EduFarming
आपकी सूची · 0EN

कम से कम दो अक्षर लिखें। बंद करने के लिए Esc दबाएँ।

↑↓ चलें↵ खोलेंTAB फ़िल्टर बदलें

CUET सामान्य योग्यता के लिए गणना और प्रायिकता

सीखने में लगभग 15 मिनट · 65 प्रश्न

CUET के गणना और प्रायिकता के प्रश्न योग और गुणन के नियम, अंकों से बनी संख्याएँ, क्रमचय और संचय, दोहराए गए अक्षर और बैठक-व्यवस्था, प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा, कम से कम एक, स्वतंत्र घटनाएँ, प्रतिस्थापन सहित और रहित निकालना, तथा सिक्के, पासे और ताश को समेटते हैं। प्रश्न छोटे हैं पर गलत पढ़े गए एक शब्द की सज़ा देते हैं: प्रतिस्थापन सहित या रहित, क्रम या समूह, पुनरावृत्ति की छूट या नहीं। यह पाठ हर बात को उदाहरणों और साथ के जालों के साथ समझाता है।

पाठ्यक्रम क्षेत्र
Reasoning
इस पृष्ठ पर · 9 भाग
  1. 01मूल विचार
  2. 02गणना के नियम
  3. 03क्रमचय और संचय
  4. 04प्रायिकता
  5. 05सिक्के, पासे और ताश
  6. 06परीक्षा शॉर्टकट
  7. 07आम गलतियाँ
  8. 08त्वरित पुनरावृत्ति
  9. 09अपनी समझ जाँचें

मूल विचार

गणना का हर प्रश्न पूछता है कि कितने परिणाम हैं, और प्रायिकता का हर प्रश्न एक गिनती को दूसरी से भाग देता है। इसलिए पहला काम हमेशा एक ही है: तय कीजिए कि एक परिणाम कैसा दिखता है।

फिर प्रश्न दो बार पढ़िए। "प्रतिस्थापन सहित" या "रहित", "क्रम मायने रखता है" या "एक समूह", "अंक दोहराए जा सकते हैं" या "कोई अंक नहीं दोहराया": हर शब्द उत्तर बदलता है, और दूसरी पढ़ाई से मिलने वाला उत्तर आम तौर पर विकल्पों में होता है।

गणना के नियम

योग के नियम और गुणन के नियम में क्या अंतर है?

जब कई अलग-अलग समूहों में से एक चुनाव करना हो, यानी "या तो … या", तब जोड़िए। जब एक के बाद एक कई चुनाव करने हों और हर चुनाव हर दूसरे के साथ चले, यानी "और फिर", तब गुणा कीजिए।

स्थितिनियमउदाहरण
समूह A या समूह B में से एक वस्तुa+ba + b7 तरह की बर्फ़ी या 4 तरह के लड्डू में से एक मिठाई: 11
A में से एक और B में से एकa×ba \times bएक बर्फ़ी और एक लड्डू: 28
वही चुनाव kk बार, हर बार nn विकल्पnkn^k3 अक्षर, हर एक 26 में से कोई भी: 26326^3

उदाहरण 1 · जोड़ें या गुणा करें

एक कैफ़े 6 तरह के सैंडविच और 7 तरह के जूस बेचता है। एक ग्राहक केवल एक वस्तु कितने तरीक़ों से ख़रीद सकता है, और एक सैंडविच के साथ एक जूस कितने तरीक़ों से?

  1. एक वस्तु, किसी भी सूची से: 6+7=136 + 7 = 13।

  2. एक सैंडविच और एक जूस: 6×7=426 \times 7 = 42।

उत्तर

13 और 42

परीक्षा शॉर्टकट

कई प्रश्न दोनों को मिलाते हैं। स्थिति को ऐसी दशाओं में बाँटिए जो साथ-साथ नहीं हो सकतीं, हर दशा के भीतर गुणा कीजिए, फिर दशाओं को जोड़िए।

दिए गए अंकों से बनी संख्याएँ कैसे गिनें?

हर स्थान के लिए एक ख़ाना बनाइए, सबसे अधिक बंधन वाला ख़ाना पहले भरिए, और हर ख़ाने के विकल्पों को गुणा कीजिए। आम बंधन ये हैं कि पहला अंक 0 नहीं हो सकता, संख्या सम या विषम होनी चाहिए, और कोई अंक दोहराया नहीं जा सकता।

  1. पहला अंक कभी 0 नहीं हो सकता।
  2. "सम" या "विषम" इकाई का अंक तय करता है। "5 से विभाज्य" का मतलब इकाई का अंक 0 या 5 है।
  3. पुनरावृत्ति न हो, तो हर ख़ाने में उससे पहले भरे ख़ाने से एक विकल्प कम होता है।
  4. यदि अंकों में 0 है और इकाई का अंक बँधा है, तो दशाओं में बाँटिए, इकाई 0 और इकाई 0 नहीं, क्योंकि पहले अंक का नियम हर दशा में अलग चलता है।

उदाहरण 2 · चार अंकों की संख्याएँ

0, 1, 3, 5, 7, 9 से, बिना कोई अंक दोहराए, चार अंकों की कितनी संख्याएँ बन सकती हैं?

  1. हज़ार का स्थान: 0 के सिवा कोई भी अंक, यानी 5 विकल्प।

  2. सैकड़े का स्थान: बचे हुए 5 अंक, क्योंकि अब 0 की छूट है।

  3. दहाई: 4। इकाई: 3।

  4. कुल: 5×5×4×3=3005 \times 5 \times 4 \times 3 = 300।

उत्तर

300

पुनरावृत्ति की छूट हो, तो यह 5×6×6×6=1,0805 \times 6 \times 6 \times 6 = 1{,}080 होता। प्रश्न का एक शब्द उत्तर को इतना खिसका देता है।

सावधान

0 को आगे आने देना सबसे आम भूल है। तीन अंकों की संख्या 0 से शुरू नहीं हो सकती, इसलिए पहले ख़ाने में कभी सभी 10 अंक नहीं होते।

क्रमचय और संचय

क्रमचय कब लें और संचय कब?

जब क्रम मायने रखे, तब क्रमचय लीजिए: रैंक, पद, स्थान, कोड, पंक्ति में व्यवस्था। जब केवल समूह मायने रखे, तब संचय लीजिए: टीम, समिति, हाथ मिलाना, वस्तुएँ चुनना।

व्यवस्थाएँ और चयन

nPr=n!(n−r)!nCr=n!r! (n−r)!nPr=nCr×r!{}^nP_r = \frac{n!}{(n - r)!} \qquad {}^nC_r = \frac{n!}{r!\,(n - r)!} \qquad {}^nP_r = {}^nC_r \times r!

साथ ही 0!=10! = 1, nC0=nCn=1{}^nC_0 = {}^nC_n = 1, nC1=n{}^nC_1 = n, nC2=n(n−1)2{}^nC_2 = \tfrac{n(n - 1)}{2}, और nCr=nCn−r{}^nC_r = {}^nC_{n - r}।

उदाहरण 3 · पद या टीम

11 विद्यार्थियों में से एक कप्तान और एक उप-कप्तान कितने तरीक़ों से चुने जा सकते हैं, और दो सदस्यों की टीम कितने तरीक़ों से?

  1. पद हैं, इसलिए क्रम मायने रखता है: 11P2=11×10=110{}^{11}P_2 = 11 \times 10 = 110।

  2. टीम है, इसलिए क्रम नहीं: 11C2=110÷2=55{}^{11}C_2 = 110 \div 2 = 55।

उत्तर

110 और 55

÷2\div 2 ठीक उसी जोड़ी को क्रम में रखने के 2!2! तरीक़े हैं।

परीक्षा शॉर्टकट

चुने गए दो लोगों को आपस में बदलिए। यदि इससे अलग परिणाम मिले, जैसे कप्तान और उप-कप्तान पद बदल लें, तो क्रम मायने रखता है। यदि कुछ न बदले, जैसे समिति के दो सदस्य, तो नहीं।

कई मानक गिनतियाँ nC2{}^nC_2 और nC3{}^nC_3 से निकलती हैं।

प्रश्नगिनती
nn लोगों में हाथ मिलानाnC2{}^nC_2
nn बिंदुओं से सरल रेखाएँ, कोई तीन एक रेखा पर नहींnC2{}^nC_2
nn भुजाओं वाले बहुभुज के विकर्णnC2−n=n(n−3)2{}^nC_2 - n = \tfrac{n(n - 3)}{2}
nn बिंदुओं से त्रिभुज, कोई तीन एक रेखा पर नहींnC3{}^nC_3
जाली पर सबसे छोटे रास्ते, aa क़दम आड़े और bb ऊपरa+bCa{}^{a + b}C_a

"कम से कम 2" जैसे बंधन वाले चयन कैसे गिनें?

बंधन को पूरा करने वाली दशाएँ लिखिए, हर एक को संचयों के गुणनफल से गिनिए, और जोड़िए। या हर चयन गिनकर वे घटाइए जो नहीं चाहिए। दोनों करना अच्छी जाँच है।

उदाहरण 4 · कम से कम 2 महिलाएँ

5 पुरुषों और 4 महिलाओं में से 3 की एक समिति चुनी जाती है। उसमें कम से कम 2 महिलाएँ कितने तरीक़ों से हो सकती हैं?

  1. ठीक 2 महिलाएँ और 1 पुरुष: 4C2×5C1=6×5=30{}^4C_2 \times {}^5C_1 = 6 \times 5 = 30।

  2. ठीक 3 महिलाएँ: 4C3=4{}^4C_3 = 4।

  3. कुल: 30+4=3430 + 4 = 34।

  4. घटाकर जाँच: सभी समितियाँ 9C3=84{}^9C_3 = 84, बिना महिला के 5C3=10{}^5C_3 = 10, एक महिला के साथ 4×5C2=404 \times {}^5C_2 = 40। तो 84−10−40=3484 - 10 - 40 = 34।

उत्तर

34

जब कुछ अक्षर दोहराए गए हों, तो उन्हें कैसे व्यवस्थित करें?

व्यवस्थाओं की संख्या को हर दोहराए गए अक्षर की गिनती के क्रमगुणित से भाग दीजिए। दो एक जैसे अक्षर बदलने से वही शब्द बनता है, इसलिए हर व्यवस्था उतनी बार गिनी गई थी।

दोहराव वाली व्यवस्थाएँ

n!p! q! ⋯\frac{n!}{p!\,q!\,\cdots}

यहाँ nn अक्षरों की संख्या है, और एक अक्षर pp बार, दूसरा qq बार, और इसी तरह आता है।

उदाहरण 5 · दोहराए गए अक्षर

COMMITTEE के सभी अक्षरों की कितनी व्यवस्थाएँ हैं?

  1. 9 अक्षर: M दो बार, T दो बार, E दो बार, और C, O व I एक-एक बार।

  2. व्यवस्थाएँ: 9!÷(2!×2!×2!)=3,62,880÷8=45,3609! \div (2! \times 2! \times 2!) = 3{,}62{,}880 \div 8 = 45{,}360।

उत्तर

45,360

सावधान

दोहराए गए अक्षरों में से केवल एक से भाग देना। शुरू करने से पहले हर अक्षर की गिनती लिख लीजिए।

"साथ-साथ", "कभी साथ नहीं" और गोल मेज़ की व्यवस्थाएँ कैसे सँभालें?

"साथ-साथ" के लिए समूह को एक खंड में बाँधिए, खंडों को व्यवस्थित कीजिए, फिर खंड के भीतर की व्यवस्थाओं से गुणा कीजिए। "कभी साथ नहीं" के लिए कुल में से "साथ-साथ" की गिनती घटाइए। गोल मेज़ के लिए एक व्यक्ति को स्थिर कर बाक़ी को व्यवस्थित कीजिए, इसलिए nn लोग (n−1)!(n - 1)! बैठकें देते हैं।

उदाहरण 6 · साथ, अलग और गोल

सात लोग एक पंक्ति में बैठते हैं, और उनमें से 4 दोस्त हैं जिन्हें साथ बैठना है। फिर, अलग से: 5 लोग एक पंक्ति में कितने तरीक़ों से बैठ सकते हैं यदि A और B साथ न बैठें? और 6 लोग एक गोल मेज़ पर कितने तरीक़ों से बैठ सकते हैं?

  1. साथ-साथ: 4 दोस्त एक खंड बनाते हैं, इसलिए 1+3=41 + 3 = 4 इकाइयाँ हैं। इससे 4!×4!=24×24=5764! \times 4! = 24 \times 24 = 576 मिलता है, दूसरा 4!4! खंड के भीतर दोस्तों को व्यवस्थित करता है।

  2. कभी साथ नहीं: सभी पंक्तियाँ 5!=1205! = 120, A और B साथ 4!×2=484! \times 2 = 48। तो 120−48=72120 - 48 = 72।

  3. गोल मेज़: (6−1)!=5!=120(6 - 1)! = 5! = 120।

उत्तर

576, 72 और 120

सावधान

खंड के भीतर की व्यवस्थाएँ भूल जाना। साथ बैठने वाले दो लोग 2 क्रमों में बैठ सकते हैं।

हार और माला

हार या माला को पलटा जा सकता है, इसलिए दक्षिणावर्त और वामावर्त क्रम एक ही हैं: nn मनके (n−1)!2\tfrac{(n - 1)!}{2} व्यवस्थाएँ देते हैं। इसे केवल तब लगाइए जब प्रश्न कहे कि दोनों दिशाएँ एक गिनी जाएँगी। मेज़ पर बैठे लोगों के लिए यह कभी सच नहीं।

प्रायिकता

प्रायिकता कैसे ज्ञात करें?

जब सभी परिणाम समसंभावी हों, तो किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल परिणामों की संख्या से भाग देने पर मिलती है। यह हमेशा 0, असंभव, और 1, निश्चित, के बीच रहती है।

प्रायिकता के नियम

P(A)=अनुकूल परिणामकुल परिणामP(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}}

पूरक: P(A नहीं)=1−P(A)P(\text{A नहीं}) = 1 - P(A)। या: P(A या B)=P(A)+P(B)−P(A और B)P(A \text{ या } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ और } B), और जब AA और BB साथ न हो सकें, तो आख़िरी पद 0 है।

उदाहरण 7 · मनकों का थैला

एक थैले में 8 पीले और 5 काले मनके हैं। एक मनका यादृच्छया निकाला जाता है। उसके काला होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

  1. 13 मनके हैं, हर एक समसंभावी।

  2. P(काला)=513P(\text{काला}) = \tfrac{5}{13}।

उत्तर
513\tfrac{5}{13}

सावधान

यह विधि समसंभावी परिणाम माँगती है। दो पासों के 11 संभव योग समसंभावी नहीं हैं, और न ही ऐसे शब्द के अक्षर जिसमें एक अक्षर चार बार आता हो। लेबल नहीं, मूल परिणाम गिनिए, यानी क्रमित जोड़े या अलग-अलग पत्ते।

"कम से कम एक" की प्रायिकता कैसे ज्ञात करें?

पूरक लीजिए: कम से कम एक की प्रायिकता 1 में से किसी के भी न होने की प्रायिकता घटाने पर मिलती है। "कोई नहीं" एक दशा है और "कम से कम एक" कई, इसलिए पूरक लगभग हमेशा तेज़ है।

उदाहरण 8 · कम से कम एक चित

एक न्याय्य सिक्का 5 बार उछाला जाता है। कम से कम एक चित की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

  1. P(कोई चित नहीं)=P(सब पट)=(12)5=132P(\text{कोई चित नहीं}) = P(\text{सब पट}) = (\tfrac{1}{2})^5 = \tfrac{1}{32}।

  2. P(कम से कम एक चित)=1−132=3132P(\text{कम से कम एक चित}) = 1 - \tfrac{1}{32} = \tfrac{31}{32}।

उत्तर
3132\tfrac{31}{32}

सावधान

"कम से कम एक" के लिए अलग-अलग प्रायिकताएँ जोड़ना एक पुरानी भूल है। इससे 1 से बड़ा उत्तर भी आ सकता है।

स्वतंत्र घटनाओं को कैसे जोड़ें?

दो घटनाएँ स्वतंत्र हैं जब एक के होने से दूसरी की संभावना न बदले, जैसे दो अलग लोगों का निशाना लगाना, या एक सिक्का और एक पासा। स्वतंत्र घटनाओं के दोनों होने की प्रायिकता उनकी प्रायिकताओं का गुणनफल है।

घटना, AA और BB स्वतंत्रप्रायिकता
दोनों होंP(A)×P(B)P(A) \times P(B)
कोई न हो(1−P(A))×(1−P(B))(1 - P(A)) \times (1 - P(B))
कम से कम एक हो1−(1−P(A))(1−P(B))1 - (1 - P(A))(1 - P(B))
ठीक एक होP(A)(1−P(B))+(1−P(A))P(B)P(A)(1 - P(B)) + (1 - P(A))P(B)

उदाहरण 9 · ठीक एक पास

रोहन ड्राइविंग टेस्ट 0.7 प्रायिकता से और स्नेहा 0.9 प्रायिकता से पास करती है, स्वतंत्र रूप से। ठीक एक के पास होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

  1. रोहन पास और स्नेहा फ़ेल: 0.7×0.1=0.070.7 \times 0.1 = 0.07।

  2. रोहन फ़ेल और स्नेहा पास: 0.3×0.9=0.270.3 \times 0.9 = 0.27।

  3. ठीक एक: 0.07+0.27=0.340.07 + 0.27 = 0.34।

उत्तर

0.34

दोनों पास 0.63 से और कोई नहीं 0.03 से, और 0.63+0.34+0.03=10.63 + 0.34 + 0.03 = 1, जैसा होना चाहिए।

प्रतिस्थापन के बिना निकालने पर क्या बदलता है?

प्रतिस्थापन के बिना हर बार एक वस्तु कम बचती है, इसलिए दूसरी प्रायिकता छोटे कुल से आती है और निकालना अब स्वतंत्र नहीं रहता। प्रतिस्थापन के साथ हर बार नई शुरुआत है।

उदाहरण 10 · बिना प्रतिस्थापन दो गेंदें

एक थैले में 5 लाल और 3 हरी गेंदें हैं। दो गेंदें बिना प्रतिस्थापन निकाली जाती हैं। दोनों के हरी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

  1. पहली हरी: 38\tfrac{3}{8}। दूसरी हरी, 7 में से 2 हरी बचने पर: 27\tfrac{2}{7}।

  2. दोनों हरी: 38×27=656=328\tfrac{3}{8} \times \tfrac{2}{7} = \tfrac{6}{56} = \tfrac{3}{28}।

  3. संचय से जाँच: 3C2÷8C2=328{}^3C_2 \div {}^8C_2 = \tfrac{3}{28}।

उत्तर
328\tfrac{3}{28}

प्रतिस्थापन के साथ यह (38)2=964(\tfrac{3}{8})^2 = \tfrac{9}{64} होता।

मुख्य बात

"एक साथ निकाली गईं" और "एक बार में निकाली गईं", दोनों का मतलब बिना प्रतिस्थापन है।

सिक्के, पासे और ताश

सिक्कों, पासों और ताश के पत्तों के बारे में क्या जानना चाहिए?

ये ज्ञात आकार के समसंभावी प्रतिदर्श समष्टि हैं: हर सिक्के के 2 परिणाम, हर पासे के 6, और गड्डी में 52 पत्ते। परिणाम गिनिए, और क्रमित परिणामों को अलग रखिए।

सिक्के। nn सिक्के, या एक सिक्के की nn उछालें, 2n2^n परिणाम देते हैं, और ठीक kk चित वाले परिणामों की संख्या nCk{}^nC_k है।

सिक्केपरिणामठीक 0, 1, 2, 3, … चित
241, 2, 1
381, 3, 3, 1
4161, 4, 6, 4, 1

पासे। दो पासे 36 क्रमित परिणाम देते हैं, इसलिए (2, 5) और (5, 2) अलग हैं। हर योग की गिनती जाली से पढ़िए: 2 के लिए 1 तरीक़ा, एक-एक बढ़कर 7 के लिए 6 तरीक़े, फिर घटकर 12 के लिए 1 तरीक़ा। 6 जोड़े एक जैसे अंकों के हैं, और 15-15 परिणामों में पहला पासा बड़ा या दूसरा पासा बड़ा है।

दो पासों के योगों की छह गुणा छह जाली, पहला पासा बाईं ओर और दूसरा पासा ऊपर। योग 8 वाले पाँच ख़ाने रंगे हैं: 2 और 6, 3 और 5, 4 और 4, 5 और 3, 6 और 2।
दो पासों के 36 परिणाम। योग 8 इनमें से 5 में आता है।

उदाहरण 11 · पासों का योग

दो पासे फेंके जाते हैं। योग 8 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

  1. योग 8, 5 तरीक़ों से आता है: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) और (6, 2)।

  2. P=536P = \tfrac{5}{36}।

उत्तर
536\tfrac{5}{36}

ताश। एक गड्डी में 13-13 के 4 सूट में 52 पत्ते होते हैं: इक्का, 2 से 10, ग़ुलाम, बेगम और बादशाह। पान और ईंट लाल हैं, चिड़ी और हुकुम काले। ग़ुलाम, बेगम और बादशाह तस्वीर वाले पत्ते हैं, इसलिए 12 तस्वीर वाले पत्ते, हर रैंक के 4, और हर रंग के 26 पत्ते हैं।

उदाहरण 12 · एक पत्ता

एक पत्ता निकाला जाता है। उसके काला तस्वीर वाला पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

  1. काले तस्वीर वाले पत्ते: चिड़ी और हुकुम के ग़ुलाम, बेगम और बादशाह, यानी 6।

  2. P=652=326P = \tfrac{6}{52} = \tfrac{3}{26}।

उत्तर
326\tfrac{3}{26}

सावधान

ताश में "A या B" के लिए पूछिए कि क्या दो बार गिना गया: "लाल या बादशाह" में लाल बादशाह, "पान या तस्वीर वाला पत्ता" में पान के तस्वीर वाले पत्ते। उन्हें एक बार घटाइए।

परीक्षा शॉर्टकट

  • बँधा ख़ाना पहले भरिए। पहला अंक, इकाई का अंक, फिर बाक़ी।
  • बदलने की जाँच। यदि चुनी गई दो वस्तुएँ बदलने से परिणाम बदले, तो nPr{}^nP_r लीजिए। नहीं, तो nCr{}^nC_r।
  • "कम से कम", "नहीं", "कोई नहीं"। सीधे पूरक पर जाइए।
  • छोटी संख्याएँ। परिणाम लिख लेना अक्सर सूत्र से तेज़ है, और उसकी सबसे अच्छी जाँच भी।
  • ठीक एक, दोनों और कोई नहीं का योग 1 है। उत्तर जाँचने में इसका उपयोग कीजिए।

आम गलतियाँ

  • गुणा की जगह जोड़ना। "और फिर" गुणा करता है। "या तो … या" जोड़ता है।
  • 0 को संख्या के आगे आने देना।
  • "पुनरावृत्ति नहीं" को अनदेखा करना, या मान लेना।
  • समिति के लिए nPr{}^nP_r, या पदों के लिए nCr{}^nC_r।
  • केवल एक दोहराए गए अक्षर से भाग देना।
  • खंड के भीतर की व्यवस्थाएँ भूलना।
  • असमान परिणामों को समान मानना। पासों के योग, और दो सिक्कों के लिए "दो चित, एक चित, कोई चित नहीं", समसंभावी नहीं हैं।
  • (3, 6) और (6, 3) को एक परिणाम गिनना।
  • "कम से कम एक" के लिए प्रायिकताएँ जोड़ना। 1−P(कोई नहीं)1 - P(\text{कोई नहीं}) लीजिए।
  • "A या B" में दोहरी गिनती। P(A और B)P(A \text{ और } B) घटाइए।
  • बिना प्रतिस्थापन वाले प्रश्न में प्रतिस्थापन सहित वाली संख्याएँ।
  • पूरक को उत्तर चुन लेना। यदि रास्ते में P(कोई नहीं)P(\text{कोई नहीं}) निकाला, तो उसे न चुनिए।

त्वरित पुनरावृत्ति

गणना

  • या तो … या: जोड़िए। और फिर: गुणा कीजिए
  • बँधे स्थान पहले भरिए, और 0 कभी आगे नहीं
  • nn विकल्पों में से kk चुनाव, पुनरावृत्ति की छूट: nkn^k

क्रमचय और संचय

  • nPr=n!(n−r)!{}^nP_r = \tfrac{n!}{(n - r)!}, nCr=n!r!(n−r)!{}^nC_r = \tfrac{n!}{r!(n - r)!}
  • दोहराए अक्षर: n!p! q!⋯\tfrac{n!}{p!\,q!\cdots}
  • साथ-साथ: खंड, फिर खंड के भीतर। गोल मेज़: (n−1)!(n - 1)!
  • विकर्ण n(n−3)2\tfrac{n(n - 3)}{2}, त्रिभुज nC3{}^nC_3

प्रायिकता

  • अनुकूल ÷ कुल, समसंभावी परिणामों के लिए
  • P(A नहीं)=1−P(A)P(\text{A नहीं}) = 1 - P(A)
  • कम से कम एक =1−P(कोई नहीं)= 1 - P(\text{कोई नहीं})
  • स्वतंत्र: गुणा। बिना प्रतिस्थापन: कुल घटता है

सिक्के, पासे, ताश

  • nn सिक्के: 2n2^n परिणाम
  • दो पासे: 36 क्रमित परिणाम, 7 सबसे आम योग
  • ताश: 52, हर सूट में 13, 12 तस्वीर वाले, हर रंग के 26

प्रायिकता एक पूर्ण का भिन्न है, इसलिए अनुपात और समानुपात और प्रतिशत सीधे काम आते हैं, और हर अभाज्य की घात में एक जोड़कर गुणा करने से गुणनखंड गिनना इस अध्याय को संख्या पद्धति से जोड़ता है।

आगे · 08त्वरित पुनरावृत्ति

अपनी समझ जाँचें

65 प्रश्न, प्रकार के अनुसार, आसान से कठिन। उत्तर चुनें और जाँचें। हल तभी खुलता है जब आप खोलें।

गणना का मूल सिद्धांतप्र1 / 65प्र1

गणना का मूल सिद्धांत

16 प्रश्न

प्रश्न 1

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तेनज़िन यात्रा के लिए 4 कमीज़ें, 3 पतलून और 2 जोड़ी जूते रखता है। एक पोशाक में एक कमीज़, एक पतलून और एक जोड़ी जूते होते हैं। वह कितनी भिन्न पोशाकें बना सकता है?

प्रश्न 1 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 24

  1. हर चुनाव स्वतंत्र रूप से किया जाता है, इसलिए गुणा करें: 4×3×24 \times 3 \times 2।

  2. 4×3=124 \times 3 = 12, और 12×2=2412 \times 2 = 24 पोशाकें।

ध्यान देने योग्य

9 तब आता है जब 4+3+24 + 3 + 2 जोड़ दिया जाता है; जोड़ तब किया जाता है जब कई समूहों में से केवल एक वस्तु चुननी हो। 12 में जूते छूट जाते हैं।

प्रश्न 2

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कॉलेज कैंटीन के मेन्यू में 5 भिन्न शाकाहारी थालियाँ और 3 भिन्न मांसाहारी थालियाँ हैं। गुरप्रीत ठीक एक थाली मँगाएगी। वह कितने तरीकों से चुन सकती है?

प्रश्न 2 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 8

  1. वह या तो शाकाहारी सूची से एक थाली चुनती है या मांसाहारी सूची से एक, दोनों कभी नहीं।

  2. 'या तो … या' वाले चुनावों में जोड़ें: 5+3=85 + 3 = 8।

ध्यान देने योग्य

15 में 5×35 \times 3 गुणा किया गया है, जो एक शाकाहारी थाली और एक मांसाहारी थाली को एक साथ गिनता है। वह केवल एक थाली मँगाती है।

प्रश्न 3

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कोच्चि से त्रिशूर तक तीन भिन्न सड़कें जाती हैं, और त्रिशूर से पालक्काड तक चार भिन्न सड़कें। जोसेफ़ त्रिशूर होते हुए कोच्चि से पालक्काड तक कितने तरीकों से गाड़ी चलाकर जा सकता है?

प्रश्न 3 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 12

  1. पहला चरण 3 तरीकों से तय हो सकता है, और इनमें से हर एक के बाद दूसरे चरण की 4 सड़कों में से कोई भी ली जा सकती है।

  2. मार्ग =3×4=12= 3 \times 4 = 12।

ध्यान देने योग्य

24 उत्तर को दोगुना कर देता है, मानो यात्रा आने-जाने की हो। 64 और 81 क्रमशः 434^3 और 343^4 हैं: घात तब लगती है जब एक ही चुनाव दोहराया जाए, दो भिन्न चरणों के लिए नहीं।

प्रश्न 4

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

केवल अंकों 1, 2, 3, 4 और 5 का उपयोग करके तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि किसी अंक की पुनरावृत्ति की जा सकती है?

प्रश्न 4 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 125

  1. तीनों स्थानों में से हर एक को 5 अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है, क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है।

  2. संख्याएँ =5×5×5=125= 5 \times 5 \times 5 = 125।

ध्यान देने योग्य

60 5×4×35 \times 4 \times 3 है, यानी वह गिनती जब अंकों की पुनरावृत्ति नहीं हो सकती। 243 353^5 है, जिसमें घात उलटी लगा दी गई है।

प्रश्न 5

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक जहाज़ भिन्न रंगों के 5 झंडों में से चुने गए 3 झंडों को एक के ऊपर एक फहराकर संकेत देता है। किसी संकेत में कोई झंडा दो बार उपयोग नहीं होता, और भिन्न क्रम से भिन्न संकेत बनता है। कितने संकेत संभव हैं?

प्रश्न 5 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 60

  1. सबसे ऊपर का झंडा: 5 विकल्प; बीच का: 4; सबसे नीचे का: 3।

  2. संकेत =5×4×3=60= 5 \times 4 \times 3 = 60।

ध्यान देने योग्य

10 क्रम को अनदेखा करते हुए 3 झंडे चुनने के तरीकों की संख्या है; यहाँ क्रम बदलने से संकेत बदल जाता है। 125 किसी झंडे की पुनरावृत्ति होने देता है।

प्रश्न 6

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक शिक्षिका अपनी कक्षा से दो अंकों की वे सभी संख्याएँ लिखने को कहती हैं जिनका दहाई का अंक और इकाई का अंक दोनों सम हों। पूरी सूची में कितनी संख्याएँ होंगी?

प्रश्न 6 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 20

  1. दहाई का अंक: 2, 4, 6 या 8 (0 से दो अंकों की संख्या नहीं बनेगी), इसलिए 4 विकल्प।

  2. इकाई का अंक: 0, 2, 4, 6 या 8, इसलिए 5 विकल्प।

  3. संख्याएँ =4×5=20= 4 \times 5 = 20।

ध्यान देने योग्य

25 5×55 \times 5 है, जो दहाई के अंक को 0 होने देता है। 40 केवल दहाई का अंक जाँचता है, और 45 दो अंकों की सभी सम संख्याएँ गिनता है, जिनमें केवल इकाई का अंक सम होना ज़रूरी है।

प्रश्न 7

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

जयपुर से अजमेर तक चार सड़कें हैं और अजमेर से उदयपुर तक तीन सड़कें। फ़रहान अजमेर होते हुए जयपुर से उदयपुर जाता है और फिर अजमेर होते हुए ही वापस आता है, तथा वह किसी भी सड़क का दूसरी बार उपयोग नहीं करता। कितनी भिन्न आने-जाने की यात्राएँ संभव हैं?

प्रश्न 7 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 72

  1. जाना: 4×3=124 \times 3 = 12 तरीके।

  2. लौटना: उदयपुर–अजमेर की एक सड़क और अजमेर–जयपुर की एक सड़क पहले ही उपयोग हो चुकी है, इसलिए 2×3=62 \times 3 = 6 तरीके।

  3. आने-जाने की यात्राएँ =12×6=72= 12 \times 6 = 72।

ध्यान देने योग्य

144 12×1212 \times 12 है, जिसमें किसी सड़क का दोबारा उपयोग हो सकता है। 12 केवल जाने की यात्रा गिनता है।

प्रश्न 8

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अंकों 0, 2, 4, 6 और 8 से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि किसी संख्या में कोई अंक एक से अधिक बार उपयोग न हो?

प्रश्न 8 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 48

  1. सैकड़े का अंक 0 नहीं हो सकता, इसलिए उसके 4 विकल्प हैं।

  2. दहाई का अंक बचे हुए 4 अंकों में से कोई भी हो सकता है (अब 0 की अनुमति है)।

  3. इकाई के अंक के लिए बचे हुए 3 विकल्प हैं, इसलिए गिनती 4×4×3=484 \times 4 \times 3 = 48 है।

ध्यान देने योग्य

60 5×4×35 \times 4 \times 3 है, जो 0 को सबसे आगे आने देता है (जिससे 024 जैसी दो अंकों की 'संख्याएँ' बनती हैं)। 80 4×5×44 \times 5 \times 4 है, जो दहाई का स्थान भरते समय भूल जाता है कि सैकड़े का अंक पहले ही उपयोग हो चुका है। 100 पुनरावृत्ति की अनुमति देता है।

प्रश्न 9

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अंकों 1 से 6 का उपयोग करके, बिना किसी अंक की पुनरावृत्ति के, तीन अंकों की कितनी सम (EVEN) संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

प्रश्न 9 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 60

  1. पहले प्रतिबंधित स्थान भरें: इकाई का अंक 2, 4 या 6 होना चाहिए, इसलिए 3 विकल्प।

  2. फिर सैकड़े के अंक के 5 विकल्प और दहाई के अंक के 4 विकल्प हैं।

  3. सम संख्याएँ =3×5×4=60= 3 \times 5 \times 4 = 60।

ध्यान देने योग्य

120 सम होने की शर्त के बिना तीन अंकों की सभी संख्याएँ गिनता है। 108 6×6×36 \times 6 \times 3 है, जो पुनरावृत्ति की अनुमति देता है।

प्रश्न 10

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक लॉकर कोड 0 से 9 तक के अंकों से बनी 4 अंकों की एक शृंखला है। अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है, पर कोड 0 से शुरू नहीं होना चाहिए। कितने कोड संभव हैं?

प्रश्न 10 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 9,000

  1. पहला अंक: 9 विकल्प (1 से 9)।

  2. बाकी तीनों अंकों में से हर एक: 10 विकल्प, क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है।

  3. कोड =9×10×10×10=9000= 9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000।

ध्यान देने योग्य

10,000 में 0 वाला नियम अनदेखा किया गया है। 4,536 9×9×8×79 \times 9 \times 8 \times 7 है, जो गलती से पुनरावृत्ति को मना कर देता है।

प्रश्न 11

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक रेस्तराँ के दोपहर के भोजन के ऑफ़र में 4 विकल्पों में से एक मुख्य व्यंजन के साथ या तो 3 विकल्पों में से एक स्टार्टर या 2 विकल्पों में से एक मिठाई मिलती है (दोनों नहीं)। कितने भिन्न भोजन संभव हैं?

प्रश्न 11 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 20

  1. मुख्य व्यंजन के साथ स्टार्टर: 4×3=124 \times 3 = 12 भोजन।

  2. मुख्य व्यंजन के साथ मिठाई: 4×2=84 \times 2 = 8 भोजन।

  3. दोनों स्थितियाँ एक साथ नहीं हो सकतीं, इसलिए जोड़ें: 12+8=2012 + 8 = 20।

ध्यान देने योग्य

24 4×3×24 \times 3 \times 2 है, जो हर भोजन में स्टार्टर और मिठाई दोनों दे देता है। 12 केवल स्टार्टर वाली स्थिति गिनता है।

प्रश्न 12

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक प्रश्नोत्तरी में 5 प्रश्न हैं, और हर प्रश्न के 4 उत्तर-विकल्प हैं। एक विद्यार्थी हर प्रश्न के लिए ठीक एक विकल्प चिह्नित करता है। उत्तर-पत्रक कितने भिन्न तरीकों से भरा जा सकता है?

प्रश्न 12 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 1,024

  1. हर प्रश्न का उत्तर दूसरों से स्वतंत्र रूप से 4 तरीकों से दिया जाता है।

  2. तरीके =4×4×4×4×4=45=1024= 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5 = 1024।

ध्यान देने योग्य

625 545^4 है: आधार प्रति प्रश्न विकल्पों की संख्या (4) होना चाहिए, और घात प्रश्नों की संख्या (5)। 20 में 5 को 4 से केवल एक बार गुणा किया गया है।

प्रश्न 13

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

कितनी धनात्मक पूर्ण संख्याएँ 360 को पूरी तरह विभाजित करती हैं (1 और 360 सहित)?

प्रश्न 13 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 24

  1. अभाज्य गुणनखंडन (prime factorisation): 360=23×32×5360 = 2^3 \times 3^2 \times 5।

  2. किसी भाजक में 2 की घात 0 से 3 तक (4 तरीके), 3 की घात 0 से 2 तक (3 तरीके), और 5 की घात 0 से 1 तक (2 तरीके) हो सकती है।

  3. भाजक =4×3×2=24= 4 \times 3 \times 2 = 24।

ध्यान देने योग्य

6 में घातांकों 3×2×13 \times 2 \times 1 को गुणा किया गया है, यह भूलकर कि हर घात 0 भी हो सकती है। 9 में विकल्पों को गुणा करने के बजाय जोड़ दिया गया है। 22 में 1 और 360 छूट गए हैं।

प्रश्न 14

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1 से 500 तक की संख्याओं में (दोनों सम्मिलित), कितनी संख्याओं में अंक 7 कम से कम एक बार आता है?

प्रश्न 14 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 95

  1. जिन संख्याओं में कोई 7 नहीं है, उन्हें गिनें। 0 से 499 को तीन अंकों के रूप में लिखें (000 से 499): सैकड़े का अंक 0 से 4 (5 तरीके), दहाई और इकाई दोनों 9-9 तरीके (7 को छोड़कर कोई भी अंक)।

  2. इससे 5×9×9=4055 \times 9 \times 9 = 405 शृंखलाएँ मिलती हैं। 000 को हटाएँ और 500 को जोड़ें (जिसमें कोई 7 नहीं है): 1 से 500 तक बिना 7 वाली संख्याएँ फिर भी 405 ही हैं।

  3. कम से कम एक 7 वाली संख्याएँ =500−405=95= 500 - 405 = 95।

ध्यान देने योग्य

इकाई के स्थान पर 7 वाली 50 संख्याएँ और दहाई के स्थान पर 7 वाली 50 संख्याएँ जोड़ने पर 100 आता है, पर 77, 177, 277, 377 और 477 दो बार गिन लिए जाते हैं। 405 बिना 7 वाली संख्याओं की गिनती है।

प्रश्न 15

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीन अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जो 5 से विभाज्य हों और जिनके तीनों अंक भिन्न हों?

प्रश्न 15 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 136

  1. इकाई के अंक के अनुसार स्थितियाँ बाँटें, क्योंकि 0 का नियम उसी के साथ बदलता है।

  2. इकाई का अंक 0: सैकड़े के अंक के 9 विकल्प, दहाई के 8, अतः 9×8=729 \times 8 = 72।

  3. इकाई का अंक 5: सैकड़े का अंक 0 या 5 नहीं हो सकता, इसलिए 8 विकल्प; फिर दहाई के 8 विकल्प (0 की अनुमति है), अतः 8×8=648 \times 8 = 64।

  4. कुल =72+64=136= 72 + 64 = 136।

ध्यान देने योग्य

128 दोनों स्थितियों को इकाई-अंक 5 वाली स्थिति जैसा मान लेता है; 180 पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ 5 के तीन अंकों वाले सभी गुणज गिनता है। दोनों स्थितियाँ अलग-अलग गिननी होंगी, क्योंकि 0 पर सबसे आगे आने की रोक केवल उनमें से एक में लगती है।

प्रश्न 16

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कॉलेज ऐसे पार्किंग स्टिकर जारी करता है जिनमें A से Z तक के 2 अक्षरों के बाद 3 अंक होते हैं। दोनों अक्षर भिन्न होने चाहिए, अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है, और पहला अंक 0 नहीं हो सकता। कितने स्टिकर जारी किए जा सकते हैं?

प्रश्न 16 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 5,85,000

  1. अक्षर: भिन्न अक्षरों के 26×25=65026 \times 25 = 650 क्रमित युग्म।

  2. अंक: पहला अंक 9 तरीके, फिर 10 और 10, अतः 900900।

  3. स्टिकर =650×900=5,85,000= 650 \times 900 = 5{,}85{,}000।

ध्यान देने योग्य

6,08,400 26×26×90026 \times 26 \times 900 है, जो अक्षरों की पुनरावृत्ति होने देता है। 6,50,000 अंकों को 0 से शुरू होने देता है, और 6,76,000 में दोनों गलतियाँ हैं।

क्रमचय और संचय

16 प्रश्न

प्रश्न 17

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक स्कूल की 400 m दौड़ के फ़ाइनल में सात धावक पहुँचते हैं। यदि कोई दो धावक बराबरी पर न रहें, तो स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक कितने तरीकों से दिए जा सकते हैं?

प्रश्न 17 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 210

  1. स्वर्ण 7 धावकों में से किसी को भी, रजत बाकी 6 में से किसी को, और कांस्य बचे हुए 5 में से किसी को मिल सकता है।

  2. तरीके =7×6×5=7P3=210= 7 \times 6 \times 5 = {}^{7}P_{3} = 210।

ध्यान देने योग्य

35 7C3{}^{7}C_{3} है, जो यह अनदेखा करता है कि किस धावक को कौन-सा पदक मिला। 343 737^3 है, जो एक धावक को दो पदक जीतने देता है।

प्रश्न 18

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

आठ स्वयंसेवक एक रक्तदान शिविर में मदद की पेशकश करते हैं, और आयोजक को उनमें से 3 का एक समूह चाहिए। इन 3 के कर्तव्य एक जैसे हैं। कितने भिन्न समूह चुने जा सकते हैं?

प्रश्न 18 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 56

  1. क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए यह संचय (combination) है।

  2. 8C3=8×7×63×2×1=3366=56{}^{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56.

ध्यान देने योग्य

336 8P3{}^{8}P_{3} है, जो एक ही तीन लोगों को 6 बार गिनता है, हर क्रम के लिए एक बार। 24 8×38 \times 3 है।

प्रश्न 19

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

12 सदस्यों वाली छात्र परिषद की पहली बैठक में हर सदस्य हर दूसरे सदस्य से ठीक एक बार हाथ मिलाता है। कुल कितनी बार हाथ मिलाए जाते हैं?

प्रश्न 19 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 66

  1. हर हाथ मिलाना सदस्यों का एक युग्म है, और युग्म (A, B) वही है जो (B, A) है।

  2. हाथ मिलाना =12C2=12×112=66= {}^{12}C_{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66।

ध्यान देने योग्य

132 12×1112 \times 11 है, जो हर हाथ मिलाने को दो बार गिनता है। 144 किसी सदस्य को स्वयं से हाथ मिलाने देता है, और 78 13C2{}^{13}C_{2} है।

प्रश्न 20

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शब्द PLANET के सभी अक्षरों को एक पंक्ति में कितने भिन्न तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

प्रश्न 20 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 720

  1. PLANET में 6 अक्षर हैं, सभी भिन्न।

  2. व्यवस्थाएँ =6!=6×5×4×3×2×1=720= 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720।

ध्यान देने योग्य

360 उत्तर को आधा कर देता है मानो कोई अक्षर दोहराया गया हो, पर कोई अक्षर दोहराया नहीं गया है। 120 5!5! है और 36 6×66 \times 6 है।

प्रश्न 21

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक वृत्त पर नौ बिंदु अंकित हैं। ऐसे कितने त्रिभुज खींचे जा सकते हैं जिनके तीनों शीर्ष इन्हीं बिंदुओं में से हों?

प्रश्न 21 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 84

  1. वृत्त पर कोई तीन बिंदु एक सीधी रेखा में नहीं होते, इसलिए कोई भी 3 बिंदु एक त्रिभुज बनाते हैं।

  2. त्रिभुज =9C3=9×8×76=84= {}^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} = 84।

ध्यान देने योग्य

36 9C2{}^{9}C_{2} है, यानी जीवाओं की संख्या। 504 9P3{}^{9}P_{3} है, जो हर त्रिभुज को 6 बार गिनता है।

प्रश्न 22

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

10 भुजाओं वाले बहुभुज के कितने विकर्ण होते हैं?

प्रश्न 22 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 35

  1. 10 शीर्षों में से कोई भी 2 एक रेखाखंड देते हैं: 10C2=45{}^{10}C_{2} = 45।

  2. इन रेखाखंडों में से 10 भुजाएँ हैं, विकर्ण नहीं।

  3. विकर्ण =45−10=35= 45 - 10 = 35।

ध्यान देने योग्य

45 में भुजाओं को हटाना भूल गए हैं। 70 10×710 \times 7 है, जो हर विकर्ण को दोनों सिरों से गिनता है।

प्रश्न 23

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शब्द BANANA के सभी अक्षरों की कितनी भिन्न व्यवस्थाएँ संभव हैं?

प्रश्न 23 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 60

  1. BANANA में 6 अक्षर हैं: A तीन बार, N दो बार, B एक बार।

  2. समान अक्षरों की अदला-बदली से कुछ नया नहीं बनता, इसलिए पुनरावृत्तियों से भाग दें।

  3. व्यवस्थाएँ =6!3!×2!=72012=60= \frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{12} = 60।

ध्यान देने योग्य

720 सभी अक्षरों को भिन्न मान लेता है। 120 केवल A के लिए 3!3! से भाग देता है, और 360 केवल N के लिए 2!2! से।

प्रश्न 24

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शब्द COLLEGE के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितनी भिन्न व्यवस्थाएँ बनाई जा सकती हैं?

प्रश्न 24 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 1,260

  1. COLLEGE में 7 अक्षर हैं: L दो बार, E दो बार, और C, O, G एक-एक बार।

  2. व्यवस्थाएँ =7!2!×2!=50404=1260= \frac{7!}{2! \times 2!} = \frac{5040}{4} = 1260।

ध्यान देने योग्य

5040 पुनरावृत्तियों को अनदेखा करता है, और 2520 दोहराए गए दो अक्षरों में से केवल एक के लिए सुधार करता है। 630 में एक अतिरिक्त 2 से भाग दिया गया है।

प्रश्न 25

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

स्वेच्छा से आगे आए 6 पुरुषों और 5 महिलाओं में से 3 पुरुषों और 2 महिलाओं की एक निवासी कल्याण समिति बनानी है। समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

प्रश्न 25 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 200

  1. पुरुष: 6C3=20{}^{6}C_{3} = 20 तरीके। महिलाएँ: 5C2=10{}^{5}C_{2} = 10 तरीके।

  2. दोनों चुनाव एक साथ चाहिए, इसलिए गुणा करें: 20×10=20020 \times 10 = 200।

ध्यान देने योग्य

30 में 20+1020 + 10 जोड़ा गया है; समिति में पुरुष और महिलाएँ दोनों चाहिए। 462 11C5{}^{11}C_{5} है, जो 3 और 2 के बँटवारे को अनदेखा करता है। 2400 में क्रमचय का उपयोग किया गया है, पर समिति के सदस्यों का कोई क्रम नहीं होता।

प्रश्न 26

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अंजलि और भावेश सहित पाँच मित्र एक तस्वीर के लिए एक पंक्ति में खड़े होते हैं। कितनी व्यवस्थाओं में अंजलि और भावेश एक-दूसरे के बगल में खड़े होते हैं?

प्रश्न 26 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 48

  1. अंजलि और भावेश को जोड़कर एक खंड मान लें। अब व्यवस्थित करने के लिए 4 इकाइयाँ हैं: 4!=244! = 24 तरीके।

  2. खंड के अंदर वे 2 क्रमों में खड़े हो सकते हैं।

  3. व्यवस्थाएँ =24×2=48= 24 \times 2 = 48।

ध्यान देने योग्य

24 यह भूल जाता है कि दोनों आपस में स्थान बदल सकते हैं। 72 उन व्यवस्थाओं की संख्या है जिनमें वे साथ नहीं हैं।

प्रश्न 27

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक संगोष्ठी में रितु और संदीप सहित छह वक्ता एक के बाद एक बोलेंगे। आयोजक नहीं चाहते कि रितु और संदीप ठीक एक के बाद एक बोलें (किसी भी क्रम में)। बोलने के कितने क्रम संभव हैं?

प्रश्न 27 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 480

  1. सभी क्रम: 6!=7206! = 720।

  2. जिन क्रमों में दोनों साथ हैं: उन्हें एक खंड मानें, 5!×2=2405! \times 2 = 240।

  3. जिन क्रमों में वे अलग हैं =720−240=480= 720 - 240 = 480।

ध्यान देने योग्य

240 उन क्रमों की संख्या है जिनमें वे साथ हैं। 360 केवल 720 को आधा करता है, और 120 गुणनखंड 2 के बिना 5!5! है।

प्रश्न 28

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शब्द PENCIL के अक्षरों से चार अक्षरों वाले कोड बनाए जाते हैं, जिनमें कोई अक्षर दो बार उपयोग नहीं होता। इनमें से कितने कोड किसी स्वर से शुरू होते हैं?

प्रश्न 28 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 120

  1. PENCIL में स्वर E और I हैं, इसलिए पहले अक्षर के 2 विकल्प हैं।

  2. बाकी तीन स्थान बचे हुए 5 अक्षरों से भरे जाते हैं: 5×4×3=605 \times 4 \times 3 = 60।

  3. कोड =2×60=120= 2 \times 60 = 120।

ध्यान देने योग्य

360 6P4{}^{6}P_{4} है, यानी बिना किसी शर्त के सभी कोड। 60 यह भूल जाता है कि शुरुआत के लिए दो स्वर हैं।

प्रश्न 29

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शब्द EQUATION के अक्षरों को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जाता है। कितनी व्यवस्थाओं में पाँचों स्वर एक साथ आते हैं?

प्रश्न 29 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 2,880

  1. EQUATION में 8 भिन्न अक्षर हैं: स्वर E, U, A, I, O और व्यंजन Q, T, N।

  2. 5 स्वरों को एक खंड मानें। Q, T और N के साथ यह 4 इकाइयाँ बनती हैं: 4!=244! = 24 क्रम।

  3. खंड के अंदर स्वरों को 5!=1205! = 120 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

  4. व्यवस्थाएँ =24×120=2880= 24 \times 120 = 2880।

ध्यान देने योग्य

120 केवल खंड के अंदर का क्रम गिनता है, और 720 5!5! को 3!3! से गुणा करता है, यह भूलकर कि खंड स्वयं भी व्यंजनों के बीच स्थान बदलता है। 40,320 बिना किसी शर्त के 8!8! है।

प्रश्न 30

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

5 लड़कों और 4 लड़कियों में से 4 की एक प्रश्नोत्तरी टीम चुननी है। टीम में कम से कम 2 लड़कियाँ होनी चाहिए। कितनी भिन्न टीमें संभव हैं?

प्रश्न 30 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 81

  1. लड़कियों की संख्या के अनुसार स्थितियों में बाँटें।

  2. 2 लड़कियाँ: 4C2×5C2=6×10=60{}^{4}C_{2} \times {}^{5}C_{2} = 6 \times 10 = 60। 3 लड़कियाँ: 4C3×5C1=4×5=20{}^{4}C_{3} \times {}^{5}C_{1} = 4 \times 5 = 20। 4 लड़कियाँ: 4C4=1{}^{4}C_{4} = 1।

  3. टीमें =60+20+1=81= 60 + 20 + 1 = 81।

  4. जाँच: कुल टीमें 9C4=126{}^{9}C_{4} = 126, इसमें से बिना किसी लड़की वाली 5 और एक लड़की वाली 40 घटाने पर 81 मिलता है।

ध्यान देने योग्य

60 केवल 'ठीक 2 लड़कियाँ' वाली स्थिति है। 86 एक लड़की वाली टीमें घटाता है पर केवल लड़कों वाली टीमें भूल जाता है। 126 शर्त को अनदेखा करता है।

प्रश्न 31

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक पुस्तक क्लब के सात सदस्य एक गोल मेज़ के चारों ओर बैठते हैं। दो बैठक-व्यवस्थाएँ एक ही मानी जाती हैं यदि सभी के मेज़ के चारों ओर समान संख्या में स्थान खिसकने से एक दूसरी में बदल जाए। कितनी भिन्न बैठक-व्यवस्थाएँ संभव हैं?

प्रश्न 31 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 720

  1. एक पंक्ति में 7 लोग 7!=50407! = 5040 तरीकों से बैठ सकते हैं।

  2. मेज़ के चारों ओर, उस गिनती में हर बैठक-व्यवस्था 7 बार आती है (हर घुमाव के लिए एक बार)।

  3. बैठक-व्यवस्थाएँ =50407=6!=720= \frac{5040}{7} = 6! = 720।

ध्यान देने योग्य

5040 मेज़ को पंक्ति मान लेता है। 360 दर्पण-प्रतिबिंबों के लिए 2 से भी भाग देता है, जो हार (माला) पर लागू होता है, उन लोगों पर नहीं जो बाएँ और दाएँ में अंतर कर सकते हैं।

प्रश्न 32

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कस्बे की सड़कें एक जाली (ग्रिड) बनाती हैं। घर से स्कूल जाने के लिए लालरेमसियामी को किसी भी क्रम में 4 ब्लॉक पूर्व और 3 ब्लॉक उत्तर चलना है, और वह कभी पश्चिम या दक्षिण की ओर नहीं जाती। वह कितने भिन्न सबसे छोटे मार्ग ले सकती है?

प्रश्न 32 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 35

  1. हर सबसे छोटा मार्ग 7 चालों की एक शृंखला है: 4 E और 3 N।

  2. जैसे ही आप चुन लेते हैं कि 7 में से कौन-सी 3 चालें N हैं, मार्ग तय हो जाता है।

  3. मार्ग =7C3=7×6×56=35= {}^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 35।

ध्यान देने योग्य

12 में 4×34 \times 3 गुणा किया गया है, जबकि मार्ग इस तरह नहीं जुड़ते। 128 272^7 है, जो E और N की कोई भी संख्या होने देता है।

प्रारंभिक प्रायिकता

17 प्रश्न

प्रश्न 33

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक थैले में 5 लाल, 3 नीले और 2 हरे कंचे हैं। काव्या बिना देखे एक कंचा निकालती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि वह नीला हो?

प्रश्न 33 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 310\frac{3}{10}

  1. कुल कंचे =5+3+2=10= 5 + 3 + 2 = 10, जिनमें से हर एक के निकलने की संभावना समान है।

  2. अनुकूल परिणाम: 3 नीले कंचे।

  3. प्रायिकता =310= \frac{3}{10}।

ध्यान देने योग्य

37\frac{3}{7} कुल से भाग देने के बजाय गैर-नीले कंचों की संख्या से भाग देता है। 13\frac{1}{3} तीनों रंगों को समसंभाव्य मान लेता है, और 710\frac{7}{10} नीला न होने की संभावना है।

प्रश्न 34

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक लॉटरी में 1 से 30 तक क्रमांकित टिकट हैं, और यादृच्छया एक टिकट निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि उस पर लिखी संख्या एक अभाज्य संख्या हो?

प्रश्न 34 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 13\frac{1}{3}

  1. 30 तक की अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, यानी 10 संख्याएँ।

  2. प्रायिकता =1030=13= \frac{10}{30} = \frac{1}{3}।

ध्यान देने योग्य

यह भूल जाने पर कि 2 अभाज्य है, 930=310\frac{9}{30} = \frac{3}{10} मिलता है; 1 को अभाज्य गिनने पर 1130\frac{11}{30} मिलता है। 23\frac{2}{3} अभाज्य न होने की संभावना है।

प्रश्न 35

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

किसी कॉलेज से यादृच्छया चुने गए विद्यार्थी के चश्मा पहनने की प्रायिकता 0.28 है। यादृच्छया चुने गए विद्यार्थी के चश्मा न पहनने की प्रायिकता क्या है?

प्रश्न 35 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 0.72

  1. 'चश्मा पहनता है' और 'नहीं पहनता' पूरक घटनाएँ हैं: इनकी प्रायिकताओं का योग 1 होता है।

  2. प्रायिकता =1−0.28=0.72= 1 - 0.28 = 0.72।

ध्यान देने योग्य

0.28 चश्मा पहनने की संभावना है, यानी स्वयं घटना। 0.62 और 0.82 घटाने की चूकें हैं; वापस जोड़कर जाँचें: 0.72+0.28=10.72 + 0.28 = 1।

प्रश्न 36

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

शब्द MAHARASHTRA का हर अक्षर एक अलग कार्ड पर लिखा गया है, और 11 कार्डों को फेंटा गया है। यादृच्छया एक कार्ड निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि उस पर अक्षर A हो?

प्रश्न 36 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 411\frac{4}{11}

  1. 11 कार्ड हैं, और A 4 बार आता है: M-A-H-A-R-A-S-H-T-R-A।

  2. प्रायिकता =411= \frac{4}{11}।

ध्यान देने योग्य

16\frac{1}{6} 6 भिन्न अक्षरों को समसंभाव्य मान लेता है, पर A किसी भी अन्य अक्षर से अधिक कार्डों पर है। 211\frac{2}{11} H की या R की संभावना है।

प्रश्न 37

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक मर्तबान में 24 मिठाइयाँ हैं, जिनमें से हर एक या तो आम के स्वाद की है या नींबू के। यादृच्छया आम वाली मिठाई निकालने की प्रायिकता 38\frac{3}{8} है। मर्तबान में नींबू वाली कितनी मिठाइयाँ हैं?

प्रश्न 37 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 15

  1. आम वाली मिठाइयाँ =38×24=9= \frac{3}{8} \times 24 = 9।

  2. नींबू वाली मिठाइयाँ =24−9=15= 24 - 9 = 15।

ध्यान देने योग्य

9 आम वाली मिठाइयों की संख्या है। 8 और 3 तब आते हैं जब भिन्न से गुणा करने के बजाय 24 को 3 से या 8 से भाग दे दिया जाता है।

प्रश्न 38

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो अंकों की एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि वह एक पूर्ण वर्ग हो?

प्रश्न 38 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 115\frac{1}{15}

  1. दो अंकों की 90 संख्याएँ हैं (10 से 99)।

  2. इनमें पूर्ण वर्ग 16, 25, 36, 49, 64 और 81 हैं, यानी 6।

  3. प्रायिकता =690=115= \frac{6}{90} = \frac{1}{15}।

ध्यान देने योग्य

दो अंकों की संख्याएँ 90 हैं, 99 या 100 नहीं: 99 लेने पर 233\frac{2}{33} और 100 लेने पर 350\frac{3}{50} मिलता है। गलती से 100 (या 09) को सातवाँ वर्ग मान लेने पर 790\frac{7}{90} मिलता है।

प्रश्न 39

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

अर्जुन 23\frac{2}{3} प्रायिकता से एक लक्ष्य को भेदता है और नंदिनी 35\frac{3}{5} प्रायिकता से। दोनों एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से एक-एक गोली चलाते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि दोनों लक्ष्य को भेदें?

प्रश्न 39 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 25\frac{2}{5}

  1. स्वतंत्र घटनाओं के लिए, P(दोनों) = प्रायिकताओं का गुणनफल।

  2. P(दोनों भेदें) =23×35=615=25= \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}।

ध्यान देने योग्य

215\frac{2}{15} दोनों के चूकने की संभावना है (13×25)\left(\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}\right), और 1315\frac{13}{15} कम से कम एक के भेदने की संभावना है। 415\frac{4}{15} P(अर्जुन भेदे और नंदिनी चूके) है।

प्रश्न 40

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मीरा 34\frac{3}{4} प्रायिकता से एक पहेली हल कर सकती है और जोसेफ़ 25\frac{2}{5} प्रायिकता से। वे स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि पहेली हल हो जाए, अर्थात् उनमें से कम से कम एक उसे हल कर दे?

प्रश्न 40 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 1720\frac{17}{20}

  1. पहेली केवल तभी अनसुलझी रहती है जब दोनों असफल हों: 14×35=320\frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{20}।

  2. P(हल) =1−320=1720= 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}।

ध्यान देने योग्य

320\frac{3}{20} पहेली के हल न होने की संभावना है। 310\frac{3}{10} P(दोनों हल करें) है और 1120\frac{11}{20} P(ठीक एक हल करे) है; 'कम से कम एक' में ये दोनों स्थितियाँ शामिल हैं।

प्रश्न 41

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक कारखाने की दो मशीनें स्वतंत्र रूप से काम करती हैं। किसी दिन मशीन X के खराब होने की प्रायिकता 15\frac{1}{5} है और मशीन Y की 14\frac{1}{4}। इसकी प्रायिकता क्या है कि उस दिन दोनों में से ठीक एक मशीन खराब हो?

प्रश्न 41 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 720\frac{7}{20}

  1. ठीक एक = (X खराब और Y चालू) या (X चालू और Y खराब)।

  2. 15×34=320\frac{1}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{20} और 45×14=420\frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{4}{20}।

  3. ये दोनों स्थितियाँ एक साथ नहीं हो सकतीं, इसलिए जोड़ें: 720\frac{7}{20}।

ध्यान देने योग्य

25\frac{2}{5} P(कम से कम एक खराब) है, जिसमें दोनों का खराब होना (120)(\frac{1}{20}) भी शामिल है। 35\frac{3}{5} P(कोई भी खराब न हो) है।

प्रश्न 42

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक डिब्बे में 4 लाल और 6 सफ़ेद गेंदें हैं। एक के बाद एक दो गेंदें बिना प्रतिस्थापन के (WITHOUT replacement) निकाली जाती हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि दोनों लाल हों?

प्रश्न 42 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 215\frac{2}{15}

  1. पहली गेंद लाल: 410\frac{4}{10}।

  2. एक लाल गेंद निकल जाने के बाद 9 में से 3 लाल बचती हैं: 39\frac{3}{9}।

  3. P(दोनों लाल) =410×39=1290=215= \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}।

ध्यान देने योग्य

425=(410)2\frac{4}{25} = \left(\frac{4}{10}\right)^2 प्रतिस्थापन सहित वाला उत्तर है। प्रतिस्थापन के बिना दूसरी बार निकालते समय जो प्रकार निकल चुका है उसकी एक गेंद कम होती है।

प्रश्न 43

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

1 से 50 तक में से यादृच्छया एक संख्या चुनी जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि वह 3 से या 5 से (या दोनों से) विभाज्य हो?

प्रश्न 43 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 2350\frac{23}{50}

  1. 50 तक 3 के गुणज: 16। 5 के गुणज: 10।

  2. दोनों के गुणज, अर्थात् 15 के: 15, 30, 45, यानी 3, और ये दो बार गिने गए थे।

  3. अनुकूल =16+10−3=23= 16 + 10 - 3 = 23, अतः प्रायिकता =2350= \frac{23}{50}।

ध्यान देने योग्य

825\frac{8}{25} केवल 3 के गुणज गिनता है, और 15\frac{1}{5} केवल 5 के गुणज। 350\frac{3}{50} केवल उन्हें गिनता है जो दोनों से विभाज्य हैं।

प्रश्न 44

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मार्च 2027 में 31 दिन हैं, और 1 मार्च 2027 को सोमवार है। मार्च 2027 की एक तारीख यादृच्छया चुनी जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि वह रविवार हो?

प्रश्न 44 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 431\frac{4}{31}

  1. पहला रविवार 7 मार्च है; रविवार 7, 14, 21 और 28 मार्च को हैं।

  2. 29, 30 और 31 मार्च को सोमवार, मंगलवार और बुधवार हैं, इसलिए पाँचवाँ रविवार नहीं है।

  3. प्रायिकता =431= \frac{4}{31}।

ध्यान देने योग्य

17\frac{1}{7} यह मान लेता है कि सप्ताह का हर दिन समान बार आता है, पर 31 दिन के महीने में तीन वार 5 बार और बाकी 4 बार आते हैं। 531\frac{5}{31} सोमवार, मंगलवार या बुधवार के लिए सही है।

प्रश्न 45

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक टोपी में 1, 2, 3, 4 और 5 क्रमांकित पाँच कार्ड हैं। दो कार्ड एक साथ (बिना प्रतिस्थापन के) निकाले जाते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि दोनों संख्याओं का योग सम हो?

प्रश्न 45 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 25\frac{2}{5}

  1. संभव युग्म: 5C2=10{}^{5}C_{2} = 10।

  2. सम योग के लिए दो विषम कार्ड (1, 3, 5 में से: 3 युग्म) या दो सम कार्ड (2 और 4: 1 युग्म) चाहिए।

  3. प्रायिकता =3+110=25= \frac{3 + 1}{10} = \frac{2}{5}।

ध्यान देने योग्य

1325\frac{13}{25} वह उत्तर है जब पहला कार्ड वापस रख दिया जाए, क्योंकि तब कोई कार्ड स्वयं के साथ युग्म बना सकता है। 12\frac{1}{2} विषम और सम योग को समसंभाव्य मान लेता है; तीन विषम और दो सम कार्डों के साथ वे समसंभाव्य नहीं हैं।

प्रश्न 46

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

12 बल्बों के एक डिब्बे में 3 खराब बल्ब हैं। एक बिजली मिस्त्री बिना प्रतिस्थापन के यादृच्छया 2 बल्ब चुनता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि दोनों में से कम से कम एक खराब हो?

प्रश्न 46 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 511\frac{5}{11}

  1. 12 में से 2 चुनने के तरीके: 12C2=66{}^{12}C_{2} = 66।

  2. 2 ठीक बल्ब चुनने के तरीके (कोई खराब नहीं): 9C2=36{}^{9}C_{2} = 36।

  3. P(कम से कम एक खराब) =1−3666=3066=511= 1 - \frac{36}{66} = \frac{30}{66} = \frac{5}{11}।

ध्यान देने योग्य

716=1−(34)2\frac{7}{16} = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 निकासी को प्रतिस्थापन सहित मान लेता है। 14\frac{1}{4} एक अकेले बल्ब की संभावना है, और 122\frac{1}{22} दोनों के खराब होने की संभावना है।

प्रश्न 47

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीन धनुर्धर एक ही लक्ष्य पर निशाना लगाते हैं, हर एक स्वतंत्र रूप से एक बार तीर चलाता है। उनके भेदने की संभावनाएँ 12\frac{1}{2}, 13\frac{1}{3} और 14\frac{1}{4} हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि लक्ष्य कम से कम एक बार भेदा जाए?

प्रश्न 47 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 34\frac{3}{4}

  1. लक्ष्य केवल तभी बचता है जब तीनों चूकें: 12×23×34=624=14\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}।

  2. P(कम से कम एक बार भेदा जाए) =1−14=34= 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}।

ध्यान देने योग्य

तीनों संभावनाओं को जोड़ने पर 1312\frac{13}{12} मिलता है, जो 1 से अधिक है और असंभव है। 124\frac{1}{24} P(सभी भेदें) है, 14\frac{1}{4} P(सभी चूकें) है और 1124\frac{11}{24} P(ठीक एक भेदे) है।

प्रश्न 48

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

निखिल और फ़राह सहित पाँच मित्र 5 सीटों की एक पंक्ति में यादृच्छिक क्रम में बैठते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि निखिल और फ़राह को दोनों सिरों वाली सीटें मिलें?

प्रश्न 48 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 110\frac{1}{10}

  1. सभी बैठक-व्यवस्थाएँ: 5!=1205! = 120।

  2. निखिल और फ़राह सिरों पर: 2 तरीके (दोनों में से कोई भी बायाँ सिरा ले सकता है); बाकी तीन बीच की सीटें 3!=63! = 6 तरीकों से भरते हैं, जिससे 12 मिलता है।

  3. प्रायिकता =12120=110= \frac{12}{120} = \frac{1}{10}।

ध्यान देने योग्य

120\frac{1}{20} यह भूल जाता है कि निखिल और फ़राह सिरे आपस में बदल सकते हैं। 25\frac{2}{5} उनके एक-दूसरे के बगल में बैठने की संभावना है, जो एक अलग घटना है।

प्रश्न 49

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

5 लड़कों और 4 लड़कियों में से यादृच्छया 3 की एक कक्षा समिति चुनी जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि समिति में ठीक 2 लड़कियाँ हों?

प्रश्न 49 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 514\frac{5}{14}

  1. सभी समितियाँ: 9C3=84{}^{9}C_{3} = 84।

  2. ठीक 2 लड़कियाँ: 4C2×5C1=6×5=30{}^{4}C_{2} \times {}^{5}C_{1} = 6 \times 5 = 30।

  3. प्रायिकता =3084=514= \frac{30}{84} = \frac{5}{14}।

ध्यान देने योग्य

1742\frac{17}{42} केवल लड़कियों वाली समितियाँ (4) भी जोड़ देता है, जो 'कम से कम 2 लड़कियाँ' का उत्तर है। 121\frac{1}{21} 3 लड़कियों की संभावना है, और 49\frac{4}{9} केवल इसकी संभावना है कि चुना गया एक व्यक्ति लड़की हो।

सिक्के, पासे और ताश

16 प्रश्न

प्रश्न 50

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य (fair) सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। कम से कम एक चित (head) आने की प्रायिकता क्या है?

प्रश्न 50 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 34\frac{3}{4}

  1. समसंभाव्य परिणाम HH, HT, TH और TT हैं।

  2. केवल TT में कोई चित नहीं है, इसलिए 4 में से 3 परिणामों में कम से कम एक चित है।

  3. प्रायिकता =34= \frac{3}{4}।

ध्यान देने योग्य

23\frac{2}{3} केवल HH, 'एक चित' और TT को सूचीबद्ध करता है, पर 'एक चित' दो तरीकों (HT और TH) से आता है, इसलिए ये तीनों समसंभाव्य नहीं हैं। 14\frac{1}{4} P(कोई चित नहीं) है।

प्रश्न 51

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

छह फलकों वाला एक न्याय्य पासा एक बार फेंका जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि दिखाई गई संख्या 4 से बड़ी हो?

प्रश्न 51 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 13\frac{1}{3}

  1. 4 से बड़ी संख्याएँ: 5 और 6, यानी 6 में से 2 परिणाम।

  2. प्रायिकता =26=13= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}।

ध्यान देने योग्य

'4 से बड़ी' में 4 शामिल नहीं है; उसे गिनने पर 12\frac{1}{2} मिलता है। 23\frac{2}{3} P(4 या उससे कम) है, और 16\frac{1}{6} दोनों संख्याओं में से केवल एक को गिनता है।

प्रश्न 52

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य पासे एक साथ फेंके जाते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि दिखाई गई संख्याओं का योग 9 हो?

प्रश्न 52 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 19\frac{1}{9}

  1. 6×6=366 \times 6 = 36 समसंभाव्य क्रमित परिणाम हैं।

  2. योग 9: (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), यानी 4 परिणाम।

  3. प्रायिकता =436=19= \frac{4}{36} = \frac{1}{9}।

ध्यान देने योग्य

111\frac{1}{11} 11 संभव योगों (2 से 12) को समसंभाव्य मान लेता है। 221\frac{2}{21} अक्रमित युग्म गिनता है, पर (3, 6) और (6, 3) भिन्न परिणाम हैं। 112\frac{1}{12} चारों में से एक छोड़ देता है।

प्रश्न 53

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

तीन न्याय्य सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। ठीक दो चित आने की प्रायिकता क्या है?

प्रश्न 53 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 38\frac{3}{8}

  1. तीन सिक्कों से 23=82^3 = 8 समसंभाव्य परिणाम मिलते हैं।

  2. ठीक दो चित: HHT, HTH, THH, यानी 3 परिणाम।

  3. प्रायिकता =38= \frac{3}{8}।

ध्यान देने योग्य

12\frac{1}{2} P(कम से कम दो चित) है, जिसमें HHH भी गिना जाता है। 78\frac{7}{8} P(कम से कम एक चित) है, और 23\frac{2}{3} गलती से 2 चित को 3 सिक्कों से भाग देता है।

प्रश्न 54

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

ताश की एक सामान्य गड्डी में 52 पत्ते होते हैं, जो 13 पत्तों वाले 4 सूटों में बँटे हैं (इक्का, 2 से 10, गुलाम, बेगम, बादशाह); पान और ईंट लाल होते हैं, चिड़ी और हुकुम काले होते हैं, तथा गुलाम, बेगम और बादशाह तस्वीर वाले पत्ते (face cards) हैं। यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि वह तस्वीर वाला पत्ता या इक्का हो?

प्रश्न 54 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 413\frac{4}{13}

  1. तस्वीर वाले पत्ते: हर सूट में 3, अतः 12। इक्के: 4। कोई भी पत्ता दोनों नहीं है।

  2. अनुकूल =12+4=16= 12 + 4 = 16, अतः प्रायिकता =1652=413= \frac{16}{52} = \frac{4}{13}।

ध्यान देने योग्य

313\frac{3}{13} केवल तस्वीर वाले पत्ते गिनता है और 113\frac{1}{13} केवल इक्के। 14\frac{1}{4} किसी एक सूट की संभावना है।

प्रश्न 55

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

रुख़साना एक ही समय पर एक न्याय्य सिक्का उछालती है और एक न्याय्य पासा फेंकती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि उसे सिक्के पर चित और पासे पर सम संख्या मिले?

प्रश्न 55 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 14\frac{1}{4}

  1. सिक्का और पासा स्वतंत्र हैं: P(चित) =12= \frac{1}{2}, P(सम) =36=12= \frac{3}{6} = \frac{1}{2}।

  2. P(चित और सम) =12×12=14= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}।

ध्यान देने योग्य

34\frac{3}{4} P(चित या सम) है। 112\frac{1}{12} किसी एक विशेष युग्म की संभावना है, जैसे चित के साथ 4।

प्रश्न 56

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

ताश की एक सामान्य गड्डी में 52 पत्ते होते हैं, जो 13 पत्तों वाले 4 सूटों में बँटे हैं (इक्का, 2 से 10, गुलाम, बेगम, बादशाह); पान और ईंट लाल होते हैं, चिड़ी और हुकुम काले होते हैं, तथा गुलाम, बेगम और बादशाह तस्वीर वाले पत्ते (face cards) हैं। यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि वह लाल हो या बादशाह हो (या दोनों)?

प्रश्न 56 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 713\frac{7}{13}

  1. लाल पत्ते: 26। बादशाह: 4, जिनमें से 2 लाल हैं और पहले ही गिने जा चुके हैं।

  2. अनुकूल =26+4−2=28= 26 + 4 - 2 = 28।

  3. प्रायिकता =2852=713= \frac{28}{52} = \frac{7}{13}।

ध्यान देने योग्य

1526=3052\frac{15}{26} = \frac{30}{52} पान के बादशाह और ईंट के बादशाह को दो बार गिनता है। 12\frac{1}{2} केवल लाल पत्ते गिनता है।

प्रश्न 57

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य पासे फेंके जाते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि दोनों संख्याओं का गुणनफल सम हो?

प्रश्न 57 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 34\frac{3}{4}

  1. गुणनफल केवल तभी विषम होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों: 36 में से 3×3=93 \times 3 = 9 परिणाम।

  2. P(गुणनफल सम) =1−936=2736=34= 1 - \frac{9}{36} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}।

ध्यान देने योग्य

14\frac{1}{4} P(गुणनफल विषम) है। 12\frac{1}{2} सम और विषम गुणनफलों को समसंभाव्य मान लेता है, पर गुणनफल को सम बनाने के लिए एक सम संख्या ही काफ़ी है।

प्रश्न 58

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

ताश की एक सामान्य गड्डी में 52 पत्ते होते हैं, जो 13 पत्तों वाले 4 सूटों में बँटे हैं (इक्का, 2 से 10, गुलाम, बेगम, बादशाह); पान और ईंट लाल होते हैं, चिड़ी और हुकुम काले होते हैं, तथा गुलाम, बेगम और बादशाह तस्वीर वाले पत्ते (face cards) हैं। एक के बाद एक दो पत्ते बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि दोनों इक्के हों?

प्रश्न 58 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 1221\frac{1}{221}

  1. पहला पत्ता इक्का: 452\frac{4}{52}। दूसरा पत्ता इक्का, जब 51 पत्तों में 3 इक्के बचे हों: 351\frac{3}{51}।

  2. P(दोनों इक्के) =452×351=122652=1221= \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}।

ध्यान देने योग्य

1169=(452)2\frac{1}{169} = \left(\frac{4}{52}\right)^2 प्रतिस्थापन सहित का उत्तर है। 1442\frac{1}{442} 4C2=6{}^{4}C_{2} = 6 को क्रमित गिनती 52×5152 \times 51 से भाग देता है, जिसमें संचय और क्रमित निकासी मिला दी गई हैं।

प्रश्न 59

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

मोहित एक न्याय्य पासा दो बार फेंकता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि पहली संख्या दूसरी से बड़ी हो?

प्रश्न 59 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 512\frac{5}{12}

  1. 36 परिणामों में से 6 जोड़े (doubles) हैं, जिनमें दोनों संख्याएँ बराबर हैं।

  2. बाकी 30 बराबर बँटते हैं: 15 में पहली बड़ी है, 15 में दूसरी बड़ी है।

  3. प्रायिकता =1536=512= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}।

ध्यान देने योग्य

12\frac{1}{2} 6 बराबरी वाले परिणाम भूल जाता है। 712\frac{7}{12} P(पहली संख्या दूसरी से बड़ी या उसके बराबर) है, और 56\frac{5}{6} P(संख्याएँ भिन्न हों) है।

प्रश्न 60

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बोर्ड-गेम क्लब में दो न्याय्य पासे एक साथ फेंके जाते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि योग एक अभाज्य संख्या हो?

प्रश्न 60 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरC · 512\frac{5}{12}

  1. संभव अभाज्य योग: 2, 3, 5, 7, 11।

  2. तरीके: 2 का 1 तरीका, 3 के 2, 5 के 4, 7 के 6, 11 के 2, अतः 1+2+4+6+2=151 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15।

  3. प्रायिकता =1536=512= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}।

ध्यान देने योग्य

511\frac{5}{11} 11 संभव योगों में से 5 अभाज्य योग गिनता है, पर सभी योग समसंभाव्य नहीं हैं। 12\frac{1}{2} P(विषम योग) है, जिसमें 9 शामिल है और 2 छूट जाता है। 712\frac{7}{12} P(अभाज्य नहीं) है।

प्रश्न 61

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक न्याय्य सिक्का चार बार उछाला जाता है। ठीक दो चित आने की प्रायिकता क्या है?

प्रश्न 61 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 38\frac{3}{8}

  1. चार उछालों से 24=162^4 = 16 समसंभाव्य अनुक्रम मिलते हैं।

  2. ठीक दो चित वाले अनुक्रम: 4C2=6{}^{4}C_{2} = 6।

  3. प्रायिकता =616=38= \frac{6}{16} = \frac{3}{8}।

ध्यान देने योग्य

12\frac{1}{2} यह मान लेता है कि 'आधे चित' सामान्य परिणाम है, इसलिए उसकी संभावना आधी ही होगी। 1116\frac{11}{16} P(कम से कम दो चित) है और 58\frac{5}{8} P(ठीक दो नहीं) है।

प्रश्न 62

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

दो न्याय्य पासे, एक लाल और एक नीला, फेंके जाते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि दोनों संख्याओं का अंतर ठीक 2 हो?

प्रश्न 62 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 29\frac{2}{9}

  1. 2 के अंतर वाले अक्रमित युग्म: (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)।

  2. हर युग्म में कोई भी पासा बड़ी संख्या दिखा सकता है, इसलिए 36 में से 8 परिणाम हैं।

  3. प्रायिकता =836=29= \frac{8}{36} = \frac{2}{9}।

ध्यान देने योग्य

19\frac{1}{9} केवल 4 परिणाम गिनता है, यह भूलकर कि लाल 3, नीला 1 और लाल 1, नीला 3 भिन्न हैं। 518\frac{5}{18} P(अंतर ठीक 1) है।

प्रश्न 63

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

एक बोर्ड-गेम में आप तभी शुरू कर सकते हैं जब दो न्याय्य पासे फेंकने पर कम से कम एक छक्का आए। दोनों पासों को एक बार फेंकने पर कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता क्या है?

प्रश्न 63 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरD · 1136\frac{11}{36}

  1. किसी भी पासे पर छक्का नहीं: 36 में से 5×5=255 \times 5 = 25 परिणाम।

  2. P(कम से कम एक छक्का) =1−2536=1136= 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}।

ध्यान देने योग्य

518=1036\frac{5}{18} = \frac{10}{36} P(ठीक एक छक्का) है, जिसमें दोहरा छक्का छूट जाता है। 16\frac{1}{6} केवल एक पासे के लिए है, और 136\frac{1}{36} P(दो छक्के) है।

प्रश्न 64

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

ताश की एक सामान्य गड्डी में 52 पत्ते होते हैं, जो 13 पत्तों वाले 4 सूटों में बँटे हैं (इक्का, 2 से 10, गुलाम, बेगम, बादशाह); पान और ईंट लाल होते हैं, चिड़ी और हुकुम काले होते हैं, तथा गुलाम, बेगम और बादशाह तस्वीर वाले पत्ते (face cards) हैं। यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि वह न तो पान का पत्ता हो और न ही तस्वीर वाला पत्ता?

प्रश्न 64 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरB · 1526\frac{15}{26}

  1. जो पत्ते पान या तस्वीर वाले हैं: 13 पान + 12 तस्वीर वाले पत्ते − 3 तस्वीर वाले पत्ते जो पान के हैं = 22।

  2. दोनों में से कोई नहीं: 52−22=3052 - 22 = 30।

  3. प्रायिकता =3052=1526= \frac{30}{52} = \frac{15}{26}।

ध्यान देने योग्य

2752\frac{27}{52} पान के अलावा के 39 पत्तों में से सभी 12 तस्वीर वाले पत्ते हटा देता है, जबकि पान के अलावा वाले तस्वीर वाले पत्ते केवल 9 हैं। 34\frac{3}{4} तस्वीर वाले पत्ते की शर्त को अनदेखा करता है, और 1013\frac{10}{13} पान वाली शर्त को।

प्रश्न 65

इस प्रश्न का पेज खोलें →

हिंदी में कोई पंक्ति ग़लत लगे तो अंग्रेज़ी वाली ही मानें।

ताश की एक सामान्य गड्डी में 52 पत्ते होते हैं, जो 13 पत्तों वाले 4 सूटों में बँटे हैं (इक्का, 2 से 10, गुलाम, बेगम, बादशाह); पान और ईंट लाल होते हैं, चिड़ी और हुकुम काले होते हैं, तथा गुलाम, बेगम और बादशाह तस्वीर वाले पत्ते (face cards) हैं। यादृच्छया दो पत्ते एक साथ (बिना प्रतिस्थापन के) निकाले जाते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि एक लाल हो और दूसरा काला?

प्रश्न 65 के विकल्प

हल देखेंहल छिपाएँ

उत्तरA · 2651\frac{26}{51}

  1. 2 पत्ते निकालने के तरीके: 52C2=1326{}^{52}C_{2} = 1326।

  2. एक लाल और एक काला: 26×26=67626 \times 26 = 676।

  3. प्रायिकता =6761326=2651= \frac{676}{1326} = \frac{26}{51}।

ध्यान देने योग्य

12\frac{1}{2} प्रतिस्थापन सहित का उत्तर है (2×12×12)\left(2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right)। 2551\frac{25}{51} P(एक ही रंग) है, और 1351\frac{13}{51} केवल 'पहले लाल फिर काला' वाला क्रम गिनता है।

क्षेत्रों के नाम NTA के हैं। उनके भीतर के अध्याय EduFarming का अपना विभाजन हैं, NTA का नहीं।