?

प्रश्न 14 के विकल्प

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उत्तरC · 80∘80^\circ

  1. The angles of any triangle add to 180∘180^\circ.

  2. The ratio has 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9 parts, so one part is 180∘÷9=20∘180^\circ \div 9 = 20^\circ.

  3. The largest angle has 4 parts: 4×20∘=80∘4 \times 20^\circ = 80^\circ.

  4. Check: 40∘+60∘+80∘=180∘40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ.

ध्यान देने योग्य

The largest angle is under 90∘90^\circ, so this is an acute-angled triangle. The 90∘90^\circ on offer assumes a ratio like this must produce a right angle; it does not.

प्रश्न 15

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज PQR में ∠P=48∘\angle P = 48^\circ और ∠Q=67∘\angle Q = 67^\circ है। ∠R\angle R कितना है?

प्रश्न 15 के विकल्प

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उत्तरB · 65°

  1. त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

  2. ∠R=180∘−48∘−67∘=65∘\angle R = 180^\circ - 48^\circ - 67^\circ = 65^\circ।

ध्यान देने योग्य

115° तो ∠P+∠Q\angle P + \angle Q है, जो R पर बना बहिष्कोण है, स्वयं ∠R\angle R नहीं।

प्रश्न 16

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक समद्विबाहु त्रिभुज (isosceles triangle) में दोनों बराबर भुजाओं के बीच का कोण 40° है। बाकी दोनों कोणों में से प्रत्येक कितना है?

प्रश्न 16 के विकल्प

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उत्तरD · 70°

  1. दोनों आधार कोण बराबर हैं और उनका योग 180∘−40∘=140∘180^\circ - 40^\circ = 140^\circ है।

  2. प्रत्येक आधार कोण = 140∘÷2=70∘140^\circ \div 2 = 70^\circ।

ध्यान देने योग्य

50° तब आता है जब 180∘−40∘180^\circ - 40^\circ के स्थान पर 90∘−40∘90^\circ - 40^\circ को बाँटा जाए। 20° तो दिए गए कोण का आधा भर है।

प्रश्न 17

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक समद्विबाहु त्रिभुज (isosceles triangle) के दोनों बराबर कोणों में से प्रत्येक 52° का है। तीसरा कोण कितना है?

प्रश्न 17 के विकल्प

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उत्तरC · 76°

  1. दोनों बराबर कोणों का योग 2×52∘=104∘2 \times 52^\circ = 104^\circ है।

  2. तीसरा कोण = 180∘−104∘=76∘180^\circ - 104^\circ = 76^\circ।

ध्यान देने योग्य

64° तब आता है जब 52° को गलती से शीर्ष कोण मान लिया जाए। 128° तो 180∘−52∘180^\circ - 52^\circ है, जिसमें यह भुला दिया गया कि बराबर कोण दो हैं।

प्रश्न 18

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

नवीन के पास तीन-तीन डंडियों के चार गट्ठर हैं। वह एक गट्ठर की तीनों डंडियों के सिरे आपस में जोड़कर एक त्रिभुज बनाना चाहता है। कौन-सा गट्ठर काम करेगा?

प्रश्न 18 के विकल्प

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उत्तरD · 4 cm, 7 cm, 10 cm

  1. त्रिभुज में दोनों छोटी भुजाओं का योग सबसे लंबी भुजा से अधिक होना चाहिए।

  2. 3+4=73 + 4 = 7, जो 8 से कम है; 5+6=115 + 6 = 11, जो 12 से कम है; 2+9=112 + 9 = 11 केवल 11 के बराबर है, इसलिए वे डंडियाँ एक सीध में सपाट पड़ी रह जाती हैं।

  3. 4+7=114 + 7 = 11, जो 10 से अधिक है, इसलिए 4 cm, 7 cm और 10 cm से त्रिभुज बनता है।

ध्यान देने योग्य

बराबर होना काफ़ी नहीं है: जब दोनों छोटी भुजाओं का योग ठीक सबसे लंबी भुजा के बराबर हो, तो 'त्रिभुज' सिमटकर एक सरल रेखा बन जाता है।

प्रश्न 19

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In triangle ABC, the exterior angle at C is 110∘110^\circ and the interior angle at A is 45∘45^\circ. What is the measure of angle B?

प्रश्न 19 के विकल्प

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उत्तरB · 65∘65^\circ

  1. The exterior angle of a triangle equals the sum of the two interior angles not adjacent to it.

  2. The exterior angle at C is therefore A+BA + B, so 110∘=45∘+B110^\circ = 45^\circ + B.

  3. This gives B=65∘B = 65^\circ.

  4. Check by the longer route: the interior angle at C is 180∘−110∘=70∘180^\circ - 110^\circ = 70^\circ, and 45∘+65∘+70∘=180∘45^\circ + 65^\circ + 70^\circ = 180^\circ.

ध्यान देने योग्य

The 70∘70^\circ on offer is the interior angle at C, which the check above computes on the way. It is the right number for the wrong vertex.

प्रश्न 20

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज ABC के कोण ∠A=(x+15)∘\angle A = (x + 15)^\circ, ∠B=(2x−10)∘\angle B = (2x - 10)^\circ और ∠C=(3x+25)∘\angle C = (3x + 25)^\circ हैं। ∠B\angle B कितना है?

प्रश्न 20 के विकल्प

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उत्तरB · 40°

  1. कोण योग: (x+15)+(2x−10)+(3x+25)=180(x + 15) + (2x - 10) + (3x + 25) = 180।

  2. 6x+30=1806x + 30 = 180, अतः x=25x = 25।

  3. ∠B=2×25−10=40∘\angle B = 2 \times 25 - 10 = 40^\circ। (∠A\angle A भी 40° है और ∠C=100∘\angle C = 100^\circ है।)

ध्यान देने योग्य

25 तो xx है, कोण नहीं, और 50 तो 10 घटाने से पहले का 2x2x है। चूँकि ∠A=∠B\angle A = \angle B, यह त्रिभुज समद्विबाहु है।

प्रश्न 21

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज ABC में भुजा BC को C से आगे बिंदु D तक बढ़ाया गया है। ∠ACD=115∘\angle ACD = 115^\circ और ∠A:∠B=3:2\angle A : \angle B = 3 : 2 है। ∠A\angle A कितना है?

प्रश्न 21 के विकल्प

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उत्तरD · 69°

  1. बहिष्कोण (exterior angle) दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है: ∠A+∠B=115∘\angle A + \angle B = 115^\circ।

  2. 115° को 3:23 : 2 के अनुपात में बाँटिए: एक भाग = 115∘÷5=23∘115^\circ \div 5 = 23^\circ।

  3. ∠A=3×23∘=69∘\angle A = 3 \times 23^\circ = 69^\circ।

ध्यान देने योग्य

46° कोण ∠B\angle B है। 65° कोण ∠ACB\angle ACB (180∘−115∘)(180^\circ - 115^\circ) है, और 39° तब आता है जब उस 65° को गलती से 3:23 : 2 के अनुपात में बाँटा जाए।

प्रश्न 22

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज XYZ में ∠X=72∘\angle X = 72^\circ और ∠Y=45∘\angle Y = 45^\circ है। त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा कौन-सी है?

प्रश्न 22 के विकल्प

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उत्तरA · YZ

  1. ∠Z=180∘−72∘−45∘=63∘\angle Z = 180^\circ - 72^\circ - 45^\circ = 63^\circ।

  2. सबसे बड़ा कोण ∠X=72∘\angle X = 72^\circ है।

  3. सबसे लंबी भुजा वह होती है जो सबसे बड़े कोण के सामने हो, यानी YZ।

ध्यान देने योग्य

∠X\angle X के सामने की भुजा वह है जो X को नहीं छूती, यानी YZ। विद्यार्थी अक्सर XY या XZ चुन लेते हैं क्योंकि उनमें अक्षर X होता है।

प्रश्न 23

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज ABC में AB=ACAB = AC और ∠A=36∘\angle A = 36^\circ है। भुजा AC पर एक बिंदु D इस प्रकार चुना गया है कि BD=BCBD = BC है। ∠DBC\angle DBC कितना है?

प्रश्न 23 के विकल्प

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उत्तरA · 36°

  1. AB=ACAB = AC, अतः ∠ABC=∠ACB=(180∘−36∘)÷2=72∘\angle ABC = \angle ACB = (180^\circ - 36^\circ) \div 2 = 72^\circ।

  2. त्रिभुज BDC में BD=BCBD = BC, अतः ∠BDC=∠BCD=72∘\angle BDC = \angle BCD = 72^\circ।

  3. ∠DBC=180∘−72∘−72∘=36∘\angle DBC = 180^\circ - 72^\circ - 72^\circ = 36^\circ।

ध्यान देने योग्य

72° कोण ∠ABC\angle ABC है, यानी B पर बना पूरा कोण। उसका केवल एक भाग त्रिभुज BDC के अंदर है।

प्रश्न 24

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज ABC में ∠A=70∘\angle A = 70^\circ है। ∠B\angle B और ∠C\angle C के समद्विभाजक (bisectors) बिंदु I पर मिलते हैं। ∠BIC\angle BIC कितना है?

प्रश्न 24 के विकल्प

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उत्तरC · 125°

  1. ∠B+∠C=180∘−70∘=110∘\angle B + \angle C = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ, अतः दोनों के आधों का योग = 55°।

  2. त्रिभुज BIC में ∠BIC=180∘−55∘=125∘\angle BIC = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ।

  3. शॉर्टकट: ∠BIC=90∘+12∠A=90∘+35∘=125∘\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A = 90^\circ + 35^\circ = 125^\circ।

ध्यान देने योग्य

55° तो ∠IBC+∠ICB\angle IBC + \angle ICB है, और 110° तो ∠B+∠C\angle B + \angle C है। I पर बना कोण 180° में से बचा हुआ भाग है।

प्रश्न 25

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुजों ABC और PQR के लिए, बराबर भागों का निम्नलिखित में से कौन-सा समूह यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त नहीं है कि दोनों त्रिभुज सर्वांगसम (congruent) हैं?

प्रश्न 25 के विकल्प

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उत्तरC · ∠A=∠P\angle A = \angle P, ∠B=∠Q\angle B = \angle Q और ∠C=∠R\angle C = \angle R

  1. तीन बराबर भुजाएँ (SSS), दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (SAS), तथा दो कोण और एक भुजा (ASA या AAS), इनमें से प्रत्येक सर्वांगसमता सिद्ध करता है।

  2. तीन बराबर कोण केवल आकृति (आकार का रूप) तय करते हैं, माप नहीं: एक छोटे और एक बड़े समबाहु त्रिभुज के कोण समान होते हैं।

  3. अतः ∠A=∠P\angle A = \angle P, ∠B=∠Q\angle B = \angle Q और ∠C=∠R\angle C = \angle R पर्याप्त नहीं है।

ध्यान देने योग्य

AAA से यह सिद्ध होता है कि त्रिभुज समरूप (similar) हैं, सर्वांगसम नहीं।

प्रश्न 26

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज ABC में ∠A=70∘\angle A = 70^\circ है। B और C पर बने बहिष्कोणों के समद्विभाजक (bisectors of the exterior angles) बिंदु J पर मिलते हैं। ∠BJC\angle BJC कितना है?

प्रश्न 26 के विकल्प

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उत्तरB · 55°

  1. B पर बहिष्कोण 180∘−∠B180^\circ - \angle B है और C पर 180∘−∠C180^\circ - \angle C। इनके आधे 90∘−12∠B90^\circ - \tfrac{1}{2}\angle B और 90∘−12∠C90^\circ - \tfrac{1}{2}\angle C हैं।

  2. त्रिभुज BJC में ∠BJC=180∘−(90∘−12∠B)−(90∘−12∠C)=12(∠B+∠C)\angle BJC = 180^\circ - (90^\circ - \tfrac{1}{2}\angle B) - (90^\circ - \tfrac{1}{2}\angle C) = \tfrac{1}{2}(\angle B + \angle C)।

  3. ∠B+∠C=110∘\angle B + \angle C = 110^\circ, अतः ∠BJC=55∘\angle BJC = 55^\circ।

  4. शॉर्टकट: ∠BJC=90∘−12∠A=90∘−35∘=55∘\angle BJC = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle A = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ।

ध्यान देने योग्य

125° आंतरिक समद्विभाजकों का उत्तर है (90∘+12∠A)(90^\circ + \tfrac{1}{2}\angle A)। बाह्य समद्विभाजकों के लिए यह 90∘−12∠A90^\circ - \tfrac{1}{2}\angle A होता है।

प्रश्न 27

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज ABC में ∠B=74∘\angle B = 74^\circ और ∠C=36∘\angle C = 36^\circ है। D, BC पर वह बिंदु है जहाँ AD, BC पर लंब है, और E, BC पर वह बिंदु है जहाँ ∠A\angle A का समद्विभाजक उससे मिलता है। ∠DAE\angle DAE कितना है?

प्रश्न 27 के विकल्प

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उत्तरC · 19°

  1. ∠A=180∘−74∘−36∘=70∘\angle A = 180^\circ - 74^\circ - 36^\circ = 70^\circ, अतः ∠BAE=35∘\angle BAE = 35^\circ।

  2. समकोण त्रिभुज ABD में ∠BAD=90∘−74∘=16∘\angle BAD = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ।

  3. D बिंदु B और E के बीच में है, अतः ∠DAE=∠BAE−∠BAD=35∘−16∘=19∘\angle DAE = \angle BAE - \angle BAD = 35^\circ - 16^\circ = 19^\circ।

  4. शॉर्टकट: ∠DAE=12(∠B−∠C)=12(74∘−36∘)=19∘\angle DAE = \tfrac{1}{2}(\angle B - \angle C) = \tfrac{1}{2}(74^\circ - 36^\circ) = 19^\circ।

ध्यान देने योग्य

16° कोण ∠BAD\angle BAD है और 35° कोण ∠BAE\angle BAE; पूछा गया कोण इन दोनों का अंतर है।

प्रश्न 28

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 6 cm और 11 cm हैं। तीसरी भुजा की लंबाई सेंटीमीटर में एक पूर्ण संख्या है। तीसरी भुजा की कितनी अलग-अलग लंबाइयाँ संभव हैं?

प्रश्न 28 के विकल्प

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उत्तरA · 11

  1. तीसरी भुजा 11−6=511 - 6 = 5 से अधिक और 11+6=1711 + 6 = 17 से कम होनी चाहिए।

  2. अतः यह 6, 7, 8, …, 16 cm हो सकती है।

  3. यानी 16−6+1=1116 - 6 + 1 = 11 लंबाइयाँ।

ध्यान देने योग्य

दोनों सीमाएँ सख़्त (strict) हैं: 5 cm और 17 cm पर डंडियाँ एक सीध में सपाट पड़ी रह जाएँगी। किसी एक सीमा को गिनने पर 12 आता है, दोनों को गिनने पर 13।

समरूपता और पाइथागोरस

13 प्रश्न

प्रश्न 29

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सीधा तार 24 m ऊँचे ऊर्ध्वाधर खंभे के शिखर से समतल ज़मीन पर गड़ी एक खूँटी तक जाता है, जो खंभे के पाद से 10 m दूर है। तार कितना लंबा है?

प्रश्न 29 के विकल्प

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उत्तरC · 26 m

  1. खंभा, ज़मीन और तार मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जिसमें तार कर्ण (hypotenuse) है।

  2. तार = 242+102=576+100=676=26\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26 m।

ध्यान देने योग्य

10, 24, 26 वास्तव में 5, 12, 13 त्रिक का दोगुना है। 14 m और 34 m भुजाओं का वर्ग करने के बजाय उन्हें घटाने या जोड़ने से आते हैं।

प्रश्न 30

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीन संख्याओं के निम्नलिखित समूहों में से कौन-सा किसी समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ हो सकता है?

प्रश्न 30 के विकल्प

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उत्तरD · 20, 21, 29

  1. जाँचिए कि दोनों छोटी संख्याओं के वर्गों का योग सबसे बड़ी संख्या के वर्ग के बराबर है या नहीं।

  2. 202+212=400+441=841=29220^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2, अतः 20, 21, 29 सही है।

  3. बाकी समूह एक से चूक जाते हैं: 92+402=4129^2 + 40^2 = 41^2, 112+602=61211^2 + 60^2 = 61^2 और 122+162=20212^2 + 16^2 = 20^2, इसलिए 42, 62 और 21 गलत हैं।

ध्यान देने योग्य

हर गलत समूह एक असली त्रिक है जिसकी अंतिम संख्या बदल दी गई है, इसलिए 'लगभग जानी-पहचानी' संख्याएँ पहचान लेना ही जाल है। हमेशा वर्ग करके जाँचें।

प्रश्न 31

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज ABC में D भुजा AB पर और E भुजा AC पर है, तथा DE, BC के समांतर है। AD=4AD = 4 cm, DB=6DB = 6 cm और AE=5AE = 5 cm है। EC कितना है?

प्रश्न 31 के विकल्प

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उत्तरC · 7.5 cm

  1. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (basic proportionality theorem) से, AD:DB=AE:ECAD : DB = AE : EC।

  2. 46=5EC\frac{4}{6} = \frac{5}{EC}, अतः EC=5×64=7.5EC = \frac{5 \times 6}{4} = 7.5 cm।

ध्यान देने योग्य

3133\frac{1}{3} cm अनुपात को उलट देने से आता है, और 12.5 cm पूरी भुजा AC है, EC नहीं।

प्रश्न 32

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो त्रिभुजाकार पालों की आकृति बिल्कुल एक जैसी है, और छोटे पाल की प्रत्येक भुजा बड़े पाल की संगत भुजा की 35\frac{3}{5} है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात (छोटा : बड़ा) क्या है?

प्रश्न 32 के विकल्प

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उत्तरA · 9:259 : 25

  1. दोनों पाल समरूप त्रिभुज (similar triangles) हैं, जिनकी भुजाओं का अनुपात 3:53 : 5 है।

  2. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल उनकी भुजाओं के वर्गों के अनुपात में होते हैं: 32:52=9:253^2 : 5^2 = 9 : 25।

ध्यान देने योग्य

3:53 : 5 भुजाओं का अनुपात है, क्षेत्रफलों का नहीं। 27:12527 : 125 समरूप ठोसों के आयतनों का अनुपात होता।

प्रश्न 33

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 25 cm² और 64 cm² हैं। छोटे त्रिभुज का एक शीर्षलंब (altitude) 10 cm है। बड़े त्रिभुज का संगत शीर्षलंब कितना है?

प्रश्न 33 के विकल्प

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उत्तरC · 16 cm

  1. क्षेत्रफलों का अनुपात = 25:6425 : 64, अतः संगत लंबाइयों का अनुपात = 25:64=5:8\sqrt{25} : \sqrt{64} = 5 : 8।

  2. बड़ा शीर्षलंब = 10×85=1610 \times \frac{8}{5} = 16 cm।

ध्यान देने योग्य

25.6 cm में क्षेत्रफल का अनुपात सीधे लंबाई पर लगा दिया गया है। शीर्षलंब, माध्यिकाएँ और भुजाएँ, सभी क्षेत्रफल-अनुपात के वर्गमूल के अनुसार बदलती हैं।

प्रश्न 34

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी क्षण 1.8 m लंबी हरलीन की छाया 2.4 m लंबी बनती है। उसी क्षण एक पानी की टंकी की छाया 36 m लंबी बनती है। टंकी कितनी ऊँची है?

प्रश्न 34 के विकल्प

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उत्तरA · 27 m

  1. हरलीन और उसकी छाया, तथा टंकी और उसकी छाया, समरूप समकोण त्रिभुज बनाते हैं (सूर्य की किरणें एक ही कोण बनाती हैं)।

  2. ऊँचाई ÷ छाया समान है: h36=1.82.4=34\frac{h}{36} = \frac{1.8}{2.4} = \frac{3}{4}।

  3. h=36×34=27h = 36 \times \frac{3}{4} = 27 m।

ध्यान देने योग्य

48 m अनुपात को उलटने (छाया ÷ ऊँचाई) से आता है। एक त्वरित जाँच: हरलीन की छाया उससे लंबी है, इसलिए टंकी भी अपनी 36 m की छाया से छोटी होनी चाहिए।

प्रश्न 35

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक समकोण त्रिभुज की दोनों छोटी भुजाएँ 15 cm और 20 cm हैं। समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर डाले गए लंब की लंबाई कितनी है?

प्रश्न 35 के विकल्प

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उत्तरA · 12 cm

  1. कर्ण = 152+202=625=25\sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{625} = 25 cm।

  2. क्षेत्रफल = 12×15×20=150\frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150 cm², और यही 12×25×h\frac{1}{2} \times 25 \times h भी है।

  3. अतः h=15×2025=12h = \frac{15 \times 20}{25} = 12 cm।

ध्यान देने योग्य

12.5 cm कर्ण का आधा है, जो कर्ण पर खींची गई माध्यिका (median) है, शीर्षलंब नहीं। शीर्षलंब हमेशा छोटा होता है।

प्रश्न 36

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज ABC, B पर समकोण है, जिसमें AB=9AB = 9 cm और BC=12BC = 12 cm है। D, AC पर वह बिंदु है जिसके लिए BD, AC पर लंब है। DC कितना है?

प्रश्न 36 के विकल्प

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उत्तरD · 9.6 cm

  1. AC = 92+122=15\sqrt{9^2 + 12^2} = 15 cm।

  2. त्रिभुज BDC और ABC समरूप हैं (दोनों में ∠C\angle C उभयनिष्ठ है और दोनों में एक समकोण है), अतः DCBC=BCAC\frac{DC}{BC} = \frac{BC}{AC}।

  3. DC=12215=14415=9.6DC = \frac{12^2}{15} = \frac{144}{15} = 9.6 cm।

ध्यान देने योग्य

5.4 cm तो AD है (92÷15)(9^2 \div 15), 7.2 cm तो BD है, और 7.5 cm केवल AC का आधा है। DC लंबी भुजा से सटा है, इसलिए वह लंबा भाग है।

प्रश्न 37

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

11 m और 6 m ऊँचे दो ऊर्ध्वाधर खंभे समतल ज़मीन पर एक-दूसरे से 12 m की दूरी पर खड़े हैं। एक खंभे का शिखर दूसरे खंभे के शिखर से कितनी दूर है?

प्रश्न 37 के विकल्प

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उत्तरB · 13 m

  1. दोनों शिखरों को मिलाइए। छोटे खंभे के शिखर से बड़े खंभे तक एक क्षैतिज रेखा खींचिए: यह 12 m लंबी है और बड़े खंभे से उसके शिखर से 11−6=511 - 6 = 5 m नीचे मिलती है।

  2. शिखरों के बीच की दूरी = 122+52=169=13\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13 m।

ध्यान देने योग्य

ऊँचाइयों का अंतर लीजिए। उन्हें जोड़ने पर 433\sqrt{433} m आता है, और 17 m तो 5+125 + 12 को बिना वर्ग किए जोड़ देने से आता है।

प्रश्न 38

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज PQR में S भुजा PQ पर और T भुजा PR पर है, तथा ST, QR के समांतर है। PS:SQ=2:3PS : SQ = 2 : 3 और QR=20QR = 20 cm है। ST कितना है?

प्रश्न 38 के विकल्प

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उत्तरA · 8 cm

  1. ST∥QRST \parallel QR, अतः त्रिभुज PST, त्रिभुज PQR के समरूप है।

  2. PS:PQ=2:(2+3)=2:5PS : PQ = 2 : (2 + 3) = 2 : 5।

  3. ST = 20×25=820 \times \frac{2}{5} = 8 cm।

ध्यान देने योग्य

पैमाना गुणक (scale factor) पूरी भुजा PQ (2+3=52 + 3 = 5 भाग) से लिया जाता है, SQ से नहीं। 2:32 : 3 लेने पर 131313\frac{1}{3} cm आता है।

प्रश्न 39

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज LMN में X भुजा LM पर और Y भुजा LN पर है, तथा XY, MN के समांतर है, और LX:XM=3:4LX : XM = 3 : 4 है। त्रिभुज LXY के क्षेत्रफल और चतुर्भुज XMNY के क्षेत्रफल का अनुपात क्या है?

प्रश्न 39 के विकल्प

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उत्तरB · 9:409 : 40

  1. त्रिभुज LXY, त्रिभुज LMN के समरूप है, जहाँ LX:LM=3:7LX : LM = 3 : 7।

  2. क्षेत्रफलों का अनुपात = 32:72=9:493^2 : 7^2 = 9 : 49।

  3. चतुर्भुज XMNY बचा हुआ भाग है: 49−9=4049 - 9 = 40 भाग।

  4. अतः LXY का क्षेत्रफल : XMNY का क्षेत्रफल = 9:409 : 40।

ध्यान देने योग्य

9:499 : 49 छोटे त्रिभुज की तुलना पूरे त्रिभुज से करता है, और 9:169 : 16 में गलती से 3:43 : 4 को पैमाना गुणक मान लिया गया है।

प्रश्न 40

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

25 m लंबी एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार से टिकी है और उसका ऊपरी सिरा ज़मीन से 24 m ऊपर है। ऊपरी सिरा दीवार पर 4 m नीचे फिसल जाता है। सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से कितना और दूर खिसकता है?

प्रश्न 40 के विकल्प

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उत्तरC · 8 m

  1. शुरू में निचला सिरा दीवार से 252−242=49=7\sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7 m दूर है।

  2. अब ऊपरी सिरा 20 m पर है, इसलिए निचला सिरा दीवार से 252−202=225=15\sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{225} = 15 m दूर है।

  3. निचला सिरा 15−7=815 - 7 = 8 m खिसकता है।

ध्यान देने योग्य

निचला सिरा ऊपरी सिरे जितना 4 m नहीं खिसकता। 15 m नई दूरी है, परिवर्तन नहीं।

प्रश्न 41

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

त्रिभुज ABC, C पर समकोण है, जिसमें AC=6AC = 6 cm और BC=8BC = 8 cm है। D, BC का मध्य-बिंदु है। AD की लंबाई कितनी है?

प्रश्न 41 के विकल्प

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उत्तरB · 2132\sqrt{13} cm

  1. CD=8÷2=4CD = 8 \div 2 = 4 cm, और त्रिभुज ACD, C पर समकोण है।

  2. AD=62+42=52=213AD = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} cm (लगभग 7.2 cm)।

ध्यान देने योग्य

5 cm तो C से कर्ण पर खींची गई माध्यिका है (AB=10AB = 10 cm का आधा)। 73\sqrt{73} cm तो B से AC पर खींची गई माध्यिका है। ध्यान से पढ़ें कि कौन-सा मध्य-बिंदु दिया गया है।

चतुर्भुज और बहुभुज

12 प्रश्न

प्रश्न 42

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बगीचे की एक छतरी (gazebo) का फ़र्श एक सम दशभुज (regular decagon) है (10 बराबर भुजाएँ और बराबर कोण)। फ़र्श का प्रत्येक अंतः कोण कितना है?

प्रश्न 42 के विकल्प

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उत्तरD · 144°

  1. प्रत्येक बहिष्कोण = 360∘÷10=36∘360^\circ \div 10 = 36^\circ।

  2. प्रत्येक अंतः कोण = 180∘−36∘=144∘180^\circ - 36^\circ = 144^\circ।

ध्यान देने योग्य

36° बहिष्कोण है। 108° सम पंचभुज का कोण है और 140° सम नवभुज (9 भुजाएँ) का।

प्रश्न 43

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

छेरिंग 12 भुजाओं वाला एक बहुभुज (polygon) बनाता है और फिर उन शीर्षों के हर जोड़े को मिलाता है जो आपस में आसन्न (अगल-बगल) नहीं हैं। वह कितने विकर्ण खींचता है?

प्रश्न 43 के विकल्प

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उत्तरB · 54

  1. प्रत्येक शीर्ष से, स्वयं उस शीर्ष और उसके दो पड़ोसी शीर्षों को छोड़कर, हर शीर्ष तक विकर्ण खींचा जा सकता है: 12−3=912 - 3 = 9।

  2. 12 शीर्ष × 9 में हर विकर्ण दो बार गिना जाता है, अतः विकर्ण = 12×92=54\frac{12 \times 9}{2} = 54।

ध्यान देने योग्य

66 तो 12 शीर्षों में से कोई दो शीर्ष मिलाने के तरीकों की संख्या है, जिसमें 12 भुजाएँ भी शामिल हैं। 108 में आधा करना भुला दिया गया है।

प्रश्न 44

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सम बहुभुज (regular polygon) का प्रत्येक अंतः कोण 156° है। उसकी कितनी भुजाएँ हैं?

प्रश्न 44 के विकल्प

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उत्तरB · 15

  1. प्रत्येक बहिष्कोण = 180∘−156∘=24∘180^\circ - 156^\circ = 24^\circ।

  2. बहिष्कोणों का योग 360° होता है, अतः भुजाओं की संख्या = 360÷24=15360 \div 24 = 15।

ध्यान देने योग्य

24 बहिष्कोण है, भुजाओं की संख्या नहीं।

प्रश्न 45

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समांतर चतुर्भुज (parallelogram) PQRS में ∠P\angle P, ∠Q\angle Q का तीन गुना है। ∠S\angle S कितना है?

प्रश्न 45 के विकल्प

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उत्तरA · 45°

  1. समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है: ∠P+∠Q=180∘\angle P + \angle Q = 180^\circ।

  2. 3∠Q+∠Q=180∘3\angle Q + \angle Q = 180^\circ, अतः ∠Q=45∘\angle Q = 45^\circ और ∠P=135∘\angle P = 135^\circ।

  3. ∠S\angle S, ∠Q\angle Q का सम्मुख कोण है, अतः ∠S=45∘\angle S = 45^\circ।

ध्यान देने योग्य

∠S\angle S, ∠Q\angle Q के सामने है, ∠P\angle P के नहीं, इसलिए यह छोटा कोण है। 60° तब आता है जब 180° को 4 के स्थान पर 3 से भाग दिया जाए।

प्रश्न 46

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक समचतुर्भुज (rhombus) के विकर्ण 16 cm और 30 cm लंबे हैं। प्रत्येक भुजा की लंबाई कितनी है?

प्रश्न 46 के विकल्प

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उत्तरA · 17 cm

  1. समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जिससे 8 cm और 15 cm भुजाओं वाले चार समकोण त्रिभुज बनते हैं।

  2. भुजा = 82+152=289=17\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{289} = 17 cm।

ध्यान देने योग्य

34 cm तब आता है जब विकर्णों के आधे के स्थान पर पूरे विकर्ण ले लिए जाएँ।

प्रश्न 47

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बहुभुज (polygon) के अंतः कोणों का योग 1980° है। उसके कितने विकर्ण हैं?

प्रश्न 47 के विकल्प

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उत्तरB · 65

  1. (n−2)×180=1980(n - 2) \times 180 = 1980, अतः n−2=11n - 2 = 11 और n=13n = 13।

  2. विकर्ण = 13×(13−3)2=1302=65\frac{13 \times (13 - 3)}{2} = \frac{130}{2} = 65।

ध्यान देने योग्य

44 तब आता है जब '− 2' भुलाकर 11 भुजाएँ मान ली जाएँ। 78 में शीर्षों के सभी जोड़े गिने गए हैं, भुजाएँ भी।

प्रश्न 48

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

ABCD एक समलंब (trapezium) है जिसमें AB, DC के समांतर है। ∠A=65∘\angle A = 65^\circ और ∠B=50∘\angle B = 50^\circ है। ∠C\angle C कितना है?

प्रश्न 48 के विकल्प

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उत्तरD · 130°

  1. AB∥DCAB \parallel DC, और BC एक तिर्यक रेखा है, इसलिए ∠B\angle B और ∠C\angle C एक ही ओर के अंतः कोण हैं: ∠B+∠C=180∘\angle B + \angle C = 180^\circ।

  2. ∠C=180∘−50∘=130∘\angle C = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ। (इसी प्रकार ∠D=180∘−65∘=115∘\angle D = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ।)

ध्यान देने योग्य

समलंब में प्रत्येक असमांतर भुजा पर बने दोनों कोणों का योग 180° होता है। ∠C\angle C का जोड़ा ∠B\angle B से बनता है, ∠A\angle A से नहीं, इसलिए 115° कोण ∠D\angle D है।

प्रश्न 49

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सम बहुभुज (regular polygon) में प्रत्येक अंतः कोण, प्रत्येक बहिष्कोण का 7 गुना है। बहुभुज की कितनी भुजाएँ हैं?

प्रश्न 49 के विकल्प

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उत्तरC · 16

  1. अंतः कोण + बहिष्कोण = 180°, और अंतः कोण = 7 × बहिष्कोण, अतः 8 × बहिष्कोण = 180°।

  2. बहिष्कोण = 22.5°।

  3. भुजाओं की संख्या = 360÷22.5=16360 \div 22.5 = 16।

ध्यान देने योग्य

22.5 बहिष्कोण है, और 8 तो बस 7+17 + 1 है। अंतिम चरण पूरा करें: भुजाएँ = 360 ÷ बहिष्कोण।

प्रश्न 50

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

आयत ABCD के विकर्ण O पर मिलते हैं, और ∠AOB=118∘\angle AOB = 118^\circ है। ∠OBC\angle OBC कितना है?

प्रश्न 50 के विकल्प

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उत्तरB · 59°

  1. आयत के विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, अतः OA=OBOA = OB।

  2. समद्विबाहु त्रिभुज AOB में ∠OBA=(180∘−118∘)÷2=31∘\angle OBA = (180^\circ - 118^\circ) \div 2 = 31^\circ।

  3. ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ, अतः ∠OBC=90∘−31∘=59∘\angle OBC = 90^\circ - 31^\circ = 59^\circ।

ध्यान देने योग्य

31° कोण ∠OBA\angle OBA है, यानी B पर बने समकोण का वह भाग जो विकर्ण की दूसरी ओर है।

प्रश्न 51

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पंचभुज के पाँचों अंतः कोण x°, (x+20)∘(x + 20)^\circ, (x+40)∘(x + 40)^\circ, (x+60)∘(x + 60)^\circ और (x+80)∘(x + 80)^\circ हैं। सबसे बड़ा कोण कितना है?

प्रश्न 51 के विकल्प

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उत्तरD · 148°

  1. पंचभुज का कोण योग = (5−2)×180∘=540∘(5 - 2) \times 180^\circ = 540^\circ।

  2. 5x+200=5405x + 200 = 540, अतः x=68x = 68।

  3. सबसे बड़ा कोण = 68+80=148∘68 + 80 = 148^\circ।

ध्यान देने योग्य

68° सबसे छोटा कोण है, और 108° सम पंचभुज का अंतः कोण है, जबकि यह पंचभुज सम नहीं है।

प्रश्न 52

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

समांतर चतुर्भुज (parallelogram) ABCD में AB=14AB = 14 cm और AD=5AD = 5 cm है। ∠A\angle A का समद्विभाजक भुजा DC से E पर मिलता है। EC कितना है?

प्रश्न 52 के विकल्प

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उत्तरD · 9 cm

  1. AB∥DCAB \parallel DC, अतः ∠BAE=∠AED\angle BAE = \angle AED (एकांतर कोण)।

  2. AE, ∠A\angle A को समद्विभाजित करती है, अतः ∠DAE=∠BAE=∠AED\angle DAE = \angle BAE = \angle AED। इसलिए त्रिभुज ADE समद्विबाहु है, जिसमें DE=AD=5DE = AD = 5 cm।

  3. DC=AB=14DC = AB = 14 cm, अतः EC=14−5=9EC = 14 - 5 = 9 cm।

ध्यान देने योग्य

5 cm तो DE है, और 7 cm यह मानकर आता है कि समद्विभाजक DC के मध्य-बिंदु पर मिलता है। समांतर चतुर्भुज में कोण समद्विभाजक एक समद्विबाहु त्रिभुज काट देता है।

प्रश्न 53

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक सम बहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण 140° है। इससे दोगुनी भुजाओं वाले बहुभुज के अंतः कोणों का योग कितना है?

प्रश्न 53 के विकल्प

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उत्तरC · 2,880°

  1. बहिष्कोण = 180∘−140∘=40∘180^\circ - 140^\circ = 40^\circ, अतः बहुभुज की 360÷40=9360 \div 40 = 9 भुजाएँ हैं।

  2. दोगुनी भुजाएँ = 18।

  3. कोण योग = (18−2)×180∘=16×180∘=2,880∘(18 - 2) \times 180^\circ = 16 \times 180^\circ = 2{,}880^\circ।

ध्यान देने योग्य

भुजाएँ दोगुनी करने से कोण योग दोगुना नहीं होता: 2×1,260∘=2,520∘2 \times 1{,}260^\circ = 2{,}520^\circ गलत है क्योंकि '− 2' दोगुना नहीं होता। 3,240° में '− 2' पूरी तरह भुला दिया गया है।

वृत्त

14 प्रश्न

प्रश्न 54

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक वृत्त की त्रिज्या (radius) 17 cm है। वृत्त की एक जीवा (chord) केंद्र से 8 cm की दूरी पर है। जीवा कितनी लंबी है?

प्रश्न 54 के विकल्प

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उत्तरD · 30 cm

  1. केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

  2. आधी जीवा = 172−82=289−64=225=15\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 cm।

  3. पूरी जीवा = 2×15=302 \times 15 = 30 cm।

ध्यान देने योग्य

15 cm केवल आधी जीवा है। अंत में हमेशा दोगुना करें।

प्रश्न 55

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

AB एक वृत्त का व्यास (diameter) है और C वृत्त पर एक अन्य बिंदु है। यदि ∠CAB=34∘\angle CAB = 34^\circ है, तो ∠CBA\angle CBA कितना है?

प्रश्न 55 के विकल्प

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उत्तरA · 56°

  1. अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है, अतः ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ।

  2. ∠CBA=180∘−90∘−34∘=56∘\angle CBA = 180^\circ - 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ।

ध्यान देने योग्य

146° तो 180∘−34∘180^\circ - 34^\circ है, जिसमें C पर बना समकोण भुला दिया गया है।

प्रश्न 56

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बिंदु P, 10 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 26 cm की दूरी पर है। P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा (tangent) कितनी लंबी है?

प्रश्न 56 के विकल्प

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उत्तरD · 24 cm

  1. स्पर्श बिंदु तक खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है, इसलिए त्रिज्या, स्पर्श रेखा और केंद्र तक की रेखा मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

  2. स्पर्श रेखा की लंबाई = 262−102=676−100=576=24\sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24 cm।

ध्यान देने योग्य

16 cm तो 26−1026 - 10 है, जिसमें वर्गों के स्थान पर लंबाइयाँ घटा दी गई हैं।

प्रश्न 57

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

PT, केंद्र O वाले एक वृत्त की स्पर्श रेखा (tangent) है, जो वृत्त को T पर स्पर्श करती है। यदि ∠TOP=58∘\angle TOP = 58^\circ है, तो ∠OPT\angle OPT कितना है?

प्रश्न 57 के विकल्प

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उत्तरA · 32°

  1. त्रिज्या OT स्पर्श रेखा पर लंब है, अतः ∠OTP=90∘\angle OTP = 90^\circ।

  2. ∠OPT=180∘−90∘−58∘=32∘\angle OPT = 180^\circ - 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ।

ध्यान देने योग्य

122° तो 180∘−58∘180^\circ - 58^\circ है, जिसमें T पर बना समकोण भुला दिया गया है।

प्रश्न 58

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

O एक वृत्त का केंद्र है, और P तथा Q उस पर ऐसे बिंदु हैं कि ∠POQ=124∘\angle POQ = 124^\circ है (केंद्र पर बना वह कोण जो लघु चाप PQ की ओर है)। R, लघु चाप (minor arc) PQ पर एक बिंदु है। ∠PRQ\angle PRQ कितना है?

प्रश्न 58 के विकल्प

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उत्तरD · 118°

  1. चूँकि R लघु चाप पर है, ∠PRQ\angle PRQ दीर्घ चाप (major arc) PQ पर बना है।

  2. दीर्घ चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण 360∘−124∘=236∘360^\circ - 124^\circ = 236^\circ है।

  3. ∠PRQ=236∘÷2=118∘\angle PRQ = 236^\circ \div 2 = 118^\circ।

ध्यान देने योग्य

62° दीर्घ चाप पर स्थित किसी बिंदु पर बना कोण है। दोनों उत्तरों का योग हमेशा 180° होता है, क्योंकि P, R, Q और दीर्घ चाप पर स्थित एक बिंदु मिलकर एक चक्रीय चतुर्भुज बनाते हैं।

प्रश्न 59

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज (cyclic quadrilateral) है जिसमें ∠B=(3x+5)∘\angle B = (3x + 5)^\circ और ∠D=(2x+25)∘\angle D = (2x + 25)^\circ है। ∠D\angle D कितना है?

प्रश्न 59 के विकल्प

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उत्तरC · 85°

  1. चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है: (3x+5)+(2x+25)=180(3x + 5) + (2x + 25) = 180।

  2. 5x+30=1805x + 30 = 180, अतः x=30x = 30।

  3. ∠D=2×30+25=85∘\angle D = 2 \times 30 + 25 = 85^\circ। (∠B=95∘\angle B = 95^\circ, और 85+95=18085 + 95 = 180।)

ध्यान देने योग्य

चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं, बराबर नहीं। उन्हें बराबर मानने पर 65° आता है।

प्रश्न 60

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बिंदु A, B, C और D इसी क्रम में एक वृत्त पर स्थित हैं। ∠BAC=35∘\angle BAC = 35^\circ और ∠CAD=40∘\angle CAD = 40^\circ है। ∠BCD\angle BCD कितना है?

प्रश्न 60 के विकल्प

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उत्तरD · 105°

  1. ∠BAD=∠BAC+∠CAD=35∘+40∘=75∘\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 35^\circ + 40^\circ = 75^\circ।

  2. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, अतः ∠BCD=180∘−∠BAD=105∘\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 105^\circ।

  3. एक ही वृत्तखंड के कोणों से जाँच: ∠BDC=∠BAC=35∘\angle BDC = \angle BAC = 35^\circ और ∠DBC=∠DAC=40∘\angle DBC = \angle DAC = 40^\circ, अतः ∠BCD=180∘−75∘=105∘\angle BCD = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ।

ध्यान देने योग्य

75° कोण ∠BAD\angle BAD है, जो ∠BCD\angle BCD का सम्मुख कोण है। चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

प्रश्न 61

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

PA और PB, बाहरी बिंदु P से केंद्र O वाले एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ (tangents) हैं, जो वृत्त को A और B पर स्पर्श करती हैं। यदि ∠APB=50∘\angle APB = 50^\circ है, तो ∠OAB\angle OAB कितना है?

प्रश्न 61 के विकल्प

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उत्तरA · 25°

  1. एक ही बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं, PA=PBPA = PB, अतः ∠PAB=∠PBA=(180∘−50∘)÷2=65∘\angle PAB = \angle PBA = (180^\circ - 50^\circ) \div 2 = 65^\circ।

  2. त्रिज्या OA स्पर्श रेखा PA पर लंब है, अतः ∠OAP=90∘\angle OAP = 90^\circ।

  3. ∠OAB=90∘−65∘=25∘\angle OAB = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ।

ध्यान देने योग्य

65° कोण ∠PAB\angle PAB है, और 130° कोण ∠AOB\angle AOB है। एक सरल जाँच: ∠OAB=12∠APB\angle OAB = \tfrac{1}{2}\angle APB।

प्रश्न 62

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज (cyclic quadrilateral) है। भुजा AB को B से आगे बिंदु E तक बढ़ाया गया है, और ∠CBE=78∘\angle CBE = 78^\circ है। ∠ADC\angle ADC कितना है?

प्रश्न 62 के विकल्प

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उत्तरB · 78°

  1. ∠ABC=180∘−78∘=102∘\angle ABC = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ (सरल रेखा AE पर बने कोण)।

  2. चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं: ∠ADC=180∘−102∘=78∘\angle ADC = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ।

ध्यान देने योग्य

शॉर्टकट: चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है। 102° कोण ∠ABC\angle ABC है।

प्रश्न 63

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

AB, केंद्र O वाले एक वृत्त का व्यास (diameter) है, और C वृत्त पर एक बिंदु है जिसके लिए ∠BOC=70∘\angle BOC = 70^\circ है। ∠ABC\angle ABC कितना है?

प्रश्न 63 के विकल्प

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उत्तरB · 55°

  1. OB और OC त्रिज्याएँ हैं, अतः त्रिभुज OBC समद्विबाहु है।

  2. ∠OBC=∠OCB=(180∘−70∘)÷2=55∘\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - 70^\circ) \div 2 = 55^\circ।

  3. O रेखा AB पर है, अतः ∠ABC=∠OBC=55∘\angle ABC = \angle OBC = 55^\circ।

ध्यान देने योग्य

35° कोण ∠BAC\angle BAC है (∠BOC\angle BOC का आधा)। जाँच: 35∘+55∘=90∘35^\circ + 55^\circ = 90^\circ, क्योंकि ∠ACB\angle ACB अर्धवृत्त में बना कोण है।

प्रश्न 64

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ उसके अंदर खींचे गए एक वृत्त को स्पर्श करती हैं। AB=15AB = 15 cm, BC=8BC = 8 cm और CD=9CD = 9 cm है। DA कितना है?

प्रश्न 64 के विकल्प

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उत्तरD · 16 cm

  1. प्रत्येक शीर्ष से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं। इन्हें जोड़ने पर पता चलता है कि सम्मुख भुजाओं के योग बराबर होते हैं: AB+CD=BC+DAAB + CD = BC + DA।

  2. 15+9=8+DA15 + 9 = 8 + DA, अतः DA=16DA = 16 cm।

ध्यान देने योग्य

सम्मुख भुजाएँ बराबर नहीं होतीं (उससे 8 cm आता है); उनके योग बराबर होते हैं। 14 cm और 2 cm गलत भुजाओं के जोड़े बनाने से आते हैं।

प्रश्न 65

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

17 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त में दो समांतर जीवाएँ (chords) 16 cm और 30 cm की हैं। वे केंद्र के विपरीत ओर स्थित हैं। जीवाओं के बीच की दूरी कितनी है?

प्रश्न 65 के विकल्प

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उत्तरD · 23 cm

  1. 16 cm वाली जीवा की केंद्र से दूरी = 172−82=15\sqrt{17^2 - 8^2} = 15 cm।

  2. 30 cm वाली जीवा की केंद्र से दूरी = 172−152=8\sqrt{17^2 - 15^2} = 8 cm।

  3. केंद्र के विपरीत ओर होने पर दूरियाँ जुड़ती हैं: 15+8=2315 + 8 = 23 cm।

ध्यान देने योग्य

7 cm तब उत्तर होता जब दोनों जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर होतीं। पढ़ें कि प्रश्न किस स्थिति का वर्णन करता है।

प्रश्न 66

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

बिंदु A, B, C और D इसी क्रम में एक वृत्त पर स्थित हैं, जहाँ AB=BCAB = BC और ∠ABC=110∘\angle ABC = 110^\circ है। ∠BDC\angle BDC कितना है?

प्रश्न 66 के विकल्प

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उत्तरA · 35°

  1. AB=BCAB = BC, अतः त्रिभुज ABC में ∠BAC=∠BCA=(180∘−110∘)÷2=35∘\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 110^\circ) \div 2 = 35^\circ।

  2. ∠BDC\angle BDC और ∠BAC\angle BAC एक ही चाप BC पर बने हैं और एक ही वृत्तखंड में हैं, इसलिए बराबर हैं।

  3. ∠BDC=35∘\angle BDC = 35^\circ।

ध्यान देने योग्य

70° कोण ∠ADC\angle ADC (180∘−110∘)(180^\circ - 110^\circ) है, यानी D पर बना पूरा कोण। ∠BDC\angle BDC उसका केवल वह भाग है जो चाप BC की ओर है।

प्रश्न 67

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हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

20 cm और 13 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को काटते हैं, और उनकी उभयनिष्ठ जीवा (common chord) 24 cm लंबी है। दोनों केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के विपरीत ओर स्थित हैं। केंद्रों के बीच की दूरी कितनी है?

प्रश्न 67 के विकल्प

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उत्तरC · 21 cm

  1. केंद्रों को मिलाने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक है, अतः आधी जीवा = 12 cm।

  2. पहले केंद्र की जीवा से दूरी = 202−122=16\sqrt{20^2 - 12^2} = 16 cm।

  3. दूसरे केंद्र की जीवा से दूरी = 132−122=5\sqrt{13^2 - 12^2} = 5 cm।

  4. केंद्र विपरीत ओर हैं: 16+5=2116 + 5 = 21 cm।

ध्यान देने योग्य

11 cm तभी सही होता जब दोनों केंद्र जीवा के एक ही ओर होते। 7 cm और 33 cm त्रिज्याओं का अंतर और योग हैं, जो यहाँ लागू नहीं होते।

क्षेत्रों के नाम NTA के हैं। उनके भीतर के अध्याय EduFarming का अपना विभाजन हैं, NTA का नहीं।